G En esta situación el elemento neutro multiplicativo se le llama

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Unidad Nº 1: MATRICES-DETERMINANTES
INTRODUCCIÓN
ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS de GRUPO y de CUERPO
Definición 1
Sea G ≠ ∅ y sea
A1)
* una
operación en G. El par (G, ∗) es un grupo si y sólo si:
es una ley de composición interna en G. Es decir, * es una función con dominio en el
producto cartesiano G x G y toma valores en G, en símbolos
*
∗:G × G → G
(a, b ) a ∗ b
A2) * es asociativa en G. En símbolos
∀ a, b, c ∈ G ; (a ∗ b ) ∗ c = a ∗ (b ∗ c )
A3) Existe un elemento neutro e ∈ G respecto de la ley * . En símbolos
∃ e∈G : ∀ a ∈G ; a ∗e = e∗ a = a
A4) Para cada elemento a ∈ G existe un elemento inverso a’ ∈ G respecto a la ley *. En
símbolos
∀ a ∈ G ; ∃ a ' ∈ G : a ∗ a' = a ' ∗ a = e
Notas
1. La estructura algebraica de grupo ha sido definida en forma axiomática.
2. El axioma A1) suele escribirse de la siguiente manera
∀ a, b ∈ G ; a * b ∈ G
3. El axioma A1) indica que el conjunto G es “cerrado” con respecto a la ley *. También suele
decirse que el conjunto G es “estable” respecto a la operación *.
4. En los axiomas A3) y A4) observe detenidamente la posición de los cuantificadores existencial
y universal, y obtenga conclusiones.
5. Diremos simplemente “sea G un grupo” cuando la ley * esté sobreentendida.
6. Cuando en un grupo G la ley de composición interna sea la suma, diremos que G es un grupo
aditivo. En esta situación el elemento neutro aditivo se llama “elemento nulo” o simplemente
“cero” y suele representarse con 0; y dado a ∈ G al inverso aditivo de a, denominado “opuesto
de a”, se denota con –a.
7. Cuando en un grupo G la ley de composición interna sea la multiplicación, diremos que G es
un grupo multiplicativo.
En esta situación el elemento neutro multiplicativo se le llama “unidad” y suele
representarse con 1; y dado a ∈ G al inverso multiplicativo de a, denominado “recíproco
de a”, se denota con a -1.
1
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Ejemplos de grupos:
Grupos aditivos
(Z, +) El conjunto de los números enteros con la suma de números enteros.
(Q, +) El conjunto de los números racionales con la suma de números racionales.
(R, +) El conjunto de los números reales con la suma de números reales.
(C, +) El conjunto de los números complejos con la suma de números complejos.
(R2, +) El conjunto de los pares ordenados de números reales (o vectores del plano cartesiano)
con la suma de pares ordenados definida por
(x1, y1) + (x2, y2) = (x1+ x2, y1+ y2)
Aquí, el cero es el par (0, 0) y el opuesto de (x1, y1) es -(x1, y1) = (-x1, -y1).
(Rn, +) El conjunto de las n-uplas ordenadas de números reales con la suma de
n-uplas (con n ∈ N) definida por
(a1, a2, …, an) + (b1, b2, …, bn) = (a1+ b1, a2+ b2, … , an+ bn)
Donde, el cero es la n-upla (0, 0, … , 0) y el opuesto de (a1, a2, …, an) es
- (a1, a2, …, an) = (-a1, -a2, …, -an)
(Z3, +). Donde Z3 ={
0,
1,
2 } es el conjunto de las clases residuales módulo 3 y la suma está
definida por la siguiente tabla
+
0
1
2
0
0
1
2
1
1
2
0
2
2
0
1
Grupos multiplicativos
(Q – {0}, .) El conjunto de los números racionales no nulos con la multiplicación de números
racionales no nulos.
(R – {0}, .) El conjunto de los números reales no nulos con la multiplicación de números reales
no nulos.
(C – {(0, 0)}, .) El conjunto de los números complejos no nulos con la multiplicación de
números complejos no nulos.
(Z3 – {
0 }, .) Donde Z3 – {
0 } = {
1,
2 } es el conjunto de las clases residuales módulo 3,
distintas de la clase del cero, y la multiplicación está definida por la siguiente tabla
2
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.
1
2
1
1
2
2
2
1
No son grupos:
El conjunto N de los números naturales con la suma de números naturales.
El conjunto Z de los enteros con la diferencia de números enteros.
El conjunto R de los números reales con el producto de números reales.
Definición 2
Sea (G, ∗) un grupo. El grupo G es conmutativo(o abeliano) si la ley de composición
interna * es conmutativa. Es decir, ∀ a, b ∈ G: a ∗ b = b ∗ a
Ejemplos de grupo conmutativo(o abelinano)
(Z, +), (Q, +), (R, +), (C, +), (Rn, +), (Z3, +)
(Q – {0}, .), (R – {0}, .), (C – {0}, .), (Z3 – {
0 }, .)
PROPIEDADES
Sea (G,*) un grupo.
Proposición 1
El grupo G admite un único elemento neutro.
Proposición 2
El inverso de cada elemento de G es único.
Proposición 3
El inverso del inverso de cada elemento a de G es a, esto es (a ') ' = a .
Proposición 4
Cualesquiera sean a, b ∈ G, el inverso del elemento a * b es b’* a’. Es decir
∀ a, b ∈ G : (a ∗ b ) ' = b' ∗ a' .
Proposición 5
Cada elemento del conjunto G es cancelable o regular. Esto es, cualesquiera sean
verifica
(a * b = a * c
b = c ) ∧ (b * a = c * a
b=c)
a, b, c ∈ G se
3
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Proposición 6
Cualesquiera sean a, b, c ∈ G, las siguientes ecuaciones en la variable x admiten solución única en
G
a *x = b
x = a’* b
x*a=c
x = c* a’
Nota Las demostraciones de las proposiciones anteriores quedan para el alumno.
Definición 3
Sea F ≠ ∅ y “+”, “.” dos operaciones en F. La terna (F, +, .) es un cuerpo si y sólo si:
Ax1) (F, +) es grupo abeliano. Esto es
+ es una ley de composición interna en F
∀ a, b ∈ F ; a + b ∈ F
+ es asociativa
∀ a , b , c ∈ F : (a + b ) + c = a + (b + c )
Existe elemento neutro aditivo en F
∃ 0 ∈ F : ∀ a ∈ F; a + 0 = 0 + a = a
Cada elemento de F admite opuesto en F
∀ a ∈ F, ∃ − a ∈ F : a + (−a) = (−a) + a = 0
+ es conmutativa
∀ a, b ∈ F : a + b = b + a
Ax2) (F-{0}, .) es grupo abeliano. Esto es
. es una ley de composición interna
∀ a, b ∈ F - {0}; ab ∈ F- {0}
. es asociativa
∀a, b, c ∈ F − {0} : (ab)c = a(bc )
Existe elemento neutro multiplicativo en F- {0}
∃ 1∈ F − {0} : ∀ a ∈ F − {0}; a 1 = 1 a = a
Cada elemento de F-{0} admite recíproco en F-{0}
∀ a ∈ F − {0}; ∃ a −1 ∈ F − {0} : a a − 1 = a − 1a = 1 .
. es conmutativa
∀ a, b ∈ F − {0}; ab = ba
Ax3) La multiplicación es distributiva respecto de la suma de izquierda a derecha y de derecha a
izquierda
(a + b) c = ac + bc
a(b + c) = ab + ac
4
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Ejemplos de cuerpos
(Q,+,⋅), (R,+,⋅), (C ,+,⋅) , (Z p ,+,⋅) con p primo
No son cuerpos
(Z , +, ⋅),
(Z4, +, .)
Definición 4
Sea (F, +, .) un cuerpo.
a) Sean a y b ∈ F , se define la resta
a – b = a + (– b )
b) Sean a y b ∈ F y a ≠ 0. Se define la división
b
= a-1b
a
PROPIEDADES
Proposición 1
Si (F, +, .) un cuerpo, entonces ∀a ∈ F , a 0 = 0 a = 0
Demostración
a 0 = a ( 0 + 0)
0 es elemento neutro aditivo
a0 = a 0 + a0
por distributividad de ( .) respecto a ( + )
a0 + 0 = a0 + a0
0 = a0
0 es elemento neutro aditivo
por Propiedad cancelativa en el grupo ( F , + )
0 a = ( 0 + 0) a
0 es elemento neutro aditivo
0 a = 0a + 0 a
por distributividad de ( .) respecto a ( + )
0a + 0 = 0a + 0a
0 = 0a
0 es elemento neutro aditivo
por Propiedad cancelativa en el grupo ( F , + )
Proposición 2
Si (F, +, .) un cuerpo, entonces ∀ a, b ∈ F ; (−a)b = a(−b) = − (ab)
Demostración
i)
ab + (−a )b = [a + (− a )]b = 0 b = 0
(−a )b + ab = [(−a ) + a ]b = 0 b = 0
Luego (−a)b = −(ab)
ii)
ab + a (−b) = a[b + (−b)] = a 0 = 0
a (−b) + ab = a[(−b) + b ] = a 0 = 0
Luego a(−b) = − (ab)
5
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Proposición 3
Si (F, +, .) un cuerpo, entonces ∀a, b ∈ F : (−a)(−b) = ab
Demostración
(−a)(−b) = −[a(−b)] = −[− (ab)] = ab
Proposición 4
Si (F, +, .) un cuerpo, entonces ∀a, b, c ∈ F : a(b − c) = ab − ac
Demostración
a(b − c) = a[b + (−c)] = ab + a(−c) = ab + [− (ab)] = ab − ac
Proposición 5
Si (F, +, .) un cuerpo, entonces ∀ x, y ∈ F ; ( x y = 0
Demostración
Hay que probar que: xy = 0 ∧ x ≠ 0
x = 0 ∨ y = 0)
y=0
Sea entonces
xy = 0 ∧ x ≠ 0 (*)
Como x ≠ 0 ∧ x ∈ F y (F-{0}, .) es un grupo abeliano, x admite inverso multiplicativo, esto es:
x −1 ∈ F : xx −1 = x −1 x = 1
En la igualdad (*) multiplicando en ambos miembros por x −1 , luego aplicamos Proposición 1 de
cuerpo, asociatividad, axioma de inverso y axioma de elemento unidad.
x −1 xy = x −1 0
(x −1x) = y0
1y = 0
y=0
Nota
La propiedad precedente indica que todo cuerpo F carece de divisores de cero.
Q.E.D.
Proposición 6
Si (F, +, .) un cuerpo, entonces vale la ley cancelativa del producto para elementos no nulos de F.
Demostración
Se debe probar que, ∀x, y, z ∈ F ; ( xz = yz ∧ z ≠ 0
x = y)
Sea entonces
xz = yz ∧ z ≠ 0 (1)
Como z ≠ 0, ∃ z −1 ∈ F , en (1) se multiplica en ambos miembros por el inverso de z
6
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( xz ) z −1 = ( yz ) z −1
x( zz −1 ) = y ( zz −1 )
x1 = y1
x= y
Proposición 7
Si (F, +, .) es un cuerpo y a, b ∈ F y a ≠ 0 , entonces la ecuación de primer grado en la variable x
ax = b , admite solución única en F
Demostración
Partimos de la ecuación
ax = b
−1
a (ax) = a −1b
(a −1a ) x = a −1b
1x = a −1b
x = a −1b
Luego, x = a −1b es la solución de la ecuación dada y la unicidad de la solución se debe a que a
admite un único inverso y la multiplicación es una ley de composición interna en F.
Q.E.D.
Proposición 8
El recíproco (inverso multiplicativo) del opuesto de todo elemento no nulo es igual al opuesto de su
recíproco. Esto es
∀ a ∈ F- {0} ; (-a)-1 = - (a-1),
Demostración
Queda para el alumno.
1. MATRICES
Definición 1
Sean m y n dos números naturales cualesquiera distintos. Una matriz A de tipo mxn con elementos
de un conjunto F es una ordenación de mn elementos del conjunto F, dispuestos en m filas y n
columnas.
A=
a
11
a
21
a
12
a
22
a
1j
a
2j
a
1n
a
2n
a
a
a
a
a
i1
m1
a
i2
m2
a
ij
mj
a
in
mn
7
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Notas
• Trabajaremos con matrices cuyos elementos pertenecen a un cuerpo como por ejemplo: Q
(Racionales), R (Reales), C (Complejos), Z2 (Clases residuales módulo 2), etc.
• El conjunto de las matrices de m filas y n columnas con elementos de un cuerpo F se denota con
F mxn .
• Escribiremos
cuerpo F.
A∈ F mxn para indicar que la matriz A es de tipo mxn y tiene elementos del
Ejemplos
1 3 2/3 − 4
A = 0 −6 1
−1
1
2
1
0
1/ 2
E = 0 ∈ Q 3x1 ;
3
1
1
∈ R 3 x5 ; B =
0
−2
0
0
1
0
1
0
1
1
0
∈ Z 4 x3 ; D =
2
1
1
8i 1 − i
F = 0 2 + 3i ∈ C 3x2 ;
9
1
1 −3 4
∈ R 2 x3 ;
2 0 1
G = [1 2 0] ∈ R1x3
Definición 2
Una matriz A de orden n con elementos de un conjunto F, es una ordenación de n2 elementos del
conjunto F, dispuestos en n filas y n columnas.
A=
a
a
11 12
a
a
21 22
a
1j
a
2j
a
1n
a
2n
a
i1
a
i2
a
ij
a
in
a
a
n1 n2
a
nj
a
nn
Notas
• Trabajaremos con matrices cuyos elementos pertenecen a un cuerpo como por ejemplo: Q
(Racionales), R (Reales), C (Complejos), Z2 (Clases residuales módulo 2), etc.
• El conjunto de las matrices de orden n con elementos de un cuerpo F, se denota con F nxn . Este
conjunto es un caso particular del conjunto F mxn cuando m = n.
• Escribiremos A ∈ F nxn para indicar que la matriz A es de orden n y tiene elementos del cuerpo
F.
Ejemplos
2 − 3 0,75 14
1
0 −1
7 0
−1 1/ 2
1
−i
∈ Q 4 x4
H = 2 1 / 7 0 ∈ R 3 x3 ; J =
∈ C 2 x2 ; L =
0 2
− 6 2/3
3 + i 4i
3 0 −6
1 − 7 29 − 2
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Notas
• Una matriz es rectangular si el número de filas es distinto al número de columnas.
• Una matriz es cuadrada si el número de filas es igual al número de columnas
• Una matriz real es aquella cuyos elementos son números reales. Una matriz compleja es la que
sus elementos números complejos.
Notaciones
Sea la matriz A∈ F mxn , (con m ≠ n ó m = n) dada por
A=
a
11
a
21
a
12
a
22
a
1j
a
2j
a
1n
a
2n
a
a
a
a
a
I.
i1
a
m1
i2
m2
a
ij
a
mj
in
mn
Cada fila de la matriz A suele representarse por una matriz del tipo 1xn denominado vector
fila. La fila i-ésima viene dada por
∀i = 1,..., m; f = a
a
i
i1 i 2
a
ij
a ∈ F1xn ,
in
La matriz A puede representarse en término de sus m vectores filas f , f , ..., f , ..., f , del
1 2
i
m
siguiente modo:
f
1
f
2
A=
f
f
i
m
II. Cada columna de la matriz A es común representarla por una matriz del tipo mx1, llamado
vector columna. La j-ésima columna de A está dada por
a
1j
a
2j
∀j = 1,..., n; c j =
a
a
ij
∈ F mx1
mj
La matriz A puede representarse en término de sus n vectores columnas c , c , ..., c , ..., c ,
1 2
j
n
mediante:
A = c c ... c ... c
1 2
j
n
9
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III. Al elemento aij se le llama elemento genérico de la matriz A. Éste se emplea para denominar
la forma en que se denotan los elementos de la matriz y permite escribirla en manera abreviada
por,
A = a 1≤ i ≤ m.
ij
1≤ j ≤ n
Cuando se conoce de antemano el número de filas y de columnas de la matriz
escribiremos
simplemente
A= a
ij
IV. Si
A∈ F nxn
, los elementos a11, a22,…, ann, forman la diagonal principal de A.
MATRICES ESPECIALES
Matriz nula
Una matriz perteneciente al conjunto
F mxn
con m ≠ n ó m = n, que tiene todos los elementos
iguales a cero (elemento neutro aditivo del cuerpo F), se llama matriz nula. En símbolos:
O = o , con oij = 0, ∀i =1,...,m ∧ ∀j = 1,..., n
ij
Ejemplos
Matrices reales nulas son:
0 0 0
0 0 0
,
[0
0] ,
0
0 ,
0 0 ,
0 0
0
0 0 0
,
0 0 0
0 0 0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0 ,
0
0
Matriz unidad
Una matriz de orden n con elementos del cuerpo F en la que todos los escalares de la diagonal
principal son unos (elemento neutro multiplicativo del cuerpo F) y los restantes elementos de la
matriz son ceros (elemento neutro aditivo del cuerpo F) se llama matriz unidad de orden n y se
simboliza con In. En símbolos:
1 si i = j .
I n = δ , siendo δ ij =
ij
0 si i ≠ j
Ejemplos
Matrices reales unidad son:
1 0 0
I3 =
,
0 1 0
0 0 1
1
I4 = 0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0 ,
0
1
I2 = 1 0
0 1
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Matriz diagonal
Una matriz D de orden n con elementos del cuerpo F en la que todos los elementos que están fuera
de la diagonal principal son ceros (elemento neutro aditivo del cuerpo F), recibe el nombre de
matriz diagonal. En símbolos:
A= a
ij
∈ F nxn es diagonal ⇔ aij = 0, si i ≠ j .
Ejemplos
Las siguientes matrices reales son diagonales
−2 0
0 1
1 0 0
;
0 1 0
0
0
0 0 1
0
0
0
0 ;
0 0
0 0
0 −3 0
0 0 4
Matriz triangular superior
Una matriz A de orden n con elementos del cuerpo F en la cual todos los elementos que están
debajo de la diagonal principal son ceros (elemento neutro aditivo del cuerpo F), se llama matriz
triangular superior. En símbolos
A= a
ij
∈ F nxn es triangular superior ⇔ aij = 0, si i > j .
Ejemplos
−1 3 0
0 2 −1 ,
0 0 1
−2 1
0 1
0
0
0
2
1
0 ,
0 −3 0
0 0 4
0 0
0 0
Matriz triangular inferior
Una matriz A de orden n con elementos del cuerpo F en la que todos los elementos que están arriba
de la diagonal principal son ceros (elemento neutro aditivo del cuerpo F), se llama matriz triangular
inferior. En símbolos
A = a ∈ F nxn es triangular inferior ⇔ aij = 0, si i < j .
ij
Ejemplos
−1
0
0
2/5
−4
3
0
0 ,
1/ 2
−2
0
0
i
0
0
0
0 ,
1 + 2i 0
0 0
0
−1 3 − i 4
0 0
0 0
Observaciones
• Todas las matrices diagonales son triangulares superior e inferior.
• La matriz unidad y la matriz nula de orden n, son matrices diagonales, por lo tanto tienen la
propiedad de ser triangular superior y triangular inferior.
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IGUALDAD DE MATRICES
Definición 3
Sean m y n dos números naturales cualesquiera (con m ≠ n ó m = n) y F un cuerpo. Dos
matrices A = a
ij
∈ F mxn y B = b ∈ F mxn son iguales si y sólo si sus elementos
ij
correspondientes son iguales. En símbolos
def
A = B ⇔ aij = bij ;
∀ i ∈ N ; 1 ≤ i ≤ m ∧ ∀j ∈ N ; 1 ≤ j ≤ n .
Ejemplos
En los siguientes ejemplos se puede observar que se satisface la Definición 3
0
0 ,5
a)
1
sen(0)
1
=
−1
1/ 2 cos(π )
sen x
1/ 2
1
=
x
2
0 cos (π/2)
lim x→0
b)
1
0 ,5
1
2
0
0
OPERACIONES CON MATRICES
I.
SUMA DE MATRICES
Definición 4
Sea m, n ∈ N con m ≠ n ó m = n y F un cuerpo. Sean A = a
matriz C = c
ij
ij
∈ F mxn y B = b
ij
∈ F mxn
. La
∈ F mxn , es igual a la suma A + B si y sólo si
cij = aij + bij ∈ F mxn ;
∀ i ∈ N ; 1 ≤ i ≤ m ∧ ∀j ∈ N ; 1 ≤ j ≤ n
Observaciones
• Dos matrices se pueden sumar (o están conformes para la suma) si los elementos de ambas
pertenecen al mismo cuerpo y si son del mismo tipo, o del mismo orden.
• Debido a la Definición 3, se dice que el conjunto F mxn “es cerrado para la suma de
matrices”
Ejemplos
a) Dadas las matrices
A=
1 2 5
3 4 6
B=
0 −1 2
3 4 1
∈ R 2 x3
La suma A + B es
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A+ B =
1 2 5
3 4 6
b) Dadas las matrices
A=
1 1/ 2
2 −5
B=
+
0 −1 2
3
4
1
3 −1/ 2
1
4
=
1 1 7
6 8 7
∈ R 2 x3
∈ R 2 x2
La suma A + B es:
A+ B =
1 1/ 2
3 − 1/ 2
4 0
+
=
∈ R 2 x2
2 −5
1
4
3 −1
Proposición 1
Sea m, n ∈ N con m ≠ n ó m = n y F un cuerpo. El conjunto Fmxn con la suma de matrices, es un
grupo conmutativo. Es decir:
i)
∀ A, B ∈ F mxn ; A + B ∈ F mxn
ii)
∀ A, B , C ∈ F mxn ; (A + B) + C = A + (B + C)
iv)
∃ 0 ∈ F mxn : ∀ A ∈ F mxn : A + 0 = 0 + A = A
∀A ∈ F mxn , ∃ − A ∈ F mxn / A + (− A) = (− A) + A = 0
v)
∀ A, B ∈ F mxn ; A + B = B + A
iii)
Observaciones
• El enunciado i) indica que la suma de matrices es una ley de composición interna en F mxn .
• El enunciado ii) indica que la suma de matrices es asociativa en F mxn .
• El elemento neutro 0 del enunciado iii) es la matriz nula de F mxn .
• En el enunciado iv) la matriz –A ∈ F mxn es la matriz opuesta de A y sus elementos son los
opuestos de los elementos de la matriz A. Es decir:
Si A = [aij], la matriz opuesta de A es –A = A = [-aij]
• El enunciado v. expresa que la suma de matrices es conmutativa en F mxn .
II.
PRODUCTO DE MATRICES
Definición 5
Sean m, p y n tres números naturales cualesquiera (no necesariamente distintos) y F un cuerpo.
mxp
pxn
∈F
Dadas las matrices A = a
y B = b ∈F
, el producto de A y B (que se
ij
ij
escribe AB), es una matriz C = c ∈ F mxn , cuyos elementos cij son los definidos por:
ij
cij = a b + a b + ... + a b , ∀ i ∈ N ; 1 ≤ i ≤ m ∧ ∀j ∈ N ; 1 ≤ j ≤ n
i1 1 j
i2 2 j
ip pj
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En forma abreviada se escribe:
cij =
p
k =1
a b
ik kj
Observaciones
• El producto de dos matrices está definido si y sólo si ambas matrices están conformes para el
producto, es decir, si los elementos de ambas pertenecen al mismo cuerpo y el número de
columnas de la primera matriz es igual al número de filas de la segunda.
• Con frecuencia se escriben productos de matrices sin indicar el tipo u orden de los factores, en
tal caso se entenderá que el producto está definido.
• En general, el producto de matrices no es conmutativo
Ejemplos
a)
Dadas las matrices
1 2
1
3x2
A= 3 4 ∈R , B =
0
−1 0
1 2
AB = 3 4
−1 0
1 2
=
0 −1
2
−1
∈ R2x2
1.1 + 2.0
1.2 + 2.(−1)
1 0
3.1 + 4.0
3.2 + 4.(−1) = 3 2 ∈ R3x2
(−1).1 + 0.0 (−1).2 + 0.(−1)
−1 −2
Observe que las matrices A y B no están conformes para el producto BA
b)
Dadas las matrices
A=
2 −1
3 2
, B=
∈ R2x2
0 −3
0 1
Es claro que ambas matrices están conformes para los productos AB y BA
AB =
6
3
∈ R2x2
0 −3
y BA =
6
0
−9
∈ R2x2
−3
Observe además que AB ≠ BA
Proposición 2
Si m, p, n son números naturales cualesquiera y F un cuerpo., entonces se verifican los siguientes
enunciados.
i)
Si A∈ F mxp , B∈ F pxr y C∈ F rxn , entonces (AB)C=A(BC)
ii) Si A∈ F mxp , B∈ F pxn y C ∈ F pxn , entonces A(B+C)=AB+AC
iii) Si A∈ F mxp , B∈ F mxp y C ∈ F pxn , entonces (A+B)C=AC+BC
iv) Si A ∈ F mxn , entonces
14
Álgebra II (LM-PM)- F.C.E. y T.-UNSE
a) AI
b) I
m
n
= A , donde In es la matriz unidad de orden n.
A = A , donde Im es la matriz unidad de orden m.
Proposición 3
Sea F un cuerpo. El conjunto Fnxn con el producto de matrices goza de las siguientes propiedades
i)
∀ A, B ∈ F nxn ; AB ∈ F nxn
ii)
∀ A , B , C ∈ F nxn ; (AB)C=A(BC)
iii) ∀ A , B , C ∈ F nxn ; A(B+C)=AB+AC
iv) ∀ A , B , C ∈ F nxn ; (A+B)C=AC+BC
v)
∀ A ∈ F nxn : I n A = AI n = A , donde In es la matriz unidad de orden n.
III.
PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UNA MATRIZ
Definición 6
Sea m, n ∈ N con m ≠ n ó m = n y F un cuerpo. Sea la matriz A = a
ij
∈ F mxn y el escalar
r ∈ F . El producto del escalar r por la matriz A es la matriz rA ∈ F mxn definida por:
rA = r a
def
ij
=
ra
ij
∈ F mxn
Ejemplo
1
Si A = 0
5
1
3
− 1 y r = 2, se tiene que rA = 2 0
5
7
3
−1 =
7
2
6
0
−2
10
14
Proposición 4
Sea m, n ∈ N, con m ≠ n ó m = n y F un cuerpo. Si r , s ∈ F y
verifica:
i)
A , B ∈ F mxn , entonces se
r(sA)= (rs)A
ii) r(A+B)= rA+rB
iii) (r+s)A= rA+sA
15
Álgebra II (LM-PM)- F.C.E. y T.-UNSE
Proposición 5
Sean m, p y n tres números naturales cualesquiera (no necesariamente distintos) y F un cuerpo. Si
pxn
mxp
y B∈F
, entonces A(rB) = (rA)B = r(AB)
r, s ∈ F , A∈ F
IV.
TRANSPOSICIÓN DE MATRICES
Definición 7
Sean m, n ∈ N con m ≠ n ó m = n y F un cuerpo. Sea la matriz A = a
transpuesta de A es la matriz At = b ∈ F nxm si y sólo si bij
ij
ij
∈ F mxn . La matriz
= aji, con 1 ≤ i ≤ m ∧ 1 ≤ j ≤ n.
Observación
Otra forma de expresar la matriz transpuesta de la matriz A es la siguiente
Si A = a
ij
∈ F mxn , entonces la transpuesta de A es la matriz At = a
∈ F nxm
ji
Ejemplos
1
a) Dada la matriz
A= 0
5
1
b) Dada la matriz A = 2
3
3
1
− 1 , la transpuesta de A es A t =
3
7
−2
−1
0
0
5
−1
7
4
1
t
3 , la transpuesta de A es A = − 2
2
4
.
2 3
−1 0 .
3 2
Nota
La transpuesta de una matriz A de tipo mxn (o de orden n) es la matriz At de tipo nxm (o de orden n) que
resulta de intercambiar las filas de la matriz A por columnas.
Proposición 6
Sea F un cuerpo.
i)
Si A ∈ F mxn , entonces (At)t=A
ii)
Si A ∈ F mxn y B ∈ F mxn , entonces (A + B)t = At + Bt
iii)
pxn
Si A ∈ F mxp y B ∈ F
, entonces (AB)t = BtAt
iv)
Si r ∈ F ∧ A ∈ F mxn , entonces (rA)t = rAt
16
Álgebra II (LM-PM)- F.C.E. y T.-UNSE
Matriz Simétrica
Sea F un cuerpo. Sea una matriz A = a
ij
∈ F nxn .
def
A= a
ij
es una matriz simétrica
Es decir que, una matriz A = a
⇔
a = a , ∀i, ∀j .
ij
ji
∈ F nxn es simétrica si y sólo si A = At
ij
Ejemplos
Las siguientes matrices son simétricas
2
1
5
1 −1 4 ,
5 4 3
i
2−i
2−i
0
,
1
−1
3
5
−1
0
6
7
3
6
−2
0
5
7
0
0
Matriz Antisimétrica
Sea F un cuerpo. Sea una matriz A = a
A= a
ij
∈ F nxn .
def
ij
es una matriz antisimétrica
Es decir que, una matriz A = a
ij
⇔ aij = − a ji , ∀i, ∀j .
∈ F nxn es antisimétrica si y sólo si A = − At
Observación
Es fácil mostrar que los elementos de la diagonal principal de una matriz antisimétrica son todos
nulos. En efecto,
∀ i = 1, 2, …, n; aii = – aii
∀ i = 1, 2, …, n; 2aii = 0
∀ i = 1, 2, …, n; aii = 0
Ejemplos
Las siguientes matrices son antisimétricas
−1 5
0 −4 ,
−5 4
0
0
1
0
−2+i
2−i
0
17
Álgebra II (LM-PM)- F.C.E. y T.-UNSE
V.
CONJUGACIÓN DE MATRICES
Definición 8
Sean m, n ∈ N con m ≠ n ó m = n. Sea la matriz A = a
ij
∈ C mxn con elementos en el cuerpo de
los números complejos. La matriz conjugada de A es la matriz A = b ∈ C mxn si y sólo si
ij
bij = aij , con 1 ≤ i ≤ m ∧ 1 ≤ j ≤ n.
Observación
Otra forma de expresar la matriz conjugada de la matriz A es la siguiente
Si A = a
ij
∈ C m xn , entonces la conjugada de A es la matriz A = a ij ∈ C m xn
Ejemplos
a) Dada la matriz A =
2
1+ i
b) Dada la matriz A =
1 + 2i
0
i
3i
0
, la conjugada de A es
1
A=
2
1− i
1 − 2i
3i
, la conjugada de A es A =
0
2−i
−i 0 .
− 3i 1
− 3i
.
2+i
Proposición 7
i)
Si A ∈ C m xn , entonces A = A
ii)
Si A ∈ C m x n y B ∈ C m xn , entonces A + B = A + B
iii)
Si A ∈ C m x p y B ∈ C
iii)
Si r ∈ C ∧ A ∈ C m xn , entonces ( rA) = r A
iv)
Si A ∈ C m xn , entonces At = A
pxn
, entonces AB = A B
( )
t
Matriz Hermitiana
Sea una matriz A = a
A= a
ij
∈ C nxn .
def
ij
es una matriz hermitiana
Es decir que, una matriz A = a
ij
⇔ aij = a ji , ∀i, ∀j .
∈ C nxn es hermitiana si y sólo si A = At
18
Álgebra II (LM-PM)- F.C.E. y T.-UNSE
Ejemplos
Las siguientes matrices son hermitianas
1
1 − 2i
1 + 2i
0
1
,
i
2−i
−i
−2
−3 + 4i
2 + i −3 − 4i
3
Observación
Es fácil mostrar que los elementos de la diagonal principal de una matriz hermitiana son números
reales. En efecto,
∀ i = 1, 2, …, n; aii ∈ R
∀ i = 1, 2, …, n; aii = aii
VI.
INVERSA DE UNA MATRIZ
Definición 8
Sea F un cuerpo. Sea una matriz A ∈ F nxn . La matriz A es inversible sí y sólo si existe una matriz
B ∈ F nxn tal que AB = BA = I . En símbolos,
n
A ∈ F nxn es inversible ⇔ ∃ B ∈ F nxn : AB = BA = I
Proposición 8
n
Sea F un cuerpo. Si A ∈ F nxn es inversible, entonces la matriz A admite una única inversa.
Demostración
Como A es inversible por hipótesis, existe una matriz B ∈ F nxn tal que AB = BA = I
n
Supongamos que A tiene también otra matriz inversa es decir, existe una matriz C ∈ F nxn tal que
AC = CA = I
n
Probaremos que B = C. En efecto
B = BI
(1)
n
= B ( AC ) = ( BA ) C = I C = C
n (5 )
(3)
(4)
(2)
Luego B=C.
Por lo tanto si A es inversible, entonces admite una única inversa.
Referencias:
(1) In es la matriz unidad (elemento neutro multiplicativo en el producto de matrices).
(2) Por hipótesis AC= In.
(3) Por asociatividad del producto de matrices.
(4) Por hipótesis BA= In.
(5) In es la unidad para el producto de matrices.
Notación
Q.E.D.
Si F es un cuerpo y si A ∈ F nxn es inversible, representaremos a su única inversa con A-1.
19
Álgebra II (LM-PM)- F.C.E. y T.-UNSE
Ejemplo
Dada A =
2
1
−2
5
, la inversa de A es A − 1 =
−1
5
12
1
12
1
6
6
Observación
No toda matriz es inversible, como ocurre con la matriz
1
−1
−1
1
Proposición 9
Si F es un cuerpo y si A , B ∈ F nxn son matrices inversibles, entonces ( AB ) − 1 = B − 1 A − 1
Demostración
( AB )( B − 1 A − 1 ) = A( BB − 1 ) A − 1 = AI A − 1 = ( AI ) A − 1 = AA − 1 = I
n
n
n
( B − 1 A − 1 )( AB ) = B − 1 ( A − 1 A) B = B − 1 I B = ( B − 1 I ) B = B − 1 B = I
n
n
n
Luego la inversa de AB es B − 1 A − 1
Q.E.D.
Matriz Idempotente
Sea F un cuerpo. Sea una matriz A = a
A= a
ij
ij
∈ F nxn .
∈ F nxn es una matriz idempotente si y sólo si es igual a su cuadrado. Es decir:
A ∈ F nxn es idempotente
def
⇔ A2 = A
Ejemplos:
Las siguientes matrices son idempotentes
1
2
1
2
1
2 ,
1
2
2
3
2
3
1
3 ,
1
3
2 −1 1
−3 4 −3 ,
1 0 0
0 1 0
−5
0 0 1
5
−4
Matriz Involutiva
Sea F un cuerpo. Sea una matriz A = a
ij
∈ F nxn .
20
Álgebra II (LM-PM)- F.C.E. y T.-UNSE
A= a
ij
n. Es decir:
∈ F nxn es una matriz involutiva si y sólo si su cuadrado es la matriz unidad de orden
A ∈F
def
nxn
es involutiva
⇔ A2 = In
Ejemplos:
Las siguientes matrices son involutivas
0
1
0
0
−1
,
−1
1
4 −3
3 −3
4
4
Nota
Obsérvese que toda matriz involutiva A ∈ F
A-1 = A
nxn
es inversible y su inversa es ella misma, esto es:
Matriz Ortogonal
Sea F un cuerpo. Sea una matriz A = a
A= a
ij
ij
∈ F nxn inversible.
∈ F nxn es una matriz ortogonal si y sólo si su inversa es igual a su transpuesta. Es
decir:
A ∈ F nxn es ortogonal
def
⇔ A-1 = At
O dicho de otra manera:
A ∈ F nxn es ortogonal
⇔ A At = AtA = In
Ejemplos:
Las siguientes matrices son ortogonales
1
0
0
1
,
co s α
− senα
senα
co s α
,
cos α
− senα
0
senα
0
cos α
0
0
1
21