tema II.2. Integrales triples.

Integrales triples
Integrales triples
Integrales triples
Regiones regulares
DEF. Se dice que A ⊂ R3 es una región regular en la dirección
del eje Z si
n
o
A = (x, y, z) ∈ R3 /(x, y) ∈ Ā, φ1 (x, y) ≤ z ≤ φ2 (x, y)
donde Ā es una región regular en la dirección del eje X o del
eje Y :
n
o
Ā = (x, y) ∈ R2 /a ≤ x ≤ b, ϕ1 (x) ≤ y ≤ ϕ2 (x)
o
o
n
Ā = (x, y) ∈ R2 /c ≤ y ≤ d , ψ1 (y) ≤ x ≤ ψ2 (y)
con φ1 , φ2 son continuas y φ1 ≤ φ2 en Ā.
Integrales triples
Regiones regulares (II)
De forma análoga se puede definir dominio regular en la
dirección del eje Y y del eje X .
DEF. Si A es una región regular en las tres direcciones se dice
que es regular.
Integral iterada
Sea f : A ⊂ R3 → R continua y A regular en la dirección del eje
Z:
Z
b
a
Z
ϕ2 (x)
ϕ1 (x)
Z
φ2 (x,y )
φ1 (x,y )
f (x, y, z) dz dy dx
Integrales triples
Teorema de Fubini
Sea f : A ⊂ R3 → R continua en A.
Si A es una región regular en alguna dirección, la integral triple
sobre A de f se puede calcular como una integral iterada:
 Z b Z ϕ (x) Z φ (x,y )
2
2



f (x, y, z) dz dy dx



a
ϕ1 (x)
φ1 (x,y )






 Z d Z ψ2 (y ) Z φ2 (x,y )



f (x, y, z) dz dx dy


Z Z Z
 c ψ1 (y ) φ1 (x,y )
f =
Z b Z ϕ2 (x) Z φ2 (x,z)

A




f (x, y, z) dy dz dx



a
ϕ1 (x)
φ1 (x,z)






Z d Z ψ2 (z) Z φ2 (x,z)




f (x, y, z) dy dx dz

c
ψ1 (z)
φ1 (x,z)
Integrales triples
Teorema de Fubini (II)
Sea f : A ⊂ R3 → R continua en A.
Si A es una región regular en alguna dirección, la integral triple
sobre A de f se puede calcular como una integral iterada:
 Z Z
b
ϕ2 (z) Z φ2 (y ,z)



f (x, y, z) dx dy dz


Z Z Z
 a ϕ1 (z) φ1 (y ,z)
f =
Z d Z ψ2 (y ) Z φ2 (y ,z)

A




f (x, y, z) dx dz dy

c
ψ1 (y )
φ1 (y ,z)
Si A es una región regular, la integral triple se puede calcular
usando cualquiera de las 6 integrales iteradas anteriores y, por
unicidad de la integral, obtenemos el mismo resultado.
Si A no es regular en la dirección de ningún eje, es necesario
descomponerla en subregiones regulares
Integrales triples
Cambio de variable
Teorema (Cambio de variable para integrales triples)
Sean A y A∗ dos regiones de R3 y
T :
A∗ → A
una transformación
(u, v, w ) 7→ T (u, v, w ) = (x, y, z)
de A∗ sobre A tal que T ∈ C 1 (A∗ ), T es inyectiva y
JT (u, v, w ) 6= 0 ∀(u, v, w ) ∈ A∗ .
Entonces para cualquier función integrable f : A → R:
Z Z Z
Z Z Z
f (x, y, z) dx dy dz =
f (T (u, v, w ))·|JT (u, v, w )| du dv dw
A
A∗
Integrales triples
Coordenadas Cilíndricas
2
1.8
1.6
z
1.4
(x,y,z)
1.2
z

 x = r cos θ
y = r sen θ

z =z
p

 r = + x2 + y2
cos θ = x/r

sen θ = y/r
∂x ∂x
∂r ∂θ
∂y ∂y
Jacobiano: ∂r ∂θ
∂z ∂z
∂r ∂θ
1
0.8
r
0.6
0
θ
0.5
0.4
0.2
1
0
∂x ∂z cos θ −r sen θ 0
∂y sen θ r cos θ 0 = r
=
∂z 0
0
1
∂z ∂z
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
y
1.6
1.8
1.5
2
2
x
Integrales triples
Coordenadas Esféricas
2
1.8
1.6
r
1.4
z
1.2
z

 x = ρ sen ϕ cos θ
y = ρ sen ϕ sen θ

z = ρ cos ϕ
p

 ρ = + x 2 + y 2 + z2
ϕ ∈ [0, π]

θ ∈ [0, 2π]
ϕ
(x,y,z)
ρ
1
0.8
0.6
θ
0.4
0
0.5
0.2
0
0
1
0.5
1.5
1
1.5
y
2
2
x
Integrales triples
Coordenadas Esféricas (II)
Jacobiano:
∂x ∂x ∂x ∂ρ ∂ϕ ∂θ ∂y ∂y ∂y sen ϕ cos θ ρ cos ϕ cos θ −ρ sen ϕ sen θ
= sen ϕ sen θ ρ cos ϕ sen θ ρ sen ϕ cos θ ∂ρ ∂ϕ ∂θ cos ϕ
−ρ sen ϕ
0
∂z ∂z ∂z ∂ρ ∂ϕ ∂θ
sen ϕ cos θ −ρ sen ϕ sen θ
ρ cos ϕ cos θ −ρ sen ϕ sen θ
= cos ϕ + ρ sen ϕ ρ cos ϕ sen θ
2
ρ sen ϕ cos θ
sen ϕ sen θ
2
2
= cos ϕρ cos ϕ sen ϕ + ρ sen ϕρ sen ϕ = ρ sen ϕ
ρ sen ϕ cos θ