(cambio de variables). - Universidad de Sevilla

CÁLCULO DIFERENCIAL EN Rn con Maxima
Cambio de variables
Renato Álvarez-Nodarse
Universidad de Sevilla
http://euler.us.es/˜renato/clases.html
Renato Álvarez-Nodarse Universidad de Sevilla
CÁLCULO DIFERENCIAL EN Rn con Maxima
Cambio de variables.
Caso más simple de una función escalar con dos variables:
Supongamos que tenemos una expresión del tipo
Φ(x, y , z, zx , zy , zxx , zxy , zyy , . . . )
donde x e y son variables independientes y z es una función
z : R2 7→ R, z = z(x, y ) y queremos escribirlas en las nuevas
variables u, v y w = w (u, v ) asumiendo que las variables nuevas y
viejas se relacionan mediante el sistema
gi (x, y , z, u, v , w ) = 0,
i = 1, 2, 3,
que denominaremos expresiones del cambio de variables, donde las
funciones gi , i = 1, 2, 3 se asumen diferenciables tantas veces como
haga falta.
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Cambio de variables.
Caso más simple de una función escalar con dos variables:
Supongamos que tenemos una expresión del tipo
Φ(x, y , z, zx , zy , zxx , zxy , zyy , . . . )
donde x e y son variables independientes y z es una función
z : R2 7→ R, z = z(x, y ) y queremos escribirlas en las nuevas
variables u, v y w = w (u, v ) asumiendo que las variables nuevas y
viejas se relacionan mediante el sistema
gi (x, y , z, u, v , w ) = 0,
i = 1, 2, 3,
que denominaremos expresiones del cambio de variables, donde las
funciones gi , i = 1, 2, 3 se asumen diferenciables tantas veces como
haga falta.
Ejemplo: Escribir el laplaciano ∆z(x, y) := zxx + zyy en las nuevas
variables x = r cos(φ), y = r sin(φ), z = w.
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Cambio de variables
Hay dos opciones de especial interés y es cuando el cambio de
variables es de la forma (variables viejas en función de las nuevas)
x = f1 (u, v , w ),
y = f2 (u, v , w ),
z = f3 (u, v , w ),
(1)
w = f3 (x, y , z).
(2)
o (variables nuevas en función de las viejas)
u = f1 (x, y , z),
v = f2 (x, y , z),
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Cambio de variables
Nos centraremos en el caso cuando se tiene la expresión explı́cita
de las variables viejas en función de las nuevas
x = f1 (u, v , w ),
y = f2 (u, v , w ),
z = f3 (u, v , w ).
(3)
Diferenciando (3) tenemos
dx =Du f1 du + Dv f1 dv + Dw f1 dw ,
dy =Du f2 du + Dv f2 dv + Dw f2 dw ,
dw =Du f3 du + Dv f3 dv + Dw f3 dw ,
donde Du , Dv y Dw son las correspondientes derivadas parciales
respecto a las variables u, v y w , respectivamente.
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Cambio de variables
Si usamos que dw = Du wdu + Dv wdv tenemos
dx =Du f1 du + Dv f1 dv ,
dy =Du f2 du + Dv f2 dv ,
(4)
dz =Du f3 du + Dv f3 dv
donde
Du =
∂
∂
∂ ∂w ∂
+
=
+wu
,
∂u ∂u ∂w
∂u
∂w
Dv =
∂ ∂w ∂
∂
∂
+
=
+wv
.
∂v ∂v ∂w
∂v
∂w
Si el determinante
D f Dv f1
∆ = u 1
Du f2 Dv f2
6= 0
entonces las dos primeras ecuaciones de (4) se pueden resolver
expresándose las diferenciales du y dv en función de las dx y dy
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Cambio de variables
1
du =
Dv f2 dx − Dv f1 dy ,
∆
1
dv =
− Du f2 dx + Du f1 dy ,
∆
(5)
que sustituimos en la tercera expresión de (4) obteniendo
1
1
dz =
Du f3 Dv f2 −Dv f3 Du f2 dx+
−Du f3 Dv f1 +Dv f3 Du f1 dy ,
∆
∆
de donde deducimos
1
zx =
Du f3 Dv f2 − Dv f3 Du f2 = F1 (u, v , w , wu , wv ),
∆
1
zy =
− Du f3 Dv f1 + Dv f3 Du f1 = F2 (u, v , w , wu , wv ).
∆
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(6)
Cambio de variables
Ejemplo: Escribir las expresiones de zx y zy en las nuevas variables
x = r cos(φ), y = r sin(φ), z = w .
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Cambio de variables
Ejemplo: Escribir las expresiones de zx y zy en las nuevas variables
x = r cos(φ), y = r sin(φ), z = w .
Definimos nuestras nuevas variables y calculamos los diferenciales
(%i1)
(%o1)
(%o2)
(%i3)
(%o3)
(%o4)
(%i5)
(%o5)
(%o6)
(%i7)
(%o7)
(%o8)
depends(w,[r,phi]); depends(z,[x,y]);
[w(r,phi)]
[z(x,y)]
x=r*cos(phi);eq1:diff(%);
x=cos(phi)*r
del(x)=cos(phi)*del(r)-sin(phi)*r*del(phi)
y=r*sin(phi);eq2:diff(%);
y=sin(phi)*r
del(y)=sin(phi)*del(r)+cos(phi)*r*del(phi)
z=w;eq3:diff(%);
z=w
(’diff(z,y,1))*del(y)+(’diff(z,x,1))*del(x)=
(’diff(w,r,1))*del(r)+(’diff(w,phi,1))*del(phi)
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Cambio de variables
Escribimos las ecuaciones correspondientes a
1
1
du =
Dv f2 dx − Dv f1 dy , dv =
− Du f2 dx + Du f1 dy .
∆
∆
(%i9) linsolve([eq1,eq2],[del(r),del(phi)])$
sol1:trigsimp(%);
(%o10) [del(r)=sin(phi)*del(y)+cos(phi)*del(x),
del(phi)=cos(phi)*del(y)-sin(phi)*del(x))/r]
Que sustituimos en la expresión para el diferencial de z
(%i11)subst(sol1,eq3)$ expand(%)$ a:second(%);
(%o13) sin(phi)*(’diff(w,r,1))*del(y)+
(cos(phi)*(’diff(w,phi,1))*del(y))/r+
cos(phi)*(’diff(w,r,1))*del(x)(sin(phi)*(’diff(w,phi,1))*del(x))/r
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Cambio de variables
A continuación seleccionamos los coeficientes delante de ambos
diferenciales que nos dan los valores de las derivadas zx y zy ,
respectivamente
(%i14) zx:coeff(a,del(x),1);
(%o14) cos(phi)*(’diff(w,r,1))(sin(phi)*(’diff(w,phi,1)))/r
(%i15) zy:coeff(a,del(y),1);
(%o15) sin(phi)*(’diff(w,r,1))+
(cos(phi)*(’diff(w,phi,1)))/r
Es decir
1
zx = wr cos φ − wφ sin φ,
r
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1
zy = wr sin φ + wφ cos φ.
r
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Cambio de variables
A continuación seleccionamos los coeficientes delante de ambos
diferenciales que nos dan los valores de las derivadas zx y zy ,
respectivamente
(%i14) zx:coeff(a,del(x),1);
(%o14) cos(phi)*(’diff(w,r,1))(sin(phi)*(’diff(w,phi,1)))/r
(%i15) zy:coeff(a,del(y),1);
(%o15) sin(phi)*(’diff(w,r,1))+
(cos(phi)*(’diff(w,phi,1)))/r
Es decir
1
zx = wr cos φ − wφ sin φ,
r
1
zy = wr sin φ + wφ cos φ.
r
Problema: Escribir el laplaciano de orden dos zxx + zyy = 0 en las
nuevas variables x = r cos(φ), y = r sin(φ), z = w .
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Cambio de variables
Para obtener las expresiones de las 2a derivadas calculamos
d(zx ) =zxx dx + zxy dy =
=Du F1 du + Dv F1 dv + Dw F1 dw + Dwu F1 dwu + Dwv F1 dwv .
y sustituimos en la parte derecha los valores de las diferenciales
nuevas
dw = wu du+wv dv ,
dwu = wuu du+wvu dv ,
dwv = wuv du+wvv dv
y en la expresión resultante sustituimos los valores de las
diferenciales du y dv obtenidos anterioremente. Esto nos da una
expresión de d(zx ) en función de las diferenciales antiguas.
Igualando las expresiones delante de las diferenciales dx y dy
obtenemos los valores zxx y zxy respectivamente.
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Cambio de variables
Hagámolo con Maxima. Primero calculamos el diferencial de
dzx = zxx dx + zxy dy
(%i16) eqdzx:diff(zx);
y en el resultado sustituimos los diferenciales dr y dφ por los
antiguos dx y dy
(%i17) subst(sol1,eqdzx)$
b:expand(%);
Finalmente, identificamos el coefiente delante del diferencial dx
que corresponde a la derivada zxx
(%i19) zxx:coeff(b,del(x),1);
(%o19) cos(phi)^2*(’diff(w,r,2))+
(sin(phi)^2*(’diff(w,r,1)))/r+
(sin(phi)^2*(’diff(w,phi,2)))/r^2
-(2*cos(phi)*sin(phi)*(’diff(w,phi,1,r,1)))/r
+(2*cos(phi)*sin(phi)*(’diff(w,phi,1)))/r^2
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Cambio de variables
Para obtener zyy se procede de forma análoga pero partiendo de la
expresión de zy .
Ası́ tenemos:
(%i20)
(%i21)
(%i23)
(%o23)
eqdzy:diff(zy)$
subst(sol1,eqdzy)$ c:expand(%);
zyy:coeff(c,del(y),1);
sin(phi)^2*(’diff(w,r,2))+
(cos(phi)^2*(’diff(w,r,1)))/r+
(cos(phi)^2*(’diff(w,phi,2)))/r^2
+(2*cos(phi)*sin(phi)*(’diff(w,phi,1,r,1)))/r
-(2*cos(phi)*sin(phi)*(’diff(w,phi,1)))/r^2
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Cambio de variables
Para terminar calculamos zxx + zyy
(%i24)
(%i25)
(%o26)
(%i27)
(%o27)
zxx+zyy$
trigsimp(%); expand(%);
’diff(w,r,2)+’diff(w,r,1)/r+’diff(w,phi,2)/r^2
subst(w=z,%);
’diff(z,r,2)+’diff(z,r,1)/r+’diff(z,phi,2)/r^2
que nos da
1 dz
1 d 2z
d 2z
+
+
= 0.
d r2
r dr
r 2 d ϕ2
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Cambio de variables
Ejercicio: Encontrar las expresiones en las nuevas variables de las
siguientes expresiones según los correspondientes cambios de
variables
1
2
3
(x zx )2 + (y zy )2 = z 2 zx zy con x = u exp(w ), y = v exp(w ),
y z = w exp(w );
zxx − zyy = 0 con x = u + v , y = u − v , y z = w ;
√
2
zxx − zy = 0 con x = −u/v , y = −1/v , z = −v e u /(4v ) w .
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Cambio de variables
Ejercicio: Encontrar las expresiones en las nuevas variables de las
siguientes expresiones según los correspondientes cambios de
variables
1
2
3
(x zx )2 + (y zy )2 = z 2 zx zy con x = u exp(w ), y = v exp(w ),
y z = w exp(w );
zxx − zyy = 0 con x = u + v , y = u − v , y z = w ;
√
2
zxx − zy = 0 con x = −u/v , y = −1/v , z = −v e u /(4v ) w .
Ejercicio: Implementa un pequeño programa para aplicar la
técnica de cambio de variables aquı́ descrita a una expresión de
tres variables. Como ejemplo de apliación escribe la ecuación de
Laplace wxx + wyy + wzz = 0 en las nuevas variables
x = r cos(φ) sin(θ), y = r sin(φ) sin(θ), z = r cos(θ), siendo la
función w (x, y , z) = w (r , θ, φ).
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