P 4 - Universidad de Buenos Aires

FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS Y NATURALES
UNIVERSIDAD DE BUENOS AIRES
C  A́
Mı́  Eı́ M́
S C 2007
P́ 4
1. Probar que si la serie
además
a)
P∞
n=1
b) lı́m
an =
P∞
Pm
n=1
n=m+1
m→∞
P∞
n=1
an +
an es convergente, entonces la serie
P∞
n=m+1
P∞
n=m+1
an también lo es y
an
an = 0
2. a) Probar que si (an ) es una sucesión convergente, entonces también lo es la serie
∞
X
(an − an+1 )
n=1
Calcular su suma. ¿Qué pasa con esta serie cuando la sucesión (an ) diverge u oscila?
b) Demostrar la fórmula
∞
X
n=1
1
=1
n(n + 1)
3. Sea (an ) creciente y tal que an > 0 para todo n ∈ N. Probar
a)
P∞
b)
P∞
n=1
an diverge
n
n=1 (−1) an
no converge
4. Comprobar que las siguientes series no son convergentes
∞
X
∞
X
,
n
(−1)
n=1
k
∞
X
m
√
m
m!
m=1
,
k=1
,
∞
X
k+1
k=1
k
5. Calcular la suma de las siguientes series
∞
X
3n − 2n
n=0
5n
,
∞
X
(−1)n
n=1
3n+1
,
∞
X
2n+2
n=4
3n−2
,
∞
X
(−1)n 3n−2
5
78n+4
n=1
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FCEYN — UBA — COMPLEMENTOS DE ANALISIS — SEGUNDO CUATRIMESTRE 2007
6. Usando el criterio de Cauchy o el de D’Alembert, estudiar la convergencia de las series cuyo
término general es
3n
n2n
5n
=
n!
3n − 2
=
4n
−n
=e
(2n + 3)n
=
(3n − 2)n
n!
= n
n
(3n2 + 1)4n
=
n!
n
(5 + n2 )n!
=
2n nn
a) an =
b) an
c) an
d) an
e) an
f) an
g) an
h) an
7. Usar el segundo criterio de comparación para analizar la convergencia de las series cuyo
término general es
√
2n + 4
2n2 − n
3n2 + 2n − 1
nπ − 2n
ln n
an = 2
, an =
,
a
=
,
a
=
, an = 2
n
n
4
2
4
3n − 1
3n + 7
4n − 3n + 2
n +4
n
8. Estudiar la convergencia y convergencia absoluta de la serie
bn =
(−1)n
3n2 − 1
,
9. Verificar que la serie
bn = (−1)n
∞
X
(−1)n+1
n=1
6n
n+1
n
,
bn = (−1)n
P∞
n=1
bn , siendo
n2 − 2n − 1
n!
,
bn =
(−1)n
ln n
es convergente y calcular su suma con error menor que
10−3 .
10. Estudiar la convergencia de las series de término general
n n
2 + (−1)n
1
a) p
b)
c)
2
2n − 1
n2
n(n
√3 + 1)
n
n3
n!
e)
f)
g)
√
n
n
e
2 +1
(n + 1) n
en n!
(−e)n n!
7n
i)
j)
k)
nn
nn
(n + 2)! + n!
d)
h)
l)
2n
n5n
2n n!
nn
(−1)n ln
n
n+2
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FCEYN — UBA — COMPLEMENTOS DE ANALISIS — SEGUNDO CUATRIMESTRE 2007
A́: D  R
Suma parcial
Sea (an ) una sucesión de números reales. A partir de (an ) construimos una nueva sucesión
cuyo término general –que llamaremos suma parcial– está dado por
An =
n
X
an
k=1
Serie
Sea (an ) una sucesión de números reales. Llamamos serie a la sucesión cuyo término general
es la suma parcial de (an ); es decir, con la notación de la definición anterior, (An ) es la serie cuyo
término general es an .
Convergencia — Suma de la serie
Cuando la serie (es decir, la sucesión de sumas parciales) converge, se llama suma de la
serie a su lı́mite. En sı́mbolos,
∞
X
an = lı́m Am = lı́m
m→∞
n=1
m→∞
m
X
an
n=1
Divergencia
Se dice que la serie de término general an diverge cuando no converge.
Propiedades
Si
P∞
n=1
an y
P∞
n=1
∞
X
n=1
bn son convergentes y α ∈ R, entonces
(an + bn ) =
∞
X
n=1
an +
∞
X
bn
n=1
Proposición
Sea
P∞
n=1
an convergente, entonces an −→ 0.
y
∞
X
n=1
can = c
∞
X
n=1
an
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FCEYN — UBA — COMPLEMENTOS DE ANALISIS — SEGUNDO CUATRIMESTRE 2007
Proposición (Serie armónica – Serie armónica generalizada)
Para cada p ∈ R, se considera
∞
X
1
np
n=1
Esta serie
â converge si p > 1
â diverge si p 6 1.
Criterios para series de términos positivos
P   ́
P
P∞
Si ∞
n=1 bn converge y 0 6 an 6 bn para todo n > n0 , entonces
n=1 an converge.
S   ́
Si (an ) y (bn ) son dos sucesiones de números reales tales que an > 0, bn > 0 para todo n > n0
an
= `, entonces
y lı́m
bn
o si ` > 0
∞
X
converge
an
∞
X
⇐⇒
n=1
o si ` = 0
∞
X
bn converge
⇒
n=1
o si ` = +∞
∞
X
bn diverge
n=1
∞
X
an converge
∞
X
y
n=1
⇒
bn
converge
n=1
∞
X
an diverge
y
n=1
∞
X
n=1
C  C
Sea (an ) una sucesión de número positivos tales que
P
(i) si ` < 1, entonces ∞
n=1 an converge
P
(ii) si ` > 1 o ` = +∞, entonces ∞
n=1 an diverge
C  D’A
Sea (an ) una sucesión de número positivos tales que
(i) si ` < 1, entonces entonces
an
diverge ⇒
n=1
P∞
(ii) si ` > 1 o ` = +∞, entonces
n=1
an converge
P∞
n=1
an diverge
an converge
∞
X
bn diverge
n=1
⇒
∞
X
n=1
√n
an −→ `. Entonces,
an+1
−→ `. Entonces,
an
bn converge
FCEYN — UBA — COMPLEMENTOS DE ANALISIS — SEGUNDO CUATRIMESTRE 2007
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Serie geométrica
Se denomina serie geométrica a aquella cuyo término general es an = rn , para un cierto
r ∈ R.
Proposición
La serie
P∞
n=0
rn converge si y sólo si |r| < 1 y el valor de su suma es
∞
X
1
rn =
1−r
n=0
Convergencia absoluta
P
Se dice que una serie ∞
n=1 an es absolutamente convergente o bien que converge absolutamente si converge la serie de términos positivos
∞
X
|an |
n=1
Proposición
Toda serie absolutamente convergente es convergente.
Serie alternada
Dada una sucesión (an ), se llama serie alternada a la que tiene por término general
(−1)n an
Criterio de Leibniz
Sea (an ) una sucesión tal que
ã an > 0
ã (an ) es decreciente
ã an −→ 0
Entonces, la serie alternada
∞
X
(−1)n+1 an converge.
n=1
Proposición
Con las hipótesis del criterio anterior se tiene
∞
m
X
X
(−1)n+1 an −
(−1)n+1 an < am
n=1
n=1
cualquiera sea m ∈ N.