3. NOTA: ambas integrales se pueden calcular integrando por

3. NOTA: ambas integrales se pueden calcular integrando por partes; sus valores son
Z 1
Z 1
Z 1
|x|
x
(c(x) + c(−x)) e|x| dx = 1.4891
c(x) e dx =
c(x) e dx = 0.4863 ,
−1
−1
0
donde abreviamos c(x) = cos(x + 1) y más abajo, s(x) = sen(x + 1) .
Por otra parte, observando la gráfica (aproximada) de f (x) = c(x) ex en I = [−1, 1] , derivando y
estudiando los signos de las derivadas en ese intervalo, se llega a las conclusiones siguientes:
f = c ex ,
f 0 = (c − s) ex ,
f 00 = −2s ex < 0 ,
f 000 = −2(s + c) ex < 0 ,
f 4) = −4f
maxI |f 00 | = |f 00 (2)| = 4.94 , max[−1,0] |f 00 | = |f 00 (0)| = 1.68 , maxI |f 4) | = 4 max|f | = 4.52 .
• 3.1. Los errores de ambas Reglas son
f 00 (ξ) h3 /12 , f 4) (ξ) h5 /90 .
(la segunda, en un intervalo de longitud 2h , luego en nuestro caso h = 1 en ambas fórmulas).
Las cotas de las derivadas dan (en valor absoluto):
ET rap < 0.55 , ESimp < 0.050 .
• 3.2. Para integrar exactamente lasR funciones: 1, x, x2 , x3 , los dos pesos w deben ser:
- iguales para dar exactamente
la I x dx = 0 , y en consecuencia la de todo monomio impar;
R
- e iguales a 1, para dar I 1 dxR= 2 ,
- luego debe ser 2wa2 = 2a2 = I x2 dx = 2/3 , de donde a2 = 1/3 .
El resultado es la Regla Gaussiana con 2 nodos.
• 3.3. La fórmula de error para esa Regla dependerá de la derivada 4a., y puede deducirse de lo que
hace al aproximar la integral de x4 :
R 4
x dx − 2a4 = 2/5 − 2/9 = 8/45 = Cf 4) (ξ) = C · 4! , luego C = 8/(45 · 4!) = 1/135 .
I
Hemos dejado el factor h5 incluido en la constante C para comparar con Simpson en este intervalo
I , sin complicarnos con “quién debe llamarse h” en cada caso; la conclusión es que hay un factor
2/3 de ventaja sobre aquel método: 135 = 1.5 · 90 .
• 3.4. En tal caso, el integrando pierde todas sus derivadas en 0, y todas nuestras cotas dejan de
tener valor salvo la del Trapecio, que vamos a aplicar en cada mitad por separado.
En el medio intervalo izquierdo, f 00 sólo cambia de signo al cambiar el del exponente de e , luego
las cotas de antes se mantienen, con una pequeña “ventaja”: esta vez los dos errores del Trapecio
se restan, de forma que la cota de error es el máximo de sus dos “sumandos”: ET rap < 0.41 .
• 3.5. Como I(f ) = w f (a) debe ser exacta para f = 1, f = x , se debe tener
R1
I(1) = w = 0 1 ex dx = e − 1
R1
, luego w = e − 1 = 1/a , a = 0.5820
I(x) = wa = 0 x ex dx = 1
I(c(x)) + I(c(−x)) = w(cos(1 + a) + cos(1 − a)) = 1.5511 .
R1
Para hallar la constante C en la fórmula de error I(f ) − 0 f (x) ex dx = Cf 00 (ξ) , podemos aplicarla
a la función f = x2 − x , que da un cálculo más cómodo que x2 :
I(f ) = w(a2 − a) = a − 1
R
R1
, luego Cf 00 (ξ) = 2C = a − 1 − (e − 3) = −0.1363 .
1
x
x
f
(x)
e
dx
=
−
(2x
−
1)
e
dx
=
e
−
3
0
0
y la integral pedida se aproxima como
Usando esta C y las cotas de |f 00 |, que para f (x) = c(±x) son cos(0), cos(1) , se deduce EI < 0.10 .
Nótese cómo haber sacado ex del integrando reduce las cotas de |f 00 | .
VALORES OBTENIDOS CON CADA Regla:
T rap Simp
cos(x + 1) e dx = 0.4863 0.16 0.466
R 1−1
cos(x + 1) e|x| dx = 1.4891 1.33 1.25
−1
R1
x
1
Gauss I
0.500
1.61
1.551
4.
• 4.1.
Operando con Gram-Schmidt resulta:

 


0 −1 0
0 −1 0
2 3 1
0 1 
1 0  := QR
A= 0 0 1 = 0
2 3 1
1
0 0
1
Salvo por el signo de la columna 2, Q es la matriz de una permutación: la que coloca las filas de R
en el orden en que las vemos en A .
Es decir, si hacemos LU con pivotaje sobre A , la permutación hecha con las filas será P = abs(QT ),
y resultará:
L = matriz unidad, U = R salvo el signo de la fila 2.
• 4.2.
Cuando las Q, R que produce ese algoritmo, y que en aritmética exacta cumplirı́an QR = A,
cumplan, para toda A ,
QR = A + δA
, con kδAk < O(εM )kAk
(para una norma cualquiera kAk).
• 4.3.
Como QT Q = I ,
Au = λu ⇒ Ru = λQT u ⇒ RQv = λv , con v = QT u .
Lo único que se usa es que Q tiene inversa; pero el que sea ortogonal es clave para la estabilidad:
para que al pasar de A = QR a B = RQ , que es lo que el algoritmo QR va repitiendo, se conserven
de hecho los λ , pese a los errores de redondeo.
• 4.4.
Basta una simetrı́a de Householder, que actúe sobre las filas 2:3, para hacer =0 la entrada 3,1. Esa
simetrı́a, que hay que aplicar luego a las columnas para conservar los autovalores, es
s(x2 , x3 ) = (x3 , x2 ) ,


0 0 −1
luego el resultado es la matriz de Hessenberg  2 1 3 
1 0
• 4.5.
Como la matriz A − λ̃I es regular, sólo obtendremos x = 0 como solución de (A − λ̃I)x = 0 .
Pero si v = u + w , donde Au = λu y w es suma de otros autovectores de A , la función (A − λ̃I)−1
multiplicará u por el (enorme) factor 1/(λ− λ̃), y los sumandos de w por factores menores 1/(µ− λ̃);
luego la solución de
(A − λ̃I)x = v
será casi paralela a u , salvo el caso muy improbable de que v , escogido al azar, tenga su componente
u = 0 , o casi.
2
5.
• 5.1.
Las incógnitas serán los coeficientes aj de la parábola
y = a0 + a1 x + a2 x2 := f (x) , y querrı́amos que cumpliesen las 4 ecuaciones f (xi ) = yi .
• 5.2.
En ese caso la matriz del SEL es

1 −2
 1 0
A=
 1 2
1 4
 



4
1 −3
4
1 1 6



0   1 −1 −4  
1 2 
=
4   1
1 −4 
1
16
1
3
4
√
que es el producto QR si pasamos al factor derecho las normas = 2, 2 5, 8 de las columnas del
izquierdo.
• 5.3.
Llamando b = (−2, 0, 0, 18)T = πA (b) + c , donde c es ortogonal. a la Im(A) = Im(Q) , se tiene
QT c = 0 , luego QT b = QT (Ax) = Rx para algún x ∈ IR3 . Basta por lo tanto resolver el SEL


8√
Rx = QT b =  30/ 5  que equivale a
8
1
1 6
1 2
1
4
3
1
, y da:
a0 = −3, a1 = 1, a2 = 1, ,
y = −3 + x + x2 .
• 5.4.
Los factores (reducidos) de la SVD de A serán, por el orden en el que actúan:
V T : IR3 → IR3 , que lleva los vectores singulares vj sobre los vectores unidad ej ,
Σ : IR3 → IR3 (diagonal), que multiplica los ej por los valores singulares σj ,
U : IR3 → IR4 , que aplica cada ej sobre el vector singular uj .
• 5.5.
QR = U ΣV T ⇒ R = (QT U )ΣV T ,
y ésta es la SVD de R: los vectores vj y valores σj son iguales, y Q envı́a los vectores singulares uj
de R sobre los de A .
Por lo tanto, podemos operar con R , buscando los autovalores y autovectores de RT R , para ası́
tener los vj y deducir lo demás.
Problema: hay que hallar las raı́ces de un polinomio de grado 3; y si κ(R) fuese grande, lo peor de
este cálculo serı́a que el de RT R es κ(R)2 .
3