TEMA 1: NÚMEROS RACIONALES Aunque duela, no nos queda
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TEMA 1: NÚMEROS RACIONALES
Recuerda
Aunque duela, no nos queda más remedio que recordar cosas sobre números para
estar en condiciones de “encontrar” otros números “nuevos”.
Verás que muchos ejercicios ya sabes hacerlos. Si es así, haz unos pocos para
refrescar la memoria, y si ésta flojea tienes más para recordar.
Ejercicios
Realiza las siguientes operaciones:
1. (+3)+(+8)=
2. (-13)+(-8)=
3. (+13)+(-8)=
4. (-13)+(+8)=
5. (13)+(+8)=
6. (-38)-(-12)=
7. (+38)-(+12)=
8. (-38)-(+12)=
9. (+38)-(-12)=
10. (+56)+(+72)=
11. (-56)+(-72)=
12. (+56)+(-72)=
13. (-56)+(+72)=
14. (+42)-(-47)=
15. (+42)-(+47)=
16. (-42)-(-47)=
17. -56+72=
18. 42-47=
19. (-42)-(+47)=
20. (+5)·(+8)=
21. (-5)·(-8)=
22. (-5)·(+8)=
23. (+5)·(-8)=
24. (+9)·(+6)=
25. -5·8=
26. 5·(-8)=
27. 9·6=
28. (-9)·(-6)=
29. (+9)·(-6)=
30. (-9)·(+6)=
31. (-6)·(+4)=
32. (-7)·(-4)=
33. (-8):(-4)=
34. 0·(-5)=
35. 0:(-5)=
36. (-8)·0=
37. (-8):0=
38. (+1)·(-7)=
39. (+1)·(+8)=
40. (-1)·(-1)=
41. (-1):1=
42. (-1):(-1)=
43. 3:0=
44. -72:12=
45. -72:6=
-5-
Ejercicios
Realiza las siguientes operaciones:
46.
15
5
47.
39
13
75
15
90
51.
15
6
54.
3
48.
49. 0:(+5)=
50. (-60):(-12)=
52. (-200):(-40)=
53. (-200):(+40)=
55. Opera:
a) (-2)4=
b) (-2)3=
c) (–2)1=
d) (-3)3=
e) (-1)73=
f) (-1)214=
g)
81 =
h)
81 =
i)
1=
j)
1 =
k)
0=
l)
100000000 =
56. Rellena los huecos que hay:
a) 8+
d)
g) 2·
j) 10:
=10
+3=10
=-8
=-5
b) –2+
e)
=-5
+4=-2
h) 3·
=15
k) –15:
=5
c)
+4=7
f) 15+
=15
i) –5·
=10
l) 6:
=2
57. Opera:
a) (+5)+(+3)-(-2)= ___________________________________
b) (+6)·(-3):(-2)= ___________________________________
c) –3+(-5).6= ________________________________________
d) 3-2·(-4)= _________________________________________
e) (3+(-2))·7= _______________________________________
-6-
Ejercicios
f) –6+6:2= ___________________________________________
g) (4-7)·(5-3)= ______________________________________
h) (12-45):(5+(-8))= _________________________________
i) 3-(5-2+3)= ________________________________________
j) 7-(-5+4·3)= _______________________________________
k) –2-5+16:2-0·7-15:5= _______________________________
l) 7·(5-2)-12:(8-5)-(9-8-1)= _________________________
m) 8:2-15:(7-10)+4·(2-3)= ____________________________
n) 8-4·3-12:3-5+7·(9-6)= _____________________________
o) –3·6·(-1)·(-2)= ___________________________________
p) 32+22·(-2)3- 16 = __________________________________
58. Realiza las operaciones:
a)
(-5)·(-2)·(+4)·(-1)=
b)
(-3)·(-1)·(-2)·(+5)·6=
c)
(-3)·(-1)·(-2)·(-1)·4=
d)
(-1)·(-5)·(-6)·5·2·(-1)=
e)
(-2)·(-2)·(-2)·(-2)·(-2)·(-2)=
f)
(-9)+(+5)+(-6)+(-4)=
g)
(-7)+(-3)+8+(+3)=
h)
(-2)+(-5)+(-6)+(-8)=
i)
-9+4-(-7)-(+2)=
j)
10-(-12)-(-6)+(-3)=
k)
-9+4-(-6)-(+3)=
l)
4-(-5)-(-10)-2=
-7-
Ejercicios
59. Realiza las siguientes operaciones:
a) 7·(4+3)-[6:(2+1)]+6= __________________________________
b) (13+2-5):2+{(24-6+1)·7-[(5+8)-12]+2}= _________________
c) –7-9+19-3+8= __________________________________________
d) –2-(-8+6+4-1)= ________________________________________
e)4-(1-8)+5·3= ___________________________________________
60. Realiza las siguientes operaciones:
a) 15-(8-3-7·2)= _________________________________________
b) 8-(-7+3-1)= ___________________________________________
c) 6-[9-(5-7)+4]= ________________________________________
d) 6-[3-(8-5)+2]= ________________________________________
e) 5+3·(-2)= _____________________________________________
f) 3·(4+1)-(-4)·3-6+4= ___________________________________
g) 4·(3-4)+5-2+7·(-10)= __________________________________
h) -(-10)·(10-1)+(3-5)·4-10= _____________________________
i) -(-10)·(-2)-(7-3)·(-4-2)= _____________________________
j) 9:3-(6+4)-9-2-1-(5-6)= ________________________________
k) [(-3)·(+4)-4]:(-3+5)= _________________________________
l)
3 4 4
35
__________________________________________
m) [(-7)·(-1)-4-3]:[-5-6-1]= _____________________________
n)
7 1 4 3
5 6 1
________________________________________
o) [-4+4·(-3)]:[(-3+2)·(-2)]= ____________________________
p)
4 4 3
___________________________________________
3 2 2
-8-
Ejercicios
61. Sacar factor común lo que puedas y calcula:
a) 3·(-5)+3·12= __________________________________________
b) (-8)·6+(-8)·3= ________________________________________
c) 3·9-3·8= ______________________________________________
d) –20·8+(-20)·5= ________________________________________
e) 2·5+3·5-6·5= __________________________________________
f) 3·7-3·2+4·3= __________________________________________
g) 5·2+5·7-5·1= __________________________________________
h) 5·2+5·7-5= ____________________________________________
i) –4·3-4·2-4= ___________________________________________
62. Calcula de dos formas distintas, como en el ejemplo:
3-(-2+5-1) = 3-(2) = 1
3-(-2+5-1) = 3+2-5+1 = 1
a) 7-(4-3)=
b) 5-(-2+4)=
c) –(-1-2-3)=
d) 3-(4-(5-1))=
e) 3-(4+(5-1))=
f) 3-(4-(5+1))=
g) 3-(4+(5+1))=
h) 3-(2-(3-(5-1)))=
i) 3-(-(-2))=
63. Escribe las siguientes fracciones:
a) Nueve veintidosavos = ________________________________
b) Tiene numerador 25 y denominador 17 = ________________
c) Representa un porcentaje del 15 % =
64. Halla
_________________
2
de las siguientes cantidades:
5
a) 100 _______________
b) 120 _______________
_______________
d) –75 _______________
c) 35
-9-
Ejercicios
65. Halla
35
de 500.
100
66. Halla el 35 % de 500.
67. Calcula:
3
de 160 =
4
4
c)
de 30 =
6
2
e)
de 9 =
3
a)
b)
d)
f)
5
de 35 =
7
5
de 40 =
8
3
de 50 =
5
68. En una clase hay 21 alumnos en total. Si
2
3
son chicas,
¿cuántos chicos hay?
69. Un tercio de los 24 alumnos de una clase va al colegio en
autobús, un sexto va en coche y el resto caminando. ¿Cuántos
alumnos van caminando?
70. Victoria tiene 32 € y Jorge 69 €. Victoria gasta los
su dinero y Jorge un sexto. ¿Cuál de los dos gasta más?
- 10 -
3
de
5
71. Un almacén comienza el día con 600 Kg. de manzanas. Por la
5
mañana venden una cuarta parte y por la tarde
partes.
12
a) ¿Cuántos Kg. vendió por la mañana?
b) ¿Cuántos por la tarde?
c) ¿Cuántos Kg. quedan sin vender?
72. Unos padres dejan de herencia para sus tres hijos 840.000
3
1
€ y en el testamento consta que a Juan le dejan
, a Ana
y
8
3
a Margarita el resto. ¿Cuánto le corresponde a cada uno?
73. Una ciudad tiene 30.000 habitantes. Los 2/3 tienen menos
de 50 años y los 5/8 de éstos tienen menos de 20 años.
a) ¿Cuántos tienen menos de 20 años?
b) ¿Cuántos entre 20 y 50?
c) ¿Cuántos más de 50 años?
74. ¿Podemos interpretar los números enteros como fracciones?
2
, que se pide:
3
a) Tiene numerador 6 ____________________________
b) Tiene denominador 18 __________________________
c) Tiene numerador –10 __________________________
75. Escribe la fracción equivalente a
76. Agrupa las fracciones que sean equivalentes:
2
1 3 4
4
9 6 30 21
, , ,
,
, , ,
,
3
2 2 6 8 6 9 45 14
- 11 -
Ejercicios
77. Simplifica al máximo las fracciones:
4
= ________________
6
12
c)
= ______________
18
100
e)
= ______________
20
4
g)
= ________________
2
a)
24
= _______________
36
75
d)
= ________________
100
0
f)
= ________________
8
22
h)
= ________________
33
b) -
78. Completa el término que falta para que sean equivalentes
los pares de fracciones siguientes:
a)
3
4
8
b)
10
3
2
c)
5
30
6
d)
8
120
9
79. Di si las siguientes simplificaciones son válidas:
2·3
3
2·5
5
2 3
d)
2
2
g)
2 3
2·3 2·5
j)
2
a)
2 3
3
2 5
5
2
0
e)
0
2·3
3
2
1
h)
2 3
3
2·3 2
k)
3
2
b)
3
0
3
3 5
2 3
3
3
2 5
5
5
2
1
f)
2·3
3
2·3·5
5
i)
6·4
4
2·3 2
l)
3 1
2
c)
80. Escribe los siguientes grupos de fracciones con el mismo
denominador, siendo éste el menor posible:
a)
3 4 3 2
, , ,
4 8 6 3
b)
3 4 7 0 13
_________________________________
, , , ,
6 3 1 2 9
c)
3 1 2 5
,
, ,
4 12 3 6
d)
1 1 1
, ,
2 3 5
_________________________________
_________________________________
_________________________________
- 12 -
Ejercicios
81. Opera y simplifica al máximo:
a)
c)
e)
g)
i)
k)
m)
o)
q)
s)
u)
2
3
7
7
7
3
15
15
2
5
10
10
4
3
6
4
1
5
3
3
6
4
2
3
5
12
9
8
7
6
5
5
7
6
6
2
5
3
2
2
5
3
2
5
3
9
9
4
5
6
17
17
17
4
5
6
20
20
20
2
1
5
3
5
2
3
6
3
5
4
7
9
4
5
6
3
5
2
8
6
5
3
5
1
12
8
2
5
3
2
2
5
( )
3
2
b)
d)
1
10
f)
h)
j)
l)
n)
p)
r)
t)
v)
82. Opera y simplifica:
1
1
( )
2
3
2
3
c)
( )
5
4
1
1
( )
2
3
1
1
d) 3 ( )
2
3
a)
b)
83. De un pastel, Juan se comió
2
1
partes y María
. ¿Qué
3
6
parte del pastel sobró?
- 13 -
Ejercicios
84. Opera y simplifica:
32
a) ·
65
34
d) ·
57
21
g) ·
34
3
j) 7·
2
6
1
m) :
4
2
2
p) : 4
5
1
s) : 3
3
42
b) ·
53
23
e) ·
34
2
h) ·6
3
5 3
k) :
2 4
3 5
n) :
6 2
2
q) 4 :
5
7 1
t) :
6 2
53
c) ·
65
53
f) ·
95
3
i) 5·
10
3
3
l) :
8
4
3 5
o) :
4
2
1
r) 3 :
3
0
u) 3 :
3
85. Opera y simplifica:
1 26
··
475
47
d) · : 2
54
a)
1 4
c) 3· :
6 7
5 6
f) ·
3 10
12
· ·3
47
2 3
e)
:
3 5
b)
86. Opera y simplifica:
2
a)
3
3
3
3
b)
2
2
4
3
c)
2
49
e)
16
4
g)
9
2
d)
5
81
f)
9
5
h) 1
4
2 2
i) 2
3
2
j) 22
3
87. Opera y simplifica:
3
5
a)
2·
8
6
5
4 7
c)
:
3
3 6
3
3
e)
2:
3
4
5
4 5
1
4 7
:
g)
3 4
6
3 6
2
2
5
· 2
7
6
47
1 2
d) 3 ·
:
58
6 9
1 2
7
:
f)
3 5
6
b)
- 14 -
Ejercicios
88. De un bote de pintura hemos gastado los 3/7 en pintar una
habitación y 2/5 de lo que quedaba en el comedor. ¿Qué
fracción de pintura queda en el bote?
89. Opera y simplifica:
a) 1 3·7 1
2
52
4
l)
7 4 1
3 3 6
b) 3· 2 5 1·2
5 12 2
34
m)
3:
c) 3·5·1 1 : 3
5 26
3 4
n)
13
1
·
24
4
d) 3·5 : 1
62 6
o)
2
1
1
1
3
4
3
5
e) 1 1·4 1 : 3
2
35
6 5
p)
5
5
8· 3·
9
9
f) 3·1·1 : 1 1
543
2
4
q)
1 4
1
1
·
3 5
6
2
g)
1 3
1
·
2 4
8
r)
7 3
1 2
: ·
9 5
4 3
h)
1 1
1
:
2 4
3
s)
1
1 7
1 11
· :
4 2
3 12
3
i) 1·1 1·1
24
39
t)
3
11 2
1
·
4
5 3
2
5
7
j) 1· 2
3
2
u)
1 2 1
2 3 4 7 : 2
3
1
5
1
k) :
2 3
6
4
- 15 -
5
11
·
4
24
Ejercicios
90. Opera y simplifica:
1 7
a) 1+ 2 3 4 · 13
5 6
b) 3+ 5·7 4 2 3 5·2 4 6·3 2
c)
1
2
2 1
2
1
2 3 1
: ·
5 3
5
3
7 2 3
1
2
d) 3 5 1 4 3 5 3 1
2
3
91. Opera y simplifica:
3
1 2
· 1
5
3 5
a)
=
2
2
4 3
3
3
1
2
1
5
3 =
2 : 6
b)
3
4
1
1
4
2
2 5
- 16 -
1
1
3 2 2
5
3
c)
=
1
3
2 3
4
4
12
1 3
·
:
3
5
3
2
d)
=
1
1
3 2 2 2
3
4
3 1
2
2 1 3 1 1
e) : :
=
4 4
3 5
2 10
5
3
4 1
2
23
:
·
5
3
3
52
f)
=
6
1
1 1 : 1
:
2
3
2
2
3
5
g)
h)
2
5
3
2
1 1
2
1
1
4 6
3
2
=
1
2
3
4
5
2
3
1
=
2
1
5
2
- 17 -
Ejercicios
92. Saca factor común, opera y simplifica:
a)
13
17
12
· · · =
25
25
25
b)
23
23
2
=
· ·
34
35
3
1
3
c) 2· 2· 2 =
5
5
d)
43
43
43
· · · =
74
75
76
93. Realiza las siguientes operaciones:
a) 7,84+53,9+697,4+38,25
b) 364,2+69,963+85+72,4
c) 6845,362-437,246
d) 593,74-46,5743
e) 43,25-68,34
f) 531,282-689,1111
94. Realiza las siguientes multiplicaciones:
a) 0,6·0,5
b) 0,63·1,2
c) 12,4·3,5
d) 6,52·3,4
e) (-6,53)·4,01
f) (-3,18)·(-2,17)
95. Realiza las siguientes divisiones dando el cociente con
dos decimales exactos:
a) 75,3:21
b) 32,18:(-12)
c) 753:2,25
d) (-3):2,22
d) 0,6:0,5
e) 75,3:2,25
- 18 -
96. El médico receta a Cristina un jarabe que contiene 95 cl.
¿Cuántas tomas necesitará para acabarlo si emplea una
cucharita de 5 cl.?
97 Un agricultor vende a una fábrica 1.400 Kg. de algodón.
¿Cuántas camisetas se podrán hacer si se gasta 0,35 Kg. en una
docena?
98. Juana recorre en bicicleta 28,56 Km. Andrés recorre el
triple que Juana y Luis el doble que Andrés. ¿Cuántos Km.
recorren entre los tres?
99. Opera:
a)
b)
c)
d)
e)
0,3+0,2·0,4=
(0,3+0,2)·0,4=
0,3·0,5+0,4:0,2=
(0,3·0,5-1)·2=
(-0,2)3=
100. Calcula mentalmente:
a)
d)
g)
j)
m)
p)
s)
v)
5·0,01=
47·0,1=
0,001·0,01=
975·0,1=
58·0,01=
2,13:10=
17,02·1000=
(0,1)7=
b)
e)
h)
k)
n)
q)
t)
w)
62·0,01=
53,8·0,1=
2,01·0,01=
975:0,01=
58:0,01=
2,13·0,1=
5,26:0,001=
0,01
- 19 -
c)
f)
i)
l)
o)
r)
u)
x)
-869·0,01=
-47,12·0,001=
975:10=
58:100=
2,13·10=
2,13:0,1=
(0,1)3=
0,000001
Ejercicios
101. Halla las cantidades que faltan:
a) 35,32·
=3532
c) 7,007·
=0,7007
e) 7536·
=7,536
g)
:1000=0,42
b)
d)
f)
h)
:100=45,68
:0,01=3,76
46,7·
=467000
:0,01=0,42
102. Completa los huecos:
a) 24=
b) 2
d) 10
=10000000
103. Opera:
e)
=8
=0,1
3
c)
f)
=-8
=10
[(0,01:0,01-0,01)·0,01]:100 = ___________________
Soluciones
TEMA 1:
1.
11
8.
-50
15.
-5
22.
-40
29.
-54
36.
0
43.
No existe
50.
5
55.
a)16
g)9
2.
3.
-21
9.
4.
5
10.
50
16.
128
17.
5
23.
16
24.
-40
30.
54
31.
-54
-24
37.
38.
No existe
-7
44.
45.
-6
-12
51.
-6
b)-8
h)No existe
5.
6.
-5
11.
-128
18.
-5
25.
-40
32.
28
39.
8
46.
3
52.
5
c)-2
i)1
21
12.
26
13.
-16
14.
16
19.
89
20.
-89
21.
40
26.
40
27.
-40
28.
54
33.
54
34.
2
35.
0
40.
0
41.
1
42.
-1
47.
1
48.
-3
53.
d)-27
j)No existe
- 20 -
7.
-26
49.
-5
0
54.
-5
2
e)-1
k)0
f)1
l)10000
Soluciones
56.
a)2
b)-3
c)3
d)7
e)-6
f)0
g)-4
h)5
i)-2
j)-2
k)-3
l)3
57.
a)10
i)-3
58.
a)-40
59.
b)9
j)0
b)-180
c)-33
k)-2
c)24
a) 53
60.
a)24
i)4
61.
b)13
j)-18
d)300
d)11
l)17
e)64
f)-3
n)8
g)1
c) 8
d)4
l)-8
a)3·(-5+12)=21
d)–20·(8+5)=-260
g)5·(2+7-1)=40
62.
a)6
f)-14
b) 139
c)-9
k)-8
e)7
m)5
h)-21
g)-6
o)-36
i)0
d) –3
e)–1
m)0
h)11
p)-27
j)25
k)–2
l)17
e) 26
f)25
n)0
g)–71
o)-8
b)–8·(6+3)=-72
e)5·(2+3-6)=-5
h)5·(2+7-1)=40
h)72
p)-8
c)3·(9-8)=3
f)3·(7-2+4)=27
i)–4·(3+2+1)=-24
63.
b)3
c)6
d)3
e)-5
f)5
g)-7
h)0
I)1
a)
9
22
b)
25
17
c)
15
100
64.
65.
66.
67.
a)40 b)48 c)14 d)-30 175
175
a)120 b)25 c)20 d)25 e)6 f)30
68. 69. 70.
71.
7
12 Victoria.
Mañana 150, tarde 250, quedan 200.
72.
Juan 315000, Ana 280000, Margarita 245000.
73.
Menos de 20 = 12500. Entre 20 y 50 = 7500. Más de 50 = 10000.
74.
Sí; 7=7/1
; -3=-3/1
75.
76.
2
4
6
30
10
9
21
12
1
4 3
6
a)
b)
c)
;
;
18
2
8 2
9
15
6
14
3
6
9
45
77.
78.
2
2
3
2
2
a)
b)
c)
d)
e)5 f)0 g)2 h)
a)6
b)15
c)36
d)135
3
3
4
3
3
79.
a)sí b)no c)no d)no e)no f)sí g)no h)sí i)sí j)sí k)no l)sí
80.
9 24 126 0 26
15 10 6
18 12 12 16
9
1
8 10
,
,
,
,
,
,
a)
b)
c)
d)
,
,
,
,
,
,
30 30 30
12 12 12 12
24 24 24 24
18 18 18 18 18
81.
4
1
5
4
3
2
15
17
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
15
15
7
9
5
17
20
12
67
15
21
19
23
17
17
23
i)
j)
k)
l)
m)
n)
o)
p)
9
12
10
5
3
5
24
2
115
19
11
19
19
q)-2 r)
s)
t)
u)
v)
6
6
24
6
6
82.
83.
23
5
1
23
1
a)
b)
c)
d)
6
20
6
6
6
84.
8
10
21
1
1
12
1
1
1
3
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)4 I)
j)
k)
5
2
2
6
2
35
3
2
15
3
3
1
1
1
1
7
l)
m)3 n)
o)
p)
q)10 r)9 s)
t)
u) no existe
2
5
3
10
10
9
- 21 -
Soluciones
85.
a)
3
35
b)
3
14
c)
7
8
e)
7
4
d)
7
10
e)
10
9
f)-1
86.
a)
8
27
b)
27
8
c)
9
4
d)
16
625
f)3
g)no existe
5
12
f)
87.
a)
31
24
b)
1
3
c)
59
21
d)
61
20
e)
10
23
g)
163
63
h)
64
3
i)
2
9
88.
j)
40
9
12
35
89.
a)47/20
b)1/12
c)-7/36
d)15/2
e)23/45
f)7/20
g)7/16
h)6/7
i)19/216
j)1
k)15/22
l)7/2
m)91/40
n)1/8
o)11/20
p)25/9
q)29/36
r)70/69
s)41/22
t)-19/30
u)-179/48
90.
a)1252/15 b)265/2 c)14/11 d)-16
91.
16
40
4
8
45
20
49
a)
b)
c)
d)e)f)1 g)
h)17
33
5
5
7
57
1575
92.
1 3
7
2
4
2 3
3
7
1
a)
b)
3 4
5
30
2 5
5
5
5
3
2
4 3
3
3
17
1
1
c)2
d)
7
4
5
6
35
5
5
5
93.
a)797,39
b)591,563
c)6408,116
d)547,1657
e)-25,09
f)-157,8291
94.
a)0,3
b)0,756
c)43,4
d)22,168
e)-26,1853
f)6,9006
95.
a) 3,58
b)-2,68
c)334,66
d)-1,35
e)1,2
f)33,46
96.
97.
98.
19
48000
285,6 Km.
99.
a)0,38
b)0,2
c)2,15
d)-1,7
e)-0,008
100.
a)0,05
b)0,62
c)-8,69
d)4,7
e)5,38
f)-0,04712
g)0,00001
h)0,0201
i)97,5
j)97,5
k)97500
l)0,58
m)0,58
n)5800
o)21,3
p)0,213
q)0,213
r)21,3
s)17020
t)5260
u)0,001
v)0,0000001
w)0,1
x)0,001
101.
a)100
b)4568
c)0,1
d)0,0376
e)0,001
f)10000
g)420
h)0,0042
102.
103.
a)16
b)3
c)-2
d)7
e)0,01
f)100
0,000099
- 22 -
TEMA 2: RADICALES
Recuerda
Ya conoces las potencias y sus propiedades básicas:
Definición:
n veces
a a.......a
n
n=1,2,3, ...
a0 = 1, a-n = 1/an
Propiedades:
an·am = an+m
(an)m =an·m
an:bn = (a:b)n
an:am = an-m
an·bn = (a·b)n
En particular:
2
3 = 3·3 = 9
2
2 2 4
3
3 3 9
(-4)2 = (-4)·(-4) = 16
a2 = a·a
2
Se define la raíz cuadrada de un número como la operación inversa a elevar al
cuadrado:
9 = 3 32 = 9
a = b b2 = a
Por supuesto que 32=9 y que (-3)2=9, con lo que podríamos decir que 9 es 3
o -3. Para evitar problemas convendremos que 9 =3 y - 9 =-3. Esto no está
en contra de que la ecuación 9 = x tenga dos soluciones posibles x=3 y x=-3.
A partir de la definición es evidente que la raíz cuadrada de un número
negativo no existe. Pero no debemos confundir la no existencia con la no
exactitud:
4 no existe pues ningún cuadrado da negativo.
2 no es exacto, pero existe (es la hipotenusa de un triángulo
rectángulo cuyos catetos miden 1)
1
90º
1
2 por Pitágoras
- 23 -
Ejercicios
1. Calcula:
a) 9
f)
25
36
9
4
b) 25
c) 7
d) 0,36
e)
g) 25a2
h) 16a2b4
i) 9a6b 2m4
j)
0,00000001
2. Di entre qué par de números consecutivos se encuentra:
a) 3
b) 18
e)
d) 6,32
c) 50
25
9
Observa
PROPIEDADES DE LAS RAÍCES CUADRADAS
1.
a ·b a · b pues:
2.
a
a
por lo anterior:
b
b
a = x x2 = a
b = y y2 = b
a ·b = z z2 = a·b
x2y2 = z2
(xy)2 = z2 xy = z
a ·b
=
b
a ·b a · b
ab
b
a =
x
x
b
b
3.
an a
n
n = 0, 1, 2, 3,…
si n = 0
a0 = 1 =
si n es positivo:
a
0
por definición.
a n a ·.......·a a
n
Por 1
n veces
si n es negativo: n=-7 por ejemplo
a 7
1
a
7
1
a7
Por 2
4.
a =a evidentemente
2
Conviene que recuerdes que con sumas y restas:
a b a b 9 16 25 5 9 16 3 4 7
- 24 -
1
a
7
a
Por lo anterior
7
3. Calcula de la forma más cómoda posible y sin calculadora:
25
0,0001
a) 4·9·16·100
b)
d) 8· 2
e) 10· 1000
g) 128 / 2
h) 4000 / 40
800
200
j)
m)
7
16
163
f) 50· 200
2500
i)
3600
8000
2000
l) a4b8c2
3
n)
3
o) 28
q) 25 81 256
r) 3a2
9
2 2
5
p) 1
s)
k)
c)
3
6
5
16
6a4
25a8
2
Observa
INTRODUCCIÓN Y EXTRACCIÓN DE FACTORES DEL RADICAL.
Observa:
8 23 22 ·2 22 · 2 2 2
32 25 22 ·22 ·2 22 22 2 2·2· 2 22 2
a9 a2 a2 a2 a2 a a2 a2 a2 a2 a a a a a a a4 a
Dicho de otra forma: En una raíz cuadrada “por cada dos de dentro sale uno
fuera”.
El proceso realizado tiene dos nombres según lo miremos:
Así: Extraer factores del radical.
Así: Introducir factores dentro del radical.
Ejercicios
4. Extrae factores del radical, opera y simplifica:
a) 12
3
f) 8a
k)
x 10
y3
g) 48b
l) 2a3
17
4
h) x y
m)
3
48x 3
125y 4
- 25 -
e)
81
8
3
j)
x 11
y8
8x 3
y2
o)
27
4
d)
c) 48
b) 72
i) 27xy
n)
1
x
2x
3y
81y 4
8x 3
5.Introduce
simplifica:
lo
que
a) 5 2
b) 3 8
f)x
g) x
k)
x2
y
y
x
l)
puedas
dentro
c) 2 5
1
x
3x
2y
3 2
2 3
x y
m)
2
radical,
8
i)
2
a
n)
xy
6
opera
y
e)3
d) 7 a
h)
2y
3x
del
ax
2
2
3
1
8
2
x 2y 3
o)
ab 2
j)
ab
xy
Observa
OPERACIONES CON RAÍCES CUADRADAS: LA SUMA Y LA RESTA.
Extrayendo factores del radical se pueden agrupar las raíces iguales. Por
ejemplo:
27 5 3 2 12 =
33 5 3 2 22 ·3 = 3 3 5 3 2·2 3 = =
3 3 5 3 4 3 = 4 3
Ejercicios
6. Opera y agrupa lo que puedas:
a) 6 3 4 3 5 3
c) 6 3 4 3 3
e) 23 5 2 7 32 5 3
g) 3 2 3 8 3 18
i) 2a 2
8 3 2
k) 7 54 3 18
24
3
50
5
6
b) 3 2 5 2 8 2
d) 2 3 3 2 2 3
4
1
19
f) 6 3
3
3
3
3
2
6
h) 2a 3 27a2 a 12
3
2
3
j) 4 12
48
27
75
2
3
5
3
1
l)
20
45 125
4
3
7. Opera y agrupa lo que puedas:
2
3
6
48
8
32
8
32
128 5 50 b)
27 3 72
5
4
4
2
3
6
d)
3
2
3
3
c) 4 12
48
27
75
7 54 3 182 242
50 6
2
3
5
5
a)
Observa
OPERACIONES CON RAÍCES CUADRADAS. EL PRODUCTO.
Igual que siempre:
5·(3+4)=5·3+5·4=35
(5+2)(3+4)=5·3+5·4+2·3+2·4=49
2 2 3 = 2 2 2 3 =2 6
2 3
2 3 = 2 2 2 3 3 2 3 3 =2 6 3 2 3 3
- 26 -
Ejercicios
8. Opera y agrupa lo que puedas:
3 2 6 1
d) 2 2 3 3 2 3 4 2
g) 3 3 42 5 3
j) 2 3
b) 3 2 3
a)
h)
k)
e)
2
5 2 3
2 3
5 2 3
52 3
2
2
c) 3 2 1 2 3 1
5 3
i) 3 2 43
l) 1 2
2
f)
24
2
Observa
OPERACIONES CON RAÍCES CUADRADAS. EL COCIENTE.
No se divide nunca entre una raíz cuadrada. Lo que se hace es transformar la
división en una multiplicación mediante un artificio conocido como
“racionalización de denominadores” que consiste en hacer desaparecer las raíces
cuadradas del denominador. Dicho de otra forma: cambiamos nuestra división por
otra cosa, multiplicando dividendo y divisor por lo mismo para no cambiar nada.
Veamos algún ejemplo:
3
3 7 3 7
·
7
7
7 7
3
7 5
3
3
·
7 5
=
3 7 3 5 3 7 3 5
7 5
2
7 5 7 5
3
5 3
15 3
15 3
·
=
5 3
2
5 3
5 3 5 3
3
3
7 5 21 3 5 21 3 5
·
=
49 5
44
7 5 7 5 7 5
5
3 2
5
·
3 2
3 2 3 2
=
15 2 5
15 2 5
2 5 15
34
1
En los últimos cuatro ejemplos se ha multiplicado y dividido por el conjugado del
denominador. El conjugado de (a+b) es (a-b) y el de (a-b) es (a+b).
Ejercicios
9. Racionaliza, opera y simplifica:
a)
1
5
f)
5
2
k)
1
2
p)
a b
a b
5
5
2
g)
3
b)
3
2 6
2
5
h)
3 3
2
m)
2 1
c)
l)
1
1
q)
5 2
3 2 5
2
2
r)
3 5 2 3
2 3 3 5
- 27 -
27
8
3
i)
2 x
2
n)
3 2
x
s)
2 x
d)
e)
2
3
1
2 3
1
o)
3 2 5
j)
t)
1
1
3
3
Observa
RAICES DE OTROS ÍNDICES
Igual que se definió la raíz cuadrada como:
72=49 49 =7
x =y y2=x
Podemos definir:
23=8 3 8 =2 (Raíz cúbica de 8 es 2)
34=81 4 81 =3 (Raíz cuarta de 81 es 3)
210=1024
10
1024 =2 (Raíz décima de 1024 es 2)
En general:
an=b
n
b =a
n=1,2,3,4,…
Si no se pone índice, se entiende raíz cuadrada (índice 2). Se llama índice a n.
Ejercicios
10. ¿Cuándo existe la raíz de un número negativo?
11. Calcula:
a) 4 16
g) 3
27
8
b) 3 8
c) 3 8
d) 4 16
e) 5 32
f) 5 32
h) 3 0,064
i) 10 1
j) 3 a6
k) 4 b 8
l) 4
81
16
Observa
PROPIEDADES DE LAS RAÍCES
1.
n
a ·n b n a ·b pues:
n
n
n
2.
n
a =x xn=a
b =y yn=b
a ·b =z zn=ab
a / n b n a / b por lo anterior:
n
n a ·b
a ·b
a ·n b n a ·b n
na n
b
b
nx
x
n
nb
b
- 28 -
xnyn=zn (xy)n =zn xy=z
Observa
3.
n
a m n a
m
n=0, 1, 2, 3,…
Si m=0
n
a 0 n 1 1 n a por definición.
0
Si m es positivo:
n
a m a ·.....·a n a n a ·.....·n a n a
m
m veces
m veces
Si m es negativo: m=-7 por ejemplo
n
a 7 n
1
a
7
1
n
a7
n
1
a
n
a
7
n
7
por lo anterior
por 2
a n =a evidentemente.
4.
n
5.
n m
a nm a porque:
n m
m
nm
a =x xn= m a
a =y ym=a
a =zznm=a(zn)m=a
ym=(zn)m
y=zn
zn=y=xn
6.
n
a nm a m porque:
z=x
n
a =x xn=a am=(xn)m=xnm
nm
a
m
m
xnm=ynm
nm
=y a =y
x=y
Ejercicios
12. Calcula de la forma más cómoda posible:
d) 3
c)
b) 5 243·32·0,00001
a) 3 8·27·64
8
0,064
e) 5
13. La sexta propiedad
como en el ejemplo:
6
8
6
243
32
nos
23
f) 3 0,0012
permite
6:3
25
0,0001
23:3
2
“simplificar
21
radicales”
2
Hazlo con:
a) 4 4
b) 4 9
c) 6 27
d) 10 75
e) 10 72
f) a2
g) 12 a2
h) 12 a4b 8
i) 12 a
j) 12 a6 b 4
k) 24 a12b 8
l) 24 a8b6
- 29 -
Observa
EXTRACCIÓN E INTRODUCCIÓN DE FACTORES EN EL RADICAL
A partir de las propiedades tenemos por ejemplo:
3
a 4 3 a 3 ·a 3 a 3 3 a a 3 a
3
a 5 3 a 3a 2 3 a 3 3 a 2 a 3 a 2
4
a 7 4 a 4a 3 4 a 4 4 a 3 a 4 a 3
5
a 12 5 a 5a 5a 2 5 a 5 5 a 5 5 a 2 =a·a· 5 a 2 a 2 5 a 2
A este proceso se le llama extraer factores del radical.
Al proceso inverso se le llama introducir factores dentro del radical.
Ejercicios
14. Extrae factores del radical:
a) 3 16
b) 3 54
c) 5 64
d) 8 1024
e) 3
81
32
f) 3
16a4
b3
15. Introduce los coeficientes dentro del radical:
1 27
e) 4
b) 23 5
d) a2 4 b
a) 25 2
c) 4 2
3 2
g) 7 a18
f)
3
2
3
16
81
16. Escribe con un solo radical y simplifica:
16
a)
b)
f) 3 32
8
d) 3
c) 2 2
g) a a
h) 3 3
1
9
x
i) a3
e) 2 3 4
1
a
j) a2 a2
Observa
OPERACIONES CON RADICALES: LA SUMA Y LA RESTA
Funcionan exactamente igual que con raíces cuadradas:
3
2 36 4 3 2 36 22 3 2 33 2 43 2
Habrás visto que siempre, antes de hacer algo, conviene simplificar los radicales.
Ejercicios
17. Opera y simplifica:
a) 3 54
3
16
c) 3 54
3
16
b) 6 16 33 4
3
250
d) 4 162
- 30 -
4
32
4
1250
Observa
OPERACIONES CON RADICALES: EL PRODUCTO
Igual que se hacía con raíces cuadradas. Sólo hay que tener en cuenta que el
índice de las raíces debe coincidir:
2·3 4 6 23 6 4 2 6 23 4 2 6 27 26 2
Ejercicios
18. Escribe los siguientes grupos de radicales con el mismo
índice y procura que éste sea el menor posible:
a) 3, 3 2
b) 3 4, 5 2
d) 2, 3 5, 5 x
c) 3 7, 6 x
19. Efectúa las operaciones que se indican, extrae los
factores que puedas del radical y simplifica:
a) 4 2·3 2
b) 5·3 6
c) a·3 a
d) 2·3 2·4 2
e) 3·5 5
f) 35 56 2
g) 33 32 6 35
h) a3 a2
i) 5 a2 6 a4 3 a
j) 8 :
k) 3 3 : 3 81
l) 2 :
p)
10a 5
3 6a
3
m)
2
q) 3 6a5 :
3
2a2
23 2
·
3 3
n) 3 a·6 a :
r) 23 9 27
s)
5
a3
2
o) 3 16·3 2
2
4
Observa
RACIONALIZACIÓN DE DENOMINADORES.
De la misma forma que se hacía con las raíces cuadradas, se pueden quitar otras
raíces del denominador. La técnica es más complicada, pero en algunos casos
podemos hacerlo de forma parecida a la vista en raíces cuadradas:
1
7
x4
1
7
x4
·
7
x3
7
x3
7
x3
7
x7
7
x3
x
Ejercicios
20. Racionaliza los denominadores de:
1
a) 3
2
3
b) 3
3
c) 3
3
2
d)
1
5 2
21. Pide al profesor que racionalice:
- 31 -
e)
3
3
1
3
3
2
2
7
23
f) 3
2
4
Soluciones
TEMA 2:
1.
a)3 b)5 c)No existe d)0,6 e)3/2 f)5/6 g)5a h)4ab2 i)3a3bm2 j)0,0001
2.
3.
a)1 y 2 b)4 y 5
a)240 b)500 c)64 d)4 e)100 f)100 g)8 h)10 i)5/6
c)7 y 8 d)2 y 3 e)1 y 2
j)2 k)2 l)a2b4c m)64 n)27 o)16 p)2 q)30 r)2a s)4
4.
5.
3
9 1
a) 2 3 b) 6 2 c) 4 3 d)
3 e)
2 2
2
a) 50 b) 72 c) 20 d) 49a e) 9 f) x 2
8
2
f) 2a 2a g) 4b 3b h) x y y i) 3y 3xy
3
2x
x3
3x
g) x h)
i)
j) 2 k)
l)
5
5
x
1
x
y
2
2y
a
j)
l) a 2a m)
x k)
y
y
y4
2 2
x 3y 5
2 n) x y
m)
o)
2
x
y
2
1
4x
3x
54
n)
2x o) 3y
ab 3
2
y
5
2
x
5y
6.
7.
84 2
b) 5 3 18 2 c)
5
23 3
d) 20 6 2 30
2
a) 7 3 b)0 c) 3 d) 3 2 4 3 e) 55 5 2 7 3 f) 2 3
g) 6 2 h) 3a i) 2a 1 2 j) 7 3 k) 22 6 12 2 l)
8.
11 5
2
9.
a) 2 2
3
c) 2 6
b) 3
3
5
3 6
6
2 3
5 3
10
b) 5 c) 2 3 d)
e)
f)
g)
h)
4
3
3
9
5
2
3 2 x
i)
j) 3 2 k) 2 3 l) 2 2 3 m) 2 2 2
2 x
2 3 3
3 2 5
5 4
a2 b2
n)
o)
p)
q)
r)
7
11
11
a b
6
a)
2 d)
2 8 6 e)-7 f)
8 2 15 g) 37 14 3 h)
17 4 15 i)2 j)
5 2 6 k) 5 2 6 l)
19 4 15
x 2 x
s)
11
4 x
3 2 2
10.
Cuando el índice
es impar.
13.
a) 2 b) 3 c) 3
h) 3 ab 2
e) 5 7
d) 7
j) 6 a3b 2
i) 12 a
t) 3 2
11.
a)2 b)2 c)-2 d)No existe e)2 f)-2
g)3/2 h)0,4 i)1 j)a2 k)b2 l)3/2
14.
15.
6
k)
a3b 2
a) 23 2
g) 6 a
f)a
3
2
l) 12 a4b6
3
a) 64 b) 40 c) 32 d)
4
3
3
4
f)
1
2
f) 3
a b e) 4
6
3
2a 3
2a
b
17.
g) 4 a3
d) 24 2
g) a27 a4
a) 3 2
c)0
h)1 i) 3 a j) a3
e)
b) 43 4
d)0
19.
a) 6 27, 6 4 b) 15 45 , 15 23
a) 12 27 b) 6 532232 c) 6 a5 d) 212 2 e) 10 3552 f) 30 3105625
c) 6 49, 6 x d)
30 15
2 , 30 510,
30
h) a6 a i) a5 a2
x6
20.
3
c) 25 2
a)2 b) 4 8 c) 4 8 d) 6 x e) 4 24 f) 6 32
8
18.
12.
a)24 b)0,6 c)500
d)5 e)3/2 f)0,01
b) 33 2
16.
5
o)2 3 4
j)2 k)
g)9
1
32
1
l) 6 2 m) 6
n) 10
243
3
a
r) 186 3 s)4
q) a3 3
p)5/3
21.
3
4
12
b) 3 9 c)
d)
2
2
3
4 /10 e) 14 2 f) 3 2
a)
a)
3 2
3
·
3
3
3 2 3 32
1
3
3
3·2
3
22
3·2
3
2
- 32 -
2
3
9 36
3 2
3
4
3
9
3
6
3
4
TEMA 3: EXPONENTES Y LOGARÍTMOS
Recuerda
POTENCIAS DE EXPONENTE NATURAL
Potencia: es un producto de factores iguales:
25 2 2 2 2 2 32
n
veces
n
4
a
a
.......
a
3 3 3 3 3 81
10 7 10 10 10 10 10 10 10 10.000 .000
a=Base
n=Exponente
Propiedades de la potenciación:
23·24=(2·2·2)(2·2·2·2)=2·2·2·2·2·2·2=2 7= 23+4
an·am = an+m
27:24=cosa (cosa)·24=27 cosa=23 cosa=27-4
an : am = an-m
(24)3=24·24·24=24+4+4=23·4
( an)m = an·m
24·34=(2·2·2·2)·(3·3·3·3)=(2·3)·(2·3)·(2·3)·(2·3)=(2·3)4
an · bn = (a · b)n
64:24=cosa cosa·24=64 cosa=34 cosa=(6:2)4
an : bn = (a : b)n
¡ Y aquí se acaban las propiedades. No inventes otras !
Ejercicios
Son sólo para recordar. En condiciones normales, no hace falta
que los hagas todos. Si te cuestan los que vienen después,
busca tiempo y vuelve a hacer éstos.
1 Escribe con una sola base y un solo exponente:
a) 25·27= _________
b) 28:25= _________ c) 37·34= _________
d) 34·3=
e) 75:72= _________ f) (33)2=
_________
________
g) (33)3= _________
h) (52)4= _________ i) 84:24= _________
j) 63:23= _________
k) 53·33= _________ l) 122:42= ________
m) 32+42= _________
n) 52-32= _________ o) 23·45= _________
p) 82:43= _________
q) (-2)3·(-2)4= ___ r)(-2)7:(-2)3= ____
- 33 -
Ejercicios
2 Opera de la forma más cómoda posible:
a) 503·23= _________
b) 153:53= _______________
c) 32+42= __________
d) (23)4:(25·24)= _________
3. Calcula:
3
a)(-2)3= ___________
1
b) = _________
2
c)(-3)2= _________
d)(0,1)4= __________
e)(-0,1)4= _______
2
f)
3
2
________
4 Calcula:
a)(-2/3)3=
b)(0,2)4=
c)1995=
d)(-1)1974=
e)042=
f)1141=
g)(-4)1=
h)(-4)2=
i)-42=
j)-104=
k)-(-1/2)3=
l)(0,3)2=
m)(0,01)4=
n)(1’1)2=
o)(-1)75=
5. Calcula de la forma más cómoda posible:
a)26·56= _________________
c)
e)
206
26
152
52
=
(1000)8
b)
(100)8
_________________
123
d) 3
4
_________________
f)203·53=
g)(103)4= ________________
__________________
_____________________
h)(52·22)3=
____________________
__________________
i)27·211-(23)6= _____________________________________________
2
j)
3
k)
25
2 20 2 5
: · _____________________________________
3 3
218 222
l)1-
237
2 ___________________________________________
317 325
350 : (35)2
___________________________________________
- 34 -
6. Escribe con una sola base y un solo exponente:
a)(-2) ·(-2)·(-2) =
1 2 1 4
1 3
b) · :
3 3
3
c)[(-5)4]7=
d)(-2)3·(53)=
3
2
7. Indica el signo del resultado sin hacer la operación:
a)(-2)6
b)(-7)3
c)(-5)51
d)(-6)18
8. Calcula x en las igualdades siguientes:
a)(-4)x·(-4)4=(-4)7
b)6x:65=67
c)(32)x=310
2
d)
3
e) (-9)x:(-9)3=(-9)2
f)(3x)5=320
3
2
3
x
9
2
3
9. Calcula de la forma más cómoda posible:
a)(-7)2-62= ______________
b)(-2)2·(-3)2= _______________
42
c)2 =
8
________________
52
53 _____________
d)2·3 5
e)72-71=
________________
f)52+3-53·23=
2
g)(-6)3:23+23·32=
_________
2
________________
h)-(-2)2·3+(-2)3·(-3)3=
______
10. Calcula:
a) 1+5·{(312·34)3:(36)8}-2= _______________________________
b) (53)15-2+5·3-(2+1)·4-(59)5= ____________________________
- 35 -
Recuerda
EXPONENTES NEGATIVOS
Vamos a usar las propiedades de potencias, a ver que sale:
75
7
=
5
= 75-5 = 70
5
a0=1
0n=0
75
7
8
00 plantea problemas
00 no existe
7 7 7 7 7
1
7 7 7 7 7 7 7 7 73
7-3=
75
7
8
a0=1
70=1
75
7
Un número
=1
Mismo número
1
73
a-n=1/an
7 5 8 7 3
Lo dicho puede parecer extraño, pero es lo que sale y además tiene sentido.
(Las cosas son como son, no como nos gustaría)
Imagina que una determinada bacteria duplica el número de sus individuos, y
por tanto su peso, cada día y que el miércoles había 1 gramo de bacterias. El
problema se puede describir así:
Nº Día
-3
-2
-1
0
Día
Domingo
Lunes
Martes Miércoles
Número 0,125 gr 0,250 gr 0,500 gr
1 gr
gramos
2-3
2-2
2-1
20
2-3=1/23 2-2=1/22 2-1=1/21
20=1
1
Jueves
2 gr
21
2
Viernes
4 gr
22
Ejercicios
11. Calcula:
a)50=
e)03=
b)70=
f)00=
c)10=
g)(0,2)0=
- 36 -
d)(2/3)0=
h)(-3)0=
3
Sábado
8 gr
23
Ejercicios
12. Calcula:
a)2-3= ____________ b)3-2= ___________
c)4-1= ____________
d)0-1= ____________ e)(-2)-2= ________
f)(-2)-3= _________
2
g)(-3) = _________
5
j)
2
1
m)
2
1
2
h)
3
2
2
i)
3
= _________
5
l)
2
2
= _________
5
k)
2
= _________
a
n)
b
3
= _________
1
= _________
3
= __________
3
a
o)
b
= __________
2
= __________
13. Halla el signo de las siguientes cantidades:
a)(-2)2
d)(-2)-3
b)(-2)-2
e)(-2)0
c)(-2)3
f)(2/3)-3
14. Utiliza las propiedades de potencias para operar y
simplifica al máximo el resultado:
a)[(-2)4]2:(-2)2·(-2)-6= __________________________________
2
b)
3
2
4
2
3
2
3 3
: _______________________________
2 2
c)1+2-1+3-2= ______________________________________________
1
d)
2
1
1
4
2
1
3
3
__________________________________
e)2-2·2-3·26= _____________________________________________
f)(2-2)-3= ________________________________________________
g)(2-2·2-3):(3-1·32)= ______________________________________
h)6-4:3-4= ________________________________________________
i)1-(1+1/2)-3= ____________________________________________
j)(-2)-14·(-2)16+32·3-2= ____________________________________
- 37 -
Y seguimos...
1
k)
4
5
1
4
7
3
___________________________________________
6
1
1
l)
___________________________________________
9
9
1 2 3 3
m) __________________________________________
5
3
15. Calcula y simplifica al máximo el resultado:
3
3 5
a) :
4 6
32·(2)
b)
6
2
3
2 3
15
3
4
0
3
3
3
4
3
7
c) :
5
5
3
2
11
5
1 2
d) 1
2
10
16 2 2 53
: 510 : 5 19
2 2
e) ((-2)3)-2·(-2)7+ 1 =
3
16. Observa que 10-1=
a)10-2=
c)10-4=
1
=0,1. Escribe en forma decimal:
10
b)10-6=
d)10-8=
17. Escribe como potencia de 10:
a)100=
d)0,01=
b)1000000=
e)0,000000001=
- 38 -
c)0,000001=
f)0,00001=
18. Escribe en forma decimal:
a) 3·10-6=
b) 7·10-3=
c) 5·103=
d) 6·104=
e) 7·10-4=
f) 3+7·10-1+5·10-2=
g) 5·10-1=
h) 8·10-3=
i) 42·10-2=
j) 13·10-2=
k) 15·10-3=
l) 2·102+3·10+7·10-2=
19. Calcula:
a)3,2·102=
b)0,527·102=
c)0,0023·103=
d)45·10-3=
e)1,234·103=
f)-2,5·102=
g)45·10-2=
h)0,45·10-1=
i)423,2·10-3=
20. Escribe como una potencia de base 10:
a)10·103·10-4·105=
b)10-1·10-4=
c)10-3·103=
d)105:102=
e)10-1/10-3=
f)105·10-2=
g)10-3:102=
h)25·55=
i)203:23=
j)64+44=
k)153-53=
l)23·54=
21. Halla n para que se cumplan las igualdades:
a)25·10n=2500
c)4·10n=4
e)0,23·10n=0,023
g)45·10n=0,45
b)5,4·10n=54000
d)100·10n=1
f)320000·10n=0,32
h)45·10n=0
Recuerda
POTENCIAS DE EXPONENTE FRACCIONARIO
Volvamos al ejemplo de las bacterias. Teníamos un gramo de ellas que duplicaban
su peso cada 24 horas. La fórmula que nos daba el peso en gramos de las
bacterias desde que empezamos a medirlo (1 gramo) era:
Peso = 2Nº días transcurridos
y nos servía:
para hoy: 20 = 1 g
para mañana: 21 = 2 g
para pasado mañana: 22 = 4 g
para ayer: 2-1 = 1/2 g
para anteayer: 2-2 = 1/4 g
- 39 -
Recuerda
Por supuesto que pesamos las bacterias siempre a la misma hora (pongamos a las
12 h de la noche).
¿Qué pasaría si pesáramos las bacterias a las 12h del mediodía de
mañana? Tendrá que haber 21/2 g.
¿Qué pasaría si lo hacemos a las 12h del mediodía de pasado
mañana? Tendrá que haber 23/2 g.
¿Qué pasaría si lo hacemos a las 12h del mediodía de ayer? Tendrá
que haber 2-1/2 g.
¿Qué pasaría si lo hacemos a las 6h de la mañana de mañana? Tendrá
que haber 21/4 g.
¿Qué pasaría si lo hacemos a las 8h de la mañana de mañana? Tendrá
que haber 21/3 g.
Además, deberá suceder que 23/2 sea el doble de 21/2 (han pasado 24 horas), y así
con todo.
Dicho de otra forma: Tenemos que dar un sentido y un valor a 2 1/2, 21/3, 21/4, 23/4,
etc, y además deben cumplirse las propiedades de potencias.
Puedes hacer ensayos, pero verás que fallan salvo en un caso. Por ejemplo, si
intentamos:
2-1
0,5
2-1/2
0,75(intento)
20
1
21/2
1,5
21
2
23/2
3(intento)
22
4
25/2
6(intento)
23
8
fallan las propiedades de potencias:
2 1/2 ·23/2 = 1,5 · 3 = 4,5 4 = 21/2+3/2 = 22
Sí hay una cosa que funciona: 21/2 =
2 , 21/3 =
3
2 , 21/4 =
4
2 ,……. 21/n =
n
2
Puedes probar que se cumplen todas las propiedades de potencias y además las
condiciones del problema.
Evidentemente: 2m/n = n 2 m = n 2 pues 2m/n = 21 / n = 2 m
y así la fórmula: Peso = 2Nº días transcurridos sirve para fracciones de días.
m
En general: am/n =
n
m
a m , m y n enteros, n o
- 40 -
1/ n
Ejercicios
22. Calcula:
a)251/2
b)82/3
c)8-1/3
d)8-2/3
e)43/2
f)4-3/2
9
g)
4
1/2
27
j)
8
9
h)
4
2 / 3
m) 27 1 / 3
81
p)
16
3/4
1 / 2
27
i)
8
1/3
k) 811 / 4
l) 271 / 3
n) 811 / 4
81
o)
16
1
q)
8
1 / 3
1/4
1
r)
8
1 / 3
23. Escribe en forma de potencia:
2
2
a) 2
b)
f) 3 32
g) 33
k) 5 a b
l)
a
c) 7
h) 3
2
3
m) 4 a a
1
7
d) x
e)
i) 4 ab 2
j) 4 ab 3
n) 3 7
o) 2 :
24. Escribe en forma de radicales:
a)31/2
b)5-1/2
c)53/2
d)x-7/2
e)5-3/2
f)32/3
g)2a1/4
h)(3a)2/5
i)3·25/2
j)8-1/3
k)a-2/5
l)(-2)2/3
m)(2/3)-1/2
n)(3/5)-1/4
o)(1/4)-2/5
p)(42)3
q)(41/2)2/3
r)(42/3)-1/4
s)4-1/2·47/2
t)
- 41 -
162 / 3
22 / 3
3
3
Observa
Puedes preguntarte cómo se calculan, por ejemplo, 2 2 , 2π y otras potencias de
exponente irracional. Piensa que, como podemos aproximar el exponente tanto
como queramos, bastará hacer lo siguiente:
1,4
21,4
1,41
21,41
1,414
21,414
1,4142
21,4141
1,41421 ……
21,41421
2,6390…
2,6573…
2,6647…
2,6651…
2,665137562…
→
→
2
2
2
Ejercicios
25. Resuelve las siguientes ecuaciones exponenciales:
a) 2x = 16
b) 3x = 81
c) 2x = 1/64
d) 4x = 2
x
e) 16
= 2
x+1
g) 4
f) 52x-1 =
+2x+3-320 = 0
3
x2
25
1
4
h) 5x+5x-1 = 6
i) 32(x+1)-28·3x+3 = 0
j) 9x-2·3x+2+81 = 0
k) 3x-1+3x+3x+1 = 117
l) 22x+22x-1+22x-2+22x-3+22x-4 = 1984
m) 4x-10·2x+16 = 0
n) 3x+3-x+2 = 10
o) 2x-4-x = 0
p) 3x+9-x = 0
q) 6x = 36
r) 4x-2x = 2
s) 21 x = 8
t) 2x-1+2x+2x+1 = 7
u) 3x+31-x = 4
v) 52x-1= 25x
w) 2x-1+2x-2+2x-3+2x-4 = 960
x) 4x+3 =
2
2
1 / 4
1
2x
y) 9x-1 = 33x+1
26.
Resuelve
exponenciales:
los
siguientes
sistemas
de
ecuaciones
2x 3y 7
a) x 1
2
3y 1 1
22x 22y 80
b) 2(x y)
2
1024
2x 2y 24
c)
2x·2y 128
2x 2 5y 33
d) x 3
2
5y 1 11
53x 2y 3125
e)
116x 7y 14641
a2x a2y 2
f)
ax y 1
- 42 -
Recuerda
LOGARITMOS
Sea a>0 Si se cumple a = y, se dice que x es el logaritmo en base a de y,
y se escribe log a y = x.
x
A partir de la definición, es evidente que:
loga 1 = 0, loga a = 1, loga a2 = 2, loga an = n.
Cuando la base es 10, se habla de logaritmos decimales, y se escribe:
log x=y ↔ 10y = x (no se expresa ninguna base)
Cuando la base es el número e=2,718281…, se habla de logaritmos
neperianos o naturales y se escribe ln x=y ↔ ey = x o Lx = y ↔ ey = x
(Para trabajar, basta con saber esto de e)
Ejercicios
27. Calcula:
a) log7 49
b) log3 3
c) log3 9
d) log3 27
e) log3
f) log3 1
g) log3 1/3
h) log3 1/9
j) log3 1/81
k) log3 1/243
l) log 1 1/243
3
i) log4 1/64
3
m) log5 625 - log3243 + log4256 – log2 8 + log 8 2+ log 0,001
n) log3 1+ log264+ log39+ log 1 9- log31/9+ log9 3
3
o) log 1 4- log 1 1/4+ log24- log21/4+ log4 2 - log 2 4
2
2
p) log50,2- log 1 5+ log 1 1/25+ log
5
5
125 - log5 125
5
28. Calcula x en cada caso:
a) logx 0,001=-3
b) logx 0,125=3
c) logx 1/3=-1/2
d) logx 3=2
e) logx 2=3
f) logx 2=1/2
g) logx 9=-4
h) logx 8=1/2
i) logx 3=-1/2
j) logx 4=-1/2
k) logx (log2 8)=1
l) log3 (logx 2)=1
m) log3 (logx8)=1
o) log5x=2
p) log4 x=-2
n) logx (log24)=1
q) log 1 x=-4
s) log x=-3
t) log x=2
u) log8 x=1/3
v) log4 x=1/2
w) log3 x=-1
x) log25 x=1/2
y) log
2
2
x=4
- 43 -
r) log x=0
Ejercicios
29. Calcula x en cada caso:
a) log3 x=-1/2
b) log3 (log2 x)=0
c) log2 (log3 x)=0
d) log2 (log3 x)=-1
e) log3 ( log 2 x)=1
f) log4 2=x
g) log 1 1/243=x
h) log125 5=x
i) log2 1/64=x
k) log160,5=x
l) log 2 81/16=x
n) log 5 27/125=x
o) log 3 27/125=x
3
1
=x
5
m) log 2 16/81=x
j) log125
3
3
3
5
4
r) log3 (log2 2)=x
p) log8 4 2 =x
q) log9
27 =x
s) log2 (log3 3 )=x
t) log 2 ( log3 9)=x
30. Ordena las siguientes cantidades:
a) log3 4 y log3 ½
b) log2 9 y log2 1/27
c) log 1 32 y log 1 128
d) log 3 9 y log3 1/27
2
2
Recuerda
Los logaritmos tienen unas propiedades importantes que facilitan los cálculos
numéricos (de hecho se “inventaron” para esto, para facilitar los cálculos
astronómicos y trigonométricos cuando no existían calculadoras ni ordenadores):
1) loga x+ loga y = loga (x·y)
aβ = y
Si a = x,
loga x=
a · aβ = a+β = x·y
loga (x·y) = +β
loga y=β
x
2) loga x- loga y = loga
y
β
Si a = x,
a =y
loga x=
→
→
a : aβ = a-β =
x
y
loga x = -β
loga y=β
y
3) loga (xy) = y· loga x
Si a = x,
loga x=
a β = xy
→
aβ = xy = (a )y = a·y
loga (xy) = ·y
loga xy=β
- 44 -
Recuerda
Observa que, por lo dicho antes, si tuviéramos una tabla de logaritmos de todos
los números en una base dada:
Por ejemplo:
x
2
4
8
16
Log2 x
1
2
3
4
el cálculo de productos se convierte en cálculo de sumas:
2·8 → 1+3 = 4 → 16
1ª col
2ª col
1ª col
el cálculo de cocientes se convierte en cálculo de restas:
15:2 → 4-1 = 3 → 8
1ª col
2ª col
1ª col
el cálculo de potencias se convierte en cálculo de productos:
(4)2 → 2 · 2 = 4 → 16
1ª col
2ª col
1ª col
Recuerda
Si tuviéramos una tabla de logaritmos en una base dada, (y la tenemos: en la
calculadora tienes logaritmos decimales), ¿Cómo podemos trabajar en otra base?
De otra forma, si yo sé calcular loga x, ¿cómo calculo logb x? Veámoslo:
Logb x = ↔ b = x → loga ( b) = loga x → · loga b = loga x →
=
loga x
= logb x
loga b
Fórmula de cambio de base
Ejercicios
31. ¿En qué base el logaritmo de 100 es igual a 2 más el
logaritmo (en la misma base) de 25?
32. Halla x para que se cumpla logx A = 2 y logx (16A) = 4
- 45 -
Ejercicios
33. Si log3 N= 4 y log3 P= 1, halla:
N
P
a) log3(NP)
b) log3
c) log3
N
P
34. Si log2 N = 12, calcula: a)log2 N3
b) log2 4 N
35. Si loga A = 7, calcula:
a
A
a)loga
b)loga(a3A)
c)loga 4
a
A
d)loga(a6 A)
e)loga A
36. Encuentra la relación que hay entre a y b si se verifica:
a) log a + log b = 0
b) log a + log b = 1
37. Sabiendo que loga(1/3)=-1/2, calcula: a)a
b) loga81
38. Si loga b = 0,25, calcula logb a.
39. Suponiendo que conoces log 2=0,3,
calcula:
log 3=0,47 y log 10n=n,
a)log 125
b)log 0,02
c)log
d)log
e)log 0,25
f)log 6
g)log 144
h)log 30
i)log 2,025
j)log 1/250
k)log
l)log
m)log
8
1
16
0,3
2
4
0,08
n)log 324
o)log 0,012
p)log 9,375
q)log 1,25/9
r)log
s)log
t)log
0,025
8
u)log
3
4
781,25
1
72
3
0,02
40. Suponiendo que conoces log 2=0,3, log 3=0,47 y log 10n=n,
calcula:
3
240
25,6
1252
a) log 3
b)log
c) log
4
27
9
643
d)log3 4
e)log4 3
f)log3 10
g)log4 10
h)log2 3
i)log5 2
j)log5 10
k)log4 5
l)log5 4
m)log4
n)log2 4
0,27
- 46 -
Ejercicios
41. Resuelve las siguientes ecuaciones logarítmicas:
a)2·log x – 4·log 2 = 3·log 3
b)2·log x = 2+log x
c)2 log x - log (x-16) = 2
d)
e)log(2x-7) – log(x-1) = log 5
f)2·log x-log(x2+3x) = 1
g)log x = log 2 + 2·log(x-3)
h)
i)
3 log x log 5
1
log 25
log(35 x3)
3
log(5 x)
log(16 x 2)
2
log(3x 4)
j)log(2x+4)+log(3x+1)-log 4 = 2·log(8-x)
k)
log 2 log(11 x 2)
2
log(5 x)
l)log8+(x2-5x+7)log3=log24
m)2·logx - log16 = log x/2
n)(x2-x+3)log4 = 3log4
1
o)log(5x+4)–log2 = log(x+4)
2
p)log x2-log
10x 16
= 2
10
q) log 3x 1 log 2x 3 1 log 5
r)log x + log100 x
42.
Resuelve
logarítmicas:
x
s)log5 x2+log5 10 = log5
25
1
2
los
siguientes
sistemas
de
ecuaciones
a)
x y 15
log x log y 2
b)
log x 3 log y 5
log x 2 log y 3
c)
x y 27
log y log x 1
d)
2 log x 2 log y 2 4
2 log x log y 2 2
e)
log x log y log 12
log 5x log(y 1) 1
(x y)log 2 (x y)log 4
f)
xy log 3 log 312
g)
x y 29
log x log y 2
h)
log x log y 2 log
2x 4 8y
i)
2 log x log y 3
log x3 2 log y 1
j)
x y 20
log x log y 2
- 47 -
2
Ejercicios
Y seguimos resolviendo sistemas de ecuaciones logarítmicas…
k)
logx(y 8) 2
1
log y(4 x)
2
l)
3 log x 2 log y 1
y 2x 0
m)
log x log y 3
x y 70
n)
log x log y 1
x 2 y 2 11
x log 2 y log 3 log 2592
o)
log(x y) 2 log 3
log(x 2 y 2) log 21
p)
ax·ay a7
x3 y 3 9
q)
log x log y log 5 1
43. Calcula las siguientes cantidades:
a) 2log2 3
x
b)log(log1010)
c) 10log(log 10 )
log3 x
)
d) 3log2(2
44. Dí cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas:
a)log2 a + log2 b = 2log2(a+b)
b)log2 a-log2 b=log2(a/b)
log2 a
a
c) log2
log2 b
b
d)log1/2 4 = -2
e)log1/2(1/4)=2
f)log1/28 = -log28
g)log1/2(1/4)= -log2(1/4)
h)log2x + log3y = log2xy
i)log2x + log3y = log5xy
El rincón matemático
John Napier (1550-1617, en castellano Neper) nació en Escocia.
Era de una familia noble de gran riqueza.
Se dedicó a las matemáticas como una afición pero pasó a la
historia porque allá por el año 1594, se le ocurrió una idea. Pensó
que todas las cifras podían expresarse de manera exponencial. Por
ejemplo, para expresar el 4 podemos hacerlo como 2 2 mientras que
el 8 podemos hacerlo como 23. Para los números 5, 6 y 7
necesitaríamos que el exponente fuera una fracción de valor entre
2 y 3 en este caso. Una vez que expresamos los números de esta manera, multiplicarlos
es muy sencillo sumando exponentes. Por ejemplo, si 4 * 8 = 32 tenemos que 22*23=25.
Hemos sumado exponentes y hemos obtenido el mismo resultado puesto que 2 5=32.
Hemos cambiado hacer una multiplicación por hacer una suma.
- 48 -
Soluciones
TEMA 3:
1.
a)212 b)23 c)311 d)35 e)73 f)36 g)39 h)58 i)44 j)33 k)153
l)32
m)No se puede, salvo 251
n) No se puede, salvo 161
1
o) No se puede, salvo 8192
p)No se puede, salvo 11 q)(-2)7 r)(-2)4
2.
3.
a)1003=1000000
b)33=27
a)-8
b)1/8
c)9
c)9+16=25
d)212:29=23
d)0,0001
e)-0,001 f)4/9
4.
a)-8/27
b)0,0016
c)1
d)1
e)0
f)114
g)-4
h)16
i)-16
j)-10000
k)1/8
l)0,09
m)0,00000001
n)1,21
o)-1
5.
a)1000000
b)100000000
c)1000000
d)27
e)9
f)1000000
g)1000000000000
h)1000000
i)0
j)1
k)6
l)-8
6.
7.
a)(-2)6 b)(1/3)3 c)(-5)28 d)(-10)3
a)+
b)c)d)+
8.
9.
a)3 b)12 c)5 d)6 e)5 f)4
a)13 b)36 c)2 d)138 e)42 f)-972 g) 45 h)204
10.
11.
a)4
b)1
a)1
b)1
c)1
d)1
e)0
f)no existe
g)1
h)1
12.
a)1/8
b)1/9
c)1/4
d)No existe
e)1/4
f)-1/8
g)9
h)9/4
i)27/8
j)2/5
k)4/25
l)8/125
m)8
n)b/a
o)b2/a2
13.
a)+
b)+
c)d)e)+
f)+
14.
a)1
b)10/9
c)29/18
d)45
e)2
f)64
g)1/96
h)1/16
i)19/27
j)5
k)1/16
l)1/9
m)3/125
15.
16.
a)0,01
b)0,000001
729
32
a)
b)9
c)-10
d)
e)7
c)0,0001
d)0,00000001
9
1000
17.
a)102
b)106
c)10-6
d)10-2
e)10-9
f)10-5
18.
a)0,000003
b)0,007
c)5000
d)60000
e)0,0007
f)3,75
g)0,5
h)0,008
i)0,42
j)0,13
k)0,015
l)230,07
19.
a)320 b)52,7 c)2,3 d)0,045 e)1234 f)-250 g)0,45 h)0,045 i)0,4232
20.
a)105
b)10-5
c)100
d)103
e)102
f)103
g)10-5
h)105
3
i)10
j)No se puede
k) No se puede
l) No se puede
21.
a)2 b)4 c)0 d)-2 e)-1 f)-6 g)-2 h)No se puede
22.
a)5
b)4
c)1/2
d)1/4
e)8
f)1/8
g)3/2
h)2/3
i)3/2
j)4/9
k)3
l)-3
m)-1/3
n)No existe o)3/2
p)27/8
q)2
r)-2
23.
a)21/2
b)21/2
c)71/2
d)x1/2
e)7-1/2
f)32/3
g)33/2
h)(2/3)1/3
1/4
1/2
3/4
3/4
1/5
1/4
3/8
1/4
i)a ·b
j)a ·b
k)(a+b)
l)a
m)a
n)63
o)(8/9)1/6
24.
a) 3
j)1/2
b)
k)
1
5
1
5
2
a
c) 125
l) 3 4
d)
m)
3
2
1
x7
e)
n) 4
5
3
1
125
f) 3 9
o) 5 16
- 49 -
g)2 4 a
p)46 q) 3 4
h) 5 9a2
1
r) 3
2
i)3 32
s)64
t)4
Soluciones
25.
a)4
b)4
c)-6
d)1/2
e)1/4
f)1/2, 5/2
g)3
h)1
i)1, -2
j)2
k)3
l)5
m)1, 3
n)0, 2
o)0
p)sin solución
q)2
r)1
s)sin solución
t)1
u)0, 1
v)1/2
w)10
x)-2
y)-3
26.
a)x=2,y=1 b)(x=3,y=2),(x=2,y=3) c)(3,4),(4,3) d)(1,2) e)(3,2) f)(0,0)
27.
a)2
b)1
c)2
d)3
e)1/2
f)0
g)-1
h)-2
i)-3
j)-4
k)-5
l)5
m)-5/6
n)33/4
o)-15/4
p)7/2
28.
a)10 b)0,5 c)9 d) 3
m)2 n)2 o)25 p)1/16
29.
e) 3 2 f)4 g)1/ 3 h)64
q)16 r)1 s)0,001 t)100
i)1/9 j)1/16 k)3 l) 3 2
u)2 v)2 w)1/3 x)5 y)4
a) 3 /3
b)2
c)3
d) 3
e) 8
f)1/2
g)5
h)1/3
i)-6
j)-1/6
k)-1/4
l)-4
m)4
n)-3
o)3
p)1/12
q)3/8
r)0
s)-1
t)2
30.
a)> b)> c)> d)>
Todos son el número de la derecha menor que el de la izquierda.
31.
32.
33.
34.
2
4
a)5 b)3 c)-3
a)36 b)3
35.
36.
37.
38.
a)-6 b)10 c)3 d)13 e)3,5
a)ab=1 b)ab=10
a)9 b)2
4
39.
a)2,1
b)-1,7
c)0,15
d)0,45
e)-0,6
f)0,77
g)2,14
h)1,47
i)0,28
j)-2,4
k)-0,265
l)-0,275
m)0,4
n)2,48
o)-1,93
p)0,97
q)-0,84
r)-0,92
s)0,725
t)-1,8
u)-0,566…
40.
a) 0,4766… b) -0,005 c) 0,05 d) 1,27… e) 0,7833… f) 2,127… g) 1,66…
h) 1,566… i) 0,4285… j) 1,428… k) 1,166… l) 0,857… m) -0,49166… n) 2
41.
a)12 3 b)100 c)20, 80 d)5 e)sin solución (x=-2 no vale)
f)sin solución, x=0 y x=-10/3 no valen g)9/2 (x=2 no vale) h)2, 3
i)2,4 (x=0 no vale) j)3 (x= -42 no vale) k)3, 1/3 l)2, 3
m)8 (x=0 no vale) n)0 y 1 o)0 (x=-16/25 no vale) p)80 y 20
q)13/5 r) 3 10 s)1/250 (x=0 no vale)
42.
a)x=20, y=5 (x=-5, y=-20 no vale)
b)x=100, y=10
c)x=30, y=3
d)x=10, y=1
e)x=4, y=3 (x=-6, y=-2 no vale)
f)(x= 6, y=2), (x=-6 , y=-2)
g)(x=4, y=25), (x=25, y=4)
h)x=8 , y=2
i)x=10=y
j)x=10, y=10
k)x=3, y=1
l)x=40, y=80, (x= 0, y=0 no vale)
m)(x=50 , y=20), (x=20 , y=50) n)x=10/3 , y=1/3 (x=-10/3 , y=-1/3 no vale)
o)x=5 , y=4
p)x=5 , y=2
q)(x=2 , y=1), (x=1, y=2)
43.
44.
a)3
b)1
c)x
d)x
Verdaderas: b, d, e, f, g
- 50 -
TEMA 4: EL NÚMERO REAL
Recuerda
Hasta ahora hemos trabajado con distintos tipos de números: naturales,
enteros, fracciones y decimales.
Sabemos operarlos, o, al menos, deberíamos saber.
También sabemos representarlos y ordenarlos.
El conjunto de los números enteros se representa por Z y está formado por
los números naturales 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 .................................... y por los negativos
-1, -2, -3, -4, -5, -6 ....................................
Tenemos así:
Enteros negativos: -1, -2, -3, -4, -5, -6 ......... (debo)
El 0 (ni positivo ni negativo) (ni tengo ni debo)
Enteros positivos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 ........ (tengo) (También +1, +2, +3, ........)
Los números enteros se representan sobre una recta:
–6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 7
Igual que con los naturales, cuanto más a la derecha está un número, mayor es
(siempre se tiene más si se deben 2 que si se deben 5):
..........-3<-2<-1<0<1<2<3..........
Observa cómo representar fracciones sobre la recta:
3
Dividimos la unidad en 4 partes iguales y tomamos 3:
4
0
-1
3/4 1
2
7
Dividimos la unidad en 4 partes iguales y tomamos 7:
4
0
-1
1
7/4 2
3
3
pero a la izquierda de cero:
Igual que
4
4
-1
-3/4
0
1
- 51 -
2
Recuerda
Orden: Cuanto más a la derecha está una fracción, mayor es. Para comparar
dos fracciones, según esto:
si tienen el mismo denominador, es mayor la del numerador más
grande.
si tienen el mismo numerador, es mayor la del denominador más
pequeño.
si son distintos numerador y denominador, las pasaremos a igual
denominador para compararlas.
Los números decimales se representan como las fracciones, teniendo en
cuenta:
327
2
7
3,27 =
3
100
10 100
Dados los números a y b, pueden ocurrir tres cosas:
1ª) Si a-b > 0, se dice que a es mayor que b: a > b.
2ª) Si a-b = 0, se dice que a es igual que b: a = b.
3ª) Si a-b < 0, se dice que a es menor que b: a < b.
Ejercicios
1. Escribe dentro del rectángulo el número correspondiente:
-6 -5
2. Representa sobre la recta, las fracciones:
a)
1
4
b)
2
4
c)
0
4
d)
8
4
e)
3
4
f)
7
4
g)
3
4
3. Escribe la fracción correspondiente:
a)
-1
0
1
b)
1
-1
0
1
d)
e)
-1
0
1
2
3
- 52 -
c)
-1
1
-3
-2
-1
0
1
1
0
1
Ejercicios
4. Escribe en el espacio, el símbolo de orden correspondiente:
a) –5
-6
b) –7
3
c) 0
-1
d) 3
4
5. Ordena, usando la simbología apropiada:
a)3,-1,0,-4,5,+6
b)-5,2,-7,+1,+3,-1,1
c)0,1,+2,-1,-2,3,-3
d)-5,5,-6,+6,0,8,-8
6. Completa la frase con la palabra que falta:
a) Todos los números positivos son ___________ que cero.
b) Todos los números negativos son ___________ que cero.
c) Cualquier número positivo es ___________ que cualquier
número negativo.
7. Escribe los números enteros que se piden:
a) Comprendidos entre -3 y 7 __________________________
b) Los seis siguientes a –3
__________________________
d) Los seis anteriores a –3
__________________________
c) Los mayores que -2 y menores que 2 _________________
8. Ordena de menor a mayor:
a) 6,4 ; 6,004 ; 6,0004 ; 6,04 ; 5,4 ; 5,98 ; 6 ; 6,024.
b)
1
2
;
;
2
3
4
12
;
;
6
30
3
; 0,6; 0,66; 0,06; 0,665, ; 0,656; 0,666;
5
13
2
;
;0,01; 0,001;0,11.
30
3
9. En el número 706,050 ¿qué cero suprimirías para…?
a) Que aumente __________________________________
b) Que disminuya ________________________________
c) Que no cambie ________________________________
- 53 -
Ejercicios
10.Escribe en el espacio, el símbolo de orden correspondiente:
a)
7
9
e)
8
9
7
9
b)
7
13
8
7
f) 13
9
7
15
-
c)
7
15
3
4
g) -
4
5
3
4
-
d)
4
5
7
9
h) -
7
9
9
10
-
9
10
11. Ordena, usando los símbolos apropiados:
3 2 1
1
1 4
4 6 4
7
, , , , ,
,0,1,2, 1 ,2, , , ,
5 7 2
4
2 14
7 3 2
4
Recuerda
RELACIÓN FRACCIONES Y DECIMALES
De hecho, los números decimales y las fracciones son el mismo tipo de números.
Toda fracción se puede escribir en forma decimal y muchos números decimales
se pueden escribir como fracción.
Toda fracción se puede expresar en forma decimal:
15 15 25 375
3,75
4
4 25
100
111
1,12121212 .... 1,12
99
111
1,23333333 .... 1,23
90
ya que
ya que
ya que
- 54 -
15
30
20
0
4
111
120
210
12
99
111
210
300
30
90
3,75
1,12
Se repite
1,23
Se repite
Recuerda
Habrás observado que hay varios tipos de números decimales:
Decimales exactos: Tienen un número finito de cifras decimales. Son fáciles
de escribir como fracción:
326
123
921
, 0,123
, 92,1
3,26
100
1000
10
Decimales periódicos: Tienen infinitas cifras decimales que se repiten. Estas
cifras que se repiten se llaman periodo.
Tipos:
Periódico puro: Las cifras que se repiten empiezan en la coma:
123,32323232....=123’32
periodo
Periódico mixto: El periodo no empieza tras la coma:
123,31254646464...=123,312546
antiperiodo periodo
Ejercicios
12. Halla el número decimal correspondiente a las fracciones:
a)
9
2
b)
15
4
c)
21
8
d)
1
3
e)
2
11
f)
4
5
13. Halla
número:
la
fracción
irreducible
correspondiente
a) 2,45
b) 0,012
c) 36,5
d) 0,102
- 55 -
a
cada
Recuerda
Los números periódicos también pueden escribirse como una fracción:
PUROS
MIXTOS
N = 42,358
1000·N = 42358,358....
N=
42,358....
999·N = 42316
42316
N=
999
N = 4,2358
10000·N = 42358,358....
- 10 N =
42,358....
9990·N = 42316
42316
N=
9990
Parte entera y periodo-Parte entera
Parte entera, antiperiodo y periodo-P entera y antiperiodo
Tantos 9 como cifras periodo
Tantos 9 como cifras periodo y 0 como antiperiodo
Puedes comprobarlo con:
1
11
2092
3
,
,
0,3 ,
1,2
21,13
0,59 ,
3
9
99
5
11
369
26567
,
,
,
0,12
3,689
213,1234
100
1110
90
0,9 1
4
1,3
3
Hay números decimales con infinitas cifras decimales no periódicas como pueda
ser el número: 0,1234567891011121314151617181920212223......... o el número
=3,141592........., pero éstos se salen de este tema.
Observa:
49 4 45 1
0,5 0,4 9=0,5
90
90 2
379 37 342 144
38
0,37 9
0,37 9=0,38
900
900 300 100
179 17 162
17, 9
18 17, 9=18
9
9
0,4 9
Saca tus propias conclusiones.
- 56 -
Ejercicios
14. Busca la escritura decimal de los números:
a)
c)
4
6
7
10
b)
2
125
d)
1
45
15. Halla la fracción generatriz de los números:
a) 48, 63
b) 0, 375401
c) 23,56 7
d) 4,0 0001
e) 3, 9
f) 3,4 9
g) 3,5
h) 4,73
i) 3,47 9
j) 3,48
16. Encuentra otra escritura decimal para los números:
a) 86,9
b) 8,759
c) 4,57
d) 5,7
e) 0,9
- 57 -
Observa
Quedan varias preguntas abiertas y sin contestar:
Hemos visto que los números se van representando sobre una recta. ¿Está la
recta llena con las fracciones? O por el contrario ¿quedan huecos?
Hemos visto que toda fracción tiene una representación decimal. ¿Ocurre que
todo número decimal tiene una representación en forma de fracción?
La respuesta a esto ya casi la tienes: has visto que todo número decimal
periódico tiene una fracción que lo representa, pero hay números decimales
no periódicos:
0,1234567891011121314…99100101…10001001…
Tenemos los números clasificados en conjuntos que van conteniéndose unos a
otros:
Naturales
N 0,1,2, …
Con ellos contamos.
Con ellos sumamos y multiplicamos.
No restamos siempre con ellos: 7-9 = ¿?
Enteros
Z 0, ±1, ±2, ±3, …
Con ellos ya restamos.
No siempre dividimos con ellos: 7:2 = ¿?
Q p/q , q 0
Son las fracciones (o sus representaciones
decimales) y las cantidades que representan
porque 1/2=2/4=3/6 = … representa un único
número racional.
Racionales
¿Hay otros números fuera de los vistos?
N
Q
Z
- 58 -
Observa
Veamos cómo contestar a lo planteado.
Ya sabes que hay números decimales no periódicos:
0,1234567891011121314…99100101…10001001…
si vas poniendo cada vez la coma un lugar a la derecha, tienes infinitos de
ellos.
1
Sabemos, por el teorema de Pitágoras, que la diagonal
del cuadrado de lado 1 mide 2 unidades. Veamos que
no se puede escribir como fracción:
12 12 2
1
Supongamos que 2 = p/q, donde p/q es una fracción irreducible (y si no, se
simplifica y ya lo es).
Entonces: q · 2 = p 2· q2 = p2.
Hay dos posibilidades:
a) p impar p2 impar (piénsalo tú)
b)
miembro izquierdo par
Imposible
y derecho impar
p par
p = 2x p2 = 4x2
q impar (si no la fracción no sería irreducible)
Imposible
Par = Impar
2x2 = q2
4x2 = 2· q2
2 p/q.
Como ambas posibilidades son imposibles, el supuesto inicial es falso y
La 2 se puede representar sobre la recta:
Luego había huecos en ella y faltaban números para completarla.
1
Compás
1
2
Estos números no racionales se llaman irracionales, y unidos a los racionales
forman los llamados números reales R, que llenan toda la
R
recta donde representábamos las fracciones y que
N
Z Q
llamaremos recta real. Son números irracionales todas
las raíces cuadradas no exactas, el número y otros
muchos que desconoces.
Las operaciones y el orden de números reales funcionan igual que los
racionales. Su representación exacta es más difícil, pero se pueden situar de
forma aproximada sobre la recta real, aunque las raíces cuadradas pueden
situarse exactamente, por ejemplo 17
Tomando un rectángulo de base 4 y altura 1, la
diagonal mide 17 y la podemos trasladar sobre la
recta con ayuda de un compás.
1
90º
Compás
1
2
3
4
1
- 59 -
17
Ejercicios
17. Escribe un número real comprendido entre:
a)1/3 y 2/5
b)1,4142 y 1,4143
c) 2 y
3
18. Di cuál es el menor conjunto numérico al que pertenecen
los números:
a)-3
e) 6,4
b)5/2
f)5,34
d)0
h)-1/5
c) 3
g)8/4
19. Ordena de menor a mayor los números:
1/3; 2,9 ; 2 ; - 3 ; ; 2/6; -3.
20. Di si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas:
a) Todo número real es racional
____________________
b) Todo número natural es entero
____________________
c) Todo número entero es racional
____________________
d) Todo número real es irracional
____________________
e) Algún número entero es natural
____________________
f) Algún número irracional es entero __________________
Recuerda
Veremos ahora algunas cosas sobre los números reales que interesa conocer.
VALOR ABSOLUTO DE UN NÚMERO
El valor del dinero es el mismo, tanto si se tiene, como si se debe. Para tener
en cuenta esto, se define el valor absoluto de un número x y se representa x :
si x es positivo o cero x x
x =
si x es negativo x x
Por ejemplo: 7 7, 0 0, 3 3,
- 60 -
3 3
5 5
Recuerda
DISTANCIA ENTRE DOS NÚMEROS
x
y
d(x,y)
Dados dos números x, y, la distancia entre ellos, d(x,y), es la que separa sus
representaciones sobre la recta, como indica el dibujo. Es evidente que:
d(x,y) = x y y x
Por ejemplo:
12 15
27 27
3 3 3 3 3 3
d ,
20
20 20
5 4 5 4 5 4
d 3,5 5 3 2 2
d 5,3 3 5 2 2
Ejercicios
21. Si x es un número entero negativo, di si es verdadera o
falsa cada una de las siguientes afirmaciones:
a) x<+1
b) x>0
c) x<+2
d) x<0
e) x>0
f) –x>0
22. El símbolo significa que la expresión que hay a su
izquierda es menor o igual, que la que hay a su derecha. Y el
símbolo significa que lo que hay a su izquierda, es mayor o
igual, que lo que hay a su derecha. Teniendo esto en cuenta,
di qué desigualdades son ciertas o falsas:
a) –7 -7
b) –15 -20
c) 13 0
d) 5 -3
23. Escribe los números enteros que se piden:
a) Los negativos mayores que –5.
b)
c)
d)
e)
Los positivos menores que 5.
Aquellos números x que cumplen x < 6.
Aquellos números x que cumplen x = 6.
Aquellos números x que cumplen x 3.
- 61 -
Ejercicios
24. Halla el valor absoluto de los siguientes números:
a)8
e)-5
b)-4,5
f)0
c)-
g)-32
d)-+3
25. Halla la distancia entre los siguientes pares de números:
a)-7 y –3
b)-7 y 3
c)3 y 8
d)0 y 4
26. Halla x para que se cumpla:
a) x = 3
b) x = 0
c) x 1 = 3
d) x 2 = 2
Recuerda
La parte entera de un número x: E(x), es el número entero menor o igual a x
más grande posible. Por ejemplo:
E(6,9) = 6, E(0,3) = 0, E(-0,2) = -1, E(-7,8) = -8
27. Halla la parte entera de los siguientes números:
a)2,3
b)2
c)-3
d)-3,5
e)
f) 2
g)4,3
h)-7,2
Recuerda
INTERVALOS EN R
Se escribe:
[a,b] = Todos los números reales comprendidos entre a y b, incluido a, e incluido
también b.
a
b
(Intervalo cerrado)
]a,b[ = Todos los números reales comprendidos entre a y b, excluido a, y también
excluido b.
a
b
(Intervalo abierto)
- 62 -
Recuerda
]a,b] = Todos los números reales comprendidos entre a y b, excluido a, pero
incluido b.
a
b
(Intervalo semiabierto izquierda)
[a,b[ = Todos los números reales comprendidos entre a y b, incluido a, pero
excluido b.
a
b
(Intervalo semiabierto derecha)
[a,+ [ = Todos los números reales superiores o iguales a a.
a
a
]a,+ [ = Todos los números reales superiores a a.
]- ,a] = Todos los números reales inferiores o iguales a a.
a
]- ,a[ = Todos los números reales inferiores a a.
a
Ejercicios
28. Representa gráficamente los siguientes intervalos:
a)[1,7]
b)]-1,3]
c)]-7,-3[
d)[0,5[
e)]7,+[
f)]-,3/2[
Recuerda
APROXIMACIONES Y REDONDEOS. NOTACIONES
Evidentemente, habrá ocasiones en que no se pueda conocer exactamente un
número real (o racional incluso). Pero, a efectos prácticos, puede no ser
necesario, puede bastar con sustituir el número en cuestión por otro
considerado cercano ( hacer una estimación).
Al hacer una estimación se comete una imprecisión a la que se llama error; así
por ejemplo, para estimar el número 3,167 con un error menor que una
milésima, podemos dar cualquier cantidad comprendida entre 3,166 y 3,168,
es decir, la estimación x debe cumplir: x 3,167 < 0,001.
A las estimaciones también se las llama aproximaciones.
- 63 -
Recuerda
El redondeo es una aproximación particular. Para entender cómo se hace
veremos un ejemplo:
Supongamos que queremos redondear el número 172,3469
1º) A las unidades (2) Miramos la siguiente cifra decimal (3).
Como está entre 0, 1, 2, 3, 4 la omitimos, y el redondeo será 172.
2º) A las milésimas (6) Miramos la siguiente cifra decimal (9).
Como está entre 5, 6, 7, 8, 9 aumentamos una unidad la que nos
interesa, y el redondeo será 172,347.
Al hacer un redondeo se comete un error:
1º) A las unidades: 172 es redondeo desde 171,5… a 172,4… Luego el
número real está comprendido entre 171,5 y 172,5 y hay un margen de
error de ±0,5.
2º) A las milésimas: 172,347 es redondeo desde 172,3465… a 172,3474…,
luego hay un margen de error de ±0,0005.
Es usual utilizar la notación adecuada en cada campo. La más importante es la
Notación científica. Es aquella en la que un número se escribe con unidades y
decimales multiplicadas por las potencias de 10 adecuadas. Por ejemplo:
3170000 = 3,17·106
0,000371 = 3,71·10-4
Ejercicios
29. Redondea hasta las milésimas las siguientes cantidades, y
da el margen de error de la aproximación:
a)42,3541
b)2,34567
c)0,0000009
30. Escribe en notación científica las siguientes cantidades:
a)427900000
b)379000
c)609437120
d)0,0000342
e)0,7523
f)0,000432
- 64 -
Soluciones
TEMA 4:
1.
De izquierda a derecha: -1; 6; 16
2.
a)
b)
0
1
e)
c)
1
-1
1
f)
0
1
4
1
b)
2
d)
0
0
-2
g)
0
1
-1
1
2
3.
4.
a)
5
2
c)
3
0
0
-1
11
d)
4
a)>
c)>
8
e)
3
0
b)<
d)<
5.
a)-4<-1<0<3<5<+6
c)-3<-2<-1<0<1<+2<+3
b)-7<-5<-1<1=+1<2<+3
d)-8<-6<-5<0<5<+6<8
6.
a) Mayores
b) Menores
c) Mayor
7.
a)-2,-1,0,1,2,3,4,5,6
c)-4,-5,-6,-7,-8,-9
b)-2,-1,0,1,2,3
d)-1,0,1
8.
a)5,4 < 5,98 < 6 < 6,0004 < 6,004 < 6,024 < 6,04 < 6,4
b)
2
13
3
0,001 < 0,01 < 0,06 < 0,11 < 0,4 < 0,5 < =
3
30
5
4 2
= 0,6 < 0,656 < 0,66 < 0,665 < 0,666 <
=
6 3
9.
a)El central.
b)El de la izquierda.
c)El de la derecha.
10.
a)<
b)>
c)<
d)<
e)>
f)<
g)>
h)>
11.
2
7
3
4
1
1
2
4
1
6
4
1
0
1 2
4
5
7
2
4
7
14
2
3
2
12.
a)4,5
b)3,75
d) 0,3
c)2,625
e) 0,18
f) –0,8
13.
a)
14.
49
20
a) 0,6
b)
3
250
b)0,016
c)
73
2
c)0,7
d)
51
500
d) 0,02
15.
a)
16.
535
11
b)
375401
21211
399961
473
87
87
7
7
c)
d)
e)4 f)
g)
h)
i)
j)
900
100
25
25
2
2
999999
99990
a)87 b)8,76 c) 4,569 d) 5,69 e)1
- 65 -
Soluciones
17.
Puedes coger siempre el punto medio de los dos.
18.
a)Z
b)Q
c)R
d)N
e)Q
f)Q
g)N
h)Q
19.
-3=- 2,9 <
1 2
3 < = < 2 <
3 6
20.
a)F
21.
a)V
23.
24.
a)8
26.
b)F
b)4,5
c)V
d)V
b)V
e)V
c)V
f)V
d)F e)V f)F
22.
a)V
b)V
c)V
d)V
a)-4, -3, -2, -1
b)1, 2, 3, 4
c)-5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5
d)6, -6
e)-3, -2, 0, 1, 2, 3
25.
a)4
b)10
c)5
c)
d) -3
e)5
f)0
g)9
a)x = ±3
b)x = 0
c)x = 4, x = -2
d)4
d)x = 4, x=0
27.
a)2
b)2
c)-3
d)-4
e)3
f)1
g)4
h)-8
28.
1
7
a)
c)
e)
-1
3
0
5
b)
-7
-3
d)
7
3/2
f)
29.
a)42,354, E = ±0,0005
b)2,346, E = ±0,0005
c)0, E = ±0,0005
30.
a)4,279·108
d)3,42·10-5
b)3,79·105
e)7,523·10-1
- 66 -
c)6,0943712·108
f)4,32·10-4
TEMA 5: PROPORCIONALIDAD
Analiza
Vamos a plantear unos problemas y luego hablaremos sobre ellos:
Problema 1: Un telar confecciona una tela de forma que, cada 2 horas se
obtienen 5 metros.
a) ¿Cuántos metros obtendremos en 5 horas?
b) ¿Cuántas horas serán necesarias para obtener 12 m de tela?
Problema 2: Tres obreros hacen una pared en 5 días.
a) ¿Cuántos obreros necesitamos para hacer la pared en un día?
b) ¿Cuántos días tardarán en hacer la pared 6 obreros?
c) ¿Cuántos días tardarán en hacer la pared 4 obreros?
Problema 3: Tres obreros hacen 24 m de pared en 6 días.
a) ¿Cuántos obreros hacen falta para hacer 48 m de pared en 6 días?
b) ¿Cuántos obreros hacen falta para hacer 24 m de pared en 3 días?
c) ¿Cuántos obreros hacen falta para hacer 48 m de pared en 3 días?
d) ¿Cuántos obreros hacen falta para hacer 18 m de pared en 2 días?
- 67 -
Solución
Problema 1
Trabajamos con dos cantidades medibles (magnitudes): Tiempo (en horas) y
longitud (en metros).
Si una de ellas se duplica, la otra también.
Si una se triplica, la otra también.
Si una se multiplica por 0,7, la otra también.
Cuando ocurre esto se dice que las magnitudes son directamente proporcionales.
Observa:
Tiempo (h)
2
4
6
1
1/2
Longitud (m)
5
10
15
5/2
5/4
2/5
2/5
2/5
2/5
2/5
Dividiendo
0,5
5 0,5
2
2/5
0,7
5 0,7
2
2/5
2
=constante de proporcionalidad
5
Esto nos permitirá resolver el problema: =
Tiempo
2
=
Longitud 5
5 2
25 2x x 12,5 m
x 5
x
2
b) 12 metros = Longitud
5x 24 x 4,8 h
12 5
a) 5 horas = Tiempo
También podemos recordarlo con la llamada Regla de Tres:
a) 2 horas _________ 5 metros
5h
__________ x m
2x = 5·5 x =
b) 2 horas _________ 5 metros
xh
__________ 12 m
2·12 = 5x x =
- 68 -
25
2
24
5
Solución
Problema 2
Trabajamos con dos magnitudes: Número de obreros y tiempo (en días).
Pero ahora:
Cuando una de ellas se duplica, la otra se divide por dos.
Cuando una de ellas se triplica, la otra se divide por tres.
etc.
Cuando ocurre esto, se dice que las magnitudes son inversamente proporcionales.
Observa:
Nº obreros
Tiempo
3
5
1=3:3
15=5·3
6=3·2
2,5=5:2
12=3·4
1,25=5:4
4=3·4/3
3,75=5:4/3
Con lo que podemos resolver el problema:
a) 3 obreros
5 días
3·5 = 15 obreros Respuesta
1 día = 5/5 días
b) 3 obreros
5 días
6 obreros = 3·2
5:2 = 2,5 días Respuesta
c) 3 obreros
5 días
4 obreros = 3· 4/3
5:4/3 = 15/4 = 3,75 días Respuesta
Solución
Problema 3
Ahora trabajamos con tres magnitudes: el número de obreros, la longitud (en
metros) y el tiempo (en días). Vistas dos a dos, unas son directamente
proporcionales (nº obreros y longitud por ejemplo) y otras son inversamente
proporcionales (nº obreros y tiempo por ejemplo). Te propongo resolver el
problema por reducción a la unidad pensando cada caso:
a)
Nº
obreros
3
x
Longitud
(m)
24
48
Tiempo
(d)
6
6
Nº de obreros y L son directamente
proporcionales, luego:
3 24
x = 6 obreros
x 48
- 69 -
b)
Nº
obreros
3
x
Longitud
(m)
24
24
Tiempo
(d)
6
3
Nº de obreros y T son
inversamente proporcionales,
luego:
3 obreros
6 días
6=3·2 obreros 3=6:2 días
x = 6 obreros
Solución problema 3
c)
Nº obreros
Longitud
Tiempo
3
24
6
x
48
3
3
4
1
1
4/3
1
1
4
3
x = 6·1
48 = 12·4
3
Solución x = 12
d)
Nº obreros Longitud
Tiempo
3
24
6
x
18
2
3
9
1
1
3
1
1
6
2
x = 1·3 = 3
18 = 6·3
2
Solución x = 3
Recuerda
PROPORCIONALIDAD DIRECTA
Una magnitud es algo que se puede medir: peso, altura, temperatura, etc.
Medir una magnitud es asignar un número a una cantidad de esa magnitud,
para lo que necesitamos unas unidades que ya hemos estudiado.
Para comparar dos cantidades de la misma magnitud: a y b, usamos la razón
entre ellas: a/b. Por ejemplo, si un anillo tiene 0,0006 kg de oro y un
pendiente 0,0004 kg de oro, la razón entre los pesos del oro de ambos es:
0,0006 6 3
1,5
0,0004 4 2
Supongamos que 3 kg de naranjas cuestan 1,5 € y que 4,5 kg de naranjas
cuestan 2,25 €. Sucede entonces:
3
1,5
= constante de proporcionalidad
4,5 2,25
Se dice entonces que tenemos una proporción (igualdad entre dos razones).
Observa que ocurre: 3·2,25 = 4,5·1,5
Y esto ocurre siempre en una proporción:
a c
a·d=b·c
b d
- 70 -
Recuerda
Siguiendo en el ejemplo anterior, sabemos que si doblamos el número de kg de
naranjas, se dobla lo que pagamos por ellas. Que si multiplicamos por un
número el peso de las naranjas, lo que pagamos por ellas queda multiplicado
por el mismo número. Se dice entonces, que el peso y el precio son
magnitudes directamente proporcionales:
Peso (kg)
Precio (€)
3
1,5
4,5
2,25
1
0,5
2
1
4
2
Tenemos una serie de razones iguales entre las dos magnitudes,
3
4,5
1
2 4
...
1,5 2,25 0,5 1 2
que nos dan su relación:
Precio = 0,5·(Peso en kg)
Peso = 2·(Precio en €)
APLICACIONES
Regla de tres: Es una forma cómoda de recordar y usar las proporciones. Con
nuestro ejemplo de antes:
3 kg de naranjas cuestan 1,5 €
4,5 kg de naranjas cuestan 2,25 €
3kg ______1,5€
4,5kg ______2,25€
3·2,25=4,5·1,5
Puedes practicarlo resolviendo los problemas de la página anterior mediante
una regla de tres.
Tanto por ciento, %: Es una regla de tres donde la cantidad total se
equipara a 100. Por ejemplo, el 15 % de 300 sería:
300 (total)
x
15·300 = 100·x
4500 = 100·x
x = 45
100
15
Luego, para hallar el a por cien (a %) de c:
c·a
100
Recuerda que los descuentos en compras y los impuestos que pagamos se dan
en %.
- 71 -
Recuerda
Tanto por mil: Igual que el tanto por cien, pero equiparando la cantidad total
a 1000. Por ejemplo, el 15 por mil de 300000 sería:
300000
x
15·300000 = 1000·x
4500000 = 1000·x
x = 4500
1000
15
Se usa para tantos por cien pequeños. Así, el índice de natalidad es el número
de nacimientos por cada mil habitantes en un año, y el de mortalidad es el de
muertos por cada mil habitantes en un año. Se llama crecimiento vegetativo a
la diferencia entre el índice de natalidad y el de mortalidad.
Recuerda
PROPORCIONALIDAD INVERSA
En magnitudes directamente proporcionales, al aumentar una, aumenta la otra
de una forma concreta: así, si doblamos la cantidad de agua, doblamos su
peso, si la triplicamos, su peso se multiplica por 3, etc.
Hay ocasiones en que no ocurre así. Por ejemplo, supongamos que dos albañiles
tardan 6 meses en hacer una faena. Entonces, 4 albañiles tardarán 3 meses.
Si te fijas, al doblar el número de albañiles, el tiempo se divide por 2, si
triplicamos el número de albañiles, el tiempo se divide por 3, etc.
Cuando ocurre esto, decimos que las magnitudes son inversamente
proporcionales.
Hay magnitudes que no son ni inversa ni directamente proporcionales. Piensa
en tu edad y en la de tu padre.
Repartos inversamente proporcionales: supongamos que 3 personas se
reparten un premio de 300 € jugando al parchís una partida de 1 h de
duración. Al acabar el tiempo, a una de las personas le quedan 2 fichas, a otra
3 y a otra 4, y deben repartirse el premio con arreglo a las fichas que les
quedan.
No se trata de un reparto proporcional al número de fichas, sino al contrario,
es inversamente proporcional al número de fichas que quedan pues a más
fichas, menos dinero.
- 72 -
Resumiendo
En magnitudes directamente proporcionales x e y cumplen:
Luego y = a·x , a = cte.
y
a , a = cte.
x
En magnitudes inversamente proporcionales x e y cumplen x·y = a, a = cte.
Luego y =
a
, a = cte.
x
Ejercicios
1. Si un objeto vale 105 € y te hacen un 30 % de descuento,
¿cuánto pagarás por él?
2. Si un objeto valía el año pasado 150 €, y ha subido su
precio un 5 %, ¿cuánto cuesta ahora?
3. Una familia ha comprado un chalet en las siguientes
condiciones: Precio 90000 €, de los que da de entrada el 10 %,
y el resto en pagos mensuales durante 5 años ¿Cuánto ha de
pagar al mes?
4. Un televisor cuesta 480 €, y se grava un 16 % de IVA
¿Cuánto pagamos por él?
5. Por un objeto hemos pagado 6,96 €, y nos hicieron el 13 %
de descuento ¿Cuánto costaba?
- 73 -
Ejercicios
6. En una papelería, compramos 50 bolígrafos a
unidad, y nos gravan el 7 % de IVA ¿Cuánto pagamos?
1,5
€
la
7. Por un cierto objeto hemos pagado 70,52 €, y nos habían
hecho el 14 % de descuento ¿Cuánto costaba?
8. Halla el crecimiento vegetativo de León, sabiendo que su
índice de natalidad es 13 por mil y el de mortalidad es 15 por
mil.
9. En una ciudad de 60000 habitantes, el índice de natalidad
es de un 12 por mil ¿Cuántos nacimientos se producen
anualmente en esta ciudad?
10. Hemos ganado 6 € al vender un objeto que nos ha costado 2
horas de trabajo, a mí, y 1 hora de trabajo a mi amigo ¿Cómo
debemos repartirnos los beneficios?
11. Tres socios fundan una empresa, el primero aporta 2000 €,
el segundo 3000 € y el tercero 5000 €. Al cabo de cierto
tiempo han tenido un beneficio de 5000 € ¿Cómo lo reparten?
12. Reparte 340 € en partes proporcionales a 3,4 y 10.
- 74 -
Ejercicios
13. Mezclamos 15 litros de aceite de oliva de 3,5 € el litro
con 25 l de aceite de girasol de 0,9 € el litro ¿A qué precio
sale el litro de mezcla?
14. Para recoger las patatas de una huerta, una persona tarda
12 h ¿Cuánto tardarán…?
a) 2 personas: __________________________________________
b) 3 personas: __________________________________________
c) 4 personas: __________________________________________
15. Si 6 personas tardan en recoger una finca de fresas 20
días ¿Cuánto tardarán 8 personas?
16. Si 4 personas tardan 8 h en repartir 12000 folletos de
publicidad, ¿cuánto tardarán 5 personas?
17. Si 4 personas tardan 8 h en repartir 12000 folletos de
publicidad ¿Cuánto tardarán 5 personas en repartir 3000
folletos?
18. Queremos pintar una valla. Sabemos que si mide 300 m, 5
personas la pintan en 6 días. Si la valla mide 400 m y
disponemos de 4 personas para pintar, ¿cuánto tardarán?
19. Un avión tarda en hacer el recorrido entre dos ciudades,
10 h, si se mueve a 800 km por hora de velocidad.
a) ¿Cuánto tarda si se mueve a 600 km/h?
b) ¿Cuánto tarda si se mueve 1000 km/h?
- 75 -
Ejercicios
20. En unos almacenes se han rebajado todos los artículos, en
una quinta parte de su precio. Indica cuál es la rebaja que
tendrán los artículos que cuestan:
a)5 €
b)10 €
c)45 €
d)450 €
e)4500 €
f)230 €
21. En las mismas condiciones del problema anterior, ¿cuál era
el precio de los artículos que han tenido una rebaja de …?
a)3 €
b)514 €
c)63 €
d)129 €
e)12542 €
22. Se sabe que el precio de un diamante es directamente
proporcional al cuadrado de su peso. Si para un peso de 5
quilates el precio es 75 €, y para un peso de 7 quilates el
precio es 147 €, halla el valor de un diamante de 100
quilates.
23. La ley de gravitación universal de Newton afirma que la
fuerza con que se atraen dos cuerpos es directamente
proporcional a sus masas, e inversamente proporcional al
cuadrado de la distancia que los separa. Si dos cuerpos de un
kg están a 3 m uno del otro, y la fuerza que los atrae es de
18 Newtons, y cuando están a 5 m de distancia la fuerza es
6´48 Newtons, ¿qué fuerza los atraerá cuando se encuentren a
10 m de distancia?
24.Tres obreros hacen 24 m de pared en 6 días.
a) ¿Cuántos metros de pared harán 3 obreros en 12 días?
b) ¿Cuántos metros de pared harán 9 obreros en 12 días?
c) ¿Cuántos días tardarán 3 obreros en hacer 336 m de
pared?
d) ¿Cuántos días tardarán 2 obreros en hacer 24 m de
pared?
- 76 -
Ejercicios
25. Averigua la rebaja que nos hacen y lo que tenemos que
pagar por la compra de los siguientes objetos:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
Objeto
Un coche
Una mini cadena
Una moto
Una TV.
Un frigorífico
Una raqueta
Valor en €
14500
450
3250
450
980
125
Descuento en %
10
8
6
9
7
5
26. Calcula el porcentaje correspondiente a las fracciones:
a)1/2
b)1/4
c)3/2
d)3/4
e)9/10
f)1/5
27. Expresa en forma de fracción irreducible, los porcentajes:
a)50 %
b)150 %
c)30 %
d)16 %
e)120 %
f)250 %
28. Calcula:
a)El 12 % de 500.
b)El 10 % de 2980.
c)El 110 % de 2980.
d)El 8,5 % de 250.
e)El 1,5 % de 5000.
f)El 75 % de 400.
29. Calcula el % que representa:
a)96 de 480.
b)16 de 320.
c)850 de 5000.
30. En un pantano había 340 Hl de agua. Ha disminuido su
capacidad en un 43%. ¿Cuántos litros de agua quedan en el
pantano?
- 77 -
Ejercicios
31. La masa forestal de un bosque sufrió las siguientes
variaciones a lo largo de tres décadas: De 1950 a 1960 aumentó
un 28 %, de 1960 a 1970 disminuyó un 40 % y de 1970 a 1980
aumentó un 15 %. ¿Qué variación porcentual experimentó entre
1950 y 1980?
32. Unas castañuelas valían 10 €. Aumentaron un 50 %. Después
bajaron un 50 %. Se pide:
a) ¿Cuánto valen ahora?
b) ¿Qué porcentaje de su valor inicial es su precio actual?
33. En las rebajas de enero hemos comprado un libro por 27,3 €
y un reloj por 49 €. ¿Cuánto nos habrían costado antes de las
rebajas, si todos los artículos de la tienda han disminuido su
precio en un 30 %?
34. Se sabe que el IVA aplicado a medicamentos es del 4 %, el
aplicado a alimentación y a vivienda es del 7 % y el general
es del 16 %. ¿Cuánto pagarías en total por un artículo que,
sin incluir el IVA, cuesta:…?
a) Una reparación de coche de 785 €.
b) Un antibiótico de 37 €.
c) Un piso de 95000 €.
d) Un paquete de garbanzos de 2,3 €.
e) Una cocina de 8000 €.
35. En las mismas condiciones del problema anterior, ¿cuánto
IVA has pagado por un artículo cuyo precio total, incluido el
impuesto, era…?
a) Una TV de 1250 €.
b) Unas chuletas de ternera de 20 €.
c) Un analgésico de 8,3 €.
d) Una reparación de TV de 150 €.
e) Unos libros de 22 €.
- 78 -
Ejercicios
36. Entre los sueldos pagados por una empresa la razón del
mínimo sueldo al máximo es 2/7.
a) Determina el mínimo sueldo si el máximo es de 1960 €
mensuales.
b) Determina
sueldos.
la
diferencia
entre
el
mínimo
y
el
máximo
c) Calcula la nueva razón del mínimo sueldo y del máximo,
así como la diferencia entre ellos si:
c1) Todos los sueldos se aumentan 540 € mensuales.
c2) Todos los sueldos se aumentan en la décima parte de
su cuantía.
c3) ¿En cuál de los casos anteriores la razón es mayor
que 2/7?
c4) ¿En cuál aumenta la diferencia entre el mínimo y el
máximo sueldos?
37. En el país A lo que una persona paga de impuestos es
directamente proporcional a sus ingresos. En el país B lo que
una persona paga de impuestos es tal que la razón impuestosingresos es directamente proporcional a los ingresos. Tanto en
A como en B la persona que obtiene 25.000 dólares anuales paga
4.500 dólares de impuestos.
a) ¿Cuánto paga en A la persona que obtiene 40.000 dólares
anuales?
b) ¿Y la que obtiene 80.000 dólares?
c) ¿Cuánto pagarían en B?
d) ¿En qué país pagarían más?
e) ¿Cuánto paga en A la persona que obtiene 20.000 dólares
anuales?
f) ¿Y la que obtiene 10.000?
g) ¿Cuánto pagaría en B?
h) ¿En qué país pagaría más?
i) ¿Cuál de los dos países te parece a ti que ha establecido
la forma de pagar impuestos más justa? ¿Por qué?
- 79 -
Ejercicios
38. En 1982 una persona ha ganado 25.000 € y ha pagado 4750 €
de impuestos. En el mismo año otra persona ha ganado 41.250 €
y ha pagado 8050 € de impuestos.
a)¿Cuál de ellos ha pagado relativamente más impuestos?
b)¿Cuánto pagaría la segunda persona si pagase en la misma
proporción que la primera?
39. Un padre quiere repartir 50.000 € entre sus tres hijos en
partes proporcionales a sus edades, que son 12 años, 16 años y
22 años. ¿Cuánto corresponde a cada uno?
40. Tres albañiles de igual categoría han cobrado por hacer
una obra 20.400 €. Un albañil trabajó 15 días, otro 12 y el
tercero 7 días. ¿Qué cantidad corresponde a cada uno?
41. Tres socios han iniciado un negocio con los siguientes
capitales: 50.000 €, 80.000 € y 100.000 €. Al cabo de un año,
después de retirar cada uno un sueldo, queda un beneficio de
460.000 €. ¿Cómo se reparten este beneficio?
42. Tres personas A, B y C se asocian para formar un negocio
aportando las siguientes cantidades durante el mismo tiempo:
A 20.000 €, B 25.000 € y C 35.000 €.
Al cabo de un cierto tiempo tienen una ganancia de 60.000 €.
¿Cuánto corresponde a cada uno?
- 80 -
Ejercicios
43. a) Un billete de lotería resulta premiado con 150.000 € y
lo cobran dos personas, correspondiendo al primero
60.000 € y al segundo 90.000 €. Sabiendo que el billete
costó 50 €, ¿cuánto aportó cada uno para comprar el
billete?
b) De las 40.700 personas de un pueblo, 12.840 usan gafas.
¿Qué tanto por ciento de las personas del pueblo usan
gafas?
c) Se han comprado 8 objetos iguales por 600 €. ¿Cuánto
valen 15 objetos? ¿Y 17 objetos?
d) Cuatro socios reúnen un capital de 50000 € para
explotar un negocio en el que obtienen una ganancia de
10000 €. Repartida la ganancia corresponde: al primero,
3000 €; al segundo, 4000 €; al tercero 1800 €, y al
cuarto, el resto. Encuentra el capital empleado por
cada socio.
44. Tres personas A, B y C inician
aportando las siguientes cantidades:
A 27000€
;
B 25000€
y
a
la
vez
un
negocio
C 18000€.
Al cabo de un año han obtenido como beneficios el 30% del
capital. ¿Qué beneficio corresponde a cada uno?
45. Un comisionista cobra el 5% del importe de las ventas que
realiza. ¿Cuánto necesita vender para ganar 4000 €?
46. Repartir 420 € entre tres niños en partes inversamente
proporcionales a sus edades, que son 3, 5 y 6 años.
- 81 -
Como, tradicionalmente, este tipo de problemas se nos atraviesan, vamos a
resolver éste detenidamente.
Reducción de una proporcionalidad inversa a una proporcionalidad directa.
proporcionalidad
directa
proporcionalidad
inversa
Acabamos de ver que la serie de números 30, 40, 60,
120 es inversamente proporcional a la serie de
números 4, 3, 2, 1.
30
4
1/4
30 4=40 3=60 2=120 1=120=constante.
40
3
1/3
60
2
1/2
120
1
1/1
También hemos visto que los números 30, 40, 60 y 120
son directamente proporcionales a los inversos de 4,
3, 2 y 1, es decir, son directamente proporcionales a :
1/4, 1/3, 1/2, 1/1 ya que:
30 40 60 120
1
1
1
1
4
3
2
1
De este modo se reduce una proporcionalidad inversa
a una proporcionalidad directa.
inversamente
proporcionales
a los números
directamente proporcionales a los números
Reparto inversamente
proporcional a 3,5,6
Reparto directamente
proporcional a 1/3, 1/5, 1/6
1) Se reducen las fracciones a común denominador:
m.c.m.(3,5,6) = 30
1 10 1
6
1
5
;
;
3 30 5 30 6 30
2) Se reparten 420 en partes directamente proporcionales
a los números 10, 6 y 5:
420
420
10
10 200
10 6 5
21
420
420
6
6 120
10 6 5
21
420
420
5
5 100
10 6 5
21
Ejercicios
Y ahora el problema:
Para hacer este reparto inverso se reparte
420 en partes directamente proporcionales a
los inversos de 3, 5 y 6:
1/3, 1/5 y 1/6
Para ello:
1) Se hallan las fracciones equivalentes a las
dadas pero que tengan el mismo denominador:
10/30, 6/30 y 5/30
2) Se reparten 420 en partes directamente
proporcionales a los números 10, 6 y 5
Así resulta:
Al niño de 3 años le corresponden 200 €.
Al niño de 5 años le corresponden 120 €.
Al niño de 6 años le corresponden 100 €.
47. Contesta:
a)¿Son inversamente proporcionales las series de números
1,2,4,8 y 8,4,2,1?
b)¿Son directamente proporcionales las series de números
1,2,4,8 y 3,6,12,24?
48. Resuelve estos problemas:
a)Reparte 180 en partes inversamente proporcionales a 2 y 4.
b)Reparte 340 en partes inversamente proporcionales a los
números 2, 3 y 9.
49. Para hacer una piscina en 15 días se han empleado 2
trabajadores. ¿Cuántos trabajadores se necesitarían para hacer
la piscina en 30 días?
- 82 -
Ejercicios
50. Un coche, a una velocidad de 60 km/h, tarda 8 h en
recorrer una distancia. ¿Cuánto tardaría en recorrer la misma
distancia si la velocidad fuera de 120 km/h?
51. En un establo hay 24 vacas, que tienen alimento para 20
días. Si el número de vacas aumenta en 16 ¿para cuántos días
tendrán alimento?
52. Con el vino que hay en un tonel se llenan 300 botellas de
3/4 de litro cada una. ¿Cuántas botellas se podrían llenar si
la capacidad de cada botella fuera 3/10 de litro?
53. En un concurso de carreras se destinan 5870 € para tres
premios, que han de ser inversamente proporcionales a los
tiempos invertidos en el recorrido por los tres primeros
corredores. El corredor A tarda 26 minutos, el B tarda 28 y el
C, tarda 30. Calcula lo que corresponde a cada uno.
54. Un grupo de 30 obreros debe hacer una obra en 30 días,
pero se incorporan a la obra 6 trabajadores más. ¿Cuánto
tiempo tardarán en realizar la obra?
55. Un agricultor tiene 100 animales y forraje para poderlos
alimentar durante 90 días. Vende un cierto número de cabezas y
de este modo el forraje puede durarle 30 días más. ¿Cuántos
animales vendió?
56. Un ganadero, a fin de
suficiente para alimentar
vende 60 bueyes. Si no los
14 semanas. ¿Cuántos bueyes
que el pienso de que dispone sea
a sus bueyes durante 20 semanas,
hubiera vendido, sólo tendría para
le quedaron?
Recuerda
Interés compuesto. Si un banco nos presta una cantidad C a un
interés i, el capital a devolver en un tiempo t viene dado por:
C· 1
i
100
t
(piensa en ello).
Ejercicios
57. ¿Cuánto dinero tendremos al cabo de 5 años si colocamos a
plazo fijo 3000 € al 15%?
58. Pedimos un crédito a un banco de 10.000 € al 10%. Si a los
5 años devolvemos el capital y los intereses, ¿cuánto debemos
pagar?
BUSCA EN INTERNET INFORMACIÓN SOBRE
CAPITALIZACIONES Y NÚMEROS ÍNDICE.
- 83 -
TASAS,
AMORTIZACIONES,
Soluciones
TEMA 5:
1.
2.
73,5 €
3.
4.
157,5 €
6.
5.
1350 €
7.
556,8 €
8.
80,25 €
82 €
-2 por mil
10.
720
11.
4 € a mí y 2 € a mi amigo
12.
1000 €,15000 € y 2500 €
14.
b)4 h
c)3 h
13.
60,80 y 200
16.
15.
a)6 h
8 €
9.
15 días
17.
6 h 24 min
18.
19.
1 h 36´
10 días
20.
a)13 h 20´
22.
21.
a)1 €
d)90 €
b)2 €
e)900 €
c)9 €
f)46 €
a)15 €
23.
1,875 €
b)2570 € c)315 € d)645 €
e)62710 €
b)8 h
30000 €
24.
1,62 Newtons
a)48
b)144
c)84
d)9
25.
26.
a)Rebajas=1450 ; Pagamos=13050
b)R=36; P=414
c)R=195; P=3055
e)R=68,6; P=911,4
f)R=6,25; P=118,75
27.
28.
a)50%
d)75%
b)25%
e)90%
c)150%
f)20%
a)1/2
b)3/2
d)4/25 e)6/5
30.
31.
29.
a)20%
b)5%
c)17%
19380
33.
c)3/10
f)5/2
d)R=40,5; P=409,5
a)60
d)21,25
b)298 c)3278
e)75
f)300
32.
Disminuyó un 11,68%
a)7,5
b)75%
34.
Libro:39€; Reloj:70€
a)910,6€
b)38,48€
c)101650€
d)2,461€
e)9280€
35.
a)172,41€
b)1,308€
c)0,319€
d)20,68€
e)3,03€
36.
a)560 b)1400 c) c1) Razón=11/25. Diferencia=1400
c2) Razón=2/7. Diferencia=1540 c3) En c1 c4) En c2
37.
a)7200
b)14400
c)11520 y 46080
d)En B
e)3600
f)1800
g)2880 el de 20.000 y 1440 el de 10.000
h)En A
i)Tú mismo
39.
38.
a)La segunda
b)7837,5
12.000, 16000 y 22000 respectivamente
40.
41.
9000, 7200 y 4200 respectivamente.
100.000, 160.000 y 200.000 € respect.
42.
15.000, 18750 y 26250 € respectivamente.
43.
a)20 y 30 € respectivamente
c)1125 y 1275 € respectivamente
44.
b)Aproximadamente 31,55%
d)15000, 20000, 9000 y 6000 € respect.
45.
47.
8100, 7500 y 5400 € respect.
80000 €
a)Sí
b)Sí
48.
a)120 y 60 respectivamente.
49.
50.
Uno
b)180, 120 y 40 respectivamente.
51.
4 horas
53.
52.
12 días
54.
2100, 1950 y 1820 € respectivamente.
57.
750
55.
25 días
Vendió 25
58.
6034,0716 €
16105,1 €
- 84 -
56.
140 bueyes
TEMA 6: POLINOMIOS
Recuerda
LAS LETRAS COMO NÚMEROS
Ejercicio: Supongamos que un Kg. de naranjas cuesta 0,5 €. ¿Cuánto
cuestan…?
a) 2 Kg. ____________________________
b) 3 Kg. ____________________________
c) 50 Kg. ___________________________
d) n Kg. ____________________________
e) x Kg. ____________________________
Habrás visto que podemos usar una letra para designar una cantidad
indeterminada, pero esa letra representa un número y funciona como un
número:
Igual que 5+5+5+5 = 4·5
x+x+x+x = 4·x
Igual que 4·5+7·5+3·5 = 14·5
4·x+7·x+3·x =14·x
Igual que 7·5-3·5 = 4·5
7·x-3·x = 4·x
Igual que 5·5·5 = 53
x·x·x = x3
Igual que 53·52·54 = 59
x3·x2·x4 = x9
Igual que 57:54 = 53
x7:x4 = x3
Tenemos entonces una expresión algebraica que consiste en una expresión
en la que aparecen letras para designar números tal y como hemos visto en
los ejemplos anteriores.
- 85 -
Ejercicios
1 Escribe en lenguaje matemático:
a) Una cantidad aumenta en 10 unidades.
b) Un billete de tren cuesta 5 € menos que un billete de
autobús.
c) Un avión lleva una velocidad 8 veces mayor que la de un
coche.
d) La edad de mi padre es triple que la mía.
2. Agrupa lo que puedas:
a)3x+5x
e)3x+4x+3y
i)5x2+y
b)2x-5x
f)3y-4y+1
j)3x2+4x
c)3y+4y
g)3x2+4x2
k)x2+2x·x
d)3x+4x+1
h)5x3-7x3
l)5x-5
3. Realiza las siguientes operaciones:
a)x2·x3
d)5y3·y
g)x2+x2
b)3x2·2x3
e)(10y4):5y
h)x2·x2
c)5y4·7y2
f)7x:x
i)x2:x2
4. Realiza las siguientes operaciones y agrupa lo que puedas:
a) 3·(x+5)
d) (x+3)(x+5)
g) (x-3)(x-5)
b) x·(3+5)
e) (x-3)(x+5)
h) (x2+1)(x2-1)
c) x·(x+5)
f) (x+3)(x-5)
i) x2(x2+x+2)
5. Saca factor común lo que puedas:
a)5x+5y
b)5x+5
c)5x2+5x
d)5x+x·y
e)2x-4
Recuerda
EXPRESIONES NOTABLES
Observa:
a+b
a
a
b
a+b
b
Área cuadrada mayor a ba b a b
Por trozos a·a+a·b+a·b+b·b = a2 b2 2ab
2
Igualando: a b a2 b2 2ab
2
- 86 -
Recuerda
De otra forma, multiplicando: a b a b aa ab ba bb a2 b2 2ab
Debemos quitar este
trozo sólo una vez
b
a
a-b
b
a
+
a
+
b
b
Es decir: a2 = (a-b)2+2ab-b2 (a-b)2 = a2 b2 2ab
De otra forma: (a-b)·(a-b) = aa-ab-ba+bb = a2 b2 2ab
a
a+b
b
a-b
a
a+b
a
b
a-b
a-b
b
Faltaría este cuadrado para
completar el cuadrado de lado a
Es decir: (a+b)(a-b) = a2 - b2
De otra forma, multiplicando: (a+b)·(a-b) = aa-ab+ab-bb = a2 - b2
INTENTA HACERLO CON CARTULINAS DE COLORES Y LO VERÁS MEJOR
Trabajando con cubos se pueden encontrar fórmulas parecidas en el espacio,
pero es difícil verlo dibujando. Veámoslo operando:
(a+b)3= (a+b)·(a+b)2 = (a+b)·(a2+b2+2ab) = a3+ab2+2a2b+ba2+b3+2ab2 =
a3+3a2b+3ab2+b3
(a-b)3= (a-b)·(a-b)2 = a3-3a2b+3ab2-b3
¿Cómo obtendrías (a+b)4?
- 87 -
(hazlo tú)
Ejercicios
6. Calcula:
a)(x+2)2
b)(x+3)2
c)(x-5)2
d)(x+y)2
f)(x+y)·(x-y)
g)(x-2)·(x+2)
h)(x+3)·(x-3)
i)(x+5)·(x-5)
j)(6-x)·(6+x)
k)(8-a)·(8+a)
l)(a-x)·(a+x)
m)(x+2)·(x+2)
n)(x+3)·(x+3)
o)(x-5)·(x-5)
p)(x+y)·(x+y)
e)(x-y)2
7. Calcula:
a)(x2+x)2
b)(x2-5)2
c)(2x+1)2
d)(2x-3)2
e)(2x2+x)2
f)(2x+5)·(2x-5)
g)(3x2+2)·(3x2-2)
x
h) 1
2
2
8. Utiliza las fórmulas para hallar:
a)(109)2
b)(91)2
c)91·109
9. Calcula:
a)(x+2)3
b)(x-2)3
c)(2x+3)3
d)(x2-3)3
Recuerda
POLINOMIOS
Un monomio es una expresión algebraica formada por un producto de números
y letras. Por ejemplo -25x2.
Todo monomio tiene dos partes: coeficiente y parte literal.
En el ejemplo, el coeficiente es -25 y la parte literal x2.
Se llama grado de un monomio al exponente que tiene la letra.
En el ejemplo, el monomio es de grado 2.
Un polinomio es una suma de monomios (binomio: de dos, trinomio: de tres).
Se llama grado de un polinomio, al grado del monomio de mayor grado de los
que lo forman.
- 88 -
Ejercicios
10. Agrupa lo que puedas:
a)5x+3x
c)3x2+12x2
e)6x+9x
g)-8x2+6x2
i)6x+2x+x2+1
k)5x3-6x2+2x2-3
m)3·x·(-2)·x4
o)4x2·5x2·6x
q)6x3·2x·3
s)5·x·2+3·x
b)8x-3x
d)7x3-2x3
f)9x-4x
h)11x4-3x4
j)4x+6x+3x-1
l)3x+5+8x+2
n)3·x·2·x2·5
p)2·x·(-5)·x3
r)3x2·(-1)x·2x
t)5·x·2-3·x·(-1)
11. Desarrolla los siguientes productos:
b)(x+2x3)·x
d)(2+x)·x
f)-8·(x-3)
a)(4+x)·5
c)6·(x2+2x)
e)(x-5x2)·4x
12. Saca factor común lo que puedas:
b) x+5xy+x2
d) 4x+4y
f) 8x+x2
a) 2x+2y
c) 6x+x2
e) x+2xy+x2
13. Completa los huecos que faltan:
a)4·(+)
c)5·(+)
4x2+4x
5a+5b
b)x·(+)
d)y·(-)
6x2+2x
3xy-2y
14. Sabiendo que en un polinomio, se llama término principal
al término de mayor grado, y término independiente al que no
tiene letra (grado cero), dados los siguientes polinomios:
A)
3
x+12x3-x5
5
B) 3x4+x7-2
Se pide:
a)
b)
c)
d)
Grado.
Término principal.
Término independiente.
Valor numérico para x = -2.
- 89 -
Recuerda
OPERACIONES CON POLINOMIOS
Veamos, con un ejemplo, cómo se realiza la suma, resta, producto y cociente
de dos polinomios.
Sean los polinomios: P(x) = x3+x+5 y Q(x) = x5+x3-x+8
Suma
P(x)+Q(x):
5
x
x5
x3
+ x3
+ 2 x3
+x
-x
x3
x3
+x
+x
+ 2x
+ 5
+ 8
+ 13
Resultado
Resta P(x)Resultado
5
-x
- x5
-
+ 5
Q(x):
- 8
- 3
Producto P(x)·Q(x):
4
Resultado
x8
x8
x6
+x6 +5x5
+ 2x6 +5x5
-x
+x4
8x
3
x3
x5
+5x3
+13 x3
-x2
+x +5
-x +8
+8x +40
-5x
-x2
+ 3x + 40
+x
3
Cociente Q(x):P(x):
x5
- x5
+ x3
- x3 -5x2
-5x2
-x
+8
-x
+8
x3
x2
+x
+5
cociente x 2
Resultado
2
resto 5x x 8
Observa que la división de polinomios se termina cuando el grado del resto es
menor que el grado del divisor. Se utiliza la misma terminología que para la
división con números:
D = dividendo, d = divisor, c = cociente, r = resto, cumpliéndose D = d·c+r.
- 90 -
Ejercicios
15. Dados los polinomios:
A=3x2 ; B=7x4 ;C=5x3 ; D=3x2+1 ; E=3x+2 ; F=3x3+2x2-x-1
G=5x4-x2+1 ; H=7x6-x5+1 ; I=5x5+6x4-3x3+2x2-x-1 ; J=3x3-2x2+1
Se pide:
a)
f)
k)
p)
A+B
H-J
C·D
2·F
b)
g)
l)
q)
A-D
I-H
E·F
3·J
c)
h)
m)
r)
A+B+C
A·B
I·J
2F+3J
d)
i)
n)
s)
A+B-C
G·H
F·G
2F-3J
e)
j)
o)
t)
I+J
G·J
F·G·H
2F·3J
16. Halla el cociente y el resto de las divisiones:
a)
c)
e)
g)
i)
(7x+11+4x2+x4):(x2-5x+1)
(7x+11+4x2+x4):(x3+x)
(4x3+7x):(2x2-1)
(4x3+6x2-2x+4):x
(x3-3x):(2x2+5)
b)
d)
f)
h)
j)
(4x4+2x2+1):(x2-3x)
(4x4+2x2+1):(x-3)
(x4-5x3+7x2-4x+5):(x2+1)
(2x-3):(3x-2)
(x2-2x+1):(x3-2)
Recuerda
REGLA DE RUFFINI
Hay ciertas divisiones que se pueden hacer de un modo más sencillo usando lo que
se conoce como regla de Ruffini. Estas divisiones son aquellas en las que el
divisor es de la forma (x-a). Se verá mejor con un par de ejemplos:
Método general
x3
- x3
2
-5x +2
+2 x
2 x2 -5x +2
2 x2 +4x
-x +2
x -2
0
Ruffini
x - 2
x2 + 2x -1
1
2
1
-5
4
-1
2
-2
0
Cociente
Cociente
X2+2x-1
Resto
Método general
x3
-5x +2
3
2
- x -3 x
-3 x2 -5x +2
3 x2 +9x
4x +2
-4x -12
-10
0
2
2
Resto
Ruffini
x + 3
x2 - 3x +4
1
-3
1
0
-3
-3
-5
2
9 -12
4 -10
Cociente
Cociente
X2-3x+4
Resto
- 91 -
Resto
Ejercicios
17. De las siguientes divisiones haz las que puedas por la
regla de Ruffini:
a)(4x4+2x2+1):(x-3)
b)(4x4+2x2+1):(x2-3)
4
3
2
c)(x -x -1):(x -x)
d)(5x3-6x2-7):(x+3)
e)(5x2+x3+1):(x+1)
f)(x2-5x+6): (x-2)
4
3
2
g)(x -x -1):(5-x )
h)(x4-x3-1):(5+x)
4
3
i)(x -x -1):x
j)(x4-x3-1):x2
18. Halla m para que (x2+mx-3) sea divisible por (x-2).
1
19. Halla a para que x sea un factor de (ax2-3x+2).
3
20. Halla el resto de las siguientes divisiones:
a)(3x4+5x3-x-8): (x+2)
b)(5m-3m3+8m2-6):(m-3)
3
c)(4a3-8a2-6+2a3-2a): a
2
11
3
4
2
m m3 : m
d) m2 4
9
2
3
3
21. Halla p para que sea exacta la división (x2-2x+p):(x+3).
22. Halla t para que (x4-3x3+tx+2) sea divisible por (x+2).
23. Halla m para que (x5-8x2+mx-6x3+1) sea divisible por (x+1).
24. Halla b para que (x-2) sea un factor de (x3-2bx+3).
25. Halla m para que al dividir (x4-x3-3x+m) entre (x+2), el
resto sea 8.
26. Halla k para que el polinomio de la izquierda sea
divisible por el binomio de la derecha:
a)(x2-6x+k) por (x+3)
b)(x3-3x2+2x+k) por (x+2)
c)(x3-9x2+kx-32) por (x-4)
d)(3x5-8x3+kx-20) por (x-2)
27. P(x) es un polinomio de grado 2 con coeficiente de x2 igual
a 1. Al dividir P(x) entre (x-5); el resto es 4. Si P(x) es
divisible por (x-3); halla P(x).
- 92 -
Recuerda
FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS
Haz el siguiente producto:
(x-2)·(x+2)·(x-3) = x3-3x2-4x+12
Dicho de otra forma, podemos descomponer el polinomio P(x) = x 3-3x2-4x+12
en un producto de factores más pequeños P(x) = (x-2)·(x+2)·(x-3)
Este va a ser el problema al que nos enfrentaremos: ¿cómo localizar los
números 2, -2 y 3 que intervienen en los factores?
En cualquier división se tiene: D = d·c+r
En particular, si dividimos un polinomio P(x) entre (x-a), obtendremos un
cociente C y un resto R:
P(x) = (x-a)·C+R
Si, por otra parte, nos interesa conocer el valor numérico del polinomio P(x)
cuando x vale a lo podríamos obtener así:
P(a) = (a-a)·C+R = 0·C+R = 0+R = R
es decir:
P(a) = [Resto de la división de P(x) entre (x-a)]
(Teorema del resto)
Con un par de ejemplos se verá mejor:
P(x) = x3-2x2+1
P(2) = 23-2·22+1 = 8-8+1 = 1
1
2
1
-2
0
1
2
0
0
0
0
1
Coinciden
Resto de P(x) : (x-2)
P(-3) = (-3)3-2·(-3)2+1 = -27-18+1 = -44
1
-3
1
-2
0
1
-3
+15
-45
0
15
-44
Coinciden
Resto de P(x) : (x+3)
- 93 -
Recuerda
Cuando dividimos un polinomio P(x) entre (x-a) puede ocurrir que el resto R
sea 0, es decir que:
P(x) = (x-a)·C
Si ocurre esto, hemos descompuesto P(x) en dos factores más sencillos: (x-a)
y C (en este caso, evidentemente, P(x) es divisible por (x-a) o (x-a) es un
divisor de P(x) ).
Cuando ocurre esto último, el valor del polinomio al sustituir x por a sería:
P(a) = (a-a)·C = 0·C = 0.
Se dice en este caso que a es una raíz (o cero) de P(x).
De lo dicho se desprende que para que P(x) sea divisible por (x-a), debe
suceder que a sea raíz de P(x) y lo recíproco: si a es raíz de P(x), entonces
P(x) es divisible por (x-a).
Observa el siguiente ejemplo:
Sea P(x) = x3-2x2-5x+6
1
1
1
-2
1
-2
-5
6
1
-1
-6
-1
-6
0
-2
6
-3
0
P(x) = (x-1)·(x2-x-6)
P(x) = (x-1)·(x+2)·(x-3)
Hemos descompuesto P(x) en factores lo más sencillos posible (lo hemos
factorizado).
Así:
1, -2 y 3 son raíces de P(x):
P(1) = 0, P(-2) = 0, P(3) = 0
luego P(x) es divisible por (x-1), por (x+2) y por (x-3)
- 94 -
Ejercicios
28. Comprueba si los siguientes
polinomio: P(x) = 2x3-x2-8x+4
a)1
b)-1
c)2
d)-2
números
e)1/2
son
raíces
f)-1/2
del
g)1/3
29. Halla el resto de las siguientes divisiones, sin hacerlas:
a)(x4-3x+2x2-5):(x+2)
b)(3x2+x4-6x+2):(x+1)
30. Resuelve los problemas 18 a 27 sin hacer la división.
Recuerda
En principio buscamos factores del tipo (x-a) que son los más sencillos. Ello
equivale a buscar las raíces a del polinomio con el que trabajamos. ¿Cómo las
buscamos? Lo veremos mejor en el ejemplo:
P(x) = x3-2x2-5x+6
Queremos que ocurra:
1
-2
-5
6
0
¿Qué números podemos poner aquí?
Si estos números han de ser enteros, debe suceder:
1
-2
-5
6
b
0
a·b = -6
a debe ser un divisor de -6
a
Luego los candidatos a raíz entera de un polinomio son los divisores del término
independiente. (En el ejemplo serían 1, 2, 3, y 6).
Ejercicios
31. Factoriza los siguientes polinomios:
a)x2-5x+6
d)x3-4x2-4x+16
g)x2-4
b)x2+6x+9
e)x4-13x2+36
h)x4-34x2+225
- 95 -
c)x3-4x2+5x-2
f)x2-3x+2
i)x5-x4-34x3+34x2+225x-225
Recuerda
Habrás observado que, a veces, un factor aparece más de una vez, por ejemplo:
(x2+6x+9) = (x+3)2
Se dice entonces que -3 es una raíz doble de (x2+6x+9) o que su grado de
multiplicidad es dos.
Si aparece tres veces se dice triple o de grado 3, y así sucesivamente.
Si una raíz aparece una sola vez, se dice que es simple.
Recuerda
Cuando un polinomio no tiene término independiente, podemos hacer lo siguiente:
x3-5x2+6x = x· (x2-5x+6)
Se factoriza por Ruffini
x4-x2 = x2· (x2-1)
Se factoriza por Ruffini
y así siempre. Evidentemente, en este caso, el 0 es raíz del polinomio (simple en
el primer caso y doble en el segundo).
Ejercicios
32. Factoriza los siguientes polinomios:
a)x3-4x
d)x5-x3
b)x3+4x2+4x
e)x4-4x3
c)x3-5x2+6x
f)x7-x6-2x5
Recuerda
Hay polinomios de grado 2 o superior que no se pueden o no sabemos factorizar,
por ejemplo x2+1. Cuando ocurre esto, se dejan los factores que parecen tal cual.
Por ejemplo:
1
-3
1
-3
3
2
2
x -3x +x-3=(x-3)·(x +1)
3
3
0
3
1
- 96 -
0
1
0
Ejercicios
33. Factoriza los siguientes polinomios:
a)(x4+x3-x2+x-2)
b)x4-16
34. Halla las raíces de los siguientes polinomios, dí de qué
orden son y factorízalos:
a)x5-3x4+3x3-x2
d)x3-7x+6
b)x4-2x2+1
e)x4+1
c)x5-16x
f)x5+x3
Recuerda
Hasta ahora hemos factorizado polinomios buscando sólo raíces enteras, pero en
algunos casos podemos afinar más.
Veamos los polinomios de segundo grado: P(x) = ax2+bx +c.
Sabemos que un polinomio es divisible por (x-a) si P(a) = 0, y esto, en este caso
significa que ax2+bx+c = 0.
Es decir, hallar las raíces de P(x) es resolver una ecuación de segundo grado:
x
b b 2 4ac
2a
Veamos como esto nos puede ayudar a factorizar polinomios de segundo grado
que antes no sabíamos:
1
1
1
1
P1 x 2 x x x
2
3
6
6
1
1
4
1
25
1 5
1
1
6
36 6
6
36 6 6
2
=
=
=
x x 0 x
2
2
6
6
2
1
1
P2 6 x 2 x 1 6· x x
2
3
1 1 24 1 5
6x x 1 0 x
12
12
2
Observa que P2 6·P1
- 97 -
1/2
-1/3
1/2
-1/3
Recuerda
1
1
P3 12x 2 2x 2 12· x x
2
3
12x 2 2x 2 0 x
1/2
2 4 96 2 10
24
24
-1/3
3
P4 x 2 2x 3 x 1x 3
x
2 4 12 2 4
2
2
P5 x 2 6x 9 x 32
x
6 36 36 6 0
2
2
P6
x2 x 2 x2 x 2
x
-1
3
3
1 1 8
sin solución
2
Ejercicios
35. Factoriza los siguientes polinomios:
a)4x2-1
e)x2-2
b)4x2+1
f)x2-3
c)4x2-7x-2
g)x2-5
d)6x2+5x+1
h)3x2-15
Recuerda
Veamos ahora cómo extender esto a grados mayores:
6x3-x2-4x-1 =
=(x-1)·(6 x2+5x+1) =
1
1
= 6··(x-1)·(x+ )(x+ )
2
3
6
1
6
x
-1
-4
-1
3
0
3
5
1
0
5 25 24 5 1
12
12
- 98 -
-1/2
-1/3
Ejercicios
36. Factoriza los siguientes polinomios:
a)4x4-17x2+4
d)6x3+x2-4x+1
b)9x3+18x2-x-2
e)2x3+x2-2x-1
c)x3+2x2-3x-6
f)x4-6x2+5
Amplía
Cuando no hay raíces enteras y el grado es mayor que dos:
12x3+4x2-3x-1. No tiene raíces enteras (compruébalo).
Podría tenerlas fraccionarias. ¿Cómo buscarlas por Ruffini?
12
4
-3
-1
r/s
0
-1/4
-1/12
r/s
0
P/q
1
1
1
12x3+4x2-3x-1 = 12·(x3+ x2- x- )
3
4 12
1
1/3
P/q
p r 1
·
q s 12
En nuestro ejemplo,
12
1/2
12
-1/2
12
-1/3
p divisor del término independiente
q divisor del término principal.
p = 1, q = 1, 2, 3, 6, 12
candidatos: 1, 1/2, 1/3, 1/6, 1/12
4
-3
-1
6
5
1
10
2
0
-6
-2
4
0
-4
12
0
- 99 -
1
1
1
12· x x x
2
2
3
Ejercicios
37.Calcula las raíces de los siguientes polinomios, di de qué
orden son y factorízalos:
a)-3x2+12
d)2x4-10x2+8
g)8x3+12x2+6x+1
b)3x2-7x
e)2x3+12x2+22x+12
h)2x2+3x+1
c)x4-4x2+4
f)x3+x2-2x-2
i)5x3+2x2-5x-2
Amplía
Si lo cree conveniente el profesor se puede ver esto ahora. Si no, se hará en el
tema de ecuaciones.
ECUACIONES POLINÓMICAS
Todo lo visto nos va a permitir resolver algunas ecuaciones polinómicas de grado
mayor que 2. Con un ejemplo se entenderá mejor:
x3-2x2+3 = x2+x x3-3x2-x+3 = 0
Resolver la ecuación equivale a hallar las raíces del polinomio: x 3-3x2-x+3.
Hallar las raíces implica el mismo proceso que factorizarlo:
1
-3
1
-1
-2
3
-3
1
-2
-3
0
-1
3
-3
0
1
-1
1
(x3-3x2-x+3) = (x-1)·(x+1)·(x-3) = 0
x=1
x=3
x=-1
soluciones
1
y aún mejor:
1
1
-3
-1
3
1
-2
-3
-2
-3
0
(x3-3x2-x+3) = (x-1)·(x2-2x-3)
x=1
- 100 -
x
2 4 12 2 4
2
2
3
-1
Ejercicios
38. Resuelve las ecuaciones:
a)x3+x2-4x-4=0
d)x+6=4x2-x3
b)2x3+x2=x3+4x+4
e)6x3-x2-4x-1=0
c)x3-4x2+x+6=0
f)2x4-2x3+2x2-2x=0
Observa
MCD Y MCM DE VARIOS POLINOMIOS
Recuerda lo que hacías con números:
360 = 23·32·5
84 = 22·3·7
108 = 22·33
mcm (360,84,108) = 23·32·5·7
factores comunes y no comunes de mayor exponente.
mcd (360,84,108) = 22·3
factores comunes de menor exponente.
Con polinomios se actúa exactamente igual:
P = x3-5x2+6x = x (x-2)(x-3)
Q = x3-4x = x (x-2)(x+2)
R = x4-4x3+4x2 = x2 (x-2)2
mcd (P,Q,R) = x·(x-2)
mcm (P,Q,R) = x2 (x-2)2(x-3)(x+2)
Del mismo modo que :
6 = 2·3 ; 35 = 5·7 mcd (6,35) = 1
ocurre que :
P = x2-5x+6 =(x-2)(x-3)
Q = x2+4x+4 = (x+2)2
mcd (P,Q) = 1
y al igual que se decía que 6 y 35 son números primos entre sí, se dice que los
polinomios P y Q son primos entre sí.
- 101 -
Ejercicios
39. Halla el mcd y el mcm:
a)(x2-1),(x2+x-2)
c)(x3-4x2+5x-2),(x5-x3)
e)(x2-5x+6),(x2-2x+1)
g)(x2-4),(x2+2x+1),(x2-2x+1)
i)(3x2-9x+6),(x2-4)
k)(6x2-6),(3x2-3)
b)(x3+4x2+4x),(x3-4x)
d)(x3-5x2+6x),(x4-13x2+36)
f)x3,(x2-x),(x2+x)
h)(x3-5x2+6x),(x3-4x2+4x)
j)(6x2-6),(8x2+8x-16)
l)(x2-1),(1-x2)
Recuerda
FRACCIONES ALGEBRAICAS
Una fracción algebraica es una expresión de la forma
P (x )
donde P y Q son
Q (x )
dos polinomios, Q 0.
Con fracciones algebraicas se trabaja exactamente igual que con fracciones
numéricas:
simplificación:
x 2 5x 6
x 2 4x 4
x
2x 3
x
2
2
=
x
x
2x 3 x 3
2x 2 x 2
factorizando
sumas y restas:
Pasamos a común denominador
(mcm de los denominadores)
factorizando denominadores
x
2
2
x 1 x x x 1x 1 x x 1
x 2 2x 2
x ·x
2·x 1
x x 1x 1 x x 1x 1 x x 1x 1
x
2
2
Agrupamos numeradores.
Factorizamos el de arriba y simplificamos si se puede
(en este caso no se puede)
- 102 -
Recuerda
Productos y cocientes:
operamos
Factorizamos todos los polinomios
x 2 5x 6 x 2 9
=
:
x 2 4x 4 x 2 4
x 22 x 3x 2
=
x 22 x 3x 3
x
2x 3
x
2
2
x
x
2
x 2x 3
=
x
:
3x 3
2x 2
=
2
simplificamos
1º Paréntesis de dentro hacia fuera.
2º Productos y cocientes
3º Sumas y restas
Orden de las operaciones:
Ejercicios
40. Simplifica al máximo:
a)
6x 3
2x
b)
d)
x2 x
x2 x
x2 x
e)
x2 x
g)
x2 9
x2 6x 9
h)
x3 2x 1
x3 2x2 1
i)
x 3 2x 2
x 3 4x
j)
x2 4x 4
x2 5x 6
k)
x2 1
1 x2
l)
x 3 3x 2
3x 2 x 3
b)
3
5
x
x
c)
x
5
3
x
e)
x
x
:
3
5
f)
2
x 1
3
5
2x 3
4x 5
c)
6x 4
3x 4
x2 3x 2
f)
x2 1
41. Opera y simplifica:
a)
x
x
3
5
xx
d) ·
35
- 103 -
Ejercicios
42. Opera y simplifica:
a) 5
x
5
3
x
b)
x
2
2
2x 4
x 2x
x 2
x 2
x 2
x 2
c)
1
x 1
x 1
x 1
x 1
x 1
d)
e)
x 3
x 2
x 3
2
x 1
x
x x
f)
g)
1 3x
5x 6
x 1
2x 2
x 1
x 1
x2 3
2
x 1
x 1
x 1
3
2
6
h)
2
1 x
x 1
x 1
43. Opera y simplifica:
x2 5x 6
x2 9
b) 2
:
x 4x 4 x2 x 2
x5 x3 x2 4x 4
a) 3
·
x 4x x2 2x 1
c)
1 x2 x 1
·
1 x2 2x2 2
d)
2x3 8x 1
:
3x3 3x 3
44. Opera y simplifica:
x
x
x
x 1
a)
·
: 3
5
3
x 1 x 1
x2 5x 6 x2 4x 4
x 1
·
b) 2
2
x 4x 4
x 4
x 2
x
2
3x
c) x
x
3
3 2x 1x 1
6
6
8
2
d) x 5 : 1
x
x
x
45. Opera y simplifica:
a)
6
3
2
2
1 x
1 x
1 x
b)
c)
x 2 x 1
:
x2
2x 1
d)
x 2 x 1
·
x2
2x 1
1 x 2
1 x
1 x 2x 1 x
2
:
El rincón matemático
a) Multiplica el año en que naciste por 4 y réstale 8.
b) Multiplica el resultado anterior por 25 y añade tu edad.
c) Súmale 200
¡Qué curioso! Obtienes un número de 6 cifras, las cuatro primeras corresponden
al año en que naciste y las dos últimas a tu edad.
Las matemáticas también son mágicas. Adivina porque.
- 104 -
Soluciones
TEMA 6:
1.
a) x+10
b)x+5 = y
c)x = 8·y
d)x = 3·y
2.
a)8x
g)7x2
b)-3x
h)-2x3
c)7y
i)5x2+y
d)7x+1
j)3x2+4x
e)7x+3y
k)3x2
f)-y+1
l)5x-5
3.
a)x5
b)6x5
c)35y6
d)5y4
e)2y3
f)7
g)2x2
h)x4
i)1
4.
a)3x+15
f)x2-2x-15
b)8x
c)x2+5x
g)x -8x+15
2
d)x2+8x+15
h)x4-1
e)x2+2x-15
i)x4+x3+2x2
5.
a)5(x+y)
b)5(x+1)
c)5x(x+1)
d)x(5+y)
e)2(x-2)
6.
a)x2+4x+4
b)x2+6x+9
c)x2-10x+25
d)x2+y2+2xy
e)x2+y2-2xy
2
2
2
2
2
2
f)x -y
g)x -4
h)x -9
i)x -25
j)36-x
k)64-a2
2
2
2
2
2
2
l)a -x
m)x +4x+4
n)x +6x+9
o)x -10x+25
p)x +y2+2xy
7.
a)x4+2x3+x2
b)x4-10x2+25
c)4x2+4x+1
d)4x2-12x+9
4
3
2
2
4
e)4x +4x +x
f)4x -25
g)9x -4
h)x2/4–x+1
8.
a)(100+9)2=10000+81+1800=11881
b)(100-9)2=10000+81-1800=8281
c)(100+9)(100-9)=10000-81=9919
9.
a)x3+6x2+12x+8
b)x3-6x2+12x-8
c)8x3+36x2+54x+27
d)x6-9x4+27x2+27
10.
a)8x b)5x c)15x2 d)5x3 e)15x f)5x g)-2x2 h)8x4 i)x2+8x+1 j)13x-1 k)5x34x2-3 l)11x+7 m)-6x5 n)30x3 o)120x5 p)-10x4 q)36x4 r)-6x4 s)13x t)13x
11.
a)20+5x
b)x2+2x4
c)6x2+12x
d)2x+x2
e)4x2-20x3
f)-8x+24
12.
a)2(x+y) b)x(1+5y+x) c)x(6+x) d)4(x+y) e)x(1+2y+x) f)x(8+x)
13.
14.
Aa)5 Ab)-1·x5
Ac)0 Ad)-314/5
2
a)4(x +x) b)(6x+2) c)(a+b) d)(3x-2)
Ba)7 Bb)x7
Bc)-2 Bd)-82
15.
a)7x4+3x2 b)-1 c)7x4+5x3+3x2 d)7x4-5x3+3x2 e)5x5+6x4-x f)7x6-x5-3x3+2x2
g)-7x6+6x5+6x4-3x3+2x2-x-2 h)21x6 i)35x10-5x9-7x8+x7+7x6-x5+5x4-x2+1
j)15x7-10x6-3x5+7x4+3x3-3x2+1 k)15x5+5x3
4
l)9x +12x3+x2-5x-2 m)15x8+8x7-21x6+17x5-x4-4x3+4x2-x-1
7
6
n)15x +10x -8x5-7x4+4x3+3x2-x-1 o)105x13+55x12+46x11-57x10+35x9
p)6x3+4x2-2x-2
3
2
3
2
3
2
6
4
q)9x -6x +3 r)15x -2x -2x+1 s)-3x +10x -2x-5 t)54x -42x +12x3+24x2-6x-6
16.
a)C=x2+5x+28; R=142x-17
b)C=4x2+12x+38; R=114x+1
2
3
2
c)C=x; R=3x +7x+11
d)C=4x +12x +38x+114; R=343
e)C=2x; R=9x
f)C=x2-5x+6; R=x-1
g)C=4x2+6x-2; R=4
h)C=2/3; R=-5/3
i)C=1/2x; R=-11/2x
j)C=0; R=x2-2x+1
17.
a)C=4x3+12x2+38x+114; R=343
b)No
c)No
d)C=5x2-21x+63; R=-196
e)C=x2+4x-4; R=5 f)C=x-3; R=0
g)No
h)C=x3-6x2+30x-150; R=749
i)C=x3-x2; R=-1
j)No
18.
19.
20.
21.
22.
23.
-1/2
-27
a)2 b)0 c)-27/4 d)0
-15
21
-2
24. 25.
26.
27.
11/4
-22
a) –27 b) 24 c)28 d) -6
x2-6x+9
28.
29.
a)No b)No c)Si d)Si e)Si f)No g)No
a)25 b)12
30.
Son las mismas soluciones del problema correspondiente.
- 105 -
Soluciones
31.
a)(x-2)(x-3)
b)(x+3)2
e)(x-2)(x+2)(x-3)(x+3)
h)(x-3)(x+3)(x-5)(x+5)
c)(x-1)2(x-2)
d)(x-2)(x+2)(x-4)
f)(x-1)(x-2)
g)(x-2)(x+2)
i)(x-1)(x-3)(x+3)(x-5)(x+5)
32.
33.
2
a)x(x-2)(x+2) b)x(x+2) c)x(x-2)(x-3)
a)(x-1)(x+2)(x2+1)
d)x3(x-1)(x+1) e)x3(x-4) f)x5(x-2)(x+1)
b)(x-2)(x+2)(x2+4)
34.
35.
a)x2(x-1)3 ; o doble, 1 triple
a)4(x-1/2)(x+1/2) b)No se puede
2
2
c)4(x-2)(x+1/4) d)6(x+1/2)(x+1/3)
b)(x-1) (x+1) ; 1 dobles
2
c)x(x-2)(x+2)(x +4) ; 0, 2 simples
e)(x- 2 )(x+ 2 ) f)(x- 3 )(x+ 3 )
d)(x-1)(x-2)(x+3); 1,2.-3 simples
g)(x- 5 )(x+ 5 ) h)3(x- 5 )(x+ 5 )
e)x4+1; sin raíces f)x3(x2+1); 0 triple
36.
a)4(x-2)(x+2)(x-1/2)(x+1/2)
b)9(x+2)(x-1/3)(x+1/3)
c)(x+2)(x- 3 )(x+ 3 )
d)6(x+1)(x-1/2)(x-1/3) e)2(x-1)(x+1)(x+1/2) f)(x-1)(x+1)(x- 5 )(x+ 5 )
37.
38.
a) 2 simples: -3(x-2)(x+2)
b)0, 7/3 simples: 3x(x-7/3)
a) -1,2,-2
2
2
c) 2 dobles: (x- 2 ) (x+ 2 )
b) -1,2,-2
d) 1, 2 simples: 2(x-2)(x+2)(x-1)(x+1)
c) -1,2,3
e)-1,-2,-3 simples: 2(x+1)(x+2)(x+3)
d) -1,2,3
f)-1, 2 simples: (x+1)(x- 2 )(x+ 2 )
e) 1,-1/2,-1/3
g)-1/2 triple: 8(x+1/2)3
h)-1,-1/2 simples: 2(x+1) (x+1/2) f) 0,1
i) 1,-2/5 simples: 5(x-1)(x+1)(x+2/5)
39.
a)mcd=(x-1), mcm=(x-1)(x+1)(x+2)
b)mcd=x(x+2), mcm=x(x-2)(x+2)2
3
2
c)mcd=(x-1), mcm=x (x-1) (x+1)(x-2)
d)mcd=(x-2)(x-3), mcm=x(x-2)(x+2)(x-3)(x+3)
e)mcd=1, mcm=(x-1)2(x-2)(x-3)
f)mcd=x, mcm=x3(x-1)(x+1)
2
2
g)mcd=1, mcm=(x-1) (x+1) (x-2)(x+2)
h)mcd=x(x-2), mcm=x(x-2)2(x-3)
i)mcd=(x-2), mcm=3(x-2)(x+2)(x-1)
j)mcd=2(x-1), mcm=24(x-1)(x+1)(x+2)
k)mcd=3(x-1)(x+1), mcm=6(x-1)(x+1)
l)mcd=mcm=(x-1)(x+1)
40.
x 1
1 x
x 1
a)3x2
b)1/2x2
c)2
d)
e)
x 1
x 1
x 1
x 1
x 3
x 2
x 2
x
f)
g)
h)
i)
j)
k)-1
l)-1
x 3
x 3
x 1
x 2
x 1
41.
a) 2x/15
b) -2/x
c)
x2 15
3x
d) x2/15
e) 5/3
f)
13 3x
15
42.
x2 15x 15
1 3x
8x
x 2
b)
c) 2
d) 2
3x
2x
x 1
x 4
2
x 5
11x 8
5x 7
7x 5
e) 2
f) 2
g)
h) 2
2
x
2
x
1
x x
x 1
43.
44.
2x 8
17x 12
x2x 1x 2
x 1x 2
a)
b) 2
a)
b)
5
x
5
x
4x 4
x 1x 2
x 3x 2
2
2
3x
x 3x
1
2x 2x 2
c) 2
d)
c)
d)
x 4
x 1
x 1x 1
2 2x
45.
a)
a)
1
x 1
b)
x2 x 2
2x3 x2
c)
- 106 -
2x2 5x 2
x3 x2
d)
1 x
1 x
TEMA 7: ECUACIONES Y SISTEMAS
Recuerda
Este curso ampliaremos el campo de ecuaciones que ya iniciamos en cursos
anteriores. Por si alguien ha olvidado cosas, recordaremos algo.
Una ecuación es una igualdad donde aparecen cantidades conocidas y
desconocidas relacionadas por operaciones matemáticas. Por ejemplo:
2) 2x-1 = 8
1) 3x+4 = 5x-8
Resolver una ecuación es encontrar las cantidades desconocidas, incógnitas,
que hacen cierta la igualdad. En nuestros ejemplos, la solución sería:
1) x = 6
2) x = 4
Para resolver una ecuación hay un principio básico: todo lo que hagamos a uno
de los lados de la igualdad, miembro, debemos hacérselo al otro para
conservarla, por ejemplo:
x+5 = 8 x+5-5 = 8-5 x = 8-5 = 3
que se traduce vulgarmente por: lo que está sumando a un lado,
pasa restando al otro.
x-5 = 8 x-5+5 = 8+5 x = 8+5 = 13
que se traduce vulgarmente por: lo que está restando a un lado,
pasa sumando al otro.
20
5·x = 20 5·x:5 = 20:5 x=
=4
5
que se traduce vulgarmente por: lo que está multiplicando a un lado, pasa
dividiendo al otro.
x:6 = 5 (x:6)·6 = 5·6 x = 5·6 = 30
que se traduce vulgarmente por: lo que está dividiendo a un lado, pasa
multiplicando al otro.
- 107 -
Ejercicios
ECUACIONES DE PRIMER GRADO
1. Resuelve las siguientes ecuaciones:
a) 2x-7 = 3x-8
b) 6x-3 = 2x+1
c) 9(x-1) = 6(x+3)
d) 2x+2 = x+2
e) 10x+2x = 7x-15
f) x-7 = 2(x-3)
g) 2x+2 = x+5
h) –3x+2 = x+10
i) 12-(x-3) = 6
j) 8(x-2) = -12(3-x)
k)
2
1
1
1
x- x2
5
3
4
l) 2x-
m)
1
2
x+ x-3
3
5
n)
o)
3
2
x+1 =
x-2
4
5
p) 3-(2x+1) = 5
2
1
x+
5
3
1
3
2
1
x+ x+
3
2
5
2
q) x-(3-2x) = 3
r) 2x+(5x-2) = 3
s) x = 4-(x-2)
t) 2x-3 = 4(x+2)
u) 3-(x-2) = 4-(2x+1)
v) 2(x+1)+x = 7
w)
2x 1
x 3
5
6
4
x)
x 11
x 5
0
6
3
2. Si al triple de un número le restamos 7 obtenemos el doble
del número inicial. Hállalo.
3. Halla el número al que sumándole 5 obtenemos seis veces más
que si le restamos 5.
4. Si al doble de un número le restamos su mitad obtenemos 54.
Halla el número.
5. Si a un número le restamos 1 obtenemos el doble que si le
restamos 10. Hállalo.
6. Eva se gastó los 3/4 partes del dinero que tenía y después
la tercera parte de lo que le quedaba. Si acaba con 1 €,
¿cuánto dinero tenía al empezar?
- 108 -
Ejercicios
7. Se han consumido 7/8 del contenido de un bidón de aceite.
Reponemos 38 l y así el bidón queda lleno hasta sus 3/5
partes. Halla la capacidad del bidón.
8. Se reparten 150000 € entre tres personas A, B y C de modo
que entre A y B cobren conjuntamente doble de lo que cobra C y
que A cobre 20000 € más que B. ¿Cuánto recibe cada persona?
9. Los 65 viajeros de un avión pertenecen a 4 países.
Colocados en orden decreciente, el número de viajeros que
corresponde a cada país, México, Venezuela, Argentina y
España, cada uno de ellos es 2/3 del anterior. ¿Cuántos
viajeros hay de cada país?
10. Resuelve las siguientes ecuaciones:
a)
x 1
x 3
0
10
6
b)
x 2
x 1
1
9
3
x 1
3
2
d)
x
x 2
x 3
3
3
4
9
c) x
e)
x
x 1
x 1
1
2
3
4
f)
x 1
x 3
0
5
6
g)
x 2
x 1
x 1
0
6
3
2
h)
x 1
x 1
x 3
2
8
6
5
i)
x 5
2x 3
2
3
j)
2x 1
4x 2
3
5
k)
x 1
x 3
1
6
4
l) 2x
m)
2x 1
x 2
0
15
9
n)
o)
x 11
x 5
0
6
3
x 2
x 7
8
3x 2
x 1
7 2x
5
2
11. Resuelve las siguientes ecuaciones:
a)
x
x
x
5
2
3
4
c)
x 2
3(1 x)
10
3
2
b)
x 6
x 2
1
10
3
12. En un triángulo isósceles cada uno de los lados iguales
mide 3 cm más que el lado desigual y su perímetro es 24 cm.
¿Cuánto miden los lados?
13. La suma de dos números pares consecutivos es 90. Hállalos.
- 109 -
Ejercicios
14. El perímetro de un rectángulo es 20 cm y el lado mayor
mide 2 cm más que el menor. Halla sus lados.
15. Las edades de María y de su padre suman 54 años. Hace 5
años la edad de su padre era el triple que la de María. ¿Qué
edad tiene cada uno?
16. Resuelve las siguientes ecuaciones:
b)
3 x
x
1 x
2 x
6
2
5
3
x 2
3(1 x)
a)
10
3
2
c)
x 2
x 1
x 1
0
6
3
2
x 1
x 1
x 3
2
8
6
5
x 1
x 1
2
3
f)
x
2
x
1
3 x 7
h) 5
5
1
1
x
3 0
2
e)
2
3
2
5
x 1
x 1
3
g) 4
2
3
x
i) x
d)
1
3
x
2
4
2
17. Resuelve las siguientes ecuaciones:
a)
x 2
x 2
x 1
x 3
3
2
6
4
2
1
x
x
3
2
x
3
2
2
3
4
6
12
x
b)
c) x
d)
3x 1
x 1
x 2
1
2(x 1)
4
5
10
1 2x 5
x 3
1 5
10x 5
2x 3
2 3
2
5 4
3
1
x
1 x
2 4x 3 3x 4
x
e)
3
3
1
1
4
4
2
2
5
x
x 20
x 1
3
5
2
f)
30x
7
2
3
1
1
1
3
3
4
5
- 110 -
Ejercicios
18. ¿Qué número hay que sumar a cada uno de los dos términos
7
2
de la fracción
para obtener una fracción equivalente a
?
3
13
19. Halla los tres ángulos de un triángulo A,B,C sabiendo que
el ángulo B mide 40º más que C, y que A mide 40º más que B.
20. Calcula los ángulos del trapecio del dibujo
con las condiciones que se dan.
3x+15
3x+20
x
x+5
21. En un triángulo ABC, el ángulo A mide el triple que C y el
ángulo B mide el doble que C. Halla lo que miden los tres
ángulos.
22. La base de un rectángulo mide doble que su altura.
Hállalas sabiendo que el perímetro del rectángulo es 30 cm.
23. Halla los ángulos del paralelogramo del dibujo
con los datos que se dan.
8x
2x+20
24. Un peatón recorre 22 km en 4 h a velocidad constante.
a) Halla su velocidad en km/h.
b) Hállala en m/seg.
25. En una reunión hay doble número de mujeres que de hombres
y triple número de niños que de hombres y mujeres juntos.
¿Cuántos hombres, mujeres y niños hay, si el total es de 96
personas?
26. La valla que rodea un campo rectangular mide 3200 m.
¿Cuáles son las dimensiones del campo si su largo mide triple
que su ancho?
27. Halla el número cuya tercera parte sumada con su triplo
nos dé como resultado 40.
28. Descompón el número 133 en dos sumandos de forma que al
dividir la parte mayor por la menor dé 4 de cociente y 8 de
resto.
29. Halla dos números enteros consecutivos tales que la
diferencia entre la tercera parte del mayor y la séptima parte
del menor sea 1/5 del menor.
- 111 -
Recuerda
ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO
Son aquellas en las que la incógnita aparece, como mucho, elevada al cuadrado.
Después de operar los dos lados (miembros) de la igualdad, queda reducida a
una expresión como: ax2+bx+c = 0, con a,b,c números conocidos.
Para su resolución consideremos tres casos:
1º) Cuando c = 0.
Tenemos ax2+bx = 0 x(ax+b) = 0 Dos soluciones: x = 0, x =
2º) Cuando b = 0.
Tenemos ax2 + c = 0 x2 =
b
.
a
c
a
c
c
> 0 Dos soluciones: x =
a
a
c
b) Si = 0 c = 0 Una única solución: x = 0.
a
c
c) Si < 0 No hay ninguna solución.
a
a) Si
3º) Caso general, que también incluye los anteriores.
La solución de la ecuación viene dada por la fórmula: x
(b2-4ac = Discriminante)
b b2 4ac
2a
a) Si b2-4ac > 0 Hay dos soluciones.
b) Si b2-4ac = 0 Hay una solución.
c) Si b2-4ac < 0 No hay solución.
Podemos ver que, efectivamente, esta fórmula da la solución de la ecuación,
viendo que en ambas expresiones pone lo mismo, haciendo una serie de cálculos:
b b2 4ac
x
2ax b b2 4ac 2ax b b2 4ac
2a
Elevando al cuadrado los dos miembros de la igualdad, nos queda:
4a2x2+b2+4abx = b2-4ac 4a2x2+4abx+4ac = 0 4a (ax2+bx+c) = 0
Y como a 0 ( de lo contrario la ecuación no sería de segundo grado) tenemos
que: ax2+bx+c = 0.
- 112 -
Recuerda
Veamos algunos ejemplos:
x=0
1º) 4x2-8x = 0 x(4x-8) = 0
4x-8 = 0 x = 2
x=3
2º) x2-9 = 0 x2 = 9 x 9
3º) x2-5x+6 = 0 x
x = -3
5 25 24 5 1
2
2
x=3
x=2
Ejercicios
30. Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado:
a) x2-9x = 0
b) 4x2-16x = 0
c) 4x2-9x = 0
d) x2-x = 0
e) x2-9 = 0
f) x2-6 = 10
g) 3x2-48 = 0
h) 1-4x2 = -8
i) x2-2 = 0
j) x2+4 = 0
k)
3 2
9
x
2
2
l) x2-5 = 0
31. Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado:
a) x2-5x+6 = 0
b) x2+5x+6 = 0
c) x2-2x+1 = 0
d) x2+4x+4 = 0
e) -x2-x+2 = 0
f) 6x2-x-1 = 0
g) x2-4 = x-2
h) (x+1)(x+2) = 3(x+2)
i)
3x2 11
2x2 60
36
5
7
j) 5x+4 = 3x2+3x+3
k) 2x2-1 = 1-x-x2
l) 2x2-x+4 = 3x2+3x+3
m) 3x2-2x+1 = 0
n) 3x2+6x-3 = 0
o) x2+x+3 = 0
p) -2x2-2x-2 = 0
- 113 -
Ejercicios
32. Se tienen tres tiras de longitudes 8, 15 y 16 cm.
Se
quiere cortar a cada tira un trozo de igual longitud, de forma
que las tiras resultantes formen un triángulo rectángulo.
¿Cuál es la longitud del trozo suprimido?
33. Un depósito de forma cilíndrica cuya altura es de 10 m
tiene un volumen de 2,826 m3. Calcula los metros cuadrados de
cinc necesarios para ponerle una tapa.
34. Aumentando un lado de un cuadrado en 4 m y el otro lado
perpendicular en 6 m se obtiene un rectángulo de doble área
que el cuadrado. Halla el lado del cuadrado.
35. En un triángulo rectángulo, un cateto mide 24 cm y la
hipotenusa supera en 18 cm al otro cateto. Halla el perímetro
y el área del triángulo.
36. Haz lo mismo que en el problema 35, si un cateto es 5/13
de la hipotenusa y el otro cateto mide 48 cm.
37. Halla dos números consecutivos cuyo producto sea 182.
38. El cuadrado de un número menos su duplo es -1. Calcula el
número.
39. Los lados de un triángulo rectángulo son tres números
enteros consecutivos. Halla los lados.
40. El producto de dos enteros consecutivos es 156. Hállalos.
41. La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 13 m y la
diferencia entre los catetos es 7 m. Halla los catetos.
Amplía
Evidentemente, si los dos miembros de una ecuación cualquiera se multiplican
por el mismo número (distinto de cero), las soluciones no cambian.
Ampliando esto a una ecuación de segundo grado: ax 2+bx+c = 0, si dividimos
b
c
x 0.
a
a
Si 1 y 2 son soluciones de esta ecuación, se cumplirá:
por a tenemos: x 2
x 1 · x 2 0
luego:
x 2 1 2 x 1 2 0
b
a
c
1 2
a
1 2
relaciones conocidas como fórmulas de Cardano-Vieta.
- 114 -
Ejercicios
42. Determina las ecuaciones de segundo grado con términos en
x2 igual a 1, cuya suma de soluciones es S y su producto P.
a)S=5, P=6
c)S=
b)S=P=4
1
5
, P=
6
6
d)S=-P=1
43. Busca la ecuación de segundo grado con término en x2 igual
a 1, cuyas raíces son:
a)-1 y 4
b)1/2 y 2
c)-2 y -3/2
d) 2 y - 2
Recuerda
ECUACIONES REDUCIBLES A UNA ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO
1º) Ecuaciones formadas por productos de factores de primero y segundo grado
igualados a cero. Para resolverlas basta resolver cada factor igualado a 0. Por
ejemplo:
x-3 = 0
(x-3)(x2-4) = 0
x=2
2
x -4 = 0
x = -2
2º) Ecuaciones bicuadradas. Son aquellas en que la incógnita aparece elevada sólo
a 2 y 4 o a 3 y 6 o a 4 y 8… Se resuelven sustituyendo la incógnita elevada al
mayor grado por z2. Por ejemplo:
x4-29x2+100 = 0
z
z2-29z+100 = 0
x2 = z
29 841 400 29 21
2
2
x=5
x = 25
x = -5
x=2
x=4
x = -2
3º) Ecuaciones racionales. Son aquellas en las que la incógnita aparece en el
denominador. Operando se convierten en una ecuación de segundo grado de la que
obviaremos las soluciones que anulen el denominador. Por ejemplo:
1
1
2
x x 1 x 1
1
1
0
3
2
x 1
x x
2
1-x = 0
2
x =1
1x2
0
x 2 x 1
x=1
Solución válida
x=-1
Descartada
- 115 -
Recuerda
4º) Ecuaciones irracionales. Son aquellas en las que la incógnita aparece bajo una
raíz cuadrada. Aislándola y elevando al cuadrado se convierte en una ecuación de
segundo grado, de la que se obvian las soluciones que hacen negativo el radicando.
Por ejemplo:
2x 1 x 1
2
x=0
2
2x+1 = x -2x+1
0 = x -4x
x=4
Ejercicios
ambas válidas
44. Resuelve las siguientes ecuaciones:
a)(x-1)(x-2)=0
b)(2x-5)(7x-3)=0
c)(x-1)(x-2)(x+3)=0
d)(x-2)(x2-1)=0
45. Resuelve las siguientes ecuaciones:
a)4x4-5x2+1=0
b)x4-13x2+36=0
c)x4+5x2+4=0
d)2x4-x2+1=0
e)12x4+x2-1=0
f)x4+3x2+2=0
g)x4-x2-6=0
h)x4+2x2-3=0
i)2x4+x2-1=0
j)x4+5x2+6=0
k)x6+3x3+2=0
46. Resuelve las siguientes ecuaciones:
a)
4
x
12
x
2
x
b)
x
x 1
13
x 1
x
6
c)
3 x
2
4
5
x
5
d)
4
x
1
x
2
e)
2x 1
x 7
3x 1
4
x 1
x 1
x 2
f)
1
3
2 5
x
x
g)
3
2
3
x 1
1 x
h)
2
5
1
2
2x 5
2x 5x
2
47. Resuelve las siguientes ecuaciones:
a) 3x 2 4 0
c) 2x 3 2
b) 2 x 4
x
3
d) x2 3 2 x
f) x 3
e) 2x 1 x 1
g) x 1
5x 4
6x 9
x 1 1
48. Hay una fracción de
inversa da 13/6. Hállala.
denominador
- 116 -
2
que
sumada
con
su
49. Halla un número
cuadrada dé 24.
que
sumado
con
el
doble
de
su
raíz
Recuerda
ECUACIONES POLINÓMICAS
Todo lo visto nos va a permitir resolver algunas ecuaciones polinómicas de grado
mayor que 2. Con un ejemplo se entenderá mejor:
x3-2x2+3 = x2+x
x3-3x2-x+3 = 0
Resolver la ecuación equivale a hallar las raíces del polinomio: x 3-3x2-x+3.
Hallar las raíces implica el mismo proceso que factorizarlo:
1
1
1
-1
1
-3
-1
3
1
-2
-3
-2
-3
0
-1
3
-3
0
(x3-3x2-x+3) = (x-1)(x+1)(x-3) = 0
x=1
x = -1
x=3
soluciones
y aún mejor:
1
1
1
-3
-1
3
1
-2
-3
-2
-3
0
(x3-3x2-x+3) = (x-1)(x2-2x-3)= 0
x=1
2 4 12 2 4
x
2
2
x=3
x = -1
Ejercicios
50. Resuelve las siguientes ecuaciones:
a)x3+x2-4x-4=0
d)x+6=4x2-x3
b)2x3+x2=x3+4x+4
e)6x3-x2-4x-1=0
- 117 -
c)x3-4x2+x+6=0
f)2x4-2x3+2x2-2x=0
Recuerda
SISTEMAS DE DOS ECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITAS
Son aquellos formados por dos ecuaciones de primer grado con dos cantidades
desconocidas.
Resolverlo es encontrar el valor, o los valores, de las incógnitas que verifican las
dos ecuaciones simultáneamente.
Hay varios métodos para resolverlas. Veámoslos con un ejemplo:
Por sustitución: Consiste en elegir una incógnita en una de las ecuaciones y
sustituirla, despejada, en la otra. Veamos un ejemplo:
2x 3y 1
x 2y 0
2(2y)+3y=1 7y=1 y
x=2y
1
7
x
2
7
Solución: x = 2/7, y = 1/7
Por igualación: Consiste en elegir una incógnita, despejarla en las dos
ecuaciones, e igualar. Veámoslo en el ejemplo:
2x 3y 1
x 2y 0
1 3y
2
x = 2y
x
1 3y
1
2y 1 3y 4y y
2
7
Sustituyéndolo en la segunda ecuación: x-2·
1
2
=0 x
7
7
Por reducción: Consiste en operar las ecuaciones de modo que desaparezca
una incógnita. Veámoslo en el ejemplo:
2x 3y 1
2x 3y 1 Restando
x 2y 0
2x 4y 0
Sustituyéndolo en una ecuación:
x 2·
7y=1 y=
1
7
1
2
0x
7
7
Hay que tener en cuenta que un sistema puede no tener una única solución,
por ejemplo:
x y 1
Ejemplo 1:
No tiene solución.
x y 0
Ejemplo2:
x y 1
Tiene infinitas soluciones.
2x 2y 2
- 118 -
Ejercicios
51. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones lineales
con dos incógnitas, usando un método distinto para cada uno:
a)
x y 1
x y 0
b)
2x y 1
2x y 0
c)
2x y 2
2x 3y 1
d)
2x 2y x
3x y y
e)
5x 4y 3 0
x y 0
f)
5x 2y 3x y
4x 2y x y
x
y
1
2
3
g) 3
1
3x y
2
x
y
1
2
h) 2
x
y
2
2
2
x
y
2
i) 2
2
x y 4
2x y 1
j)
4x 2y 3
x y 1
k)
3x 3y 3
3x
5y
2
2
4
l)
12x
3
1
y
5
4
52. Cierto día, en una cafetería, hemos consumido un bocadillo
y un refresco que nos han costado 3 €. Al día siguiente, por
cuatro refrescos y tres bocadillos nos pidieron 10,25 €. ¿Cuál
es el precio de cada cosa?
53. Por 5,6 € se han comprado 6 kg de azúcar de clase A y 2 kg
de azúcar de clase B. Se mezcla 1 kg de azúcar de cada clase y
se obtiene una mezcla de 0,75 € el kg. ¿Cuánto vale el kg de
azúcar de cada clase?
54. Un comerciante compra un pañuelo y una bufanda por 20 € y
los vende por 22,6 €. ¿Cuánto le costó cada objeto, sabiendo
que en la venta del pañuelo ganó el 10% y en la de la bufanda
el 15%?
55. Los radios de dos circunferencias concéntricas difieren en
24cm, y uno es 5/7 del otro. Halla el área de la corona
circular limitada por las dos circunferencias.
56. Un corral tiene conejos y gallinas, con un total de 35
animales y 116 patas. ¿Cuántos animales hay de cada especie?
57. ¿Cuál es el área de un rectángulo del que se sabe que el
perímetro es 16cm y que su base mide triple que su altura?
58. La suma de dos números es 79 y el cociente entre ellos nos
da como resultado 7 con resto 7. Halla los números.
- 119 -
Ejercicios
59. Halla el número de dos cifras del que se sabe que la suma
de sus dos cifras es 10 y que al invertir el orden de sus
cifras resulta otro número igual a 26 más el doble del
inicial. (Pista: 78=7·10+8; 59=5·10+9; 87=8·10+7)
60. Halla un número de dos cifras del que se sabe que su cifra
de las unidades es doble que la de sus decenas, y que si se
invierte el orden de sus cifras, dicho número aumenta en 36
unidades.
61. La edad de un padre es doble que la de su hijo. Hace 10
años, la edad del padre era triple que la del hijo. ¿Qué edad
tienen ahora?
62. Un hermano le dice al otro: “si yo tuviera 5 años más y tú
5 menos, seríamos gemelos”. Y el otro le contesta: “si yo
tuviera 10 años más y tú 10 menos, te doblaría la edad”. ¿Qué
edades tienen ahora?
63. Hace dos años, un padre tenía el triple de la edad de su
hijo, y dentro de 11 sólo tendrá el doble. Halla las edades de
ambos ahora.
64. Un padre tiene 37 años, y las edades de sus tres hijos
suman 25. ¿Dentro de cuántos años las edades de los hijos
sumarán como la edad del padre?
65. Un padre tiene 26 años más que su hijo. Cuando pasen dos
años, la edad del padre será triple que la del hijo. ¿Qué
edades tienen ahora?
66. Luís preguntó a Juan cuántos años tenía, y Juan le
contestó: “si al triple de los años que tendré dentro de tres
años le restas el triple de los años que tenía hace tres años,
tendrás los años que tengo ahora”. ¿Cuántos son?
67. En un colegio, entre chicos y chicas, hay 300 personas.
Del total asisten a una excursión 155 personas. Se sabe que a
la excursión han ido el 65% de los chicos y el 40% de las
chicas. ¿Cuántos chicos y chicas hay en el colegio?
68. Un automóvil sale de Madrid a una velocidad de 68 Km/h.
Después de una hora y cuarto sale otro coche en su persecución
y le alcanza 5 horas después. ¿Cuál es la velocidad del
segundo coche?
69. Dos
ciudades
velocidad
tiempo y
si van en
coches de línea salen simultáneamente desde dos
que distan entre sí 600 km. Si uno lleva una
de 56 km/h, y el otro de 64 km/h. ¿Después de cuánto
a qué distancia de las dos ciudades se encontrarán,
sentidos contrarios y a encontrarse?
- 120 -
Ejercicios
70. Dos ciudades A y B distan entre sí 180 km. A las 5 de la
mañana sale un coche de cada ciudad en el mismo sentido. El
que sale de A marcha a 90 km/h, y el que sale de B va a 60
km/h, ¿Al cabo de cuánto tiempo un coche alcanzará al otro? ¿A
qué hora ocurrirá esto? ¿Qué distancia habrá recorrido cada
coche?
71. Las ciudades A y B distan entre sí 60 km. A la misma hora,
salen de ambas, dos coches en el mismo sentido. El que sale de
A a 120 km/h, y el que sale de B a 90 km/h. ¿Al cabo de cuánto
tiempo se encontrarán?
72. Resuelve el siguiente sistema de tres ecuaciones lineales,
sustituyendo una de las incógnitas en las otras ecuaciones:
x y z 1
x y 2z 2
x y z 1
El rincón matemático
Abu Abdallah Muhammad ibn Mūsā al-Jwārizmī
()أبو عبد هللا محمد بن موسى الخوارزمي ابو جعفر
Conocido como al-Jwārizmī fue un matemático , astrónomo y
geógrafo persa musulmán.
Se le considera el padre del álgebra.
Vivió aproximadamente entre 780 y 850.
Soluciones
TEMA 7
1.
a)1
b)1
c)9
d)0
e)-3
f)-1
g)3
h)-2
i)9
j)5
k)28/15
l)13/15
m)48/5
n)-9/25
o)-60/7
p)-3/2
q)2
r)5/7
s)3
t)-11/2
u)-2
v)5/3
w)53
x)1
2.
3.
4.
5.
6.
7.
7
7
36
19
6 €
80 l
8.
9.
A=60000 B=40000 C=50000 27 México;18 Venezuela; 12 Argentina; 8 España.
10.
a)9
b)7
c)7
d)6
e)19/7
f)9
g)7/2
h)7
i)9
j)-11/2
k)5
l)6
m)7
n)-61/9
o)1
11.
12.
13.
14.
15.
a)60/7 b)4 c)-55/7
6, 9 y 9 cm
44 y 46
4 y 6 cm
16 y 38
16.
a)73/11 b)-11/4 c)7/2 d)7 e)5/6 f)-5/7 g)60/29 h)-265/36 i)5/2
17.
a)-7/11
b)2
c)-25/11
d)-26/11
e)1/8
f)-18/5
18.
19
20.
21.
5
20º, 60º, 100º
40º, 45º, 135º, 140º
30º, 60º, 90º
- 121 -
Soluciones
22.
23.
128º y 52º
Base 10, altura 5
24.
a)5,5
b) 1,527
29.
35 y 36
25.
26.
27.
28.
8 H, 16 M, 72 N
400m x 1200m
12
108 y 25
30.
a)0 y 9
b)0 y 4
c)0 y 9/4
d)0 y 1
e) 3
f) 4
3
g) 4
h)
i) 2
j)No tiene solución.
k) 3
l)
2
31.
a)2 y 3
b)-2 y -3
c)1
d)-2
e)1 y -2
f)1/2 y -1/3
g)2 y -1
h) 2
i) 9
j)1 y -1/3
k)-1 y 2/3
l) 2
20
2
n) 1
m)No tiene.
32.
33.
8
2
o)No tiene.
34.
5
p)No tiene.
35.
P=56cm, A=84cm2
36.
37.
38.
2
P=120cm, A=480cm
13 y 14 o -13 y -14
1
39.
40.
41.
3,4 y 5
12 y 13 o -13 y -12
5 y 12
42.
a)x2-5x+6=0
b)x2-4x+4=0
c)6x2+5x-1=0
d)x2-x-1=0
43.
44.
2
2
a)x -3x-4=0
b)2x -5x+2=0
a)1 y 2
b)5/2 y 3/7
c)2x2+7x+6=0
d)x2-2=0
c)1, 2 y –3
d)2, 1 y -1
45.
3 cm
0,2826
a) 1, 1/2
b) 3, 2
g)
f)No solución
12 m
c)No solución
d)No solución
e) 1/2
2
h) 1
i)
j)No solución
k)-1 , 3 2
2
3
46.
a) 4
b)2,-3
c)2,5
d)2,-4
e)5, -5/4
f)No solución
47.
a)6
b)12
c)3
d)-1/4
e)0 y 4
f)0 y 12
g)5/4
g)2,-4/3 h)1
48.
49.
3/2
16
50.
a)-1,2,-2
b)-1,2,-2
c)-1,2,3
d)-1,2,3
e)1,-1/2,-1/3
f)0,1
51.
a)x=y=1/2
b)x=1/4, y=1/2
c)x=5/4, y=-1/2
d)x=y=0
e)x=y=1/3
f)x=y=0
g)x=5/11, y=7/22
h)x=3, y=-1
i)Infinitas soluciones
j)Sin solución
k)Infinitas soluciones
l)x=2/3, y=4/5
52.
53.
54.
Ref=1,25, Boc=1,75 0,65 € el kg de A y 0,85 € el de B
Pañ=8 €, Buf=12 €
55.
56.
57.
58.
59.
60.
2
2
23 conejos, 12 gallinas
12 cm
70 y 9
28
48
3456 cm
61.
62.
63.
64.
65.
66.
20 y 40 años 40 y 50 años 41 y 15 años 6 años
11 y 37 años
18 años
67.
68.
69.
Chicos=175, chicas=125 85 km/h
5 horas, 280 y 320 km
70.
71.
72.
6 horas, 11 de la mañana, 540 y 360 km
2 horas
x=0, y=0, z=1
- 122 -
TEMA8: FUNCIONES
Recuerda
EL CONCEPTO DE FUNCIÓN
Son muchos los aspectos de la vida diaria donde encontramos dos o más
cantidades relacionadas entre sí de forma que unas dependen de otras. Por
ejemplo, la longitud de un muelle depende del peso que le colguemos, la presión de
una olla depende de la temperatura que alcance, la balanza de pagos de un país
depende de las importaciones y las exportaciones.
Una función es el concepto matemático que expresa estas relaciones. Nosotros
nos limitaremos a estudiar aquellos casos en que se relacionan números reales con
números reales (funciones reales de variable real).
Básicamente tenemos, pues, un conjunto de partida (a cuyos elementos
llamaremos variable independiente), un conjunto de llegada (variable
dependiente) y algo que me permite asignarle a cada elemento del conjunto de
partida, como máximo un elemento del conjunto de llegada (función):
A
(conjunto partida)
f
(función)
B
(conjunto llegada)
Si a (de A) está relacionado con b (de B), escribiremos f(a) = b, y diremos que b
es la imagen de a, o que a es el original o la antiimagen de b. Esta relación se
escribe f(a) = b o f-1(b) = a .
Una función puede venir dada de varias formas:
a) Por una tabla de valores. Por ejemplo, la temperatura máxima alcanzada en una
ciudad (T) los siete primeros días del mes de agosto (D):
D
T
1
28º
2
30º
3
33º
4
31º
5
29º
6
30º
7
29º
b) Por una expresión analítica. Fórmula que nos da la relación entre las variables.
Por ejemplo f(x) = 2x es la función que a cada número real le asigna su doble,
es decir, f(3) = 6, f(-1) = -2, f(0,3) = 0,6 etc.
- 123 -
Recuerda
c) Cualquier norma que deje bien claro cuál es la imagen de un elemento del
conjunto de partida. Por ejemplo:
asigna a los números negativos su doble
2x , si x 0
f (x ) 1
, si x 0 el 0 no tiene imagen y asigna a cada número positivo su inverso
x
d) Representación gráfica. Aprovechando que podemos poner en el eje horizontal
(del sistema de referencia cartesiano) el conjunto de partida y en el vertical
el de llegada, se pone un punto para indicar que dos números están
relacionados. En los ejemplos de los apartados anteriores sería:
T
a)
b)
y=f(x)
c)
y
33
30
x
x
28
1 2
3
4
5
6
7
Ejercicios
1. Sabiendo que el espacio recorrido e en km por un coche en 5
horas viene dado por la siguiente gráfica, se pide:
a)¿Cuándo ha estado parado?
b)¿Cuándo ha retrocedido?
c)¿Cuál ha sido su velocidad media?
d)¿Cuándo ha llevado velocidad constante?
e)¿Cuántos kilómetros ha recorrido en total?
e
100
80
60
40
20
t
1
2
3
4
5
2. A continuación siguen las gráficas que corresponden al
nivel que alcanza el agua en las botellas de la derecha que se
van llenando con un grifo que gotea de forma constante.
a) Relaciona cada gráfica con su botella.
Altura
1
2
3
A
B
D
C
4
b) Inventa una botella cuya gráfica sea:
- 124 -
Tiempo
Ejercicios
3. Cierta empresa ofrece diariamente un recorrido turístico
para un grupo de 12 personas como máximo. El precio de la
visita, por persona, depende del tamaño del grupo: 20 € en
grupos de menos de 4 personas, 10 € en grupos de 4 a 7
personas y 6 € en grupos mayores. Sea f(x) la función que
describe el dinero que ingresa la empresa con un grupo de x
personas. Representa gráficamente f(x).
4. Los pájaros de cierta especie emigran de la zona A a la B
que distan 1000 km entre sí. Suponemos que la zona A
corresponde al km 0 de la ruta, y la B al km 1000. Al
principio y al final de la ruta se encuentran diversas fuentes
de alimentación, pero a lo largo de la ruta, los pájaros sólo
encuentran alimento en el km 400.
a) Representa gráficamente la función
distancia del km. x del recorrido
alimentación más cercana.
que describe
a la fuente
la
de
b) ¿En qué km. del recorrido se alcanza la máxima distancia
al alimento?
c) Da la forma analítica (fórmula) de la función.
5. Dadas las funciones siguientes, halla para cada una de
ellas: a)f(0) b)f(-4)
c)f(1)
d)f-1(1)
e)f-1(0)
f)f-1(3)
Funciones:
5.1) y
5.2)
y
x
x
17/4
6,5
5.3)
f(x)=5
5.4)
f(x)=3x-2
5.5)
f(x)=x2-5x+6
5.6)
f(x)= x
5.7)
f(x)=1/x
5.8)
f(x)=x3
Recuerda
DOMINIO Y RECORRIDO
Se llama dominio de definición o campo de existencia de una función al conjunto
de valores de x (conjunto de partida) para los que existe una función o está
1
definida. Por ejemplo, y =
no existe cuando x=1, luego su dominio es todos
x 1
los números reales excepto el 1.
Se llama recorrido de una función al conjunto de valores y (conjunto de llegada)
que están relacionados por ella con algún valor del dominio. Por ejemplo, y = x 2,
cuando y = 1 está relacionado con x = 1 y x = -1, luego está en el recorrido; sin
embargo, no hay ningún número que elevado al cuadrado nos dé -1, luego y = -1 no
está en el recorrido.
- 125 -
Ejercicios
6. Halla el dominio de las siguientes funciones:
a)
y
y
b)
y
c)
x
x
x
d)y=5
e)y=2x+1
h)y=1/x
i)y= x 1
f)y=x2-6x+9
1
j)y=
x 1
g)y= x
k)y= x 2
7. Halla el recorrido de las funciones del problema 6.
8. Halla el dominio de las siguientes funciones:
a)y=
x3
1
x2 2
b)y=
2x 2 3
x2 x 2
d)y= x 2 3x 5
e)y= x 2 4
g)y= x 2 5x 6
h)y=
1
x 1
2
c)y=
x 2 3x 2
x3 5x 2 x 3
f)y= x 2 1
i)y=
1
x
2
4
9. Halla el dominio de:
a)y=
x 1
x 2
x 2 5x 6
b)y=
x 2 2x 1
x 2 5x 6
c)y=
x2 1
d)y=
x 1
x2 1
x2 4
e)y=
x 1
x 22
f)y=
x 33
Recuerda
No confundas nunca el dominio de una función con el conjunto de valores para los
que tiene sentido en un problema concreto.
Por ejemplo, en el problema: “A un cuadrado de lado 30 cm. se le
recortan 4 cuadrados de lado x en las esquinas para formar un
prisma como el de la figura, halla el área y el volumen del prisma
en función de x”
La solución sería:
A = 302-4x2 = 900-4x2
V = x(30-2x)2 = 900x-120x2+4x3
x
x
30
x
x
30
x
x
x
x
x
x
30-x
30-x
En ambos casos, las funciones tienen por dominio R, pero en el problema concreto
que resuelven, x toma valores sólo entre 0 y 15: 0<x<15 ( si no, no habría caja).
- 126 -
Observa
LÍMITE DE UNA FUNCIÓN
Veremos ahora un concepto esencial para el estudio de aspectos fundamentales
relativos a funciones, que estudiaremos más adelante. El concepto de límite
clarificará cuestiones tan importantes como el de velocidad instantánea, recta
tangente a una curva, área encerrada por una curva y otros muchos.
Veámoslo con algunos ejemplos:
Ejemplo 1:
y = x2
x
y
2,9
8,41
2,99
8,9401
2,999
8,994001
2,9999
8,99940001
2,99999
8,99994...
x
y
3,1
9,61
3,01
9,0601
3,001
9,006001
3,0001
9,00060001
3,00001
9,00006...
Observa que si x se acerca a 3 (x<3, x 3), entonces y = x2 se acerca a 9 de modo
que la diferencia entre x2 y 9 puede hacerse tan pequeña como se desee si x está
suficientemente cerca de 3. Esto lo expresamos así:
lim (x2) = 9
x 3
Observa que si x se acerca a 3 (x>3, x 3), entonces ocurre lo mismo, y lo
expresaremos:
lim (x2) = 9
x 3
Cuando ocurre esto, es decir lim (x2) = lim (x2) decimos que existe:
x 3
x 3
lim (x2) = 9
x 3
Ejemplo 2:
y=
x
x
y
Cuando x>0, lim
x 0
0,1
0,316227766
0,01
0,1
0,001
0,031622777
0,0001
0,00001
0,01 0,003162278
x = 0.
Cuando x<0, f(x) no existe, por eso no existe lim
x 0
x .
Como los límites laterales no son iguales, decimos que lim
x 0
- 127 -
x no existe.
Y sigue con observa
Ejemplo 3:
y=
1
x
x
y
-0,1
-10
x
y
0,1
10
Observa que si x 0- ,
-0,001
-1000
-0,000000000001
-1000000000000
0,0001
10000
-(10-100)
-10100
-(10-1000000)
-101000000
10-1000000
101000000
0,000000000000000001
1000000000000000000
1
toma cada vez valores menores, alcanzando valores
x
inferiores a cualquier cantidad que podamos fijar ( si x está suficientemente
cerca de 0, x 0). Escribiremos:
lim (1/x) =
Si x0+,
x 0
1
toma cada vez valores mayores, que superarán cualquier cota que
x
podamos plantear (si x está suficientemente cerca de 0). Escribiremos entonces:
lim (1/x) = + .
x 0
Por supuesto, según lo dicho, lim (1/x) no existe.
x 0
Usaremos siempre el símbolo (- ) para indicar que algo alcanza valores
inferiores a cualquier cantidad que planteemos, por baja que sea, y el símbolo (+
) para indicar que algo alcanza valores superiores a cualquier cantidad que
queramos dar, por grande que sea.
Ejercicios
10. Contesta a la vista de las gráficas:
10.1
y
a) lim f(x)
b) lim f(x)
c) lim f(x)
d) lim f(x)
e) lim f(x)
f) lim f(x)
g) lim f(x)
h) lim f(x)
x 2
x 2
x
x 3
x 3
- 128 -
x 2
x 0
x 5
x 5
Ejercicios
10.2
y
a) lim f(x)
b) lim f(x)
c) lim f(x)
d) lim f(x)
e) lim f(x)
f) lim f(x)
x
x
x 0
x
x 0
x 2
x 2
g) lim f(x)
x 0
y
10.3
a) lim f(x)
b) lim f(x)
c) lim f(x)
d) lim f(x)
e) lim f(x)
f) lim f(x)
g) lim f(x)
h) lim f(x)
x 5
x 5
x 3
x
x 3
x 3
x 0
x 0
x 5
y
10.4
a) lim
x
x
f(x)
b) lim
x 3
f(x)
c) lim f(x)
d) lim f(x)
e) lim f(x)
f) lim f(x)
x 1
x 2
x 2
x
11. Dibuja una función que cumpla las condiciones que se dan
en cada caso:
a) D= 3,3 , lim f(x)=1, lim f(x)=2
x 0
x 0
b) lim f(x)=0, f(0)=-1, f(-1)=2
x 1
c) lim f(x)=1, lim f(x)=-2, f(2)=0
x 2
x 2
d) D=R excepto 2, lim f(x)=2, lim f(x)=4
x 3
x 2
e) D=R excepto -2 y 3,
lim f(x)=3,
x 2
lim f(x)=0,
x
lim f(x)=1,
x 0
lim f(x)=-,
x 2
lim f(x)=+
x
12. Calcula los siguientes límites:
a) lim (x3-x2+1)
b) lim (x3-x2+1)
c) lim (x3-x2+1)
d) lim (x4+x-1)
e) lim (1/x)
f) lim (1/x)
x 5
x
g) lim
x 1
x2 1
x 2 2x 1
x
x 3
h) lim 2x 3
x 3
- 129 -
x
x
Observa
CÁLCULO DE LÍMITES
En principio, el cálculo de límites no es difícil y sigue unas normas, digamos,
intuitivas, es decir:
si f(x) 9
y
g(x) 4, tenemos:
x a
x a
(f+g)(x) 13
(f-g)(x) 5
(7·f)(x) 63
(f·g)(x) 36
(f/g)(x) 1,5
( f )(x) 3
x a
x a
x a
x a
x a
3
g
(g )(x) 64
x a
(2 )(x) 16
x a
x a
si f(x) 9
y
x a
g(x) 0+, tenemos:
x a
(f+g)(x) 9
(f-g)(x) 9
(7·g)(x) 0
(f·g)(x) 0
(f/g)(x) +
(g/f)(x) 0
x a
x a
x a
x a
x a
x a
g
( g )(x) 0
(2 )(x) 1
x a
x a
si f(x) 9
y
x a
g(x) - , tenemos:
x a
(f+g)(x) -
(f-g)(x) +
(3·g)(x) -
(f·g)(x) -
(f/g)(x) 0
(g/f)(x) -
x a
x a
x a
x a
x a
x a
g
( g )(x) No existe
(2 )(x) 0
x a
Y así muchos otros casos que escribiremos: 2( ) = 0 de forma abreviada para
indicar el último caso expuesto, sabiendo que sólo es una expresión formal y que
no tiene el significado habitual.
Tenemos así, a partir de las propiedades de las operaciones que intervienen:
(a)+(b) = (a+b)
(a):(b) = (a:b), b0
(a)-(b) = (a-b)
(2)a = (2a)
(a)/(0-) = (+), a<0
(+)·(+) = (+)
(2)·(+) = (+)
(a)/(0+) = (+), a>0
(a)/(0-) = (-), a>0
(+)·(-) = (-)
(-3)·(+) = (-)
( a) =( a ), a0
- 130 -
(a)·(b) = (a·b)
(a)n = (an)
(a)/(0+) = (-), a<0
(+)+(+) = (+)
(-)·(-) = (+)
(2)·(-) = (-)
Observa
Y seguimos con algunos casos más:
(-3)·(-) = (+)
(-)/(2) = (-)
(+)/(0 -) = (-)
(+)/(2) = (+)
(-)/(-3) = (+)
(-)/(0+) = (-)
() = (+)
1
=0
(2) ( )
1
=0
( ) ( ) =
(2)( ) = (+)
(+)/(-3) = (-)
(+)/(0+) = (+)
(-)/(0-) = (+)
() No existe.
(0) ( ) = 0
( ) ( ) = (+)
()( ) No existe.
( ) ( ) No existe.
y más casos que sólo te aburrirían.
.
La razón es la siguiente: Una fracción aumenta cuando aumenta el numerador y
cuando disminuye el denominador (ambos positivos para no liarnos). Una fracción
disminuye cuando disminuye el numerador y cuando aumenta el denominador.
Según esto:
7
= 0 pues aumenta el denominador
disminuye la fracción
Observarás que hay casos que no aparecen, por ejemplo,
= + pues aumenta el numerador
7
aumenta la fracción
7
= + pues disminuye el denominador
0
= + pues
0
aumenta la fracción
aumenta el numerador aumenta la fracción
disminuye el denominador aumenta la fracción
aumenta la fracción
=?
pues
aumenta el numerador aumenta la fracción
aumenta el denominador disminuye la fracción
contradicción
En estos casos se dice que hay una indeterminación, y para determinarla, es
decir, para calcular el límite hay que estudiar cada caso, pues no siempre ocurre
lo mismo. Veámoslo con algunos ejemplos.
- 131 -
Observa
Ejemplos de indeterminación
x2 1
= 0 y es indeterminación del tipo .
lim 3
x x 1
3
x 1
= + y es indeterminación del tipo .
lim 2
x x 1
2
4x 1
= 2 y es indeterminación del tipo .
lim
2
x 2x 1
Otros tipos de indeterminaciones son:
(+)-(+)
0
0
(∞)0
0·∞
00
1∞
Algunas de ellas no te parecerán indeterminaciones, pero un estudio más
profundo te convencerá de ello.
Algunas de ellas aprenderemos a resolverlas en algunos casos sencillos, otras
necesitan un aparato matemático para resolverse que está fuera de tu alcance.
Recuerda en todo momento, que 1 no es el número 1 elevado a algo (que siempre
da 1), sino algo que se acerca a 1 elevado a algo que crece sin parar.
Indeterminaciones del tipo
(siendo numerador y denominador dos polinomios).
Comprueba, en primer lugar, que se cumple que lim (Polinomio) coincide con el lim
x
x
(Término principal del polinomio). Por ejemplo:
lim (x4+3x3+x2+7) = lim (x4) = +
x
x
+x4 =
+3x3 =
+x =
Si x = -1000
Si x = -1000000
1000000000000
-3000000000
1000000
+7
997.001.000.007
+x4 = 1000000000000000000000000
+3x3 =
-3000000000000000000
+x =
1000000000000
+7
999997.000001.000.000000007
y a mayor valor de x, mayor valor del polinomio.
- 132 -
Observa
Según esto tenemos:
lim
x
lim
x
si n>m → + ( si a/b > 0)
si n>m → - ( si a/b < 0)
si n<m → 0
a
si n = m →
b
ax .....
ax
a
= lim
= lim xn-m
m
m
x
x
bx ....
b
bx
n
n
ax n .....
ax n
a
=
= lim xn-m
lim
m
m
x b
bx .... x bx
Por ejemplo:
si n>m → (+) o (-)
según el signo de a/b
y si n-m es par o impar
si n<m → 0
a
si n = m →
b
3x 5
3x 5 7 x 3 x 2
3
= lim
= lim x = -
lim
4
3
x 2x 7 x x 3
x 2x 4
x 2
lim 99x 2 7 x 8
99x 2
99
=
= lim
=9
lim
2
2
x 11 x
x 11
11x 7
x
Ejercicios
13. Calcula los siguientes límites:
2x 3 x 2
x
x3 x
2x 3 x 2
d) lim
x
x2 x
4x 3 1
g) lim
x 5x 4 x
4x 2 x
j) lim
x
x2 1
a) lim
2x 3 x 2
x x 3 x
2x 3 x 2
e) lim
x x 2 x
4x 3 1
h) lim
x 5x 4 x
25x4 x 2
k) lim
x
5x3 1
b) lim
2x 3
x2
x3
2x 3
f) lim
x2
x2
4x 3
i) lim
x 2 5x 4
cos x
l) lim
x
x
c) lim
Observa
0
0
(siendo numerador y denominador dos polinomios)
Indeterminaciones del tipo
- 133 -
x2
x
x2
x
1
x
Observa
Todas las indeterminaciones del tipo que estamos estudiando (0/0) que son un
cociente de polinomios que tienden a 0 pueden hacerse del mismo modo:
factorizándolos.
Por ejemplo:
0/0
lim
x2 x 2
(x 1)( x 2)
x 2 3
= lim
= lim
=
2
x 1 ( x 1)( x 1)
x 1 x 1
2
x 1
lim
x 4
(x 2)
(x 2)( x 2)
= lim
= lim
= -4
x 5x 6 x2 (x 2)( x 3) x2 (x 3)
x 1
0/0
x 2
2
2
0/0
lim
x 1
x 3 3x 2 3x 1
(x 1) 2
(x 1) 3
=
=
=0
lim
lim
x 1 ( x 1)( x 2 x 1)
x 1 x 2 x 1
x3 1
0/0
lim
x 2
(x 2)( x 2)
x 4
x 2
= X lim
= lim
= -
2
x 2
x 2 x 2
(x 2)
x 4x 4
2
2
Ejercicios
14. Calcula los siguientes límites:
x2 25
2
x 5 x
10x 25
x3 x2
d) lim 3
x 1 x
1
a) lim
x2 6x 9
x 3
x2 9
x3 x
e) lim 2
x 1 x
1
b) lim
x2 6x 9
x 3
x2 9
x3 3x2 3x 1
f) lim
x 1
x3 2x2 x
c) lim
15. Calcula los siguientes límites:
a) lim 2x
x
b) lim 2x
c) lim1 4x
x
x
- 134 -
2
d) lim1 4x
x
2
Observa
CONTINUIDAD
Intuitivamente, el concepto de continuidad es muy claro:
La función del dibujo es continua en “a“ (porque su gráfica,
al pasar por “a ” se dibuja de un solo trazo).
y
La función del dibujo es discontinua en “ b” (porque, al pasar
por “b” la gráfica, levantamos el lápiz del papel).
x
a
b
Esto nos lleva a la definición de continuidad en un punto.
Para que la función f(x) sea continua en a debe ocurrir:
lim f(x) = f(a).
xa
Una función discontinua en un punto puede serlo de varias formas:
1ª) Discontinuidad evitable Cuando lim f(x) ≠ f(a).
xa
y
x
(que coincide con la
x
recta y=x salvo en x=0) tiene una discontinuidad
evitable en x=0.
Por ejemplo, la función y =
2
a
x
2ª) Discontinuidad de salto Cuando lim f(x) = Nº ≠ lim f(x) = Nº.
x a
x a
Por ejemplo, la función y=E[x] (parte entera de un
número) es discontinua en todos los números enteros,
y todas las discontinuidades son de salto.
y
x
a
3ª) Discontinuidad esencial . Cuando lim f(x) = ∞ o lim f(x) = ∞.
x a
1
presenta una discontinuidad
x
esencial en x = 0.
Por ejemplo, y=
x a
y
x
a
Hay funciones, como por ejemplo y = 1 x 2 que sólo están
definidas en [-1,1], y sólo tienen un trazo. Se dice entonces
que son continuas en [-1,1] y no nos preocupamos de lo que
ocurre en los extremos por el lado donde no existe la función.
- 135 -
y
1 1
-1
1
x
Ejercicios
16. Para las siguientes
discontinuidades:
a)
funciones,
b)
y
halla
i)y=
1
x 4
2
las
y
x
e)y=x2+x+1
j)y=
clasifica
c)
y
x
d)y=x+1
y
1
x 4
2
1
x
x2 1
k)y=
x
f)y=
x
h)y=
g)y= x
l)y=
x
x 1
2
x 1
x 1
m)y= x 1
17. Para la función de la siguiente gráfica, se pide:
a)f(1)
b) lim f(x)
x 1
c)Continuidad en x=1
d) lim f(x)
x 4
e)f(4)
f)Continuidad en x=4
g) lim f(x)
x 6
h)f(6)
i)Continuidad en x=6
3x 2
, se pide:
x 2
b) lim f(x)
c) lim f(x)
18. Dada la función f(x)=
a)Dominio
x 2
x 2
d)Tipo de discontinuidad en x=2
19. Dada la función f(x)=
2x 1
, se pide:
x2 4
a)Dominio
b) lim f(x)
c) lim f(x)
d) lim f(x)
e) lim f(x)
f) lim f(x)
g) lim f(x)
h)Clasifica sus discontinuidades.
x 2
x
x 2
x 2
x 2
x
x2 4
es discontinua en x=1, halla
x2 mx 2
el valor de m y clasifica las discontinuidades que tiene.
20. Sabiendo que f(x)=
x 2 2x n
tiene una discontinuidad
x3 mx 2 14x
evitable en x=2, halla m y n y clasifica sus discontinuidades.
21. Sabiendo que f(x)=
- 136 -
FUNCIONES MÁS USUALES
Observa
Hay una serie de funciones que, por su importancia y utilidad, interesa tener en
cuenta y recordar su gráfica. Veámoslas:
1ª) La recta y = mx+k
(bastan dos valores para representarla)
Si m > 0, la recta es creciente
Si m < 0, la recta es decreciente
A mayor m mayor inclinación de la recta.
m = pendiente
K = ordenada en el origen.
k
k
→
,0
m
m
Con el eje OY → x = 0 → y = k → (0,k)
Con el eje OX → y = 0 → x =
Cortes con los ejes
Observa
2ª) La parábola y = ax2+bx+c, a ≠ 0.
Si a > 0 Cóncava
b
b
Vértice: V =
, sustituirx por
2a
2a
Si a < 0 Convexa
A mayor a más cerrada.
OX
Cortes con los ejes
y
→
=
0
x
→
=
b b 4ac
2a
OY → x = 0 → y = c
2
3ª) Función exponencial
Se llama función exponencial a y = ax, con a>0 un número fijo y xR, x variable.
Puedes ayudarte de una tabla de valores para dibujar las gráficas de:
a) y = 2x
b) y = 3x
c) y = 5x
d) y = (1/2)x
e) y = (1/3)x
y llegarás a las siguientes conclusiones:
y
Si a>1
f) y = (1/5)x
Si a<1
y
1
1
x
x
b>a>1
y=ax
y=bx
y
y=bx
y=b
y=ax
1
x
x
y=ax
y
a<b<1
1
y=bx
y=ax
- 137 -
x
Observa
Puedes preguntarte cómo se calculan, por ejemplo 2 2 , 2 y otras potencias de
exponente irracional. Piensa que como podemos aproximar el exponente tanto
como queramos, bastará hacer lo siguiente:
1,4
21,4
2,6390…
1,41
21,41
2,6573…
1,414
21,414
2,6647…
4ª) Función logarítmica:
Si a>1
a>0
1,4142
21,4142
2,6651…
1,41421
21,41421
2,665137562
y = loga x
y
y
x
1
…
…
2
2
2
Si a<1
1
x
Compruébalo, mirando las gráficas de la función exponencial que has hecho
anteriormente y saca conclusiones.
5ª) Hipérbola equilátera Función de proporcionalidad inversa y =
y
x
6ª) y =
1
x
Para representar la función realiza una
tabla de valores.
x
y
Para representar la función realiza una
tabla de valores.
x
7ª) Función parte entera y = E[x]
3
Recuerda que la parte entera de un
número real es el número entero
más alto que es menor o igual al
dado. Así, por ejemplo:
2
1
-4
E[0,7] = 0,
E[-0,7] = -1,
E[3] = 3
E[-3] = -3
-3
-2
-1
-1
-2
-3
- 138 -
1
2
3
Ejercicios
22.Contesta a las siguientes cuestiones:
b) lim ex
c) lim ex
a)Dominio de y=logx
x
x
d) lim sen x
e) lim sen x
g) lim E[x]
h) lim E[x]
j) lim log x
k) lim
x
f)Continuidad de y=E[x]
i) lim 3x
x
x 1
x
x 1
x 0
1
x
x 0
m)Dominio de y=
1
x
l) lim
x 0
n) lim log x
1
x
o) lim log x
x
x
23. Empareja las gráficas siguientes con sus correspondientes
expresiones analíticas, sabiendo que no sobra ninguna gráfica
ni ninguna expresión.
x
a)y=7
b)y=(0,6)x
c)y=(3,2)x
d)y=1x
e)y=(4,6)x
f)y= (0,8)x
g)y=(3/4)x
1
y
2
3
4
5
6
7
x
24.
Empareja
las
seis
gráficas
con
sus
correspondientes, sabiendo que no sobra ninguna.
y
a)y= log2 x
b)y= log0,5 x
c)y= log 1 x
funciones
1
2
3
3
d)y= log7,2 x
e)y= log5 x
f)y= log0,4 x
x
4
5
6
25. Dada la recta y = 3x-5, di por cuales de los siguientes
puntos pasa y por cuales no:
a)(0,-5)
b)(1,-2)
c)(1,2)
d)(2,5)
e)(2,1)
f)(1/3,-4)
26. Halla el valor de a y de b para que los puntos siguientes
pertenezcan a la recta y = 2x-1:
a)(a,1)
b)(1,b)
c)(a,3)
d)(3,b)
e)(b,-1)
f)(-1,a)
27. Halla tres puntos de cada una de las rectas siguientes, y
otros tres por los que no pasen:
1
a)y=x+1
b)y=-3x+2
c)y= x-2
d)y=-3x
e)y=x
2
- 139 -
28. Dibuja, de la forma más rápida posible, las rectas:
a) y = 3x+1
b) y = -2x+3
29. Halla la ecuación de cada recta, con los datos que se dan
en cada caso:
a)Tiene pendiente 5 y ordenada en el origen -1.
b)Tiene pendiente -1 y ordenada en el origen 5.
c)Tiene pendiente 3 y pasa por el punto (1,2).
d)Tiene pendiente -1 y pasa por el punto (1/2,2).
e)Es paralela a la recta y = 3x y pasa por (1,2).
x
f)Es paralela a la recta y = +1 y pasa por (0,0).
4
g)Tiene ordenada en el origen 4 y pasa por (1,2).
h)Tiene ordenada en el origen 7 y pasa por (10,3).
i)Pasa por los puntos (1,2) y (2,3).
j)Pasa por los puntos (3,1) y (1,3).
k)
y
x
l)Corta al eje de abscisas en 2 y al de ordenadas en -3.
30. ¿Cuál será la pendiente de una recta horizontal?
31. Empareja cada relación de la izquierda con su gráfica
correspondiente de la derecha:
2
y
7
6
4
a)y = x+2
3
1
b)y = -x/2
c)y = 3x
9
d)y = x
e)y = 2x
X
f)y = -x
g)y = -2x
5
h)y = 2x-3
i)y = 2
8
32. Halla el punto de corte con el eje de abscisas de las
siguientes rectas:
a)y = x+1
b)y = -3x+2
c)y = 1/2x+2
d)y = -3x
33. Halla el punto de corte con el eje de ordenadas de las
rectas del problema anterior.
- 140 -
34. Encuentra el punto de corte de los siguientes pares de
rectas:
a) y = x+3
y = 2x-5
b) y = -x
y = x+6
c) y = -x-1
y = x-2
d) 3x-y = 2
-6x+2y = 14
35. Escribe las ecuaciones de las parábolas que tienen la
misma forma que y = x2 y que tienen el vértice en el punto:
a)(2,3)
b)(-5,4)
c)(1,-5)
d)(-4,-6)
e)(5,4)
f)(6,-4)
36. Halla el vértice de las parábolas siguientes:
a)y=x2-2x+5
b)y=x2+4x-3
c)y=x2-8x+4
d)y=x2+6x-1
e)y=-x2+4x+5
f)y=-x2+2x-3
g)y=-x2-8x-3
h)y=2x2+4x-6
37. Halla el valor de b sabiendo que la parábola
ecuación es y=x2+bx+3 tiene el vértice en (2,-1).
cuya
38. Para las siguientes parábolas se pide que halles el
vértice, los puntos de corte con los ejes de coordenadas y que
dibujes su gráfica aproximada:
a)y = x2-5x+6
b)y = x2-4x+3
c)y = 2x2-2x-5/2 d)y = 1/2x2-2
e)y = x2-5x+4
f)y = x2-4x+4
g)y = x2-x+4
i)y = x2-6x
j)y = x2-8x+12
k)y = 2x2-10x+8
h)y = x2+3
l)y
6x2+5x+1
=
PIDE AL PROFESOR QUE TE CUENTE QUÉ ES LA INTERPOLACIÓN LINEAL Y
CUADRÁTICA Y COMO SE HACE.
El rincón matemático
Cuatro piezas iguales
Muestra cómo puede dividirse esta figura en cuatro piezas iguales.
- 141 -
Soluciones
TEMA 8:
1.
a)1 a 2
b)3 a 4
c)20 km/h
2.
d)0 a 1, 1 a 2 y 3 a 4
e)140
3.
a)(A,1), (B,2), (C,4), (D,3)
b)
Nº pers.
10
4.
y
x, 0 x 200
c) f(x) 400 x, 200 x 400
x 400, 400 x 700
1000 x, , 700 x 1000
300
a)
200
b)Máximo km 700
100
100
x
700
5.
5.1.
5.2.
5.3.
5.4.
a)1
a)2
a)5
a)-2
5.5.
a)6
5.6.
5.7.
a)0
b)No existe
c)1
d)1
e)0
f)9
a)No existe
b)-1/4
c)1
d)1
e)No existe
5.8.
a)0
b)-2
c)No existe
d)[-3,1[
e)17/4
f)5
b)0
c)No existe
d)-1 y 6,5
e)-4 y 6
f)8
b)5
c)5
d)No existe
e)No existe
f)No existe
b)-14
c)1
d)1
e)2/3
f)5/3
b)42
b)-64
c)2
c)1
d)
5 5
5 5
y
2
2
d)1
e)0
e)2 y 3
f)
5
13
2
y
5
13
2
f)1/3
3
f) 3
6.
a)Todos los números reales (R) excepto [1,2[
b)Todos los números reales excepto x=-4 y ]-1,2[
c)R excepto ]-6,-4[ y ]0,2]
d)R
e)R
f)R
g)[0,+[ h)R excepto el 0
i)Todos los números desde el 1 en adelante, incluido el 1 j)R excepto 1
k)Desde -2 incluido, en adelante
7.
a)R excepto [-3,-2[ b)Los números superiores o iguales a -3 excepto ]1,2[
c)Números superiores o iguales a –2
d)5
e)R
f)Números positivos y 0
g)Números positivos y 0
h)R excepto el 0
i)Números positivos y 0
j)R excepto el 0
k)Números positivos y 0
8.
a)R excepto 1
b)R excepto -2 y 1
e)No tiene (conjunto vacío)
f)R
c)R excepto 1, 2+ 7 , 2- 7
g)R excepto ]2,3[
h)R
d)R
i)R
9.
a)]-,-1] y ]2,+] b)]-,1[ y ]1,2] y [3,+[
c)]-,-1[ y ]1,2] y [3,+[
d)[-1,+[
e)]1,+[
f)]3,+[
10.
1.1.
a)3 b)1 c)No existe d)3 e)No existe f)2
g)-1
h)2
1.2.
a)1 b)1 c)2
d)2 e)+
f)-
g)2
1.3.
a)No existe b)No existe c)2 d)0 e)-1 f)3 g)-1 h)No existe
1.4.
a)0
b)+
c)0
d)-
e)-
f)-2
11.
y
Por ejemplo:
y
y
y
a)
b)
c)
d)
e)
y
2
2
1
1
1
x
x
x
x
12.
- 142 -
x
a)101
b)+
c)-
d)+
e)1/3
f)0
g)+
h)3
13.
a)2 b)2 c)2 d)+ e)- f)2 g)0 h)0 i)31/82 j)2 k)- l)0
14.
15.
a)+ b)0 c)0 d)1/3 e)1 f)0
a)+ b)0 c)2 d)0,5
16.
a)x=-2 salto, x=1 evitable, x=3 esencial, x=4 evitable, x=5 esencial
b)x=-4 esencial, x=-2 esencial, x=0 evitable, x=2 salto, x=5 evitable
c)x=-4 evitable, x=-2 salto, x=2 esencial, x=4 salto d)No hay
e)No hay
f)x=0
esencial
g)Continua en [0,+[ h)x=-1 esencial
i)x= 2 esenciales
j)No hay
k)x=0 esencial
l)x= 1 esenciales
m)Continua en [1,+[
17.
a)No existe
b)2
c)Discontinuidad Evitable
d)No existe
e)5
f)Discontinuidad salto g)No existe h)No existe i)Discontinuidad esencial
18.
19.
a)R excepto 2
b)+
a)R excepto 2
b)-
c)+
d)+
c)-
d)esencial
e)-
f)0
g)0 h)x= 2 esenciales
20.
m=-3; discontinuidades: x=1 esencial, x=2 evitable
21.
m=5, n=0; discontinuidades: x=-7 esencial, x=0 evitable, x=2 evitable.
22.
a)]0, +[
b)+
c)0
f)Discontinuidades de salto en todo número entero
g)0
h)1
i)0
j)-
k)+
l)-
m)R excepto 0
n)+
o)No existe
23.
24.
(1,b),(2,g),(3,f),(4,a),(5,e),(6,c),(7,d)
(3,d),(2,e),(1,a),(4,c),(5,f),(6,b)
25.
26.
a)si b)si c)no d)no e)si f)si
a)1 b)1 c)2 d)5 e)0 f)-3
27.
Pasan por los que verifican la igualdad y no por los que no la verifican.
28.
a)
Basta obtener dos puntos en cada caso:
Puntos (1,4) y (0,1)
b)Puntos (0,3) y (1,1)
29.
a)y=5x-1
b)y=-x+5
c)y=3x-1
d)y=-x+5/2
e)y=3x-1
f)y=-x/4
g)y=-2x+4
h)y=-2/5x+7
i)y=x+1
j)y=-x+4
k)y=1/3x+1
l)y=3/2x-3
30.
31.
m=0
(a,2) (b,5) (c,6) (d,1) (e,7) (f,3) (g,4) (h,8) (i,9)
32.
33.
a)(-1,0) b)(2/3,0) c)(-4,0) d)(0,0)
a)(0,1) b)(0,2) c)(0,2) d)(0,0)
34.
a)(8,11) b)(-3,3) c)(1/2,-3/2) d)No hay.
35.
a)y = (x-2)2+3
b)y = (x+5)2+4
2
d)y = (x+4) -6
e)y = (x-5)2+4
36.
37.
a)(1,4) b)(-2,-7) c)(4,-12) d)(-3,-10)
e)(2,9) f)(1,-2)
g)(-4,13) h) (-1,-8)
38.
- 143 -
c)y = (x-1)2-5
f)y = (x-6)2-4
b=-4
Soluciones
b)V=(2,-1)
(0,3),(1,0), (3,0)
5 1
,
4
2
a)V=
c)V=(1/2,-3)
(0,-5/2),(1/2,
6 / 2)
6
(0,6),(2,0),(3,0)
10
5
6
4
5
4
9
3
8
3
2
7
2
6
1
1
5
4
0
0
-1
3
0
1
2
3
4
-2
5
-1
0
1
2
3
-1
-1
2
-2
1
-2
-3
0
-1
0
1
2
3
4
5
6
-1
-4
d)V=(0,-2)
(0,-2),(2,0),(-2,0)
e)V=(5/2,-9/4)
(0,4),(1,0),(4,0)
1,5
8
1
7
f)V=(2,0)
(0,4), (2,0)
7
6
6
0,5
5
5
0
-3
-2
-1
0
1
2
3
-0,5
4
4
3
3
-1
2
-1,5
1
-2
0
2
1
-2
-1
-2,5
0
2
4
6
0
-1
0
-2
1
2
3
4
5
-1
-3
g)V=(1/2,15/4); (0,4)
h)V=(0,3); (0,3)
i)V=(3,-9); (0,0),(6,0)
8
9
4
7
8
2
6
7
5
6
0
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
4
5
-2
3
4
-4
2
3
1
2
-6
0
1
-3
-2
-1
0
1
2
3
-8
0
-2
-1
0
1
2
3
-10
j)V=(4,-4);
(0,12),(6,0),(2,0)
k)V=(5/2,-9/2);
(0,8),(1,0),(4,0)
20
25
15
20
10
15
5
10
l)V=(-5/12,-1/24);
(0,1),(-1/2,0),(-1/3,0)
1,8
1,6
1,4
1,2
1
0,8
0
-2
0
2
4
6
8
5
10
0,6
0,4
-5
0
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
0,2
-10
-5
0
-1
-0,8
-0,6
-0,4
-0,2
0
-0,2
-10
Cuatro piezas iguales
- 144 -
0,2
TEMA 9: DERIVADAS
Observa
LA TASA DE VARIACIÓN MEDIA
Es muy frecuente describir, mediante una tabla, la dependencia entre
cantidades. En muchos casos interesa estudiar la variación de unas cantidades
respecto de otras. Al cociente de estas variaciones se le llama Tasa de
Variación Media (TVM).
Ejemplo 1
Un atleta está controlando sus entrenamientos. Los espacios recorridos en los
distintos tiempos de su carrera se recogen en la siguiente tabla:
Tiempo t (seg)
Distancia d (m)
0
0
1
8
2
16
3
24
4
32
5
40
6
48
...
...
Una forma de estudiar su carrera es calcular la TVM del espacio respecto al
tiempo:
24 16
En el intervalo [2,3]:
= 8 m/s TVM([2,3]) = 8
32
40 8
En el intervalo [1,5]:
= 8 m/s TVM([1,5]) = 8
5 1
En este caso, todas las TVM valen 8 m/s. Esto indica al corredor que su velocidad
media es constante (8 m/s).
La TVM, cuando las variables son espacio y tiempo, se llama velocidad media.
Ejemplo 2
Un fabricante tiene un artículo en fase de lanzamiento. Los gastos de producción
y publicidad son muy elevados. Tratando de analizar costos encuentra la siguiente
relación entre el costo del artículo y la cantidad vendida:
Coste c (miles €)
Producto vendido q (millares)
21
0
27,8 36,2 46,2 57,8
2
4
6
8
- 145 -
71
10
85,8
12
Observa
Una manera de analizar su negocio es calcular su TVM:
27,8 21
En [0,2]
= 3,4 3400 €/1000 productos vendidos.
20
57,8 46,2
En [6,8]
= 5,8 5800 €/1000 productos vendidos.
86
85,8 71
En [10,12]
= 7,4 7400 €/1000 productos vendidos.
12 10
Estas TVM, junto con la gráfica, muestran:
c
100
90
a) Que hay algún costo aunque la venta es 0.
80
70
b) Que el costo total aumenta con la venta.
60
50
40
c) Que el costo aumenta en proporción creciente
al aumentar la venta.
30
20
q
10
0
Ejemplo 3
0
2
4
6
8
10
12
14
Se quiere estudiar la potencia de frenado de un automóvil. La velocidad
disminuye según la tabla siguiente:
Velocidad v (km/h)
Tiempo t (seg)
120
0
78
2
44
4
18
6
0
8
La tabla y la gráfica indican claramente que la velocidad disminuye. Las TVM
indicarán cómo es esa disminución:
En [0,2]
En [4,6]
En [6,8]
78 120
= -21
20
18 44
= -13
64
0 18
= -9
86
140
v
120
100
80
60
En un segundo su velocidad ha
disminuido en 9 km/h en el
intervalo de 6 a 8 seg.
40
20
t
0
0
2
4
6
8
10
Según esto, la capacidad de los frenos para aminorar la velocidad va
disminuyendo con el tiempo (siempre hablando en la misma frenada). Además, las
TVM son negativas porque la velocidad decrece.
- 146 -
Observa
LA TVM PARA FUNCIONES. LA TASA INSTANTÁNEA.
En matemáticas, la dependencia entre cantidades se puede describir mediante
funciones. Al conocimiento de una función puede llegarse de muchas formas.
Entre ellas está una tabla de valores obtenida a través de un experimento.
Así, es posible que un estudio en profundidad de los tres ejemplos anteriores nos
lleve a la conclusión de que las funciones que rigen las tablas de valores son,
respectivamente:
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Ejemplo 3
d=8·t
c = 0,2 · q2+3 · q+21
v = t2-23 · t+120
Puede aplicarse el concepto de TVM a una función y = f(x) en un intervalo [a,b] de
forma análoga:
f(b) f( a)
TVM (f,[a,b]) =
ba
Ejemplo 4
TVM de f(x) = 2x+1 en los intervalos que se indican:
f( 4) f(3) 9 7
=2
4 3
1
f(3,5) f(3) 8 7
[3,3’5]
=2
3,5 3
0,5
f(3,1) f(3) 7,2 7
[3,3’1]
=2
3,1 3
0,1
f(3,01) f(3) 7,02 7
[3,3’01]
=2
3,01 3
0,01
Siempre igual a la pendiente. ¿Puede generalizarse este resultado para cualquier
recta?
[3,4]
Ejemplo 5
TVM de f(x) = 0,2x2+1,5x+7 en los intervalos que se indican:
8,7
= 2,9
Parece que, si b2, la TVM en [2,b] se acerca
3
al valor 2,3, es decir:
2,5
[2,3]
= 2,5
f(b) f(2)
1
= 2,3
lim
b2
b 2
1,2
[2,2´5]
= 2,4
Se habla entonces de Tasa instantánea en x = 2.
0,5
0,232
[2,2´1]
= 2,32
0,1
0,02302
[2,2´01]
= 2,302
0,01
[2,5]
- 147 -
Observa
Posibles interpretaciones:
En el ejemplo 5. Si f(x) representa el espacio recorrido por un móvil en el
instante x, las TVM representan las velocidades medias y el número 2,3 es la
velocidad instantánea en x=2. Es la velocidad que debe marcar el
cuentakilómetros del coche en ese instante.
En el ejemplo 2. Si f(x) representa el coste de x unidades de producto, las
TVM son los costes medios adicionales y el número 2,3 sería el llamado costo
marginal cuando x = 2.
En Economía, este concepto es importante a la hora de aumentar o disminuir
la producción y el precio de venta. Además, en este caso, la variable no es el
tiempo y la producción se puede estabilizar.
En el ejemplo 5. Si f(x) representa la velocidad de un móvil en el instante x,
el número 2,3 es la aceleración instantánea en x = 2.
Si en lugar de x = 2, tomamos un punto cualquiera x = a, la tasa instantánea se
define como:
f(b) f( a)
lim
b a
ba
DEFINICIÓN DE DERIVADA
Se llama derivada de la función f(x) en x = a al límite (si existe):
f´(a) = lim
xa
f(x) f( a)
f( a h) f( a)
= lim
h0
h
xa
si h = x-a, a+h = x, xa equivale a h0
Por ejemplo, si f(x) = x2+2 y a=5:
lim
x 5
f(x) f(5)
(x 2 2) (5 2 2)
(x 5)( x 5)
x 2 25
= lim
= lim
= lim
=
x 5
x 5
x 5
x 5
x 5
x 5
x5
indeterminación 0/0
= lim(x+5) = 10
x 5
f´(5) = 10
- 148 -
Observa
SIGNIFICADO GEOMÉTRICO. TANGENCIA
y
f(a+h) )
B
y
)
sy=mx+k
B
II
B’
I
B’’
y=f(a+h)-f(a)
f(a)
C
x=h
a
)
C
f(a)
x
)
a+h
B’’’
a
)
ty=px+q
x
)
Observando las figuras, tenemos:
1. En ambas se representa la función y=f(x) y se considera el punto C de
coordenadas (a,f(a)).
2. En (I) se incrementa la variable desde a hasta (a+h) y entonces el valor de la
función pasa de f(a) a f(a+h). Se ha pasado del punto C al B.
3. La recta secante que pasa por C y B tiene por ecuación y=mx+b y forma un
ángulo α con el sentido positivo del eje horizontal (que se llama inclinación de s).
Además la tgα es la pendiente de la recta s: tg α = m. Ten en cuenta que:
tg α =
y
y
f( a h) f( a)
=
=
h
x
h
4. Si Δx = h 0, el punto B tiende a confundirse con C (pasa a ser B´, B´´ y así
sucesivamente) y la recta secante tiende a ser tangente a la función f(x) en C. El
ángulo α tiende a ser el ángulo β, luego:
tg β = lim
h0
y
f( a h) f( a)
= lim
= f´(a)
h0
h
h
Como tg β es la pendiente de la recta de ecuación y = px+q tenemos:
f´(a) nos da la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función
y=f(x) en el punto de coordenadas (a,f(a)).
Por ejemplo, si f(x) = x2+2 y a = 5, sabemos que f(a) = 27 y f´(a)=10, luego la
recta tangente a esta función en (5,27) es:
y 27
= 10 y-27 = 10x-50 y = 10x-23
x 5
- 149 -
Observa
CÁLCULO DE DERIVADAS
Calcular derivadas plantea un problema: hay que hallar un límite indeterminado
del tipo 0/0 y esto no siempre es fácil.
Veamos un ejemplo: Supongamos que deseamos obtener la derivada de la función
y= x en x=4. Lo podemos realizar de dos formas.
Aplicando la definición:
f´(4) = lim
x4
( x 2)
x 4
= lim
= lim
x 4 ( x 2)( x 2)
x4
x4
1
= 1/4
x 2
0/0
En lugar de hallar la derivada en un punto concreto (x=4), lo podemos hacer
en un punto cualquiera (x = a):
f´(a) = lim
xa
1
1
x a
x a
= lim
= lim
=
xa ( x
xa
2 a
a )( x a ) xa x a
0/0
Con esto, sustituyendo a por 4: f´(4) =
1
= 1/4
2 4
Tenemos así, dada la función f(x)= x , hemos obtenido otra función f´(x)=
1
(función derivada de la primera) que nos sirve para hallar la derivada de
2 x
la función original en cualquier punto sin más que sustituir este punto en
f´(x).
Bastará con que alguien se encargue de hallar la función derivada de las
funciones más usuales para que nosotros podamos utilizarlas, y eso haremos a
continuación.
- 150 -
Observa
Y “ese alguien” nos ha dicho:
Ejemplo
Caso general
y = constante y´= 0
y = xn y´= n·xn-1, n fracción
y = 3 y´= 0
y = π y´= 0
y = 7 y´= 0
y = x7 y´= 7x6
7
1
y = 7 = x-7 y´= -7x-8 = 8
x
x
3
3
y = 5 x 3 = x3/5 y´= x-2/5 =
5
55 x 2
y=
1
7
x4
= x-4/7 y´ = -4/7x-11/7 =
x y´=
y=
1
4
7 7 x 11
2 x
y = 2x y´= ln 2· 2x
y = ax y´= ln a ·ax
y = (0,5)x y´= ln(0,5)·(0,5)x
y = ex y´= ex
y = log a x y´=
1
x·ln a
1
x ln 2
1
y = log x y´=
x ln 10
y = ln x y´= 1/x
y = log2 x y´=
y = k·f y´= k·f´, k = cte
y = 3·sen x y´= 3·cos x
y = f+g y´= f´+g´
y = x4+sen x y´= 4x3+cos x
y = f-g y´= f´-g´
y = x4-sen x y´= 4x3-cos x
y = f·g y´= f´·g+f·g´
y = x4·sen x y´= 4x3sen x+x4cos x
y = f/g y´=
f´·g f·g´
g
2
y=
4x 3 ·senx x 4 ·cos x
x4
y´=
senx
sen 2 x
- 151 -
Ejercicios
1. Calcula las derivadas de las funciones siguientes:
1.1) y=4
1.2) y=2x+6
1.3) y=(1/2)x+1
1.4) y=1/4(x+1)
1.5) y=(x+1)/2
1.6) y=x2+2
1.7) y=x2+x
1.8) y=x2+x+1
1.9) y=x2+2x+3
1.10) y=2x2+3x+4
1.11) y=(x+1)·(x+2)
1.12) y=(x-1)·(x-2)
1.13) y=(x-1)2
1.14) y=(2x+1)2
1.15) y=1/2(x+1)2
1.16) y=x·(x2+1)
1.17) y=2x·(x2-4)
1.18) y=x2·(7-x)
1.19) y=-x·(x2-2x+3)
1.20) y=x·(x+1)·(x+2)
1.21) y=x·(3x2-4)+5
1.22) y=(x2-1)(x+5)
1.23) y=(x+1)(x+2)(x+3)
1.24) y=5/x
1.25) y=7/x3
1.28) y=2x-2
1.31) y= 4 x
1.34) y= 5 x2
1.37) y=1/2 x-1/2
3
1.40) y= 4
x
2
x 1
1.43) y=
x
x 1
1.46) y=
x
2
x 1
1.49) y= 2
x 4
x 1
1.52) y=
x 1
x 1
1.55) y=
x 1
1.58) y=(-x-1)/ ex
7
3x 2
1.29) y= x
1.27) y=7x-3
1.32) y= 4 x2
1.35) y=x2/5
1.33) y= 5 x
1.26) y=
1.30) y= 3 x
1.36) y=- x
1.38) y=1/ x
1.39) y=1/ 3 x
1
3
1.41) y=
1.42) y=
2
5
5
x
x3
2x 3
2x 2 1
1.45) y=
1.44) y= 2
3x 1
x 2
x 3
x2 1
1.47) y=
1.48) y= 2
x
x 1
3
x2 2
1.50) y= 2
1.51) y=
x 1
x 3
x 2
x 3
1.53) y=
1.54) y=
x 2
x 3
x 2
x 3
1.56) y=
1.57) y=
x 2
x 3
2
1.59) y=(-x -2x-2)e-x
1.60) y=(2x+2)/ex
1.61) y=(3x2+6x+6)e-x
- 152 -
Observa
La regla de la cadena
Aún hay un tipo de funciones que no sabemos derivar. Por ejemplo: y =
1/x
No es ni una suma, ni una resta, ni un producto, ni un cociente de funciones.
Es una composición de funciones:
1/x
x
1/x
1/x
(se encadenan una tras otra)
Y siempre procederemos así:
Otro ejemplo:
y = ln(1/x)
1/ x
ln
y´ = (ln)´(1/x)·(1/x)´
Ejercicios
2. Calcula las derivadas de las funciones siguientes:
2.1.
y=e2x
2.2.
y=e4x
2.3.
y=ex/2
2.4.
y= e
2.5.
y=e1/x
2.7.
y=ln(2x+1)
2.6.
2.8.
y= ex / 2
y=ln(4x+3)
2.9.
y=ln(x2+3)
2.10. y=ln(1/x)
2.11. y=ln2x
x
2
2.12. y=ln(1-x)
1
2.13. y= ln(x2+1)
2
x 1
2.15. y=ln
x 1
1
2.17. y= ln(1-x2)
2
2.14. y=ln(x+1)
1 x
2.16. y=ln
1 x
2.18. y=ln(x+ x 2 1 )
2.19. y=ln(x+ x 2 1 )
2
1
2.21. y= ln 1 x 2
2
2.20. y=ln( x 2 1 -1)-lnx
1
1 x
2.22. y= ln
2
1 x
- 153 -
Amplía
Funciones derivadas
Justificaremos ahora las derivadas de las funciones más usuales. En todos los
casos haremos lo siguiente:
f( a h) f( a)
f(x) f( a)
o
h
h
2) Tomar límites cuando xa o h0 f´(x)
1) Calcular
f(x)
y = k , k = constante
k k
1)
=0
h
2) 0
f´(x) = 0
n
= x n = 1,2,3,….
Ejemplo: y = x4
x a
= x3+ax2+a2x+a3
xa
2) 4a3 f´(x) = 4x3
1)
4
4
1
0
a
0
a2
0
a3
a4
a4
1
a
a2
a3
0
1
0
a
0 ...
0
2
n-1
a ... a
a4
an
1
a
a2 ... an-1
0
a
En general: y = xn
a
xn an
1)
= xn-1+axn-2+…+an-1
xa
2) n·xn-1 f´(x) = n·xn-1
1
= x-n n = 1,2,3…, a≠0
n
x
1
Ejemplo: y = 4
x
y =
1
1
a4 x4
4
4
3
2
2
3
4
a 4 = a 4x 4 = (x a ) = (x ax a x a )
1) x
xa
xa
a4x4
(x a)a 4 x 4
4 a3
4
= 5 = -4a-5 f´(x) =-4x-5
8
a
a
1
En general: y = n
x
2)
an xn
1
1
n 1
n 2
n
n
n
... a n 1 )
a n = a n x n = (x a ) = (x ax
1) x
(x a)a n x n
xa
xa
an xn
- 154 -
Amplía
a n 1 ·n
n
= n 1 = -na-(n+1) = -na-n-1
2n
a
a
2)
y =
n
x = x1/2
Ejemplo: y =
1)
2)
x a
=
xa
3
3
n = 2,3,…
x
x
3
-a
-x + 3 ax 2
1
3
f´(x) =-n·x-n-1
- 3 ax 2
1
1
1
= a-2/3 f´(x)= x-2/3
3
33 a 2 3
x 3 a
3
x 2 3 ax 3 a 2
-a
+ 3 ax 2
x 2 3 ax 3 a 2
3
+ 3 a2x
+ 3 a2x
-a
- 3 a2x
+a
0
En general: y =
1)
2)
n
x n a
=
xa
1
nn a n 1
=
y = ln x
n
x
Dividiendo como en el ejemplo
1
x n 1 n ax n 2 ... n a n 1
n
1
na
n 1
n
=
1a
n 1
n
n
=
1
1 n 1
a
n
f´(x) =
1
1 n 1
x
n
a h
1/h
ln
a
ln(a h) ln a
h 1
1
1
1
1)
=
= ln 1 = ln 1
= ln 1
=
a
a
h
h
h
a h
h
h
1/ a
a/h
1
= ln 1
a
h
a/h
1
2) Como 1
e
a
h
y
ln e1/a = 1/a queda 1/a
y = ex
a
1
1
=
xa
ln y ln b
x
a
e e
y b
1
2) Por lo anterior:
= b = ea
1
b
1)
ex=y x=lny
ea=b a=lnb
e e
=
xa
x
f´(x) = ex
- 155 -
f´(x) =
1
x
Amplía
Suma: Si y = f + g
(f g)( x) (f g)( a) (f(x) g(x)) (f( a) g( a)) f(x) f( a) g(x) g( a)
=
=
+
xa
xa
xa
xa
2) f´(a)+g´(a) (f + g)´= f´+ g´
1)
Resta Si y = f-g
(f g)( x) (f g)( a) (f(x) g(x)) (f( a) g( a)) f(x) f( a) g(x) g( a)
=
=
xa
xa
xa
xa
2) f´(a)-g´(a) (f - g)´= f´- g´
1)
Constante por función Si y = k·f, k = constante.
(kf)( x) (kf)( a) k·f(x) k·f( a)
f(x) f( a)
=
=k
xa
xa
xa
2) k·f´(a) (k·f)´= k·f´
1)
Producto Si y = f·g
1)
(f·g)( x) (f·g)( a)
f(x)g(x) f( a)g( a) f(x)g( a) f(x)g( a)
=
=
xa
xa
g(x) g( a)
f(x)g(x) f(x)g( a) f( a)g( a) f(x)g( a)
f(x) f( a)
+
= f(x)
+g(a)
xa
xa
xa
xa
2) f(a)g´(a)+g(a)f´(a) (f·g)´= f´·g + f·g´
Cociente Si y = f/g , g≠0
f(x) f( a) f(x)g( a) f( a)g(x)
g(x)g( a)
(f / g)( x) (f / g)( a)
g(x) g( a)
1)
=
=
=
xa
xa
xa
2)
=
f(x)g( a) f( a)g(x) f(x)g(x) f(x)g(x)
=
g(x)g( a)( x a)
=
g(x)( f(x) f( a)) f(x)( g(x) g( a))
1
xa
g(x)g( a)
1
g(a)
2
[g(a)·f´(a)-g´(a)f(a)]
(f/g)´=
1
= x-1/n
x
Por la derivada del cociente:
y =
n
- 156 -
f´g g´f
g2
Amplía
y´=
1 1n 1
1 n
x
n 1
1 n 2
1
1
n
1
x
1 n
1 n n
1 n 1
1 n 1
n
=
=
=
=
y’=
x
x
x
x
2
n
n
n
n
n x2 n
x n
Regla de la cadena
1/x
x
1/x
) 1 / a) 1 / x 1 / a
ln(1 / x) ln(1 / a) ln(1 / x) ln(
1)
=
·
xa
1/ x 1/ a
xa
1
2) (ln)´(1/x)´(a) =
·(1 / a.a)
1/ a
ln
Ejemplo: y = ln(1/x)
g
g(x)
x
)
f(g(x)) f(g( a))
f(g(x)) f(g( a)) g(x) g( a)
1)
=
·
xa
xa
g(x) g( a)
ln(1/x)
f
En general: y = (f◦g)(x)
f(g(x))
2) f´(g(a))·g´(a) y´ = (f´(g))·g´
y =
n
xm
m = ±1, ±2, ±3,...
Como y = xm/n = (x1/n)m = (xm)1/n, aplicando la regla de la cadena:
1 m 1n 1
x ·m·xm-1 = 1 x m 1nn ·m·xm-1 = m x
n
n
n
m
m
m n
m
m n 1
m n 1
=
y´ =
x n =
x
x
n
n
n
y´=
m(1 n )
n
x
n ( m 1)
n
=
m
x
n
m mn nmn
n
=
Observa que todas las potencias tienen la misma derivada.
y = ax
a>0
a≠1
Como ax = exlna , aplicando la regla de la cadena:
y = exlna y´ = exlna·lna = ax·lna y´ = lna·ax
y = log a x
a>0
a≠1
ln x
, aplicando la derivada de una constante por una función:
ln a
1
1 1
y´ =
· y´ =
x·ln a
ln a x
Ejercicios
3. Calcula la TVM en [1,3] para las funciones:
1
a)y=x3-3x2+5
b)y= x2 7
c)y=
x 1
Como log a x =
- 157 -
4.
Un
cuerpo
desciende
por
un
plano
inclinado.
El
desplazamiento en metros viene dado por la fórmula d(t)=1,5·t2
(t en segundos). Calcula la velocidad instantánea para el
instante t=1 segundo.
y
5. Sin efectuar ningún cálculo, deduce el valor de
f’(0) para la función y = x2+1 cuya gráfica es la
de la derecha.
x
6. Para la función y = f(x)
de la gráfica,
y
calcula f’(-1), f’(1), y f’(3) sabiendo que
las ecuaciones de las rectas tangentes a la
x
gráfica en esos tres puntos son, desordenadas:
y = x+3,
y = 2,
y = -x+5.
7. Calcula la ecuación de la recta tangente a y=-x2+1 en x=1.
8. El espacio recorrido e por un automóvil en el instante t
viene dado por la fórmula e=2t2-5t (e en metros, t en segundos)
a) Calcula la velocidad instantánea para t=3.
b) Calcula la velocidad instantánea para cualquier
instante t.
c) Calcula la aceleración para t=2.
d) Calcula la aceleración para cualquier instante t.
9. Un objeto circular va aumentando de tamaño con el tiempo de
manera que su radio r está dado por la fórmula r=2t+2 (t en
segundos, r en cm). Se pide:
a) Área del objeto en el instante t.
b) Tasa de variación instantánea del área respecto del
tiempo cuando el radio es 6 cm.
10. Dada la función y=x2+x en x=0, se pide:
a) Ecuación de la recta tangente a su gráfica en el punto
de abscisa indicada.
b) Ecuación de la recta normal a
abscisa indicada. (La normal
tangente, ¿qué utilidad puede
11. Calcula f’(0) para las siguientes
x 1
a)y = x(1b)y =
c)y =
x)
x 5
su gráfica en el punto de
es la perpendicular a la
tener?).
funciones:
e-x
1 x -x
(e -e )
2
12. Halla la ecuación de la recta tangente a la curva que se
indica en el punto de abscisa dada:
d)y = 10x
e)y = log2 (x+1) f)y =
a)y = x3 en x=7
d)y = x en x=9
b)y = ex en x=0
e)y = lnx en x=e
c)y = lnx en x=1
f)y = 1/x en x=2
13. Halla f’(1) para las funciones de las gráficas siguientes:
a)
y
b)
1
x
c) y
y
- 158 1
-
45º
x
135º
1
x
14. Halla el punto de la parábola y = x2-2x donde la recta
tangente es horizontal.
15. Halla el punto de la parábola y = 4-x2 en el que la recta
tangente es paralela a la recta y = -x+8.
16. Halla el ángulo que forma con el sentido positivo del eje
de abscisas, la tangente a y = 3x2-6x+5 en x=1.
17. La función y = f(x)
abscisas. Calcula f’(3).
es
tangente
en
x
=
3
al
eje
de
18. Halla el punto de y = 2x-x2 en el que la tangente tiene
pendiente -1.
19. Halla la recta tangente y la recta normal a y =
x
x
x
x
en
el punto (4,f(4)).
20. Halla la tangente a y = 2 x 1 que tiene pendiente
21. Si y = 6x+a es tangente a y =
1
.
3
bx 1
en x = 0, halla a y b.
bx 1
22. Halla a para que la recta x+y=0 sea tangente a la parábola
y = x2+ax en el origen de coordenadas.
23. Sean A(0,0) y B(2,4) dos puntos de la parábola y = x2. Halla
el punto de dicha curva en el cual la tangente es paralela a
la recta AB.
24. En los puntos de abscisa -3 y 1, la tangente a la curva de
ecuación y = x3+bx2+cx+2 es horizontal. Halla b y c.
25. La recta y = x es tangente a y = x2+bx+c en (1,1). Halla la
ecuación de la tangente a la parábola en el punto (2,f(2)).
El rincón matemático
De Bertran Russell
(filósofo y lógico-matemático, siglo XX. Premio Nobel en 1950.)
Se cuenta sobre él que, mientras explicaba en clase que "de una proposición falsa podía extraerse
cualquier consecuencia", un alumno le interrumpió diciéndole: "¿Quiere usted decir que si
aceptamos que 2+2=5, entonces podemos concluir que usted es el Papa de Roma?". Russell
contestó inmediatamente:
Mire, si 2+2=5, reste usted 2 y obtendrá que 2=3, o sea, que 3=2; y si ahora resta usted 1 a
ambos miembros, obtendrá que 2=1. Puesto que el Papa y yo somos dos, y puesto que 2=1, estará
usted de acuerdo conmigo en que el Papa y yo somos uno, luego yo soy, en efecto, el Papa de Roma.
- 159 -
Soluciones
TEMA 9:
1.
1)0
2)2
12)2x-3
3)1/2
13)2x-2
23)3x2+12x+11
4)1/4
5)1/2
6)2x
7)2x+1
14)8x+4
15)x+1
16)3x2+1
20)3x2+6x+2
21)9x2-4
24)-5/x2
30)1/(3
34)2/(5
5
x
3
)
35)2/(5
40)-3/(4x 4
5
3
25)-21/x4
x2
x
3
)
)
31)1/(4
36)-1/(2
5
2
5)-
1
x2
8)2x+1
9)2x+2
10)4x+3
11)2x+3
17)6x2-8
18)14x-3x2
19)-3x2+4x-3
22)3x2+10x-1
26)-14/3x3
4
x3
)
27)-21/x4
x)
32)1/(2
x)
37)-1/(4x
5
28)-4/x3
33)1/(5
x)
5
x4
38)-1/(2x
29)1/(2
x)
)
x)
39)-1/(3x 3
x)
3
41)-2/(5x x )
42)-9/(5x x )
43)(x2+1)/x2 44)-6x/(x2-2)2
45)11/(3x+1)2
46)-1/x2
47)-3/x2
48)-4x/(x2-1)2
49)-6x/(x2-4)2
50)-6x/(x2+1)2
51)(x2+6x-2)/(x+3)2
52)2/(x+1)2
53)4/(x+2)2
54)6/(x+3)2
55)-2/(x-1)2
56)-4/(x-2)2
57)-6/(x-3)2
58)xe-x
59)x2e-x
60)-2xe-x
61)-3x2e-x
x)
2.
1 x/2
e
2
1
2 ln x
11)
12)
x
x 1
1)2e2x
2)4e4x
3)
4)
x
2 x
x
x 1
13)
19)
3.
e
2
1
2
x 1
14)
2
c)-1/8
6)x
1
x 1
20)
4.
a)1 b)2-
e1/x
2
15)
/2
2
2x 1
2
x 1
21)
2
x x 1
0
7)
16)
2
1
5.
3 m/seg
ex
2
1 x2
x
x 1
2
8)
22)
4
4x 3
17)
9) 2x/(x.x+3) 10)-1/x
x
x 1
2
18)
1
x2 1
1
1 x2
6.
7.
f´(-1)=1, f´(1)=0, f´(3)=-1
8.
y=-2x+2
9.
a)7m/seg
b)4t-5 m/seg
c)4m/seg2
d)4m/seg2
10.
a)(2t+2)2=4t2+8 t+4
b)56
11.
a) y=x
b) y=-x – Fuerza centrípeta.
a)1
d)ln10
b)-6/25
e)1/ln2
c)-1
f)1
12.
13.
19.
21.
a)y=147x-686
b)y=x+1
d)y=x/6+3/2
e)y=x/e
f)y=-1/4x+1
15.
16.
17.
18.
a)0 b)1 c)-1
(1,-1)
(1/2,15/4)
f´(3)=0
(3/2,3/4)
=0
20.
Tangente: x-18y+2=0, Normal: 54x+3y-217=0.
x- 3 y+2=0
22.
23.
24.
25.
a=-1, b=3
a=-1
(1,1)
b=3, c=-9
y=3x-3
c)y=x-1
14.
- 160 -
TEMA 10: CORRELACIÓN LINEAL
Observa
DISTRIBUCIONES ESTADÍSTICAS BIDIMENSIONALES
En una misma población o muestra, cabe la posibilidad de que se estudien dos
o más variables estadísticas. Normalmente, este estudio se hace para
averiguar si existe alguna relación entre las variables estudiadas que permita
predecir teóricamente el comportamiento de una, conocida la otra.
Por ejemplo, parece razonable pensar que, si estudiamos en los niños nacidos
en un hospital la altura y el peso, ambas variables estarán relacionadas; pero
si estudiamos el peso y la edad del padre de esos niños, no debe haber
relación, aparentemente.
Se dice que existe correlación entre dos valores de la misma población, si los
cambios de valores de una de ellas son dependientes de los cambios de
valores de la otra. Esta dependencia es intermedia entre la dependencia
funcional (cuando hay una función o una fórmula que relaciona ambas
variables) y la independencia (aunque ésta pueda relacionarse con la
correlación nula). Para estudiar esto, podemos proceder como se ilustra en el
siguiente ejemplo; aunque en general se haría igual.
- 161 -
Observa
Ejemplo. Un colectivo de 120 alumnos de bachillerato ha realizado 5
exámenes de historia y 5 de matemáticas. Observamos para cada alumno el
número de exámenes de cada asignatura aprobados y tenemos 120 pares de
valores:
Var. X: Nº ex. Hª aprobados
Var. Y: Nº ex. Mat. aprobad.
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
1
2
1
2
…
…
5
5
5
5
Siempre se empieza anotando conjuntamente los valores de la variable x e y
de cada individuo estudiado, quedando así cada observación identificada con
un par ordenado (x,y).
Estos datos quedan más claros en una tabla de doble entrada:
x
1
2
3
4
5
y →
1 2
3
4 5
7 4
0
1 2
3 10 8
9 2
4 7 12 12 1
2 3
6
8 4
1
2
8
2 2
17 26 34 32 11
El cuadro central nos da las
frecuencias conjuntas.
x ↓
14
32
36
23
15
120
La columna de la derecha nos da
las frecuencias de la variable x
considerada por separado.
La fila de abajo nos da las
frecuencias de la variable y.
Cuando hay muchos pares ordenados, conviene presentarlos en una tabla de
doble entrada o de contingencias, que resuma las observaciones.
También podemos presentar estos datos en una gráfica, llamada nube de
puntos:
y
5
4
3
2
1
x
1
2
3
4
5
La nube de puntos se realiza situando en el plano cartesiano los pares (x,y).
- 162 -
Observa
La nube de puntos puede, por sí sola, dar indicios de si existe o no correlación
entre las variables: si los puntos parecen agruparse en torno a cierta línea, sí
habrá correlación.
Si esta línea es una recta, se habla de correlación lineal y si no lo es, de
correlación curvilínea.
Si al aumentar una variable aumenta la otra, se habla de correlación positiva,
y si al aumentar una, la otra disminuye, se habla de correlación negativa.
Se dice que la correlación es fuerte o débil (con graduaciones) según la nube
se ajuste mucho o poco a la línea citada.
Por ejemplo:
y
x
Correl. lineal
negativa fuerte
y
y
y
x
Correl. Curvilínea
positiva débil
x
Correl. lineal
positiva muy
fuerte
x
Correl. Curvilínea
negativa muy fuerte
Puede ser arriesgado fiarse de la nube de puntos para decidir si hay
correlación.
Sin embargo, para variables cualitativas es todo lo que tenemos.
Para variables cuantitativas se puede profundizar más. De cualquier modo,
trataremos las continuas como discretas tomando como valor la marca de
clase.
- 163 -
Observa
CORRELACIÓN LINEAL
El grado de correlación lineal entre dos variables podemos obtenerlo de una
forma más precisa. Para ello necesitamos algunas cosas.
Covarianza de las variables x e y: xy o sxy .
Se calcula de la siguiente forma, que veremos con nuestro ejemplo:
x
14·1 32·2 36·3 23·4 15·5
=2,94
120
y
17 ·1 26·2 34·3 32·4 11·5
=2,95
120
xy =
7(1 2,94)(1 2,95) 4(1 2,94)(2 2,95) ... 2(5 2,94)(5 2,95)
120
=0’352
Si los pares de ambas variables son (x 1,y1), (x2,y2), …, (xn,yn), se define la
covarianza como sigue:
xy =
(x1 x)( y1 y) (x2 x)( y2 y) ... (xn x)( yn y)
n
De alguna forma indica si la correlación es positiva o negativa: si x e y
aumentan (o disminuyen) a la vez, los sumandos están formados por
productos de números del mismo signo y xy será positiva, mientras que si
x aumenta e y disminuye (o al revés) los sumandos están formados por
productos de distinto signo y xy será negativa.
Y, de forma más sencilla:
xy =
7·1·1 4·1·2 ... 2·5·5
- 2,94·2,95 = 0,352
120
Pues:
(x1 y1 x1 y y1 x x y) (x2 y2 x2 y y2 x x y) ... (xn yn xn y yn x x y)
=
n
x y x2 y2 ... xn yn
y y2 ... yn
x x2 ... xn
nx y
= 1 1
- x 1
- y 1
+
=
n
n
n
n
x y x2 y 2 ... xn yn
x y x2 y2 ... xn yn
= 1 1
- x y yx + x y = 1 1
- xy
n
n
xy=
- 164 -
Observa
Coeficiente de correlación lineal. Es el número r que nos indica el grado de
correlación lineal entre las variables x e y.
xy
Su cálculo es sencillo: r =
x · y
donde
x = desviación típica de x
y = desviación típica de y
Se puede demostrar lo siguiente: -1 r 1
Si r es próximo a 1 hay correlación lineal fuerte y positiva, tanto mayor
cuanto más cerca esté r de 1 (r 0,85).
Si r es próximo a -1 hay correlación lineal fuerte y negativa, tanto mayor
cuanto más cerca esté r de -1 (r -0,85).
Si r = ±1 hay dependencia funcional entre x e y: y = ax+b.
Si r se aleja de ±1 (-0,85<r<0,85) la correlación lineal es débil, tanto menor
cuanto más se acerque r a 0. Si r = 0, la correlación lineal es nula.
0,352
= 0,2483 por lo que la correlación
(1,1923)(1,1891 )
lineal es positiva pero muy débil, casi nula.
Así, en nuestro ejemplo, r =
REGRESIÓN LINEAL
Una vez comprobado que hay correlación lineal entre dos variables x e y, cabe
plantearse cuál es la recta que mejor se ajusta a la nube de puntos (recta de
regresión lineal), y que nos puede servir para hacer estimaciones de una
variable, conocidos los valores de la otra (teniendo en cuenta las condiciones
del estudio que llevemos entre manos) con la fiabilidad que nos dé el valor del
coeficiente de correlación.
En realidad, las rectas de regresión lineal son dos, y se obtienen de la
siguiente forma:
xy
De y sobre x: y/x → y- y =
(x- x );
x2
xy
De x sobre y: x/y → x- x =
(y- y )
y2
xy
x
2
y
xy
y2
son los coeficientes de regresión.
- 165 -
Observa
En general, ambas rectas no coinciden, pero son tanto más próximas cuanto
mayor es el grado de correlación lineal. Si r = ±1, las rectas de regresión
coinciden y son función entre x e y. El criterio seguido para hallar las rectas
de regresión se conoce como principio de mínimos cuadrados, y consiste en
buscar la recta que hace mínima la expresión H:
y/x
ŷ3
y2
ŷ2
y3
ŷ1
y2
d3
d2
y3
d1
y1
x1
d3
y1
x2
x3
d1
x̂1
H= d1 2 d2 2 d32 ... dn 2
x/y
d2
x1 x̂ x2
3
x̂2
x3
H= d1 2 d2 2 d32 ... dn 2
Ejercicios
1. Empareja cada coeficiente de correlación con su nube de
puntos:
a) -0,98
b) 0,10
c) 0,35
d) 0,75
A) y
B) y
x
C)
y
x
D)
y
x
x
2. La tabla de abajo refleja la distribución conjunta de
tallas (en cm.) y pesos (en kg.) de 50 alumnos varones de
bachillerato.
Halla
el
coeficiente
de
correlación
e
interprétalo. ¿Qué peso cabe esperar para un estudiante que
mida 172 cm.?
peso
talla 150-160
50-60
60-70
70-80
80-90
90-100
2
3
2
1
160-170
1
6
6
2
2
170-180
180-190
190-200
2
3
4
3
2
4
2
2
3
- 166 -
Ejercicios
x
y
3. La tabla:
54 40 66 70 60 58 63
3
2
6
8
4
3
7
recoge las puntuaciones obtenidas por 7 estudiantes en un test
para cursar estudios de matemáticas (x) y sus notas medias en
el primer curso de carrera (y). Calcula las rectas de
regresión y el coeficiente de correlación lineal. ¿Qué nota
cabe esperar para un alumno que obtuvo 64 puntos en el test?
4. Las longitudes y (en cm.) de un resorte para distintos
pesos x (en kg.) se han indicado en la tabla:
x
y
10
20
30
40
50
60
8,1 10,1 12,3 13,9 15,7 17,1
Halla r e interprétalo.
5. El precio y en miles de € de un cierto modelo de coche
depende de su antigüedad en años x según la tabla que sigue:
x
y
1
69
2
60
3
52
4
45
5
39
6
34
7
30
Comprueba que existe correlación lineal entre x e y, y estima
el valor de un coche de 5,5 años.
6. A lo largo de 6 años un agricultor ha aumentado la
superficie de terreno dedicada al cultivo de patatas. El
número de hanegadas cultivadas y la producción obtenida en
cientos de Qm, se indican en la tabla:
x (nº hanegadas)
y (producción)
20
34
46
54
80
1,1 2,2 3,6 5,4 6
110
8
Determina qué producción cabe esperar que obtenga el próximo
año, si piensa dedicar 130 hanegadas al cultivo.
7. Dada la serie estadística bidimensional:
x
y
-2
-7
-1
-4
0
-1
Se pide:
a) Rectas de regresión.
b) r e interpretación.
- 167 -
1
2
2
5
3
8
Ejercicios
8. Dada la distribución bidimensional:
x
y
1
3
2
5
3
7
4
9
5
11
Se pide:
a) Nube de puntos.
b) r y rectas de regresión.
Interpreta los resultados.
9. Haz lo mismo que en el problema 8 pero ahora con la
siguiente tabla:
x
0 0
2 2
y
0 2
0 2
10. La distribución
personas es:
Edad x
Tensión y
30
11,5
28
11,3
de
35
12,5
edades
42
13,5
y
presión
51
14,6
42
13
arterial
63
16,6
32
12
de
70
16,9
10
67
17
a) Nube de puntos y coeficiente de correlación. ¿Se puede
proceder a un ajuste lineal?
b) Prever la tensión de una persona de 60 años.
11. La tabla adjunta nos da el índice de mortalidad y de una
muestra de población en función del consumo diario de
cigarrillos x:
x (nº cig.)
y (índ. mort.)
3
0,2
5
0,3
6
0,3
15
0,5
20
0,7
40
1,4
45
1,5
Determina el coeficiente de correlación lineal entre x e y.
Predice el índice de mortalidad para un consumidor de 60
cigarrillos.
12. Considerando el conjunto de datos:
x
y
x1
y1
x2
y2
…
…
xn
yn
de una distribución bidimensional, explica qué es la regresión
lineal. Supongamos que ŷ =a+bx es la recta de regresión de y
sobre x; indica la relación de los coeficientes a y b con la
expresión siguiente:
(y1-a-bx1)2+(y2-a-bx2)2+…+(yn-a-bxn)2
- 168 -
Ejercicios
13. Una empresa dispone de los datos de la tabla que sigue.
Estima el número de pedidos que obtendrían 9 vendedores.
Indica el método empleado en el cálculo de la estimación y la
fiabilidad de ésta.
Nº vendedores
Nº pedidos
3
90
4
110
5
140
8
190
10
235
14. Una empresa tiene los datos de la tabla:
Cientos de miles de € en 1
2
publicidad
Cientos de miles de € en 15 16
ventas
3
4
5
6
7
8
14 18 21 19 19 21
Estima las ventas esperadas al invertir 1.000.000 € en
publicidad. Explica la fiabilidad de la estimación realizada.
El rincón matemático
Sir Francis Galton ( 16 de febrero de 1822 – 17 de enero de 1911)
La teorías de la correlación y la regresión son muy recientes, y su descubrimiento
se debe al médico inglés Sir Francis Galton.
Fue un polímata, antropólogo, geógrafo, explorador, inventor, meteorólogo,
estadístico, psicólogo británico con un amplio espectro de intereses.
No tuvo cátedras universitarias y realizó la mayoría de sus investigaciones por su
cuenta. Sus múltiples contribuciones recibieron reconocimiento formal cuando, a
la edad de 87 años, se le concedió el título de Sir o caballero del Reino.
Galton contribuyó a diferentes áreas de la ciencia como la psicología, la biología,
la tecnología, la geografía, la estadística o meteorología. A menudo sus
investigaciones fueron continuadas dando lugar a nuevas disciplinas.
Primo segundo de Charles Darwin, aplicó sus principios a numerosos campos,
principalmente al estudio del ser humano y de las diferencias individuales.
- 169 -
Soluciones
TEMA 10:
1.
(a,C),(b,B),(c,D),(d,A)
2.
x =172, y =78,2, x = 12,04, y = 11,9, xy =85,6 , r= 0,5974.
Baja correlación lineal, y(172)=78,2 kg
3.
x =58,71; y =4,71, x =9,05 ; y =2,12 ; xy = 16,76 ; r=0,8735 ;
y/x → y=0,205x-7,30
x/y → x=3,729y+41,146, y(64)=5,82
4.
x =35, y =12,8666…, x =17,08 , y =3,1 , xy =52,833… , r 1 (Ley de Hocke)
5.
x =4, y =47, x =2 , y =13,115 , xy =-26 , r=-0,9912, y(5,5)=37,25
6.
x =57,33…, y =4,38,
7.
x =29,9
, y = 2,34, xy =67,88 , r=0,97
y(130)=9,897
x = y =0,5 ; x =1,7078 ; y =5,1235 ; xy = 8,75
a) Ambas: y=3x-1
b) r=1 → Relación funcional (habría que tomar todos los decimales)
8.
a)
b) r=1, x/y= y/x → y=2x+1. Relación funcional.
a)
b) r=0, y=x=1, Relación nula.
Las rectas y/x y x/y son perpendiculares.
9.
10.
a)
x =46; y =13,89; x =15,03;
y =2,13; xy =31,89;
r=0,996Sí procede el ajuste.
b) Tensión de 60 con y/x→15,866
11.
x =19,14 ; y =0,7, x =15,83 ; y =0,5 ; xy =7,87 ; r=0,995.
Índice para 60 con y/x → 1,98
12.
Teoría. Se minimiza la expresión (es el método de los mínimos cuadrados)
13.
x=nº vendedores, y= nº pedidos, y/x → 20,26x+31,45
x =6, y =153, x =2,61 , y =53,07 , xy =138 , r=0,996, y(9)=213,79,
r=0,996 → Alta fiabilidad.
14.
x=publicidad, y=ventas, y/x → y=0,89x+13,85
x =4,5 ; y =17,88, x =2,29 ; y =2,47 ; xy =4,665 ; y(10) 2277000;
r=0,8247 → Poca fiabilidad, y=0,89x+13,88.
- 170 -
TEMA 11: PROBABILIDAD
Observa
El concepto de probabilidad. Trata de medir la mayor o menor facilidad con
que ocurrirá algo. Para poder hablar de esto, aquello que se estudia debe ser
un experimento donde, al realizarse de una forma concreta, puedan ocurrir
varias cosas (por ejemplo lanzar un dado y ver el número que sale). Estos
experimentos se llaman aleatorios; y aquellos en los que está prefijado por
leyes físicas o químicas lo que va a ocurrir, se llaman deterministas. En estos
últimos no tiene sentido hablar de probabilidad.
Históricamente, el concepto de probabilidad ha sido controvertido. Más bien,
el tema de asignación de probabilidades. A veces hay razones de tipo
geométrico o por simetrías que permiten asignar la probabilidad de un suceso
a priori (por ejemplo, al lanzar un dado supuestamente bien construido,
decimos que la probabilidad de que salga 1 es 1/6). Otros piensan que esto es
mucho imaginar y que la probabilidad debe asignarse a posteriori después de
lanzar el dado N veces, contar el número de veces que sale el número 1 y si N
es suficientemente alto, asignarle al 1 la probabilidad:
n º de unos (Frecuencia absoluta )
n
=
= Frecuencia relativa.
N n º de realizaciones del exp erimento
Dejando a un lado si se asigna la probabilidad a priori o a posteriori, quedaría
decidir cómo se hace esto. Una de las formas más usuales de hacerlo es la
llamada Probabilidad de Laplace:
P=
Nº de casos favorables al suceso que int eresa
Nº de casos posibles
El problema es cómo contar esos números de casos. De ello se ocupa la
combinatoria (al final del tema tienes algo sobre ella).
- 171 -
Observa
Tratando de abarcar todas las posibilidades, se ha construido una teoría de la
probabilidad (axiomática) que sea aplicable a todos los casos. Para verla es
necesario dar antes unas definiciones.
Experiencia aleatoria ε. Aquella que al repetirla en análogas
condiciones, pueda presentar distintos resultados. Por ejemplo:
“Lanzar un dado y ver lo que sale”.
Espacio muestral . Conjunto de resultados posibles al realizar ε.
En el ejemplo, = {1,2,3,4,5,6} (o combinación de ellos).
Suceso A, B, … Cualquier parte de Ω.
Por ejemplo: A= {sale 1}, B = {sale nº par} , C = {sale múltiplo de 3}.
Suceso imposible . El que no ocurre nunca.
Intersección de sucesos A∩B. Lo que ocurre cuando ocurren A y B
a la vez. En el ejemplo B∩C= {sale 6}.
Unión de sucesos AUB. El que ocurre cuando ocurre A, o B o ambos.
En el ejemplo: BUC= {2,3,4,6}.
Suceso contrario de A: A = Ac. El que ocurre cuando no ocurre A.
En el ejemplo: C = {1,2,4,5}
Dos sucesos A y B se dicen incompatibles cuando A∩B= ϕ. En caso
contrario, se dicen compatibles. En el ejemplo, A y B son
incompatibles, B y C son compatibles.
Una probabilidad es una función p que asigna a cada suceso Ω un número p(A)
cumpliendo:
1º) 0 p(A) 1 para cualquier suceso A.
2º) p(Ω) =1
3º) Si A∩B = p(AUB) = p(A)+p(B)
Por ejemplo, al lanzar el dado podemos asignar como probabilidades:
a) Si lo suponemos bien construido:
p(1) = p(2) = p(3) = p(4) = p(5) = p(6) = 1/6
b) Si está trucado:
p(1) = 1/3, p(2) = p(3) = p(4) =1/6, p(5) = p(6) = 1/12
- 172 -
Observa
De esta definición se deducen una serie de propiedades, entre las que
destacamos:
P1. p() = 0
P2. p( A ) = 1-p(A)
P3. Si A B p(A) p(B)
(si ocurre A ocurre B)
P4. p(AUB) = p(A) + p(B) – p(A∩B)
Veamos cómo se deducen de la definición:
P1. ∩Ω =
(por P3)
P2. A∩ A =
(por P3)
p(AU A ) = p(Ω) = 1 = p(A)+ p( A )
(por P3)
P3. A∩(B-A) =
A
P4. A∩B-A =
p(UΩ) = p(Ω) = 1 = p(Ω)+p() = 1+ p()
B-A
(por P3)
p(AU(B-A)) = p(B) = p(A)+p(B-A)
B
p(AU(B-A)) = p(A)+p(B-A)
A
B
P(AUB)
A∩B
(A∩B) ∩(B-A) =
(por P3)
p((A∩B)U(B-A)) = p(A∩B)+ p(B-A)
p(B)
A
B
_
A∩B
Juntándolo sale.
- 173 -
Observa
Cuando ocurre como en el lanzamiento del dado, que todos los sucesos
elementales tienen la misma probabilidad (cuando lo suponemos bien
construido), hablamos de espacios equiprobables.
Lanzar un dado, una moneda, extraer una carta de la baraja, son
experimentos simples. Lanzar dos o más dados, varias monedas, son
experimentos compuestos. Estos últimos se describen con un diagrama de
árbol. Por ejemplo, al lanzar dos monedas tenemos:
1ª moneda
1/2
1/2
C
X
2ª moneda
1/2
C
1/2
X
p(Dos caras) =
1/2
C
p(Una cara y una cruz) =
1/2
X
1 1 1
·
22 4
1 1 11 1
·
2 2 22 2
Ejercicios
1. En la experiencia “lanzar cuatro monedas” se consideran los
sucesos A={Obtener 2 o 3 caras} y B={Obtener, al menos, tres
caras}. Se pide:
a) AUB
b) A∩B
c) A
d) A ∩ B
2. Si Ω = {a, b, c}, ¿cuáles de las siguientes funciones son
de probabilidad?
1
a) p(a)= p(b)= p(c)=
3
1
1
b) p(a)=
, p(b)= p(c)=
2
4
2
1
c) p(a)= p(b)=
, p(c)=3
3
3. Si p es una función de probabilidad de Ω = {a, b}, halla
p(a) y p(b) sabiendo que p(b) es doble que p(a).
4. Si p es una función de probabilidad de Ω = {a, b, c}, halla
p(a) si:
a)
b)
c)
d)
p(a)=
p(b)=
p(a)=
p(a)=
p(b)= p(c)
p(c)= 2 p(a)
p(b), p(c)=1/2
2 p(b)= 3 p(c)
- 174 -
Ejercicios
5. Un dado se carga de forma que la probabilidad de que salga
un número es proporcional a dicho número. Halla la función de
probabilidad.
6. Un grupo de estudiantes está compuesto por 4 de primer
curso, 5 de segundo y 6 de tercero. Escogemos un alumno al
azar. Calcula la probabilidad del suceso:
a) Es de primero.
b) No es de primero.
c) No es de primero ni de tercero.
7. En el mismo grupo de estudiantes del problema 6 se escogen
al azar dos estudiantes. Halla la probabilidad de:
a) Los dos son de primero.
b) Ninguno es de primero.
c) Uno de primero y otro de segundo.
8. Lanzamos tres monedas. Calcula la probabilidad de:
a) Obtener dos caras.
b) Obtener, al menos, dos caras.
c) No obtener ninguna cruz o ninguna cara.
9. Lanzamos un dado dos veces. Calcula la probabilidad de:
a) La suma de puntos es 7.
b) Obtener el mismo número.
c) El segundo número es mayor que el primero.
10. Una bolsa contiene 6 bolas blancas numeradas del 1 al 6 y
5 bolas negras numeradas del 1 al 5. Extraemos dos bolas al
azar. Calcula la probabilidad de obtener:
a)
b)
c)
d)
Dos
Dos
Dos
Una
bolas blancas.
bolas del mismo color.
números pares.
blanca impar y una negra par.
11. Si lanzamos una moneda y un dado, halla la probabilidad
de:
a) Sacar cara y 5.
b) Sacar cara y número impar.
c) Sacar cara y número par o cruz y cualquier número.
- 175 -
Ejercicios
12. Extraemos dos cartas de la baraja española de 48 cartas.
Calcula la probabilidad de:
a) Sacar dos espadas.
b) No sacar espadas.
c) Sacar el mismo número.
13. En un grupo de estudiantes, el 30% estudian matemáticas,
el 15% física y el 10% ambas materias. Se elige un estudiante
al azar y se quiere saber la probabilidad de que:
a)
b)
c)
d)
Estudie matemáticas.
Estudie matemáticas y física.
Estudie matemáticas pero no física.
No estudie ni matemáticas ni física.
14. En una población el 60% son morenos y el resto rubios.
Entre los morenos, el 90% tienen los ojos castaños y el 10%
azules. Entre los rubios, el 80% tiene los ojos azules y el
20% verdes. Se elige una persona al azar y se quiere saber la
probabilidad de que:
a) Sea morena.
c) Tenga ojos azules.
15.Dos
Halla:
sucesos
cumplen:
a) p(A)
b) Tenga ojos castaños.
d) Tenga ojos verdes o castaños.
P(AUB)=4/5,
b) p(B)
p(A∩B)=1/5,
p( A )=3/5.
c) p(A∩ B )
16. En una caja hay 4 bolas blancas y 3 rojas. Extraemos dos
bolas sin devolución. Halla la probabilidad de:
a)
b)
c)
d)
Que las dos
Que las dos
Que no sean
Cada una es
bolas sean blancas.
sean rojas.
las dos blancas.
de un color.
17. Repite el problema 16 si la extracción es con devolución.
18. Lanzamos dos monedas y un dado. Halla la probabilidad de
obtener:
a) Dos caras y número par.
b) Una cara, una cruz y número par.
c) Alguna cara y número par.
- 176 -
Ejercicios
19. En una determinada población, el 40% estudian catalán, el
30% gallego y el 25% euskera. El 14% estudian catalán y
gallego, el 11% catalán y euskera, el 13% gallego y euskera y
el 5% las tres lenguas. Elegimos una persona al azar y
queremos saber la probabilidad de que estudie:
a) Al menos una lengua.
b) Sólo catalán.
c) Gallego o euskera pero no catalán.
20. Si sabemos p(X)= 1/2, p( Y )=1/3, p(X∩Y)=1/3, calcula:
a) p(XUY)
b) p( X ∩ Y )
c) p(X∩ Y )
d) p( X U Y )
21. Sea S={a, b, c, d, e, f} un espacio muestral y p una
medida de probabilidad en S definida por p(e)=p(f)=1/4,
p(a)=p(b)=p(c)=p(d)=1/8. Se consideran los sucesos A y B
siendo A={a, c, d, e}, B={d, c, f}. Calcula:
a) p(A)
b) p(B)
c) p(AUB)
d) p(A∩B)
22. Una urna contiene 10 bolas numeradas del 1 al 10. Se
extraen sucesivamente dos bolas. Calcula la probabilidad de
que la suma de los puntos obtenidos sea múltiplo de 3 en cada
caso:
a) Con reemplazamiento.
b) Sin reemplazamiento.
23. La probabilidad de que un alumno apruebe matemáticas es
0,6 y la de que apruebe lengua es 0,5 y de la que apruebe
ambas es 0,2.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que apruebe al menos una
asignatura?
b) ¿Y la de que no apruebe ninguna?
c) ¿Y la de que apruebe matemáticas pero no lengua?
24. En una bolsa hay 4 bolas blancas y 3 negras. Calcula la
probabilidad de que al sacar tres bolas todas sean del mismo
color.
25. Para cada
probabilidad.
experimento
que
sigue,
halla
la
función
a) Extraer una carta de la baraja española y
mirar el palo.
b) Jugar a la ruleta (1) y mirar la puntuación.
c) Jugar a la ruleta (2) y mirar la puntuación.
d) Lanzar un dardo sobre la ruleta (1) y mirar la
puntuación.
e) Lanzar un dardo sobre la ruleta (2) y mirar la
puntuación.
- 177 -
4
de
1
2
3
4
1
3
2
Ejercicios
26. Se extrae una
probabilidad de:
ficha
del
dominó
al
azar.
Halla
la
a) Hay un 1 al menos.
b) Hay un 2 al menos.
c) Hay un 1 o un 2.
d) Suma de puntos 6.
e) Suma de puntos mayor de 10.
27.
a)Razona
que
incompatibles.
dos
sucesos
contrarios
son
siempre
b)¿Existen sucesos incompatibles que no sean contrarios?
28. Halla la probabilidad de que al elegir, al azar, un número
de 6 cifras, éste resulte ser capicúa (es decir, el número
empezará por 1, 2, 3…9).
29. En una urna hay 50 bolas entre blancas, verdes y negras.
a) ¿Cuántas hay de cada color si la probabilidad de sacar
una blanca al azar es 2/5 y la de sacar una negra es 1/10?
b) ¿Cuántas hay si la probabilidad de sacar blanca es 2/5 y
la de sacar negra es doble que la de sacar verde?
30. Se extrae una carta de la baraja española de 48 cartas. Se
consideran los sucesos: B={Obtener basto}, F={Obtener figura}
(figuras son: sota, caballo y rey).
Calcula:
a) p(B)
b) p(F)
c) p(B∩F)
d) p(BUF)
e) p( B )
f) p(B∩ F )
g) p( B ∩ F )
31. De una urna que contiene 5 bolas blancas y 7 negras se
extraen al azar todas las bolas menos una. ¿Probabilidad de
que quede una blanca?
32. De la misma urna del problema 31 se extraen todas las
bolas menos dos. ¿Probabilidad de que estas dos sean blancas?
33. El 65% de las alumnos de un centro ha aprobado
matemáticas, el 70% filosofía y el 53% ambas. Si se elige al
azar un estudiante:
a) Probabilidad de que haya suspendido ambas materias.
b) Probabilidad de que haya suspendido como mucho, una
materia.
34. Un 6% de los habitantes de una ciudad compra habitualmente
los dos periódicos que en ella se editan, y el 70% no compran
ninguno. El periódico de mayor aceptación vende el doble de
ejemplares que el otro. Calcula la probabilidad de que un
ciudadano elegido al azar compre el diario de mayor
aceptación.
- 178 -
Amplía
COMBINATORIA
EL PROBLEMA DE CONTAR
En problemas de probabilidad se plantea la cuestión de contar el número de
veces que puede ocurrir algo. Por ejemplo, si queremos saber lo fácil que es
acertar una quiniela o una lotería primitiva, necesitamos saber cuántas
formas de rellenarla hay.
Hay ocasiones en que éste problema tiene fácil solución (todos sabemos
contar de cuantas formas distintas puede presentarse el número de un dado
al lanzarse), pero otras no tanto, y se requieren unas estrategias que
faciliten el conteo. De esto se ocupa la combinatoria.
En cualquier caso, verás que los diagramas de árbol son de gran ayuda para
contar en la mayoría de los casos.
VARIACIONES CON REPETICIÓN
Problema 1. ¿Cuántas quinielas distintas pueden hacerse en una jornada?
1º Partido
2º Partido
3º Partido
1
X
2
1
X
2
1
14º Partido
Solución:
314
1
X
2
1
X
2
X
2
Problema 2. El lenguaje de un ordenador se traduce a secuencias de dígitos
formados por ceros y unos. Un byte es una de estas secuencias y está formado
por 8 dígitos, por ejemplo 00101101. ¿Cuántos bytes distintos hay?
1º Dígito
0
1
2º Dígito
0
1
0
3º Dígito
0
1
0
1
8º Dígito
Solución:
28
1
- 179 -
Amplía
En estos dos problemas, y en muchos más, se aprecia la misma estructura: se
trata de rellenar un número de casillas (14 y 8 en los problemas 1 y 2
respectivamente) con una serie de símbolos u objetos (3 y 2 en los problemas
1 y 2 respectivamente) que pueden repetirse y donde el orden de colocación
es importante (pueden ponerse el mismo número de unos y ceros en dos bytes
distintos). Al número de formas de hacer esto se le conoce con el nombre de
variaciones con repetición:
VR3,14 = VR314 = 314 en problema 1, VR2,8 = VR28 = 28 en problema 2.
En general, para rellenar n casillas con m objetos que se pueden repetir y
donde el orden de colocación importa, el número total de colocación será:
VRm,n = VRmn = mn (variaciones con repetición de m y n)
Ejercicios
35. ¿Cuántas palabras de 5 letras pueden formarse, aunque no
tengan sentido, con las letras de CARLOS?
36. Las matrículas antiguas sólo tenían un número de 6 cifras.
¿Cuántas distintas podían formarse en cada provincia?
37. Calcula: a) VR2,7
c) VR 43
b) VR5,2
d) VR 17
Amplía
VARIACIONES
Problema 1. En la final de los 800 m de una olimpiada participan 8 atletas. ¿De
cuántas maneras se pueden distribuir las medallas?
Oro
Dorsal
1
2
3
4
5
6
7
8
Plata
Dorsal
2
3
4
5
6
7
8
Bronce
Dorsal
3
4
5
6
7
8
Solución:
8·7·6=336
1
2
3
5
6
7
1
2
3
4
5
6
7
- 180 -
Amplía
Problema 2. ¿Cuántos números de dos cifras se pueden formar con los dígitos 1,
2, 3, 4, sin que se repita ninguno?
Decenas
1
2
3
Unidades
2
3
4
1
3
4
1
2
4
Solución:
4·3=12
1
2
3
4
En estos dos problemas la estructura es:
Se trata de rellenar casillas (3 y 2 en problema 1 y 2 respectivamente) con
objetos (8 y 4 en problema 1 y 2 respectivamente) que no se pueden repetir
y donde el orden de colocación es importante (no puede llevarse dos medallas
la misma persona y no es lo mismo que los dorsales 1, 2, 3 lleguen 1º, 2º y 3º
respectivamente o que lleguen 2º, 1º y 3º).
Al número de colocaciones de este tipo se les llama variaciones:
V8,3 = V83 = 8·7·6 en problema 1
V4,2 = V42 = 4·3 en problema 2.
En general, para rellenar m casillas con n objetos (m ≤ n) que no se pueden
repetir y donde el orden importa, el total de colocaciones posibles es:
Vm,n = Vmn = m·(m-1) ……
Variaciones de m y n.
n factores
Cuando m=n tenemos todas las formas posibles de ordenar n objetos, y
hablamos de permutaciones de esos n objetos:
Pn = Vn,n = n·(n-1)·(n-2)·…….·1
Dado un número natural, se llama factorial de ese número a n! y se calcula:
n! = n·(n-1)·(n-2)·…·3·2·1
Por ejemplo: 5! = 5·4·3·2·1 = 120
m!
Tenemos entonces: Vm,n =
, Pn = n!
(m n)!
m!
Según esto: Vm,m =
= Pm = m! → 0! = 1 por convenio.
0!
- 181 -
Ejercicios
38. Extraemos una carta de la baraja española de 40 cartas.
Después de dejarla sobre la mesa, extraemos una segunda que
colocamos junto a la anterior y una tercera a continuación.
¿De cuántas formas distintas puede ordenarse el trío de
cartas?
39. En un concurso literario participan 10 escritores y se
asignan tres premios de 5, 3 y 1 decenas de miles de euros.
¿De cuántas formas distintas pueden distribuirse los premios?
40. ¿Cuántos números de tres cifras se pueden formar con las
cifras impares sin que se repita ninguna?
41. ¿Cuántos números del problema 40 serán mayores que el 400?
a) V73
42. Calcula:
b) V104
c) V97
43. Calcula n y k en:
a)Vn,3=Vn,4
b)Vn,4=4·Vn-1,3
c)Vn,k=6·5·4
d)Vn,k= 8·7·6·5·4
44. Resuelve las siguientes ecuaciones:
a) Vx4 = 20 Vx2
d) V11,x = 7920
b) Vx,3 = 20 Vx,2
e) Vx,2 = 210
c) Vx,6 = 90 Vx-2,4
f) V5,x = 20
45. Diez amigos van en bicicleta en fila india. ¿de cuántas
formas distintas pueden ir ordenados en la fila?
46. ¿De cuántas formas distintas pueden sentarse tres personas
en tres asientos?
47. Una secretaria ha escrito cinco cartas distintas a cinco
personas diferentes. También ha escrito en cinco sobres los
nombres y direcciones de cada una de esas cinco personas y
mete al azar cada carta en uno de los sobres.
a) ¿Cuántas formas distintas hay de llenar los sobres así?
b) En cuántos de los casos anteriores, el señor Pérez, por
ejemplo, tendría su carta en su sobre?
48. a) Calcula: P5, P9, P6
b) Comprueba que Vm,n =
Pm
Pm n
49. Calcula: 3!, 4!, 5!, 6!, 10!, 6!+1, 3!+2!, (3+2)!, (6-3)!
50. Halla x en:
a)x!=110(x-2)!
- 182 -
b)12x!+5(x+1)!=(x+2)!
Amplía
COMBINACIONES
Problema 1. De los 10 temas que debes estudiar para un examen, te van a salir
tres, extraídos por sorteo. ¿De cuántas formas distintas te puede salir el
examen?
Si en el examen hubiera que contestar en un orden concreto los temas, la
respuesta sería V10,3 = 10·9·8 = 720 exámenes posibles.
Como el orden no influye, debemos quitar los repetidos. Los temas 1, 2, 3
aparecen 3! veces (sus ordenaciones), lo mismo los temas 7, 5, 3 y así cualquier
tema, por tanto la solución del problema será:
V10,3
P3
=
10·9·8 720
120 posibles exámenes.
3·2·1
6
Problema 2. ¿De cuántas formas distintas se puede rellenar un boleto de la
lotería primitiva?
Como en el problema anterior, tenemos que elegir 6 números entre 49 posibles
sin que importe el orden. Razonando de forma análoga tendremos:
V49,6
P6
49·48·47·46·45·44
13983816 boletos.
6·5·4·3·2·1
En ambos problemas se trata de rellenar casillas (3 en el problema 1 y 6 en el
problema 2) que no se pueden repetir y donde no influye el orden. Al número de
colocaciones posibles de esta forma se las llama combinaciones de m elementos
tomadas de n en n: C49,6 en problema 2.
En general: n < m
m Vm,n
m!
Cm,n = =
=
n! (m n)!
Pn
n
Ejercicios
51. De las 30 preguntas de que consta un test se debe
contestar a 20. ¿De cuántos modos distintos se pueden elegir
las 20 preguntas?
52. Una fábrica de helados tiene 12 sabores. ¿Cuántos helados
de tres gustos se pueden fabricar?
- 183 -
Ejercicios
53. ¿Cuántos equipos de baloncesto pueden formarse con los 35
alumnos de una clase?
54. Calcula:
3
a) C12
b) C95
c) C413
55. Una chica tiene 6 blusas, 4 pantalones y 3 pares de
zapatillas. ¿Entre cuántas indumentarias distintas puede
escoger?
56. ¿De cuántas formas distintas pueden tres chicos repartirse
3 polos diferentes comiéndose un polo cada uno?
57. Tres chicas van a una heladería en la que hay cuatro tipos
distintos de polos. ¿De cuántas formas distintas pueden hacer
la elección si cada una compra un polo?
58. Cuatro chicos echan una carrera. ¿De cuántas formas pueden
llegar a la meta si no hay empates?
59. ¿Cuántos números de tres cifras se pueden formar con los
dígitos 1, 5, 8, 9?
60. ¿Cuántos números de tres cifras se pueden formar con los
dígitos 1, 5, 8, 9 sin que se repita ninguno?
61. ¿Cuántos números capicúas de dos cifras se pueden formar?
62. ¿Cuántos números capicúas de tres cifras se pueden formar?
63. ¿De cuántas
distintos?
formas
se
pueden
ordenar
tres
libros
64. ¿Cuántos menús distintos se pueden confeccionar eligiendo
entre dos primeros platos, tres segundos y dos postres?
65. ¿Cuántos vocablos de dos letras se pueden formar con las
letras de la palabra MAR?
66. ¿Cuántos vocablos de dos letras se pueden formar con las
letras de la palabra MAR si las letras deben ser distintas?
- 184 -
Ejercicios
67. ¿Cuántos productos de dos números elegidos entre 2, 3, 5
se pueden hacer?
68. ¿Cuántos productos de dos números elegidos entre 2, 3, 5
se pueden hacer si los factores deben ser distintos?
69. Cinco amigos se encuentran y todos se estrechan la mano.
¿Cuántos apretones de mano hay en total?
70. Nos han regalado 8 novelas y 5 libros de poesía y queremos
elegir tres novelas y dos libros de poesía. ¿De cuántas formas
se puede hacer?
71. ¿Cuántos cuadriláteros se pueden formar con los vértices
de un hexágono regular?
72. Una familia formada por los padres y tres hijos van al
cine y se sientan en 5 butacas consecutivas.
a) ¿De cuántas formas distintas pueden sentarse?
b) ¿Y si los padres se sientan en los extremos?
c) ¿Y si los padres deciden no sentarse en los extremos?
73. ¿Cuántas letras de 5 signos se pueden
alfabeto Morse usando tres rallas y dos puntos?
formar
en
el
74. ¿Cuántos números de 5 cifras se pueden escribir con las
cifras 1, 2, 3, 4, 5 sin repetir ninguna y siendo el resultado
impar?
75. Un barco tiene 8 banderas diferentes para hacer señales y
cada señal se forma colocando tres banderas en un mástil en un
determinado orden. ¿Cuántas señales distintas se pueden hacer
desde el barco?
76. A un congreso médico asisten 50 personas de las cuales 30
sólo hablan inglés y 20 sólo hablan francés. ¿Cuántos diálogos
pueden establecerse sin intérprete?
77. ¿Cuántos números
dígitos 1, 2 y 3?
de
8
cifras
- 185 -
puedes
escribir
con
los
Amplía
NÚMEROS COMBINATORIOS
m
Los números que aparecen al contar combinaciones Cmn = m>n se llaman
n
números combinatorios y tienen propiedades interesantes:
m
1ª =
0
m
= 1
m
m
2ª =
m
m
m
m
m!
m!
pues =
=
=
(m n)! n! m n
m n
m n! (m n)!
pues
m
m
m!
1
=
= =
=1
0! m! m 1·1
0
m 1 m 1
(m 1)!
(m 1)!
+
=
3ª
=
n 1 n (n 1)! (m n)! n! (m n 1)!
m
(m 1)! n (m 1)! (m n)
(m 1)! (n m n)
m!
=
=
=
n! (m n)!
n! (m n)!
n! (m n)!
n! (m n)! n
Con estas propiedades, tenemos una forma cómoda de disponer estos
números:
1
0
2
2
0
1
3
+
0
4
4
0
1
5
0
5
1
3
1
4
2
5
2
1
1
1
2
+
2
3
3
2
3
4
4
+
3
4
5
5
5
3
4
5
1
2 + 1
1 + 3
3
1
1
1
4
5
1
6
4 + 1
10 10
5
1
Triángulo de Tartaglia
m m m
m
4ª + + + … + = 2m, pues cada fila del triángulo
0 1 2
m
es doble de la anterior y la primera suma 2.
- 186 -
Amplía
Una utilidad de esto es el binomio de Newton. Se puede comprobar lo
siguiente (piensa por qué):
n
n 2 n-2 n 1 n-1 n 0 n
n
n
a b +
a b + a b
(a+b)n = an b0+ an-1 b1+ an-2 b2+ …+
0
n 2
n 1
1
2
n
y de aquí, como (a-b) = (a+(-b)), se tiene:
n
n
n
(a-b)n = an b0 - an-1 b1 + an-2 b2 - … + (-1)n-2
0
1
2
n 1 n-1
n
a b + (-1)n a0 bn
+ (-1)n-1
n 1
n
n 2 n-2
a b +
n 2
Veamos un par de ejemplos:
Ejemplo 1 (a+b)5 = a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5
Ejemplo 2 (x-y)4 = x4-4x3y+6x2y2-4xy3+y4
Ejercicios
78. Resuelve las siguientes ecuaciones:
39
39
a)
5 2x
2x 2
8 8
9
b)
3 x
4
11
11
12
c)
3
y
3
17
17
d)
x
x 1
x
x
10
e)
4
5
5
38
38
f)
5 2x
3x
79. Calcula:
2000
a)
1998
5001
b)
4999
1000000
c)
999998
- 187 -
2
Ejercicios
80. Resuelve las ecuaciones:
x
x x
a) 2 = 2 -
4
3 2
x
2 x
b)
3 6
5
x
51 x
c)
2 2
4
39
39
d)
x
x 5
x
x 1
x 2
= 136
e)
2
2
2
81. Calcula:
2
2
2
a)
0
1
2
5
5
5
5
5
5
b)
0
1
2
3
4
5
82. Desarrolla:
a) (a+b)3
5
1
e) 2x
2
b) (a-b)3
4
1
f) x
x
c) (2-x)8
g) (2x+1)6
d) (x+3)5
4
1
h) 3x
3
83. Calcula el cuarto término del desarrollo de (a-5)7.
9
y
84. Calcula el quinto término del desarrollo de 2x .
2
85. Halla el coeficiente del cuarto término del desarrollo del
6
x
polinomio 3 .
3
8
x2
3
.
86. Halla el coeficiente de x en el desarrollo de
x
2
7
87. Encuentra el término en el que el exponente de x es 28 en
20
x
2
x
el desarrollo de
.
2
88. Calcula el término que no tiene x en el desarrollo del
11
1
polinomio x x 4 .
x
- 188 -
Observa
PROBABILIDAD CONDICIONADA
En su momento planteábamos el siguiente problema:
En una población el 60% son morenos y el resto rubios. Entre los morenos, el
90% tienen los ojos castaños y el 10% azules. Entre los rubios, el 80% tienen
los ojos azules y el 20% verdes. Se elige una persona al azar y se quiere
saber la probabilidad de que:
a) Sea morena.
c) Tenga ojos azules.
b) Tenga ojos castaños.
d) Tenga ojos verdes o castaños.
Lo resolvíamos así:
90
100
M
60
100
40
100
R
10
100
80
100
20
100
C
A
A
V
a) P(M) =
60
= 0,6
100
b) P(C) =
60 90
·
= 0,54
100 100
c) P(A) =
60 10
40 80
·
+
·
= 0,38
100 100 100 100
d) P(VC) =
60 90
40 20
·
+
·
= 0,62
100 100
100 100
Fijémonos en algunos aspectos interesantes:
Sabemos que el 90% de los morenos tienen los ojos castaños. Es una
información del tipo: Si una persona es morena, la probabilidad de que
tenga los ojos castaños es 0,9.
A esto se le llama probabilidad condicionada: P(C/M) = 0,9.
* Dados los sucesos A y B, se llama P(A/B) a la probabilidad de que ocurra A
si ha ocurrido B.
Para obtener la probabilidad de que una persona tenga los ojos castaños,
multiplicamos P(M) = 0,6 por P(C/M) = 0,9 y obtenemos P(M∩C) = 0,54.
P(A B)
P(B)
* Operando aquí tenemos el Teorema de la Multiplicación:
* Se define P(A/B) =
P(A∩B) = P(B)· P(A/B) = P(A)·P(B/A)
- 189 -
Observa
Supongamos ahora que extraemos una carta de la baraja española de 48
cartas y consideramos los siguientes sucesos A={Sale As}, O={Sale Oro},
I={Sale nº impar}. Tenemos lo siguiente:
P(O)=12/48=1/4
P(A/O)=
1 48
12 48
P(I)=24/48=1/2
1
= P(A)
12
P(A)=4/48=1/12
P(A/I)=
4 48 1
P(A)
24 48 6
Se dice entonces que los sucesos A y O son independientes y que los sucesos
A e I son dependientes.
* Si P(A/B) = P(A), se dice que A y B son independientes.
Si P(A/B) ≠ P(A), se dice que A y B son dependientes.
* A la vista del Teorema de la Multiplicación:
A y B independientes ↔ P(A∩B) = P(A) · P(B)
A y B dependientes
↔
P(A∩B) ≠ P(A) · P(B)
Volviendo al primer problema del que hablábamos:
P(A) = P(M∩A) + P(R∩A) =
= P(M) · P(A/M) + P(R) · P(A/R) =
=0,6·0,1+0,4·0,8 = 0,38
M
A
R
Esto que se ha usado se conoce como fórmula de la probabilidad total.
*Si tenemos Ω = A1 U … U An con Ai∩Aj = , i≠j,
y tenemos un suceso B, tenemos:
P(B) = P(A1∩B) + … + P(An∩B) =
= P(A1) · P(B/A1) + … + P(An) · (B/An)
A2
A1
A8
A3
B
A7
A6
A4
A5
Fórmula de la probabilidad total
P(R/A) =
P(R A) P(R)·P(A / R) 0,4·0,8
=
=
= 16/19
P(A)
0,38
P(A)
Que se conoce como fórmula de Bayes.
* En las mismas condiciones que el resultado de la probabilidad total tenemos:
P(Ai/B) =
P(Ai )·P(B / Ai )
P(Ai B) P(Ai )·P(B / Ai )
=
=
P(B)
P(B)
P(A1 )P(B / A1 ) ... P(An )P(B / An )
Fórmula de Bayes.
- 190 -
Ejercicios
89. Si P(A)=1/3, P(B)=1/4, P(AUB)=1/2, calcula:
a) P(A/B)
b) P(B/A)
c) P(A B )
d) P(A/ B )
90. Un dado se lanza dos veces. Sean los sucesos A y B donde
A={En el primer lanzamiento, el nº obtenido es menor o igual
que 2} y B={En el segundo lanzamiento, el nº obtenido es, al
menos, 5}. Se pide:
a) P(AUB)
b) P(A/B)
c) ¿Son A y B independientes?
91. Tenemos tres bolsas B1, B2, B3. B1 contiene una bola blanca
y 4 negras, B2 contiene 2 blancas y 3 negras y B3 contiene 3
blancas y 2 negras. Elegimos una bolsa al azar y extraemos una
bola. Calcula la probabilidad de que sea blanca. Si la bola ha
sido blanca, ¿cuál es la probabilidad de que provenga de B3?
92. Un curso consta de tres grupos. El grupo A tiene
alumnos de los que 5 han suspendido, el B tiene 15 alumnos
los que 3 han suspendido y el C tiene 10 de los que 1
suspendido. Si se elige un alumno al azar, calcula
probabilidad de:
25
de
ha
la
a) Que pertenezca al grupo A.
b) Que sea del B y haya suspendido.
c) Que haya suspendido.
93. Una fábrica produce cerraduras en 4 pabellones. El primero
produce el 40% de las mismas con un 5% de defectuosas. El
segundo produce el 30% con un 4% de defectuosas. El tercero un
20% con un 3% de defectuosas y el cuarto el 10% con un 2% de
defectuosas. Elegimos una cerradura al azar y queremos saber:
a) Si es defectuosa, probabilidad de que venga del primer
pabellón.
b) Si no es defectuosa, probabilidad de que venga del
cuarto pabellón.
94. Una caja contiene dos monedas. Una es normal y la otra
tiene dos caras. Se extrae una moneda al azar y se lanza.
Halla la probabilidad:
a) De obtener cara.
b) De obtener cara y ser la moneda defectuosa.
c) Si ha salido cara, de que la moneda sea la defectuosa.
95. Una clase está formada por 25 chicos y 15 chicas. 10
chicos y 5 chicas han suspendido Matemáticas. Si elegimos un
alumno al azar, calcula las probabilidades de:
a) Que sea chico
c) Que haya suspendido
b) Que sea chico y haya suspendido
d) Si ha suspendido, que sea chica
- 191 -
Ejercicios
96. Tenemos tres monedas, una normal, una con dos caras, y
otra con dos cruces. Elegimos una moneda al azar y la
lanzamos. Halla:
a) Probabilidad de obtener cara.
b) Si ha salido cara, probabilidad de que sea una moneda
defectuosa.
c) Si ha salido cruz, probabilidad de que sea la moneda
normal.
97. Cierta enfermedad la sufren, en una determinada población,
el 4% de sus habitantes. Un análisis da positivo en el 95% de
los enfermos y en el 3% de los sanos. Analizamos una persona
al azar y queremos saber la probabilidad de:
a) Que la persona esté sana y el análisis dé positivo.
b) Si el análisis da positivo, que la persona esté sana.
c) Si el análisis da negativo, que la persona esté enferma.
98. Una caja contiene dos bolas blancas, dos negras y dos
rojas. Extraemos 3 bolas y queremos saber la probabilidad de:
a) La tercera bola es blanca si las dos primeras han sido
negras.
b) La segunda es blanca, si la primera y la tercera son
negras.
99. Un coche posee alarma antirrobo. La probabilidad de que
determinado día se produzca un robo es 0,2. La probabilidad de
que la alarma funcione cuando hay robo es 0,9 y si no hay robo
es de 0,05. Calcula la probabilidad de que:
a) No hay robo cuando ha funcionado la alarma.
b) Hay robo sin que haya funcionado la alarma.
100. En una Universidad en la que sólo hay estudiantes de
Arquitectura, de Ciencias y de Letras, terminan la carrera el
5% en Arquitectura, el 10% en Ciencias y el 20% en Letras. Se
sabe que el 20% de todos los alumnos estudian Arquitectura y
el 30% Ciencias. Elegimos un alumno al azar y queremos saber
la probabilidad:
a) De que sea de Arquitectura y haya terminado la carrera.
b) Si ha terminado la carrera, de que sea de Arquitectura.
101. Se dispone de dos cañones con probabilidades 0,1 y 0,3 de
hacer blanco respectivamente. Hacemos un disparo con cada
cañón. Halla:
a) Probabilidad de fallar los dos.
b) Probabilidad de acertar uno de ellos.
c) Si se ha hecho un solo blanco, probabilidad de que haya
acertado el primero.
- 192 -
Ejercicios
102. Se extrae una carta de la baraja francesa de 52 cartas y
nos dicen que es roja. Calcula la probabilidad de que sea:
a) Una figura.
b) Un corazón.
Di si estos sucesos son independientes o no, del suceso “Ser
roja”.
103. Se lanzan dos dados y nos dicen que se ha obtenido suma
par.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que la suma sea superior a 7?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que los puntos de los dos dados
coincidan?
104. El 60% de los españoles y el 70% de las españolas viven
75 años o más. Si un hombre y una mujer se casan a los 25
años, ¿cuál es la probabilidad de que, divorciados o no,
celebren sus bodas de oro?
105. Una urna contiene 25 bolas blancas sin marcar, 75 bolas
blancas marcadas, 125 negras sin marcar y 175 negras marcadas.
Se extrae al azar una bola y se pide:
a) Probabilidad de que sea blanca.
b) Si está marcada, probabilidad de que sea blanca.
Amplía
VARIABLES ALEATORIAS
Al realizar un experimento aleatorio podemos asignarle un número a cada
suceso (por ejemplo, al elegir una persona al azar en un colectivo podemos
asignarle su talla, o su número de hermanos. Al jugar a los dados podemos
asignarle a cada puntuación lo que ganamos o lo que perdemos). Se dice
entonces que hemos definido una variable aleatoria (v.a.).
Hay v.a. de dos tipos: continuas (la talla) o discretas (el número de hermanos)
siguiendo el mismo criterio que en estadística.
Definida una v.a. X, tiene sentido plantearse cuestiones del tipo: “¿Cuál es la
probabilidad de que la v.a. X tome determinados valores?” Por eso
escribiremos:
P(X=a) → Probabilidad del suceso que tiene asignado el valor “a”.
P(X<a) → Probabilidad de los sucesos que tienen asignados valores
inferiores a “a”.
Etc.
- 193 -
Amplía
V.a. discretas. Se llama función de densidad o función de probabilidad a la
función f(x) = P(X=x) siendo X la v.a. y x los valores que puede tomar.
Por supuesto, si x1, …, xn son todos los valores que puede tomar, se cumple:
f(x1)+ … +f(xn) = 1.
Se llama función de distribución a la función dada por la fórmula F(X)= P(X≤x)
Si tenemos:
X
f(x)
x1
p1
x2
p2
…
…
xn
pn
Se llama media o esperanza matemática de X a:
µ = E(x) = x1p1+x2p2+ … +xnpn
que nos da el valor esperado de la v.a., y nos permite saber si un juego es
equitativo o ventajoso para alguien.
Se llama varianza de X a:
σ2 = (x1- µ)2p1+ … +(xn- µ)2pn
y desviación típica de X a σ =
2 , que son medidas de dispersión.
Valores pequeños indican agrupamiento de la v.a. en torno a la media, y
grandes indican dispersión.
V.a. continuas. La función de densidad, en este caso, tiene una gráfica no
negativa que encierra un área de 1u2. La función de distribución plantea el
problema de cálculo de áreas, igual que la media y la desviación típica se
calculan mediante una integral, por lo que no profundizaremos sobre esto.
Ejercicios
Problemas de ampliación
106. En el experimento de lanzar dos dados se considera la
v.a.: “mínimo de los puntos de las caras superiores”. Halla la
media, la varianza y la desviación típica de esta v.a.
107. Un jugador lanza dos dados y cobra tantos euros como unos
obtenga. Describe el juego mediante una v.a. y juzga si es
rentable participar en él pagando 0,6 € por tirada.
108. Un jugador lanza dos dados. Recibe 90 € si salen dos 6,
18 € si sale un 6 y nada en otro caso. Describe este juego
usando una v.a. y halla cuánto debe pagar el jugador en cada
apuesta para que el juego sea equitativo.
- 194 -
Ejercicios
109. Si una persona deja el coche en el garaje paga 5 € y si
aparca en lugar prohibido pueden ponerle una multa de 10 €.
Con probabilidad 0,4. ¿Qué es más ventajoso?
110. Se lanzan tres monedas. Se gana la cantidad c por cada
cara que salga y pierde c por cada cruz que salga. ¿Es
equitativo el juego?
111. ¿Cuál debe ser la apuesta a cara al lanzar una moneda
para que el juego sea equitativo?
112. ¿Cuál debe ser la apuesta al 6 al lanzar un dado para que
el juego sea equitativo?
Observa
LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL
Piensa en los siguientes experimentos y busca similitudes:
1º) Contestamos un examen tipo test de cinco preguntas con tres opciones
cada una (y sólo una buena) al azar. Nos interesa saber el número de
aciertos, que pueden ser 0, 1, 2, 3, 4, 5.
2º) Lanzamos cuatro monedas bien construidas y nos interesa saber el
número de caras, que pueden ser 0, 1 , 2, 3, 4.
3º) Lanzamos un dado siete veces y nos interesa saber el número de cincos
que salen, que pueden ser 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.
En todos ellos tenemos un experimento que se realiza n veces (1º n=5 , 2º
n=4, 3º n=7) ,del mismo modo donde sólo puede ocurrir un suceso A (1º
A= acertar, 2º A= salir cara, 3º A= salir cinco) en cada prueba, o su
contrario ( 1º A = no acertar, 2º A = salir cruz, 3º A = salir número
distinto de cinco). En cada prueba el suceso A tiene la misma probabilidad p
de salir (1ºp=1/3, 2º p= 1/2, 3º p=1/6) y el suceso A tiene probabilidad
q= 1-p de ocurrir.
Lo que nos interesa siempre es contar el número de veces que ocurre A, con
lo que definimos una v.a. X = “número de veces que ocurre A” de tipo discreto,
que se llama binomial de parámetros n y p: X B(n,p).
- 195 -
Observa
Para estudiar esta variable, podríamos proceder de la siguiente forma:
1ª Prueba
p
p A
q
nª Prueba
2ª Prueba
A
A
q
p
A
2n
sucesos
elementales
A
A
q
Pensemos en el primer ejemplo:
1ª Pregunta
2ª Pregunta
1/3
Acierto
1/3
2/3
A
No acierto
1/3
A
2/3
1/3
2/3
3ª Pregunta
A
A
5ª Pregunta
4ª Pregunta
A
1/3
1/3
A
2/3
2/3
A
A
A
A
2/3
Veamos la facilidad o dificultad de acertar contestando al azar:
2
P(x=0) = probabilidad de acertar cero preguntas =
3
5
(hay que fallar la 1ª , y la 2ª, …, y la 5ª. Son todos los caminos
descendentes del árbol)
1 2
P(x=1) = Probabilidad de acertar una = 5
3 3
4
(hay que acertar una (subir una vez) y fallar cuatro (bajar 4 veces) y esto se
puede hacer acertando la 1ª, o la 2ª, …, o la 5ª)
Y así sucesivamente, cada acierto es una subida y cada fallo una bajada. El
problema es contar cuantas formas hay de subir y bajar para un número
determinado de aciertos. Esto lo puedes hacer con el triángulo de Tartaglia:
1
1
1
5
1
4
1
3
2
6
1
3
1
1
4
1
10 10 5
1
1 1
0 1
2
2
2
2
1
0
3
3
3
3
1
2
0
3
- 196 -
Donde
m
m!
n
n
!
m
n !
Observa
Y así tendrías:
P(x=0) = f(0) = (2/3)5
P(x=1) = f(1) = 5·(1/3)(2/3)4
que corresponde a
la Función de Probabilidad
de la v.a. X B(5,1/3)
P(x=2) = f(2) = 10·(1/3)2(2/3)3
P(x=3) = f(3) = 10·(1/3)3 (2/3)2
P(x=4) = f(4) = 5·(1/3)4 (2/3)
P(x=5) = f(5) = (1/3)5
En general:
n
P(x=0) = f(0) = p0qn = qn
0
n
P(x=1) = f(1) = p1qn-1 = n·p·qn-1
1
n
P(x=2) = f(2) = p2qn-2
2
n
P(x=3) = f(3) = p3qn-3
3
Función de Probabilidad
de la v.a. X B(n,p)
……………………………..
n
P(x=n) = f(n) = pnq0 = pn
n
n
n
Donde los coeficientes , …, se pueden buscar con la fórmula o
0
n
construyendo el triángulo de Tartaglia hasta la fila n.
Para la v.a. X B(n,p) tenemos, pues:
su función de probabilidad f(x) ya
vista, que si la representas verás que
tiene una forma como la del dibujo
siempre.
f(x)
1 2
su media, que es µ = n·p
su desviación típica, que es σ =
n
x
n·p·(1 p)
su función de distribución F(x) = f(0)+f(1)+…+f(x), que encontramos en
tablas como la de la página 265 para facilitar su cálculo.
- 197 -
Observa
Veamos todo esto con el ejemplo del test:
X = número de aciertos X B(5,1/3).
1 5
que es el número de respuestas que esperamos
3 3
acertar contestando al azar.
Media: µ = 5·
12
Desviación típica: σ = 5· · =
33
10
3
Función de distribución: buscando en la tabla n=5 (en vertical) y p=
1
, (consideramos p=0’35 que es el más próximo), tenemos:
3
F(0) = 0,1160 = f(0)
F(1) = 0,4284 = f(0)+f(1)
F(2) = 0,7648 = f(0)+f(1)+f(2)
F(3) = 0,9460 = f(0)+f(1)+f(2)+f(3)
F(4) = 0,9947 = f(0)+f(1)+f(2)+f(3)+f(4)
F(5) = 1,0000 = f(0)+f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)
que bien usada nos permite hallar muchas cosas:
a) Función de probabilidad:
f(3) = F(3)-F(2) = 0,9460-0,7648 = 0,1812
b) Probabilidad de acertar tres o más preguntas contestando al
azar:
P(x≥3) = f(3)+f(4)+f(5) = F(5)-F(2) = 1-0,7648 = 0,2352
c) Probabilidad de acertar entre dos y cuatro preguntas,
contestando al azar.
P(2≤x≤4) = f(2)+f(3)+f(4) = F(4)-F(1) = 0,9947-0,4284 = 0,5663
- 198 -
Observa
k
n
Probabilidades binomiales acumuladas: P(x≤k)= pi(1-p)n-i , k = 0,1, … , n
i 0 i
- 199 -
Ejercicios
113. Halla las funciones de densidad y de distribución de la
v.a. X= número de cruces, al lanzar 6 monedas bien
construidas.
114. Una v.a. X sigue una ley B(5,0´2). Determina su
distribución de probabilidad, su media, desviación típica y
función de distribución.
115. Si XB(5,p) con varianza σ2 =5/4, halla p, µ y P(x≥2).
116. Si XB(n,p) tal que µ = 2 y
σ2=4/3, halla n y p.
117. La probabilidad de que cierto tirador haga blanco es 2/3.
Si dispara 4 veces, halla la probabilidad de que haga blanco
en dos de ellas.
118. Una urna contiene 4 bolas rojas y 6 blancas. Se saca una
bola, se anota el color y se devuelve a la urna. Si esto se
repite 5 veces, halla:
a)Probabilidad de obtener dos bolas rojas.
b)Probabilidad de obtener, como máximo, dos bolas rojas.
c)Media y desviación típica de la v.a. “Número de bolas
rojas”
119. Lanzamos 5 veces dos dados. Halla la probabilidad de
obtener suma de puntos menor que 9, al menos dos veces.
120. Si la probabilidad de que un recién nacido sea varón es
de 1/2 y se eligen al azar 100 familias de 5 hijos, ¿en
cuántas es de esperar que haya dos varones y tres mujeres?
121. Un vendedor de seguros vende pólizas a 5 personas de la
misma edad y con buena salud. Se sabe que la probabilidad de
que una persona de estas condiciones viva 30 años o más es
2/3. Halla la probabilidad de que, al cabo de 30 años, vivan:
a) Las cinco personas.
b) Al menos tres personas.
c) Sólo dos personas.
122. Halla la probabilidad de acertar al menos 6 de las 10
preguntas de un test “verdadero-falso”, suponiendo que se
responde al azar.
123. Un examen tipo test consta de 5 preguntas, en cada una de
las cuales se proponen 3 posibles respuestas, de las que sólo
una es correcta. Para superar el examen se exige acertar 4
respuestas como mínimo. Halla la probabilidad de aprobar
contestando al azar.
- 200 -
Ejercicios
124. Un examen tipo test consta de 10 preguntas acompañada
cada una de 5 posibles respuestas de las que sólo una es
correcta. ¿Cuántas respuestas acertadas deben exigirse para
aprobar, para que la probabilidad de hacerlo contestando al
azar, no supere el 0,05?
125. ¿Cuál es la probabilidad de obtener 5 caras al lanzar 11
veces una moneda? ¿Cuántas caras se obtendrán por término
medio en los 11 lanzamientos? ¿Cuál es la desviación típica de
la v.a. “Número de caras”.
126. En un almacén, el 20% de las cajas que se reciben de un
determinado producto son defectuosas. Se pide:
a) Si abrimos dos cajas, ¿cuál es la probabilidad de que
ambas sean defectuosas?
b) Si abrimos tres, ¿cuál es la probabilidad de que dos sean
defectuosas?
c) Si abrimos cien, ¿probabilidad de que lo sean dos?
d) De cien cajas, ¿cuántas son defectuosas por término medio?
127. Se lanza un dado 6 veces, ¿cuál es la probabilidad de
obtener tres cincos?
Halla el número medio de cincos obtenidos y la desviación
típica.
128. La probabilidad de obtener cara con una moneda trucada es
0,3 y la lanzamos 100 veces. ¿Cuál es el número esperado de
caras? ¿Y la desviación típica?
129. Lanzamos 10 dados pretendiendo que salga 6 en los 10. Si
hacemos esto durante un año, a una tirada cada 3 segundos,
¿cuántas veces es de esperar que se consiga?
130. Se lanza tres veces una moneda y nos dicen que ha salido
alguna cara. ¿Cuál es la probabilidad de que haya salido
exactamente una cara? ¿Y dos? ¿Y tres?
131. Se lanza tres veces una moneda y nos dicen que el segundo
lanzamiento ha sido cara. ¿Cuál es la probabilidad de que haya
salido exactamente una cara? ¿Y dos? ¿Y tres?
132. Una encuesta revela que el 30% de la población es
favorable a un político y el resto desfavorable. Se eligen 6
personas al azar y se desea saber la probabilidad de que:
a) Las 6 personas sean favorables al político.
b) Sean favorables al político menos de 4 personas.
- 201 -
Ejercicios
133. Explica cuál es la fórmula que da la probabilidad de que
al lanzar tres monedas bien construidas se obtengan x caras
(x=0,1,2,3). Si las lanzamos:
a) ¿Cuál es la
b) ¿Cuál es la
c) Si sabemos
¿cuál es la
probabilidad de obtener una cara?
probabilidad de obtener tres caras?
que se ha obtenido un número impar de caras,
probabilidad de que haya sido una?
134. Se lanzan 4 monedas bien construidas.
probabilidad de obtener al menos dos cara?
¿Cuál
es
la
Observa
LA DISTRIBUCIÓN NORMAL
Las alturas de los varones de 18 años de un país, los pesos de las mujeres de
16 años de otro país, la longitud de los peces de una especie en un lago, los
errores en las pesadas de una báscula, las longitudes de los tornillos
fabricados por una máquina, etc. Todas estas características y muchas más
se caracterizan por algo común: se agrupan en torno a un valor medio (µ),
alrededor del cual está la mayoría de la población, y conforme nos alejamos
de µ, hay menos valores de cada característica.
Este comportamiento se ha estudiado a nivel teórico. Llamando X=valores de
la característica en cuestión (por ejemplo X=Altura de los varones de 18 años
en España), tenemos que X es una v.a. continua llamada Normal que viene
caracterizada por dos valores µ=Media (en el ejemplo µ = 175 cm) y
σ=Desviación típica en el ejemplo σ=7 cm podría ser), de forma que, en el
intervalo [µ-σ, µ+σ] ([168,182] en el ejemplo) se sitúan aproximadamente el
68% de los valores de la variable, en [µ-2σ, µ+2σ] ([161,189]) el 95% y en el
intervalo [µ-3σ, µ+3σ] ([154,196]) el 99% de los valores. Se escribe XN(µ,σ).
Estudiando esto, se sabe que la función de probabilidad de una v.a. XN(µ,σ)
es:
f(x) =
1
2
e
( x )2
22
Con una gráfica como esta (Campana de Gauss), más o menos acampanada o
asombrerada según sea σ, que nos da la dispersión de los valores de la
variable.
Al ser una probabilidad, el área encerrada entre la gráfica y el eje de
abscisas es 1.
El cálculo de áreas bajo esta gráfica entre los valores que interesen, será la
forma de hallar probabilidades, pero esto es complicado y veremos cómo
simplificarlo.
- 202 -
Observa
LA NORMAL TIPIFICADA
Ahora no tiene sentido preguntarse por P(x=a) pues se trata de hallar áreas y la
probabilidad en un punto es 0. Sólo tiene sentido preguntarnos por
probabilidades de intervalos. Para resolver esto, se ha encontrado el siguiente
método:
Se puede comprobar que una v.a. XN(µ,σ) se transforma en una v.a. ZN(0,1)
x
haciendo el cambio de variable: Z =
(Normal tipificada)
x 175
En el ejemplo: XN(175,7 Z =
, con lo que p(168≤x≤189) vale:
7
189 175
168 175
p(168≤x≤189) = p
z
= p(-1≤z<2)
7
7
y la función de distribución de la v.a. N(0,1) se ha tabulado, hallando la
probabilidad de que tome valores inferiores a uno dado, obteniéndose la tabla de
la página 270 y que, bien utilizada nos permite hallar cualquier probabilidad.
Uso de la tabla de la N(0,1)
1º) Como la gráfica es simétrica respecto de la media 0, sólo aparecen valores
desde este valor.
2º) La primera columna da los valores de la variable hasta las décimas y la
primera fila añade las centésimas. Así, por ejemplo, para hallar F(1’83) tenemos
que buscar en la columna 1’8 y en la fila 0’03 y tenemos 0’9664.
Veamos algunos ejemplos:
0,7704
a) p(z≥0,74)=1-p(z<0,74)=1-0,7704=0,2296
b) p(z<-1,54)=p(z>1,54)=1-F(1,54)=1-0,9382=0,0618
c) p(1,55≤z≤2,48)=p(z≤2,48)–p(z<1,55)=
=0,9934-0,9394=0,054
0
0
-1’54
0
1’55 2’48
F(1’55)
F(2,48)
- 203 -
1’54
Variable normal estándar Z: N(0,1)
z
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
1,8
1,9
2,0
2,1
2,2
2,3
2,4
2,5
2,6
2,7
2,8
2,9
3,0
3,1
3,2
3,3
3,4
3,5
3,6
3,7
3,8
3,9
4,0
0
0,5000
0,5398
0,5793
0,6179
0,6554
0,6915
0,7257
0,7580
0,7881
0,8159
0,8413
0,8643
0,8849
0,9032
0,9192
0,9332
0,9452
0,9554
0,9641
0,9713
0,9772
0,9821
0,9861
0,9893
0,9918
0,9938
0,9953
0,9965
0,9974
0,9981
0,9987
0,9990
0,9993
0,9995
0,9997
0,9998
0,9998
0,9999
0,9999
1,0000
1,0000
0,01
0,5040
0,5438
0,5832
0,6217
0,6591
0,6950
0,7291
0,7611
0,7910
0,8186
0,8438
0,8665
0,8869
0,9049
0,9207
0,9345
0,9463
0,9564
0,9649
0,9719
0,9778
0,9826
0,9864
0,9896
0,9920
0,9940
0,9955
0,9966
0,9975
0,9982
0,9987
0,9991
0,9993
0,9995
0,9997
0,9998
0,9998
0,9999
0,9999
1,0000
1,0000
0,02
0,5080
0,5478
0,5871
0,6255
0,6628
0,6985
0,7324
0,7642
0,7939
0,8212
0,8461
0,8686
0,8888
0,9066
0,9222
0,9357
0,9474
0,9573
0,9656
0,9726
0,9783
0,9830
0,9868
0,9898
0,9922
0,9941
0,9956
0,9967
0,9976
0,9982
0,9987
0,9991
0,9994
0,9995
0,9997
0,9998
0,9999
0,9999
0,9999
1,0000
1,0000
0,03
0,5120
0,5517
0,5910
0,6293
0,6664
0,7019
0,7357
0,7673
0,7967
0,8238
0,8485
0,8708
0,8907
0,9082
0,9236
0,9370
0,9484
0,9582
0,9664
0,9732
0,9788
0,9834
0,9871
0,9901
0,9925
0,9943
0,9957
0,9968
0,9977
0,9983
0,9988
0,9991
0,9994
0,9996
0,9997
0,9998
0,9999
0,9999
0,9999
1,0000
1,0000
0,04
0,5160
0,5557
0,5948
0,6331
0,6700
0,7054
0,7389
0,7704
0,7995
0,8264
0,8508
0,8729
0,8925
0,9099
0,9251
0,9382
0,9495
0,9591
0,9671
0,9738
0,9793
0,9838
0,9875
0,9904
0,9927
0,9945
0,9959
0,9969
0,9977
0,9984
0,9988
0,9992
0,9994
0,9996
0,9997
0,9998
0,9999
0,9999
0,9999
1,0000
1,0000
- 204 -
Valores de la probabilidad: p(z≤x)
0,05
0,5199
0,5596
0,5987
0,6368
0,6736
0,7088
0,7422
0,7734
0,8023
0,8289
0,8531
0,8749
0,8944
0,9115
0,9265
0,9394
0,9505
0,9599
0,9678
0,9744
0,9798
0,9842
0,9878
0,9906
0,9929
0,9946
0,9960
0,9970
0,9978
0,9984
0,9989
0,9992
0,9994
0,9996
0,9997
0,9998
0,9999
0,9999
0,9999
1,0000
1,0000
0,06
0,5239
0,5636
0,6026
0,6406
0,6772
0,7123
0,7454
0,7764
0,8051
0,8315
0,8554
0,8770
0,8962
0,9131
0,9279
0,9406
0,9515
0,9608
0,9686
0,9750
0,9803
0,9846
0,9881
0,9909
0,9931
0,9948
0,9961
0,9971
0,9979
0,9985
0,9989
0,9992
0,9994
0,9996
0,9997
0,9998
0,9999
0,9999
0,9999
1,0000
1,0000
0,07
0,5279
0,5675
0,6064
0,6443
0,6808
0,7157
0,7486
0,7794
0,8078
0,8340
0,8577
0,8790
0,8980
0,9147
0,9292
0,9418
0,9525
0,9616
0,9693
0,9756
0,9808
0,9850
0,9884
0,9911
0,9932
0,9949
0,9962
0,9972
0,9979
0,9985
0,9989
0,9992
0,9995
0,9996
0,9997
0,9998
0,9999
0,9999
0,9999
1,0000
1,0000
0,08
0,5319
0,5714
0,6103
0,6480
0,6844
0,7190
0,7517
0,7823
0,8106
0,8365
0,8599
0,8810
0,8997
0,9162
0,9306
0,9429
0,9535
0,9625
0,9699
0,9761
0,9812
0,9854
0,9887
0,9913
0,9934
0,9951
0,9963
0,9973
0,9980
0,9986
0,9990
0,9993
0,9995
0,9996
0,9997
0,9998
0,9999
0,9999
0,9999
1,0000
1,0000
0,09
0,5359
0,5753
0,6141
0,6517
0,6879
0,7224
0,7549
0,7852
0,8133
0,8389
0,8621
0,8830
0,9015
0,9177
0,9319
0,9441
0,9545
0,9633
0,9706
0,9767
0,9817
0,9857
0,9890
0,9916
0,9936
0,9952
0,9964
0,9974
0,9981
0,9986
0,9990
0,9993
0,9995
0,9997
0,9998
0,9998
0,9999
0,9999
0,9999
1,0000
1,0000
Ejercicios
135. Dada Z N(0,1), halla:
a) p(1,55≤z≤2,48)
c) p(-1,53≤z≤0,81)
e) x0 para p(x≤x0)=0,2358
b) p(z≥-2,4)
d) x0 para p(x≤x0)=0,9871
f) x0 para p(0,47≤x≤x0)=0,1677
136. Si X N(µ,σ) hay que tipificar:
a) Si XN(14,4), halla p(15≤x≤22)
b) Si XN(172,5), halla p(170≤x≤175)
c) Si XN(172,5), halla p(x>180)
137. Dada ZN(0,1), se pide:
a) p(0≤z≤1,24)
b) p(-0,37≤z≤0)
c) p(0,56≤z≤1,62)
138. Si ZN(0,1), halla x0 para que se cumpla:
a) p(0≤z≤x0)=0,4236
b) p(z≤x0)=0,7673
c) p(x0≤z≤2,5)=0,1230
139. La temperatura T durante el mes de mayo está distribuida
normalmente con media 21º y desviación típica 4º. Halla el
número de días que se espera que haya entre 19º y 23º de
temperatura.
140. Las alturas de 300 estudiantes se distribuyen normalmente
con media 172 cm y desviación típica 7 cm. ¿Cuántos
estudiantes esperas que tengan de altura la que se pide?
a) Mayor que 182 cm.
b) Menor que 163 cm
c) Entre 165 y 181 cm
d) Igual a 172 cm
141. Se ha elegido una muestra de 200 arandelas fabricadas por
una máquina. La media de los diámetros interiores ha resultado
ser de 12,95 mm y la desviación típica de 1 mm. Se considera
que una arandela es inservible si su diámetro interior es
inferior a 12,8 mm o superior a 13,1 mm. Sabiendo que los
diámetros se distribuyen normalmente, halla el porcentaje de
arandelas defectuosas.
142. Una v.a. XN(µ,σ) cumple las condiciones p(x≤15)=0,1003 y
p(x≤20)=0,9495. Halla:
a) µ
b) σ
c) p(16,5≤x≤17,8)
d) k para p(x>k)=0,5
143. El coeficiente de inteligencia es una v.a. X N(100,16).
Calcula qué porcentaje de personas cabe esperar que tengan
coeficiente:
a) Superior a 125
b) Entre 100 y 120
144. Los errores aleatorios
que resultan en las pesadas de
una balanza siguen una ley normal de media 0 y
desviación
típica 50 mg. Halla el máximo error que puede cometerse en una
pesada con una probabilidad 0,97.
- 205 -
Ejercicios
145. Una v.a. normal cumple µ=5σ y p(x≤6)=0,8413. Halla su
media y su varianza.
146. Se supone que las calificaciones de un examen se
distribuyeron normalmente con media 7,5 y desviación típica
1,5. Si obtuvieron sobresaliente el 15% de las examinados y
suspendieron el 10%, calcula cuáles han sido las puntuaciones
mínimas exigidas para obtener sobresaliente y para aprobar.
147. Halla la media y la desviación típica de una v.a. normal
que cumple p(x≥3)=0,8413 y p(x≥9)=0,0222.
148. Halla la probabilidad de que una persona viva más de 100
años suponiendo que la v.a. que describe el número de años que
vive una persona es N(62’5,11’5).
149. Los resultados de una prueba de selección objetiva pasada
a 200 personas indicaron que la distribución de puntuaciones
era normal, con media 80 puntos y desviación típica 6 puntos.
Calcula cuántos de los examinados han obtenido entre 70 y 90
puntos. Si se eligen al azar dos de esas 200 personas, halla
la probabilidad de que ambas tengan puntuación superior a 90.
150. El peso de los adultos de una población numerosa se
distribuye normalmente con media 65 kg y desviación típica 3
kg. Se eligen dos individuos al azar. Calculando las
correspondientes
probabilidades,
justifica
qué
es
más
probable:
1º) Que cada uno de los individuos
comprendido entre 63,5 y 66,5 kg, o
tenga
un
peso
2º) Que uno de ellos tenga un peso comprendido entre 62 y
68 kg y el otro tenga un peso no comprendido entre los 62
y 68 kg.
151. Explica qué es una distribución de probabilidad normal.
Supón que X e Y representan la talla de los adultos de dos
ciudades que se distribuyen normalmente con medias 168 y 171
cm y desviaciones típicas 2 y 1 cm respectivamente. Justifica,
sin hacer cálculos con las tablas, que p(166≤x≤170) coincide
con p(170≤y≤172).
152. La estatura de una población se distribuye normalmente
con media 170 cm y desviación típica 6 cm. Calcula la
probabilidad de que, al elegir un individuo al azr tenga la
altura comprendida entre 158 y 182 cm.
153. Una empresa instala en una ciudad 2000 bombillas para su
iluminación.
La
duración
de
una
bombilla
sigue
una
distribución normal con media 302 días y desviación típica 40
días. ¿Cuántas bombillas es de esperar que se fundan antes de
365 días?¿Cuántas durarán más de 400 días?
- 206 -
Ejercicios
154. Los resultados de una prueba pasada a 200 personas
indicaron que la distribución de puntuaciones era normal con
media 60 puntos y desviación típica 6 puntos. Cada pregunta se
puntuó con un 0 o un 1. Calcula cuántos examinados han
obtenido entre 30 y 40 puntos y cuál es la mínima puntuación
por debajo de la cual está el 75% de los examinados.
155. Los ingresos diarios en una empresa tienen una
distribución normal con media 355,6 € y desviación típica
igual a 25,3 €. Justifica si es o no razonable el esperar
obtener un día unas ventas superiores a 550. Calcula cuántos
días al año se espera obtener más de 406,2 €.
Observa
LA RELACIÓN ENTRE LA BINOMIAL Y LA NORMAL
Al observar las funciones de densidad de probabilidad de una v.a. B(n,p) y una v.a.
N(µ,σ) se aprecian similitudes: son datos agrupados en torno a la media, existe
una simetría, hay pocos valores alejados de la media, presentan la misma forma.
B(n,p)
N(,)
n.p
Esta relación no es sólo aparente. Se puede demostrar que una v.a. B(n,p) se
parece más a una normal cuanto mayores son los productos n·p y n·(1-p) (si
superan el 3, la aproximación es buena, y si superan el 5, la aproximación es casi
perfecta).
Podemos utilizar esto para usar una normal como aproximación a la binomial,
teniendo en cuenta lo siguiente:
1º) si XB(n,p), la normal que la aproxima es de media µ= n·p y desviación típica
σ = n·p·(1 p)
2º) Como la v.a. X es discreta, para usar la normal, identificamos cada valor a
de X con el intervalo [a-0’5,a+0’5].
Veámoslo con un ejemplo: Supongamos XB(300,0´4)
Para hallar la normal que la aproxima:
µ = 300·0´4 = 120,
σ=
300·0,4·0,6 =
72 = 8,485
luego X´ N(120,8´485)
Para hallar p(x = 157) asociamos 157 [156´5,157´5] y calcularíamos
p(156´5≤x´≤157´5) tipificando.
Para hallar p(x≤140) calcularíamos p(x´≤140´5)
- 207 -
Ejercicios
156. Una moneda corriente se lanza 30 veces.
probabilidad de obtener entre 17 y 22 caras usando:
a)
La distribución binomial.
b)
La aproximación de la normal a la binomial.
Halla
la
157. Se lanza n veces una moneda perfecta. Calcula la
probabilidad de obtener tantas caras como cruces, para n=200,
para n=100 y compara los resultados.
158. Sea A un suceso con probabilidad 0,4 de realizarse en un
experimento. Si se hacen 900 pruebas del experimento, calcula
la probabilidad de que A se verifique entre 360 y 390 veces.
159. Se lanza 400 veces una moneda. Sea X la v.a. que describe
el número de caras obtenidas. Se pide:
a) Probabilidad de obtener 187 caras como mínimo.
b) Intervalo ]a,b[,
P(a<x<b)=0,98.
centrado
en
la
media
que
cumple
160. El 6% de tornillos producidos por una máquina son
defectuosos. Si se elige una muestra de 500 tornillos, halla
la probabilidad de que el número de tornillos defectuosos sea:
a) Superior a 30
b) Inferior a 15
161. El 85% de los alumnos que se presentan a las pruebas de
acceso a la Universidad en la convocatoria de junio las
aprueba. En relación a un centro de 15 alumnos, se pide:
a) Número de alumnos que, por término medio, aprobará.
b) Probabilidad de que aprueben los 15 alumnos.
162. Explica el significado de la expresión “la binomial como
aproximación a la normal”. Considera tres distribuciones
binomiales B(10,0´1), B(200,0´1), B(200,0´5) y explica cuál de
ellas se puede aproximar mejor y cuál peor, por una normal.
Amplía
TEST DE NORMALIDAD
Ya sabemos cómo funciona la distribución normal a nivel teórico, pero se
plantea una pregunta: Si estudiamos una característica de una población o
muestra, ¿cómo sabemos si se distribuye normalmente? Y si es así, ¿qué
media y desviación típica tiene la normal que mejor describe nuestra
población.
A esto último podemos contestar: Los parámetros µ y σ de la normal buscada
serán la media y la desviación típica estadísticas de la población o muestra
estudiada.
- 208 -
Amplía
A la primera cuestión no podemos contestar con sí o un no, Sólo podemos
responderla en términos de probabilidad y esto se consigue con los llamados
test de normalidad.
Los test de normalidad nos indican la fiabilidad de ajustar una distribución
normal a una determinada población.
Hay muchos que verifican si es bueno un ajuste, es decir, si las frecuencias
observadas en nuestra población o muestra y las frecuencias teóricas de una
normal concreta son parecidas.
Veremos tres de ellos:
1º) Prueba 68-95-99.
Consiste, sencillamente, en comprobar si en los intervalos [µ-σ, µ+σ],
[µ-2σ, µ+2σ] y [µ-3σ, µ+3σ] se encuentran respectivamente, el 68%, el 95%
y el 99%, aproximadamente, de los valores observados de la variable,
siendo µ y σ la media y desviación típica de la normal a la que creemos se
ajusta la distribución estudiada.
2º) Comparación de frecuencias.
Consiste en comparar las frecuencias observadas en la población o muestra
estudiada en cada uno de los intervalos en que se ha dividido para su
estudio, con las que cabría esperar para los mismos intervalos en la normal
que pretendemos utilizar.
3º) Recta de Henri.
y
y=f(x)
Sabemos que la función de probabilidad de
una normal tiene la forma de la gráfica
(Campana de Gauss).
x
y
Su función de distribución (que da el área
hasta cualquier valor x de la variable)
tendrá la forma de la gráfica:
y=F(x)
0,5
Si cambiamos la escala del eje vertical
convenientemente, como se indica en la
figura de la gráfica siguiente, podemos
conseguir que la gráfica de F(x) se
convierta en una recta.
- 209 -
x
1
x
x
y
0,5
x
Amplía
Podemos imaginar este proceso pensando que F(x) está dibujada sobre un
papel que puede estirarse y lo hacemos en el sentido de las flechas hasta
convertir F(x) en una recta. Esta escala modificada es la utilizada en el
papel llamado probabilístico normal, que puedes ver a continuación:
- 210 -
Amplía
Este papel se utiliza para indicar si una población tiene una distribución normal.
En caso de tenerla, su función de distribución en esta gráfica será una recta que
pasa por (µ,0´5).
En la práctica, la normal perfecta no existe y nos limitaremos a tomar una
muestra y seguir el siguiente proceso:
a) Tomamos una muestra y ordenamos los valores.
b) Hallamos su tabla de frecuencias relativas acumuladas.
c) Dibujamos en papel probabilístico normal los puntos (x,y) donde x=valor de
la variable, y=frecuencia acumulada de x.
d) Comprobamos si es factible trazar una recta (Recta de Henri) que pase por
(µ,0´5) y se ajuste de forma aproximada a los puntos (x,y).
Hay que tener en cuenta que los puntos extremos de la nube de puntos pueden
desviarse de la recta aunque el ajuste sea bueno.
Veamos un ejemplo y se entenderá mejor: Queremos saber si es aceptable
admitir que las estaturas de los alumnos de un instituto siguen una distribución
normal. Para ello extraemos una muestra de 20 alumnos con las frecuencias
acumuladas:
Valores
Variable
Fr.
Absolutas
Fr. Relativ.
Acumuladas
1,49
1,52
1,55
1,57
1,61
1,62
1,63
1,65
1,66
1,68
1,69
1,70
1,74
1,79
1,82
1
2
2
1
1
1
2
1
1
1
3
1
1
1
1
0,05
0,15
0,25
0,3
0,35
0,4
0,5
0,55
0,6
0,65
0,8
0,85
0,9
0,95
1
La media es 1,64. Si representamos los puntos (1´49, 0´05), (1´52, 0´1), etc.
En papel probabilístico normal tenemos la gráfica siguiente (los puntos, mejor
dicho) como se observa en la página siguiente:
- 211 -
Amplía
1,49
1,64
1,79
Se observa que podemos trazar una recta que pasa por (1´64, 0´5) y se aproxima
bastante a los puntos dibujados. Por tanto, podemos aceptar que la estatura de
los alumnos de ese instituto, tiene una distribución normal con media y desviación
típica, las que se obtengan de los datos de la tabla.
- 212 -
Ejercicios
Problemas de ampliación
163. Halla la normal que debe utilizarse para ajustar la
distribución que se da en cada caso, y valora el ajuste
mediante el test de normalidad que se indica:
a) Pesos de una muestra de botes de pintura, de peso teórico
2kg. Usa la prueba 68-95-99:
Kg
Fr.Absol.
[2´04,2´08[
15
[2´08,2´12[
50
[2´12,2´16[
45
[2´16,2´20[
12
[2´20,2´24[
10
b) Carga máxima soportada por unos cables de carga máxima
teórica 9 Tm. Usa la comparación de frecuencias:
Tm
Fr.Absol.
[9´3,9´8[
2
[9´8,10,3[
5
Tm
Fr.Absol.
[11´3,11´8[
16
[10´3,10´8[
13
[11´8,12´3[
8
[10´8,11´3[
18
[12´3,12´8[
6
[12´8,13´3[
2
c) Longitudes de 300 tornillos fabricados por una máquina, de
longitud teórica 500mm. Usa la recta de Henri.
mm
Fr.Absol.
[497´5,498[
2
[498, 498´5[
6
[498´5,499[
18
mm
Fr.Absol.
[499, 499´5[
34
[499´5,500[
54
[500, 500´5[
62
mm
Fr.Absol.
[500´5,501[
55
[501, 501´5[
39
[501´5,502[
20
mm
Fr.Absol.
[502,502´5[
8
[502´5,503[
2
El rincón matemático
PARIDAS MATEMÁTICAS
¿Por qué se suicidó el libro de mates? Porque tenía demasiados problemas.
Dos vectores se encuentran y uno le dice al otro: ¿Tienes un momento?
¿Cuántos lados tiene un círculo? Dos, el de dentro y el de fuera.
¿Qué le dice un superconductor a otro? - Leñe, tío, que frío, no resisto más.
La probabilidad de tener un accidente de tráfico aumenta con el tiempo que te pases
en la calle. Por tanto, cuanto más rápido circules, menor es la probabilidad de que
tengas un accidente.
- 213 -
El rincón matemático
El 33 % de los accidentes mortales involucran a alguien que ha bebido. Por tanto, el
67 % restante ha sido causado por alguien que no había bebido. A la vista de esto,
esta claro que la forma más segura de conducir es ir borracho y a toda pastilla.
La tasa de natalidad es el doble que la tasa de mortalidad; por lo tanto, una de cada
dos personas es inmortal.
¿Sabes que cierto presidente de España prometió antes de salir elegido que iba a
subir todos los sueldos, de forma que nadie cobrase por debajo de la media nacional?
En la inmensa mayoría de los accidentes de circulación, los coches involucrados llevan
un conductor. Por lo tanto, la forma mas segura de viajar en coche es sin conductor.
El 20 por ciento de las personas muere a causa del tabaco. Por lo tanto, el 80 por
ciento de las personas muere por no fumar. Así que queda demostrado que no fumar
es peor que fumar.
El no tener hijos es hereditario; si tus padres no tuvieron ninguno, lo mas probable
es que tu tampoco los tengas.
¿Oíste hablar de ese experimento que hicieron para ver si trabajar con ordenadores
es malo para la salud? Metieron a tres ratas dentro de una jaula al lado de un
ordenador, y lo dejaron encendido durante dos meses. - ¿Y las ratas se pusieron
enfermas? - No, pero escribieron tres nuevas versiones mejoradas del UNIX.
¿Sabéis quien es la patrona de los informáticos? - Santa Tecla
No es cierto que los ordenadores y los humanos usen sistemas incompatibles para
contar. Lo que pasa es que nadie se había dado cuenta de que los pulgares son bits de
paridad.
¿Cual és la mejor forma de acelerar un Macintosh? -9.8 m/s2
Eres más inútil que un teclado sin ENTER.
Soluciones
TEMA 11:
1.
a) Dos, tres o cuatro caras.
b) Tres caras.
c) Cero, una o cuatro caras.
d) Cero o una caras.
2.
3.
4.
2
1
6
1
1
1
p(a)= , p(b)=
a)Sí
b)Sí
c)No
a)
b)
c)
d)
3
3
5
4
3
11
5.
1
2
3
4
5
6
p(1)=
, p(2)=
, p(3)=
, p(4)=
, p(5)=
, p(6)=
21
21
21
21
21
21
6.
7.
8.
a)4/15 b)11/15 c)1/3
a)2/35 b)11/21 c)4/21
a)3/8 b)1/2 c)3/4
9.
10.
11.
a)1/6 b)1/6 c)5/12
a)3/11 b)5/11 c)2/11 3/22
a)1/12 b)1/4 c)3/4
12.
13.
a)11/188
b)9/47
c)3/47
a)3/10
b)1/10
c)1/5
d)13/20
14.
15.
16.
a)0,6 b)0,54 c)0,38 d)0,62 a)2/5 b)3/5 c)1/5 a)2/7 b)1/7 c)5/7 d)4/7
- 214 -
Soluciones
17.
a)16/49 b)9/49 c)33/49 d)24/49
20.
a)5/6 b)1/6 c)1/6 d)2/3
23.
22.
18.
19.
a)1/8 b)1/4 c)3/8 a)0,62 b)0,2 c)0,22
21.
a)5/8 b)1/2 c)7/8 d)1/4
24.
a)33/100 b)1/3
a)0,9 b)0,1 c)0,4
1/7
25.
26.
a)p(0)=p(c)=p(e)=p(b)=1/4 b)p(1)=1/8, p(2)=3/8,
a)1/4 b)1/4
p(3)=p(4)=1/4
c)13/28 d)1/7
c)p(1)=p(2)=p(3)=p(4)=1/4 d)p(1)=1/8, p(2)=3/8,
e)1/14
p(3)=p(4)=1/4 e)p(1)=p(3)=1/6, p(2)=p(4)=1/3
27.
a) Por la definición.
b) Sí, por ejemplo, al lanzar un dado “salir par” y “salir 5”
28.
29.
0,001 a)25 verdes, 5 negras, 20 blancas b)20 blancas, 20 negras, 10 verdes
30.
31.
32.
a)1/4 b)1/4 c)1/16 d)7/16 e)3/4 f)3/16 g)9/16
5/12
5/33
33.
34.
35.
36.
37.
38.
a)0,18 b)0,82 0,20
VR6,5
40·39·38=59280
VR 610 a)128 b)25 c)81 d)1
39.
40.
41.
42.
10·9·8=720
5·4·3=60
3·4·3=36
a)210 b)5040 c)181440
43.
44.
a)n=4
b)n=4
a)x=7
b)x=22
c)x=10
c)n=6, k=3
d)n=8, k=5
d)x=4
e)x=15
f)x=2
45.
46.
47.
48.
10!=3628800 3!=6 a) P5=120
a) P5=120, P9=362880, P6=720
b) P4=24
b) Basta poner los factoriales.
49.
50.
Por orden: 6, 24, 120, 720, 3628800, 721, 8, 120, 6
a) x=11 b) x=5
51.
52.
53.
54.
55.
30
12
35
=220
=30045015
=324632
a)220 b)126 c)715 6·4·3=72
3
20
5
56.
57.
58.
59.
60.
61.
62.
P3 =6
43 =64
P4 =24
43 =64
4·3·2=24
10
100
63.
64.
65.
66.
67.
68.
69.
6
12
9
6
9
6
10
70.
71.
72.
73.
74.
8 5
6
5
560= ·
15=
a)120=P5
b)12=2·P3
c)36=3·2·P3 10=
72=3·4!
3 2
4
3
75.
76.
77.
78.
30
20
a)x=9 b)x=4 c)y=2
625=
336=8·7·6
6561=38
d)x=8 e)x=9 f)x=7
2
2
79.
a)1999000
b)12502500
80.
a)x=5, x=4
c)499999500000
c)x=20
d)x=17
b)x=14
e)x=11
81.
a)4
b)32
82.
a) a3+3a2b+3ab2+b3
b) a3-3a2b+3ab2-b3
2
3
4
c) 256-1024x+1792x -1792x +1120x -448x5+112x6-16x7+x8
d) x5+15x4+90x3+270x2+405x+243
e) (1/32)+(5/8)x+5x2+20x3+40x4+32x5
4
1
f) x4+4x2+6+ 2 4
g) 64x6+192x5+240x4+160x3+60x2+12x+1
x
x
h) (1/81)-(4/9)x+6x2-36x3+81x4
- 215 -
Soluciones
83.
84.
-4375 a4
85.
252x5y4
86.
20
87.
-189/4
20 16 x12
x
212
12
88.
3
8 1
11
11 11·10·9·8
x x 4 = =
=11·10·3=330
4
4·3·2
x 4
89.
90.
91.
a)1/3 b)1/4 c)1/4 d)1/3 a)5/9 b)1/3 c)Si P(Blanca)=2/5, (B3/Blanca)=1/2
92.
93.
94.
a)1/2 b)3/50 c)9/50
a)0,5 b)49/480=0,102083
a)3/4 b)1/2 c)2/3
95.
96.
a)5/8 b)1/4 c)3/8 d)1/3
a)1/2
b)2/3
c)1/3
97.
98.
a)0,0288 b)72/167=0,4311 c)5/2333=0,002143
a)1/2 b)1/2
99.
100.
101.
102.
a)2/11=0,1818
a)0,01
a)0,63 b)0,34
a)4/13 independiente
b)1/39=0,025
b)1/14=0,0714
c)7/34=0,2058
b)1/2 dependiente
103.
104.
105.
106.
a)1/2
b)1/3
0,42
a)1/4 b)3/10
µ=2,5277=91/36, σ2=1,97, σ=1,4
107.
X(i,j)=0 i≠1≠j, X(1,j)=X(i,1)=1, X(1,1)=2, µ=0,333<0,6 → No rentable
108.
X(6,6)= 90, X(6,i)=X(j,6)=18, resto 0
µ=7,5 →7,5 €
109.
110.
µ=4→Interesa en prohibido
µ=0→Sí es equitativo
111.
112.
Tanto como nos den por cara
Se debe cobrar 5 veces la apuesta.
113.
6
B(6,1/2); función de densidad: f(0)= (1/2)0(1/2)6=F(0)=0,0156,
0
6
f(1)= (1/2)1(1/2)5=F(1)-F(0)=0,1094-0,0156, etc. Y así sucesivamente,
1
donde F es la función de distribución de la página 265 para n=6, p=0,5.
114.
Funciones: como en el ejercicio anterior para n=5, p=0,2; µ = 1 y σ=0,89.
115.
116.
117.
p=1/2, µ=2,5 , p(x≥2)=0,8125
n=6, p=1/3
B(4,2/3) 8/27
118.
B(5,0´4) a)0,3456 b)0,6826 c)µ=2 y σ=1,095
119.
B(5,13/18) 1-f(0)-f(1)=1-(5/18)5-5(13/18)(5/18)4
120.
B(5,1/2), p(x=2)=0,3125 → de 100 familias: 31,25
121.
B(5,2/3) (para buscar en tablas interesa cambiar las preguntas para
B(5,1/3), más próxima B(5,0’35), es decir: p(vivir 5)=1-p(morir todos); con
esto: a)0,1160 b)0,7648 c)0,1812
122.
123.
124.
B(10,0´5)→ 0,377
B(5,0’35) → 0,054
B(10,0´2)→ p(x≥n)≤0,05 → 4 aciertos
125.
11
B(11,0´5) → p(x=5)= (0,5)5(0,5)6=0,225
µ=5,5 y σ=1,6583
5
- 216 -
Soluciones
126.
a)B(2,0´2)→0,04
127.
X=B(n,0´2) (nº cajas defectuosas)
100
(0,2)2(0,4)98
b)0,096:B(3,0,2)
c)B(100,0´2),
2
128.
d)20
B(100,0´3) µ=30 y σ=4,58
B(6,1/6) → p(x=3)=0,0538, µ=1 y σ= 5 6
129.
Ni una sola vez (necesitamos 6 años)
130.
a)3/7
b)3/7
c)1/7
(Hay probabilidad condicionada:
0,375
3
p(x 1)
a) sería: X-B(3,0´5), p(x=1/x=1,2,3)=
=
=0,4285)
1 p(x 0) 0,875
7
131.
132.
Hay probabilidad condicionada.
B(6,0´3)
a)1/4
b)1/2
c)1/4
a)(0,3)6
b)0,9295=F(3) en tablas
133.
134.
B(3,1/2) a)3/8 b)18 c) condicionada: 3/4
B(4,1/2)→0,6875=1-F(1)
135.
136.
137.
138.
a)0,3785
a)0,3925
a)1,43
a)0,054 b)0,9918 c)0,7280
b)0,3811
b)0,1443
b)0,73
d)2,23
e)-0,72
f)1,03
c)0,0548
c)0,2351
c)1,13
139.
140.
Aproximadamente 11,8 días.
a)Aprox.23. b)Aprox.30. c)Aprox.222,5 d)0
141.
142.
143.
Aprox.88%.
a)17,176 b)1,7 c)0,295 d)17,176
a)5,94% b)39,44%
144.
145.
146.
p(│x│≤k)=0,97 → 108 mg µ=5,
σ2=1
Sobresaliente:9,06. Aprobado:5,58
147.
148.
µ=4,99, σ=1,99
Prácticamente 0: 1-F(3,2)=0,0006
149.
De 200→181, dos superior a 90 → (0,0475)2=0,0023
150.
1º)p(63,5≤x≤66,5)=0,383. Los dos → (0,383)2=0,147
2º)p(62≤x≤68)=0,6826→Los dos: (0,6826)(0,3174)=0,432. Más probable lo 2º.
151.
152.
1ª parte → teoría. 2ª parte → al tipificar es evidente
0,9544
153.
1,885 y 14 respectivamente.
154.
1ª parte→prácticamente ninguno (se sale de tablas). 2ª parte →64,08 puntos
155.
1ª parte → 1-F(7,6)≈0, casi imposible. 2ª parte → ≈ 8,3 días
156.
30
30
a) B(30,0´5), p(17≤x≤22)= (0,5)30+ … + (0,5)30
17
22
b) N(15,2´74), p(16´5≤x´≤22´5)=F(2´74)-F(0´55)
157.
158.
0,4793
n=200→0´0558, n=100→0,0796 → XB(n,0´5), p(n/2 -0´5<x<n/2 +0´5)
159.
160.
a)0,9115
b)[176´7,223´3]
B(500,0´06) → N(30,5´3)
a)0,5
b)0,0018
161.
B(15,0´85)
a) µ=12,75
b) (0,85)15
162.
1ª parte → teoría.
2ª parte → peor B(10,0´1), mejor B(200,0´5) por
comparación de productos n·p y n·p(1-p)
- 217 -
Soluciones
163.
a) x =2,1254,
σ=0,0418. En [µ-σ, µ+σ] hay 95 botes≈71,9%.
En [µ-2σ, µ+2σ] hay 122 botes≈92%. En [µ-3σ, µ+3σ] hay 132 botes≈100% →
Se ajusta bastante a la normal de media 2,1254 y desviación típica 0,0418.
b) x =11,26,
σ=0,79.
-Calculamos para el primer intervalo:
x 11,26
Frec. Relativa=2/70=0,028.
Probab. teórica: Tipificando z=
0,79
9,8 11,26
9,3 11,26
P(9,3≤x≤9,8)= P
z
= P(-2,48≤z≤-1,848) = 0,025
0
,
79
0,79
-Y así, para cada intervalo queda:
límites
z
Prob. teórica
Fr. Relativa
9´3,9´8
-2´48,-1´84
0,025
0,028
9´8,10´3
-1´84,-0´96
0,136
0,071
10´3,10´8
-0´96,-0,58
0,113
0,185
10´8,11´3
-0´58,0´05
0´239
0´257
11´3,11´8
0´05,0´68
0,232
0,228
11´8,12´3
0´68,1´31
0,153
0,114
12´3,12´8
1´31,1´94
0,069
0,085
12´8,13´5
1´94,2´58
0,021
0,028
Se ajusta bastante a la distribución N(11´26,0´79)
c) x =500,29,
σ=0,942. Puntos de la recta:
x
497,75
498,25
498,75
499,25
y
0,006
0,026
0,086
0,2
x
y
501,25
0,9
501,75
0,966
499,75
0,38
502,25
0,993
500,25
0,58
500,75
0,77
502,75
1
Ajuste regular a N(500´29,0´942).
GRAFICA: Se representan los puntos sobre el papel probabilística como el de
la página 276 y se dibuja la recta a la que mejor se ajustan los puntos.
El rincón matemático
HUMOR Y CHANZAS: HISTORIA DE LA ENSEÑANZA DE LAS MATEMATICAS
La reforma de la enseñanza está lejos de conseguir la unanimidad. Un grupo de
docentes de alto nivel se ha decidido a estudiar una cuestión que preocupa a la
mayoría de los futuros profesionales: “la evolución de un problema matemático”.
La comparación siguiente os ayudara a centrar la cuestión:
Enseñanza 1960:
Un agricultor vende un saco de patatas por 1000 pesetas. Los gastos de
producción ascienden a los 4/5 del precio de venta. ¿Cuál es su beneficio?
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Enseñanza tradicional 1970:
Un agricultor vende un saco de patatas por 1000 pesetas. Los gastos de
producción ascienden a los 4/5 del precio de venta, es decir, a 800 pesetas.
¿Cuál es su beneficio?
Enseñanza moderno 1970:
Un agricultor cambió un conjunto P de patatas por un conjunto M de monedas.
El cardinal del conjunto M es igual a 1000 y cada elemento PM vale una
peseta. Dibuja 1000 puntos gruesos que representen los elementos del
conjunto M.
El conjunto F de los gastos de producción comprenden 200 puntos gruesos
menos que el conjunto M. Representa el conjunto F como un subconjunto del
conjunto M, y responde a la siguiente pregunta: ¿Cuál es el cardinal del
conjunto B de los beneficios? Dibuja B de color rojo.
Enseñanza renovada 1980:
Un agricultor vende un saco de patatas por 1000 pesetas. Los gastos de
producción ascienden a 800 pesetas y el beneficio es de 200 pesetas.
Actividad: subraya la palabra “patata” y discútela con uno de tus compañeros.
Enseñanza reformada 1990:
El tio Hantoni agricultor mui burges latifundista i intermediario es un
quapitalista hinsolidario que se a enriquecido con 200 pelas al bender
especulando un jajo de patatas. Analiza el texto y vusca las faltas de sintacsi,
dortografia de puntuación que haya y reseguida di lo que tu piensas destos
avusos antidemocraticos.
http://www.upf.edu/pdi/dtf/daniel_cassany/Viladecans09.pdf
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