Investigación de Operaciones 1

Investigación de Operaciones 1
Clase 13
Pablo Andrés Maya
Junio, 2014
Pablo Andrés Maya ()
Investigación de Operaciones 1
Junio, 2014
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El algoritmo Simplex
Resuelva el siguiente problema haciendo uso del algoritmo Simplex
max z = 40x1 + 60x2
s.a.
2x1 + x2 ≤ 70
x1 + x2 ≤ 40
x1 + 3x2 ≤ 90
x1 , x2 ≥ 0
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El algoritmo Simplex es un procedimiento algebraico que generaliza los
conceptos geométricos que ya hemos visto
Objetivo
Definir y describir el algoritmo Simplex desde un punto de vista algebraico
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Programa lineal
Considere el sigiente programa lineal en forma estandar
max z = cT x
s.a.
Ax = b
x≥0
 
 

c1
x1
a11
c2 
x2 
 a21
 
 

c =  . ,x =  . ,A =  .
 .. 
 .. 
 ..
cn
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xn
a12
a22
am1 am2
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
 
a1n
b1



a2n 
 b2 
 , b =  .. 

 . 
. . . amn
bm
...
...
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Algoritmo Simplex revisado
Usualmente n > m, y asumiremos que rango(A, b) = rango(A) = m
Reorganizamos las columnas de A de modo que:
Las primeras m columnas son linealmente independientes y forman la
base B
Las restantes n − m columnas forman la matriz N
El conjunto de variables tambien puede reordenarse de modo que xB
sean las variables asociadas a las columnas en B y xN sean las
variables asociadas a las columnas en N
x
x= B
xN
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Algoritmo Simplex revisado
En una solución básica las variables xN toman el valor de cero y el
valor de las variables xB se encuentra comno la solución del sistema
BxB = b. Es decir
−1 x
B b
x= B =
xN
0
La solución es básica factible si ademas xB = B−1 b ≥ 0
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Ejemplo
Considere el siguiente programa lineal
max z = 3x1 + x2
s.a.
− x1 + x2 + x3 = 2
x1 + x2 + x4 = 5
x1 + 2x2 + x5 = 6
xi ≥ 0∀i = 1, 2, 3, 4, 5
 
 
3
x1


 
1
x2 
−1 1 1 0 0
2
 
 
 , x = x3  , A =  1 1 0 1 0 , b = 5
0
c=
 
 
0
x4 
1 2 0 0 1
6
0
x5
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Ejemplo
Sea


−1 1 1
B =  1 1 0
1 2 0
x=
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xB
xN
   
x1
4
x
0
, xN = 4 =
, xB = x2  = 1
x5
0
x3
5
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Ejemplo
Sea


−1 1 0
B =  1 1 0
1 2 1
x=
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xB
xN

  
x1
1.5
x
0
, xN = 3 =
, xB = x2  =  3.5 
x4
0
x5
−2.5
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Pregunta
Cúal es el numero máximo de soluciones básicas de este problema?
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Equivalente canonico
Re-escribamos el sistema Ax = b en términos de las variables no básicas:
xB = B−1 b − B−1 NxN
Reescribamos también la función objetivo
T
z = cT x = cT
B xB + cN xN
−1
T
T −1
z = cT
B B b + cN − cB B N xN
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Notación
Consedere una SBF definida por la base B. Sea:
IB
IN
b = B−1 b
N = B−1 N
z = cT
Bb
T
T −1
cN = cT
N − cB B N
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Conjunto de indices asociados a las variables básicas
Conjunto de indices asociados a las variables NO básicas
Vector de recursos actualizado
Matriz de columnas no básicas actualizada
Valor de la FO actualizado
Coeficiente actualizado de las variables no básicas
(Costos reducidos)
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Re-escribamos el programa lineal
max z = z + cT
N xN
s.a.
xB = b − NxN
x≥0
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Re-escribamos el programa lineal
X
max z = z +
c j xj
j∈IN
s.a.
xB = b −
X
aj xj
j∈IN
x≥0
Podemos visualizar el efecto que genera en la función objetivo y en las
variables básicas el modificar alguna variable no básica
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Preguntas
Optimalidad
Cómo determinar si una SBF es óptima?
Búsqueda
A cúal SBF adjacente debemos movernos?
Cúal variable no básica debe entrar a la base? (Costos Reducidos)
Cúal valor debe tomar la variable entrante y cual variable básica debe
salir de la base? (Criterio de la razón minima)
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El algoritmo Simplex
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Ejercicio
Resuelva el siguiente programa lineal
max z = 2x1 + 3x2 + 7x3 + 9x4
s.a.
x1 + x2 + x3 + x4 ≤ 9
x1 + 2x2 + 4x3 + 8x4 ≤ 24
xi ≥ 0 ∀i = 1 . . . 4
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Ejercicio
El problema en forma estandar
max z = 2x1 + 3x2 + 7x3 + 9x4
s.a.
x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = 9
x1 + 2x2 + 4x3 + 8x4 + x6 = 24
xi ≥ 0 ∀i = 1 . . . 6
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Ejercicio
Iteración 0
IB = {5, 6} , IN = {1, 2, 3, 4}
 
2
3
1 0
1 1 1 1
0

B=
,N =
, CB =
, CN = 
7
0 1
1 2 4 8
0
9
1 0
1 1 1 1
B−1 =
,N =
0 1
1 2 4 8
 
0
0
9

xB = b =
, xN = 
0
24
0
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Ejercicio
Iteración 0
T
T −1
La solución es óptima? (CN = CT
N − CB B N)
T
CN
= 2
3
7
9 − 0
T
CN = 2
Pablo Andrés Maya ()
1
0
0
3
7
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0 1
1 1
1
2
1
4
1
8
9
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20 / 28
Ejercicio
Iteración 0
T
T −1
La solución es óptima? (CN = CT
N − CB B N)
T
CN
= 2
3
7
9 − 0
T
CN = 2
1
0
0
3
7
0 1
1 1
1
2
1
4
1
8
9
x4 entra a la base
A cual SBF adjacente movernos (Criterio de la razón minima)
min
i∈IB |aik >0
Pablo Andrés Maya ()
bi
aik
= min
Investigación de Operaciones 1
9 24
,
1 8
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20 / 28
Ejercicio
Iteración 0
T
T −1
La solución es óptima? (CN = CT
N − CB B N)
T
CN
= 2
3
7
9 − 0
T
CN = 2
1
0
0
3
7
0 1
1 1
1
2
1
4
1
8
9
x4 entra a la base
A cual SBF adjacente movernos (Criterio de la razón minima)
min
i∈IB |aik >0
bi
aik
= min
9 24
,
1 8
x6 sale de la base
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20 / 28
Ejercicio
Iteración 1
IB = {4, 5} , IN = {1, 2, 3, 6}
 
2
3
1 1
1 1 1 0
9

B=
,N =
, CB =
, CN = 
7
8 0
1 2 4 1
0
0
0 1/8
1/8 1/4 1/2 1/8
B−1 =
,N =
1 −1/8
7/8 3/4 1/2 −1/8
 
0
0
3

xB = b =
, xN = 
0
6
0
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21 / 28
Ejercicio
Iteración 1
T
T −1
La solución es óptima? (CN = CT
N − CB B N)
T
CN = 2
3
7
0 − 9
T
CN = 7/8
Pablo Andrés Maya ()
0
1/8 1/4 1/2
7/8 3/4 1/2
3/4
5/2
Investigación de Operaciones 1
1/8
−1/8
−9/8
Junio, 2014
22 / 28
Ejercicio
Iteración 1
T
T −1
La solución es óptima? (CN = CT
N − CB B N)
T
CN = 2
3
7
0 − 9
T
CN = 7/8
0
1/8 1/4 1/2
7/8 3/4 1/2
3/4
5/2
1/8
−1/8
−9/8
x3 entra a la base
A cual SBF adjacente movernos (Criterio de la razón minima)
min
i∈IB |aik >0
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bi
aik
= min
Investigación de Operaciones 1
6
3
,
1/2 1/2
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22 / 28
Ejercicio
Iteración 1
T
T −1
La solución es óptima? (CN = CT
N − CB B N)
T
CN = 2
3
7
0 − 9
T
CN = 7/8
0
1/8 1/4 1/2
7/8 3/4 1/2
3/4
5/2
1/8
−1/8
−9/8
x3 entra a la base
A cual SBF adjacente movernos (Criterio de la razón minima)
min
i∈IB |aik >0
bi
aik
= min
6
3
,
1/2 1/2
x4 sale de la base
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22 / 28
Ejercicio
Iteración 2
IB = {3, 5} , IN = {1, 2, 4, 6}
 
2
3
1 1
1 1 1 0
7

B=
,N =
, CB =
, CN = 
9
4 0
1 2 8 1
0
0
0 1/4
1/4 1/2 2
1/4
B−1 =
,N =
1 −1/4
3/4 1/2 −1 −2/8
 
0
0
6

xB = b =
, xN = 
0
3
0
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23 / 28
Ejercicio
Iteración 2
T
T −1
La solución es óptima? (CN = CT
N − CB B N)
T
CN = 2
3
9
0 − 7
T
CN = 2/8
Pablo Andrés Maya ()
0
1/4 1/2
3/4 1/2
−2/4
−5
Investigación de Operaciones 1
2
−1
1/4
−2/8
−14/8
Junio, 2014
24 / 28
Ejercicio
Iteración 2
T
T −1
La solución es óptima? (CN = CT
N − CB B N)
T
CN = 2
3
9
0 − 7
T
CN = 2/8
0
1/4 1/2
3/4 1/2
−2/4
−5
2
−1
1/4
−2/8
−14/8
x1 entra a la base
A cual SBF adjacente movernos (Criterio de la razón minima)
min
i∈IB |aik >0
Pablo Andrés Maya ()
bi
aik
= min
Investigación de Operaciones 1
3
6
,
1/4 3/4
Junio, 2014
24 / 28
Ejercicio
Iteración 2
T
T −1
La solución es óptima? (CN = CT
N − CB B N)
T
CN = 2
3
9
0 − 7
T
CN = 2/8
0
1/4 1/2
3/4 1/2
−2/4
−5
2
−1
1/4
−2/8
−14/8
x1 entra a la base
A cual SBF adjacente movernos (Criterio de la razón minima)
min
i∈IB |aik >0
bi
aik
= min
3
6
,
1/4 3/4
x5 sale de la base
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Junio, 2014
24 / 28
Ejercicio
Iteración 3
IB = {1, 3} , IN = {2, 4, 5, 6}
 
3
9
1 1
1 1 1 0
2

B=
,N =
, CB =
, CN = 
0
1 4
2 8 0 1
7
0
4/3 −1/3
2/3 −4/3 4/3 −1/3
−1
B =
,N =
−1/3 1/3
1/3 7/3 −1/3 1/3
 
0
0
4

xB = b =
, xN = 
0
5
0
Pablo Andrés Maya ()
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25 / 28
Ejercicio
Iteración 3
T
T −1
La solución es óptima? (CN = CT
N − CB B N)
T
CN
= 3
9
0
0 − 2
T
CN = −2/3
Pablo Andrés Maya ()
2/3
7
1/3
−14/3
−4/3
7/3
−1/3
Investigación de Operaciones 1
4/3
−1/3
−1/3
1/3
−5/3
Junio, 2014
26 / 28
Ejercicio
Iteración 3
T
T −1
La solución es óptima? (CN = CT
N − CB B N)
T
CN
= 3
9
0
0 − 2
T
CN = −2/3
2/3
7
1/3
−14/3
−4/3
7/3
−1/3
4/3
−1/3
−1/3
1/3
−5/3
La solución es óptima
Pablo Andrés Maya ()
Investigación de Operaciones 1
Junio, 2014
26 / 28
Ejercicio
Resuleva el siguiente programa lineal
max z = 2x1 + x2 − x3 + 5x4
s.a.
x1 + x2 + 2x3 + x4 ≤ 6
x1 + 3x2 − x3 + 5x4 ≤ 15
xi ≥ 0 ∀i = 1 . . . 4
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Junio, 2014
27 / 28
Ejercicio
Resuleva el siguiente programa lineal
min z = 4x1 − x2
s.a.
− x1 + x2 ≥ 2
x1 + 2x2 ≥ 6
x1 , x2 ≥ 0
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Investigación de Operaciones 1
Junio, 2014
28 / 28