Investigación de Operaciones 1

Investigación de Operaciones 1
Clase 21
Pablo Andrés Maya
Julio, 2014
Pablo Andrés Maya ()
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Dualidad
Considere los siguientes programs lineales
Primal
max Z =
n
X
Dual
min W =
c j xj
s.a.
m
X
aij xj ≤ bi ∀i = 1 . . . m
j=1
aij wi ≥ cj ∀j = 1 . . . n
i=1
wi ≥ 0 ∀i = 1 . . . m
xj ≥ 0 ∀j = 1 . . . n
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bi wi
i=1
j=1
s.a.
n
X
m
X
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Dualidad
Considere los siguientes programs lineales
Primal
Dual
max z = cT x
min z = wT b
s.a.
s.a.
Ax ≤ b
wT A ≥ cT
x≥0
w≥0
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Precio sombra
Precio sombra
−1
T
z = cT x = cT
B B b + cN xN
z = w T b + cT
N xN
Se perturba ligeramente el lado derecho bi , manteniendo la optimalidad de
la solución. entonces podrı́a interpretarse
δz ∗
= cbT B−1
= wi∗
i
δbi
(1)
como la razón de cambio del valor óptimo por un incremento unitario en el
i-ésimo valor del lado derecho dado que las variables no básicas se
mantienen en cero.
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Ejercicio
Una empresa procesadora de tomate de árbol tiene dos productos para la
venta, pulpa y mermelada, cada uno de los cuales consume una cantidad
fija de fruta (kg) y de horas de procesamiento. Se dispone de 200kg de
fruta y 160 horas máquina. La cantidad en kilos que debe producir de
pulpa (x1 ) y de mermelada (x2 ) con el fin de maximizar su utilidad se
determina usando el siguiente PL
max z = 5x1 + 20x2
s.a.
x1 + 3x2 ≤ 200
3x1 + 2x2 ≤ 160
xi ≥ 0 i = 1, 2
Cuanto estarı́a usted dispuesto a pagar por una unidad extra de cada
recurso?
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Analisis de sensibilidad
Los cambios en los parámetros que definen el programa lineal pueden
agruparse en las siguientes categorı́as
1
Cambios en el vector de costos c
2
Cambios en el vector del lado derecho b
3
Cambios en la matriz de restricciones A
4
Adición de una nueva restricción
5
Adición de una nueva actividad
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Analisis de sensibilidad
Dos preguntas básicas
1
Los cambios efectuados afectan la optimalidad?
2
Los cambios efectuados afectan la factibilidad?
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Cambios en el vector de costos
Suponga que el coeficiente en la función objetivo de una o más variables
cambia. En este caso, la solución óptima actual sigue siendo factible. Aun
más, continua siendo un punto extremo. Puede afectarse la optimalidad
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Deben distinguirse dos casos
Cambios en el costo de una variable no básica j Solo afecta el costo
reducido de la variable j.
−1
c 0j = cj0 − cT
B B aj
Cambios en el costo de una variable básica
0
T
T −1
cT
N = cN − cB B N
Altera los costos reducidos de todas las variables no básicas
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Cambios en el vector de recursos
El cambio en el vector de recursos puede afectar la optimalidad de la
solución actual incidiendo sobre su factibilidad. Dos situaciones que
pueden presentarse al incrementar el valor del recurso bi asociado a una de
las restricciones.
La solución deja de ser factible
La solución sigue siendo factible pero debe encontrarse la nueva
solución optima.
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Cambios en el vector de recursos
El cambio en el vector de recursos puede afectar la optimalidad de la
solución actual incidiendo sobre su factibilidad. Dos situaciones que
pueden presentarse al incrementar el valor del recurso bi asociado a una de
las restricciones.
La solución deja de ser factible.
xB = B1 b tiene al menos una componente negativa.
Debe recurrirse por ejemplo al método Dual simplex para obtener la
nueva solución óptima del problema
La solución sigue siendo factible pero debe encontrarse la nueva
solución optima.
Debe actualizarse el vector solución y el valor de la función objetivo
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Cambios en la matriz de restricciones
1
Cambios en los coeficientes asociados a una variable no básica
2
Cambios en los coeficientes asociados a una variable básica
3
Adición de una nueva restricción
4
Adición de una nueva Actividad (Variable)
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Cambios en la matriz de restricciones
1
Cambios en los coeficientes asociados a una variable no básica
2
Cambios en los coeficientes asociados a una variable básica
3
Adición de una nueva restricción
4
Adición de una nueva Actividad (Variable)
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Cambios en la matriz de restricciones
Cambios en la matriz de restricciones A
Cambios en los coeficientes asociados a una variable no básica
No afecta la factibilidad de la solución
Puede verse afectada la optimalidad
Debe verificarse el costo reducido de la variable cuya columna cambia
−1
c 0k = ck − cT
B B ak
Cambios en los coeficientes asociados a una variable básica
Puede afectar la factibilidad. Debe verificarse xB = B−1 b.
Si la solución continua siendo factible, esta podria no seguir siendo
−1
óptima. Debe verificarse c0N = cN − cT
BB N
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Cambios en la matriz de restricciones
1
Adición de una nueva restricción
2
Adición de una nueva Actividad (Variable)
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Cambios en la matriz de restricciones
1
Adición de una nueva restricción
Puede afectar la factibilidad de la solución
Si se pierde la factibilidad, debe usarse el método dual Simplex
Si continua siendo factible, se preserva la optimalidad
2
Adición de una nueva Actividad (Variable)
No afecta la factibilidad
Puede afectar la optimalidad
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Una empresa procesadora de tomate de árbol tiene dos productos para la
venta, pulpa y mermelada, cada uno de los cuales consume una cantidad
fija de fruta (kg) y de horas de procesamiento. Se dispone de 200kg de
fruta y 160 horas máquina. La cantidad en kilos que debe producir de
pulpa (x1 ) y de mermelada (x2 ) con el fin de maximizar su utilidad se
determina usando el siguiente PL
max z = 5x1 + 20x2
s.a.
x1 + 3x2 ≤ 200
3x1 + 2x2 ≤ 160
xi ≥ 0 i = 1, 2
La solución óptima de dicho problema sugiere producir 200/3 kg de
mermelada.
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