Introducción 1. Algebra de sucesos - OCW

M. Iniesta
Universidad de Murcia
PROBABILIDAD
Tema 2.1:
Fundamentos de Probabilidad
Introducción
Jacob Berooulli (1654 - 1705), Abraham de Moivre (1667 - 1754), el reverendo Thomas Bayes (1702 - 1761) y Joseph Lagrange (1736 - 1813) desarrollaron fórmulas y
técnicas para el cálculo de la probabilidad. En el siglo XIX, Pierre Simon, marqués de
Laplace (1749 - 1827), unicó todas estas primeras ideas y compiló la primera teoría
general de la probabilidad.
La teoría de la probabilidad fue aplicada con éxito en las mesas de juego y, lo que es
más importante, en problemas sociales y económicos. La industria de seguros requería
un conocimiento preciso acerca de los riesgos de pérdida.
Sin embargo, una de las dicultades para el desarrollo de la teoría matemática de las
probabilidades fue llegar a una denición de probabilidad matemáticamente rigurosa y
que permitiera al tiempo ampliar su aplicación a un amplio rango de fenómenos. En el
siglo XX se llegó a una denición axiomática del concepto de probabilidad (Kolmogorov,
1933), lo que permitió el tratamiento formal de todos aquellos fenómenos que llevan
asociado un término azaroso o el problema de la de toma decisiones en ambiente de
incertidumbre.
En denitiva, en la actualidad, se estudia y se utiliza la teoría de la probabilidad
con el n de tomar decisiones de las que esperemos obtener la mayor ganancia o que
conlleven el menor riesgo.
1.
Algebra de sucesos
1.1. Primeras deniciones
Un fenómeno o experiencia se dice que es un
experimento aleatorio cuando al
repetirlo en condiciones idénticas es imposible predecir su resultado.
El conjunto de todos los resultados posibles de un experimento aleatorio se llama
espacio muestral y lo denotaremos mediante Ω. Cada uno de los elementos del
espacio muestral se llama punto muestral o suceso elemental.
suceso a todo conjunto de Ω. diremos que el suceso A ⊆ Ω se
verica o se realiza si al realizar el experimento se obtiene como resultado uno
Se denomina
de los puntos muestrales de
A.
El conjunto de todos los sucesos asociados a un experimento se llama
sucesos, que denotaremos mediante S .
El suceso
∅
se llama
espacio de
suceso imposible y el suceso Ω se llama suceso seguro.
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1.2. Actividad
Denir experimentos aleatorios de la vida cotidiana, expresando el espacio muestral
asociado y algunos sucesos relativos a los mismos. Piensa, por ejemplo en los juegos de
azar. Un ejemplo: El lanzamiento de un dado es un experimento aleatorio. Su espacio
Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
por el conjunto A =
muestral es el conjunto formado por todos los posibles resultados,
y un posible suceso es obtener número par , que representamos
{2, 4, 6}.
El suceso obtener un número menor que 20 es el suceso seguro y el suceso
obtener un número entre 7 y 10 es un suceso imposible.
1.3. Operaciones con sucesos
Unión de sucesos:
Dados dos sucesos
A
B,
y
denotaremos mediante
A∪B
al
suceso que se verica cuando al menos uno de los dos se verica.
Intersección de sucesos: Dados dos sucesos A y B , denotaremos mediante A∩B
al suceso que se verica cuando ambos se verican.
Complementario: Dado un suceso A, denotaremos mediante A al suceso que se
verica cuando
A
no se verica.
Diferencia de sucesos Dados dos sucesos A y B , denotaremos mediante A − B
al suceso que se verica cuando se verica
Diferencia simétrica
B
y no se verica
y no se verica
A
B.
B , denotaremos mediante A4B
verica A y no se verica B , o bien se
Dados dos sucesos
al suceso que se verica cuando o bien se
verica
A
y
A.
Algunas de las propiedades de estas operaciones son:
La unión y la intersección cumplen las propiedades
asociativa y conmutativa.
La unión respecto a la intersección cumple la propiedad
distributiva, así como la
intersección respecto a la unión.
El suceso imposible es
elemento neutro en la unión, mientras que el suceso seguro
lo es en la intersección.
La unión de cualquier suceso con su
complementario es siempre el suceso segucomplementario es
ro, mientras que la intersección de cualquier suceso con su
siempre el suceso imposible.
Se cumplen las conocidas
leyes de Morgan: el complementario de la unión es la
intersección de los complementarios y el complementario de la intersección es la
unión de los complementarios.
1.4. Actividades
1. Representar mediante diagramas de Venn las operaciones entre sucesos anteriores.
2. Elaborar una tabla para expresar de forma simbólica las propiedades de las operaciones entre sucesos.
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1.5. Álgebra de sucesos
El álgebra de sucesos
S
es una familia de sucesos denida mediante los siguientes
axiomas:
Axioma 1 Ω ∈ S
Axioma 2
Si
A, B ∈ S
Axioma 3
Si
A∈S
entonces
entonces
A∪B ∈S
A∈S
1.6. Actividad
A partir de los axiomas anteriores, demostrar que si
ciado a un experimento aleatorio, entonces
1.
S
es el álgebra de sucesos aso-
también cumple:
∅∈S
2. Si
A, B ∈ S
entonces
A∩B ∈S
3. Si
A, B ∈ S
entonces
A−B ∈S
2.
S
y
A4B ∈ S
Modelos de Probabilidad
La probabilidad asignada a un suceso aleatorio
mide el grado de conanza de que
ese suceso ocurra.
Podemos encontrar en la literatura varios enfoques para este objetivo.
enfoque clásico considera experimentos con espacios muestrales nitos y puntos muestrales equiprobables. La probabilidad se asigna usando la Regla de Laplace haciendo
El
P (A) =
Car(A)
Car(Ω)
Este enfoque, aunque limitado en su uso por las condiciones que maneja, está
actualmente vigente.
El
enfoque frecuentista considera la repetición del experimento un número gran-
de de veces
n, de las cuales un número nA
se asigna como
ha ocurrido el suceso
A. La probabilidad
nA
n→∞ n
P (A) = lı́m
Este enfoque tiene varios inconvenientes, entre ellos que no podemos estar indenidamente repitiendo el experimento.
Para superar los inconvenientes de los enfoques anteriores usaremos el
enfoque
axiomático que engloba y generaliza los enfoques anteriores y que usa la siguiente
denición.
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Si
Ω
es el espacio muestral y
aleatorio, la terna
(Ω, S, P )
S
es el álgebra de sucesos asociados al experimento
es un
espacio de probabilidad cuando la función
P : S → [0, 1]
cumple
Axioma 1 P (Ω) = 1
Axioma 2 P (A ∪ B) = P (A) + P (B), ∀A, B ∈ S con A ∩ B = ∅ (A los sucesos
A y B cuya intersección es vacía se llaman incompatibles).
2.1. Actividades
A partir de los axiomas de la denición anterior, demostrar las siguientes propiedades
de la función de probabilidad.
1. (*) Las deniciones clásica y frecuentista del concepto de probabilidad cumplen
los axiomas de la denición axiomática.
Ω = {e1 , ..., en } es nito,Py asociamos probabilidad
P (ei ) = pi , con 0 ≤ pi ≤ 1, ∀i y ni=1 pi = 1, la función
X
P (A) =
pi
2. (*) Si
a cada uno de ellos,
ei ∈A
es una función de probabilidad sobre
las partes de
Ω.
3.
P (A) = 1 − P (A), ∀A ∈ S
4.
P (∅) = 0
5. (*)
6.
S = P(Ω), donde P(Ω) indica el conjunto de
P (A) ≤ P (B)
si
A⊆B
P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B)
P (A ∪ B ∪ C) = P (A) + P (B) + P (C) − P (A ∩ B) − P (A ∩ C) − P (B ∩ C) +
P (A ∩ B ∩ C), ∀A, B, C ∈ S
7. (*)
3.
Probabilidad Condicionada
La probabilidad condicionada permite asignar probabilidades introduciendo informa-
ciones acerca del experimento o ciertas creencias subjetivas que se dispongan sobre el
mismo.
Dados dos sucesos
A
y
B
con
P (B) > 0
denimos la
cionada a que el suceso B ha ocurrido como
PB (A) = P (A|B) =
Si
P (A|B) = P (A)
decimos que el suceso
A
probabilidad de A condi-
P (A ∩ B)
P (B)
es independiente de B .
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3.1. Actividades
1. (*) Demostrar que si
(Ω, S, P )
es un espacio de probabilidad, entonces
(Ω, S, PB )
también es un espacio de probabilidad.
2. (*) Demostrar que si
A
3. Demostrar que
A
y
B
B , entonces B es independiente
B son independientes.
es independiente de
En ese caso simplemente decimos que
A
y
son independientes si y sólo si
de
A.
P (A ∩ B) = P (A).P (B)
4. (*) Supongamos que A y B son sucesos independientes, demostrar que sus complementarios también lo son.
5. Utiliza la probabilidad condicionada para asignar probabilidad al suceso
A = obtener
dos ases cuando el experimento consiste en extraer dos cartas sin reemplazamiento
de una baraja española de 40 cartas.
4.
Probabilidad Total y Regla de Bayes
En muchas ocasiones, cuando no se dispone de información sobre el experimento,
resulta muy ventajoso asignar probabilidad a un suceso
A
considerando un conjunto de
condiciones mutuamente excluyentes cuya unión sea el suceso seguro.
E1 , ..., Ek es un conjunto de sucesos mutuamente excluyentes (Ei ∩ Ej = ∅ si i 6= j )
Pk
tales que P (Ei ) > 0 para i = 1, ..., k (probabilidades a priori ) y
i=i P (Ei ) = 1 (o bien
Sk
E
=
Ω
),
entonces:
i=1 i
k
X
P (A) =
P (A|Ei )P (Ei )
Si
i=1
expresión conocida como
Fórmula de la Probabilidad Total.
La Regla de Bayes permite actualizar nuestras creencias acerca de los elementos
de la partición
Ei ,
calculando las denominadas probabilidades a posteriori, una vez que
conocemos una información; por ejemplo el suceso A ha ocurrido.
P (A|Ej )P (Ej )
P (Ej |A) = Pk
i=1 P (A|Ei )P (Ei )
4.1. Actividades
1. Demostrar la Fórmula de la Probabilidad Total.
2. Demostrar la Regla de Bayes para el cálculo de las probabilidades a posteriori.
5.
Bibliografía
1. Tema 2, secciones 2.1, 2,2 y 2.3 del texto Estadística para ingenieros y cientícos.
William Navidi. Editorial McGraw-Hill.
2. Tema 1 del texto Probabilidad y Estadística para Ciencias e Ingenierías. Rosario
Delgado de la Torre. Editorial Delta.
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