T.P Nº 6 - Universidad Nacional de Salta

Universidad Nacional de Salta
Variable Compleja
Facultad de Ciencias Exactas
T. P. N
1er. Cuatrimestre 2016
◦ 6: Series de Laurent. Teorema de los Residuos
1. Encontrar el desarrollo en Serie de Laurent de las siguientes funciones alrededor de 0:
1
z
ii) senz z
i) sen
iii) z 3 e z
z2
1
ez −1
z
2
2
iv) z sen z
v) z
vi) 1+cos
z4
2. Desarrollar las siguientes funciones en Serie de
indicadas:
√ Laurent en las regiones
√
1
a)
en:
i)
|z
−
1|
<
1
;
ii)
1
<
|z
−
1|
<
2
;
iii)
|z
−
1|
>
2
;
iv)
0
< |z| < 1; v) |z| > 1
z(z+i)
1
b)
en: i) 0 < |z − 3| < 3; ii) |z − 3| > 3
z 2 (z−3)2
e2z
en |z − 1| > 0
c)
(z−1)3
3. Clasicar las singularidades de las siguientes funciones, y, en los casos en que sean evitables, redenir
la función de modo que sea analítica en ellas.
2
1
i) f (z) = cosh z1
ii) f (z) = ze z−1
iii) f (z) =
iv) f (z) =
sen z
senh z
z 2 +z+1
√
2z+1−i 3
4. El punto z0 es cero de orden n para la función f (z) y es un cero de orden m para la función g(z).
(z)
¾Qué es el punto z0 , para las funciones f (z) + g(z), f (z)g(z) y fg(z)
?
5. Demostrar que si z0 es singularidad evitable o polo para f , y f (z0 ) = 0, entonces z0 es un cero
aislado para f . (Sugerencia: para las singularidades evitables, considere la expansión en serie para
un entorno reducido alrededor de z0 , observando que c0 6= 0, y entonces esa expansión dene una
función no nula y analítica en z0 . Para los polos, tenga presente que lı́mz→z0 f (z) = ∞.)
6. a ) Determinar el orden del polo de (z 2 + 1)/(ez + 1) en z = iπ .
b ) Determinar el orden del polo de sen z/ senh z en z = 0.
c ) Encontrar los polos y determinar sus órdenes, para las siguientes funciones:
i)
v)
ii)
1
z 4 −1
vi)
1
(ez +1)4
√
2z+1−i 3
(z 2 +z+1)2
sen z1
iii)
vii)
3
(z+ z1 )
iv)
sen z
z 10 (z+1)
1
10z −ez
viii)
1
1
z 2 senh4 z
1
1 4
1−z 2
7. Determinar qué tipo de singularidad es 0 para las siguientes funciones:
z
1
1
iii) e−zsen
i) z−sen
ii) e−z +z−1
z
+z−1
8. Hallar los puntos singulares y determinar su carácter, para las funciones:
i)
ii)
1
1−sen z
iv) cos z1
1
iii) e z+2
1−cos z
z2
1
+ z12
e−z −1
z cos
1
z
v)
vi) cos z−1
9. Determinar el carácter de la singularidad en los puntos indicados:
i)
1+cos z
(z0 = π)
z−π
Ln(1+z 3 )
iv)
(z0 =
z2
ii)
z 2 −3z+2
(z0 =
z 2 −2z+1
sen2 z
(z0 = 0)
z
1
iii) cos z+π
1)
(z0 = −π)
v)
vi) cos + sen 2−πz
2z
10. Calcular el residuo en los puntos singulares para las siguientes funciones:
z
ez
i) ztan
ii) 1 −sen
iii) z2z+4 z + 2i
2− π z
2z
0)
4
iv)
vii)
− 1
e z2
1+z 4
cos z
z 3 − π2 z 2
1
z
4
2+ 1
z2
v) cos( z1 ) + z 3
vi) ez
viii)
ix) cot2 z
z 2n
(z−1)n
(n ∈ Z+ )
11. Calcular
sea posible:
R 1las siguientes integrales por el teorema de los residuos, cuando
1
a)
γ sen 1 dz siendo γ la circunferencia con centro en 0 y radio 10 .
b
)
R
1
γ sen
z
1
z
dz siendo γ la circunferencia con centro en
1
2π
y radio
1
30 .
(z0 = 0)
2
12. Vericar los siguientes resultados:
i)
R
iii)
v)
|z|=1 z tan(πz)dz
ez
z 3 (z+1)
R
|z|=2
dz = 1 −
2
ez −1
|z−1|=3 z 3 −iz 2 dz
R
=0
2
e
πi
= 2 πe (e − 1)i
ii)
R
iv)
R
vi)
R
z
|z|=10 (z−1)2 (z+2) dz
|z|= 12
=0
z 2 sen z1 dz = − π3 i
z
|z−1|=5 ez +3 dz
=
−4π
3 i ln 3
13. Vericar las siguientes igualdades para integrales reales:
i)
R 2π
0
iii)
dθ
1−2ρ cos θ+ρ2
R 2π
0
=
dθ
1−2k sen θ+ρ2
2π
1−ρ2
=
para 0 < ρ < 1
ii)
R 2π
para k2 < 1
iv)
R 2π
2π
1−k2
0
0
dθ
5−3 cos θ
=
π
2
dθ
(a+b cos θ)2
=
2aπ
1
(a2 +b2 ) 2
(a > b > 0)
14. Comprobar los siguientes resultados:
i)
R∞
iii)
dx
−∞ 1+x4
R∞
=
x3 dx
−∞ 1+x8
π
√
2 2
=0
ii)
R∞
iv)
R∞
dx
−∞ (1+x2 )3
=
3π
8
x
−∞ (x2 −2x+2)2 dx
=
π
2
15. Aplicando el teorema de los residuos a funciones de la forma f (z)eimz , vericar:
i)
R∞
cos(sx)
−∞ k2 +x2 dx
iii)
v)
R∞
= πk e−ks para k > 0 y s > 0
sen(2x)
−∞ 1+x+x2 dx
R∞
0
= − 2πe
√
− 3
√ sen 1
3
ii)
R∞
iv)
R∞
sen(sx)
−∞ k2 +x2 dx
cos x
−∞ 1+x4 dx
= 0 para k > 0 y s > 0
1
=
π − √2
√
e
2
sen √12 + cos √12
2
e−x cos(2x)dx = 0
16. Sea K compacto y f analítica en K , excepto tal vez en singularidades aisladas que son evitables o
polos. Suponga también que f no es idénticamente 0 en K .
a ) Mostrar que f puede tener, a lo sumo, una cantidad nita de singularidades en K . (Sugerencia:
Suponga que el conjunto S de singularidades es innito; por teorema ??, S tiene punto de
acumulación z0 en K ; muestre que z0 ∈ S , pero entonces no es una singularidad aislada.)
b ) Mostrar que f puede tener, a lo sumo, una cantidad nita de ceros en K . (Sugerencia: para cada
z ∈ K , existe rz > 0 tal que Brz (z) contiene a lo sumo un cero de f ; esa familia de entornos es
cubrimiento por abiertos para el compacto K .)
17. Sea f : D → C con D dominio simplemente conexo, y sea C un contorno cerrado simple en D.
Supongamos que f no tiene ceros sobre C .
a ) Mostrar que si f es analítica en D , entonces
1
2πi
Z
C
f 0 (z)
dz = N
f (z)
en donde C se recorre en sentido positivo y N es el número de ceros (contando sus órdenes) de f
en el interior de C . (Sugerencia: Sea z0 un cero para f en el interior de C ; mostrar que debe ser
aislado; sea m su orden; entonces f (z) = (z − z0 )m g(z); obtenga f 0 y luego f 0 /f ; deduzca que
esta última tiene un polo simple en z0 y que el residuo de f 0 /f en z0 es m; concluya el ejercicio
aplicando el ejercicio anterior y el Teorema de los Residuos.)
b ) Generalizar el resultado anterior, mostrando que si f es analítica sobre C y no tiene singularidades
esenciales en el interior de C , entonces
1
2πi
Z
C
f 0 (z)
dz = N − P
f (z)
en donde C se recorre en sentido positivo, N es el número de ceros (contando sus órdenes) de f
en el interior de C , y P es el número de polos (contando sus órdenes) de f en el interior de C .
3
18. Demuestre el Teorema de Rouché: Sean f y g dos funciones analíticas sobre un contorno cerrado
simple C y en su interior. Si |f (z)| > |g(z)| para todo z ∈ C , entonces f y f + g tienen el mismo
número de ceros (contando sus órdenes) dentro de C . (Sugerencia: Dena
φ(t) =
1
2πi
Z
C
f 0 (z) + tg 0 (z)
dz
f (z) + tg(z)
con t ∈ [0, 1] y C recorrido en sentido positivo. Muestre que el denominador del integrando no tiene
ceros sobre C y que φ es continua en [0, 1]. Aplique entonces el ejercicio anterior para concluir que φ
es constantemente igual a algún entero. Concluya el ejercicio observando a qué es igual φ(0) y φ(1).
Para la continuidad de φ, probar que
Z
f (z)g 0 (z) − f 0 (z)g(z)
|t − t0 | dz |φ(t) − φ(t0 )| =
2π
C (f (z) + tg(z))(f (z) + t0 g(z))
0
0
(z)−f (z)g(z)|
; por lo tanto,
y que, para todo z ∈ C , el módulo de ese integrando está acotado por |f (z)g
(|f (z)|−|g(z)|)2
para alguna constante positiva A, es |φ(t) − φ(t0 )| ≤ A|t − t0 |.)
19. En cada caso, determinar la cantidad de ceros (contando órdenes) de p(z) en el conjunto R.
7
3
3
7
a ) p(z) = z − 4z + z − 1, R = {z ∈ C : |z| < 1}. (Sugerencia: f (z) = −4z , g(z) = z + z − 1 y
C = {z ∈ C : |z| = 1} para aplicar el Teorema de Rouché.) (Solución: 3)
6
4
3
b ) p(z) = z − 5z + z − 2z , R = {z ∈ C : |z| < 1}. (Solución: 4)
4
3
2
c ) p(z) = 2z − 2z + 2z − 2z + 9, R = {z ∈ C : |z| < 1}. (Solución: 0)
5
2
d ) p(z) = 2z − 6z + z + 1, R = {z ∈ C : 1 ≤ |z| < 2}. (Solución: 3)
z
n (con n natural, y c complejo de módulo mayor que e), R = {z ∈ C : |z| < 1}.
e ) p(z) = e − cz
(Solución: n)
20. Usando el Teorema de Rouché, demostrar que cualquier polinomio de grado n ≥ 1 tiene exactamente n raíces (contando multiplicidades). Obtener así una demostración alternativa del Teorema
Fundamental del Álgebra. (Sugerencia: Sea p(z) = z n + an−1 z n−1 + · · · + a1 z + a0 . Argumentar
por qué alcanza con tomar coeciente unitario
en el monomio de mayor
grado. Hacer f (z) = z n ,
n
o
P
n−1
g(z) = an−1 z n−1 + · · · + a1 z + a0 , y C = z ∈ C : |z| = 1 + k=0
|ak | . Mostrar que |f (z)| > |g(z)|
sobre y fuera de C , y aplicar Teorema de Rouché.)