Universidad de San Carlos Departamento de Matemática Facultad

Universidad de San Carlos
Facultad de Ingeniería
Departamento de Matemática
Matemática Aplicada 2N
06/08/12
Fórmulas de 𝒂𝒏 y 𝒃𝒏 para formas de onda simétricas
(Borrador)
J. Saquimux
El cálculo de coeficientes de series trigonométrica de Fourier de formas de onda que tienen
simetría par, impar y/o de media onda se pueden simplificar aprovechando dichas simetrías.
Muchas ondas que describen cantidades en ingeniería son simétricas. Veamos a qué se reducen
las integrales de sus coeficientes.
La integral de 𝑎𝑛
𝑎𝑛 =
2
𝑇
𝑇/2
𝑓 𝑡 cos
−𝑇/2
2𝜋𝑛𝑡
𝑑𝑡
𝑇
(1)
Podemos separarla en dos integrales,
𝑎𝑛 =
0
2
𝑇
2𝜋𝑛𝑡
2
𝑑𝑡 +
𝑇
𝑇
𝑓 𝑡 cos
−𝑇/2
𝑇/2
𝑓 𝑡 cos
0
2𝜋𝑛𝑡
𝑑𝑡
𝑇
(2)
Reemplazando 𝑡 por – 𝑡 en la primera integral de (2), los límites de integración de – 𝑡 cambian de
𝑇 2 a 0, así tenemos,
𝑎𝑛 =
2
𝑇
0
𝑓 −𝑡 cos
𝑇/2
𝑇/2
−2𝜋𝑛𝑡
2
𝑑(−𝑡) +
𝑇
𝑇
𝑓 𝑡 cos
0
2𝜋𝑛𝑡
𝑑𝑡
𝑇
(3)
Simplificando e intercambiando los límites de integración de la primera integral en (3), queda
𝑎𝑛 =
2
𝑇
𝑇/2
𝑓 −𝑡 cos
0
Por lo que,
2
𝑎𝑛 =
𝑇
2𝜋𝑛𝑡
2
𝑑(𝑡) +
𝑇
𝑇
𝑇/2
𝑓 𝑡 cos
0
𝑇/2
𝑓 𝑡 + 𝑓 −𝑡 cos
0
2𝜋𝑛𝑡
𝑑𝑡
𝑇
(4)
2𝜋𝑛𝑡
𝑑 𝑡
𝑇
(5)
Procediendo de manera similar para la integral de 𝑏𝑛 nos queda,
𝑏𝑛 =
𝑇/2
2
𝑇
𝑓 𝑡 − 𝑓 −𝑡 sin
0
2𝜋𝑛𝑡
𝑑(𝑡)
𝑇
(6)
Simetría par
Una forma de onda tiene simetría par si 𝑓 −𝑡 = 𝑓(𝑡).
f(-t)=f(t)
-T/2
-t
t
T/2
-T/2
-t
t
T/2
f(-t)=f(t)
Entonces de las fórmulas (5) y (6) se tiene,
1
Universidad de San Carlos
Facultad de Ingeniería
06/08/12
4
𝑇
𝑎𝑛 =
𝑇/2
Departamento de Matemática
Matemática Aplicada 2N
2𝜋𝑛𝑡
𝑑(𝑡) y 𝑏𝑛 = 0
𝑇
𝑓(𝑡)cos
0
(7)
Si tiene periodo 2𝜋 y si usa 𝜔𝑡 como variable, queda
𝑎𝑛 =
2
𝜋
𝜋
0
𝑓(𝜔𝑡)cos 𝜔𝑛𝑡 𝑑(𝜔𝑡) y 𝑏𝑛 = 0
(7𝐴)
Es decir, la serie de una forma de onda par solo contiene términos en coseno, la cual también es
par.
Simetría impar
Una forma de onda tiene simetría impar si 𝑓 −𝑡 = −𝑓(𝑡).
f(t)
-T/2
f(-t)
-t
t
T/2
-T/2
f(-t)
-t
t
T/2
f(t)
Entonces de las fórmulas (5) y (6) se tiene,
𝑎𝑛 = 0 y 𝑏𝑛 =
4
𝑇
𝑇/2
𝑓 𝑡 sin
0
2𝜋𝑛𝑡
𝑑 𝑡
𝑇
(8)
Si tiene periodo 2𝜋 y si usa 𝜔𝑡 como variable, queda
𝑏𝑛 =
2
𝜋
𝜋
0
𝑓(𝜔𝑡)sen 𝜔𝑛𝑡 𝑑(𝜔𝑡) y 𝑎𝑛 = 0
(8𝐴)
Es decir, la serie de una forma de onda impar solo tiene términos en seno, la cual también es
impar.
Nota: Cierta forma de onda puede ser par o impar, dependiendo de la posición de referencia para
el tiempo 𝑡 = 0 que se seleccione.
Simetría de media onda
Una forma de onda tiene simetría de media onda si
𝑓 𝑡+
𝑇
𝑇
= −𝑓 𝑡 o bien 𝑓 𝑡 = −𝑓 𝑡 +
2
2
(9)
2
Universidad de San Carlos
Facultad de Ingeniería
Departamento de Matemática
Matemática Aplicada 2N
06/08/12
Es decir los valores de la forma de onda para el intervalo de 𝑡 + 𝑇/2 a 𝑡 + 𝑇 tienen signos
opuestos a los valores de la forma de onda para el intervalo de 𝑡 a 𝑡 + 𝑇/2.
f(t)
f(t+T/2)
t+T/2
0
t
t
T/2
T
T/2
0
t+T/2
T
f(t)
f(t+T/2)
Nuevamente, transformemos la integral (1) de 𝑎𝑛 de la manera siguiente,
2
𝑎𝑛 =
𝑇
=
2
𝑇
𝑇
2
𝑇
−
2
𝑓 𝑡 cos
2𝜋𝑛𝑡
𝑑𝑡
𝑇
0
𝑓 𝑡 cos
−𝑇/2
(10)
2𝜋𝑛𝑡
2
𝑑𝑡 +
𝑇
𝑇
𝑇/2
𝑓 𝑡 cos
0
2𝜋𝑛𝑡
𝑑𝑡
𝑇
(11)
Reemplazando 𝑡 por 𝑡 + 𝑇/2 en la primera integral de (11) el intervalo (−𝑇/2, 0) cambia a
(0, 𝑇/2), quedando,
𝑎𝑛 =
2
𝑇
𝑇/2
𝑓 𝑡 + 𝑇 2 cos
0
Suponiendo que 𝑓(𝑡)
simplificando,
𝑎𝑛 =
2
𝑇
2𝜋𝑛(𝑡 + 𝑇 2)
2
𝑑𝑡 +
𝑇
𝑇
𝑇/2
𝑓 𝑡 cos
0
2𝜋𝑛𝑡
𝑑𝑡
𝑇
(12)
tiene simetría de media onda, sustituyamos 𝑓 𝑡 + 𝑇 2 = −𝑓(𝑡), y
𝑇/2
−𝑓 𝑡 cos
0
𝑎𝑛 =
2
𝑇
2𝜋𝑛𝑡
2
+ 𝑛𝜋 𝑑𝑡 +
𝑇
𝑇
𝑇/2
𝑓 𝑡 cos
0
𝑇/2
𝑓 𝑡 cos
0
2𝜋𝑛𝑡
2𝜋𝑛𝑡
− cos
+ 𝑛𝜋
𝑇
𝑇
2𝜋𝑛𝑡
𝑑𝑡
𝑇
𝑑𝑡
(13)
(14)
La expresión cos(2𝜋𝑛𝑡/𝑇 + 𝑛𝜋) se puede reducir o simplificar dependiendo si 𝑛 es par o impar.
Si 𝑛 es impar
cos
2𝜋𝑛𝑡
2𝜋𝑛𝑡
+ 𝑛𝜋 = −cos
𝑇
𝑇
(15)
queda
3
Universidad de San Carlos
Facultad de Ingeniería
Departamento de Matemática
Matemática Aplicada 2N
06/08/12
𝑎𝑛 =
4
𝑇
𝑇/2
2𝜋𝑛𝑡
𝑑𝑡 para 𝑛 impar
𝑇
𝑓 𝑡 cos
0
Pero si 𝑛 es par
cos
(16)
2𝜋𝑛𝑡
2𝜋𝑛𝑡
+ 𝑛𝜋 = cos
𝑇
𝑇
(17)
queda
𝑎𝑛 = 0 para 𝑛 par
18
Con procedimiento similar para 𝑏𝑛 se obtiene,
𝑏𝑛 =
4
𝑇
𝑇/2
𝑓 𝑡 sin
0
2𝜋𝑛𝑡
𝑑𝑡 para 𝑛 impar
𝑇
(19)
𝑏𝑛 = 0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑛 𝑝𝑎𝑟
(20)
Por lo tanto si la onda tiene simetría de media onda, se cumplen
𝑎𝑛 =
4
𝑇
𝑏𝑛 =
4
𝑇
𝑇/2
𝑓 𝑡 cos
2𝜋𝑛𝑡
𝑑𝑡,
𝑇
𝑛 impar
(21)
𝑓 𝑡 sin
2𝜋𝑛𝑡
𝑑𝑡,
𝑇
𝑛 impar
(22)
0
𝑇/2
0
𝑎0 /2 = 𝑎𝑛 = 𝑏𝑛 = 0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑛 𝑝𝑎𝑟
(23)
Es decir si 𝑓(𝑡) tiene simetría de media onda contiene solo armónicos impares.
Simetría de media onda par
Si 𝑓(𝑡) tiene simetría de media onda y además cumple con 𝑓(𝑇/2 + 𝑡) = 𝑓(𝑇/2 − 𝑡), el cálculo
de sus coeficientes de Fourier se pueden simplificar.
Supongamos que 𝑓(𝑡) tiene simetría de media onda, esto es 𝑓(𝑡) = −𝑓(𝑇/2 + 𝑡) y que
además cumple con 𝑓(𝑡) = −𝑓(𝑇/2 + 𝑡) = −𝑓(𝑇/2 − 𝑡). Ahora de esta condición se sigue,
𝑓(−𝑡) = −𝑓(𝑇/2 − 𝑡) = −𝑓(𝑇/2 + 𝑡) = 𝑓(𝑡) por lo que en este caso 𝑓(𝑡) debe tener
simetría par de media onda, de modo 𝑏𝑛 = 0 para todo 𝑛. Mientras 𝑎𝑛 de (21) puede
simplificarse así,
4
𝑎𝑛 =
𝑇
4
=
𝑇
𝑇/2
𝑓 𝑡 cos
0
𝑇/4
0
2𝜋𝑛𝑡
𝑑𝑡
𝑇
2𝜋𝑛𝑡
𝑓 𝑡 cos
𝑑𝑡 +
𝑇
(22)
𝑇/2
𝑓 𝑡 cos
𝑇/4
2𝜋𝑛𝑡
𝑑𝑡
𝑇
(23)
4
Universidad de San Carlos
Facultad de Ingeniería
Departamento de Matemática
Matemática Aplicada 2N
06/08/12
En la segunda integral de (23), sustituyendo, 𝑡 = 𝑇/2 – 𝑥, 𝑑𝑡 = −𝑑𝑥 y cambiando los intervalos
de integración,
=
=
𝑇/4
4
𝑇
0
𝑇/4
4
𝑇
=
0
𝑇/4
𝑓 𝑡 cos
0
4
𝑇
=
2𝜋𝑛𝑡
𝑑𝑡 +
𝑇
𝑓 𝑡 cos
4
𝑇
=
2𝜋𝑛𝑡
𝑑𝑡 +
𝑇
𝑓 𝑡 cos
4
𝑇
=
=
4
𝑇
8
𝑇
0
𝑓 𝑇/2 − 𝑥 cos
𝑇/4
0
𝑓 𝑥 cos
𝑇/4
2𝜋𝑛𝑡
𝑑𝑡 −
𝑇
𝑇/4
𝑇/4
𝑓 𝑡 cos
0
(25)
2𝜋𝑛(𝑇/2 − 𝑡
𝑑𝑡
𝑇
(26)
cos
2𝜋𝑛𝑡
2𝜋𝑛(𝑇/2 − 𝑡
− cos
𝑇
𝑇
𝑓 𝑡
cos
2𝜋𝑛𝑡
2𝜋𝑛𝑡
− cos 𝜋𝑛 −
𝑇
𝑇
𝑓 𝑡
cos
2𝜋𝑛𝑡
2𝜋𝑛𝑡
+ cos
𝑇
𝑇
𝑇/4
0
𝑇/4
0
𝑇/4
𝑑𝑡⁡
𝑑𝑡⁡
𝑑𝑡⁡
2𝜋𝑛𝑡
𝑑𝑡⁡
𝑇
𝑓 𝑡 cos
0
(24)
2𝜋𝑛(𝑇/2 − 𝑥
𝑑𝑥
𝑇
𝑓 𝑡
0
2𝜋𝑛(𝑇/2 − 𝑥
𝑑(−𝑥)
𝑇
(27)
(28)
(29)
(30)
Por lo que, si la forma de onda tiene simetrías de media onda y par
𝑎𝑛 =
8
𝑇
𝑇/4
𝑓 𝑡 cos
0
𝑎0 /2 = 𝑎𝑛 = 0,
2𝜋𝑛𝑡
𝑑𝑡,
𝑇
𝑛 impar
𝑛 par
(31)
𝑏𝑛 = 0 para todo 𝑛
Es decir la serie solo contendrá armónicos impares en coseno, una componente fundamental y
armónicos impares en coseno.
Tomando como variable 𝜔𝑡 con periodo 2𝜋, queda
𝑎𝑛 =
4
𝜋
𝜋/2
𝑓 𝜔𝑡 cos 𝑛𝜔𝑡 𝑑 𝜔𝑡 , 𝑛 impar
(32)
0
5
Universidad de San Carlos
Facultad de Ingeniería
Departamento de Matemática
Matemática Aplicada 2N
06/08/12
Simetría de media onda impar
De manera similar se deduce que, si 𝑓(𝑡) tiene simetría de media onda y además cumple con
𝑓 𝑇/2 + 𝑡 = −𝑓(𝑇/2 − 𝑡), 𝑓(𝑡) es impar, por lo que los coeficientes de una onda con simetría
de media onda impar se pueden calcular con
𝑏𝑛 =
8
𝑇
𝑇/4
𝑓 𝑡 sin
0
2𝜋𝑛𝑡
𝑑𝑡
𝑇
𝑛 impar
𝑏𝑛 = 0 para 𝑛 par
(33)
𝑎𝑛 = 0 para todo 𝑛
Es decir la serie solo contendrá armónicos impares en seno, una componente fundamental y
armónicos impares en seno.
Si reemplazamos 𝑡 por 𝜔𝑡 y tomando periodo 𝑇 = 2𝜋, tenemos
𝑏𝑛 =
4
𝜋
𝜋/2
𝑓 𝜔𝑡 sin 𝑛𝜔𝑡 𝑑(𝜔𝑡) , 𝑛 impar
(34)
0
Ondas transformables a simétricas
Algunas ondas se pueden transformar a simétricas de media onda, por ejemplo, la forma de onda
triangular de la izquierda tiene simetría par con valor medio o componente dc 𝑎0 2 = 2
2
1
-3
-2
-1
0
1
2
3
-3
Onda original par
-2
-1
0
1
2
3
Onda transformada a simetría
de media onda par
Al anular dicho valor medio (sumando -2) se transforma en una forma de onda triangular con
simetría de media onda par de la derecha.
Para inducir la naturaleza de los coeficientes de su serie, se puede proceder con el razonamiento
siguiente. Puesto que la onda de la derecha tiene simetría de media onda par su serie contiene
coeficientes 𝑎𝑛 con 𝑛 impar, si a esta serie se le suma el valor medio 𝑎0 2 = 2 se obtiene la serie
de la onda original. Por lo que la serie de la onda original tendrá componente dc más términos
armónicos en cosenos impares. De esto se induce que su serie tiene la forma
∞
𝑓 𝑡 =2+
𝑎𝑛 cos
𝑛=1
2𝜋𝑛𝑡
2
para 𝑛 impar
6
Universidad de San Carlos
Facultad de Ingeniería
06/08/12
Departamento de Matemática
Matemática Aplicada 2N
Ejemplo 1 (distribución de flujo en un devanado ideal a. c.)
La onda rectangular con periodo 2𝜋
A
0

2
3
𝜃
-A
La cual tiene como fórmula,
𝑓 𝜃 =
𝐴,
−𝐴,
0<𝜃<𝜋
𝜋 < 𝜃 < 2𝜋
Tiene simetría de media onda impar por lo que su serie tendrá una componente fundamental y
componentes armónicos impares en seno. Así, 𝑎𝑛 = 0 para todo 𝑛.
El cálculo de 𝑏𝑛 según (34) es,
4
𝑏𝑛 =
𝜋
𝑏𝑛 =
𝜋/2
𝑓 𝜃 sin
0
𝜋/2
4
𝜋
𝑏𝑛 = −
2𝜋𝑛𝜃
𝑑𝜃 para 𝑛 impar
2𝜋
𝐴sen(𝑛𝜃)𝑑𝜃
0
4𝐴
𝑛𝜋
cos
−1
𝑛𝜋
2
para 𝑛 = 1, 3, 5, 7, …
4𝑁
,
para 𝑛 impar
𝑛𝜋
(Note que al sustituir valores pares, 𝑏𝑛 se reduce a cero, como era de esperarse)
𝑏𝑛 =
Y su serie es
𝑓 𝑡 =
4𝐴
4𝐴
4𝐴
sen𝜃 +
sen3𝜃 +
sen5𝜃 + ⋯
𝜋
3𝜋
5𝜋
4𝐴
𝑓 𝑡 =
𝜋
∞
𝑚 =1
sen(2𝑚 − 1)𝜃
2𝑚 − 1
Ejemplo 2 (distribución de flujo de un devanado trifásico)
La onda rectangular piramidal con periodo 2𝜋
Eje de una fase
Componente fundamental
−𝜋
0
𝜋
2𝜋
𝜃
7
Universidad de San Carlos
Facultad de Ingeniería
Departamento de Matemática
Matemática Aplicada 2N
06/08/12
Tiene simetría de media onda par con periodo 2𝜋, su serie tiene componente fundamental y
armónicos pares en coseno (su componente dc es cero). Su serie es de la forma,
∞
𝑓 𝑡 =
𝑎𝑛 cos 𝑛𝜃
para 𝑛 impar
𝑛=1
Note que su componente d.c. escero.
Ejemplo 3 (Rectificación monofásica)
La corriente que se produce en la salida de un puente rectificador de diodos monofásico es el tren
de pulsos con simetría de media onda par
I
𝜃
0
T/2
𝜔𝑡
T
Usando (32) se deduce que la serie de Fourier de los pulsos de corriente tiene la forma.
8𝛼𝐼
𝑖=
𝜋
∞
𝑛=1,3,5,..
cos𝑛𝛼𝜋
cos𝑛𝜔𝑡
1 − 4𝑛2 𝛼 2
Donde 𝛼 = 𝜃/𝑇 (Consultar documento sobre el cálculo de esta serie)
Ejemplo 4
La corriente en una bobina de autoinducción 𝐿 = 0.01 henrios tiene la forma de onda
𝑖
10
−𝜋
0
𝜋
2𝜋
𝜔𝑡
-10
Obtener la serie trigonométrica de 𝑣𝐿 , tensión en los bornes de la bobina si 𝜔 = 500 radianes por
segundo.
La onda tiene periodo 2𝜋, tiene simetría de media onda par y valor medio cero. Así púes, su serie
solo contiene términos en cosenos con armónicos impares, sus coeficientes 𝑎𝑛 se puede calcular
con (7A) o (32), usando (7A)
8
Universidad de San Carlos
Facultad de Ingeniería
𝑎𝑛 =
06/08/12
Departamento de Matemática
Matemática Aplicada 2N
𝜋
2
𝜋
𝑓 𝜔𝑡 cos 𝑛𝜔𝑡 𝑑(𝜔𝑡) para 𝑛 impar
0
En el intervalo 0 < 𝜔𝑡 < 𝜋, 𝑖 = 10 − (20/𝜋)𝜔𝑡.
2
𝜋
𝑎𝑛 =
𝑎𝑛 =
𝜋
10 −
0
20
𝜔𝑡 cos 𝑛𝜔𝑡 𝑑(𝜔𝑡) para 𝑛 impar
𝜋
20 sen(𝑛𝜔𝑡)
𝜋
𝑛
𝜋
0
−
𝜋
40
𝜋2
𝜔𝑡cos 𝜔𝑡 𝑑(𝜔𝑡)
0
0
40 𝜔𝑡sen(𝑛𝜔𝑡)
𝑎𝑛 = − 2
𝜋
𝑛
𝜋
0
𝜋
−
0
sen(𝑛𝜔𝑡)
𝑑(𝜔𝑡)
𝑛
0
𝜋
𝑎𝑛 = −
40 cos𝑛𝜔𝑡
𝜋 2 𝑛2
𝑎𝑛 = −
40
cos𝑛𝜋 − 1 , para 𝑛 impar
𝜋 2 𝑛2
𝑎𝑛 =
0
80
, para 𝑛 impar
𝜋 2 𝑛2
(Note que para 𝑛 par 𝑎𝑛 = 0, como era de esperar)
La serie de la corriente es
𝑖=
80
1
1
1
cos𝜔𝑡 + cos3𝜔𝑡 + cos5𝜔𝑡 + cos7𝜔𝑡 + ⋯
2
𝜋
9
25
49
La tensión en los bornes de la bobina es
𝑣𝐿 = 𝐿
𝑑𝑖
80 𝑑
1
1
1
= 0.01 2
cos𝜔𝑡 + cos3𝜔𝑡 + cos5𝜔𝑡 + cos7𝜔𝑡 + ⋯
𝑑𝑡
𝜋 𝑑𝑡
9
25
49
𝑣𝐿 = −0.01
80𝜔
𝜋2
1
1
1
sen𝜔𝑡 + sen3𝜔𝑡 + sen5𝜔𝑡 + sen7𝜔𝑡 + ⋯
3
5
7
400
1
1
1
sen𝜔𝑡 + sen3𝜔𝑡 + sen5𝜔𝑡 + sen7𝜔𝑡 + ⋯
2
𝜋
3
5
7
∞
400
𝑠𝑒𝑛(2𝑚 − 1)𝜔𝑡
𝑣𝐿 = −
, 𝑐𝑜𝑛 𝜔 = 500
𝜋2
2𝑚 − 1
𝑣𝐿 = −
𝑚 =1
9
Universidad de San Carlos
Facultad de Ingeniería
06/08/12
Departamento de Matemática
Matemática Aplicada 2N
Por lo que 𝑣𝐿 es simétrica de media onda impar con periodo 2𝜋.
Observe que esta serie tiene la misma estructura con signo opuesto a la del ejemplo 1. Así pues,
𝑣𝐿 es una onda rectangular opuesta a la gráfica presentada en dicho ejemplo. Su gráfica hasta la
19 armónica es,
4
0
0
f
3
0
0
2
0
0
1
0
0
(
x
)
0
-
1
0
0
-
2
0
0
-
3
0
0
-
4
0
0
-
1
0
-
5
0
5
1
0
Ejercicios para práctica
1. Verifique el tipo de simetría de la onda diente de sierra 𝑓 𝜔𝑡 = (𝑉 𝜋) 𝜔𝑡 − 𝜋 , 0 <
𝜔𝑡 < 2𝜋 y halle su serie. Compruebe su resultado con algún software o calculadora y
grafique.
2. Determine la serie de la forma de onda del ejemplo 2 si la 𝑇 = 2𝜋.
Bibliografía
1. Arrillaga, J., Watson, N, (2003) N. Power System Harmonic s. Wiley
2. Edminister, J. (1970) Circuitos eléctricos. McGraw-Hill.
10