Unidad 3 Función Logaritmo y Exponencial 3.1 Logaritmo a través de la integral y propiedades Función Logaritmo Denición 1. Denimos la función Logaritmo Natural ln Z x 1 dt, t ln x = 1 x : (0, +∞) → R x>0 Observaciones: (a) ln 1 = 0 Demostración. Tenemos que Z ln 1 = 1 1 1 dt = 0 t (b) ln x < 0 si 0 < x < 1; Facultad de Ciencias UNAM Cálculo Diferencial e Integral II Prof. Esteban Rubén Hurtado Cruz 1 Unidad 3 Función Logaritmo y Exponencial 3.1 Logaritmo a través de la integral y propiedades Demostración. Tenemos que Z 1 ln x = x 1 dt = − t x Z 1 dt = − ln x < 0 t 1 (c) ln x es continua y estrictamente creciente en (0, +∞) Demostración. Tenemos que x Z 1 dt es continua t F (x) = 1 Ahora bien para 0 < x < 1 ln x es continua pues x Z F (x) continua ⇒ − F (x) es continua ⇒ − ln(x) = − 1 1 dt = t Z 1 dt = t Z 1 x 1 dt es contiua t si x > 1 entonces log(x) > 0 y si x1 < x2 entonces x2 Z ln(x2 ) − ln(x1 ) = 1 1 dt − t x1 Z 1 Z 1 dt = t 1 x2 1 dt + t Z 1 x1 x2 x1 1 dt > 0 t por lo tanto ln(x2 ) − ln(x1 ) > 0 ⇒ ln(x2 ) > log(x1 ) y la función es monotona Si 0 < x1 < x2 < 1 entonces Z 1 F (x1 ) = x1 1 dt < t Z 1 x2 1 dt = F (x2 ) t por tanto F es monotona en (0, 1) (d) ln x es diferenciable en (0, +∞) y d (ln x) d = dx dx Z 1 x 1 1 dt = t x Demostración. Para Calcular F' vamos a proceder por áreas Facultad de Ciencias UNAM Cálculo Diferencial e Integral II Prof. Esteban Rubén Hurtado Cruz 2 Unidad 3 Función Logaritmo y Exponencial 3.1 Logaritmo a través de la integral y propiedades h Por tanto h 1 1 ≤ F (x + h) − F (x) ≤ h x+h x 1 1 ≤ Log(x + h) − Log(x) ≤ h x+h x Dividiendo entre h y tomando limite lı́m h→0 Log(x + h) − Log(x) 1 1 ≤ lı́m ≤ lı́m h→0 h→0 x+h h x tenemos 1 Log(x + h) − Log(x) 1 ≤ lı́m ≤ x h→0 h x nalmmente Log(x + h) − Log(x) 1 = h→0 h x El cual es mayor a cero si x > 0 por tanto la función es derivable y por tanto continua al ser monotona (Log(x))0 = lı́m existe entonces su inversa. Teorema 1. Leyes de los Logaritmos ∀ x, y ∈ (0, +∞), y ∀ n ∈ N a) ln(xy) = ln(x) + ln(y) x = ln(x) − ln(y) y n c) ln (x )= n ln(x) 1 d) ln = − ln(x) x e) ln (xr ) = r ln(x) ∀ x ∈ Q √ 1 f) ln n x = ln(x) n b) ln Demostración. Para el inciso (a) se tiene x, y > 0 d (ln xy) d = dx dx por otro lado xy Z 1 1 1 d (xy) 1 1 dt = = (y) = t xy dx xy x d d (ln x) = dx dx Z x 1 1 1 dt = t x por lo que ln x y ln xy tienen la misma derivada de manera que ∀ x, y > 0, ln xy = ln x + c Sea x = 1 entonces x = 1 ⇒ ln y = ln 1 + c ⇒ ln y = c ⇒ ln xy = ln x + ln y Para el inciso (b) se tiene x, y > 0 d ln x y dx Facultad de Ciencias UNAM Cálculo Diferencial e Integral II d = dx Z 1 x y ! 1 dt t = 1d x y x y dx y = x 1 1 = y x Prof. Esteban Rubén Hurtado Cruz 3 Unidad 3 Función Logaritmo y Exponencial 3.1 Logaritmo a través de la integral y propiedades por otro lado por lo que ln d (ln x) d = dx dx x y Z x 1 1 1 dt = t x y ln x tienen la misma derivada de manera que x = ln x + c y ∀ x, y > 0, ln x y Sea x = y entonces x= xy x xy x x ⇒ ln = ln + c ⇒ ln = ln + ln y + c ⇒ 0 = ln y + c ⇒ − ln y = c y y y y y por lo tanto ∀ x, y > 0, ln x x = ln x + c ⇒ ∀ x, y > 0, ln = ln x − ln y y y Para el inciso (c) se tiene x > 0 y ∀ n ∈ N d (ln xn ) d = dx dx por otro lado xn Z 1 ! 1 d (xn ) 1 n 1 dt = n = n (nxn−1 ) = t x dx x x d (n ln x) d = dx dx x Z n 1 1 1 n dt = n = t x x por lo que ln x y n ln x tienen la misma derivada de manera que n ∀ x > 0, ∀ n ∈ N ln xn = n ln x + c Sea x = 1 entonces x = 1 ⇒ ln 1n = n ln 1 + c ⇒ 0 = c por lo tanto ∀ x > 0, ∀ n ∈ N ln xn = n ln x Para el inciso (d) se tiene x > 0 d ln dx 1 x por otro lado por lo que ln d = dx Z 1 x 1 ! 1 1 d x1 x −1 1 =− dt = 1 = 2 t dx 1 x x x d d (ln x) = dx dx 1 x Z 1 x 1 1 dt = t x y ln x tienen la misma derivada de signo contrario de manera que ∀ x > 0, Facultad de Ciencias UNAM Cálculo Diferencial e Integral II − ln 1 = ln x + c x Prof. Esteban Rubén Hurtado Cruz 4 Unidad 3 Función Logaritmo y Exponencial 3.1 Logaritmo a través de la integral y propiedades x=1 ⇒ c=0 por lo tanto ∀ x > 0, ln 1 = − ln x x Se probara solo e). Sea r jo en Q por la regla de la cadena r Z xr log(x ) = 1 Z 1 0 dt ⇒ (log(xr )) = t por otro lado xr 1 0 (r log(x)) = !0 1 r 1 dt = r rxr−1 = t x x r x por lo tanto log(xr ) y log(xr ) ambas funciones tienen la misma derivada y en consecuencia ambas funciones dieren en una constante, esto es: log(xr ) = r log(x) + C si tomamos x = 1 se tiene log(1) = r log(1) + C por tanto C = 0 es decir log(xr ) = r log(x) Para el inciso (f) se tiene x > 0 y ∀ n ∈ N Z x n1 1 1 1 d 1 d (x n ) 1 1 d (ln x ) 1 = dt = 1 = 1 (x n −1 ) = dx dx t dx n nx n n x x 1 1 n por otro lado 1 n Z ln x d 1 x1 11 1 = dt = = dx dx n 1 t nx nx d por lo que ln x n y 1 1 n ln x tienen la misma derivada de manera que 1 ∀ x > 0, ∀ n ∈ N ln x n = Sea x = 1 entonces 1 x = 1 ⇒ ln 1 n = 1 ln x + c n 1 ln 1 + c ⇒ 0 = c n por lo tanto 1 ∀ x > 0, ∀ n ∈ N ln x n = Facultad de Ciencias UNAM Cálculo Diferencial e Integral II 1 ln x n Prof. Esteban Rubén Hurtado Cruz 5 Unidad 3 Función Logaritmo y Exponencial 3.1 Logaritmo a través de la integral y propiedades Teorema 2. Dado b > 0 existe un único a > 0 tal que ln(a) = b Demostración. Sabemos por la propiedad arquimediana que ∃ n ∈ N tal que n ln 2 > b ⇒ n ln 2 > b ⇒ ln 2n > b consideramos ahora el intervalo [1, 2n ] y tenemos que ln 1 = 0 < b y ln 2n > b por lo que ln 0 < b < ln 2n y como ln x es continua entonces por el teorema del valor intermedio existe a > 0 tal que ln a = b Facultad de Ciencias UNAM Cálculo Diferencial e Integral II Prof. Esteban Rubén Hurtado Cruz 6