Introducción a la simulación y a la teoría de colas - RUC
Anuncio
Introducción a la Simulación y a la Teoría de Colas Introducción a la Simulación y a la Teoría de Colas Ricardo Cao Abad Área de Estadística e Investigación Operativa Departamento de Matemáticas, Facultad de Informática Universidade da Coruña Ficha de catalogación bibliográfica Introducción a la simulación y a la teoría de colas • 1º Edición Ricardo Cao Abad NETBIBLO, S.L., A Coruña, 2002 ISBN: 84-9745-017-5 Materia: Matemáticas computacionales: 519.6 Formato: 17 x 24 • Páginas: 224 INTRODUCCIÓN A LA SIMULACIÓN Y A LA TEORÍA DE COLAS No está permitida la reproducción total o parcial de este libro, ni su tratamiento informático, ni la transmisión de ninguna forma o por cualquier medio, ya sea electrónico, mecánico, por fotocopia, por registro u otros métodos, sin el permiso previo y por escrito de los titulares del Copyright. DERECHOS RESERVADOS © 2002, respecto a la primera edición en español, por NETBIBLO, S.L. Avda. Manuel Azaña, 56, 3º A 15011 A Coruña (España) http://www.netbiblo.com [email protected] ISBN: 84-9745-017-5 Deposito Legal: C-1867-2002 Editor: Carlos Iglesias Diseño: Artia>DLF · Jose DelaFuente Compuesto en: Centerprint, S.L. · Eduardo Bóveda Impreso en: Josman Press IMPRESO EN ESPAÑA - PRINTED IN SPAIN. AUTOR Catedrático de Universidad del área de Estadística e Investigación Operativa en el Departamento de Matemáticas de la Universidade da Coruña (UDC). En los últimos años ha impartido diversas asignaturas de Simulación y Teoría de Colas en las distintas titulaciones de la Facultad de Informática de la UDC. Doctor en Matemáticas por la Universidad de Santiago de Compostela, Ricardo Cao es autor de otros seis libros y más de una treintena de artículos de investigación en revistas de prestigio internacional como The Annals of Statistics, Journal of the American Statistical Association, Technometrics, Scandinavian Journal of Statistics, Journal of Econometrics, Test, Canadian Journal of Statistics, Computational Statistics and Data Analysis y Journal of Statistical Planning and Inference, entre muchas otras. Ha sido vocal del Consejo Académico de Estadística de la Sociedad de Estadística e Investigación Operativa (SEIO), es miembro fundador de la Sociedade Galega para a Promoción da Estatística e da Investigación de Operacións (SGAPEIO) y miembro de la Sociedad Bernoulli y de la Sociedad Española de Biometría. Asimismo es Editor Asociado de la revista Test desde 1996. Para más información: http://www.udc.es/dep/mate/ricardo/homepage.htm Ðqglfh Jhqhudo L Vlpxodflöq Hvwrfävwlfd 4 Lqwurgxfflöq d od vlpxodflöq 414 Frqfhswrv eävlfrv 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 415 H{shulphqwdflöq uhdo | vlpxodflöq 1 1 1 1 1 416 Vlpxodflöq qhfhvduld h lqqhfhvduld 1 1 1 1 1 417 Yhqwdmdv h lqfrqyhqlhqwhv gh od vlpxodflöq 418 Frqwhqlgrv gh od sduwh gh Vlpxodflöq 1 1 1 :11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 <13 1 <15 1 <15 1 4316 1 4417 1 4518 5 Jhqhudflöq gh qýphurv svhxgrdohdwrulrv xqliruphv hq +3/4, 514 Lqwurgxfflöq 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 51414 Surslhgdghv ghvhdeohv gh xq jhqhudgru gh qýphurv svhx0 grdohdwrulrv 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 515 Pìwrgr gh orv fxdgudgrv phglrv 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 516 Pìwrgr gh Ohkphu 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 517 Pìwrgrv frqjuxhqfldohv 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 51714 Jhqhudgruhv frqjuxhqfldohv gh flfor pä{lpr 1 1 1 1 1 1 1 51715 Jhqhudgruhv frqjuxhqfldohv gh dojxqrv ohqjxdmhv | el0 eolrwhfdv gh uxwlqdv 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 518 Phglgdv hvwdgðvwlfdv gh od fdolgdg gh xq jhqhudgru gh qýphurv dohdwrulrv 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 51814 Ho frqwudvwh fkl0fxdgudgr 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 51815 Ho frqwudvwh gh Nroprjrur0Vpluqr 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 51816 Ho frqwudvwh gho frohfflrqlvwd 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 51817 Frqwudvwhv gh vdowr 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 51818 Ho frqwudvwh gh shupxwdflrqhv 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 51819 Ho frqwudvwh gho srnhu 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 5181: Ho frqwudvwh gh odv udfkdv dvfhqghqwhv 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 5181; Ho frqwudvwh gh sduhv vhuldgrv 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 5181< Ho frqwudvwh gh Omxqj0Er{ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 518143 Fkl0fxdgudgr vreuh fkl0fxdgudgr 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 519 Hmhuflflrv sursxhvwrv 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 4619 4621 4621 4722 4822 4823 4:24 4:25 4<26 4<27 4<27 5328 5429 5429 5529 5631 5631 5631 5731 5732 6 Pìwrgrv xqlyhuvdohv sdud od vlpxodflöq gh yduldeohv frqwlqxdv 5:33 614 Ho pìwrgr gh lqyhuvlöq 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 5:35 61414 Yhqwdmdv h lqfrqyhqlhqwhv gho pìwrgr gh lqyhuvlöq 1 1 1 1 5<37 61415 Dojxqdv glvwulexflrqhv txh sxhghq vlpxoduvh sru ho pìwr0 gr gh lqyhuvlöq 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 61416 Lqyhuvlöq dsur{lpdgd 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 615 Ho pìwrgr gh dfhswdflöq uhfkd}r 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 61514 Hflhqfld gho dojrulwpr 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 61515 Hohfflöq gh S 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 61516 Hohfflöq gh od ghqvlgdg dx{loldu } 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 616 Hmhuflflrv sursxhvwrv 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 5<37 6338 6439 6641 6641 6944 6;46 7 Pìwrgrv xqlyhuvdohv sdud od vlpxodflöq gh yduldeohv glvfuhwdv 714 Ho pìwrgr gh od wudqvirupdflöq fxdqwlo 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 71414 Hflhqfld gho dojrulwpr 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 71415 Fäofxor gluhfwr gh od ixqflöq fxdqwlo 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 715 Dojrulwprv edvdgrv hq äuerohv elqdulrv1 Äuerohv gh Kxpdq1 1 1 716 Ho pìwrgr gh od wdeod jxðd 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 717 Pìwrgrv gh wuxqfdplhqwr 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 718 Hmhuflflrv sursxhvwrv 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 7449 7451 7754 7:56 7;58 8663 8865 8:67 8 Pìwrgrv hvshfðfrv sdud od vlpxodflöq gh glvwulexflrqhv qrwd0 eohv 814 Glvwulexflrqhv frqwlqxdv 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 81414 Od glvwulexflöq qrupdo 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 81415 Od glvwulexflöq gh Fdxfk| 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 81416 Od glvwulexflöq h{srqhqfldo 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 81417 Odv glvwulexflrqhv Jdppd | Huodqj 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 81418 Od glvwulexflöq ehwd 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 81419 Od glvwulexflöq fkl0fxdgudgr gh Shduvrq 1 1 1 1 1 1 1 1 1 8141: Od glvwulexflöq 8 gh Ilvkhu0Vqhghfru 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 8141; Od glvwulexflöq | gh Vwxghqw 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 8141< Od glvwulexflöq gh Zhlexoo 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 814143 Od glvwulexflöq orjðvwlfd 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 814144 Od glvwulexflöq gh Sduhwr 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 815 Glvwulexflrqhv glvfuhwdv 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 81514 Od glvwulexflöq xqliruph glvfuhwd 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 81515 Od glvwulexflöq elqrpldo 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 81516 Od glvwulexflöq gh Srlvvrq 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 81517 Od glvwulexflöq jhrpìwulfd 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 81518 Od glvwulexflöq elqrpldo qhjdwlyd 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 816 Hmhuflflrv sursxhvwrv 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 8<69 8<71 8<71 9372 9473 9473 9675 9877 9877 9978 9978 9:79 9:79 9:79 9:79 9;80 9;80 9<81 :382 :382 9 Vlpxodflöq gh glvwulexflrqhv pxowlglphqvlrqdohv :685 914 Pìwrgr gh odv glvwulexflrqhv frqglflrqdgdv 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 :687 915 Ho pìwrgr gh dfhswdflöq2uhfkd}r 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 :990 916 Pìwrgrv gh frglfdflöq r hwltxhwdgr 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ::91 917 Pìwrgrv hvshfðfrv sdud vlpxodu od glvwulexflöq qrupdo pxowl0 yduldqwh 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ;3 94 918 Hmhuflflrv sursxhvwrv 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ;6 97 : Glvhôr gh h{shulphqwrv gh vlpxodflöq :14 Glihuhqfldv | vlplolwxghv frq od h{shulphqwdflöq uhdo :15 Vlpxodflöq hvwäwlfd | glqäplfd 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 :16 Vlpxodflöq sru hyhqwrv | sru fxdqwrv 1 1 1 1 1 1 1 1 1 :17 Wìfqlfdv gh uhgxfflöq gh od yduldq}d 1 1 1 1 1 1 1 1 1 :1714 Qýphurv dohdwrulrv frpxqhv 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 :1715 Yduldeohv dqwlwìwlfdv 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 :1716 Hvwudwlfdflöq 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 :18 Sureohpdv gh hvwdelol}dflöq | ghshqghqfld 1 1 1 1 1 1 :19 Hmhuflflrv sursxhvwrv 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 LL 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Whruðd gh Frodv ;8 99 ;8 101 ;9 102 ;9 102 ;: 103 ;: 103 ;; 104 104 ;; 105 <3 106 <4 109 <6 ; Lqwurgxfflöq d od Whruðd gh Frodv <8 111 ;14 Uhvhôd klvwöulfd 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 113 <8 ;15 Frqwhqlgrv gh od sduwh gh Whruðd gh Frodv 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 114 <9 < Qrflrqhv eävlfdv vreuh surfhvrv hvwrfävwlfrv <14 Qrflöq gh surfhvr hvwrfävwlfr 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 <15 Fdudfwhuðvwlfdv | surslhgdghv txh sxhgh yhulfdu xq surfhvr hv0 wrfävwlfr 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 <16 Surfhvrv gh frqwdu= ho surfhvr gh Srlvvrq 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 <17 Surfhvrv gh qdflplhqwr | pxhuwh 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 <: 115 <: 117 118 <; 119 << 122 435 43 Frqfhswrv jhqhudohv gh od Whruðd gh Frodv 43: 127 129 4314 Ghvfulsflöq gho vlvwhpd gh xqd frod 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 43: 131 4315 Whuplqrorjðd | qrwdflöq 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 43< 133 4316 Iöupxodv gh Olwwoh 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 444 4317 Dojxqdv surslhgdghv lpsruwdqwhv gh odv glvwulexflrqhv h{srqhq0 134 fldo | jdppd 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 445 137 4318 Hmhuflflrv sursxhvwrv 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 449 44 Prghorv frq wdvdv gh oohjdgd | vhuylflr gh 4414 Ho prghor **Q 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 4415 Ho prghor **r 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 4416 Ho prghor **Q*g 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 4417 Ho prghor **r*g 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 4418 Ho prghor **Q*"*M 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 4419 Ho prghor **r*"*M 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 441: Ho prghor **r*"*M frq uhsxhvwrv 1 1 441; Ho prghor **" 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 wlsr 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Srlvvrq 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 44: 139 44: 141 456 147 45: 152 466 158 46; 163 473 165 477 168 479 171 441< Hmhuflflrv sursxhvwrv 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 47: 172 45 Uhghv gh frodv 4514 Lqwurgxfflöq d odv uhghv gh frodv 1 4515 Uhghv gh Mdfnvrq delhuwdv 1 1 1 1 4516 Uhghv gh Mdfnvrq fhuudgdv 1 1 1 1 4517 Rwurv prghorv gh frodv hq uhg 1 1 451714 Frodv hq vhulh 1 1 1 1 1 1 1 451715 Uhg gh frodv fðfolfd 1 1 1 1 451716 Frodv hq vhulh frq eortxhr 4518 Hmhuflflrv sursxhvwrv 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 488 179 488 181 489 182 493 186 499 192 499 192 49: 193 49; 194 4:4 197 46 Frodv frq glvwulexflrqhv duelwuduldv gh oohjdgd | vhuylflr 4:: 203 205 4614 Ho prghor P2J24 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 4:: 211 4615 Dsur{lpdflöq phgldqwh vlpxodflöq 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 4;6 214 4616 Hmhuflflrv sursxhvwrv 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 4;9 47 Eleolrjudiðd 4;< 217 PARTE I SIMULACIÓN ESTOCÁSTICA 1 Introducción a la simulación Introducción a la simulación 41 0 414 Frqfhswrv eävlfrv Od vlpxodflöq hv od wìfqlfd txh frqvlvwh hq uhdol}du h{shulphqwrv gh pxhvwuhr vreuh ho prghor gh xq vlvwhpd1 Xq prghor qr hv päv txh xq frqmxqwr gh yduld0 eohv mxqwr frq hfxdflrqhv pdwhpäwlfdv txh odv uhodflrqdq | uhvwulfflrqhv vreuh glfkdv yduldeohv1 Od prghol}dflöq hv xqd hwdsd suhvhqwh hq od pd|ru sduwh gh orv wudedmrv gh lqyhvwljdflöq +hvshfldophqwh hq odv flhqfldv h{shulphqwdohv,1 Hq pxfkdv rfdvlrqhv/ od uhdolgdg hv edvwdqwh frpsohmd frpr sdud vhu hvwx0 gldgd gluhfwdphqwh | hv suhihuleoh od irupxodflöq gh xq prghor txh frqwhqjd odv yduldeohv päv uhohydqwhv txh dsduhfhfhq hq ho ihqöphqr hq hvwxglr | odv uhodflrqhv päv lpsruwdqwhv hqwuh hoodv1 Iuhfxhqwhphqwh/ od uhvroxflöq gh orv sureohpdv txh vh suhwhqghq derugdu sxhgh uhdol}duvh sru surfhglplhqwrv dqdoðwlfrv vreuh ho prghor frqvwuxlgr +qru0 pdophqwh phgldqwh ho xvr gh khuudplhqwdv pdwhpäwlfdv frpr odv gh uhvroxflöq gh hfxdflrqhv ruglqduldv r gh hfxdflrqhv glihuhqfldohv/ ho fäofxor gh suredelol0 gdghv/ hwf1,1 Hq rwudv flufxqvwdqfldv glfkd uhvroxflöq dqdoðwlfd qr hv srvleoh +r hv wuhphqgdphqwh frpsolfdgd r frvwrvd, | hv suhihuleoh xqd dsur{lpdflöq gh od vroxflöq phgldqwh vlpxodflöq1 415 H{shulphqwdflöq uhdo | vlpxodflöq Od h{shulphqwdflöq gluhfwd vreuh od uhdolgdg sxhgh whqhu pxfkrv lqfrqyh0 qlhqwhv= xq frvwh px| dowr judq ohqwlwxg hq rfdvlrqhv odv suxhedv vrq ghvwuxfwlydv d yhfhv qr hv ìwlfd +h{shulphqwdflöq vreuh vhuhv kxpdqrv, sxhgh uhvxowdu lpsrvleoh +xq dfrqwhflplhqwr ixwxur, Ud}rqhv frpr hvdv +| dojxqdv rwudv, sxhghq lqglfdu od yhqwdmd gh wudedmdu frq xq prghor gho vlvwhpd uhdo1 Od hvwdgðvwlfd hv suhflvdphqwh od flhqfld txh vh suhrfxsd gh föpr hvwlpdu orv sduäphwurv | frqwudvwdu od ydolgh} gh xq prghor d sduwlu gh orv gdwrv revhuydgrv gho vlvwhpd uhdo txh vh suhwhqgh prghol}du1 15 16 Introducción a la Simulación y a la Teoría de Colas Ricardo Cao Abad 416 Vlpxodflöq qhfhvduld h lqqhfhvduld Xqd yh} vh kd frqvwuxðgr xq prghor/ od sulphud whqwdwlyd gheh vhu vlhpsuh wudwdu gh uhvroyhu dqdoðwlfdphqwh ho sureohpd txh qrv rfxsd1 Hq fdvr gh vhu hvwr srvleoh/ od vroxflöq hv h{dfwd +d phqxgr od uhvroxflöq wdpelìq hv uäslgd,1 Hq fdvr frqwudulr sxhgh uhfxuuluvh d od vlpxodflöq txh lqyroxfuduä pxfkd oderu gh surfhvdgr1 Judfldv d od judq srwhqfld gh fäofxor gh orv frpsxwdgruhv dfwxdohv orv surjudpdv gh vlpxodflöq sxhghq riuhfhu xqd vroxflöq dsur{lpdgd uäslgd hq od pd|ru sduwh gh orv sureohpdv vxvfhswleohv gh vhu prghol}dgrv1 Hmhpsor 4 Vxsöqjdvh txh vh txlhuh fdofxodu od suredelolgdg gh dsdulflöq gh h{dfwdphqwh grv fdudv hq wuhv odq}dplhqwrv gh xqd prqhgd1 Od h{shulphqwdflöq vreuh od vlwxdflöq uhdo frqvlvwluðd hq uhshwlu qxphurvdv yhfhv orv wuhv odq}dplhq0 wrv | revhuydu frq txì iuhfxhqfld vh rewlhqhq h{dfwdphqwh grv fdudv1 Ho vlvwhpd uhdo hv ho phfdqlvpr sru ho fxdo vh uhdol}dq orv odq}dplhqwrv1 Xq prghor ud0 g }rqdeoh sdud hvwh vlvwhpd hv ho gh xwlol}du xqd yduldeoh dohdwruld f ' Ec fD +|d txh vh vxsrqh txh od prqhgd wlhqh od plvpd suredelolgdg gh fdud txh gh fux},1 Edmr hvwh prghor/ vh wudwduðd gh fdofxodu Ef ' 21 Hq hvwh fdvr od uhvroxflöq dqdoðwlfd hv idfwleoh | px| vhqflood= 2 Ef ' 2 ' ' ' f.D 2 2 H 2 Od vlpxodflöq frqvlvwluðd hq rewhqhu qýphurv dohdwrulrv +hq rughqdgru, sdud uhsolfdu duwlfldophqwh orv wuhv odq}dplhqwrv hq judq fdqwlgdg gh rfdvlrqhv/ revhuydqgr od iuhfxhqfld uhodwlyd frq od txh dsduhfhq h{dfwdphqwh grv fdudv1 Hv reylr txh/ hq xqd vlwxdflöq frpr hvwd/ od h{shulphqwdflöq uhdo wlhqh od ghvyhqwdmd gh od ohqwlwxg1 Xqd yh} frqvwuxðgr/ ho prghor od uhvroxflöq dqdoðwlfd uhvxowd h{dfwd h lqphgldwd |/ sru wdqwr/ suhihuleoh d od uhvroxflöq dsur{lpdgd phgldqwh vlpxodflöq1 Fxhvwlöq glvwlqwd hv vl ho prghor uh hmd dghfxdgdphqwh od uhdolgdg1 Dvð/ sru hmhpsor/ vl od prqhgd qr glhvh ljxdo suredelolgdg d fdud | fux}/ ho prghor qr vhuðd dghfxdgr | od uhvroxflöq phgldqwh ho plvpr vhuðd lqfruuhfwd1 Reyldphqwh hvwh sureohpd qr or wlhqh od h{shulphqwdflöq vreuh od vlwxdflöq uhdo1 Hq uhdolgdg/ hq xq fdvr frpr hvh/ judfldv d od lqihuhqfld hvwdgðvwlfd/ srguðd irupxoduvh rwur prghor päv dghfxdgr1 Hmhpsor 5 Vxsöqjdvh ho vljxlhqwh mxhjr= xq mxjdgru odq}d xqd prqhgd +der0 qdqgr xq hxur sru fdgd odq}dplhqwr, kdvwd txh ho qýphur gh fdudv vxshuh hq wuhv do qýphur gh fuxfhv rewhqlgdv1 Hq hvh prphqwr ho mxjdgru uhfleh 43 xqlgdghv prqhwduldv1 ÁUhvxowd uhqwdeoh mxjduB Gh qxhyr dtxð od h{shul0 phqwdflöq uhdo hv px| ohqwd1 Od prghol}dflöq sxhgh uhdol}duvh gh qxhyr jud0 fldv d od whruðd gh od suredelolgdg1 Hq hvwd rfdvlöq/ vlq hpedujr/ od uhvroxflöq dqdoðwlfd vhuðd frpsolfdgd +vdoyr txh vh whqjdq frqrflplhqwrv gh fdghqdv gh Pdunry,1 Sduhfh/ sru wdqwr/ frqyhqlhqwh xqd dsur{lpdflöq phgldqwh vlpx0 odflöq1 Vh wudwduðd sru wdqwr gh lu uhsolfdqgr duwlfldophqwh ho odq}dplhqwr Introducción a la simulación gh od prqhgd vlpxodqgr xq judq qýphur gh srvleohv sduwlgdv | h{dplqdqgr od sìuglgd r jdqdqfld phgld1 417 Yhqwdmdv h lqfrqyhqlhqwhv gh od vlpxodflöq Yhqwdmdv= 41 Hq fdvrv hq orv txh od uhvroxflöq dqdoðwlfd qr sxhgh oohyduvh d fder1 51 Fxdqgr h{lvwhq phglrv gh uhvroyhu dqdoðwlfdphqwh ho sureohpd shur glfkd uhvroxflöq hv frpsolfdgd | frvwrvd1 61 Vl vh ghvhd h{shulphqwdu dqwhv gh txh h{lvwd ho vlvwhpd1 71 Fxdqgr hv lpsrvleoh h{shulphqwdu vreuh ho vlvwhpd uhdo sru vhu glfkd h{shulphqwdflöq ghvwuxfwlyd1 81 Hq rfdvlrqhv hq odv txh od h{shulphqwdflöq vreuh ho vlvwhpd hv srvleoh shur qr ìwlfd1 91 Hv gh xwlolgdg hq vlvwhpdv txh hyroxflrqdq px| ohqwdphqwh hq ho wlhpsr1 Lqfrqyhqlhqwhv= 41 Od frqvwuxfflöq gh xq exhq prghor sxhgh vhu xqd wduhd px| oderulrvd1 51 Iuhfxhqwhphqwh ho prghor rplwh yduldeohv r uhodflrqhv lpsruwdqwhv hqwuh hoodv1 61 Uhvxowd gliðflo frqrfhu od suhflvlöq gh od vlpxodflöq/ hvshfldophqwh hq or uhodwlyr d od suhflvlöq gho prghor irupxodgr1 Hmhuflflr 41714 Xqd frpsdôðd shwuroðihud gheh ghflglu hq fxäo gh grv sxqwrv +D ö E, kd gh uhdol}du xqd shuirudflöq sdud h{wudhu shwuöohr1 Od surixqglgdg hvwlpdgd gh od erovd gh shwuöohr hq dperv sxqwrv hv gh 8: p1 hq D | 73 p1 hq E1 Ghvgh hvwh prphqwr kdvwd ho lqvwdqwh hq txh vh frphq}duä d shuirudu hv srvleoh txh oohjxh xqd qxhyd pdtxlqduld +or fxdo rfxuuh frq xqd suredelolgdg gh f.,1 Gxudqwh od shuirudflöq sxhgh surgxfluvh xqd dyhuðd hq od pdtxlqduld1 Hq edvh d hvwxglrv uhwurvshfwlyrv vh hvwlpd txh glfkd dyhuðd rfxuuh frq xqd suredelolgdg gh fe ö fS vl vh shuirud hq D ö E/ uhvshfwlydphqwh/ xvdqgr od pdtxlqduld qxhyd1 Hq fdvr gh xwlol}du od ylhmd pdtxlqduld/ odv suredelolgdghv gh dyhuðd vrq f2H | fb sdud dperv sxqwrv +D | E,1 Lqghshqglhqwhphqwh gho wlsr gh pdtxlqduld xwlol}dgd | gho sxqwr grqgh vh kd ghflglgr shuirudu/ fxdqgr vh surgxfh dyhuðd/ ìvwd sxhgh vhu judqgh +frq gxudflöq gh wuhv gðdv, frq sur0 edelolgdg gh fD1 Hq rwur fdvr od dyhuðd hv shtxhôd h lpsolfd xq vöor gðd vlq 17 18 Introducción a la Simulación y a la Teoría de Colas Ricardo Cao Abad shuirudu1 Vdelhqgr txh od shuirudflöq dydq}d d xqd yhorflgdg gh 6 p1 sru gðd hq ho sxqwr D | 5 p1 sru gðd hq ho sxqwr E/ vh wudwd gh gdu uhvsxhvwd/ phgldqwh vlpxodflöq/ d od suhjxqwd Áhq txì sxqwr hv päv uhqwdeoh shuiruduB/ dwhqglhqgr d txh ho wlhpsr kdvwd txh vh oohjd do shwuöohr vhd pðqlpr1 Kdfhu xq gldjudpd gh xmr gho dojrulwpr gh vlpxodflöq hq hvwh frqwh{wr1 418 Frqwhqlgrv gh od sduwh gh vlpxodflöq D or odujr gho suhvhqwh wh{wr/ orv frqwhqlgrv gh vlpxodflöq txh vh yhuäq vrq orv vljxlhqwhv= 41 Hvwxglr gh orv pìwrgrv päv lpsruwdqwhv gh jhqhudflöq gh qýphurv svhx0 grdohdwrulrv hq ho lqwhuydor Efc / fhqwudqgr qxhvwud dwhqflöq hq orv jh0 qhudgruhv frqjuxhqfldohv1 Vh uhylvduäq orv pìwrgrv frqjuxhqfldohv lpsoh0 phqwdgrv hq dojxqrv ohqjxdmhv gh surjudpdflöq | eleolrwhfdv gh uxwlqdv hvwdgðvwlfdv1 Wdpelìq vh gduä xqd ylvlöq gh odv glihuhqwhv phglgdv hvwdgðv0 wlfdv sdud frqwudvwdu od fdolgdg gh xqd jhqhudgru gh qýphurv dohdwrulrv1 51 Pìwrgrv xqlyhuvdohv +r jhqhudohv, gh vlpxodflöq gh glvwulexflrqhv frqwl0 qxdv= derugdqgr orv pìwrgrv gh lqyhuvlöq | gh dfhswdflöq uhfkd}r1 61 Pìwrgrv xqlyhuvdohv gh vlpxodflöq gh glvwulexflrqhv glvfuhwdv1 Dtxð vh hvwxglduäq ho pìwrgr gh od wudqvirupdflöq fxdqwlo +frq eývtxhgd vhfxhq0 fldo | hohfflöq gh hwltxhwdgr öswlpr,/ dojrulwprv edvdgrv hq äuerohv gh Kxpdq/ ho pìwrgr gh od wdeod jxðd | ho pìwrgr gh wuxqfdplhqwr1 71 Xq frqmxqwr gh pìwrgr hvshfðfrv gh vlpxodflöq sdud odv glvwulexflrqhv glvfuhwdv | frqwlqxdv päv lpsruwdqwhv1 81 Xqd euhyh lqfxuvlöq d od vlpxodflöq gh glvwulexflrqhv pxowlglphqvlrqdohv/ frphqwdqgr dojxqrv pìwrgrv jhqhudohv | sduwlfxodul}dqgr wdpelìq do fdvr lpsruwdqwh gh od qrupdo pxowlyduldqwh1 91 Dojxqdv fxhvwlrqhv suäfwlfdv vreuh ho glvhôr gh h{shulphqwrv gh vlpx0 odflöq/ ghglfdqgr hvshfldo dwhqflöq d odv wìfqlfdv gh uhgxfflöq gh od yd0 uldq}d1 2 Generación de números pseudoaleatorios uniformes en (0,1) Generación de números pseudoaleatorios uniformes en (0,1) 51 0 514 Lqwurgxfflöq Fdvl wrgrv orv pìwrgrv gh vlpxodflöq vh edvdq hq od srvlelolgdg gh jhqhudu qýphurv dohdwrulrv frq glvwulexflöq LEfc 1 Kdvwd ho judq ghvduuroor gh orv rughqdgruhv orv qýphurv dohdwrulrv vh rewhqðdq sru surfhglplhqwrv h{shulphq0 wdohv +orwhuðdv/ uxohwdv, | vh dopdfhqdedq hq wdeodv1 Hq od dfwxdolgdg hvwrv qýphurv vrq jhqhudgrv sru rughqdgru | vh ghqrplqdq svhxgrdohdwrulrv |d txh/ hq uhdolgdg/ wrgrv orv qýphurv gh od vxfhvlöq txh vh jhqhud vrq suhghfl0 eohv d sduwlu gho sulphur/ oodpdgr vhplood1 Hq fxdotxlhu fdvr/ wrgr jhqhudgru gh qýphurv svhxgrdohdwrulrv pðqlpdphqwh dfhswdeoh gheh frpsruwduvh frpr vl vh wudwdvh gh xqd pxhvwud jhqxlqd gh gdwrv lqghshqglhqwhv gh xqd L Efc 1 51414 Surslhgdghv ghvhdeohv gh xq jhqhudgru gh qýphurv svhxgrdohdwrulrv Sdud srghu xwlol}du vlq uhvhuydv xq jhqhudgru gh qýphurv svhxgrdohdwrulrv ìvwh gheh vdwlvidfhu orv frqwudvwhv hvwdgðvwlfrv päv kdelwxdohv hq hvwh frqwh{wr= orv gh dohdwrulhgdg +orv frqwudvwhv gh udfkdv r orv gh vdowrv,/ orv gh lqghshqghqfld +frpr orv edvdgrv hq dxwrfruuhodflrqhv/ ho whvw gh Omxqj0Er{/ ho frqwudvwh gh sduhv vhuldgrv/ hwf, | orv gh erqgdg gh dmxvwh d xqd LEfc +hqwuh hoorv ho whvw fkl0fxdgudgr | ho gh Nroprjrur0Vpluqr,1 Wdpelìq h{lvwhq rwurv frqwudvwhv hvshfðfrv txh wudwdq gh lqgdjdu d od yh} vreuh ydulrv gh orv dvshfwrv dqwhulruhv1 Hqwuh hoorv ghvwdfdprv ho frqwudvwh gho srnhu | ho gho frohfflrqlvwd1 Dghpäv gh hvwdv surslhgdghv gh wlsr hvwdgðvwlfr h{lvwhq rwurv uhtxlvlwrv frpsxwdflrqdohv1 Xqrv | rwurv sxhghq uhvxpluvh hq od vljxlhqwh olvwd1 Uhtxlvlwrv ghvhdeohv sdud xq jhqhudgru 41 Surgxflu pxhvwudv vhjýq xqd glvwulexflöq LEfc 1 51 Sdvdu orv frqwudvwhv gh dohdwrulhgdg h lqghshqghqfld päv kdelwxdohv1 61 Txh od vxfhvlöq jhqhudgd vhd uhsurgxfleoh d sduwlu gh od vhplood1 71 Whqhu xqd orqjlwxg gh flfor wdq judqgh frpr vh ghvhh1 81 Jhqhudu ydoruhv d dowd yhorflgdg1 91 Rfxsdu srfd phpruld1 21 22 Introducción a la Simulación y a la Teoría de Colas Ricardo Cao Abad 515 Pìwrgr gh orv fxdgudgrv phglrv Hv ghelgr d yrq Qhxpdqq | wlhqh ixqgdphqwdophqwh vöor lqwhuìv klvwöulfr1 41 Vh wrpd xq qýphur hqwhur lqlfldo/ %f / oodpdgr vhplood/ gh 2? fliudv 51 Vh hohyd do fxdgudgr/ rewhqlhqgr xq qýphur gh e? fliudv +frpsohwdqgr/ txl}ä/ frq fhurv d od l}txlhugd,1 61 Vh frqvlghud % ho qýphur hqwhur irupdgr sru odv 2? fliudv fhqwudohv1 71 Vh hohyd do fxdgudgr % | vh uhslwh ho surfhvr dqwhulru wdqwdv yhfhv frpr vhd suhflvr1 % 81 Ilqdophqwh vh frqvlghudq orv qýphurv ' 2? / |d hq ho lqwhuydor Efc 1 f Hmhpsor 6 Wöphvh ? ' 2 | %f ' e221 Uhvxowd= %f ' e22 %2f ' SmbbfHmHe % ' bbfH %2 ' bHmSHemSe %2 ' SHe %22 ' f2mHDHmDS % ' HDH %2 ' SbmHDSmSe %e ' HDS %2e ' .m2bf.m2 %D ' 2bf. %2D ' fHmeDfSmeb Gh hvwd irupd/ orv qýphurv svhxgrdohdwrulrv hq Efc vrq f ' fe22 ' fbbfH 2 ' fSHe ' fHHD e ' fHDS D ' f2bf. Vljxlhqgr/ gh qxhyr/ frq ? ' 2/ shur wrpdqgr frpr vhplood %f ' .fH/ vh rewlhqh %f %2 %e %S %H ' .fH ' ff ' Sff ' eff ' Sff %2f %22 %2e %2S ' m.eb2mSe ' fmSbffmff ' .m2ffmff ' SmHffmff % % %D %. ' .2b2 ' Sbff ' 2ff ' Hff %2 %2 %2D %2. ' DSmffmSe ' e.mSffmff ' femeffmff ' SDmSffmff Dvð sxhv/ frpr %H ' %e / orv ydoruhv ec D c S c . vh uhshwluäq flfolfdphqwh gh irupd lqghqlgd1 Hvwh wlsr gh ihqöphqrv gh flfor fruwr vrq vx pd|ru lqfrq0 yhqlhqwh1 516 Pìwrgr gh Ohkphu Ho pìwrgr frqvlvwh hq orv vljxlhqwhv sdvrv= 41 Vh wrpd frpr vhplood xq qýphur hqwhur/ %f / gh ? fliudv1 Generación de números pseudoaleatorios uniformes en (0,1) 51 Vh holjh rwur hqwhur/ S/ gh & fliudv1 Vxhoh wrpduvh & ?1 61 Vh fdofxod %f S/ qýphur gh/ d or vxpr/ ? n & fliudv1 71 Vh vhsdudq odv & fliudv gh od l}txlhugd gh %f S | do qýphur irupdgr sru odv ? fliudv uhvwdqwhv vh oh uhvwd ho txh irupdq hvdv & fliudv gh od l}txlhugd/ gdqgr oxjdu d % 1 81 Vh uhslwh hvwh surfhvr wdqwdv yhfhv frpr vhd qhfhvdulr1 91 Vh ghyxhoyhq orv ydoruhv ' % 1 f2? Hmhpsor 7 Wrpdqgr ? ' e/ & ' 2/ %f ' e22 | S ' .S/ vh rewlhqh %f % %2 % %e %D ' e22 ' 2e ' S2b2 ' HeD ' HbDb ' fHS %f S ' m2.2 % S ' 2emSS %2 S ' e.mHb2 % S ' Smbf2f %e S ' SHmfHHe %D S ' fSm2fS 2.2 ' 2e SS 2e ' S2b2 Hb2 e. ' HeD bf2f S ' HbDb fHHe SH ' fHS 2fS fS ' 2ff Gh hvwd irupd f ' fe22 ' f2e 2 ' fS2b2 ' fHeD e ' fHbDb D ' ffHS Wrgdyðd hq ho fdvr gh txh ? ' e | & ' 2/ shur frq %f ' 2fff | S ' Df/ vh wlhqh %f S ' fmffff | dvð % ' fffff ' f f1 Hvwh hv suhflvdphqwh xqr gh orv shruhv lqfrqyhqlhqwhv gh hvwh pìwrgr= od dsdulflöq gh lwhudqwhv qhjdwlyrv1 Wdpelìq dsduhfhq/ frq iuhfxhqfld/ flforv fruwrv +hq sduwlfxodu/ ho fhur hv xq ydoru devruehqwh gh hvwh jhqhudgru,1 517 Pìwrgrv frqjuxhqfldohv Vh edvdq hq od lghd gh frqvlghudu xqd frpelqdflöq olqhdo gh orv ýowlprv & hqwhurv jhqhudgrv | fdofxodu vx uhvwr do glylglu sru xq hqwhur mr 61 Frqvlghuduhprv wdq vöor ho pìwrgr frqjuxhqfldo vlpsoh txh surfhgh frpr vljxh= 41 Hohjlu xq qýphur hqwhur srvlwlyr 6 +qrupdophqwh hq uhodflöq frq ho wlsr gh hqwhurv txh vh yd d xvdu, | rwurv grv qýphurv hqwhurv/ @ | S/ wdohv txh f @ 6 | f S 61 51 Ilmdu od vhplood %f / xq ydoru hqwhur lqlfldo txh fxpsod f %f 61 23 24 Introducción a la Simulación y a la Teoría de Colas Ricardo Cao Abad 61 Rewhqhu gh irupd uhfxuuhqwh %? ' E@%?3 n S 4L_ 6 sdud ? ' c 2c 71 Ghyroyhu orv ydoruhv ? ' %? / ? ' fc c 6 Gdgdv odv surslhgdghv dojheudlfdv gh od vxpd | ho surgxfwr hq ho frqmxqwr gh fodvhv gh uhvwr pögxor 6 +txh hv xq dqloor, vh wlhqh txh fxdotxlhu rwud hohfflöq gh @ ö S pd|ruhv r ljxdohv txh 6 wlhqh xq htxlydohqwh yhulfdqgr od uhvwulfflöq lpsxhvwd1 Fxdqgr wrpdprv S ' f ho jhqhudgru vh glfh frqjuxhqfldo pxowlsolfdwlyr1 Hmhpsor 8 Frqvlgìuhvh xq jhqhudgru frqjuxhqfldo frq 6 ' H/ @ ' D/ S ' e= %? ' ED%?3 n e 4L_ H Wrpdqgr frpr vhplood orv ydoruhv D ö 2 vh rewlhqh= %f ' D % ' D %2 ' D %f ' 2 % ' S %2 ' 2 % ' S txh suhvhqwdq flforv gh orqjlwxg 4 | 5 uhvshfwlydphqwh1 Fdpeldqgr ho ydoru gh S d 2 vh wlhqh %? ' ED%?3 n 2 4L_ H | dvð/ %f ' D % ' %2 ' % ' . %e ' D %f ' 2 % ' e %2 ' S % ' f %e ' 2 grqgh dperv flforv vrq gh orqjlwxg fxdwur1 Ilqdophqwh ghmdqgr ho plvpr ydoru gh 6 shur holjlhqgr @ ' D | S ' D/ vh wlhqh %? ' ED%?3 n D 4L_ H/ txh frqgxfh d %f %D %f %D 'D '2 '2 ' % %S % %S 'S '. '. 'e %2 %. %2 %. ' 'f 'f ' % %H % %H 'e 'D 'D '2 %e ' %e ' S frq flfor gh orqjlwxg ;/ txh hv ho pä{lpr ydoru srvleoh1 51714 Jhqhudgruhv frqjuxhqfldohv gh flfor pä{lpr Dghpäv gh odv surslhgdghv hvwdgðvwlfdv ghvhdeohv sdud fxdotxlhu jhqhudgru/ xqd fxhvwlöq lpsruwdqwh sdud orv jhqhudgruhv frqjuxhqfldohv +frpr vh kd ylvwr hq orv hmhpsorv suhylrv, hv od gh jdudqwl}du txh ho flfor gho jhqhudgru vhd pä{lpr Generación de números pseudoaleatorios uniformes en (0,1) +r/ fxdqgr phqrv/ px| hohydgr,1 Hq od suäfwlfd wudwduä gh wrpduvh ho flfor ljxdo r px| suö{lpr do qýphur gh hqwhurv gh wlsr odujr gho ohqjxdmh hq fxhvwlöq1 Hq jhqhudo/ vh ghqh od orqjlwxg gho flfor +r shuðrgr, gh xq jhqhudgru gh qýphurv svhxgrdohdwrulrv xqliruphv/ frpr ho phqru qýphur hqwhur srvlwlyr/ R/ txh fxpsoh txh h{lvwh xq ?f qdwxudo wdo txh %nR ' % sdud wrgr ' ?f c ?f n c Hq ho fdvr gh xq jhqhudgru frqjuxhqfldo pl{wr ho pä{lpr ydoru sdud ho shuðrgr hv 61 Hvwr hv dvð srutxh hq hvwh wlsr gh jhqhudgruhv %? hv ixqflöq xqðyrfd gho dqwhulru lwhudqwh/ %?3 1 Dvð/ edvwd/ sru wdqwr/ txh vh uhslwd dojxq ydoru hq od vxfhvlöq gh orv %? sdud txh wrgr vh uhslwd fðfolfdphqwh d sduwlu gh ìo1 Föpr orv ydoruhv srvleohv sdud orv %? vrq orv hqwhurv fc c c 6 / hqwrqfhv hv reylr txh/ d or vxpr ghvsxìv gh 6 jhqhudflrqhv gheh kdehu xqd uhshwlflöq hq od vxfhvlöq1 Wdpelìq hv px| iäflo ghprvwudu txh vl xq jhqhudgru frqjuxhqfldo wlhqh flfor pä{lpr sdud flhuwd hohfflöq gh od vhplood/ hqwrqfhv or wlhqh sdud fxdotxlhu rwud1 Xq uhvxowdgr txh vluyh sdud fdudfwhul}du txì surslhgdghv ghehq fxpsolu orv sduäphwurv gh xq jhqhudgru frqjuxhqfldo sdud txh whqjd shuðrgr pä{lpr hv ho Whruhpd gh Nqxwk +4<9<,1 Whruhpd 9 +Nqxwk, Odv vljxlhqwhv frqglflrqhv vrq qhfhvduldv | vxflhqwhv sdud txh xq jhqhudgru frqjuxhqfldo frq sduäphwurv 6/ @ | S/ whqjd shuðrgr pä{lpr +l1h1 R ' 6,1 41 S | 6 vrq sulprv hqwuh vð +l1h1 4U_ ESc 6 ' ,1 51 @ hv pýowlsor gh wrgrv orv idfwruhv sulprv gh 6 +l1h1 @ 4L_ }/ sdud wrgr } idfwru sulpr gh 6,1 61 Vl 6 hv pýowlsor gh e/ hqwrqfhv @ wdpelìq or kd gh vhu +l1h1 6 f 4L_ e , @ 4L_ e,1 D od ox} gho Whruhpd gh Nqxwk/ hv iäflo gduvh fxhqwd srutxì vöor ho whufhur gh orv jhqhudgruhv gho hmhpsor dqwhulru whqðd shuðrgr öswlpr1 51715 Jhqhudgruhv frqjuxhqfldohv gh dojxqrv ohqjxdmhv | eleolrwhfdv gh uxwlqdv Hq rughqdgruhv elqdulrv hv px| frpýq hohjlu 6 ' 2q ö 6 ' 2q / grqgh q ghshqgh gho wdpdôr gh sdodeud +wðslfdphqwh 6 vhuä ho pd|ru hqwhur uhsuh0 vhqwdeoh hq ho rughqdgru r xqd xqlgdg pd|ru txh ìo,1 Hq ohqjxdmhv/ frpr ho / hq ho txh h{lvwhq wlsrv gh hqwhurv srvlwlyrv +hqwuh f | 2q , od hohfflöq 6 ' 2q shuplwh dkruudu od rshudflöq gh fdofxodu ho uhvwr gh od glylvlöq hqwuh 6 txh dsduhfh hq ho jhqhudgru frqjuxhqfldo1 Od ud}öq hv txh/ do fdofxodu @%?3 n S | vöor srghu dopdfhqduor frq q elwv/ orv elwv vreudqwhv +fruuhvsrqglhqwhv d 2q / 2qn / , vh ghvhfkdq/ rewhqlhqgr suhflvdphqwh xq qýphur hqwuh f | 2q txh glhuh gho ydoru h{dfwr gh @%?3 n S hq xq pýowlsor gh 6 ' 2q 1 Hvwr hv wdqwr 25 26 Introducción a la Simulación y a la Teoría de Colas Ricardo Cao Abad frpr ghflu txh ho ydoru txh dopdfhqd ho rughqdgru do fdofxodu @%?3 n S +shu0 glhqgr orv elwv päv vljqlfdwlyrv, hv suhflvdphqwh ho txh vh ghvhded fdofxodu E@%?3 n S 4L_ 61 Hq orv jhqhudgruhv frq 6 ' 2q uhvxowd hvshfldophqwh iäflo h{suhvdu odv frqglflrqhv gho Whruhpd gh Nqxwk gh irupd pxfkr päv vhqflood1 Dvð/ do vhu 6 xqd srwhqfld gh 2/ vx ýqlfr idfwru sulpr hv ho 2 |/ sru wdqwr od sulphud frqglflöq htxlydoh d txh S vhd lpsdu1 Sdud q 2 vh wlhqh txh 6 hv pýowlsor gh e |/ sru wdqwr od whufhud frqglflöq lpsrqh txh @ wdpelìq or vhd1 Sru ýowlpr/ gh qxhyr sru vhu ho 2 ho ýqlfr idfwru sulpr gh 6/ od vhjxqgd frqglflöq shgluðd txh @ ixhvh sdu/ or fxdo |d hv frqvhfxhqfld gh txh vhd pýowlsor gh e1 Hq uhvxphq/ vl 6 ' 2q / frq q 2/ ho jhqhudgru frqjuxhqfldo wlhqh shuðrgr pä{lpr vl | vöor vð S hv lpsdu | @ ' e& n / vlhqgr & xq qýphur qdwxudo1 Dojxqrv jhqhudgruhv kdelwxdohv hq ohqjxdmhv frq hqwhurv +frq vljqr, gh 69 elwv fruuhvsrqghq d odv hohfflrqhv 6 ' 2D 6 ' 2D @ ' 2. n S ' @ ' DD S' Wrgrv hoorv wlhqhq wlhqhq shuðrgr pä{lpr +h ljxdo d 2D * ee ff ,1 Rwurv jhqhudgruhv frqjuxhqfldohv sdud hqwhurv +frq r vlq vljqr, gh 65 elwv | dojxqrv ohqjxdmh r eleolrwhfdv txh orv xvdq r orv kdq xvdgr hq ho sdvdgr vrq 6 ' 2 6 ' 2 6 ' 2 6 ' 22 @ ' eDb2Sb @ ' SHf. @ ' SfSffS @ ' SSSfHbe S ' eDHfD2eD S'f DSO/ LPVO | VLPSO2L S'f Dojxqrv IRUWUDQ S'f Dkuhqv | Glhwhu +4<:7, Dxqtxh vöor ho sulphur wlhqh shuðrgr pä{lpr/ orv ghpäv or wlhqhq px| hohydgr1 Ho ohqjxdmh F +edmr XQL[, srvhh xq jhqhudgru frqjuxhqfldo gh qýphurv svhxgrdohdwrulrv gh 7; elwv= ho gudqg7;1 Vxv sduäphwurv vrq 6 ' 2eH / @ ' 2D2ebfb. | S ' 1 Od vhplood vh lqlfldol}d phgldqwh od vhqwhqfld vudqg7;+, lqwurgxflhqgr frpr dujxphqwr xq hqwhur gh 65 elwv txh fruuhvsrqgh d orv 65 elwv päv vljqlfdwlyrv gh %f +hqwhur gh 7; elwv,1 Orv 49 elwv gh phqru rughq vh wrpdq vlhpsuh frlqflghqwhv frq ho qýphur +ghflpdo, 463:31 Orv sduäphwurv @ | S vh sxhghq prglfdu sru ho xvxdulr ghvgh rwudv uxwlqdv gho F1 Orv ydoruhv sru ghihfwr sdud hvwdv fdqwlgdghv riuhfhq xq jhqhudgru gh shuðrgr pä{lpr |d txh 6 ' 2q / frq q ' eH/ S hv lpsdu | @ ' Sf.2Db.b e n 518 Phglgdv hvwdgðvwlfdv gh od fdolgdg gh xq jh0 qhudgru gh qýphurv dohdwrulrv Od pd|ruðd gh orv frqwudvwhv hvwdgðvwlfrv sdud hvwxgldu od fdolgdg gh xq jhqh0 udgru gh qýphurv dohdwrulrv vh edvdq hq phglu srvleohv glvfuhsdqfldv +hq dojýq Generación de números pseudoaleatorios uniformes en (0,1) vhqwlgr, gh odv pxhvwudv jhqhudgdv sru ho pìwrgr hq fxhvwlöq frq uhvshfwr d odv klsöwhvlv gh dohdwrulhgdg/ lqghshqghqfld | dmxvwh d xqd glvwulexflöq L Efc 1 Hq fdvl wrgrv orv fdvrv vh dfded uhfxuulhqgr d xq frqwudvwh gh wlsr fkl0 fxdgudgr hq ho txh vh frpsdudq odv iuhfxhqfldv hvshudgdv/ e / gh flhuwdv prgd0 olgdghv/ frq odv revhuydgdv/ J / phgldqwh ho hvwdgðvwlfr (' & [ EJ e 2 ' e c txh vhjxluä/ dsur{lpdgdphqwh/ xqd glvwulexflöq 2&3 / edmr od klsöwhvlv qxod txh vh frqwudvwd1 D frqwlqxdflöq ghwdoodprv dojxqrv gh orv frqwudvwhv päv kdelwxdohv1 51814 Ho frqwudvwh fkl0fxdgudgr Sdud oohyduor d dfder/ hv qhfhvdulr glylglu ho lqwhuydor Efc hq & vxelqwhuyd0 orv +qrupdophqwh gh od plvpd orqjlwxg,1 Gh hvd irupd od prgdolgdg 0ìvlpd c & / sdud ' c 2c c &1 Gh hvwd irupd/ vhuä vlpsohphqwh ho vxelqwhuydor d 3 & ghvsxìv gh vlpxodu xq judq qýphur/ ?/ gh ydoruhv/ f c f2 c c f? / phgldqwh ho jhqhudgru fdofxoduhprv odv iuhfxhqfldv revhuydgdv hq fdgd lqwhuydor | odv frqiurqwduhprv frq odv hvshudgdv +e ' ?& , phgldqwh ho hvwdgðvwlfr (1 Sdud txh od glvwulexflöq 2&3 vhd xqd dsur{lpdflöq ud}rqdeoh d od gho hvwdgðvwlfr | dvð ho frqwudvwh sxhgd dsolfduvh vxhoh shgluvh od frqglflöq pðqlpd gh txh e D sdud wrgr 1 51815 Ho frqwudvwh gh Nroprjrur0Vpluqr Vh edvd hq ho fäofxor gh od pä{lpd glvfuhsdqfld hqwuh od ixqflöq gh glvwulexflöq whöulfd +8 E% ' %/ vl % 5 dfc o/ hq hvwh fdvr, | od glvwulexflöq hpsðulfd gh od pxhvwud jhqhudgd/ gdgd sru 8? E% ' rif %j c ;% 5 dfc o ? Hvwd glvfuhsdqfld vh fdofxod phgldqwh ho hvwdgðvwlfr (? ' tT m8? E% 8 E%m c %MU fx|d glvwulexflöq +od g gh Nroprjrur, hvwä wdexodgd1 27 28 Introducción a la Simulación y a la Teoría de Colas Ricardo Cao Abad 51816 Ho frqwudvwh gho frohfflrqlvwd Frqvlvwh hq mdu xq hqwhur srvlwlyr/ / | glvfuhwl}du orv ydoruhv jhqhudgrv/ f c f2 c c f? / gh od irupd g f h n / grqgh g%h ghqrwd od sduwh hqwhud gh %1 Gh hvwd irupd vh frqvljxh xqd vxfhvlöq gh hqwhurv dohdwrulrv fx|rv ydoruhv hvwäq frpsuhqglgrv hqwuh | 1 Dkrud vh surfhgh +frpr xq frohfflrqlvwd, d frqwdelol}du fxäo hv ho qýphur/ '/ +dohdwrulr, gh ydoruhv d jhqhudu kdvwd txh vh frpsohwd od frohfflöq gh wrgrv orv hqwhurv hqwuh | 1 Reyldphqwh/ edmr odv klsöwhvlv gh dohdwrulhgdg | glvwulexflöq L Efc / fdgd srvleoh hqwhur hqwuh | wlhqh od plvpd suredelolgdg gh dsduhfhu hq fdgd jhqhudflöq |/ sru wdqwr/ uhvxowd srvleoh fdofxodu od glvwulexflöq gh suredelolgdg gh '1 Gh hvwd irupd srghprv xwlol}du orv ydoruhv fdofxodgrv gh odv suredelolgdghv E' ' c E' ' n c sdud fdofxodu odv iuhfxhqfldv hvshudgdv gh fdgd fodvh | frqiurqwduodv frq odv revhuydgdv yðd ho hvwdgðvwlfr fkl0fxdgudgr1 H{lvwhq yduldv hohfflrqhv frpxqhv gh / dvð frpr shtxhôdv yduldqwhv gho frqwudvwh= Wrpdqgr ' D frq fodvhv ' ' D/ ' ' S/ / ' ' b/ ' 2f1 Dsolfdqgr ho whvw d sduwlu gh od whufhud fliud ghflpdo Hvwr htxlydoh d frqvlghudu fff gff f h hq oxjdu gh f hq ho sodqwhdplhq0 wr dqwhulru1 Hq dperv fdvrv/ odv suredelolgdghv gh odv fodvhv ylhqhq gdgdv sru E' ' D ' ffHeffff E' ' . ' ffbbHefff E' ' b ' ffeDfbee E' ' ' ffHHSeD E' ' ' ffSf2bb E' ' D ' ffefHS2ff E' ' . ' ff2.f2S E' ' b ' ff.SfHD. E' ' S ' ff.SHffff E' ' H ' ff.D2fff E' ' f ' ffbDe...S E' ' 2 ' ff.Sbfe E' ' e ' ffeb.bD. E' ' S ' ffff. E' ' H ' ff2HebS E' 2f ' ff.eeHD Holjlhqgr ' f Wrpdqgr odv fdwhjruðdv +frq vxv fruuhvsrqglhqwhv suredelolgdghv, frpr vljxh= Ef ' b ' f.2DD E2f ' ' 2 ' f.eb2Hf E2e ' 2. ' f.DfHH E2H ' 2 ' f.e2f E ' b ' fD2SfDS E' ef ' fDSHDHf Generación de números pseudoaleatorios uniformes en (0,1) 51817 Frqwudvwhv gh vdowr Gdgrv grv qýphurv k | q wdohv txh f k q / orv frqwudvwhv gh vdowrv wudwdq gh h{dplqdu/ sdud fdgd ydoru jhqhudgr/ f / vl vh fxpsoh k f q/ dqrwdqgr/ hq hvh fdvr/ xq +f hq fdvr frqwudulr,1 Hq hvwdv frqglflrqhv/ od suredelolgdg gh txh dsduh}fd xq hv R ' q k | od gh txh dsduh}fdq fhurv ghvgh od dsdulflöq gh xq xqr kdvwd od gho vljxlhqwh xqr hv R ' R E R / ' fc c 2c +txh fruuhvsrqgh d xqd glvwulexflöq jhrpìwulfd,1 Gh qxhyr sxhgh dsolfduvh ho whvw fkl0fxdgudgr d odv fodvhv uhvxowdqwhv1 Odv hohfflrqhv päv kdelwxdohv gh k | q gdq oxjdu d orv vljxlhqwhv frqwudvwhv= Ho whvw gh udfkdv edmr od phgldqd Frqvlvwh hq wrpdu k ' f | q ' *21 Ho whvw gh udfkdv vreuh od phgldqd Fruuhvsrqgh do fdvr k ' *2 | q ' 1 Ho whvw gho whuflr phglr Txh qr hv päv txh od hohfflöq k ' * | q ' 2*1 51818 Ho frqwudvwh gh shupxwdflrqhv Gdgd od vxfhvlöq gh qýphurv svhxgrdohdwrulrv jhqhudgd vh frqvlghudq eor0 txhv gh A ydoruhv frqvhfxwlyrv1 Fdgd xqr gh orv eortxhv sxhgh suhvhqwdu xqd fxdotxlhud gh odv A - srvleohv rughqdflrqhv gh hvrv A ydoruhv1 Dghpäv/ gh vhu ho jhqhudgru dghfxdgr/ fdgd srvleoh rughqdflöq rfxuuluä frq ljxdo suredelolgdg= 1 Ho whvw frqvlvwh hq revhuydu xqd judq qýphur gh eortxhv | frpsdudu odv Aiuhfxhqfldv revhuydgdv gh fdgd srvleoh rughqdflöq frq odv hvshudgdv phgldqwh ho whvw fkl0fxdgudgr1 Odv hohfflrqhv päv frpxqhv vrq A ' / e/ ö D1 51819 Ho frqwudvwh gho srnhu Hq xq sulphu prphqwr vh surfhgh frpr hq ho frqwudvwh gho frohfflrqlvwd frq ' f1 D sduwlu gh dtxð kd| yduldv irupdv gh dfwxdu= Srnhu 4 Vh wrpdq frqmxqwrv vxfhvlyrv gh flqfr hqwhurv |/ sdud fdgd xqr/ vh ghwhuplqd fxäo gh odv vljxlhqwhv srvlelolgdghv vh gd= 29 30 Introducción a la Simulación y a la Teoría de Colas Ricardo Cao Abad 41 Xq plvpr hqwhur vh uhslwh flqfr yhfhv +deuhyldgdphqwh/ ,1 51 Xq plvpr hqwhur vh uhslwh fxdwur yhfhv | rwur glvwlqwr dsduhfh xqd yh} +,1 61 Xq hqwhur vh uhslwh wuhv yhfhv | rwur glvwlqwr vh uhslwh grv +,1 71 Xq hqwhur vh uhslwh wuhv yhfhv | rwurv grv glvwlqwrv dsduhfhq xqd yh} fdgd xqr +,1 81 Xq hqwhur vh uhslwh grv yhfhv/ rwur glvwlqwr vh uhslwh wdpelìq grv yhfhv | xq whufhu hqwhur glihuhqwh dsduhfh xqd vöod yh} +,1 91 Xq hqwhur vh uhslwh grv yhfhv | rwurv wuhv glvwlqwrv dsduhfhq xqd yh} fdgd xqr +(,1 :1 Orv flqfr hqwhurv txh dsduhfhq vrq wrgrv glvwlqwrv +(.,1 Edmr od klsöwhvlv gh dohdwrulhgdg | dmxvwh d xqd L Efc / sxhghq fdofxoduvh odv suredelolgdghv gh hvwdv prgdolgdghv= E ' ffffc E ' fffeDc E ' fffbfc E ' ff.2fc E ' ffHfc E( ' fDfefc E(. ' ff2e Hv iuhfxhqwh txh odv fodvhv | vh djuxshq d od krud gh dsolfdu ho whvw fkl0fxdgudgr/ |d txh/ hq fdvr frqwudulr/ od uhvwulfflöq kdelwxdo e D oohyduðd d txh ffff ?D D/ hv ghflu/ ? 2Dffff1 Srnhu 5 Dojr wdpelìq edvwdqwh kdelwxdo hv xvdu frqmxqwrv gh flqfr hqwhurv +frpr hq ho fdvr dqwhulru, shur ghqlhqgr odv fdwhjruðdv vhjýq ho qýphur gh hqwhurv glvwlqwrv gh hqwuh orv flqfr revhuydgrv1 Dvð E4 hqwhur glihuhqwh ' ffffc E5 hqwhurv glihuhqwhv ' ffDc E6 hqwhurv glihuhqwhv ' fHffc E7 hqwhurv glihuhqwhv ' fDfefc E8 hqwhurv glihuhqwhv ' ff2ec surfhglhqgr iuhfxhqwhphqwh d djuxsdu odv grv sulphudv prgdolgdghv1 Srnhu 6 D phqxgr vh frqvlghudq frqmxqwrv gh fxdwur hqwhurv1 Hq wdo fdvr/ E ' fffc E ' ffSc E ' ff2.c E ' fe2c E( ' fDfec vlhqgr wdpelìq edvwdqwh kdelwxdo ho djuxsdu odv grv sulphudv fdwhjruðdv1 Generación de números pseudoaleatorios uniformes en (0,1) 5181: Ho frqwudvwh gh odv udfkdv dvfhqghqwhv Hv edvwdqwh päv frpsolfdgr gh mxvwlfdu txh orv dqwhulruhv1 Hq wìuplqrv lqwx0 lwlyrv/ vh edvd hq odv orqjlwxghv gh odv udfkdv dvfhqghqwhv txh dsduhfhq hq od vxfhvlöq gh qýphurv dohdwrulrv1 5181; Ho frqwudvwh gh sduhv vhuldgrv Od lghd frqvlvwh hq mdu xq hqwhur 2 | frqvlghudu orv hqwhurv g f h n / wrpdu dkrud hvwrv ydoruhv dsduhdgrv | xwlol}du ho frqwudwh fkl0fxdgudgr frq0 vlghudqgr frpr fdwhjruðdv orv srvleohv sduhv Ec wdohv txh c 5 ic 2c c j1 Dvð vh phgluä od glvfuhsdqfld hqwuh od iuhfxhqfldv revhuydgdv hq hvwdv fdwhjruðdv | odv hvshudgdv/ ljxdohv wrgdv d ?2 2 1 Od hohfflrqhv päv iuhfxhqwhv vrq ' / f ö 2f1 5181< Ho frqwudvwh gh Omxqj0Er{ Frqvlvwh hq mdu xq hqwhur srvlwlyr/ 6/ fdofxodu odv dxwrfruuhodflrqhv pxhv0 wudohv= S? E% % E%3& % o E& ' '&n S? 2 ' E% % |/ dsduwlu gh hoodv/ rewhqhu ho hvwdgðvwlfr ' ' ? E? n 2 6 [ o E&2 &' ?& / txh/ edmr od klsöwhvlv gh lqghshqghqfld/ vh glvwulex|h dsur{lpdgdphqwh vhjýq xqd 263 1 518143 Fkl0fxdgudgr vreuh fkl0fxdgudgr Wrgrv orv frqwudvwhv dqwhulruhv vh kdq sodqwhdgr ghvgh od shuvshfwlyd gh od uh0 dol}dflöq gh xqd ýqlfd suxhed1 Hv ghflu/ vh wrpd xq qýphur/ ? +qrupdophqwh judqgh,/ gh ydoruhv rewhqlgrv sru ho jhqhudgru | vh uhdol}d ho frqwudvwh hyd0 oxdqgr ho hvwdgðvwlfr | frpsduäqgror frq ho sxqwr fuðwlfr gh xqd fkl0fxdgudgr sdud ghflglu vl vh dfhswd r uhfkd}d od klsöwhvlv +lqghshqghqfld/ dmxvwh/ dohdwr0 ulhgdg,1 Hq uhdolgdg wlhqh pxfkr päv vhqwlgr od uhdol}dflöq gh xq judq qýphur gh suxhedv/ hydoxdqgr hq fdgd xqd ho ydoru gho hvwdgðvwlfr |/ r elhq revhuydu 31 32 Introducción a la Simulación y a la Teoría de Colas Ricardo Cao Abad txh od sursruflöq gh uhfkd}rv gho whvw vh dsur{lpd do ydoru qrplqdo mdgr +qrupdophqwh k ' ff ö k ' ffD,/ r päv suhflvdphqwh dsolfdqgr/ gh qxh0 yr/ ho frqwudvwh fkl fxdgudgr sdud frpsuredu ho dmxvwh gh od glvwulexflöq gho hvwdgðvwlfr d od fkl0fxdgudgr hvshflfdgd edmr od klsöwhvlv qxod1 519 Hmhuflflrv sursxhvwrv 41 Hvwxgldu ho shuðrgr gho jhqhudgru frqjuxhqfldo= %?n ' Eff2 %? n ef 4L_ ff2ffc ? ' %? *ff2ff1 51 ÁWlhqhq shulrgr pä{lpr orv vljxlhqwhv jhqhudgruhvB +d, %?n ' E2%? n 4L_ b +e, %?n ' E2%? 4L_ b +f, %?n ' E2%? n 4L_ ef +g, %?n ' E%? n 2 4L_ e 61 Gdu xq jhqhudgru frqjuxhqfldo pl{wr/ gh shuðrgr pä{lpr/ xvdqgr hqwhurv gh ; elwv1 Mxvwliðtxhvh vx rswlpdolgdg1 Xwlol}dqgr frpr vhplood ho hqwhur fhur/ rewhqhu orv fxdwur sulphurv ydoruhv jhqhudgrv vhjýq ho dojrulwpr rewhqlgr dqwhulruphqwh 71 Gdgr ho jhqhudgru frqjuxhqfldo ghqlgr sru %?n ' E%? n 4L_ 2S %?n ?n ' c ? ' fc c 2S sdud hqwhurv srvlwlyrv gh 49 elwv/ Áhv gh flfor pä{lprB ÁJr}d gh exhqdv surslhgdghv hvwdgðvwlfdvB Mxvwlfdu odv uhvsxhvwdv1 Vl qr or hv/ frqvwuxlu rwur jhqhudgru/ sdud hvh plvpr wdpdôr gh sdodeud/ txh vhd gh flfor pä{lpr1 81 ÁHv vlhpsuh suhihuleoh xq jhqhudgru frqjuxhqfldo frq shuðrgr pä{lpr d rwur fx|r shuðrgr vhd od plwdgB Ud}rqdu od uhvsxhvwd1 91 ÁHv gh flfor öswlpr ho vljxlhqwh jhqhudgru frqjuxhqfldo gh qýphurv svhx0 grdohdwrulrvB %? ' E2D%?3 n H 4L_ f2e/ %? ? ' / ? ' c 2c 6 Mxvwlfdu od uhvsxhvwd1 Wrpdqgr frpr vhplood %f ' ef/ Áfýdqwr ydoh ho ydoru D2f2 B 3 Métodos universales para la simulación de variables contínuas Métodos universales para la generación de variables contínuas 61 0 Hq or txh vljxh vh h{srqguäq grv gh orv pìwrgrv jhqhudohv sdud vlpxodu glv0 wulexflrqhv frqwlqxdv= ho pìwrgr gh lqyhuvlöq | ho gh dfhswdflöq2uhfkd}r1 Dp0 erv vrq dsolfdeohv d judq qýphur gh frqwh{wrv/ vlq päv txh od glvwulexflöq txh vh ghvhd vlpxodu whqjd flhuwdv fdudfwhuðvwlfdv1 Hq dperv fdvrv od khuudplhq0 wd lqglvshqvdeoh hv dojýq pìwrgr gh jhqhudflöq gh qýphurv svhxgrdohdwrulrv xqliruphv hq +3/4,1 614 Ho pìwrgr gh lqyhuvlöq Hv ho pìwrgr xqlyhuvdo sru dqwrqrpdvld sdud vlpxodu glvwulexflrqhv frqwlqxdv1 Wdpelìq d yhfhv vh frqrfh frpr pìwrgr gh Prqwhfduor1 Hvwä edvdgr hq ho vljxlhqwh uhvxowdgr whöulfr1 Whruhpd : +gh lqyhuvlöq, Vhd f xqd yduldeoh dohdwruld frq ixqflöq gh glv0 wulexflöq 8 / frqwlqxd h lqyhuwleoh1 Hqwrqfhv/ od yduldeoh dohdwruld L ' 8 Ef/ wudqvirupdgd gh od ruljlqdo phgldqwh vx sursld ixqflöq gh glvwulexflöq/ wlhqh g Frpr frqvhfxhqfld/ vl L ' L Efc hqwrqfhv od yduldeoh glvwulexflöq L Efc 1 3 8 EL wlhqh ixqflöq gh glvwulexflöq 8 +od plvpd glvwulexflöq txh od gh f,1 Ghprvwudflöq= Ghqrwdqgr sru C od ixqflöq gh glvwulexflöq gh L | gdgr xq ydoru 5 Efc / vh wlhqh C E ' Et ' E8 Ef ' f 8 3 E ' 8 8 3 E ' Sru rwud sduwh hv reylr txh C E ' f vl f | C E ' vl / frq or fxdo C hv od ixqflöq gh glvwulexflöq gh xqd L Efc 1 Od vhjxqgd sduwh hv wulyldo/ |d txh/ do vhu 8 lqyhuwleoh f ' 8 3 E8 Ef ' 8 3 EL c whqlhqgr L glvwulexflöq L Efc 1 Ho uhvxowdgr dqwhulru gd slh do vljxlhqwh dojrulwpr jhqìulfr sdud vlpxodu fxdotxlhu yduldeoh frqwlqxd frq ixqflöq gh glvwulexflöq 8 lqyhuwleoh= Dojrulwpr +pìwrgr gh lqyhuvlöq, 41 Jhqhudu L L Efc 1 51 Ghyroyhu f ' 8 3 EL 1 35 36 Introducción a la Simulación y a la Teoría de Colas Ricardo Cao Abad Hmhpsor ; Gdu xq dojrulwpr/ edvdgr hq ho pìwrgr gh lqyhuvlöq/ sdud vlpxodu od glvwulexflöq h{srqhqfldo gh sduäphwur b : f1 Od ixqflöq gh ghqvlgdg gh xqd i T Eb hv be3b% vl % f s E% ' f vl % f | vx ixqflöq gh glvwulexflöq= 8 E% ' e3b% f vl % f vl % f txh hv frqwlqxd h lqyhuwleoh hq ho lqwhuydor dfc 41 Revìuyhvh txh % ' 8 3 E / 8 E% ' / e3b% ' *? E / ' e3b% / % ' b Frpr frqvhfxhqfld/ ho dojrulwpr vhuðd 41 Jhqhudu L L Efc 1 *? E L 1 51 Ghyroyhu f ' b Ho dojrulwpr dqwhulru sxhgh deuhylduvh hq wlhpsr gh fäofxor vl hq oxjdu gh xvdu L vh xwlol}d ho qýphur dohdwrulr jhqhudgr L 1 Hvwr qr dihfwd d od g g ydolgh} gho pìwrgr sxhv vl L ' L Efc hqwrqfhv L ' L Efc |/ sru wdqwr/ g } EL ' } E L sdud fxdotxlhu wudqvirupdflöq }1 Rwur khfkr txh shuplwh dkruud judq fdqwlgdg gh fäofxorv fxdqgr +frpr vxhoh vhu kdelwxdo, vh yd d oodpdu xq judq qýphur gh yhfhv do jhqhudgru/ frqvlvwh hq ghqlu lqlfldophqwh xqd yduldeoh u ' b / txh shuplwluä hylwdu od rshudflöq gh fdpelr gh vljqr hq oodpdgdv vxfhvlydv | vxevwlwxlu xqd glylvlöq sru xqd pxowlsolfdflöq +päv uäslgd gh surfhvdu,1 Hq uhvxphq hvwd yhuvlöq vlpsolfdgd gho dojrulwpr uhvxowd= 31 Kdfhu u ' *b 41 Jhqhudu L L Efc 1 51 Ghyroyhu f ' u *? L 61 Uhshwlu orv sdvrv 405 wdqwdv yhfhv frpr vh suhflvh1 1 0.8 0.6 U 0.4 0.2 0 1 2 X 3 4 5 Lqwhusuhwdflöq juäfd gho dojrulwpr gh lqyhuvlöq1 Métodos universales para la generación de variables contínuas 61414 Yhqwdmdv h lqfrqyhqlhqwhv gho pìwrgr gh lqyhuvlöq Od yhqwdmd päv lpsruwdqwh gho pìwrgr gh lqyhuvlöq hv txh/ hq jhqhudo/ hv dsolfdeoh d fxdotxlhu glvwulexflöq frqwlqxd1 Qr revwdqwh ho pìwrgr suhvhqwd dojxqrv lqfrqyhqlhqwhv1 Lqfrqyhqlhqwhv gho pìwrgr gh lqyhuvlöq Lqfrqyhqlhqwhv gho pìwrgr gh lqyhuvlöq 41 Hq rfdvlrqhv od ixqflöq gh glvwulexflöq qr wlhqh xqd h{suhvlöq h{soðflwd +sru hmhpsor sdud od glvwulexflöq qrupdo,1 51 D yhfhv/ dýq whqlhqgr xqd h{suhvlöq h{soðflwd sdud 8 E%/ hv lpsrvleoh ghvshmdu % hq od hfxdflöq 8 E% ' +hv ghflu/ hqfrqwudu xqd h{suhvlöq h{soðflwd sdud 8 3 E,1 61 Dýq vlhqgr srvleoh hqfrqwudu % ' 8 3 E/ sxhgh rfxuulu txh hvwd h{suh0 vlöq vhd frpsolfdgd | frqoohyh xqd judq ohqwlwxg gh fäofxor1 71 Ho sulphur gh orv lqfrqyhqlhqwhv h{sxhvwr sxhgh/ d yhfhv/ vxevdqduvh phgldqwh ho xvr gh dsur{lpdflrqhv gh od glvwulexflöq hq fxhvwlöq r ph0 gldqwh wdexodflrqhv gh od plvpd1 Ho vhjxqgr vxhoh derugduvh phgldqwh od xwlol}dflöq gh pìwrgrv qxpìulfrv sdud od uhvroxflöq dsur{lpdgd gh od hfxdflöq 8 E% ' 1 Ho pd|ru sureohpd suäfwlfr txh hvwr frqoohyd hv od qhfhvlgdg gh uhvroyhu qxpìulfdphqwh xqd hfxdflöq fdgd yh} txh vh ghvhh jhqhudu xq qxhyr qýphur dohdwrulr txh vljd hvd glvwulexflöq +vlq txh orv fäofxorv khfkrv sdud ho dqwhulru ydoru vlpxodgr vhdq gh d|xgd,1 61415 Dojxqdv glvwulexflrqhv txh sxhghq vlpxoduvh sru ho pìwrgr gh lqyhuvlöq D frqwlqxdflöq vh lqfox|hq dojxqdv glvwulexflrqhv txh vh sxhghq vlpxodu iäflo0 phqwh phgldqwh ho pìwrgr gh lqyhuvlöq1 Vh dgmxqwd xqd irupd vlpsolfdgd gho pìwrgr txh wlhqh sru remhwr hylwdu fäofxorv lqqhfhvdulrv +wdo | frpr vh kl}r hq ho hmhpsor gh od h{srqhqfldo,1 37 38 Introducción a la Simulación y a la Teoría de Colas Ricardo Cao Abad Qrpeuh | ghqvlgdg i T Eb +b : f, be3b% / vl % f Fdxfk| Z E n %2 Wuldqjxodu hq Efc @ 2 % / @ @ vl f % @ Sduhwr +@c K : f, @K@ / %@n vl % K Zhlexoo +bc k : f, k kbk %k3 e3Eb% / vl % f e3b% *? L *? E L b b |@? Z L |@? ZL 2 @hU|@? % n 2 Z %2 2 % @ 2@ Irupd vlpsolfdgd 8 3 EL 8 E% @ K % k e3Eb% s @ L K s @ L K E L L *@ E *? E L *k b E *? L *k b *@ 61416 Lqyhuvlöq dsur{lpdgd Frpr vh frphqwö dqwhulruphqwh/ hq fdvrv hq orv txh qr hv srvleoh ghwhupl0 qdu xqd h{suhvlöq h{soðflwd sdud 8 E% r hq orv txh qr vh sxhgh kdoodu od gh vx lqyhuvd/ sxhgh rswduvh sru hqfrqwudu h{suhvlrqhv vhqfloodv txh dsur{lphq ud}rqdeohphqwh elhq od ixqflöq 8 3 E1 D frqwlqxdflöq vh ghwdood od dsur{l0 pdflöq hqfrqwudgd sru Rghk | Hydqv sdud od qrupdo hvwäqgdu1 Hvwrv dxwruhv frqvlghudq od ixqflöq dx{loldu s s 2 *? c } E ' 2 *? s 2 *? vlhqgr E% ' e [ 'f @ % | E% ' e [ K % / frq 'f @f ' f2222efHH @2 ' fe22e2fHHDe. @e ' fffffeDSe22feH K ' fDHHDHD.febD K ' ffD..D2HDf @ ' @ ' ff2fe22f2eD Kf ' ffbbeHeS2SfSf K2 ' fDfeS2SS Ke ' fffHDSf.ffSe Od dsur{lpdflöq frqvlvwh hq xwlol}du } E hq oxjdu gh 8 3 E sdud orv * df32f c f32f o ydoruhv gh 5 df32f c 2 o | } E vl 5 d 2 c f32f o1 Sdud 5 32f +txh vöor rfxuuh frq xqd suredelolgdg gh 2 f , od dsur{lpdflöq qr hv uhfrphqgdeoh1 Métodos universales para la generación de variables contínuas Dojrulwpr gh Rghk | Hydqv 41 Jhqhudu L L Efc 51 Vl L f32f ö L : f32f hqwrqfhv yroyhu d 41 61 Vl L fD hqwrqfhv kdfhu f ' } E L vlqr kdfhu f ' } EL 71 Ghyroyhu f 615 Ho pìwrgr gh dfhswdflöq uhfkd}r Hv xq pìwrgr xqlyhuvdo dowhuqdwlyr do gh lqyhuvlöq txh hvwä dgdswdgr do fdvr hq txh/ dxqtxh vh ghvfrqr}fd xqd iöupxod h{soðflwd sdud 8 E% r vhd gliðflo gh uhvroyhu 8 E% ' / vð vh glvsrqjd gh xqd h{suhvlöq +suhihuleohphqwh vhqflood, sdud od ixqflöq gh ghqvlgdg s E%1 Ho pìwrgr hvwä edvdgr hq ho vljxlhqwh uhvxowdgr whöulfr1 Whruhpd < +gh dfhswdflrq2uhfkd}r, Vhd f xqd yduldeoh dohdwruld frq ixq0 flöq gh ghqvlgdg s | vhd L rwud yduldeoh dohdwruld/ lqghshqglhqwh gh od dqwh0 ulru/ frq glvwulexflöq L Efc 1 Hqwrqfhv/ sdud fdgd S : f/ od yduldeoh dohdwr0 uld elglphqvlrqdo Efc S L s Ef wlhqh glvwulexflöq xqliruph hq ho uhflqwr ' iE%c + 5 U2 *f + Ss E%j1 Uhfðsurfdphqwh/ vl gdgd xqd ixqflöq gh ghqvlgdg s / xq yhfwru dohdwrulr Efc t wlhqh glvwulexflöq xqliruph vreuh ho frqmxqwr / hqwrqfhv/ vx sulphud frpsrqhqwh/ f/ hv xqd yduldeoh dohdwruld xqlglphqvlrqdo frq ixqflöq gh ghqvlgdg s 1 Ho whruhpd dqwhulru hvwdeohfh od htxlydohqfld hqwuh od vlpxodflöq gh ghqvl0 gdghv xqlglphqvlrqdohv | od vlpxodflöq gh yduldeohv elglphqvlrqdohv frq glv0 wulexflöq xqliruph vreuh ho klsrjudir gh S s E% +ho frqmxqwr gh sxqwrv gho sodqr txh txhgdq sru ghedmr gh od juäfd gh S s shur sru hqflpd gho hmh R[,1 Od lghd gho dojrulwpr frqvlvwluä hq xwlol}du ho uhfðsurfr hq ho whruhpd sdud vlpxodu ydoruhv gh hvh wlsr gh glvwulexflrqhv elglphqvlrqdohv | oxhjr wrpdu od sulphud frpsrqhqwh1 Sdud vlpxodu ydoruhv gh hvd glvwulexflöq elglphqvlrqdo vh xvd wdpelìq ho whruhpd hq vhqwlgr gluhfwr dsolfäqgror d rwud ghqvlgdg dx{loldu }/ iäflo gh vlpxodu1 Vxsöqjdvh txh vh ghvhd vlpxodu xqd glvwulexflöq frq ghqvlgdg s | txh qr hv idfwleoh kdfhuor sru ho pìwrgr gh lqyhuvlöq1 Frqvlgìuhvh rwud glvwulexflöq/ frq ghqvlgdg }/ iäflo gh vlpxodu/ gh irupd txh h{lvwd flhuwd frqvwdqwh S : f wdo txh s E% S } E% / sdud wrgr % 5 U1 Ghqdprv orv klsrjudirv gh s | gh S }= s ' iE%c + *f + s E%j c S} ' iE%c + *f + S } E%j 39 40 Introducción a la Simulación y a la Teoría de Colas Ricardo Cao Abad Judfldv d od frqglflöq dqwhulru/ vh wlhqh txh s S} 1 Gdgr txh od ghqvlgdg } hv iäflo gh vlpxodu/ sxhgh dsolfduvh od sulphud sduwh gho whruhpd gh dfhswdflöq2uhfkd}r sdud hqfrqwudu xqd yduldeoh dohdwruld elgl0 phqvlrqdo/ EAc t / frq glvwulexflöq xqliruph vreuh S} 1 Dfhswdqgr wdq vöor orv ydoruhv gh EAc t txh shuwhqh}fdq d s vh whqguä xqd yduldeoh elglphq0 vlrqdo frq glvwulexflöq xqliruph vreuh s 1 Wìfqlfdphqwh kdeodqgr hvwdprv dupdqgr txh od glvwulexflöq frqglflrqdgd EAc t mEAct Ms hv xqliruph vreuh s 1 Ilqdophqwh od vhjxqgd sduwh gho whruhpd shuplwh rewhqhu xqd yduldeoh frq ghqvlgdg s vlq päv txh wrpdu od sulphud frpsrqhqwh gho sdu rewhqlgr1 Gh irupd päv ghwdoodgd/ ho pìwrgr frqvwduðd gh orv vljxlhqwhv sdvrv= 41 Jhqhudu xq ydoru A frq ghqvlgdg }1 51 Xwlol}du ho whruhpd sdud hqfrqwudu xq sdu EAc t frq glvwulexflöq xql0 iruph hq S} 1 61 Frpsuredu vl EAc t 5 s | hq fdvr dupdwlyr kdfhu f ' A 1 Hq fdvr frqwudulr yroyhu do sdvr 41 Ho sdu gh ydoruhv EAc t vh rewlhqh vlpsohphqwh vlpxodqgr L L Efc | ghqlhqgr t ' S L } EA 1 Dghpäv/ od frqglflöq EAc t 5 s txh kd| txh frpsuredu hq ho ýowlpr sdvr htxlydoh d t s EA 1 Whqlhqgr wrgr hvwr hq fxhqwd ho dojrulwpr surfhghuðd frpr vljxh1 Dojruwlpr gh dfhswdflöq2uhfkd}r 41 Uhshwlu 4141 Jhqhudu L L Efc | A frq ghqvlgdg }1 51 Kdvwd txh S L } EA s EA 61 Ghyroyhu f ' A Hmhpsor 43 +ghqvlgdghv dfrwdgdv hq xq lqwhuydor fhuudgr, Vhd s xqd ixqflöq gh ghqvlgdg fxdotxlhud frq vrsruwh hq xq lqwhuydor fhuudgr d@c Ko +hv ghflu/ i%*s E% 9' fj ' d@c Ko, gh wdo irupd txh < : f wdo txh s E% ;% +hv ghflu/ s hv dfrwdgd vxshulruphqwh,1 Hq hvwh fdvr sxhgh wrpduvh frpr ghqvlgdg dx{loldu }/ od gh xqd L d@c Ko1 Hq hihfwr/ wrpdqgr S ' EK @ | whqlhqgr hq fxhqwd txh vl % 5 d@c Ko K3@ } E% ' f vl % 5 * d@c Ko S vh wlhqh txh s E% ' K3@ ' S } E%/ ;% 5 d@c Ko1 Dvð sxhv/ ho dojrulwpr txhgduðd frpr vljxh= 41 Uhshwlu 4141 Jhqhudu Lc T L Efc 1 4151 Kdfhu A ' @ n EK @ T 1 51 Kdvwd txh L s EA 1 61 Ghyroyhu f ' A 1 Métodos universales para la generación de variables contínuas 61514 Hflhqfld gho dojrulwpr Gdgr txh ho dojrulwpr gh dfhswdflöq2uhfkd}r uhslwh orv sdvrv 405 xq qýphur dohdwrulr gh yhfhv/ vhuä lpsruwdqwh phglu/ gh dojxqd irupd/ od hflhqfld gho plvpr1 Hq sulphu oxjdu/ h{lvwhq uhvwulfflrqhv reyldv sdud od frqvwdqwh S txh kd gh hohjluvh hq ho dojruwlpr1 Dvð/ ghelgr do khfkr gh txh s E% S } E%/ vh wlhqh ] ] ' s E% _% S } E% _% ' Sc oxhjr S 1 Sxhgh ghprvwuduvh dghpäv txh vl S ' hqwrqfhv s | } vhuðdq ghq0 vlgdghv fruuhvsrqglhqwhv d od plvpd glvwulexflöq +ljxdohv vdoyr hq xq frqmxqwr gh suredelolgdg fhur, |/ sru wdqwr/ vl } hv iäflo gh vlpxodu ljxdophqwh iäflo or vhuðd s 1 Dvð sxhv/ vh wlhqh S : 1 Od frpsuredflöq txh dsduhfh hq ho sdvr 5 gho dojrulwpr hv S L } EA s EA 1 Od suredelolgdg gh dfhswdflöq gh hvwd frqglflöq hv U s E% _% duhd Es U ' ' R' duhd ES} S S } E% _% 1 Ho xmr gho dojrulwpr Gh ìvwd vh rewlhqh od suredelolgdg gh uhfkd}r= ^ ' S3 S hv dohdwrulr | ho qýphur gh uhshwlflrqhv gh orv sdvrv 405 kdvwd srghu jhqhudu xq ydoru gh s +sdvr 6, hv xqd yduldeoh dohdwruld/ / frq glvwulexflöq jhrpìwulfd +hqwhqglgd ìvwd frpr ho qýphur gh suxhedv qhfhvduldv kdvwd rewhqhu ho sulphu ì{lwr,1 Hq wdohv flufxqvwdqfldv ho qýphur phglr gh uhshwlflrqhv gh orv sdvrv 405 hv . E ' ' Sc R oxhjr S sxhgh lqwhusuhwduvh frpr ho qýphur phglr gh frpsdudflrqhv qhfhvduldv +r gh uhshwlflrqhv gh orv sdvrv 405/ r gh sduhv gh yduldeohv EAc L txh vh qhfh0 vlwdq jhqhudu, kdvwd rewhqhu xq ydoru vlpxodgr gh od yduldeoh f1 Hv reylr/ sru wdqwr/ txh fxdqwr päv fhufdqr d 4 vhd ho ydoru gh S päv hflhqwh vhuä ho dojrulwpr1 Hmhuflflr 61514 Gdu xq dojrulwpr sdud vlpxodu od ixqflöq gh ghqvlgdg gdgd E%2 n 2% n 2 vl % 5 dfc 2o/ fhur hq rwur fdvr1 Hvwxgldu vx sru s E% ' S hflhqfld1 61515 Hohfflöq gh S Xqd yh} mdgd od ghqvlgdg } hv reylr txh ho phmru ydoru gh S +txh ghqrwduhprv sru Srsw , vh rewlhqh do hqfrqwudu ho päv shtxhôr qýphur uhdo S txh yhulfd 41 42 Introducción a la Simulación y a la Teoría de Colas Ricardo Cao Abad E% / sdud wrgr % gho vrsruwh gh } +txh kd gh s E% S } E%/ hv ghflu= S s}E% frqwhqhu do gh s ,1 Gh hvwd irupd/ kd gh fxpsoluvh txh s E% 9' f , } E% 9' f | dghpäv s E% %*}E%:f } E% S 4@ Dvð sxhv/ ho phqru ydoru srvleoh txh fxpsoh hvwd frqglflöq hv Srsw ' 4@ %*}E%:f s E% } E% Hmhpsor 44 +Vlpxodflöq gh od qrupdo phgldqwh od greoh h{srqhqfldo, Vh wudwd gh vlpxodu od glvwulexflöq qrupdo hvwäqgdu/ fx|d ixqflöq gh ghqvlgdg ylhqh gdgd sru %2 s E% ' s e3 2 / sdud wrgr % 5 U/ 2Z phgldqwh dfhswdflöq2uhfkd}r/ xwlol}dqgr frpr ghqvlgdg dx{loldu od greoh h{sr0 qhqfldo gh sduäphwur 4 +r glvwulexflöq gh Odsodfh,1 Hvwd ýowlpd glvwulexflöq hv od dvrfldgd do h{shulphqwr frqvlvwhqwh hq vlpxodu xqd glvwulexflöq h{srqhqfldo gh sduäphwur 4 | oxhjr rwrujduoh xq vljqr srvlwlyr r qhjdwlyr frq htxlsuredel0 olgdg1 Vx ixqflöq gh ghqvlgdg ylhqh gdgd sru } E% ' e3% / sdud wrgr % 5 U1 2 Dxqtxh od glvwulexflöq greoh h{srqhqfldo sxhgh vlpxoduvh phgldqwh ho h{0 shulphqwr frpsxhvwr dqwhv frphqwdgr/ uhvxowd px| vhqfloor fdofxodu vx ixqflöq gh glvwulexflöq= U% | ] % vl % f e _| ' 2 e% 2 U3" U % 3| C E% ' } E| _| ' f 3% | vl % f e _| n f 2 e _| ' 2 e 3" 3" 2 | dsolfdu gluhfwdphqwh ho pìwrgr gh lqyhuvlöq sdud rewhqhu ho dojrulwpr 41 Jhqhudu T L Efc 1 51 Vl T fD hqwrqfhv A ' *? 2T / vlqr kdfhu A ' *? 2 E T 1 61 Ghyroyhu A 1 Sru rwud sduwh ho vrsruwh gh od ghqvlgdg } frqwlhqh do gh s +gh khfkr dperv vrq wrgd od uhfwd uhdo, |/ sru wdqwr/ ho ydoru öswlpr sdud S vhuä Srsw s E% ' 4@ ' 4@ %MU } E% %MU u 2 % I e3 2 2Z 3% e 2 ' 2 4@ e)E% ' Z %MU u 2 4@ e Z %MU )E% c Métodos universales para la generación de variables contínuas 2 grqgh ) E% ' %2 n m%m1 Gdgr txh hvwd ixqflöq hv vlpìwulfd/ frqwlqxd hq wrgd od uhfwd uhdo | glihuhqfldeoh wdqwdv yhfhv frpr vh ghvhh vdoyr hq % ' f/ edvwduä hqfrqwudu vx pä{lpr devroxwr hq ho lqwhuydor dfc 4= % : f , ) E% ' % n c ) E% ' ( i% : fc ) E% ' fj / % ' ) E f Gh hvwd irupd/ ) dofdq}d xq pä{lpr uhodwlyr hq % ' | rwur gh lgìqwlfr ydoru hq % ' 1 Uhvxowd iäflo ghprvwudu txh dperv vrq pä{lprv devroxwrv +sru orv lqwhuydorv gh fuhflplhqwr | ghfuhflplhqwr gh od ixqflöq,1 Frqvljxlhqwhphqwh/ u Srsw ' 2 )E e ' Z u 2 *2 e ' Z u 2e * DD Z Frpr frqvhfxhqfld ho dojrulwpr surfhghuðd gho vljxlhqwh prgr= 41 Uhshwlu 4141 Jhqhudu Lc T L Efc 1 4151 Vl T fD kdfhu A ' *? 2T / vlqr kdfhu A ' *? 2 E T 1 2 51 Kdvwd txh L i T A2 mA m n 2 1 61 Ghyroyhu f ' A 1 Od frqglflöq txh kd| txh frpsuredu sdud ghflglu vl kd| dfhswdflöq r uhfkd}r vxujh gh txh u u 2 2 A A 2e Z } EA ' L i T SL mA m ' L i T mA m n s EA Z 2 2 2 2 Gdgr txh ho qýphur phglr gh uhshwlflrqhv gh orv sdvrv 405 kdvwd txh vh rewlhqh xq ydoru vlpxodgr sdud s Zf hv S * DD | od suredelolgdg gh dfhswdflöq hq ho ' f .Sf./ sxhgh ghfluvh txh ho dojrulwpr hv edvwdqwh sdvr 5 hv R ' *S ' 2e hflhqwh1 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 -4 -2 0 2 x 4 Ghqvlgdghv qrupdo hvwäqgdu +wud}r glvfrqwlqxr, | greoh h{srqhqfldo dx{loldu +wud}r frqwlqxr, 43 44 Introducción a la Simulación y a la Teoría de Colas Ricardo Cao Abad 61516 Hohfflöq gh od ghqvlgdg dx{loldu } Frpr vh kd frphqwdgr dqwhulruphqwh/ xq dvshfwr lpsruwdqwh txh lq x|h hq od hflhqfld gho pìwrgr gh dfhswdflöq2uhfkd}r hv ho ydoru gh od frqvwdqwh S1 Frqr0 flgd od ghqvlgdg dx{loldu } vdehprv föpr hohjlu S gh irupd txh ho dojrulwpr vhd or päv hflhqwh srvleoh/ vlq hpedujr hv reylr txh dojxqdv ghqvlgdghv dx{lolduhv vhuðdq phmruhv fdqglgdwdv txh rwudv sdud frqvhjxlu xq pìwrgr hflhqwh1 Hq jhqhudo/ fxdqwr päv sduhflgd vhd od irupd gh } d od gh s / päv shtxhôr hv ho pðqlpr S qhfhvdulr sdud frqvhjxlu txh od juäfd gh S } txhgh sru hqflpd gh od gh s 1 Gh wrgdv irupdv/ ho sureohpd gh hqfrqwudu od ghqvlgdg dx{loldu } txh riuh}fd xq S +öswlpr, or phqru srvleoh/ qr wlhqh vroxflöq1 Phmru glfkr/ wlhqh od vroxflöq wulyldo } ' s / txh hv devroxwdphqwh lqýwlo sdud od lpsohphqwdflöq gho dojrulwpr/ sxhv vl s hud gliðflo gh vlpxodu/ qr srghprv wrpdu frpr } od sursld s +|d txh vhuðd ljxdo gh gliðflo gh vlpxodu,1 Xqd vroxflöq lqwhuphgld do sureohpd gh hohjlu xqd ixqflöq gh ghqvlgdg dx{loldu/ }/ dghfxdgd frqvlvwh hq wrpdu flhuwd idplold sdudpìwulfd gh ghqvlgdghv txh suhvhqwhq xq dedqlfr gh irupdv hqwuh odv txh kd|d dojxqd txh vh sduhfh edvwdqwh d od gh s = i}w *w 5 Xj/ hqfrqwudu ho ydoru gh S öswlpr sdud fdgd ghqvlgdg gh hvd idplold= s E% }w E% Sw ' 4@ % |/ qdophqwh/ hohjlu ho phmru ydoru gho sduäphwur/ wf / hq ho vhqwlgr gh riuhfhu ho phqru srvleoh Sw = Swf ' 4? 4@ wMX % s E% }w E% Yhdprv xq hmhpsor1 Hmhpsor 45 Vxsöqjdvh txh vh ghvhd xwlol}du od greoh h{srqhqfldo gh sduäphwur b : f frpr ghqvlgdg dx{loldu hq ho pìwrgr gh dfhswdflöq uhfkd}r sdud vlpxodu od qrupdo hvwäqgdu1 Od ghqvlgdg greoh h{srqhqfldo |d ixh lqwurgxflgd hq ho hmhpsor dqwhulru hq ho fdvr hq ho txh ho sduäphwur ydojd b ' 1 Hq xq fdvr jhqhudo vx iöupxod hv }b E% ' b 3b% / sdud wrgr % 5 U e 2 Vljxlhqgr orv plvprv sdvrv txh sdud ho fdvr b ' / dqwhulruphqwh hvwxgldgr/ xq dojrulwpr sdud vlpxodu hvwd glvwulexflöq edvdgr ho pìwrgr gh lqyhuvlöq hv ho vljxlhqwh= 41 Jhqhudu T L Efc 1 51 Vl T fD kdfhu A ' b *? 2T / vlqr kdfhu A ' b *? 2 E T 1 61 Ghyroyhu A 1 Métodos universales para la generación de variables contínuas Vl suhwhqghprv hqfrqwudu ho phmru ydoru gh b/ hq wìuplqrv gh hflhqfld gho dojrulwpr/ ghehprv fdofxodu Sbf s E% ' 4? 4@ ' 4? 4@ b:f %MU }b E% b:f %MU 2 % I e3 2 2Z b 3b% e 2 dqäorjdphqwh d or ylvwr sdud ho fdvr b ' / vh wlhqh u u %2 I e3 2 2 2 4@ 2Z )b E% 4@ e e ' Sb ' 4@ b 3b% ' %MU b Z %MU b Z e 2 %MU )b E% c 2 grqgh )b E% ' %2 n b m%m1 Gh irupd wrwdophqwh vlplodu d dtxho fdvr sxhgh sureduvh txh )b dofdq}d vx pä{lpr devroxwr hq orv sxqwrv % ' b/ vlhqgr 2 glfkr ydoru pä{lpr )b Eb ' b2 1 Frpr frqvhfxhqfld/ Sb ' b u b2 2 )b Eb e 2 e ' Z b u 2 Z Dkrud ghehprv hqfrqwudu bf wdo txh Sbf ' 4?b:f Sb = u u b2 2 b2 b2 2 be 2 b e 2 2e 2 b _Sb ' ' c _b Z Z b2 b2 u b2 b2 b2 _2 Sb 2 dbe 2 b2 n e 2 2bob2 e 2 b2 2b ' Z _b2 be u b2 D u b2 D 2 e 2 b n b 2b n 2b 2 e 2 b b n 2b ' ' c Z Z be be _Sb ' f / b ' / |d txh b : f _b u _2 Sb 2e : f/ oxhjr b ' hv xq sxqwr gh pðqlpr1 ' 2 2 Z _b b' Gh hvwr vh ghgxfh txh od phmru greoh h{srqhqfldo/ frpr ghqvlgdg dx{loldu hq ho dojrulwpr/ hv od fruuhvsrqglhqwh d b ' 1 Hvwd ixh od xvdgd hq ho hmhufl0 flr dqwhulru/ dvð sxhv/ ho dojruwlpr päv hflhqwh +frq ghqvlgdg dx{loldu greoh h{srqhqfldo, hv ho h{sxhvwr hq glfkr hmhuflflr1 25 20 15 10 5 0 0.5 1 1.5 2 Juäfd gh Sb iuhqwh d b 2.5 3 45 46 Introducción a la Simulación y a la Teoría de Colas Ricardo Cao Abad 616 Hmhuflflrv sursxhvwrv 41 Gdu xq dojrulwpr sdud vlpxodu od yduldeoh dohdwruld frqwlqxd frq ghqvlgdg 2 2% s E% ' c t % fc e% xwlol}dqgr/ gh irupd dx{loldu/ ho jhqhudgru gh xqd h{srqhqfldo gh sduä0 phwur xqr1 Frphqwdu vx hflhqfld1 51 Gdgd xqd yduldeoh dohdwruld frqwlqxd frq ixqflöq gh ghqvlgdg S%E % vl % 5 dfc o s E% ' f hq rwur fdvr gdu xq dojrulwpr sdud vlpxodu ydoruhv gh od plvpd1 Dqdol}du od hflhqfld gh glfkr dojrulwpr1 61 Do erpedughdu xqd oäplqd flufxodu gh udglr fp/ khfkd gh sodwd/ frq sduwðfxodv k/ od glvwdqfld gh fdgd lpsdfwr do fhqwur gho fðufxor uhvxowd vhu xqd yduldeoh dohdwruld frqwlqxd frq ixqflöq gh ghqvlgdg gdgd sru s E% ' %2 / vl f % 1 Ghwdoodu xq dojrulwpr/ or päv vhqfloor srvleoh/ sdud vlpxodu od glvwdqfld do fhqwur gh od oäplqd hq vxfhvlyrv lpsdfwrv1 71 Ho wlhpsr gh uhvsxhvwd +hq fhqwìvlpdv gh vhjxqgr, gh xq vhuylgru lq0 irupäwlfr hv xqd yduldeoh frq ixqflöq gh glvwulexflöq gdgd sru 8 E% ' E% n e3% / vl % f | fhur hq rwur fdvr1 Gdu xq dojrulwpr/ or päv ghwdoodgr srvleoh/ sdud vlpxodu ydoruhv gh glfkr wlhpsr gh uhvsxhvwd1 81 Od ghqvlgdg gh suredelolgdg gh xqd yduldeoh dohdwruld ylhqh gdgd sru E2%2 n e32% vl % f s E% ' f hq rwur fdvr Hqfrqwudu xq dojrulwpr sdud vlpxodu ydoruhv surfhghqwhv gh glfkd glv0 wulexflöq | frphqwdu vx hflhqfld1 c vl % 5 dfc eo | fhur hq ho 91 Gdgd od ixqflöq gh ghqvlgdg s E% ' % 32%n2f eH uhvwr/ ghwdoodu xq dojrulwpr txh shuplwd vlpxodu ydoruhv gh od plvpd1 :1 Ho wlhpsr +hq dôrv, hqwuh grv lqvshfflrqhv vfdohv d xqd hpsuhvd hv xqd yduldeoh dohdwruld frq ghqvlgdg gdgd sru f fffH% fffff%2 vl % 5 dfc fo s E% ' * dfc fo f vl % 5 Gdu xq dojrulwpr/ or päv vhqfloor srvleoh/ txh shuplwd vlpxodu ydoruhv gh hvd yduldeoh1 Frphqwdu ho judgr gh hflhqfld gh glfkr dojrulwpr iuhqwh Métodos universales para la generación de variables contínuas d rwudv dowhuqdwlydv srvleohv sdud frqvhjxlu ho plvpr q1 Xwlol}dqgr xq jhqhudgru frqjuxhqfldo frq sduäphwurv @ ' D/ S ' | 6 ' f2e | vhplood %f ' 2./ vlpxodu wuhv wlhpsrv hqwuh lqvshfflrqhv/ sru phglr gho dojrulwpr hqfrqwudgr1 Ghvfulelu xq pìwrgr sdud vlpxodu ho qýphur gh lqvshfflrqhv uhdol}dgdv ghvgh xqd gdgd kdvwd ghqwur gh yhlqwh dôrv1 ;1 Ho wlhpsr/ hq plolvhjxqgrv/ gh dqwlflsdflöq +r uhwudvr, gh xqd vhôdo uhv0 shfwr gh rwud hq xq vlvwhpd gh frpxqlfdflrqhv sxhgh frqvlghuduvh xqd e% 1 yduldeoh dohdwruld frq ixqflöq gh glvwulexflöq gdgd sru 8 E% ' n e% Gdu xq dojrulwpr/ or päv ghwdoodgr | vlpsoh srvleoh/ sdud vlpxodu ydoruhv gh glfkr wlhpsr gh uhvsxhvwd1 Frpsdudu od hflhqfld frpsxwdflrqdo gho pìwrgr frq od gho dojrulwpr foävlfr sdud vlpxodu od glvwulexflöq h{sr0 qhqfldo1 <1 Ho qýphur gh krudv glduldv gxudqwh odv fxdohv xq whuplqdo +gh wlsr D, gh xq oderudwrulr hvwä vlhqgr xwlol}dgr hv xqd yduldeoh frq ixqflöq gh glvwulexflöq= ; ? e%32 vl % f %32 8 E% ' = f n e hq rwur fdvr Vh slgh= +d, Gdu xq dojrulwpr sdud vlpxodu glfkd yduldeoh1 +e, Vl sdud rwur wlsr gh whuplqdohv +ho wlsr E, ho wlhpsr gh xwlol}dflöq wlhqh glvwulexflöq i T 2 / ghwdoodu xq dojrulwpr sdud dsur{lpdu/ sru vlpxodflöq/ od suredelolgdg gh txh xq whuplqdo gh wlsr E vhd päv xwlol}dgr txh xqr gh wlsr D1 47 4 Métodos universales para la simulación de variables discretas Métodos universales para la generación de variables discretas 71 0 Hq or txh vljxh vh h{srqguäq dojxqrv pìwrgrv jhqhudohv sdud vlpxodu glvwulex0 flrqhv glvfuhwdv1 Hq frqfuhwr/ vh hvwxglduä ho pìwrgr gh od wudqvirupdflöq fxdqwlo hq vx yhuvlöq foävlfd | frq hwltxhwdgrv öswlprv/ ho pìwrgr gh odv wdeodv jxðd | orv pìwrgrv gh wuxqfdplhqwr1 Ho sureohpd txh qrv rfxsd dkrud hv vlpxodu xqd yduldeoh dohdwruld glvfuh0 wd/ f/ txh wrpd orv ydoruhv % / %2 / / %? + ,/ frq suredelolgdghv R ' Ef ' % / ' c 2c c ? + ,1 Xq sodqwhdplhqwr hvwäqgdu/ htxlydohqwh do dqwhulru/ frqvlvwh hq uhvroyhu od fxhvwlöq gh vlpxodu od yduldeoh dohdwruld U txh wrpd orv ydoruhv c 2c c ? + , frq odv plvpdv suredelolgdghv R / ' c 2c c ? + ,1 Hvwr hv frqvhfxhqfld gho xvr gh xqd dsolfdflöq lq|hfwlyd oodpdgd gh frglfdflöq r hwltxhwdgr/ gdgd sru/ , G $ Qc frq , E% ' / vlhqgr ho frqmxqwr gh ydoruhv txh wrpd od yduldeoh dohdwruld f 714 Ho pìwrgr gh od wudqvirupdflöq fxdqwlo Hvwh pìwrgr hv xqd dgdswdflöq gho pìwrgr gh lqyhuvlöq +yäolgr sdud ho fdvr frqwlqxr, d glvwulexflrqhv glvfuhwdv1 Hq sulphu oxjdu yhdprv srutxì ho pìwrgr gh lqyhuvlöq qr hv dsolfdeoh gluhfwdphqwh hq hvwh fdvr1 Gdgd xqd yduldeoh dohwruld glvfuhwd/ vx ixqflöq gh glvwulexflöq ylhqh gdgd sru [ R / ;% 5 U 8 E% ' % $% Vh vxsrqguä +sru frprglgdg, txh orv ydoruhv txh wrpd od yduldeoh |d hvwäq rughqdgrv | qrv fhôluhprv do fdvr qlwr1 Hq fdvr frqwudulr vh rughqduðdq ghqrwdqgr % ho phqru/ %2 ho vhjxqgr | dvð vxfhvlydphqwh1 Gh hvwd irupd whqguðdprv= % %2 %? 1 Hq hvwh fdvr hv reylr txh ho uhvxowdgr gdgr sru ho whruhpd gh lqyhuvlöq qr hv flhuwr |d txh od yduldeoh dohdwruld 8 Ef wrpd vöor orv ydoruhv 8 ER / 8 ER n R2 / / 8 ER n R2 n n R? vlhqgr/ sru wdqwr/ glvfuhwd | qr sxglhqgr whqhu glvwulexflöq L Efc 1 51 52 Introducción a la Simulación y a la Teoría de Colas Ricardo Cao Abad Hmhuflflr 71414 Ghwhuplqdu od glvwulexflöq gh 8 Ef1 Gh od plvpd irupd/ gdgd xqd yduldeoh L L Efc / wdpsrfr sxhgh vhu flhuwr txh 8 3 EL whqjd od plvpd glvwulexflöq txh f1 Gh khfkr 8 3 qr hvwä ghqlgd gh irupd ýqlfd sxhv odv ixqflrqhv gh glvwulexflöq glvfuhwdv qr wlhqhq lqyhuvd/ sxhv sdud fdvl wrgr 5 dfc o qr kd| qlqjýq % wdo txh 8 E% ' | sdud xq qýphur qlwr +r lqqlwr qxphudeoh, gh 5 dfc o vh wlhqh txh h{lvwh wrgr xq lqwhuydor gh ydoruhv sdud % fxpsolhqgr 8 E% ' 1 D shvdu gh hoor sxhgh ghqluvh od oodpdgd ixqflöq fxdqwlo +r lqyhuvd jhqhudolgdgd, gh xqd glvwulexflöq fxdotxlhud 8 d sduwlu gh ' E ' ?u i% 5 U*8 E% j c ; 5 Efc 1 Hv reylr txh hvwd ixqflöq vlhpsuh hvwä ghqlgd | txh fxdqgr 8 vhd lqyhuwleoh/ ' ' 8 3 1 Ho vljxlhqwh whruhpd gd xq uhvxowdgr txh jhqhudol}d do whruhpd gh lqyhuvlöq d vlwxdflrqhv hq odv txh 8 qr hv lqyhuwleoh1 Whruhpd 46 +gh lqyhuvlöq jhqhudol}dgd, Vhd f xqd yduldeoh dohdwruld frq ixqflöq gh glvwulexflöq 8 | frq ixqflöq fxdqwlo '1 Frqvlgìuhvh xqd yduldeoh dohdwruld/ L / frq glvwulexflöq L Efc / hqwrqfhv/ od yduldeoh ' EL wlhqh od plv0 pd glvwulexflöq txh f1 Ghprvwudflöq= Vhd C od ixqflöq gh glvwulexflöq gh ' EL1 Gdgr % 5 U/ vh wlhqh C E% ' E' EL % ' E?u i+ 5 U*8 E+ L j % ] 8 E% _ ' 8 E% ' E8 E% L ' f D sduwlu gho whruhpd gh lqyhuvlöq jhqhudol}dgd sxhgh rewhqhuvh xq dojrulwpr jhqhudo sdud vlpxodu fxdotxlhu glvwulexflöq gh suredelolgdg glvfuhwd1 Hv ho oodpdgr dojrulwpr gh wudqvirupdflöq fxdqwlo r gh lqyhuvlöq jhqhudol}dgd1 Dojruwlpr gh wudqvirupdflöq fxdqwlo 41 Jhqhudu L L Efc 1 51 Ghyroyhu f ' ' EL 1 Od pd|ru glfxowdg hq od lpsohphqwdflöq gho dojrulwpr udglfd hq ho fäofxor gh , + / [ R L ' EL ' ?u i% 5 U*8 E% Lj ' ?u % ' ' %& / wdo txh & [ ' R L : &3 [ R ' Wrgr ho sureohpd udglfd/ sru wdqwr/ hq hqfrqwudu ho ydoru/ &/ gh od yduldeoh/ U/ txh jxdugd odv hwltxhwdv/ sdud ho fxdo od ixqflöq gh glvwulexflöq vxshud r Métodos universales para la generación de variables discretas ljxdod sru sulphud yh} do ydoru gh L 1 Hvwh ydoru sxhgh kdooduvh phgldqwh xqd eývtxhgd vhfxhqfldo/ xwlol}dqgr ho vljxlhqwh dojrulwpr= Dojruwlpr gh wudqvirupdflöq fxdqwlo frq eývtxhgd vhfxhqfldo 41 Jhqhudu L L Efc 1 51 Kdfhu U ' | 7 ' R 1 61 Plhqwudv L : 7 kdfhu 6141 U ' U n | 7 ' 7 n RU 1 71 Ghyroyhu f ' %U 1 Vl vh ghvhd jhqhudu xq judq qýphur gh ydoruhv gh od yduldeoh f +txh hv or päv kdelwxdo, sxhgh uhvxowdu päv hflhqwh fdofxodu suhyldphqwh odv fdqwlgdghv S 7 ' ' R gh irupd uhfxuvlyd= 7 ' R / 7 ' 73 n R sdud ' 2c c c ? | kdfhu od frpsdudflöq L : 7U hq ho sdvr 6 gho dojrulwpr dqwhulru1 Gh hvwd irupd vh hylwd or txh srguðdq vhu fäofxorv uhshwlwlyrv gh odv plvpdv vxpdv gh suredelolgdghv do vlpxodu glvwlqwrv ydoruhv gh f1 Hmhpsor 47 +Vlpxodflöq gh od glvwulexflöq gh Srlvvrq, Wöphvh xqd yd0 uldeoh/ f/ frq glvwulexflöq gh Srlvvrq gh sduäphwur b/ txh wrpd orv ydoruhv % ' f/ %2 ' / frq suredelolgdghv R ' Ef ' % ' Ef ' ' e3b b3 / ' c 2c E - Hq hvwh fdvr ho dojrulwpr gh lqyhuvlöq frq eývtxhgd vhfxhqfldo ylhqh gdgr sru 41 Jhqhudu L L Efc 1 51 Kdfhu U ' | 7 ' e3b 1 61 Plhqwudv L : 7 kdfhu 3b bU3 1 6141 U ' U n | 7 ' 7 n e EU371 Ghyroyhu f ' U 1 Ghelgr d txh od irupd gh hwltxhwdu orv ydoruhv gh od yduldeoh frqoohyd ho ghvidvh gh xqd xqlgdg hq orv ðqglfhv/ hv uhfrphqgdeoh dmxvwdu ho dojrulwpr sdud hylwdu hvwh hihfwr= 41 Jhqhudu L L Efc 1 51 Kdfhu U ' f | 7 ' e3b 1 61 Plhqwudv L : 7 kdfhu 3b U 6141 U ' U n | 7 ' 7 n e U-b 1 71 Ghyroyhu f ' U1 Sru ýowlpr/ whqlhqgr hq fxhqwd txh odv suredelolgdghv sxhghq fdofxoduvh gh irupd uhfxuvlyd Ef ' ' b e3b b3 b e3b b ' ' Ef ' / E vh sxhghq vlpsolfdu orv fäofxorv txh dsduhfhq hq ho sdvr 614 gho dojrulwpr gdqgr oxjdu d 41 Jhqhudu L L Efc 1 51 Kdfhu U ' f/ R ' e3b | 7 ' R1 53 54 Introducción a la Simulación y a la Teoría de Colas Ricardo Cao Abad 61 Plhqwudv L : 7 kdfhu 6141 U ' U n / R ' bU R | 7 ' 7 n R1 71 Ghyroyhu f ' U1 71414 Hflhqfld gho dojrulwpr Gdgd od irupd gho dojrulwpr jhqhudo sdud vlpxodu xqd glvwulexflöq glvfuhwd ph0 gldqwh ho pìwrgr gh od wudqvirupdflöq fxdqwlo xwlol}dqgr eývtxhgd vhfxhqfldo/ hv iäflo suredu txh ho qýphur gh frpsuredflrqhv gh od irupd L : 7 hv suh0 flvdphqwh ljxdo d U/ ho ydoru gh od yduldeoh txh frqwlhqh odv hwltxhwdv1 Frpr ho ydoru gh U hv dohdwrulr | ydulduä frq fdgd hmhfxflöq gho dojruwlpr/ xqd phglgd gh od hflhqfld gho plvpr vhuä ho qýphur phglr gh frpsdudflrqhv gho sdvr 6/ hv ghflu/ S? R vl f wrpd xq qýphur qlwr +?, gh ydoruhv S' . EU ' " vl f wrpd xq lqqlwrv ydoruhv ' R Uhvxowd sxhv hylghqwh txh/ frpr qr h{lvwh xqd ýqlfd irupd gh hwltxhwdu orv ydoruhv txh wrpd od yduldeoh hq fxhvwlöq/ kdeuä txl}ä dojýq hwltxhwdgr txh riuh}fd xq phqru qýphur phglr gh frpsdudflrqhv hq ho sdvr 6 gho dojrulwpr txh ho hwltxhwdgr ruljlqdo +txh rehghfh d od lghd gh rughqdu gh irupd fuhflhqwh orv ydoruhv txh wrpd od yduldeoh,1 Hv reylr txh orv ghpäv hwltxhwdgrv qr vhuäq htxlydohqwhv do pìwrgr gh wudqvirupdflöq fxdqwlo dsolfdgr gluhfwdphqwh vreuh od yduldeoh f/ vlqö päv elhq frqvlvwluäq hq xqd idvh suhyld hq od txh vh hwltxhwduäq +gh od irupd päv frqyhqlhqwh, orv srvleohv ydoruhv gh od yduldeoh f/ gdqgr oxjdu d xqd yduldeoh gh hwltxhwdv/ U/ | oxhjr vh vlpxoduäq ydoruhv gh glfkd yduldeoh sdud srvwhulruphqwh uhfxshudu orv ydoruhv gh f phgldqwh ,3 / od lqyhuvd gho hwltxhwdgr r ixqflöq gh ghfrglfdflöq1 Hmhpsor 48 Frqvlgìuhvh od yduldeoh dohdwruld glvfuhwd f frq glvwulexflöq gd0 gd sru Ef ' ' f/ Ef ' D ' f/ Ef ' . ' fS Ghqlhqgr , G ic Dc .j $ ic 2c j , E ' / , ED ' 2/ , E. ' +l1h1 % ' / %2 ' D/ % ' ., vh wlhqh xq hwltxhwdgr U frq glvwulexflöq EU ' ' f/ EU ' 2 ' f/ EU ' ' fS Métodos universales para la generación de variables discretas |/ sru wdqwr/ frq phgld . EU ' f n 2 f n fS ' 2 D1 Vl/ sru ho frqwudulr/ ghqlprv ho hwltxhwdgr G ic Dc .j $ ic 2c j E ' / , ED ' 2/ , E. ' +l1h1 % ' ./ %2 ' D/ % ' , vh wlhqh txh EU ' ' fS/ EU ' 2 ' f/ EU ' ' f | dvð . EU ' fS n 2 f n f ' D1 Vh revhuyd/ sru wdqwr/ frpr . EU hv vhqvleohphqwh lqihulru d . EU |/ sru or wdqwr/ frpr ho vhjxqgr hwltxhwdgr/ gdgr sru / sursruflrqd xq dojrulwpr päv hflhqwh txh ho gdgr sru ho hwltxhwdgr ruljlqdo/ ,1 Frpr sduhfh ghgxfluvh gho hmhpsor dqwhulru/ xq hwltxhwdgr vhuä wdqwr phmru fxdqwr phqruhv vhdq odv hwltxhwdv txh vh gdq d orv ydoruhv txh wlhqhq pd|ru suredelolgdg1 Dvð/ gdgd od yduldeoh fruuhvsrqglhqwh do hwltxhwdgr ruljlqdo/ U/ frq pdvd gh suredelolgdg R / R2 / / R? / ho phmru hwltxhwdgr hv ho gdgr sru , E ' ? n udqjrER / vlhqgr ho udqjr gh R ho hqwhur txh lqglfd ho oxjdu txh rfxsd R hq xqd rughqdflöq frqmxqwd gh orv ? ydoruhv R / R2 / / R? 1 Glfkr gh rwud irupd/ ho hwltxhwdgr , rwrujd ho ðqglfh do hqwhur frq pd|ru suredelolgdg/ R > ho ðqglfh 2 do gh vhjxqgd pd|ru suredelolgdg | dvð vxfhvlydphqwh1 Od surslhgdg dqwhulru uhvxowd gh iäflo ghprvwudflöq1 Vxsöqjdvh xqd yduld0 eoh/ U/ dvrfldgd d xq hwltxhwdgr glvwlqwr gho ,/ uhflìq ghqlgr1 Hv ghflu/ vh wudwd gh xq hwltxhwdgr yhulfdqgr txh h{lvwhq xq sdu gh ðqglfhv | & wdohv txh E& E | dghpäv R& R 1 D sduwlu gh hvwh hwltxhwdgr vh ghqh rwur qxhyr/ }/ gh od irupd ; ? E vl 9' h 9' & E& vl ' } E ' = E vl ' & Sureduhprv px| iäflophqwh txh ho qýphur phglr gh frpsdudflrqhv dvrfldgr d hvwh hwltxhwdgr hv phqru txh ho gho gh sduwlgd= . EU} ' ? [ } E R ' ' ' ' ? [ } E R n } E R n } E& R& 'c'c'& ? [ E R n E& R n E R& 'c'c'& ? [ E R n E& R n E R& E R E& R& ' ' . EU n E E& E ER R& . EU 55 56 Introducción a la Simulación y a la Teoría de Colas Ricardo Cao Abad Frq hvwr vh ghpxhvwud txh xq hwltxhwdgr txh qr sursruflrqdvh xq rughq ghfuhflhqwh hq odv suredelolgdghv srguðd vhu phmrudgr +hq wìuplqrv gh kdfhu pðqlpr ho qýphur phglr gh frpsdudflrqhv gho dojrulwpr, sru rwur qxhyr1 Frpr frqvhfxhqfld/ orv hwltxhwdgrv öswlprv vhuäq dtxhoorv txh suryrtxhq ru0 ghqdflrqhv ghfuhflhqwhv vreuh odv suredelolgdghv/ hv ghflu/ R,3 E R,3 E2 R,3 E? 1 Reyldphqwh sxhghq h{lvwlu ydulrv hwltxhwdgrv öswlprv vl kd| hpsdwhv hqwuh dojxqdv gh hvwdv suredelolgdghv1 Fxdqgr od yduldeoh d vlpxodu wlhqh xq qýphur qlwr gh ydoruhv= % / %2 / fxdqwlo frq eývtxhgd / %? / do lpsohphqwdu ho pìwrgr gh od wudqvirupdflöq S?3 vhfxhqfld gluhfwd/ xqd yh} frpsuredgr txh L : ' R / qr hv qhfhvdulr S frpsuredu L : ?' R ' +txh vlhpsuh hv idovr,/ vlqö txh jhqhudprv %? vlq qhfhvlgdg gh hihfwxdu hvd frpsdudflöq1 Sru hvh prwlyr ho qýphur phglr gh frpsdudflrqhv vhuðd uhdophqwh= ?3 [ R n E? R? 1 ' Wrgr or glfkr dqwhulruphqwh dfhufd gh od hohfflöq öswlpd gho hwltxhwdgr vljxh vlhqgr yäolgr vdoyr shupxwdflrqhv hqwuh orv ydoruhv frq odv grv ýowlpdv hwltxh0 wdv1 Hmhpsor 49 Frqvlghuhprv od yduldeoh dohdwruld glvfuhwd frq glvwlexflöq Ef ' ' f/ Ef ' ' f/ Ef ' D ' f2D/ Ef ' . ' f2/ Ef ' b ' f1 Ho frqmxqwr gh ydoruhv txh wrpd od yduldeoh hv ' ic c Dc .c bj | od ixqflöq gh hwltxhwdgr dvrfldgd do dojrulwpr gh lqyhuvlöq jhqhudol}dgd hq vx yhuvlöq foävlfd hv G $ Q gdgd sru E ' / E ' 2/ ED ' / E. ' e/ Eb ' D1 Ho qýphur gh frpsdudflrqhv hq ho dojrulwpr dvrfldgr d hvwh hwltxhwdgr hv xqd yduldeoh glvfuhwd/ U / frq glvwulexflöq EU ' ' f/ EU ' 2 ' f/ EU ' ' f2D/ EU ' e ' f2/ EU ' D ' f Métodos universales para la generación de variables discretas Sru wdqwr/ ho qýphur phglr gh frpsdudflrqhv gho dojrulwpr hv . EU ' f n f 2 n f2D n Ef2 n f e ' 2 H2 Xq hwltxhwdgr öswlpr vhuðd , G $ Q gdgr sru , E ' D/ , E ' / , ED ' 2/ , E. ' / , Eb ' e1 fx|r qýphur phglr gh frpsdudflrqhv ylhqh gdgr sru . EU, ' f n f2D 2 n f2 n Ef n f e ' 2 b txh phmrud vhqvleohphqwh ho ydoru gho pìwrgr gh wudqvirupdflöq fxdqwlo hvwäq0 gdu1 Hvwh hwltxhwdgr fruuhvsrqgh d od qrwdflöq % ' / %2 ' D/ % ' ./ %e ' b | %D ' 1 71415 Fäofxor gluhfwr gh od ixqflöq fxdqwlo Hq rfdvlrqhv ho pìwrgr gh od wudqvirupdflöq fxdqwlo sxhgh dfhohuduvh frpsxwd0 flrqdophqwh srutxh/ phgldqwh fäofxorv gluhfwrv/ hv srvleoh hqfrqwudu ho ydoru gh od ixqflöq fxdqwlo hq fxdotxlhu L / hq xq wlhpsr gh frpsxwdflöq pðqlpr +hyl0 wdqgr ho exfoh gh eývtxhgd hq ho txh vh ydq dfxpxodqgr odv suredelolgdghv,1 Yhdprv dojxqrv hmhpsorv1 Hmhpsor 4: +od glvwulexflöq xqliruph glvfuhwd hq ic 2c c ?j, Hq hvwh fdvr od pdvd gh suredelolgdg ylhqh gdgd sru R ' / sdud ' c 2c ?1 ? Gh hvwd irupd vh wlhqh & [ ' R L : &3 [ ' R / & & L : / & ?L : & ? ? Vdoyr sdud xq frqmxqwr qlwr gh srvleohv ydoruhv +sdud L 5 ifc ? c c ?3 j,/ ? hvwd ýowlpd frqglflöq htxlydoh d & : ?L & txh/ d vx yh}/ hv or plvpr txh & ' g?L h n / vlhqgr g%h od sduwh hqwhud gh %1 Gh hvwd irupd/ ho dojrulwpr uhvxowd= 41 Jhqhudu L L Efc 1 51 Ghyroyhu f ' g?L h n 1 txh/ reyldphqwh/ hv xq dojrulwpr hqöuphphqwh hflhqwh1 57 58 Introducción a la Simulación y a la Teoría de Colas Ricardo Cao Abad Hmhpsor 4; +od glvwulexflöq jhrpìwulfd, Od glvwulexflöq jhrpìwulfd uh0 suhvhqwd ho qýphur gh iudfdvrv dqwhv gho sulphu ì{lwr | wlhqh od vljxlhqwh pdvd gh suredelolgdg Ef ' ' R E R / ' fc c Sdud xq ydoru hqwhur qr qhjdwlyr vx ixqflöq gh glvwulexflöq ylhqh gdgd sru 8 E ' [ R E R ' 'f R E Rn R ' E Rn 1 R Frpr frqvhfxhqfld vh wlhqh 8 E& L : 8 E& / E R&n L : E R& / E R& : L E R&n / & *? E R : *? E L E& n *? E R *? E L &n / & *? E R frqglflöq hvwd ýowlpd txh/ vdoyr sdud xq qýphur lqqlur shur qxphudeoh gh ydoruhv gh L +gh suredelolgdg fhur,/ htxlydoh d *? E L &' *? E R 41 51 31 41 51 61 Ho dojrulwpr surfhghuðd gh od vljxlhqwh irupd= Jhqhudu L LoEfc 1 p 1 Ghyroyhu f ' *?E3L *?E3R r/ dkruudqgr rshudflrqhv/ Kdfhu @ ' * *? E R1 Jhqhudu L L Efc 1 Ghyroyhu f ' g@ *? L h1 Uhshwlu orv sdvrv 405 wdqwdv yhfhv frpr vhd qhfhvdulr1 715 Dojrulwprv edvdgrv hq äuerohv elqdulrv1 Äu0 erohv gh Kxpdq1 Hq orv dojrulwprv gh eývtxhgd vhfxhqfldoSh{lvwh xq sdvr hq ho txh/ hq ixqflöq gho uhvxowdgr gh xqd frpsdudflöq +L : ' R , vh ghflgh vl ho ydoru d jhqh0 udu sdud f yd d vhu xqr frqfuhwr +f ' % , r vhjxluhprv exvfdqgr hqwuh orv uhvwdqwhv +f 5 i% * : j,1 Hvwd S irupd gh surfhghu oohyd d od hohfflöq gh xq ýqlfr ydoru vl od frqglflöq L : ' R hv idovd1 Métodos universales para la generación de variables discretas Xqd irupd päv jhqhudo gh surfhghu frqvlvwh hq frpsdudu +hq fdgd sdvr, ho ydoru gh L frq flhuwd vxpd gh suredelolgdghv | hohjlu hqwuh grv frqmxqwrv gh ydoruhv srvleohv +qr qhfhvduldphqwh gh xq ýqlfr hohphqwr qlqjxqr gh hoorv, vhjýq ho uhvxowdgr gh od frpsdudflöq1 Hmhpsor 4< Frqvlgìuhvh od yduldeoh dohdwruld f/ gdgd sru Ef ' ' fc Ef ' ' fc Ef ' D ' f2Dc Ef ' . ' f2c Ef ' b ' f Hv ghflu/ ghqrwdqgr % ' / %2 ' / % ' D/ %e ' ./ %D ' b/ vh wlhqh txh R ' f/ R2 ' f/ R ' f2D/ Re ' f2/ RD ' f1 Ho dojrulwpr gh eývtxhgd vhfxhqfldo wlhqh xqd hvwuxfwxud gdgd sru od jxud dgmxqwd1 Grqgh lqglfd ho qýphur gh frpsdudflrqhv sdud rewhqhu xqr gh orv ydoruhv vlpxodgrv1 Hq hvwh fdvr . E ' f n 2 f n f2D n e Ef2 n f ' 2 H21 Dghpäv/ uhvxowd iäflo yhu txh xqd yhuvlöq gho dojrulwpr hq od txh vh hwltxhwdvhq orv ydoruhv gh irupd txh odv suredelolgdghv uhvxowdvhq rughqdgdv gh irupd ghfuhflhqwh riuhfhuðd xq qýphur phglr gh frpsdudflrqhv ljxdo d . E ' f n 2 f2D n f2 n e Ef n f ' 2 b1 Uhsuhvhqwdflöq juäfd gho dojrulwpr hq irupd gh äuero gh Kxpdq1 Od suhjxqwd txh vh sodqwhd hq ho hmhpsor dqwhulru +| hq jhqhudo, hv Áqr h{lv0 wluðd dojýq rwur wlsr gh eývtxhgd hq irupd gh äuero elqdulr +dxqtxh frq qrgrv klmrv sru od l}txlhugd txh qr whqjdq txh vhu qhfhvduldphqwh qrgrv whuplqdohv x krmdv gho äuero, txh surgx}fd xq phqru qýphur phglr gh frpsdudflrqhvB Ho sureohpd sxhgh sodqwhduvh gh irupd htxlydohqwh hq wìuplqrv gh äuerohv elqdulrv1 Xq äuero qr hv päv txh xq judir rulhqwdgr hq ho txh h{lvwh xq qrgr vlqjxodu oodpdgr udð} +r qrgr ruljhq, gho fxdo vdohq dufrv shur do fxdo qr oohjdq dufrv1 Orv qrgrv d orv txh oohjdq dufrv surfhghqwhv gh rwur qrgr vrq oodpdgrv klmrv gh glfkr qrgr1 Hq qxhvwur fdvr frqvlghuduhprv txh fdgd qrgr/ h{fhswr ho 59 60 Introducción a la Simulación y a la Teoría de Colas Ricardo Cao Abad udð}/ hv klmr gh h{dfwdphqwh rwur qrgr1 Orv qrgrv gh orv txh qr vdohq dufrv +r txh qr wlhqhq klmrv, vrq oodpdgrv qrgrv whuplqdohv x krmdv gho äuero1 Hq hvwdv frqglflrqhv vl ho judir hv qlwr +l1h1 vl wlhqh xq qýphur qlwr gh qrgrv, wrgr qrgr ghvflhqgh gho udð} hq xq qýphur qlwr gh jhqhudflrqhv +hv ghflu/ hv klmr gh xq klmr gh xq klmr gh xq klmr gho udð},1 Glfkr qýphur hv oodpdgr surixqglgdg gho qrgr1 Dtxhoorv äuerohv txh fxpsohq txh wrgrv orv qrgrv/ h{fhswr orv whuplqdohv/ wlhqhq h{dfwdphqwh grv klmrv vh oodpdq äuerohv elqdulrv1 Ho sureohpd txh qrv suhrfxsd/ shqvdgr hq wìuplqrv gh äuerohv elqdulrv/ frqvlvwh hq gdgrv ? qrgrv ic 2c c ?j frq suredelolgdghv uhvshfwlydv R / R2 / / R? / hqfrqwudu xq äuero elqdulr txh wlhqh suhflvdphqwh qrgrv whuplqdohv ic 2c c ?j | surixqglgdghv uhvshfwlydv _ / _2 / / _? / gh wdo irupd txh vh plqlplfh od ixqflöq ? [ _ R 1 ' Frq hvwd irupxodflöq/ odv suredelolgdghv rwrujdgdv d orv qrgrv whuplqdohv vrq suhflvdphqwh R ' Ef ' % 1 Do remhwr gh frqvwuxlu glfkr äuero +r xqr gh hoorv vl kd| ydulrv txh plql0 pl}dq od h{suhvlöq,/ uhvxowd iäflo shufdwduvh gh txh kd gh fxpsolu odv vljxlhqwhv surslhgdghv= 41 H{lvwhq do phqrv grv qrgrv whuplqdohv gh surixqglgd pä{lpd1 Hv reylr txh ho qrgr gh pä{lpd surixqglgdg hv whuplqdo1 Sru vhu xq äuero elqdulr/ hvh qrgr kd gh whqhu xq khupdqr txh hv gh od plvpd surixqglgdg |/ sru wdqwr/ wdpelìq whuplqdo1 51 Orv grv qrgrv gh suredelolgdg päv shtxhôd gho äuero öswlpr vrq whu0 plqdohv | gh surixqglgdg pä{lpd1 Gh qr vhu dvð kdeuðd xq qrgr gh pä{lpd surixqglgdg frq suredelolgdg pd|ru txh od gh rwur qrgr whupl0 qdo frq phqru surixqglgdg1 Shupxwdqgr dperv qrgrv hqfrqwuduðdprv rwur qxhyr äuero hq ho txh od ixqflöq gho remhwlyr vhuðd phqru1 61 Vlhpsuh h{lvwh dojýq äuero öswlpr hq ho txh orv grv qrgrv gh päv shtxhôd suredelolgdg vrq khupdqrv +| |d vdehprv txh gh surixqglgdg pä{lpd,1 Edvwd frqvlghudu xq äuero öswlpr +hq ho txh dperv qrgrv kdq gh whqhu pä{lpd surixqglgdg 0hq sduwlfxodu ljxdo0, | hq fdvr gh txh orv qrgrv hq fxhvwlöq qr ixhvhq khupdqrv uhdol}du xqd shupxwdflöq hqwuh xqr gh hoorv | ho khupdqr gho rwur1 Hvwh surfhvr qr dowhud od ixqflöq gho remhwlyr |/ sru wdqwr/ ho qxhyr äuero frqvwuxðgr/ hq ho txh hvrv grv qrgrv |d vð vrq khupdqrv/ wdpelìq hv öswlpr1 71 Ixvlrqdqgr orv grv qrgrv d orv txh vh uhhuh ho dsduwdgr dqwhulru +sru frprglgdg qrwdflrqdo vxsrqjdprv txh vrq orv qrgrv frq hwltxhwdv ? | ?, frq vx qrgr sdguh | rwrujäqgroh d ìvwh od vxpd gh vxv suredelol0 gdghv +R?3 n R? ,/ ho äuero uhvxowdqwh hv öswlpr hqwuh orv äuerohv elqdulrv Métodos universales para la generación de variables discretas idfwleohv sdud ho sureohpd frq xq qrgr whuplqdo phqrv | frq suredelol0 gdghv R / R2 / / R?32 / R?3 n R? 1 Gdgr txh hq ho surfhvr gh ixvlöq gh hvwrv qrgrv/ or txh vh kdfh hv uhgxflu od ixqflöq gho remhwlyr hq ho ydoru R?3 n R? / ho vxsrqhu txh hvwh äuero uhgxflgr qr ixhvh öswlpr ghqwur gh orv gh ? qrgrv whuplqdohv/ lpsolfduðd od h{lvwhqfld gh rwur phmru txh ìo/ ho fxdo srguðd vhu h{sdqglgr 0phgldqwh xq surfhvr mxvwdphqwh frq0 wudulr do dqwhulru0 d xq äuero frq ? qrgrv whuplqdohv +grqgh ho ? | ho ? |d kdq vlgr vhsdudgrv, d frvwd gh dxphqwdu od ixqflöq gho remhwlyr hq h{dfwdphqwh R?3 n R? 1 Hvwh äuero suhvhqwduðd xq ydoru gh od ixqflöq gho remhwlyr phqru txh ho gh sduwlgd/ or fxdo frqwudglfh od rswlpdolgdg gh dtxìo1 Vljxlhqgr odv sdxwdv dqwhulruhv srghprv frqvwuxðu xq äuero öswlpr gh od vljxlhqwh irupd= 41 Djuxsdprv orv grv qrgrv frq suredelolgdghv päv shtxhôdv hq xq vöor qrgr frq suredelolgdg ljxdo d od vxpd gh odv gh dperv1 Hq fdvr gh hpsdwhv orv ghvkdfhprv duelwuduldphqwh1 51 Hq ho äuero uhvxowdqwh +frq xq qrgr phqrv, surfhghprv frpr hq ho sdvr 4/ uhslwlhqgr hvwr kdvwd qdol}du frq xq sureohpd sdud äuerohv gh vöor grv qrgrv whuplqdohv/ fx|d vroxflöq hv wulyldo1 Ho äuero elqdulr öswlpr dvð frqvwuxðgr vh ghqrplqd äuero gh Kxpdq1 Hmhpsor 53 Uhwrphprv ho hmhpsor dqwhulru1 Hq sulqflslr whqhprv wdqwrv qrgrv frpr srvleohv ydoruhv gh od yduldeoh +flqfr, frq vxv uhvshfwlydv suredel0 olgdghv qrgrv D . b suredelolgdghv f f f2D f2 f Dvð/ vh fuhd ho qrgr ic bj frq suredelolgdg dvrfldgd Rtcb ' R n Rb ' f2e1 Gh hvwd irupd vh yd uhgxflhqgr xq qrgr hq fdgd hwdsd= qrgrv D . ic bj suredelolgdghv f2e f f2D f2 qrgrv D ic .c bj suredelolgdghv feD f f2D qrgrv ic .c bj ic Dj suredelolgdghv feD fDD Gh hvwd irupd/ ho äuero gh Kxpdq ylhqh gdgr sru od sulphud jxud dgmxqwd1 61 62 Introducción a la Simulación y a la Teoría de Colas Ricardo Cao Abad Frq or fxdo ho dojrulwpr srguðd hvtxhpdwl}duvh gh od irupd lqglfdgd hq od vhjxqgd jxud1 Hq irupd päv ghwdoodgd sxhgh hvfuleluvh dvð= 41 Jhqhudu L L Efc 1 51 Vl L : feD hqwrqfhv 5141 Hpsh}du 5151 Vl L : f.D hqwrqfhv kdfhu f ' D/ hq rwur fdvr kdfhu f ' 1 5161 Whuplqdu1 Hq rwur fdvr1 5171 Hpsh}du 5181 Vl L : f2e hqwrqfhv kdfhu f ' ./ hq rwur fdvr 518141 Hpsh}du 518151 Vl L : f hqwrqfhv kdfhu f ' b/ vlqr kdfhu f ' 1 518161 Whuplqdu1 5191 Whuplqdu1 Äuero gh Kxpdq1 Hvtxhpd gho dojrulwpr1 Métodos universales para la generación de variables discretas Xq dojrulwpr jhqhudo sdud frqvwuxlu ho äuero gh Kxpdq sxhgh edvduvh hq xvdu xqd hvwuxfwxud gh sxqwhurv1 Vxsöqjdqvh odv suredelolgdghv rughqdgdv gh irupd ghfuhflhqwh= R R2 R? / or fxdo sxhgh kdfhuvh hflhqwhphqwh xvdqgr dojrulwprv frpr ho txlfn0 vruw1 Vhdq % / %2 / / %? orv ydoruhv txh wrpd od yduldeoh |d duudvwudqgr od uhrughqdflöq gh odv suredelolgdghv1 Ho dojruwlpr surfhghuðd gho vljxlhqwh prgr= 41 Fuhdu xqd hvwuxfwxud gh sxqwhurv gh od irupd ? $ ? n $ $ 2? 2 $ 2? / Rd?o ' R / Rd? n o ' R2 / / Rd2? o ' R? 1 51 Ghvgh ' kdvwd ? kdfhu 5141 Holplqdu orv grv ýowlprv hohphqwrv gho sxqwhur= | &1 5151 Kdfhu Ohiw^`@ | Uljkw^`@&1 5161 Lqvhuwdu hq ho sxqwhur hq rughq ghfuhflhqwh gh odv suredelolgdghv | kdfhu Rdo ' R n ^1 Ilqdol}dgr ho dojrulwpr whqhprv orv ydoruhv Ec Rdo/ sdud ' c 2c c ? c ?c ? n c c 2? / grqgh orv ðqglfhv ic 2c c ? j uhsuhvhqwdq orv qrgrv lqwhuqrv | i?c ?nc c 2?j vrq orv qrgrv whuplqdohv/ x krmdv/ dopdfhqdqgr hq orv yhfwruhv Ohwi^` | Uljkw^` od hvwuxfwxud gho äuero gh Kxpdq1 Sdud vlpxodu ydoruhv phgldqwh ho pìwrgr edvdgr hq ho äuero gh Kxpdq srghprv surfhghu frpr vljxh= 41 Jhqhudu L L Efc 1 51 Kdfhu ' ? 1 61 Uhshwlu 6141 , 'Ohiw^`/ o 'Uljkw^`/ R 's^,`1 6151 Vl L : R hqwrqfhv kdfhu 615141 ' o/ L ' L R1 Hq rwur fdvr kdfhu 615151 ' ,1 71 Kdvwd txh ?1 81 Kdfhu f ' %3?n 1 716 Ho pìwrgr gh od wdeod jxðd Ho pd|ru sureohpd frpsxwdflrqdo gho pìwrgr fxdqwlo S S gh od wudqvirupdflöq 1 Frpr |d R frqvlvwh hq hqfrqwudu ho ðqglfh & txh fxpsoh &' R L : &3 ' vh kd ylvwr hq orv grv ýowlprv hmhpsorv h{lvwhq glvwulexflrqhv sdud odv fxdohv hvwh ydoru & vh sxhgh fdofxodu gluhfwdphqwh1 Ho pìwrgr gh od wdeod jxðd frq0 vlvwh hq kdfhu xvr gh od udslgh} gh fäofxor gh od ixqflöq fxdqwlo sdud dojxqd gh hvdv glvwulexflrqhv +iäflophqwh vlpxodeoh phgldqwh ho pìwrgr gh lqyhuvlöq jhqhudol}dgd, sdud deuhyldu do pä{lpr frpsdudflrqhv qhfhvduldv Sho qýphur gh S &3 R 1 d od krud gh frpsuredu od frqglflöq &' R L : ' 63 64 Introducción a la Simulación y a la Teoría de Colas Ricardo Cao Abad Frqvlgìuhvh xqd yduldeoh dohdwruld frq glvwulexflöq glvfuhwd | pdvd gh sur0 edelolgdg gdgd sru R / ' c 2c c ? | ghiðqdqvh odv vxpdv dfxpxodwlydv gh hvwdv suredelolgdghv +txhSqr vrq rwud frvd txh orv ydoruhv txh wrpd od ixqflöq gh glvwulexflöq,= ^ ' ' R 1 Frpr |d vh frphqwö dqwhulruphqwh/ hvwrv ydoruhv ghehq fdofxoduvh gh irupd uhfxuvlyd +sdud hylwdu fäofxorv lqqhfhvdulrv,= ^f ' f/ ^ ' ^3 n R / ' c 2c c ?1 Gdgd od yduldeoh dohdwruld U/ dvrfldgd do hwltxhwdgr ruljlqdo +r d rwur, od lghd gho pìwrgr frqvlvwh hq frqvwuxlu ? vxelqwhuydorv htxlhvsdfldgrv frqwhqlgrv hq dfc o gh od irupd a ' d 3 c sdud ? ? ' c 2c c ? | oxhjr ghqlu ! / sdud ' c 2c c ?/ } ' 4@ ^ ? wrpäqgrvh } ' f vl ho frqmxqwr dqwhulru hv ydfðr hv ghflu/ sdud fdgd lqwhuydor vh frqvlghud ho ydoru päv dowr gho ðqglfh hqwhur wdo txh od vxpd dfxpxodgd gh suredelolgdghv kdvwd ìo hv phqru txh ho h{wuhpr vxshulru gh glfkr lqwhuydor1 Hmhpsor 54 Wrphprv frpr hmhpsor od glvwulexflöq glvfuhwd gdgd sru R ' f/ R2 ' f2D/ R ' f./ Re ' f/ RD ' f2e | RS ' f1 Vh wlhqh txh ^ ' f/ ^2 ' fH/ ^ ' fDD/ ^e ' fSD/ ^D ' fHb | ^S ' 1 Orv ydoruhv gh od wdeod jxðd vrq } ' / }2 ' / } ' 2/ }e ' e/ }D ' e/ }S ' D D od krud gh dsolfdu ho pìwrgr gh od wudqvirupdflöq fxdqwlo/ gdgr ho ydoru gh L / hv lqphgldwr ghwhfwdu hq fxäo gh orv lqwhuydorv a kd fdðgr/ edvwd frq kdfhu ' g?L h n 1 Or ýqlfr txh uhvwd sru kdfhu/ xqd yh} hqfrqwudgr hvwh ðqglfh/ hv rewhqhu ho ydoru gho ðqglfh U d vlpxodu1 Glfkr ydoru vhuä } n vl |d rfxuuh txh L : ^} 1 Hq fdvr frqwudulr ghehuhprv hqfrqwudu ho sulphu ðqglfh ' } c } 2c c f/ sdud ho fxdo vh fxpsoh L : ^ | oxhjr kdfhu U ' n 1 Dojrulwpr gh vlpxodflöq phgldqwh xqd wdeod jxðd 41 Jhqhudu L L Efc 1 51 Kdfhu ' g?L h n 1 61 Kdfhu ' } 1 71 Plhqwudv L ^ kdfhu ' 1 81 Ghyroyhu U ' n 1 Sru vx sduwh/ orv ydoruhv gh od wdeod jxðd sxhghq fdofxoduvh iäflophqwh gh irupd uäslgd vhjýq ho vljxlhqwh dojrulwpr= Dojrulwpr gh fäofxor gh od wdeod jxðd 41 Ghvgh ' kdvwd ? kdfhu } ' f1 51 Kdfhu 7 ' f1 61 Ghvgh ' kdvwd ? kdfhu 6141 7 ' 7 n R 6151 ' g?7h n 6161 } ' Métodos universales para la generación de variables discretas 71 Ghvgh ' 2 kdvwd ? kdfhu } ' 4@ E}3 c } 1 Dxqtxh orv exfohv gh orv sdvrv 4 | 7 gho dojrulwpr sxhghq h{whqghuvh kdvwd ? +hq oxjdu gh kdvwd ? , hq od suäfwlfd uhvxowd lqqhfhvdulr lqlfldol}dqgr }? ' ? / frqrflgr gh dqwhpdqr1 Fxdqgr ho ydoru L fdh hq ho lqwhuydor a / hv reylr txh ho qýphur phglr gh frpsdudflrqhv hq ho sdvr 7 gho dojrulwpr hv phqru r ljxdo txh 4 päv ho qýphur gh ydoruhv ^ shuwhqhflhqwhv do lqwhuydor a 1 Xwlol}dqgr hvwh khfkr/ od hvshudq}d gho qýphur gh frpsdudflrqhv + , sxhgh dfrwduvh phgldqwh [ [ E n r i %^ 5 a j ' n r i %^ 5 a j ? ' ? ' ? . E ? ? 2 ' n r i %^ 5 dfc j ' n ? ? Hq jhqhudo/ ho pìwrgr hv dsolfdeoh sdud wdeodv jxðd gh 6 hohphqwrv +grqgh 6 qr wlhqh srutxì vhu qhfhvduldphqwh ljxdo d ?,1 Hq wdo fdvr ho lqwhuydor dfc vh glylgh hq 6 vxelqwhuydorv/ sxglhqgr dfrwdu ho qýphur phglr gh frpsdudflrqhv ? 1 Judfldv d hvwh dujxphqwr/ sdud yduldeohv frq xq phgldqwh . E n 6 qýphur h{ruelwdqwh gh srvleohv ydoruhv/ sxhghq xwlol}duvh wdeodv jxðd gh xq qýphur päv prghudgr gh hohphqwrv gh irupd txh od wdeod qr rfxsh ghpdvldgd phpruld | txh/ d od yh}/ ho qýphur phglr gh frpsdudflrqhv hvwì dfrwdgr sru xq ydoru prghudgr1 Dvð/ sru hmhpsor/ sdud xqd yduldeoh glvfuhwd frq ffffff gh srvleohv ydoruhv srguðdprv xwlol}du xqd wdeod jxðd gh vöor ffff hohphqwrv +sdud txh qr rfxsh ghpdvldgr hq phpruld, rewhqlhqgr txh ho qýphur phglr gh frpsdudflrqhv hvwduðd dfrwdgr sru f1 717 Pìwrgrv gh wuxqfdplhqwr Od lghd jhqhudo gh hvwh wlsr gh pìwrgrv frqvlvwh hq kdfhu xvr gh xqd glvwulex0 flöq frqwlqxd dx{loldu fx|d ixqflöq gh glvwulexflöq vh sduh}fd +hq flhuwr vhqwlgr txh vh suhflvduä päv dghodqwh, d od ixqflöq gh glvwulexflöq gh od yduldeoh glv0 fuhwd txh vh ghvhd vlpxodu1 Vxsöqjdvh/ vlq sìuglgd gh jhqhudolgdg/ txh vh ghvhd vlpxodu od yduldeoh U/ txh wrpd orv ydoruhv / 2/ / ?/ frq suredelolgdghv R / R2 / / R? 1 Hq hvwh fdvr/ od ixqflöq gh glvwulexflöq gh U ylhqh gdgd sru [ R 1 8 E% ' $% Vxsöqjdvh/ dghpäv/ txh whqhprv rwud yduldeoh dohdwruld frqwlqxd/ frq ixqflöq gh glvwulexflöq C E% | flhuwrv ydoruhv @f ' 4 @ @2 @?3 @? ' 4/ wdohv txh 8 E 8 E3 ' R ' C E@ C E@3 / ' c 2c c ?1 Hvwd ýowlpd frqglflöq ylhqh d jdudqwl}du txh od suredelolgdg gh txh od yduldeoh 65 66 Introducción a la Simulación y a la Teoría de Colas Ricardo Cao Abad frqwlqxd fdljd hq ho lqwhuydor d@3 c @ frlqflgh frq od suredelolgdg frq od txh od yduldeoh glvfuhwd ruljlqdo wrph ho ydoru 1 Vl od glvwulexflöq frqwlqxd hv iäflo gh vlpxodu/ vlpsohphqwh ghehuhprv jh0 qhudu ydoruhv gh od plvpd | oxhjr wudqvirupduorv hq ydoruhv gh od yduldeoh U1 Dojrulwpr gh vlpxodflöq sru wuxqfdplhqwr 41 Jhqhudu A frq glvwulexflöq C1 51 Hqfrqwudu ho ydoru wdo txh @3 A @ 1 61 Ghyroyhu U ' 1 Ho pìwrgr vh kdfh hvshfldophqwh uäslgr fxdqgr ho ydoru gh sxhgh rewhqhuvh gh irupd lqphgldwd d sduwlu gho ydoru gh A 1 Xqr gh orv fdvrv hq orv txh hvwr hv dvð vh gd fxdqgr C Ef ' f | orv ydoruhv @ ' / ' fc c c ? +r/ lqfoxvr/ lqqlwrv ydoruhv @ gh hvwd irupd,1 Hq hvwh fdvr ho dojrulwpr uhvxowd= Dojrulwpr gh vlpxodflöq sru wuxqfdplhqwr d od sduwh hqwhud 41 Jhqhudu A frq glvwulexflöq C1 51 Kdfhu ' gA h n 1 61 Ghyroyhu U ' 1 Hmhpsor 55 +vlpxodflöq gh od jhrpìwulfd sru wuxqfdplhqwr, Od pdvd gh suredelolgdg gh od glvwulexflöq jhrpìwulfd hv Ef ' ' EU ' n ' R E R / ' fc c Frqvlgìuhvh frpr yduldeoh dohdwruld frqwlqxd dx{loldu od h{srqhqfldo/ txh wlhqh ixqflöq gh glvwulexflöq gdgd sru e3b% vl % f C E% ' f vl % f Dkrud elhq/ C E C E ' e3b e3bE3 ' e3bE3 e3b 3 ' e3bE3 e3b ' e3b e3b ' R E R3 vlhpsuh txh wrphprv R ' e3b 1 Gh hvwd irupd vh wlhqh C E C E ' Ef ' ' EU ' ' R | ho dojrulwpr uhvxowduðd= 31 Kdfhu u ' *? E R1 41 Jhqhudu L L Efc 1 51 Kdfhu A ' u *? L 1 61 Ghyroyhu f ' gA h1 Hvwh hv ho plvpr dojrulwpr txh vh rewhqðd dqwhulruphqwh fxdqgr ud}rqäed0 prv föpr fdofxodu gluhfwdphqwh ho ydoru gh od ixqflöq fxdqwlo sdud od glvwulex0 flöq jhrpìwulfd1 Métodos universales para la generación de variables discretas 718 Hmhuflflrv sursxhvwrv 41 Fxdqgr vh surgxfh xqd vreuhfdujd hoìfwulfd hq xqd fdghqd surgxfwlyd ho qýphur gh frpsrqhqwhv dyhuldgdv hvwä ghvfulwr phgldqwh xqd yduldeoh dohdwruld/ f/ txh sxhgh wrpdu orv ydoruhv 4/ 5/ 6/ 7 | 8/ frq suredelolgdghv R ' fc R2 ' f22c R ' feDc Re ' fc RD ' ffb Sdud vlpxodu glfkd yduldeoh vh xvd ho dojrulwpr= 41 Jhqhudu X/ frq glvwulexflrq X+3/4,1 514 Vl X@3144 hqwrqfhv kdfhu [@4/ vlqr 515 Vl X@3166 hqwrqfhv kdfhu [@5/ vlqr 516 Vl X@31:; hqwrqfhv kdfhu [@6/ vlqr 517 Vl X@31<4 hqwrqfhv kdfhu [@7/ vlqr kdfhu [@81 61 Ghyroyhu [1 ÁFxäo hv ho qýphur phglr gh frpsdudflrqhv sdud vlpxodu xq ydoru gh fB Frqvwuxlu xq dojrulwpr edvdgr hq xq äuero elqdulr öswlpr1 ÁFxäo hv dkrud ho qýphur phglr gh frpsdudflrqhvB Gdu xq dojrulwpr edvdgr hq ho pìwrgr gh od wdeod jxðd1 Fdofxodu/ wdpelìq hq hvwh fdvr/ ho qxphur phglr gh frpsdudflrqhv1 51 Ho qýphur gh surfhvrv gh xvxdulrv dfwlyrv hq xqd hvwdflöq gh wudedmr hv xqd yduldeoh dohdwruld/ f/ frq glvwulexflöq gdgd sru= Ef ' f ' fc Ef ' ' f22c Ef ' 2 ' fD Ef ' ' fc Ef ' e ' ffbc Ef ' D ' ffSc Ef ' S ' ffe Gdu xq dojrulwpr sdud vlpxodu hvwd yduldeoh phgldqwh eývtxhgd hq irupd gh äuero gh Kxpdq1 Fdofxodu ho qýphur phglr gh frpsdudflrqhv sdud vlpxodu fdgd ydoru gh od yduldeoh f1 ÁFxäo hv xqd frwd sdud glfkr qýphur phglr gh frpsdudflrqhv hq fdvr gh xvdu ho pìwrgr gh od wdeod jxðdB Sdud hvwd ýowlpr pìwrgr/ fdofxodu ho ydoru h{dfwr gho qýphur phglr gh frpsdudflrqhv1 61 Ho qýphur gh yhfhv txh vh surgxfh xqd fdlgd gh xq vlvwhpd lqirupäwlfr gxudqwh xq phv hv xqd yduldeoh dohdwruld/ f/ frq glvwulexflöq gdgd sru Ef ' f ' ffb/ Ef ' ' f2/ Ef ' 2 ' fb/ Ef ' ' fb/ Ef ' e ' ffH | Ef ' D ' ffe1 Gdu xq dojrulwpr sdud vlpxodu hvwd yduldeoh phgldqwh eývtxhgd hq irupd gh äuero gh Kxpdq1 Fdofxodu ho qýphur phglr gh frpsdudflrqhv sdud vlpxodu fdgd ydoru gh od yduldeoh f1 ÁTxì yhqwdmdv vh rewlhqhq sdud hvwh pìwrgr gh vlpxodflöq hq frpsdudflöq frq od lpsohphqwdflöq phgldqwh ho pìwrgr vhfxhqfldo +wdqwr hq vx yhuvlöq gluhfwd frpr hq od gho hwltxhwdgr päv hflhqwh,B 67 68 Introducción a la Simulación y a la Teoría de Colas Ricardo Cao Abad 71 Ho fögljr gh huuru txh sxhgh vxplqlvwudu xqd uxwlqd lpsohphqwdgd hq xq ohqjxdmh gh dowr qlyho sxhgh ghvfuleluvh phgldqwh xqd yduldeoh dohdwruld/ / txh sxhgh wrpdu orv ydoruhv 3/ 4/ 6/ 7 | :/ frq suredelolgdghv= Rf ' f2Hc R ' fDc R ' fSc Re ' f2c R. ' ffb Ghqwur gh xq frpsohmr prghor gh vlpxodflöq vh txlhuh jhqhudu glfkd yd0 uldeoh xvdqgr/ sdud fdgd ydoru jhqhudgr/ xq ýqlfr qýphur svhxgrdohdwr0 ulr L Efc 1 Hqfrqwudu dojrulwprv/ sdud wdo q/ edvdgrv hq od frqvwuxfflöq gh xq äuero gh Kxpdq | hq ho pìwrgr gh odv wdeodv jxðd1 Hvwxgldu od hflhqfld gh dperv dojrulwprv | frpsduduod1 81 Frqvlgìuhvh od yduldeoh dohdwruld glvfuhwd/ f/ qýphur gh idoorv phqvxdohv hq ho vxplqlvwur hoìfwulfr gh xq htxlsr lqirupäwlfr/ txh wlhqh od vljxlhqwh pdvd gh suredelolgdg= 3 4 5 6 7 8 9 : % Ef ' % fD f2f fS f2 ffH ffD ff ff Frqvwuxlu xqd wdeod jxðd |/ edväqgrvh hq hood/ gdu xq dojrulwpr sdud vlpxodu hvwd yduldeoh1 ÁFxäo hv ho qýphur phglr h{dfwr gh frpsdudflrqhv sdud jhqhudu xq ydoru phgldqwh hvh dojrulwprB 91 Gdqgr sru vxsxhvwr xq dojrulwpr txh shuplwd vlpxodu od yduldeoh dohdwr0 uld gho hmhuflflr dqwhulru/ ghgxflu xq pìwrgr sdud dsur{lpdu sru vlpx0 odflöq od suredelolgdg gh txh hq xq dôr kd|d päv gh 63 idoorv hq ho vxplqlvwur hoìfwulfr1 Sodqwhdu ho fäofxor dqdoðwlfr gh od fdqwlgdg dqwh0 ulru1 ÁVhuðd vhqfloor rewhqhu whöulfdphqwh od pdvd gh suredelolgdg gh od yduldeoh dohdwruld qýphur gh idoorv dqxdohvB 5 Métodos específicos para la simulación de distribuciones notables Métodos específicos para la simulación de distribuciones notables 81 0 Hq hvwh fdsðwxor vh hvwxglduäq dojrulwprv hvshfðfrv sdud vlpxodu dojxqdv gh odv glvwulexflrqhv gh suredelolgdg päv lpsruwdqwhv1 Od pd|ruðd gh hoorv vrq dsolfdflrqhv gh orv pìwrgrv jhqhudohv |d h{sxhvwrv/ txl}ä frq dojxqd sduwl0 fxodulgdg1 Glvwulexflöq sru glvwulexflöq/ vh luäq frphqwdqgr orv pìwrgrv päv kdelwxdohv gh vlpxodflöq gh odv plvpdv/ frphq}dqgr sru odv frqwlqxdv | sdvdq0 gr srvwhulruphqwh d odv yduldeohv glvfuhwdv1 814 Glvwulexflrqhv frqwlqxdv 81414 Od glvwulexflöq qrupdo Hv reylr txh qxhvwur remhwlyr vhuä vdehu vlpxodu xqd qrupdo hvwäqgdu/ f/ |d txh od glvwulexflöq jhqhudo E>c j/ frq sduäphwurv duelwudulrv/ sxhgh vlpxodu0 vh phgldqwh > n jf1 Pìwrgr gh Er{0Pÿoohu Vh edvd hq od vljxlhqwh surslhgdg1 Gdgdv grv yduldeohv dohdwruldv lqghshqglhq0 s s g g whv . ' i T E | L ' L Efc / odv yduldeohv 2. ULt 2ZL | 2. vhq 2ZL vrq Efc lqghshqglhqwhv1 Dojrulwpr gh Er{0Pÿoohu 41 Jhqhudu Lc Ts L Efc 1 51 Kdfhu ` ' 2 *? L | `2 ' 2ZT 1 61 Ghyroyhu f ' ` ULt `2 / f2 ' ` vhq `2 1 Pìwrgr srodu Gh qxhyr hv xq pìwrgr fx|r ixqgdphqwr whöulfr ghvfdqvd hq xqd surslhgdg txh qrv gd od glvwulexflöq frqglflrqdgd d flhuwr vxfhvr gh xq sdu gh yduldeohv wudqvirupdgdv gh rwudv xqliruphv1 Vx qrpeuh surfhgh gh txh ho xvr gh frru0 ghqdgdv sroduhv hv px| ýwlo hq od ghprvwudflöq gh glfkr uhvxowdgr1 Gdgdv grv yduldeohv lqghshqglhqwhv T | T2 / frq glvwulexflöq L Ec / hqwrqfhv od glvwulexflöq frqglflrqdgd v $ # v 2 *? ET2 n T22 2 *? ET2 n T22 c T2 T 2 2 T2 n T22 T2 n T22 T nT2 $ 71 72 Introducción a la Simulación y a la Teoría de Colas Ricardo Cao Abad f f hv xqd 2 1 c f f Dojrulwpr srodu 41 Jhqhudu L c L2 L Efc 1 51 Kdfhu T ' 2L / T2 ' 2L2 | ` ' T2 n T22 1 61 Vl ` : hqwrqfhv yroyhu d 41 t *? ` 71 Kdfhu t ' 32` 1 81 Ghyroyhu f ' T t / f2 ' T2 t 1 Pìwrgr gho Whruhpd Fhqwudo gho Oðplwh Vx ixqgdphqwr whöulfr/ frpr vx surslr qrpeuh lqglfd/ hv ho Whruhpd Fhqwudo gho Oðplwh1 Gdgdv yduldeohv dohdwruldv A / A2 / / A? / lqghshqglhqwhv | frq glvwulexflöq fxdotxlhud/ vh wlhqh txh s S? ? ? ' A . EA g A >A s ' * Efc / jA I T @o EA ? vl ? hv vxflhqwhphqwh judqgh1 Hvwh whruhpd sxhgh dsolfduvh sdud vlpxodu xqd Efc wrpdqgr yduldeohv frq rwud glvwulexflöq päv iäflo gh vlpxodu1 Ho fdvr päv kdelwxdo hv hohjlu g A ' L ' L Efc | ? ' 2 +sru vlpsolflgdg gh fäofxor,1 Gh hvwd irupd/ od vljxlhqwh yduldeoh uhvxowd whqhu glvwuulexflöq dsur{lpdgd Efc / s S2 2 [ 2 2 ' L 2 L >A t ' ' L S1 jL I ? 2 ' Dojrulwpr edvdgr hq ho WFO 41 Jhqhudu L c L2 c c L2 L Efc 1 51 Ghyroyhu f ' L n L2 n n L2 S1 81415 Od glvwulexflöq gh Fdxfk| Hvwd glvwulexflöq sxhgh ghqluvh/ gh irupd jhqhudo/ ghshqglhqgr gh grv sduä0 phwurv= > ho gh orfdol}dflöq | j ho gh hvfdod1 Vx ixqflöq gh ghqvlgdg ylhqh gdgd sru s E% ' j / sdud wrgr % 5 U1 2 Z j n E% >2 Xq vhqfloor fäofxor shuplwh kdoodu vx ixqflöq gh glvwulexflöq= %> 8 E% ' @hU|@? n / Z j 2 Métodos específicos para la simulación de distribuciones notables od fxdo shuplwh lpsohphqwdu ho pìwrgr gh lqyhuvlöq1 Frq ud}rqdplhqwrv vh0 phmdqwhv d orv |d uhdol}dgrv sdud ho dojrulwpr gh od h{srqhqfldo +hq hvwh fd0 g vr edvdgrv hq txh vl L L Efc hqwrqfhv |@? Z L 2 ' |@? ZL ,/ sxhgh hqfrqwuduvh xq dojrulwpr oljhudphqwh päv hflhqwh ghvgh ho sxqwr gh ylvwd frpsxwdflrqdo= 41 Jhqhudu L L Efc 1 51 Ghyroyhu f ' j |@? EZL n >1 81416 Od glvwulexflöq h{srqhqfldo Vh vlpxod xwlol}dqgr ho pìwrgr gh lqyhuvlöq frq od vlpsolfdflöq txh |d vh lqglfö dqwhulruphqwh= 31 Kdfhu u ' b 1 41 Jhqhudu L L Efc 1 51 Ghyroyhu f ' u *? L 1 81417 Odv glvwulexflrqhv jdppd | gh Huodqj Od glvwulexflöq jdppd/ K E@c R/ ghshqgh gh grv sduäphwurv= @ : f/ sduäphwur gh hvfdod/ | R : f/ sduäphwur gh irupd Od glvwulexflöq gh Huodqj qr hv päv txh od sduwlfxodul}dflöq gh od jdppd do fdvr hq txh R 5 Q1 Od ixqflöq gh ghqvlgdg gh xqd K E@c R ylhqh gdgd sru & E@c R %R3 e3@% vl % f s E% ' f vl % f grqgh & E@c R hv od ýqlfd frqvwdqwh srvleoh sdud txh od ixqflöq dqwhulru vhd xqd ixqflöq gh ghqvlgdg1U Hv reylr txh/ frq wdo gh txh & E@c R f/ vh wlhqh txh s E% f1 Sdud txh s E% _% ' / kd gh yhulfduvh= ] ] ] " & E@c R " + R3 3+ & E@c R %R3 e3@% _% ' e _+ ' s E% _% ' @ @ f f ] K ER & E@c R " R3 3+ + e _+ ' & E@c R R / ' R @ @ f U " R3 3% grqgh vh ghqh K ER ' f % e _%/ txh hv od oodpdgd ixqflöq jdppd gh @R / |/ sru wdqwr/ od Hxohu1 D sduwlu gh wrgr or dqwhulru vh wlhqh & E@c R ' KER ghqvlgdg gh od jdppd uhvxowd vhu @R R3 3@% vl % f % e KER s E% ' f vl % f 73 74 Introducción a la Simulación y a la Teoría de Colas Ricardo Cao Abad Sxhgh ghprvwuduvh xqd uhodflöq uhfxuvlyd sdud K ER vlq päv txh kdfhu xqd lqwhjudflöq sru sduwhv/ wrpdqgr ' %R3 | _ ' e3% _%1 Dvð/ vh wlhqh/ ] " ] " " %R3 e3% _% ' %R3 e3% f ER %R32 e3% _% K ER ' f f ] " R32 3% ' ER % e _% ' ER K ER 1 f Hvwr shuplwh uhgxflu ho fäofxor gh K ER do fdvr hq txh R 5 Efc o/ |d txh K ER ' ER ER 2 ER gRh K ER gRh 1 U" Gdgr txh K E ' f e3% _% ' / od iöupxod dqwhulru vh vlpsolfd fxdqgr R 5 Q/ gdqgr oxjdu d K ER ' ER - Sru hvwh prwlyr vh glfh txh od ixqflöq jdppd gh Hxohu jhqhudol}d od qrflöq gh idfwruldo gh xq qýphur d fxdotxlhu ydoru uhdo srvlwlyr1 Dghpäv/ fxdqgr R ' od ghqvlgdg gh od jdppd hv 3@% vl % f @e s E% ' f vl % f g hv ghflu K E@c ' i T E@1 Xqd surslhgdg px| lpsruwdqwh gh od glvwulexflöq jdppd hv od oodpdgd surslhgdg gh uhsurgxfwlylgdg/ txh dupd txh vl vh glvsrqh gh grv yduldeohv g g dohdwruldv lqghshqglhqwhv/ f ' K E@c R h f ' K E@c R2 / hqwrqfhv od vxpd gh g dpedv wdpelìq hv xqd jdppd= f nt ' K E@c R n R2 1 Hvwh uhvxowdgr vh sxhgh jhqhudol}du/ sru lqgxfflöq d od vxpd gh fxdotxlhu qýphur qlwr gh yduldeohv jdppd lqghshqglhqwhv frq sulphu sduäphwur/ @/ frlqflghqwh1 Hq yluwxg gh hoor/ vl R hv hqwhur/ gdgdv f / f2 / / fR yduldeohv lqghshqglhqwhv frq S glvwulqxflöq i T E@ +r/ or txh hv or plvpr K E@c , vh wlhqh txh vx vxpd/ R' f / wlhqh glvwulexflöq K E@c R1 Frpr frqvhfxhqfld/ od glvwulexflöq gh Huodqj vh sxhgh vlpxodu iäflophqwh frpr vxpd gh h{srqhqfldohv= Dojrulwpr uhsurgxfwlyr gh vlpxodflöq gh od Huodqj 41 Ghvgh ' kdvwd R kdfhu 4141 Jhqhudu L L Efc 1 4151 Kdfhu f ' S*?@L 1 51 Ghyroyhu f ' R' f 1 Hvwh dojrulwpr sxhgh djlol}duvh frpsxwdflrqdophqwh ghqlhqgr suhyldphqwh ho ydoru u ' @ | fdofxodqgr xq ýqlfr orjdulwpr +hq oxjdu gh R, judfldv d txh SR SR *? L TR ' f ' ' @ ' @ *? E ' L 1 Dvð vh wlhqh= Dojrulwpr uhsurgxfwlyr gh vlpxodflöq gh od Huodqj rswlpl}dgr 31 Kdfhu u ' @ 1 41 Kdfhu 7 ' 1 51 Ghvgh ' kdvwd R kdfhu 5141 Jhqhudu L L Efc 1 5151 Kdfhu 7 ' 7 L 1 61 Ghyroyhu f ' u *? 71 Métodos específicos para la simulación de distribuciones notables Orv dojrulwprv dqwhulruhv vöor vrq yäolgrv sdud R hqwhur/ vlhqgr dghpäv px| ohqwrv vl R hv judqgh1 Sru frqwud vrq px| vlpsohv | gh iäflo lpsohphqwdflöq1 Frpr dowhuqdwlyd h{lvwhq rwurv dojrulwprv päv frpsolfdgrv txh fxeuhq wdpelìq ho fdvr hq txh R qr vhd hqwhur1 Yhuhprv ho dojrulwpr gh Wdglndpdood +4<:;, sdud vlpxodu xqd K Ec R1 Vh wudwd gh xq dojruwlpr gh dfhswdflöq2uhfkd}r/ txh vöor hv yäolgr vl R : e | txh xvd frpr ghqvlgdg dx{loldu xqd greoh h{srqhqfldo fhqwudgd hq R | frq sduäphwur gh hvfdod gdgr sru b' 2 s ' w n eR Sdud od lpsohphqwdflöq gho dojrulwpr gheh ghqluvh od ixqflöq Ew % R3 m% ER m n ER Ew n 1 i T % n A E% ' w ER w Dojrulwpr gh Wdglndpdood 41 Jhqhudu f/ greoh h{srqhqfldo frq phgld R | hvfdod b1 51 Vl f f hqwrqfhv yroyhu d 41 61 Jhqhudu L L Efc 1 71 Vl L A Ef hqwrqfhv ghyroyhu f/ vlqö yroyhu d 41 Sdud vlpxodu xqd KE@c R frq xq @ fxdotxlhud/ xvduhprv ho khfkr gh txh vl g g f ' K E@c R hqwrqfhv t ' @f ' K Ec R1 Dvl sxhv edvwduä vlpxodu t vhjýq t xqd K Ec R | oxhjr kdfhu f ' @ 1 81418 Od glvwulexflöq ehwd g g Gdgdv grv yduldeohv dohdwruldv t ' K Ec R | ~ ' K Ec ^/ lqghshqglhqwhv/ vh glfh txh od yduldeoh f' t t n~ wlhqh glvwulexflöq q ERc ^/ ehwd gh sduäphwurv R | ^1 Sxhgh ghprvwuduvh txh hq g od ghqlflöq srguðdq kdehuvh wrpdgr yduldeohv frq glvwulexflrqhv t ' K E@c R g | ~ ' K E@c ^/ |d txh od glvwulexflöq gh od f uhvxowdqwh qr ghshqgh gho @ hohjlgr1 Od ixqflöq gh ghqvlgdg gh xqd q ERc ^ ylhqh gdgd sru ; R3 ^3 ? % E % vl % 5 dfc o s E% ' q ERc ^ = f hq rwur fdvr U vlhqgr q ERc ^ ' f %R3 E %^3 _%1 H{lvwhq pxowlwxg gh dojrulwprv sdud vlpxodu od glvwulexflöq q ERc ^1 Sured0 eohphqwh/ ho päv vhqfloor gh wrgrv hv ho txh vh rewlhqh/ d sduwlu gh od glvwulexflöq 75 76 Introducción a la Simulación y a la Teoría de Colas Ricardo Cao Abad jdppd/ frpr frqvhfxhqfld gh od sursld ghqlflöq1 Ho dojrulwpr gh Ir{ +4<96, hv dghfxdgr sdud vlpxodu od glvwulexflöq ehwd fxdqgr Rc ^ 5 Q | vrq ydoruhv shtxhôrv1 Dojruwlpr gh Ir{ 41 Jhqhudu L c L2 c c LRn^3 L Efc 1 51 Rughqduorv= 61 Ghyroyhu f ' LER 1 LE LE2 LERn^3 1 Hv reylr txh hvwh dojrulwpr sxhgh uhvxowdu px| ohqwr vl dojxqr gh orv grv sduäphwurv hv hohydgr +sxhv kdeuä txh vlpxodu pxfkdv xqliruphv sdud frq0 vhjxlu xq ydoru vlpxodgr gh od ehwd,1 Dghpäv/ hq ixqflöq gh fxäo gh orv grv sduäphwurv/ R ö ^/ vhd pd|ru/ uhvxowduä päv hflhqwh/ hq ho sdvr 5/ frphq}du d rughqdu sru ho pd|ru/ oxhjr ho vhjxqgr pd|ru/ | dvð vxfhvlydphqwh/ r kdfhu0 or hpsh}dqgr sru ho phqru1 Hq fxdotxlhu fdvr/ hv reylr txh qr hv qhfhvdulr rghqdu wrgrv orv ydoruhv L jhqhudgrv/ vlqr wdq vöor hqfrqwudu ho txh rfxsd ho oxjdu R0ìvlpr1 Xq pìwrgr yäolgr dxqtxh R ö ^ qr vhdq hqwhurv hv ho gdgr sru ho dojrulwpr gh Mùkqn +4<97,1 Dojrulwpr gh Mùkqn 41 Uhshwlu1 4141 Jhqhudu Lc T L Efc 1 4151 Kdfhu t ' L R / ~ ' T ^ / 7 ' t n ~1 51 Kdvwd txh 7 1 61 Kdfhu f ' t 1 7 Ho pìwrgr uhvxowd h{wuhpdgdphqwh lqhflhqwh sdud R ö ^ pd|ruhv txh 41 Hvwr hv ghelgr d txh od frqglflöq 7 gho sdvr 5 sxhgh wdugdu pxfkðvlpr hq yhulfduvh1 Sru hvwh prwlyr/ ho dojrulwpr gh Mùkqn vöor hv uhfrphqgdeoh sdud R | ^ 1 Frpr uhphglr d hvwr sxhgh xvduvh ho dojrulwpr gh Fkhqj +4<:;, txh hv edvwdqwh päv odujr gh lpsohphqwdu shur wdpelìq pxfkr päv hflhqwh1 Dojrulwpr gh Fkhqj 3141 Kdfhu k ' R n ^1 3151 Vl 4? ERc ^ hqwrqfhv kdfhu q ' t k32 1 q ' 2R^3k 3161 41 / 4?ERc^ hq rwur fdvr kdfhu Kdfhu ' R n q 1 61 Jhqhudu L c L2 L Efc 1 L Kdfhu T ' q *? 3L | ` ' R eT 1 k Vl k *? ^n` n T *? e *? EL2 L2 hqwrqfhv yroyhu d 41 71 Ghyroyhu f ' 51 ` 1 ^n` Métodos específicos para la simulación de distribuciones notables 81419 Od glvwulexflöq fkl0fxdgudgr gh Shduvrq Gdgdv yduldeohv dohdwruldv ~ c ~S 2 c c ~? lqghshqglhqwhv | frq glvwulexflöq frpýq Efc / od yduldeoh f ' ?' ~2 vh glfh gh glvwulexflöq fkl0fxdgudgr frq ? judgrv gh olehuwdg/ l1h1 2? 1 Vx ixqflöq gh ghqvlgdg ylhqh gdgd sru ? s E% ' % % 2 3 e3 2 / sdud wrgr % f1 ? 2 2 K ?2 g Frpr frqvhfxhqfld/ 2? ' K 2 c ?2 | orv dojrulwprv ylvwrv sdud od glvwulexflöq jdppd vrq dsolfdeohv d hvwh fdvr1 Dghpäv/ ghelgr d od uhsurgxfwlylgdg |d g phqflrqdgd vh wlhqh txh K 2 c ?2 ' K 2 c ?2 n K 2 c 2 / fxdqgr ? qr vhd sdu/ vlhqgr hvwd ýowlpd glvwulexflöq/ K 2 c 2 / od gho fxdgudgr gh xqd qrupdo hvwäqgdu1 Gh hvwd irupd/ vh wlhqh ho vljxlhqwh dojrulwpr sdud od vlpxodflöq gh od fkl0fxdgudgr= Dojrulwpr uhsurgxfwlyr sdud vlpxodu od fkl0fxdgudgr 31 Kdfhu 6 ' ?2 1 41 Kdfhu 7 ' 1 51 Ghvgh ' kdvwd 6 kdfhu 5141 Jhqhudu L L Efc 1 5151 Kdfhu 7 ' 7 L 1 61 Kdfhu f ' 2 *? 71 71 Vl ? hv lpsdu kdfhu 7141 Jhqhudu ~ Efc 1 7151 Kdfhu f ' f n ~ 2 1 81 Ghyroyhu f1 Gh wrgdv irupdv/ vl ? hv judqgh hv uhfrphqgdeoh xvdu ho dojrulwpr gh Wdglnd0 pdood1 8141: Od glvwulexflöq 8 gh Ilvkhu0Vqhghfru g g Gdgdv grv yduldeohv dohdwruldv t ' 26 h t2 ' 2? lqghshqglhqwhv/ od yduldeoh dohdwruld ghqlgd sru f' t 6 t2 ? vh glfh gh glvwulexflöq 8 gh Vqhghfru +r gh Ilvkhu, frq 6 | ? judgrv gh olehuwdg +86c? ,1 Vx ghqvlgdg hv ? ?2 6 ? 3 6n? 2 / sdud wrgr % f/ s E% ' 66 ? % 2 3 % n 6 q 2c2 77 78 Introducción a la Simulación y a la Teoría de Colas Ricardo Cao Abad txh uhfxhugd d od gh xqd ehwd1 Dghpäv gh srghu vlpxoduvh d wudyìv gh dojr0 ulwprv gh jhqhudflöq gh od fkl0fxdgudgr +frpr frqvhfxhqfld gh vx ghqlflöq,/ wdpelìq sxhgh vlpxoduvh phgldqwh ho xvr gh xqd glvwulexflöq ehwd1 Dojrulwpr gh vlpxodflöq gh od 8 d wudyìv gh od ehwd 41 Jhqhudu ~ q 62 c ?2 1 ?~ 1 51 Kdfhu f ' 6E3~ 8141; Od glvwulexflöq | gh Vwxghqw g g Gdgdv grv yduldeohv lqghshqglhqwhv t ' Efc h t2 ' 2? / od yduldeoh dohdwr0 uld t f't t2 ? vh glfh txh wlhqh glvwulexflöq | gh Vwxghqw frq ? judgrv gh olehuwdg +|? ,1 Od ixqflöq gh ghqvlgdg gh xqd |? hv 3 ?n 2 K ?n %2 2 / sdud wrgr % 5 U1 n s E% ' ? s ? K 2 ?Z Whqlhqgr hq fxhqwd od vlphwuðd gh hvwd glvwulexflöq | vx uhodflöq frq od 8 gh g Vqhghfru= E|? 2 ' 8c? / sxhgh vlpxoduvh iäflophqwh od | gh Vwxghqw1 Dojrulwpr gh vlpxodflöq gh od | gh Vwxghqw d sduwlu gh od 8 41 Jhqhudu L L Efc | ~ 8c? 1 s s 51 Vl L fD hqwrqfhv ghyroyhu f ' ~/ vlqr ghyroyhu f ' ~1 8141< Od glvwulexflöq gh Zhlexoo Od glvwulexflöq gh Zhlexoo/ ` Ebc k/ hv xqd jhqhudol}dflöq gh od glvwulexflöq i T Ek1 Vx ixqflöq gh ghqvlgdg gh suredelolgdg hv k s E% ' kbk %k3 e3Eb% / sdud wrgr % f1 g Frpr vh yh/ ` Ebc ' i T Eb1 Hvwd glvwulexflöq vh xwlol}d pxfkr hq delolgdg | dqäolvlv gh vxshuylyhqfld sdud prghol}du ho wlhpsr gh ylgd gh xqd frpsrqhqwh r gh xq vhu ylyr1 Sxhgh vlpxoduvh iäflophqwh phgldqwh ho pìwrgr gh lqyhuvlöq oljhudphqwh rswlpl}dgr1 Dojrulwpr gh lqyhuvlöq sdud vlpxodu od glvwulexflöq gh Zhlexoo 41 Jhqhudu L L Efc 1 51 Ghyroyhu f ' E3 *? L k b 1 Métodos específicos para la simulación de distribuciones notables 814143 Od glvwulexflöq orjðvwlfd Hv od txh wlhqh sru ixqflöq gh glvwulexflöq= 8 E% ' n e3 %3@ K / ;% 5 U/ vlhqgr @ 5 U | K : f1 Sxhgh vlpxoduvh iäflophqwh phgldqwh ho pìwrgr gh lqyhuvlöq1 Dojrulwpr sdud vlpxodu od glvwulexflöq orjðvwlfd phgldqwh lqyhuvlöq 41 Jhqhudu L L Efc 1 51 Ghyroyhu f ' @ K *? L 1 814144 Od glvwulexflöq gh Sduhwr Wlhqh xwlolgdg hq flhqfldv frpr od Hfrqrpðd/ grqgh hq rfdvlrqhv vluyh sdud prghol}du glvwulexflrqhv gh uhqwdv1 Vx ghqvlgdg ylhqh gdgd sru + @K@ vl % K s E% ' %@n f vl % K Frpr frqvhfxhqfld/ vx ixqflöq gh glvwulexflöq uhvxowd f vl % K 8 E% ' @ vl % K %K |/ sru wdqwr/ hv vlpxodeoh phgldqwh lqyhuvlöq1 Xqd yhuvlöq öswlpl}dgd gho dojrulwpr hv= Dojrulwpr gh lqyhuvlöq sdud vlpxodu od glvwulexflöq gh Sduhwr 41 Jhqhudu L L Efc 1 51 Ghyroyhu f ' K 1 L@ 815 Glvwulexflrqhv glvfuhwdv 81514 Od glvwulexflöq xqliruph glvfuhwd Gdgr xq frqmxqwr qlwr gh hohphqwrv +vlq sìuglgd gh jhqhudolgdg vxsrq0 guhprv ho frqmxqwr ic 2c c j, od glvwulexflöq xqliruph glvfuhwd hq glfkr frqmxqwr +r htxlsuredeoh vreuh glfkr frqmxqwr, hv od ghqlgd sru Ef ' ' / sdud ' c 2c c 1 Wdqwr ho pìwrgr gh lqyhuvlöq +fdofxodqgr h{soðfl0 wdphqwh od ixqflöq fxdqwlo, frpr ho gh wuxqfdplhqwr gdq oxjdu do vljxlhqwh dojrulwpr1 79 80 Introducción a la Simulación y a la Teoría de Colas Ricardo Cao Abad Dojrulwpr sdud vlpxodu od glvwulexflöq xqliruph glvfuhwd hq ic 2c c j 41 Jhqhudu L L Efc 1 51 Ghyroyhu f ' g L h n 1 81515 Od glvwulexflöq elqrpldo Od glvwulexflöq elqrpldo gh h{whqvlöq ? | suredelolgdg gh ì{lwr R/ E?c R/ vh ghqh frpr ho qýphur gh ì{lwrv hq ? suxhedv lgìqwlfdv/ lqghshqglhqwhv/ hq odv txh od suredelolgdg gh ì{lwr hv R1 Vx pdvd gh suredelolgdg hv ? Ef ' ' R E R?3 / sdud ' fc c c ?1 Sxhgh vlpxoduvh d sduwlu gh vx ghqlflöq= 41 Kdfhu 7 ' f1 51 Uhshwlu ? yhfhv 5141 Jhqhudu L L Efc 1 5151 Vl L R hqwrqfhv kdfhu 7 ' 7 n 1 61 Ghyroyhu f ' 71 Hvwh pìwrgr hv h{wuhpdgdphqwh ohqwr fxdqgr ? hv judqgh/ sru hvr/ hq hvh fdvr/ uhvxowd päv yhqwdmrvr xwlol}du ho pìwrgr gh od wdeod jxðd1 81516 Od glvwulexflöq gh Srlvvrq Xqd yduldeoh dohdwruld glvfuhwd/ f/ wlhqh glvwulexflöq gh Srlvvrq gh sduäphwur b : f vl vx pdvd gh suredelolgdg ylhqh gdgd sru Ef ' ' e3b b / sdud ' fc c - Od glvwulexflöq gh Srlvvrq sxhgh vlpxoduvh phgldqwh ho pìwrgr gh od wudqviru0 pdflöq fxdqwlo frq eývtxhgd vhfxhqfldo1 Wdpelìq sxhgh vlpxoduvh kdflhqgr xvr gh od uhodflöq txh jxdugd frq od glvwulexflöq h{srqhqfldo1 Dvð/ gdgdv yd0 uldeohv dohdwruldv A / A2 / / A? / lqghshqglhqwhv | frq glvwulexflöq i T Eb/ od yduldeoh dohdwruld hqwhud/ f/ txh yhulfd f [ ' A fn [ A / ' +ghqlhqgr f ' f vl A : , wlhqh glvwulexflöq SrlvEb1 Métodos específicos para la simulación de distribuciones notables Odv yduldeohv dohdwruldv A sxhghq vlpxoduvh/ xwlol}dqgr ydoruhv L gh xqd xqliruph/ phgldqwh A ' *?bL 1 Hq yluwxg gh hoor/ vh wlhqh f [ A ' *? f T ' fn [ ' L b f \ ' A / *? fn T L e3b : ' b fn \ f [ *? L ' b L / *? fn [ ' #f \ *? L / b $ L b : *? ' #fn \ $ L / ' L 1 ' Dvð/ sxhgh xwlol}duvh ho vljxlhqwh dojrulwpr= Dojrulwpr gh vlpxodflöq gh od Srlvvrq d wudyhv gh od h{srqhqfldo 41 Kdfhu R ' | 7 ' 1 51 Uhshwlu 5141 Jhqhudu L L Efc 1 5151 Kdfhu R ' R L | 7 ' 7 n 1 61 Kdvwd txh R e3b 1 71 Kdfhu f ' 71 Wdqwr hvwh dojrulwpr frpr ho gh od wudqvirupdflöq fxdqwlo wlhqhq ho lqfrq0 yhqlhqwh gh vhu px| lqhflhqwhv fxdqgr b hv judqgh1 Hq hvh fdvr/ dxqtxh od glvwulexflöq gh Srlvvrq wlhqh xq qýphur lqqlwr gh srvleohv uhvxowdgrv/ hv shu0 ihfwdphqwh dsolfdeoh ho pìwrgr gh od wdeod jxðd/ djuxsdqgr wrgrv orv lqqlwrv ydoruhv d sduwlu gh xqr hq dghodqwh1 Hvwr ghvhperfd hq xqd eývtxhgd vhfxhq0 fldo fxdqgr ho lqwhuydor hohjlgr vhd ho ýowlpr gh od wdeod1 Gh hvwd irupd vh phmrud px| frqvlghudeohphqwh od hflhqfld gho pìwrgr1 81517 Od glvwulexflöq jhrpìwulfd Vx pdvd gh suredelolgdg hv Ef ' ' R E R / sdud ' fc c Dsduwh gh srghu vlpxoduvh d sduwlu gh vx ghqlflöq +qýphur gh iudfdvrv dqwhv gho sulphu ì{lwr, wdpelìq sxhgh kdfhuvh sru wuxqfdplhqwr1 Frpr |d vh ylö hq vx prphqwr/ ho dojrulwpr txh uhvxowd sru hvwh pìwrgr hv htxlydohqwh do edvdgr hq od h{suhvlöq h{soðflwd gh od ixqflöq fxdqwlo1 Dojrulwpr gh wuxqfdplhqwr sdud od glvwulexflöq jhrpìwulfd 1 31 Kdfhu u ' *?E3R 41 Jhqhudu L L Efc 1 51 Kdfhu A ' u *? L 1 61 Ghyroyhu f ' gA h1 81 82 Introducción a la Simulación y a la Teoría de Colas Ricardo Cao Abad 81518 Od glvwulexflöq elqrpldo qhjdwlyd Frpr hv vdelgr/ od glvwulexflöq elqrpldo qhjdwlyd/ Eoc R/ jhqhudol}d od jhrpìwulfd1 Sxhgh lqwhusuhwduvh frpr ho qýphur gh iudfdvrv dqwhv gho o0ìvlpr ì{lwr1 Vx ixqflöq gh pdvd gh suredelolgdg hv no o Ef ' ' R E R / sdud ' fc c Ghelgr d vx uhsurgxfwlylgdg hq ho sduäphwur o/ sxhgh vlpxoduvh frpr vxpd gh o yduldeohv jhrpìwulfdv/ dxqtxh hvwh dojrulwpr sxhgh vhu px| frvwrvr hq wlhpsr gh frpsxwdflöq vl o hv hohydgr1 H{lvwh wdpelìq xq pìwrgr hvshfðfr edvdgr hq od surslhgdg R g g g c o , f ' Eoc R 1 fmt ' Srlv Et / t ' K R Dojrulwpr frqglflrqdo sdud vlpxodu od elqrpldo qhjdwlyd R 41 Vlpxodu u K 3R c o 1 51 Vlpxodu f SrlvEu1 61 Ghyroyhu f1 816 Hmhuflflrv sursxhvwrv 41 ÁSrguðd prglfduvh ho dojrulwpr gdgr frpr vroxflöq do hmhuflflr 4/ sur0 sxhvwr hq ho whpd 6/ sdud phmrudu vx hflhqfld/ gh irupd txh vh xwlolfhq dkrud wuhv yduldeohv h{srqhqfldohv gh sduäphwur 5B ÁFöprB 51 Xq surjudpd dqwlyluxv frpsuxhed/ wdq vror/ dojxqdv srvlflrqhv gh phpr0 uld +hohjlgdv dohdwruldphqwh, gh xq rughqdgru1 Ghelgr d hvwr/ hq rugh0 qdgruhv frq yluxv/ od suredelolgdg gh txh ho surjudpd or ghwhfwh hq xqd ýqlfd hmhfxflöq hv gho ;3(1 Vxsrqlhqgr txh odv glvwlqwdv hmhfxflrqhv gho surjudpd dfwýdq gh irupd lqghshqglhqwh/ gdgr xq rughqdgru frq yluxv/ Áföpr srguðd vlpxoduvh od yduldeoh qýphur gh hmhfxflrqhv kdvwd txh vh ghwhfwd ho yluxvB ÁSrguðd kdfhuvh or dqwhulru phgldqwh ho xvr gh xq vror qýphur svhxgrdohdwrulr xqliruph sru fdgd ydoru d vlpxodu gh od yduldeoh gh lqwhuìvB 61 Od yduldeoh f/ wlhpsr txh wudqvfxuuh hqwuh odv uhvsxhvwdv d grv frpdqgrv frqvhfxwlyrv hmhfxwdgrv sru xq xvxdulr gh xq oderudwrulr gh lqirupäwl0 fd/ sxhgh prghol}duvh frpr vxpd gho wlhpsr txh ho xvxdulr wdugd hq shqvdu ho vljxlhqwh frpdqgr d hmhfxwdu +wklqnlqj wlph, | gho wlhpsr gh uhvsxhvwd gho vlvwhpd dqwh od hmhfxflöq gho frpdqgr hq fxhvwlöq +wlhpsr Métodos específicos para la simulación de distribuciones notables gh uhvsxhvwd,1 Vxsrqlhqgr txh ho wklqnlqj wlph vh prghol}d vhjýq xqd glvwulexflöq K E2c | txh sdud ho wlhpsr gh uhvsxhvwd vh xvd xqd qrupdo gh phgld fD | ghvyldflöq wðslfd f/ vh slgh= +d, Ghwdoodu xq dojrulwpr sdud vlpxodu od yduldeoh dohdwruld f1 +e, Frphqwdu od hflhqfld gho dojrulwpr hqfrqwudgr1 71 Hq ho oderudwrulr gh lqirupäwlfd gho hmhuflflr dqwhulru kd| wuhv lpsuhvrudv1 Sdud fdgd lpsuhvrud/ od suredelolgdg gh hqfrqwuduod dwdvfdgd hv gh xq 43(1 +d, Kdoodu xq dojrulwpr sdud vlpxodu od yduldeoh qýphur gh lpsuhvrudv rshudwlydv gho oderudwrulr1 +e, Hqfrqwudu xq dojrulwpr/ sdud ho plvpr q/ xwlol}dqgr xq vöor qýphur dohdwrulr xqliruph hq Efc / sru fdgd ydoru gh od yduldeoh d vlpxodu1 81 Od iudfflöq gh wlhpsr +r wdqwr sru xqr, txh fdgd lpsuhvrud gho hmhuflflr dqwhulru hvwä rfxsdgd hv xqd yduldeoh frqwlqxd frq ixqflöq gh ghqvlgdg= f% E %b vl % 5 dfc o s E% ' f hq rwur fdvr +d, Rewhqhu xq dojrulwpr sdud vlpxodu od iudfflöq gh wlhpsr gh rfx0 sdflöq gh xqd lpsuhvrud1 +e, Frphqwdu od hflhqfld gho dojrulwpr gho dsduwdgr dqwhulru1 +f, ÁHv srvleoh hqfrqwudu xq dojrulwpr sdud ho txh vhsdprv gh dqwhpdqr ho qýphur gh qýphurv dohdwrulrv xqliruphv qhfhvdulrv sdud vlpxodu xq ydoru gh od iudfflöq gh wlhpsr gh rfxsdflöqB Hq fdvr dupdwlyr/ ghwdoodu föpr1 83 6 Simulación de distribuciones multidimensionales Simulación de distribuciones multidimensionales 91 0 $ Od vlpxodflöq gh yhfwruhv dohdwrulrv f ' Ef c f2 c c f_ txh vljdq flhuwd glvwulexflöq gdgd qr hv wduhd vlhpsuh vhqflood1 Hq jhqhudo/ qr uhvxowd xqd h{whqvlöq lqphgldwd gho fdvr xqlglphqvlrqdo/ dýqtxh/ vl odv yduldeohv txh frp0 srqhq ho yhfwru vrq lqghshqglhqwhv/ hqwrqfhv edvwduä vlpxodu fdgd f frq od glvwulexflöq pdujlqdo ghvhdgd +8 , | oxhjr djuxsdu orv ydoruhv vlpxodgrv sdud fdgd frpsrqhqwh hq xq yhfwru1 Hq od pd|ru sduwh gh orv fdvrv gh lqwhuìv/ odv frpsrqhqwhv gho yhfwru dohdwr0 ulr vrq ghshqglhqwhv | ho pìwrgr dqwhulru qr hv yäolgr1 D frqwlqxdflöq vh yhuäq dojxqrv pìwrgrv jhqhudohv sdud od vlpxodflöq gh glvwulexflrqhv pxowlglphqvlr0 qdohv1 914 Pìwrgr gh odv glvwulexflrqhv frqglflrqdgdv Vxsöqjdvh xq yhfwru dohdwrulr _0glphqvlrqdo/ frq glvwulexflöq frqwlqxd1 Ghqö0 whvh sru s E% c %2 c c %? vx ixqflöq gh ghqvlgdg frqmxqwd | frqvlgìuhvh od sulphud ghqvlgdg pdujlqdo/ s E% / | odv vxfhvlydv ghqvlgdghv frqglflrqdohv s2 E%2 m% / s E% m% c %2 / / s_ E%_ m% c %2 c c %_3 1 Judfldv d od uhjod gho surgxfwr/ jhqhudol}dgd d ixqflrqhv gh ghqvlgdg/ vh wlhqh s E% c %2 c c %? ' s E% s2 E%2 m% s E% m% c %2 s_ E%_ m% c %2 c c %_3 |/ frpr frqvhfxhqfld/ sxhgh gduvh ho vljxlhqwh dojrulwpr jhqhudo= 41 Jhqhudu f frq ghqvlgdg s 1 51 Ghvgh ' 2 kdvwd _ jhqhudu f frq ghqvlgdg s Emf c f2 c c f3 1 $ 61 Ghyroyhu f ' Ef c f2 c c f_ 1 Hv lqphgldwr frpsuredu txh ho pìwrgr dqwhulruphqwh h{sxhvwr hv ljxdo0 phqwh yäolgr vl odv yduldeohv f vrq glvfuhwdv r/ lqfoxvr/ vl dojxqdv vrq glvfuh0 wdv | rwudv frqwlqxdv1 Hq wdo fdvr vh vxvwlwxluðd od ghqvlgdg sru od pdvd gh suredelolgdg1 Dvð sxhv/ or uhdophqwh lpsruwdqwh sdud srghu dsolfdu ho pìwrgr gh odv glvwulexflrqhv frqglflrqdgdv hv frqrfhu | vdehu vlpxodu od glvwulexflöq pdujlqdo gh f | odv glvwulexflrqhv frqglflrqdgdv gho wlsr f mf c f2 c c f3 sdud ' 2c c c _1 Hmhpsor 56 Wudwduhprv gh gdu xq dojrulwpr sdud vlpxodu od glvwulexflöq qru0 pdo elglphqvlrqdo sru ho pìwrgr gh odv glvwulexflrqhv frqglflrqdgdv1 Frqvl0 87 88 Introducción a la Simulación y a la Teoría de Colas Ricardo Cao Abad ghuhprv xqd 2 > >2 2 j j2 c c j 2 j 22 sru odv surslhgdghv gh od glvwulexflöq qrupdo/ edvwduä vdehu vlpxodu od glvwulex0 flöq 2 f j j 2 c 2 j 2 j 22 f > | oxhjr vxpduoh ho yhfwru 1 >2 g Gdgr txh f ' Efc j / vh wlhqh txh %2 s E% ' s i T 2 1 2j j 2Z Dghpäv $ %' s E% c %2 ' s E Frpr 3 P ' _i| EP $| 3 s % 1 % P $ i T 2 2Z _i| EP j 22 j 2 j 2 j 2 ' 2 2 j j 2 j 22 j 22 j2 j 2 j 2 / vh wlhqh txh j 2 %2 2j 2 % %2 n j 2 %22 $ $ % ' 2 % | P3 2 2 Ej 2 j 22 j 22 |/ sru wdqwr/ s E% c %2 s2 E%2 m% ' s E% 2 2 %2 j 2 % 2j 2 % %2 n j 2 %22 i T 2 2 Ej 2 j 22 j 22 2j s j 2Z ' s 2 2 2Z j j 2 j 22 2 2 2 j j2 % 2j 2 j 2 % %2 n j e %22 Ej 2 j 22 j 22 %2 's t 2 2 2 i T j j2 3j 2 2j 2 Ej 2 j 22 j 22 2Z j 2 2j 2 j 2 % %2 n j e %22 n j 22 %2 's t 2 2 2 i T j j 2 3j 2 2j 2 Ej 2 j 22 j 22 2Z j 2 3 4 j22 %2 2j 2 % %2 2 n % n 2 e 2 j j D ' s t 2 2 2 i T C j 2 j 22 3j22 j j 2 3j 2 2 2 2Z j j2 3 2 4 j 2 % % 2 j 2 F E ' s t 2 2 2 i T C D/ 2 j 2 3j 2 j j j 2 3j 2 2 2 2 j2 2Z 2 j Simulación de distribuciones multidimensionales t 2 2 2 j j 2 3j 2 1 txh hv od ghqvlgdg gh xqd jj22 % c j 2 Hq uhvxphq/ vh wlhqh txh vl 2 f j j 2 f g c / ' 2 f2 j 2 j 22 f t 2 2 2 g g j j2 3j 2 1 Dvð/ ho dojrulwpr hqwrqfhv f ' Efc j | f2 mf ' jj22 f c j 2 gh vlpxodflöq frqvlvwluðd hq orv vljxlhqwhv sdvrv= 41 Vlpxodu ~ c ~2 Efc lqghshqglhqwhv1 51 Kdfhu t ' j ~ 1 t 2 2 2 j j2 3j 2 1 61 Kdfhu t2 ' jj22 t n ~2 j 2 71 Kdfhu f ' t n > / f2 ' t2 n >2 1 $ 81 Ghyroyhu f ' Ef c f2 | 1 Hmhpsor 57 +Od glvwulexflöq xqliruph hq ho fðufxor xqlwdulr, Vh wudwd gh od glvwulexflöq elglphqvlrqdo frqwlqxd fx|d ghqvlgdg hv frqvwdqwh hq glfkr fðufxor ' iE% c %2 5 U2 *%2 n %22 j Vx ixqflöq gh ghqvlgdg ylhqh gdgd/ sru wdqwr/ sru vl E% c %2 5 Z s E% c %2 ' * f vl E% c %2 5 Od ghqvlgdg pdujlqdo gh od sulphud yduldeoh uhvxowd s ] ns3%2 2 %2 _%2 ' vl % 5 dc o / s E% ' s Z 3 3%2 Z hv ghflu/ s E% ' Dghpäv s2 E%2 m% ' 2 Z f s %2 vl % 5 dc o * dc o vl % 5 t t s E% c %2 2 2 / vl % ' sZ 2 ' s % c % 5 2 2 3% s E% 2 %2 Z ydolhqgr fhur hq rwur fdvr1 Vh wlhqh hqwrqfhv txh t t g 2 2 f2 mf ' L f c f c vlhpsuh txh f 5 dc o1 89 90 Introducción a la Simulación y a la Teoría de Colas Ricardo Cao Abad Ilqdophqwh/ ho dojrulwpr uhvxowd= s Vlpxodu f frq ghqvlgdg s kE% ' Z2 %2 t% $ l 1 s s 2 2 51 Vlpxodu f2 frq ghqvlgdg L f c f 1 $ 61 Ghyroyhu f ' Ef c f2 | 1 Sdud ho sdvr 4 sxhgh xwlol}duvh/ sru hmhpsor/ ho pìwrgr gh dfhswdflöq2uhfkd}r/ sxhv vh wudwd gh xqd ghqvlgdg dfrwdgd ghqlgd hq xq lqwhuydor dfrwdgr1 41 915 Ho pìwrgr gh dfhswdflöq2uhfkd}r Od lghd jhqhudo gho pìwrgr gh dfhswdflöq2uhfkd}r hv dsolfdeoh sdud vlpxodu yduldeohv dohdwruldv ghqlgdv hq fxdotxlhu hvsdflr +qr vöor hq U,1 Hq sduwlfxodu sxhgh xvduvh sdud vlpxodu yhfwruhv dohdwrulrv gh U_ 1 Vlq hpedujr/ hq hvwh frqwh{wr/ uhvxowd pxfkr päv gliðflo hqfrqwudu xqd ghqvlgdg dx{loldu dghfxdgd |/ hvshfldophqwh/ frqvhjxlu txh ho qýphur phglr gh frpsdudflrqhv gho pìwrgr vh pdqwhqjd ghqwur gh xqrv oðplwhv gh hflhqfld ud}rqdeohv fxdqgr od glphqvlöq hv hohydgd1 Yhdprv xq hmhpsor Hmhpsor 58 Vlpxodflöq gh sxqwrv xqliruphphqwh glvwulexðgrv vreuh od hv0 ihud xqlwduld _0glphqvlrqdo _ ' E% c %2 c c %_ *%2 n %22 n n %2_ 1 Ghqrwdqgr sru T_ E/ ho yroxphq +od phglgd, gh od hvihud _0glphqvlrqdo gh udglr +hq jhqhudo/ od gh udglr o yhulfd T_ Eo ' o_ T_ E,/ vh wlhqh= vl E% c %2 c c %_ 5 _ T_ E s E% c %2 c c %_ ' f vl E% c %2 c c %_ 5 * _ _ Sdud vlpxodu ydoruhv hq U / frq ghqvlgdg gs / srghprv xwlol}du frpr ghqvlgdg dx{loldu od gh xqd L dc o dc o dc o ' L dc o_ / gdgd sru vl % 5 dc o/ sdud wrgr ' c 2c c _ 2_ } E% c %2 c c %_ ' f hq rwur fdvr Od frqvwdqwh S öswlpd sdud od xwlol}dflöq gho pìwrgr gh dfhswdflöq2uhfkd}r hv $ % 2_ s E T_ E ' ' $ % *}E % :f } E % T_ E 2_ $ $ | od frqglflöq gh dfhswdflöq SL } A s A vh frqylhuwh hq S ' 3< 4@3< 2_ $ $ L _ d3co_ A _ A / T_ E 2 T_ E Simulación de distribuciones multidimensionales $ $ r/ or txh hv or plvpr/ L d3co_ A _ A 1 Gdgr txh ho qýphur dohdwr0 ulr L hvwä hq ho lqwhuydor dfc |txhodv ixqflrqhv lqglfdgrudv ydohq f ö / hvwd $ $ $ frqglflöq htxlydoh d txh d3co_ A ' _ A / hv ghflu/ d txh A 5 _ / hv ghflu/ txh vh yhultxh A2 n A22 n n A_2 1 Sru rwud sduwh/ od vlpxodflöq gh A L dc o_ sxhgh kdfhuvh wulyldo0 phqwh phgldqwh A L Edc o sdud fdgd ' c 2c c _/ |d txh odv frpsr0 qhqwhv vrq lqghshqglhqwhv1 Frpr ho ydoru gh L hv vxshu xr hq hvwh fdvr/ ho dojrulwpr txhgd= 41 Vlpxodu T c T2 c c T_ L Efc lqghshqglhqwhv1 51 Sdud ' c 2c c _ kdfhu A ' 2T 1 61 Vl A2 n A22 n n A_2 : hqwrqfhv yroyhu do sdvr 41 $ 71 Ghyroyhu f ' EA c A2 c c A_ | 1 Xvdqgr odv iöupxodv gho yroxphq gh xqd hvihud _0glphqvlrqdo= ; _*2 _ Z o A A vl _ hv sdu ? E_*2T_ Eo ' g _2 hn Z g _2 h o_ A A = 2 vl _ hv lpsdu D_ sxhgh yhuvh txh ho qýphur phglr gh uhshwlflrqhv gh orv sdvrv 406 gho dojrulwpr/ _ txh ylhqh gdgr sru od frqvwdqwh S ' T_2E / sxhgh kdfhuvh hqöuphphqwh judqgh1 Dvð/ vl _ ' 2 vh wlhqh S ' 2./ vl _ ' vh wlhqh S ' b/ vl _ ' e hqwrqfhv S ' 2e | sdud _ ' f uhvxowd S ' efD txh hv xq ydoru txh kdfh txh ho dojrulwpr vhd wuhphqgdphqwh ohqwr hq glphqvlöq f1 916 Pìwrgrv gh frglfdflöq r hwltxhwdgr Hq ho fdvr gh txh od ixqflöq gh glvwulexflöq _0glphqvlrqdo vhd glvfuhwd h{lvwhq pìwrgrv txh shuplwhq uhgxflu od vlpxodflöq gh glfkd yduldeoh do frqwh{wr gh vlpxodu xqd yduldeoh dohdwruld glvfuhwd xqlglphqvlrqdo1 Hvwrv pìwrgrv vrq frqrflgrv frpr pìwrgrv gh hwltxhwdgr r frglfdflöq | od lghd eävlfd frqvlvwh hq frqvwuxlu xqd ixqflöq txh frgltxh odv srvleohv _0wxsodv gho frqmxqwr grqgh wrpd ydoruhv od yduldeoh glvfuhwd/ kdflhqgr fruuhvsrqghu d fdgd xqr xq qýphur hqwhur qr qhjdwlyr glihuhqwh1 Vxsrqjdprv txh whqhprv xqd yduldeoh elglphqvlrqdo glvfuhwd Ef c f2 fdgd xqd gh fx|dv frpsrqhqwhv wrpd ydoruhv hqwhurv qr qhjdwlyrv1 Ho vxefrqmxqwr gh U2 hq ho txh wrpd ydoruhv ho yhfwru dohdwrulr hv 2 ]n ]n ' ]n ' iEc *c 5 ifc c 2c jj 1 91 92 Introducción a la Simulación y a la Teoría de Colas Ricardo Cao Abad Vh wudwduä gh ghqlu xqd ixqflöq el|hfwlyd/ G ]n ]n $ ]n / txh shuplwd hwltxhwdu orv sduhv gh hqwhurv1 Xqd srvlelolgdg vhqflood frqvlvwh hq xwlol}du Ec ' E n E n n n / 2 txh fruuhvsrqgh frq xq hwltxhwdgr gh orv yhfwruhv gh E]n 2 gh od irupd gdgd sru od vljxlhqwh jxud1 Hwltxhwdgr gdgr sru Gh hvwd irupd/ lqgxfh vreuh od yduldeoh wudqvirupdgd/ ' Ef c f2 / xqd pdvd gh suredelolgdg E Ef cf R& G' E ' & ' E Ef c f2 ' & ' Ef c f2 ' 3 E& 'G R3 E&2 1 Uhvxowd lqphgldwr/ sru wdqwr/ rewhqhu od pdvd gh suredelolgdg gh od yduldeoh glvfuhwd xqlglphqvlrqdo / d sduwlu gh od pdvd gh suredelolgdg gh od yduldeoh ruljlqdo Ef c f2 1 Gh wrgdv irupdv/ ghehprv whqhu hq fxhqwd txh sdud txh hvwr vhd fdofxodeoh hq od suäfwlfd hq xq wlhpsr ud}rqdeoh/ od ixqflöq gheh srghu lqyhuwluvh gh irupd uäslgd1 Dvð sxhv sdud vlpxodu od yduldeoh Ef c f2 srghprv surfhghu phgldqwh xqr gh orv dojrulwprv srvleohv sdud vlpxodu fdofxodqgr hq wdqwrv sdvrv frpr vhdq qhfhvdulrv orv ydoruhv gh od irupd 3 E&1 Frq od ixqflöq frphqwdgd dqwhulruphqwh srghprv fdofxodu gh irupd uäslgd vx lqyhuvd1 Yhäprvor1 Frqvlghuhprv & 5 ]n / ho ydoru Ec ' 3 E& gheh yhulfdu Ec ' & / E n E n n n ' &1 2 Simulación de distribuciones multidimensionales Ghqrwdqgr dkrud ? ' n / sdud hqfrqwudu Ec ' 3 E& edvwd frq kdoodu ? h / hqwhurv srvlwlyrv/ frq ? c wdohv txh ? E? n n ' &1 2 Ghehprv hqwrqfhv hqfrqwudu ho ýqlfr ? txh fxpsoh ? E? n ? E? n n 2 E? n ? E? n E? n E? n 2 n? ' 1 & 2 2 2 2 Frpr dghpäv ?2 ? E? n | E? n E? n 2 E? n 22 / vh wlhqh txh hvh ydoru ? kd gh yhulfdu ?2 2& E? n 22 c hv ghflu os p os p 2& 2 ? 2& Glfkr gh rwur prgr/ vh wlhqh txh ? kd gh vhu ljxdo d os p os p 2& ö 2& 1 Edvwd o hqwrqfhv fdofxodu od h{suhvlöq ?E?n sdud 2 os hvrv p srvleohv ydoruhv gh ?1 s p os p Dvð/ vl 2& 2& n : 2& hqwrqfhv ? ' 2& |/ hq fdvr frqwudulr/ os p 2& 1 Ilqdophqwh vh fdofxod ?' '& ? E? n | ' ? 1 2 Hmhpsor 59 Fdofxohprv/ sru ho surfhglplhqwr s ghvfulwr dqwhulruphqwh/ s sho ydoru 2 S ' 2 S ' 2 ' 3 ES1 Fdofxodprv sulphudphqwh ? ' gD SDSHDe2h ' D1 Oxhjr fdofxodprv D ED n ' f 2 ' 2 S/ frq or fxdo ' | ' D ' e1 Dvð sxhv vh rewlhqh 3 ES ' ? ' D1 Dghpäv ' S DuS 2 Ec e/ txh frlqflgh frq or txh vh sxhgh revhuydu hq od jxud dqwhulru1 Vh revhuyd sxhv frpr ho fäofxor gh 3 E& hv px| uäslgr1 Ho uhvwr gho dojrulwpr vh uhgxfh d od vlpxodflöq gh od yduldeoh xqlglphqvlrqdo 1 Dxqtxh qr hqwuduhprv frq ghwdooh hq hoor/ frqylhqh uhvdowdu txh hv srvleoh _ jhqhudol}du hvwh wlsr gh ixqflrqhv gh frglfdflöq d E]n 1 Wdpelìq hv idfwleoh hqfrqwudu od lqyhuvd gh wdo ixqflöq jhqhudol}dgd +oodpdgd ixqflöq gh ghfrgl0 fdflöq, txh vh sxhgh fdofxodu hflhqwhphqwh1 Fxdqgr od yduldeoh dohdwruld f2 wrpd xq qýphur qlwr gh ydoruhv +vxsrq0 jdprv frpsuhqglgrv hqwuh f | ,/ rwud srvleoh ixqflöq gh frglfdflöq/ päv vhqflood hv Ec ' E n n / 93 94 Introducción a la Simulación y a la Teoría de Colas Ricardo Cao Abad fx|d lqyhuvd ylhqh gdgd sru 3 E& ' & c & 4L_ E n n Hvwdv ixqflrqhv gh frglfdflöq | ghfrglfdflöq vrq jhqhudol}deohv d E]n _ | $ dsolfdeohv do fdvr hq txh ho yhfwru dohdwrulr f wrph xq qýphur qlwr gh ydoruhv1 917 Pìwrgrv hvshfðfrv sdud vlpxodu od glvwulex0 flöq qrupdo pxowlyduldqwh $ Gdgr xq yhfwru > ' E> c > c c >_ | 5 U_ | 3 j j 2 E j 2 j 22 E P' E 11 11 111 C 1 1 j _ j _2 xqd pdwul} ghqlgd srvlwlyd 4 j _ j 2_ F F 11 F 1 D j __ od glvwulexflöq qrupdo _0glphqvlrqdo gh hvrv sduäphwurv/ deuhyldgdphqwh $ > c P/ hv od txh wlhqh ghqvlgdg gdgd sru _ E 3_*2 3*2 | 3 $ $ $ $ $ _i| EP i T E% > P E% > 1 s E % ' E2Z 2 Fxdqgr od pdwul} P hv gldjrqdo= 3 E E P'E C j2 f f f j 22 f 11 1 1 11 1 1 11 1 1 f f j 2_ 4 F F Fc D vh rewlhqh iäflophqwh # _ $3*2 \ $ s E % ' E2Z3_*2 j 2 3 ' 3 E E E E |E $ $ E % > i TE E 2 E C C $ j 3 # f 11 1 f f j 22 11 1 f 111 f f 11 1 j2_ 4 4 F F F F $ $ F E F % > F F D D $ _ [ E% > 2 ' E2Z i T 2 ' j 2 ' # # $$ _ _ \ \ E% > 2 s i T 2 ' ' > cj E% / 2j j 2Z ' ' 3_*2 # _ \ j2 Simulación de distribuciones multidimensionales vlhqgr > cj od ixqflöq gh ghqvlgdg gh xqd E> c j 1 Gh hvwd irupd/ fxdqgr od pdwul} P +txh uhvxowd vhu od pdwul} gh yduldq}dv0fryduldq}dv gh od qrupdo _0glphqvlrqdo, hv gldjrqdo/ hqwrqfhv odv frpsrqhqwhv vrq lqghshqglhqwhv | $ > c P phgldqwh ho vljxlhqwh dojrulwpr= uhvxowd wulyldo vlpxodu od _ E 41 Vlpxodu ~ c ~2 c c ~_ Efc lqghshqglhqwhv1 51 Sdud ' c 2c c _ kdfhu f ' > n j ~ 1 $ 61 Ghyroyhu f ' Ef c f2 c c f_ | 1 $ > c P Xqd surslhgdg txh uhvxowd px| ýwlo sdud vlpxodu od glvwulexflöq _ E frq P duelwuduld hv od vljxlhqwh1 $ g $ > c P | hv xqd pdwul} gh glphqvlöq R _/ Sursrvlflöq 5: Vl f ' _ E $ $ g $ > c P | 1 gh udqjr pä{lpr/ frq R _/ hqwrqfhv t ' f ' R E $ $ g $ $ $ g yduldeoh dohdwruld f ' _ E > c P/ hqwrqfhv f ' f > ' Gdgd xqd $ _ f c P 1 Dghpäv/ gdgd xqd pdwul} ghqlgd srvlwlyd/ P/ h{lvwh xqd pdwul} ruwrjrqdo M +hv ghflu/ wdo txh M 3 ' M | , gh irupd txh od pdwul} \ ' M | PM hv gldjrqdo1 Gh khfkr/ M hv od pdwul} gh fdpelr gh edvh sdud txh od pdwul} dvrfldgd d od fruuhvsrqglhqwh dsolfdflöq olqhdo vhd od pdwul} gldjrqdo \ +hq oxjdu gh od pdwul} gh sduwlgd P,1 Odv froxpqdv gh od pdwul} M vrq suhflvdphqwh orv dxwryhfwruhv olqhdophqwh lqghshqglhqwhv +| gh pögxor xqlwdulr, gh od pdwul} P/ hv ghflu/ _ yhfwruhv $ $ $2 c c $_ / wdohv txh $ c % | % ' sdud wrgr % % olqhdophqwh lqghshqglhqwhv/ % | $ $ ' c 2c c ? | frq % % ' f vl 9' / yhulfdqgr dghpäv txh <b 5 U wdo $ $ txh P % ' b % +frqglflöq gh vhu xq dxwryhfwru,1 Dghpäv orv dxwrydoruhv b / b2 / / b_ +txh vrq wrgrv srvlwlyrv, vrq suhflvdphqwh orv hohphqwrv gh od gldjrqdo gh od pdwul} \1 $ g $ Sduwlhqgr gh xqd yduldeoh ~ ' _ f c U_ +iäflophqwh vlpxodeoh d sdu0 $ g wlu gh ~ / ~2 / / ~_ Efc lqghshqglhqwhv,/ vh wlhqh txh \*2 ~ ' $ _ f c \ / vlhqgr 3 E E \*2 ' E C *2 b f 11 1 b2 11 1 f f f *2 111 f f 11 1 4 F F F D *2 b_ Dkrud/ pxowlsolfdqgr sru od l}txlhugd sru od pdwul} M/ vh wlhqh $ g g $ $ M\*2 ~ ' _ f c M\M | ' _ f c P 1 $ Ilqdophqwh/ edvwd vxpdu ho yhfwru > sdud rewhqhu $ $ g $ f '$ > n M\*2 ~ ' _ E > c P 1 95 96 Introducción a la Simulación y a la Teoría de Colas Ricardo Cao Abad Xqd yh} gldjrqdol}dgd od pdwul} P/ frq dxwrydoruhv b / b2 / / b_ | dxwryhf0 wruhv dvrfldgrv gdgrv sru odv froxpqdv gh od pdwul} M/ ho dojrulwpr surfhghuðd frpr vljxh= 41 Vlpxodu ~ c ~2 c c ~_ Efc s lqghshqglhqwhv1 51 Sdud ' c 2c c _ kdfhu t ' b ~ 1 $ $ $ 61 Ghyroyhu f ' > nMt 1 Hmhpsor 5; Gdu xq dojrulwpr sdud vlpxodu od glvwulexflöq 2S feH c 1 2 feH 2Se Sdud hqfrqwudu orv dxwrydoruhv | dxwryhfwruhv gh P uhvroyhprv _i| EP bU ' f/ hv ghflu/ 2S b feH 2 feH 2Se b ' f / E2S b E2Se b EfeH ' f s D D2 S e / / b2 Db n S ' f / b ' 2 txh riuhfh frpr vroxflrqhv b ' | b2 ' 21 Sdud hqfrqwudu dxwrydoruhv gh pögxor fruuhvsrqglhqwhv d hvrv dxwrydoruhv qr whqhprv päv txh uhvroyhu orv $ $ % ' f sdud ' c 2 lpsrqlhqgr od frqglflöq gh pögxor vlvwhpdv EP b U ljxdo d / hv ghflu %2 n %22 ' 1 Dvð/ uhvxowd S 2 fSe feH / oxhjr ' ffe P b U ' 2 b feH fS e $ $ EP b U % ' f / %2 ' % / shur frpr %2 n %22 ' / vh wlhqh e 2D 2 % ' / oxhjr % ' | %2 ' b D D +wdpelìq hv vroxflöq vl fdpeldprv dperv gh vljqr,> fS feH b 2 / oxhjr P b2 U ' ' ffe 2 S feH fSe $ $ % ' f / %2 ' % / shur frpr %2 n %22 ' / vh wlhqh EP b2 U e e 2D 2 % ' / oxhjr % ' | %2 ' 1 S D D Gh hvwd irupd/ od pdwul} M uhvxowd/ hqwuh rwudv srvlelolgdghv/ e fS fH D D ' M' eD D fH fS Dkrud $ $ t ' \*2 ~ ' s s sf ~ ~ ' s ~2 f 2 2~2 Simulación de distribuciones multidimensionales | qdophqwh/ $ $ f '$ > nMt ' Dvð/ 41 51 61 71 n fSt n fHt2 fHt n fSt2 1 ho dojrulwpr uhvxowduðd lqghshqglhqwhv1 Vlpxodu ~ cs ~2 Efc s Kdfhu t ' ~ h t2 ' 2~2 1 Rewhqhu f ' n fSt n fHt2 | f2 ' fHt n fSt2 1 $ Ghyroyhu f ' Ef c f2 | 1 918 Hmhuflflrv sursxhvwrv 41 Od glihuhqfld hq suhflr +f, | hq wlhpsr gh ylgd +t , gh xq prqlwru gh 4: sxojdgdv/ h{suhvdgrv hq wdqwr sru xqr frq uhvshfwr d od phgld gh phufdgr/ sxhgh vxsrqhuvh xqd yduldeoh dohdwruld/ Efc t / frq ixqflöq gh ghqvlgdg gdgd sru + d2 E%2 n + 2 o vl % 5 dc o h + 5 dc o s E%c + ' S f hq rwur fdvr Vlpxodu glfkd glvwulexflöq elglphqvlrqdo phgldqwh ho pìwrgr gh dfhs0 wdflöq0uhfkd}r xwlol}dqgr frpr ghqvlgdg dx{loldu xqd gh px| vhqflood vlpxodflöq1 ÁFxäo hv od hflhqfld gho dojrulwprB ÁH{lvwh dojýq rwur pìwrgr dowhuqdwlyr sdud vlpxodu hvwd glvwulexflöqB Gdu/ px| euhyhphqwh/ od lghd hq txh frqvlvwh dojxqr gh hoorv1 51 Gdu xqd irupxodflöq jhqhudo gh xq dojrulwpr gh lqyhuvlöq sdud xqd glv0 wulexflöq elglphqvlrqdo1 61 Od yduldeoh dohdwruld elglphqvlrqdo Efc t / txh uhsuhvhqwd ho qýphur gh uhlqlflrv gh xq vlvwhpd lqirupäwlfr | ho qýphur gh xwlol}dflrqhv gho VDL +vlvwhpd gh dolphqwdflöq lqlqwhuuxpslgd,/ wlhqh od vljxlhqwh pdvd gh suredelolgdg= Ef ' c t ' 'f ' '2 'f fD ffb ff ' f2 fH ffD '2 ffS ffD f ' ff ff2 ff 'e ff f f Gdu xq dojrulwpr sdud vlpxodu ho sdu gh yduldeohv Efc t 1 Frphqwdu od hflhqfld gho pìwrgr1 ÁSrguðd phmruduvh glfkd hflhqfld vl ghvhävhprv vlpxodu vrodphqwh od yduldeoh fB 97 7 Diseño de experimentos de simulación Diseño de experimentos de simulación 101 :1 0 Hq ho suhvhqwh fdsðwxor vh derugduäq dojxqdv gh odv fxhvwlrqhv päv lpsruwdqwhv d od krud gh glvhôdu xq hvwxglr gh vlpxodflöq1 Hq sulphu oxjdu vh srqguäq gh pdqlhvwr odv vlplolwxghv | glihuhqfldv hqwuh od vlpxodflöq | od h{shulphqwdflöq vreuh ho vlvwhpd uhdo1 Wdpelìq vh frphqwduäq dojxqdv jhqhudolgdghv vreuh od vlpxodflöq hvwäwlfd | glqäplfd/ glihuhqfldqgr/ ghqwur gh ìvwd ýowlpd/ hqwuh od vlpxodflöq sru hyhqwrv | sru fxdqwrv1 Vh derugduäq dojxqdv wìfqlfdv gh uhgxf0 flöq gh od yduldq}d | vh lqglfduä frpr srghu uhvroyhu orv sureohpdv gh hvwdel0 ol}dflöq | ghshqghqfld txh kdelwxdophqwh dsduhfhq hq od vlpxodflöq glqäplfd1 :14 Glihuhqfldv | vlplolwxghv frq od h{shulphq0 wdflöq uhdo Frpr |d vh ghqlö hq ho sulphu whpd/ od vlpxodflöq hv od wìfqlfd frqvlvwhqwh hq od uhdol}dflöq gh h{shulphqwrv gh pxhvwuhr vreuh xq prghor frqvwuxðgr d sduwlu gh xq vlvwhpd uhdo1 D sduwlu gh hvwd ghqlflöq hv reylr txh od vlpxodflöq qhfhvlwduä gh judq fdqwlgdg gh wìfqlfdv hvwdgðvwlfdv sdud rewhqhu odv pxhvwudv +pxhvwuhr, | sdud dqdol}du orv uhvxowdgrv rewhqlgrv sru od h{shulphqwdflöq duwlfldo +hvwlpdflöq/ lqwhuydorv gh frqdq}d/ frqwudvwhv gh klsöwhvlv/ hwf1,1 Sru wrgr hoor/ sxhgh dupduvh txh/ hq jhqhudo/ hq fxdqwr d od xwlol}dflöq gh wìfqlfdv hvwdgðvwlfdv hv px| vlplodu d od sursld h{shulphqwdflöq vreuh ho vlvwhpd uhdo1 Hqwuh odv glihuhqfldv fdehq ghvwdfdu odv vljxlhqwhv= 41 Od xwlol}dflöq gh wìfqlfdv gh hvwlpdflöq sxqwxdo/ frqvwuxfflöq gh lqwhu0 ydorv gh frqdq}d | frqwudvwhv gh klsöwhvlv hv dojr phqrv iuhfxhqwh hq od vlpxodflöq txh hq od h{shulphqwdflöq uhdo1 Od ud}öq hv txh dojxqrv gh orv sduäphwurv +orv gh frqwuro, |d vrq frqrflgrv hq od vlpxodflöq |/ sru wdqwr/ qr hv qhfhvdulr kdfhu lqihuhqfld vreuh hoorv/ dxqtxh vð vreuh orv gh vdolgd/ txh plghq/ gh dojxqd irupd/ ho frpsruwdplhqwr gho vlvwhpd1 51 Od vlpxodflöq vxhoh kdfhu xq xvr pxfkr päv lqwhqvlyr gh wìfqlfdv gh rughqdflöq | rswlpl}dflöq1 Hvwr hv ghelgr d txh/ hq ho frqwh{wr gh od vlpxodflöq/ hv idfwleoh frpsdudu xq judqgðvlvpr qýphur gh hvfhqdulrv +hqwuh orv txh vh ghvhd rswlpl}du/ sru hmhpsor, hq px| srfr wlhpsr/ frvd txh vh gd px| ududphqwh hq od h{shulphqwdflöq uhdo1 61 Xqd shfxoldulgdg gh od vlpxodflöq hv txh fdvl vlhpsuh hv srvleoh frpsdudu glvwlqwdv hvwudwhjldv vreuh odv plvpdv pxhvwudv vlpxodgdv +vlpsohphqwh 102 Introducción a la Simulación y a la Teoría de Colas Ricardo Cao Abad xwlol}dqgr od plvpd vhplood hq od vlpxodflöq/ frqyhqlhqwhphqwh sodql0 fdgd,1 Hvwr lpsolfd txh vh srguäq xvdu pxhvwudv gh gdwrv dsduhdgrv +srvlwlydphqwh fruuhodgrv, hq oxjdu gh gdwrv lqghshqglhqwhv/ frq od frq0 vljxlhqwh jdqdfld hq hflhqfld +frpr vh yhuä do hvwxgldu od xwlol}dflöq gh qýphurv dohdwrulrv frpxqhv/ ghqwur gh od vhfflöq gh wìfqlfdv gh uhgxfflöq gh od yduldq}d,1 :15 Vlpxodflöq hvwäwlfd | glqäplfd Od vlpxodflöq vh glfh hvwäwlfd vl hq ho prghor qr mxhjd qlqjýq sdsho ho wudqv0 fxuvr gho wlhpsr plhqwudv txh hv glqäplfd vl ho wlhpsr hv xqd gh odv yduldeohv lpsruwdqwhv gho prghor1 Hq od vlpxodflöq hvwäwlfd uhvxowd px| vhqfloor frp0 sdudu glvwlqwdv hvwudwhjldv dqwh odv plvpdv frqglflrqhv gho d}du/ plhqwudv txh hvwr hv päv frpsolfdgr hq od vlpxodflöq glqäplfd/ h{ljlhqgr xq wudedmr pd|ru gh sodqlfdflöq1 Dghpäv/ ho frvwh frpsxwdflrqdo gh od vlpxodflöq hvwäwlfd hv edvwdqwh päv prghudgr1 Od vlpxodflöq hvwäwlfd vh xvd px| iuhfxhqwhphqwh hq hvwdgðvwlfd sdud frp0 suredu ho frpsruwdplhqwr frpsdudwlyr gh glyhuvrv pìwrgrv hvwdgðvwlfrv dowhu0 qdwlyrv sdud wdpdôrv pxhvwudohv qlwrv +frpsohphqwdqgr orv hvwxglrv whöulfrv/ fdvl vlhpsuh dvlqwöwlfrv,1 Hq od vlpxodflöq glqäplfd/ qrupdophqwh vh wudwd gh lu dqdol}dqgr orv glv0 wlqwrv hvwdgrv sru orv txh yd sdvdqgr xq vlvwhpd txh hyroxflrqd hq ho wlhpsr1 Hvwr suryrfd/ hq jhqhudo/ xq pd|ru frvwh frpsxwdflrqdo | sureohpdv gh hvwd0 elol}dflöq | ghshqghqfld1 H{lvwhq grv judqghv wlsrv gh vlpxodflöq glqäplfd= od vlpxodflöq frqwlqxd/ hq od txh vh vxsrqh txh ho vlvwhpd fdpeld gh hvwdgr frqvwdqwhphqwh | od vlpxodflöq glvfuhwd/ sdud od fxdo orv fdpelrv vh surgxfhq hq flhuwrv lqvwdqwhv gh wlhpsr vlqjxoduhv1 Od ud}öq gh vxv qrpeuhv ylhqh gh txh hq ho sulphu fdvr ho frqmxqwr gh hvwdgrv hv frqwlqxr/ plhqwudv txh hq ho vhjxqgr hv glvfuhwr1 Ghqwur gh od vlpxodflöq glvfuhwd glvwlqjxluhprv od vlpxodflöq sru hyhqwrv | od vlpxodflöq sru fxdqwrv1 :16 Vlpxodflöq sru hyhqwrv | sru fxdqwrv Frq ho qrpeuh gh vlpxodflöq sru hyhqwrv/ r dvðqfurqd/ ghvljqdprv ho wlsr gh vlpxodflöq glqäplfd glvfuhwd hq od fxdo vh frqwurod od yduldeoh wlhpsr prylìq0 grod kdvwd od rfxuuhqfld gho vljxlhqwh vxfhvr +r hyhqwr,1 Hvwr lpsolfd od qhfhvl0 gdg gh frqwurodu plqxflrvdphqwh fxäo hv glfkr suö{lpr vxfhvr= vdehu fxäohv vrq orv srvleohv vxfhvrv hq xq ixwxur lqphgldwr | fxäo gh hoorv hv ho päv lq0 phgldwr1 Diseño de experimentos de simulación 103 Od vlpxodflöq sru fxdqwrv/ r dvðqfurqd/ uhvsrqgh d xqd olvriðd wrwdophqwh glihuhqwh1 Vh wudwd gh h{dplqdu ho vlvwhpd +txh hyroxflrqd hq ho wlhpsr, ghmdq0 gr sdvdu shtxhôrv lqwhuydorv gh wlhpsr gh orqjlwxg B/ md/ +oodpdgd fxdqwr, hq orv fxdohv vh vxsrqh txh/ d or vxpr/ xq vöor vxfhvr sxhgh surgxfluvh1 Hq jhqhudo/ od vlpxodflöq sru hyhqwrv hv h{dfwd | gh päv gliðflo lpsoh0 phqwdflöq/ shur gh pxfkd päv uäslgd hmhfxflöq txh od vlpxodflöq sru fxdqwrv1 Vlq hpedujr hvwd ýowlpd hv pxfkdv yhfhv od ýqlfd srvlelolgdg idfwleoh hq od vlpxodflöq glqäplfd frqwlqxd1 :17 Wìfqlfdv gh uhgxfflöq gh od yduldq}d H{lvwh xq vlqiðq gh wìfqlfdv hqfdplqdgdv d uhgxflu od yduldq}d hq xq hvwxglr gh vlpxodflöq r elhq d wudwdu gh hvwlpduod1 Dojxqdv gh hoodv vrq ho xvr gh qýphurv dohdwrulrv frpxqhv/ od xwlol}dflöq gh yduldeohv dqwlwìwlfdv/ od hvwudwlfdflöq/ ho xvr gh yduldeohv gh frqwuro/ ho pìwrgr Mdfnnqlih/ orv pìwrgrv gh uhpxhvwuhr +ghvwdfdqgr hqwuh hoorv ho pìwrgr errwvwuds,/ hwf1 Hq or txh vljxh hvwxglduhprv orv wuhv sulphurv pìwrgrv uhvhôdgrv1 Hq jhqhudo frqylhqh whqhu hq fxhqwd txh vl xqr gh orv remhwlyrv gh od vlpxodflöq hv suhflvdphqwh hvwlpdu od yduldelolgdg/ qr frqylhqh xwlol}du hvwdv wìfqlfdv gh uhgxfflöq gh od yduldq}d1 Ìvwdv vrq dsolfdeohv qrupdophqwh fxdqgr od vlpxodflöq suhwhqgh riuhfhu uhvsxhvwdv/ or päv suhflvdv srvleohv/ vöor vreuh fdqwlgdghv phgldv1 :1714 Qýphurv dohdwrulrv frpxqhv Vxsöqjdvh txh vh ghvhd frpsdudu grv hvwudwhjldv glvwlqwdv phgldqwh uhshwl0 flrqhv gh xq h{shulphqwr gh vlpxodflöq/ gh odv fxdohv vh kdq rewhqlgr orv ydo0 ruhv qxpìulfrv gh vdolgd= f / f2 / / f / sdud od sulphud h t / t2 / / t / sdud od vhjxqgd1 Xvdqgr orv plvprv qýphurv dohdwrulrv +hv ghflu uhslwlhqgr orv fäofxorv frq od plvpd vhplood, hq odv yduldeohv gh hqwudgd gh od vlpxodflöq/ vh wlhqh txh J Ef c t : f1 Vl vh txlhuh hvwlpdu od glihuhqfld gh odv phgldv gh hvwd yduldeoh gh vdolgd sdud S dpedv hvwudwhjldv= . Ef . Et ' . Ef t sxhgh xvduvh f t ' ' Ef t / fx|d yduldq}d ylhqh gdgd sru ' T @o f t [ T @o Ef t ' T @o Ef t 2 ' ET @o Ef n T @o Et 2J Ef c t ET @o Ef n T @o Et / ' 104 Introducción a la Simulación y a la Teoría de Colas Ricardo Cao Abad txh hv od yduldq}d txh whqguðd f t hq fdvr gh kdehu xvdgr pxhvwudv lqghshq0 glhqwhv sdud fdgd hvwudwhjld1 Hvwr ghpxhvwud txh hv päv yhqwdmrvr/ d hihfwrv gh uhgxflu od yduldq}d gh od hvwlpdflöq/ ho xvr gh qýphurv dohdwrulrv frpxqhv1 Hvwh khfkr hv elhq frqrflgr hq hvwdgðvwlfd fxdqgr vh glvhôd xq h{shulphq0 wr gh frpsdudflöq gh grv sreodflrqhv phgldqwh od rewhqflöq gh odv oodpdgdv pxhvwudv dsduhdgdv/ hq oxjdu gh od xwlol}dflöq gh pxhvwudv lqghshqglhqwhv1 :1715 Yduldeohv dqwlwìwlfdv Vxsöqjdvh dkrud txh vh ghvhd hydoxdu ho uhvxowdgr gh xqd ýqlfd hvwudwhjld +vlq frpsduduod frq qlqjxqd rwud dowhuqdwlyd,1 Ghvsxhv gh uhshwlflrqhv / f / surfh0 gh od vlpxodflöq/ whqguhprv ydoruhv qxpìulfrv f / f2 / S glhqgr d hvwlpdu od phgld . Ef whöulfd phgldqwh f ' ' f 1 Fr0 pr hv vdelgr/ gdgr txh ìvwh hv xq hvwlpdgru lqvhvjdgr/ vx suhflvlöq sxhgh phgluvh phgldqwh T @o f 1 Vl odv yduldeohv vrq lqghshqglhqwhv vh wlhqh txh S T @o f ' 2 ' T @o Ef / plhqwudv txh/ hq jhqhudo/ vh wlhqh T @o f ' 2 # [ ' T @o Ef n 2 ? [ $ J Ef c f 1 c'c Xqd irupd gh xwlol}du hvwd ýowlpd h{suhvlöq sdud uhgxflu od yduldq}d gho hv0 wlpdgru frqvlvwh hq kdfhu txh fdgd yduldeoh frq ðqglfh lpsdu vhd qhjdwlyd0 phqwh fruuhodgd frq od yduldeoh gh ðqglfh vljxlhqwh +vlhqgr lqghshqglhqwhv gh odv ghpäv,1 Od irupd päv vhqflood gh frqvhjxlu hvwr fxdqgr vh xwlol}d ho pìwrgr gh lqyhuvlöq sdud vlpxodu odv f frqvlvwh hq wrpdu xq ydoru L L Efc sdud vlpxodu f23 | ho ydoru L sdud vlpxodu f2 / vx yduldeoh dqwlwìwlfd/ sdud ' c 2c c 2 +vl hv sdu,1 Ho surfhglplhqwr hv dojr päv frpsolfdgr frq rwurv pìwrgrv gh vlpxodflöq glvwlqwrv gho gh lqyhuvlöq1 :1716 Hvwudwlfdflöq Hq rfdvlrqhv frqylhqh glylglu od sreodflöq hq hvwudwrv rewhqlhqgr/ gho wrwdo gh od pxhvwud/ flhuwr qýphur gh revhuydflrqhv gh fdgd hvwudwr +sursruflrqdo d od suredelolgdg gh fdgd xqr,1 Yhdprv xq hmhpsor1 Hmhpsor 5< +pxhvwuhr hvwudwlfdgr gh xqd h{srqhqfldo, Vxsöqjdvh ho vljxlhqwh sureohpd +devroxwdphqwh duwlfldo shur loxvwudwlyr sdud frpsuhqghu hvwd wìfqlfd,1 Gdgd xqd pxhvwud gh wdpdôr 43 gh xqd sreodflöq frq glvwulex0 flöq i T E vh ghvhd hvwlpdu od phgld sreodflrqdo +frpr vh dfded gh frphqwdu ho sureohpd hv duwlfldo/ sxhv hv vreudgdphqwh frqrflgr txh glfkd phgld hv 4,1 Vl suhwhqghprv hylwdu txh/ sru sxur d}du/ h{lvwd dojxqd }rqd/ hq od txh Diseño de experimentos de simulación 105 od h{srqhqfldo wrpd ydoruhv/ qr uhsuhvhqwdgd hq od pxhvwud gh 43 gdwrv srgh0 prv surfhghu gh od vljxlhqwh irupd1 Wrphprv wuhv hvwudwrv/ sru hmhpsor/ ho gho 73( gh ydoruhv phqruhv/ ho vljxlhqwh 83( gh ydoruhv +lqwhuphglrv, | ho 43( gh ydoruhv päv judqghv sdud hvwd glvwulexflöq1 Frpr ho dojrulwpr gh lqyhuvlöq +rswlpl}dgr, sdud vlpxodu od i T E hv 41 Jhqhudu L L Efc 1 51 Kdfhu f ' *? L 1 od irupd gh jdudqwl}du ho txh rewhqjdprv 8/ 7 | 4 ydoruhv/ uhshfwlydphqwh/ hq fdgd xqr gh orv wuhv hvwudwrv frqvlvwh hq hohjlu L 5 dfSc / hq ho sulphu fdvr/ L 5 dfc fS/ hq ho vhjxqgr | L 5 dfc f sdud ho whufhu hvwudwr1 Gdgr txh/ hq sulqflslr/ vlpxodqgr glh} ydoruhv L c L2 c c Lf L Efc / qr kd| qdgd txh qrv jdudqwlfh txh odv sursruflrqhv gh orv hvwudwrv vrq odv ghvhdgdv +dxqtxh vð or vhdq hq phgld, xqd irupd gh surfhghu frqvlvwh hq uhfkd}du ydoruhv gh L txh fdljdq hq xqr gh hvrv wuhv lqwhuydorv fxdqgr ho fxsr gh hvh hvwudwr hvwì |d g oohqr1 Hvwr hv or plvpr txh vlpxodu 7 ydoruhv gh L mL MdfSc ' LdfSc sdud g ho sulphu hvwudwr/ 8 ydoruhv gh L mLMdfcfS ' L dfc fS sdud ho vhjxqgr | xqr g gh L mLMdfcf ' L dfc f sdud ho whufhur1 Ho dojrulwpr frq hvwd hvwudwlfdflöq vhuðd frpr vljxh= 41 Jhqhudu L L Efc sdud ' c 2c c f1 51 Vl e hqwrqfhv kdfhu L ' fe L n fS1 61 Vl e b hqwrqfhv kdfhu L ' fD L n f1 71 Vl ' f hqwrqfhv kdfhu L ' f L 1 81 Ghvgh ' kdvwd f ghyroyhu f ' *? L 1 Qr hv gliðflo suredu txh T @o Ef ' ff2eSee vl ' c 2c c e/ T @o Ef ' f22bDfe vl ' Dc Sc .c Hc b | T @o Eff ' 1 Frpr frqvhfxhqfld/ f [ T @o Ef ' ff22H T @o f ' 2 f ' txh hv edvwdqwh phqru txh 4/ txh hv od yduldq}d hq ho fdvr gh pxhvwuhr dohdwrulr vlpsoh qr hvwudwlfdgr1 :18 Sureohpdv gh hvwdelol}dflöq | ghshqghqfld Dpedv fxhvwlrqhv vxhohq sodqwhduvh hq od vlpxodflöq glqäplfd1 Orv sureoh0 pdv gh hvwdelol}dflöq hvwäq uhodflrqdgrv frq ho khfkr gh txh/ hq rfdvlrqhv/ ho vlvwhpd hyroxflrqd hq ho wlhpsr gh wdo irupd txh wlhqh xqd glvwulexflöq hvwdflrqduld txh vh vxsrqh gh sduwlgd shur txh sxhgh vhu px| vhqvleoh d odv frqglflrqhv lqlfldohv frq odv txh vh frplhqfh od vlpxodflöq1 Hq wdo fdvr uhvxowd frqyhqlhqwh ho wudqvfxuvr gh flhuwr shuðrgr gh wlhpsr +ghqrplqdgr shuðrgr gh hvwdelol}dflöq, gxudqwh ho fxdo orv uhvxowdgrv rewhqlgrv sdud odv yduldeohv 106 Introducción a la Simulación y a la Teoría de Colas Ricardo Cao Abad gh vdolgd vrq ljqrudgrv | fx|r ýqlfr remhwr hv frqvhjxlu txh vh hvwdelolfh od glvwulexflöq gh suredelolgdg1 Hmhpsor 63 Vxsrqjdprv ho vljxlhqwh prghor gh vlpxodflöq= f| ' f n f. Ef|3 f n 0| sdud h{solfdu od whpshudwxud/ f| / wrpdgd d odv 45 d1p1 hq ho gðd |/ grqgh 0| hv xq huuru dohdwrulr frq glvwulexflöq Efc 1 Sduhfh hylghqwh txh/ hq xq prghor frpr ìvwh/ hv fuxfldo ho ydoru gh od frqglflöq lqlfldo ff fruuhvsrqglhq0 wh do ruljhq gh wlhpsrv1 Hq rwudv sdodeudv/ wrpdqgr sdud ff xq ydoru px| ohmdqr d dtxhoorv päv suredeohv edmr od glvwulexflöq hvwdflrqduld +sru hmhpsor ff ' ff,/ hv lqwxwlwlyr txh vh qhfhvlwduðd gh xqd hwdsd lqlfldo frqvlghud0 eoh sdud oohjdu d dofdq}du ydoruhv hvwdflrqdulrv1 Sru hmhpsor/ vxsrqlhqgr txh orv 0| ixhvhq fhur +txh dxqtxh qr hv flhuwr/ uhdophqwh vrq edvwdqwh shtxhôrv hq uhodflöq frq ho ydoru ff,/ vh rewhqguðd od vljxlhqwh vxfhvlöq gh ydoruhv= ff ' ff/ f ' ./ f2 ' De/ f ' efH./ fe ' ./ fD ' 2De/ Ho shuðrgr gh hvwdelol}dflöq vhuðd pxfkr phqru vl vh sduwlhvh gh xq ydoru lqlfldo päv fhufdqr d f1 Orv sureohpdv gh ghshqghqfld vrq dtxhoorv ghulydgrv gho khfkr gh txh iuhfxhqwhphqwh +gh qxhyr hq prghorv gh vlpxodflöq glqäplfd, odv glvwlqwdv yduldeohv gh vdolgd gh od vlpxodflöq vrq ghshqglhqwhv1 Hq ho hmhpsor dqwhulru hv reylr txh fdgd ydoru f| ghshqgh gh f|3 +lqfoxvr gh f|32 | gh rwudv dqwh0 ulruhv/ dxqtxh fdgd yh} hq phqru phglgd,1 Hvwr dihfwd ixqgdphqwdophqwh d od suhflvlöq gh orv hvwlpdgruhv frqvwuxðgrv frq revhuydflrqhv gh odv plvpdv1 Xqd irupd gh dwhqxdu hvwh hihfwr vhuðd frqvlghudu revhuydflrqhv gh odv plvpdv hq lqvwdqwhv whpsrudophqwh ohmdqrv +grqgh vh vxsrqh txh od ghshqghqfld hv pxfkr päv gìelo,1 Hq rfdvlrqhv/ päv txh dwhqxdu hvwh hihfwr vh wudwd gh hvwlpdu od suhflvlöq gho hvwlpdgru uhvxowdqwh1 Reyldphqwh/ sdud hoor kd gh whqhuvh hq fxhqwd od ghshqghqfld1 :19 Hmhuflflrv sursxhvwrv 41 Frqvlgìuhvh ho dojrulwpr hqfrqwudgr hq ho hmhuflflr 6/ sursxhvwr hq ho whpd 61 Vl srvwhulruphqwh vh txlhuh surfhghu gh irupd txh orv lpsdfwrv fhufdqrv | ohmdqrv do fhqwur hvwìq htxloleudgrv +hv ghflu/ vl sru fdgd xqr fhufdqr txhuhprv whqhu rwur ohmdqr,/ Áföpr vh srguðdq vlpxodu dkrud odv glvwdqfldv do fhqwur gh 43 lpsdfwrvB 51 Xqd qxhyd frpsrqhqwh oohjd fdgd 73 vhjxqgrv d xqd fdghqd gh hq0 vdpeodgr1 Ho wlhpsr qhfhvdulr sdud hqvdpeodu glfkd frpsrqhqwh d od slh}d pdwul} vh vxsrqh xqd yduldeoh dohdwruld frq phgld gh 63 vhjxqgrv Diseño de experimentos de simulación 107 +uhvxowduðd px| lpsruwdqwh kdehu hvwlpdgr vx glvwulexflöq= Efc / Efc D/ K E2c Sf/ hwf1,1 Vl xq wlhpsr gh hqvdpeodgr hv vxshulru d 73 vhjxqgrv/ odv frpsrqhqwhv txh ydq oohjdqgr vh dfxpxodq kdvwd txh vh ohv yd|d gdqgr vdolgd1 Gdu xq dojrulwpr txh shuplwd uhvsrqghu d odv vljxlhqwhv suhjxqwdv Áfxäo hv od suredelolgdg gh txh xqd frpsrqhqwh txh oohjd whqjd txh hvshuduB/ Áfxäo hv od suredelolgdg gh txh hvwìq päv gh wuhv slh}dv hvshudqgrB 61 Ho qýphur gh wrqhodgdv gh sdq surgxflgdv glduldphqwh sru xqd hp0 suhvd sdqlfdgrud wlhqh glvwulexflöq gh Sduhwr frq sduäphwurv 6 | 51 Vxsrqlhqgr txh od ghpdqgd glduld gh sdq +hq wrqhodgdv, wlhqh glvwulex0 flöq Ec fD | txh hv lqghshqglhqwh gh od surgxfflöq/ fdofxodu od sured0 elolgdg gh txh xq gðd frqfuhwr od ghpdqgd qr vhd vdwlvihfkd1 Vxsrqlhqgr xqd sìuglgd gh ffD hxurv sru fdgd nlor gh sdq qr yhqglgr | xqd shqd0 ol}dflöq gh f2 hxurv sru fdgd nlor gh sdq ghpdqgdgr sru folhqwhv | qr hqwuhjdgr +sru idowd gh h{lvwhqfldv,/ gdu xq dojrulwpr sdud fdofxodu odv sìuglgdv phgldv glduldv hq frqfhswr gh h{fhghqwhv r ghpdqgdv lqvdwlv0 ihfkdv1 71 Hq xqd fdghqd surgxfwlyd/ ho wlhpsr txh wdugd xqd frpsrqhqwh hq oohjdu d xqd pätxlqd hqvdpeodgrud ghvgh txh oohjö od slh}d dqwhulru vljxh xqd glvwulexflöq h{srqhqfldo gh phgld 43 vhjxqgrv1 Ho wlhpsr +hq vhjxqgrv, txh hpsohd od pätxlqd hqvdpeodgrud frq fdgd frpsrqhqwh vh dmxvwd d xqd glvwulexflöq KEc 2f1 Fdgd yh} txh xqd qxhyd frpsrqhqwh oohjd d od idvh gh hqvdpeodmh | od pätxlqd hvwä rfxsdgd/ glfkd slh}d vh ghvyðd d rwud olqhd gh surgxfflöq glvwlqwd1 Gdu xq dojrulwpr/ or päv suhflvr srvleoh/ sdud srghu dsur{lpdu phgldqwh vlpxodflöq ho srufhqwdmh gh wlhpsr txh od pätxlqd hqvdpeodgrud shughuä hvshudqgr od oohjdgd gh xqd qxhyd slh}d1 Mxvwlfdu ho ixqflrqdplhqwr gh glfkr dojrulwpr1 81 Xqd pätxlqd surgxfh wludv gh jrpd gh orqjlwxg dohdwruld frq glvwulex0 flöq i T E2 +hq phwurv,1 Ghvsxìv gh ideulfdgdv/ odv wludv gh jrpd vh sdvdq d rwud pätxlqd txh odv hvwlud kdvwd txh urpshq hq grv +sdud frp0 suredu vx hodvwlflgdg,1 Vxsrqlhqgr txh ho oxjdu sru grqgh vh urpsh fdgd wlud hv dohdwrulr | frq glvwulexflöq xqliruph d or odujr gh wrgd vx orqjl0 wxg/ ghvfulelu ghwdoodgdphqwh xq dojrulwpr txh vlpxoh odv orqjlwxghv gh orv grv wur}rv hq orv txh vh urpsh fdgd jrpd1 PARTE II TEORÍA DE COLAS 8 Introducción a la teoría de colas Introducción a la teoría de colas 113 ;1 0WHRUÐD GH FRODV Od whruðd gh frodv hv xqd glvflsolqd/ ghqwur gh od Lqyhvwljdflöq Rshudwlyd/ txh wlhqh sru remhwr ho hvwxglr | dqäolvlv gh vlwxdflrqhv hq odv txh h{lvwhq hqwhv txh ghpdqgdq flhuwr vhuylflr/ gh wdo irupd txh glfkr vhuylflr qr sxhgh vhu vdwlvihfkr lqvwdqwäqhdphqwh/ sru or fxdo vh suryrfdq hvshudv1 Wdo | frpr txhgd sdwhqwh hq od ghqlflöq dqwhulru/ ho äpelwr gh dsolfdflöq gh od whruðd gh frodv hv hqruph= ghvgh odv hvshudv sdud vhu dwhqglgrv hq hvwdeoh0 flplhqwrv frphufldohv/ hvshudv sdud vhu surfhvdgrv ghwhuplqdgrv surjudpdv lqirupäwlfrv/ hvshudv sdud srghu dwudyhvdu xq fuxfh orv yhkðfxorv txh flufxodq sru xqd flxgdg r hvshudv sdud hvwdeohfhu frpxqlfdflöq r uhflelu lqirupdflöq gh xq vhuylgru zhe/ d wudyìv gh lqwhuqhw/ hqwuh pxfkdv rwudv1 ;14 Uhvhôd klvwöulfd Klvwöulfdphqwh/ orv sulphurv wudedmrv txh frphq}durq d gdu fxhusr d od whruðd gh frodv +wdpelìq oodpdgd Whohwuäfr hq Lqjhqlhuðd gh Whohfrpxqlfdflrqhv, vrq orv ghelgrv do pdwhpäwlfr0lqjhqlhur gdqìv D1N1 Huodqj/ txlhq hq 4<3< sxeolfö Od whruðd gh suredelolgdghv | odv frqyhuvdflrqhv whohiöqlfdv1 Huodqj hud sru hq0 wrqfhv hpsohdgr gh od Frpsdôðd Whohiöqlfd Gdqhvd hq Frshqkdjh | vx wudedmr ixh xqd dsolfdflöq gh wìfqlfdv h{lvwhqwhv hq whruðd gh suredelolgdg do sureoh0 pd gh ghwhuplqdu ho qýphur öswlpr gh oðqhdv whohiöqlfdv hq xqd fhqwudolwd/ whqlhqgr hq fxhqwd od iuhfxhqfld gh odv oodpdgdv | vx gxudflöq1 Odv dsolfdflrqhv gh od whruðd gh frodv d od whohirqðd frqwlqxdurq ghvsxìv gh Huodqj1 Hq 4<5:/ H1F1 Prolqd sxeolfö Dsolfdflöq gh od whruðd gh od suredel0 olgdg d sureohpdv gh oðqhdv whohiöqlfdv/ vhjxlgr/ hq 4<5;/ gh Suredelolgdg | vxv xvrv hq Lqjhqlhuðd/ sru W1F1 Iu|1 D sulqflslrv gh orv dôrv 63/ I1 Sroodf}hn sxeolfö wudedmrv lqqrydgruhv vreuh ho fdvr gh oohjdgdv srlvvrqldqdv | vhuylflrv duelwudulrv1 Wdpelìq/ sru hvd ìsrfd/ orv pdwhpäwlfrv gh od hvfxhod uxvd D1Q1 Nroprjrury | D1\1 Nklqwfklqh/ dvð frpr F1G1 Furppholq/ hq Iudqfld/ | F1 Sdop/ hq Vxhfld/ uhdol}durq lpsruwdqwhv dsruwdflrqhv d od whruðd1 D shvdu gh txh d frplhq}rv gho hvwxglr gh od whruðd/ odv dsruwdflrqhv ixhurq px| hvfdvdv/ hvwd vlwxdflöq fdpelö qrwdeohphqwh d sduwlu gh orv dôrv 83/ frphq0 }dqgr d sxeolfduvh judq qýphur gh wudedmrv vreuh ho whpd1 Hq od dfwxdolgdg odv dsolfdflrqhv gh od whruðd gh frodv hq orv fdpsrv gh od Lqirupäwlfd/ odv Whohfr0 pxqlfdflrqhv |/ hq jhqhudo/ odv qxhydv whfqrorjðdv deuhq xq dýq pd|ru sruyhqlu d hvwd whruðd pdwhpäwlfd1 114 Introducción a la Simulación y a la Teoría de Colas Ricardo Cao Abad ;15 Frqwhqlgrv gh od sduwh gh whruðd gh frodv Orv frqwhqlgrv gh whruðd gh frodv txh vh wudwduäq hq orv vljxlhqwhv fdsðwxorv vrq orv vljxlhqwhv= 41 Hvwxglr gh odv khuudplhqwdv suredeloðvwlfdv päv lpsruwdqwhv sdud ho wud0 wdplhqwr gh odv frodv frq oohjdgdv | vhuylflrv h{srqhqfldohv= qrflrqhv jhqhudohv vreuh surfhvrv hvwrfävwlfrv/ ho surfhvr gh Srlvvrq | surfhvrv gh qdflplhqwr | pxhuwh1 51 Lqwurgxfflöq d od whruðd gh frodv= ghvfulelhqgr orv hohphqwrv gho vlvwhpd gh xqd frod/ hvwdeohflhqgr od whuplqrorjðd kdelwxdo/ hvwxgldqgr dojxqdv surslhgdghv gh lqwhuìv gh odv glvwulexflrqhv h{srqhqfldo | jdppd | gdqgr odv iöupxodv gh Olwwoh1 61 Orv prghorv gh frodv päv lpsruwdqwhv frq wdvdv gh oohjdgd | gh vhuylflr h{srqhqfldohv= P2P24/ P2P2v/ P2P242N/ P2P2v2N/ P2P24242K/ P2P2V242K +vlq | frq uhsxhvwrv, | P2P241 71 Odv uhghv gh frodv wdqwr/ delhuwdv frpr fhuudgdv/ frq glvwulexflöq h{sr0 qhqfldo sdud orv vhuylflrv | sdud odv oohjdgdv +vl hv ho fdvr,1 81 Dojxqdv lqglfdflrqhv vreuh föpr uhvroyhu sureohpdv gh frodv fxdqgr od klsöwhvlv gh h{srqhqfldolgdg ghmd gh vhu flhuwd1 Hvwr lqfox|h ho hvwxglr dqäolwlfr gh prghorv vhqfloorv frq xq vöor vhuylgru/ frpr ho P2J24/ | dojxqdv qrflrqhv vreuh föpr dsur{lpdu orv ydoruhv gh lqwhuìv phgldqwh vlpxodflöq1 9 Nociones básicas sobre procesos estocásticos Nociones básicas sobre procesos estocásticos 117 <1 0 <14 Qrflöq gh surfhvr hvwrfävwlfr Ghqlflöq 64 Xq surfhvr hvwrfävwlfr qr hv päv txh xqd frohfflöq gh yduldeohv dohdwruldv txh ghqrwduhprv sru if E| *| 5 A j/ r elhq/ if| *| 5 A j/ r vlpsoh0 phqwh if| j|MA 1 Hv ghflu/ fdgd f| hv xqd yduldeoh dohwruld f| G l $ U/ wrgdv hoodv ghqlgdv vreuh ho plvpr hvsdflr gh suredelolgdg l1 Ho vxefrqmxqwr/ ./ gh U hq ho txh wrpdq ydoruhv wrgdv odv yduldeohv vh frqrfh frpr hvsdflr gh hvwd0 grv/ plhqwudv txh ho frqmxqwr gh ðqglfhv/ A / vh ghqrplqd hvsdflr gh wlhpsrv1 Vhjýq orv frqmxqwrv . | A vhdq qlwrv +r lqqlwrv qxphudeohv, r frqwhqjdq/ do phqrv/ xq lqwhuydor vh kdeoduä gh surfhvrv hvwrfävwlfrv frq hvsdflr gh hvwdgrv glvfuhwr r frqwlqxr | hq wlhpsr glvfuhwr r frqwlqxr1 Dojxqrv hmhpsorv whöulfrv gh surfhvrv hvwrfävwlfrv vrq= xqd yduldeoh dohdwr0 uld +dtxð ho frqmxqwr gh ðqglfhv wlhqh xq ýqlfr hohphqwr,/ xq yhfwru dohdwrulr 0r yduldeoh dohdwruld pxowlglphqvlrqdo0 +hq ho fxdo ho hvsdflr gh wlhpsrv hv qlwr,/ r xqd vxfhvlöq gh yduldeohv dohdwruldv +fxdqgr A ' Q,/ hqwuh rwurv1 Frpr hv reylr/ od pd|ru qryhgdg gho frqfhswr vh gd fxdqwr ho hvsdflr gh wlhpsrv hv xq frqmxqwr lqqlwr1 Hmhpsorv gh vlwxdflrqhv uhdohv txh srguðdq prghol}duvh phgldqwh surfhvrv hvwrfävwlfrv vrq odv vljxlhqwhv= 41 Ho wlhpsr gh uhvsxhvwd hq xq vlvwhpd lqirupäwlfr pxowlwxvxdulr/ vhjýq od krud gho gðd1 Dtxð ho hvsdflr gh hvwdgrv srguðd vhu . ' Efc 4 | ho gh wlhpsrv A ' dfc 2e/ sru wdqwr vh wudwduðd gh xq surfhvr hvwrfävwlfr hq wlhpsr frqwlqxr | frq hvsdflr gh hvwdgrv frqwlqxr1 51 Ho qýphur gh whuplqdohv frqhfwdgdv d xq vhuylgru vhjýq ho lqvwdqwh gho gðd1 Gh qxhyr/ A ' dfc 2e/ plhqwudv txh dkrud . ' ifc c 2c j1 Vh wudwd sxhv gh xq surfhvr hvwrfävwlfr hq wlhpsr frqwlqxr | frq hvsdflr gh hvwdgrv glvfuhwr1 61 Ho wlhpsr gh FSX gh xq vhuylgru ghglfdgr d xvxdulrv vhjýq ho gðd gho dôr1 Vh wudwd gh xq surfhvr hvwrfävwlfr hq wlhpsr glvfuhwr | frq hvsdflr gh hvwdgrv frqwlqxr/ sxhv A ' ic 2c c SDj | . ' dfc 41 Wdpelìq/ reyldphqwh/ hv xqd yduldeoh dohwruld frqwlqxd 6980glphqvlrqdo1 Ilmdgr xq hohphqwr gho hvsdflr pxhvwudo/ / 5 l/ od ixqflöq }/ G A $ ./ txh d fdgd | 5 A oh kdfh fruuhvsrqghu }/ E| ' f| E/ vh ghqrplqd wud|hfwruld/ r uhdol}dflöq pxhvwudo gho surfhvr/ sdud od hohfflöq gho d}du +r vxfhvr hohphqwdo, /1 Hq hvwh vhqwlgr/ xq surfhvr hvwrfävwlfr wdpelìq sxhgh ghqluvh/ gh irupd 118 Introducción a la Simulación y a la Teoría de Colas Ricardo Cao Abad htxlydohqwh/ frpr xqd ýqlfd yduldeoh dohwruld shur txh wrpd ydoruhv hq ho frqmxqwr gh odv ixqflrqhv gh A hq ./ J ' i}*} G A $ .j1 <15 Fdudfwhuðvwlfdv | surslhgdghv txh sxhgh yhulfdu xq surfhvr hvwrfävwlfr Ghqlflöq 65 Vh ghqrplqd ixqflöq gh phgldv gh xq surfhvr hvwrfävwlfr if| j|MA d od dsolfdflöq ghqlgd sru 6 E| ' . Ef| / ;| 5 A 1 Ghqlflöq 66 Od ixqflöq gh dxwrfryduldq}dv gh xq surfhvr if| j|MA hv xqd dsolfdflöq/ gh A A hq U/ gdgd sru S Erc | ' J Efr c f| ' . dEfr 6 Er Ef| 6 E|o / sdud wrgrv rc | 5 A 1 Ghelgr d od vlphwuðd gh od fryduldq}d/ hvwd ixqflöq hv vlpìwulfd/ hv ghflu/ S Erc | ' S E|c r sdud wrgrv rc | 5 A 1 Ghqlflöq 67 Xq surfhvr hvwrfävwlfr if| j|MA vh glfh gìelophqwh hvwdflrqdulr +r hvwdflrqdulr hq phgld | fryduldq}d, vl yhulfd 41 Vx ixqflöq gh phgldv hv frqvwdqwh/ l1h1/ 6 E| ' 6/ ;| 5 A 1 51 Od ixqflöq gh dxwrfryduldq}dv hv ixqflöq vrodphqwh gh od glihuhqfld gh lqvwdqwhv gh wlhpsr/ hv ghflu/ S Erc | ' E| r1 Ghqlflöq 68 Xq surfhvr hvwrfävwlfr if| j|MA vh glfh ixhuwhphqwh hvwdflrqdulr +r hvwdflrqdulr hq vhqwlgr hvwulfwr, vl sdud fxdotxlhu ? 5 Q/ fxdohvtxlhud lqvwdqwhv yhulfdqgr | |2 |? | fxdotxlhu ydoru uhdo / wdo txh | n 5 A sdud ' c 2c c ?/ vh yhulfd txh od yduldeoh ?0glphqvlrqdo Ef| n c f|2 n c c f|? n wlhqh od plvpd glvwulexflöq gh suredelolgdg txh Ef| c f|2 c c f|? D sduwlu gh hvwd ghqlflöq vh wlhqh txh/ hq sduwlfxodu/ wrgr surfhvr hvwrfäv0 g wlfr ixhuwhphqwh hvwdflrqdulr yhulfd fr ' f| sdud wrgrv rc | 5 A +hv ghflu odv glvwulexflrqhv pdujlqdohv gh odv yduldeohv gho surfhvr vrq ljxdohv,1 Or dqwhulru lpsolfd txh 6 Er ' . Efr ' . Ef| ' 6 E| / sdud wrgrv rc | 5 A 1 Nociones básicas sobre procesos estocásticos 119 Dghpäv/ dsolfdqgr sdud ? ' 2 | ' r/ od surslhgdg gh hvwdflrqdulhgdg ixhuwh/ vh wlhqh txh g Efr c f| ' Eff c f|3r |/ sru wdqwr S Erc | ' S Efc | r ' E| r1 Hq yluwxg gh wrgr or dqwh0 ulru/ vh wlhqh txh wrgr surfhvr ixhuwhphqwh hvwdflrqdulr wdpelìq hv gìelophqwh hvwdflrqdulr1 Xqd surslhgdg px| lpsruwdqwh txh sxhgh yhulfdu xq surfhvr hvwrfävwlfr hv od oodpdgd surslhgdg gh Pdunry1 Ghqlflöq 69 Xq surfhvr hvwrfävwlfr if| j|MA / vh glfh pdunryldqr vl/ sdud fxdotxlhu ? 5 Q | fxdohvtxlhud lqvwdqwhv | |2 |? hq A / vh yhulfd od vljxlhqwh ljxdogdg hq glvwulexflöq= f|? mf| cf|2 c cf|?3 g ' f|? mf| ?3 Hq wìuplqrv lqwxlwlyrv/ od surslhgdg gh Pdunry vh h{suhvd glflhqgr txh/ frqrflgr ho suhvhqwh/ od glvwulexflöq gh suredelolgdg gh srvleohv ydoruhv ixwxurv gho surfhvr ghshqgh vöodphqwh gho ydoru gho suhvhqwh | qr gh ydoruhv gho surfhvr hq ho sdvdgr1 Hq or txh vljxh qrv fhqwuduhprv hq ho hvwxglr gh dojxqrv surfhvrv hvwrfävwl0 frv/ hq wlhpsr frqwlqxr | frq hvsdflr gh hvwdgrv glvfuhwr/ txh vhuäq gh hvshfldo lqwhuìv sru vx xwlolgdg frpr khuudplhqwdv sdud od whruðd gh frodv1 <16 Surfhvrv gh frqwdu= ho surfhvr gh Srlvvrq Ghqlflöq 6: Xq surfhvr hvwrfävwlfr hq wlhpsr frqwlqxr | frq hvsdflr gh hvwdgrv glvfuhwr/ i| j|Mdfc" / vh glfh gh frqwdu vl yhulfd orv vljxlhqwhv wuhv d{lrpdv= 41 f ' f1 51 | wrpd ýqlfdphqwh ydoruhv hqwhurv qr qhjdwlyrv1 61 Vl r | hqwrqfhv r E/ | E/ sdud wrgr / 5 l1 Dojxqdv vlwxdflrqhv suäfwlfdv txh sxhghq prghol}duvh phgldqwh surfhvrv gh frqwdu vrq 41 Ho qýphur gh surfhvrv hqyldgrv d xq vhuylgru kdvwd xq wlhpsr |1 51 Ho qýphur gh oodpdgdv whohiöqlfdv uhflelgdv sru xqd rflqd gh uhvhuyd gh eloohwhv kdvwd xq wlhpsr |1 120 Introducción a la Simulación y a la Teoría de Colas Ricardo Cao Abad 61 Ho qýphur gh huuruhv gh vriwzduh kdelgrv hq xq vlvwhpd lqirupäwlfr kdvwd xq lqvwdqwh |1 Hq jhqhudo/ sxhgh dupduvh txh orv surfhvrv gh frqwdu vluyhq sdud prghol}du ho qýphur gh rfxuuhqfldv gh xq flhuwr ihqöphqr kdelgdv ghvgh xq lqlflr gh wlhpsrv +mdgr hq | ' f, kdvwd xq lqvwdqwh |1 Ghqlflöq 6; Gdgr xq surfhvr gh frqwdu/ i| *| fj/ vh glfh txh hv xq sur0 fhvr gh Srlvvrq gh sduäphwur +r lqwhqvlgdg, b : f/ vl yhulfd odv vljxlhqwhv surslhgdghv= 41 Ho surfhvr wlhqh lqfuhphqwrv lqghshqglhqwhv/ hv ghflu/ vl vh wlhqhq lqv0 wdqwhv f |f | |? / hqwrqfhv/ odv yduldeohv dohdwruldv | |f / |2 | / / |? |?3 +txh uhsuhvhqwdq orv qýphurv gh rfxuuhqfldv hq orv lqwhuydorv E|f c | o/ E| c |2 o/ /E|?3 c |? o, vrq lqghshqglhqwhv1 g 51 Ho surfhvr wlhqh lqfuhphqwrv hvwdflrqdulrv/ hv ghflu/ |n rn ' | r sdud wrgrv r | | duelwudulr1 61 Od suredelolgdg gh txh hq ho lqwhuydor dfc o vh gh h{dfwdphqwh xqd rfx0 uuhqfld gho ihqöphqr hv E ' ' b n J E1 Hq yluwxg gho d{lrpd dqwhulru hvwr plvpr hv yäolgr sdud fxdotxlhu lqwhuydor gh orqjlwxg 1 71 Od suredelolgdg gh txh kd|d grv r päv rfxuuhqfldv hq hvh plvpr lqwhuydor dfc o hv E 2 ' J E1 Gh qxhyr/ sru ho d{lrpd 5/ hvwd surslhgdg hv yäolgd sdud fxdotxlhu lqwhuydor gh orqjlwxg 1 Frpr frqvhfxhqfld gh orv grv ýowlprv d{lrpdv gh od ghqlflöq/ vh wlhqh E ' f ' b n J E1 Sru rwud sduwh/ ho qýphur phglr gh rfxuuhqfldv gho ihqöphqr hq xq lqwhuydor gh orqjlwxg / ylhqh gdgr sru . E|n | ' . E ' f E b n J E n Eb n J E n J E ' b n J E / frq or txh ho qýphur phglr gh rfxuuhqfldv sru xqlgdg gh wlhpsr hv b n J E J E . E|n | ' 'bn / fx|r oðplwh/ fxdqgr $ fn hv b1 Dvð/ ho sduäphwur gho surfhvr gh Srlvvrq/ b/ sxhgh lqwhusuhwduvh frpr ho qýphur phglr gh rfxuuhqfldv gho ihqöphqr sru xqlgdg gh wlhpsr +gh dkð ho qrpeuh gh lqwhqvlgdg,1 Vhjxlgdphqwh vh suhvhqwdq dojxqrv uhvxowdgrv whöulfrv lqwhuhvdqwhv sdud ho surfhvr gh Srlvvrq1 Frpr frqvhfxhqfld gh orv plvprv vh wlhqh/ hqwuh rwudv frvdv/ txh od glvwulexflöq gh xq surfhvr gh Srlvvrq txhgd fdudfwhul}dgd gh irupd ýqlfd sru orv d{lrpdv dqwhulruhv1 Nociones básicas sobre procesos estocásticos 121 Whruhpd 6< Vhd i| *| fj xq surfhvr gh Srlvvrq gh sduäphwur b1 Hqwrqfhv od yduldeoh dohdwruld | wlhqh glvwulexflöq gh Srlvvrq gh sduäphwur b|1 Hq rwudv sdodeudv/ odv glvwulexflrqhv pdujlqdohv gho surfhvr vrq gh Srlvvrq1 Whruhpd 73 Vhd i| *| fj xq surfhvr gh Srlvvrq gh sduäphwur b | vhdq f ' |f | |2 orv wlhpsrv +dohdwrulrv, gh rfxuuhqfld gho ihqöphqr hq fxhvwlöq +hv ghflu/ orv sxqwrv | f txh yhulfdq txh r | sdud wrgr r |, | ghiðqdqvh orv wlhpsrv hqwuh rfxuuhqfldv ' | |f / 2 ' |2 | / > hqwrqfhv odv yduldeohv dohdwruldv & vrq pxwxdphqwh lqghshqglhqwhv h lgìqwl0 fdphqwh glvwulexðgdv/ frq glvwulexflöq h{srqhqfldo gh sduäphwur b1 Uhfðsurfd0 phqwh/ vl i| *| fj hv xq surfhvr gh frqwdu | orv wlhpsrv hqwuh rfxuuhqfldv/ & / ghqlgrv frpr dqwhv/ vrq yduldeohv lqghshqglhqwhv h lgìqwlfdphqwh glv0 wulexðgdv/ frq glvwulexflöq h{srqhqfldo gh sduäphwur b/ hqwrqfhv i| *| fj hv xq surfhvr gh Srlvvrq gh sduäphwur b1 Hvwh uhvxowdgr hv px| ýwlo sdud vlpxodu ho surfhvr gh Srlvvrq vlq päv txh xwlol}du xq dojrulwpr +frpr ho gh lqyhuvlöq, txh shuplwd vlpxodu od glvwulex0 flöq h{srqhqfldo1 Wdpelìq/ mxqwr frq ho uhvxowdgr dqwhulru/ hv gh pxfkr lqwhuìv whöulfr sxhv vlpsolfd qrwdeohphqwh ho fäofxor gh glyhuvdv suredelolgdghv uhod0 wlydv d surfhvrv gh Srlvvrq1 Xq hmhpsor gh hvwr vh sxhgh yhu hq od ghprvwudflöq gho whruhpd vljxlhqwh1 Whruhpd 74 Frqvlgìuhvh i| *| fj/ xq surfhvr gh Srlvvrq gh sduäphwur b/ sdud ho fxdo vh vdeh txh hq ho lqwhuydor d@c Ko +frq K : @, vh kd gdgr h{dfwdphqwh xqd rfxuuhqfld1 Hqwrqfhv/ od yduldeoh dohdwruld t / ghqlgd frpr ho lqvwdqwh frqfuhwr gho lqwhuydor d@c Ko hq ho txh vh kd gdgr hvd rfxuuhqfld/ vljxh xqd glvwulexflöq Ld@c Ko1 Ghprvwudflöq= Vhd | 5 d@c Ko1 Fdofxohprv C E|/ od ixqflöq gh glvwulexflöq gh od yduldeoh t hq hvwh sxqwr |= C E| ' Et | ' | @ ' mK 3@ ' ' |3@ ' mK3@ ' E|3@ ' c K3@ |3@ ' f E|3@ ' c K3@ ' ' EK3@ ' EK3@ ' E|3@ ' EK3@ |3@ ' f ' EK3@ ' E|3@ ' K3@3E|3@ ' f ' EK3@ ' ' ' e3bE|3@ EbE|3@ e3bEK3| EbEK3|f f3bEK3@ e EbEK3@ - ' |@ e3bE|3@nK3| b E| @ ' / 3bEK3@ e b EK @ K@ txh hv od iöupxod gh od ixqflöq gh glvwulexflöq gh xqd L d@c Ko1 122 Introducción a la Simulación y a la Teoría de Colas Ricardo Cao Abad <17 Surfhvrv gh qdflplhqwr | pxhuwh Ho surfhvr gh Srlvvrq +|/ hq jhqhudo/ orv surfhvrv gh frqwdu, hv ýwlo sdud pr0 ghol}du vlwxdflrqhv hq odv txh ho remhwlyr hv frqwdelol}du ho qýphur gh rfxuuhq0 fldv gh flhuwr ihqöphqr +r qdflplhqwrv hq xqd sreodflöq, kdvwd xq lqvwdqwh |1 H{lvwhq rwurv surfhvrv päv jhqhudohv/ oodpdgrv gh qdflplhqwr | pxhuwh/ txh frqwhpsodq od srvlelolgdg gh txh glfkr qýphur sxhgd glvplqxlu +sru hmhpsor/ vl vh suhwhqgh frqwdelol}du ho qýphur gh lqglylgxrv hq xqd sreodflöq/ fdgd yh} txh vh surgxfh xqd pxhuwh,1 Orv surfhvrv gh qdflplhqwr | pxhuwh/ dghpäv gh jhqhudol}du ho surfhvr gh Srlvvrq hq ho vhqwlgr uhflìq frphqwdgr/ wdpelìq vrq päv jhqhudohv sru ho khfkr gh shuplwlu txh odv wdvdv gh qdflplhqwrv | pxhuwhv sxhgdq ghshqghu gho qýphur gh lqglylgxrv gh od sreodflöq +frvd txh hihfwlydphqwh rfxuuh hq odv sreodflrqhv gh vhuhv ylyrv,1 Ghqlflöq 75 Frqvlgìuhvh xq surfhvr hvwrfävwlfr i| *| fj frq hvsdflr gh hvwdgrv glvfuhwr= . ' ifc c 2c j | vxsöqjdvh txh ho surfhvr ghvfuleh xq vlvwhpd txh gluhprv txh vh hqfxhqwud hq hvwdgr .? hq ho lqvwdqwh | fxdqgr | ' ?1 Vh gluä txh ho surfhvr hvwrfävwlfr hv gh qdflplhqwr | pxhuwh vl h{lvwhq vxfhvlrqhv gh qýphurv qr qhjdwlyrv ib? *? ' fc c j | i>? *? ' c 2c j +oodpdgdv wdvdv gh qdflplhqwr | gh pxhuwh/ uhvshfwlydphqwh, wdohv txh vh yh0 ulfdq odv vljxlhqwhv surslhgdghv1 41 Orv fdpelrv gh hvwdgr shuplwlgrv vrq gh .f d . | ghvgh .? d .?3 r d .?n / sdud ? 1 51 Vl ho vlvwhpd vh hqfxhqwud hq hvwdgr .? hq ho lqvwdqwh |/ hqwrqfhv/ od suredelolgdg gh txh hqwuh | | | n sdvh d hvwdgr .?n hv b? n J E |/ vl ? / od suredelolgdg gh txh sdvh d .?3 hv >? n J E1 61 Od suredelolgdg gh txh rfxuud päv gh xq fdpelr hq ho lqwhuydor gh wlhpsr hqwuh | | | n hv J E1 Frpr |d vh frphqwö dqwhv/ hv gljqr gh phqflöq txh ho surfhvr gh Srlvvrq hv xq fdvr sduwlfxodu gh od ghqlflöq dqwhulru vlq päv txh frqvlghudu txh odv wdvdv gh pxhuwh vrq wrgdv fhur | txh odv wdvdv gh qdflplhqwr vrq frqvwdqwhphqwh ljxdohv d b1 D frqwlqxdflöq/ wudwduhprv gh hqfrqwudu dojýq prgr gh ghwhuplqdu od glv0 wulexflöq gh suredelolgdg gh xq surfhvr gh qdflplhqwr | pxhuwh +r/ do phqrv/ vxv glvwulexflrqhv pdujlqdohv,1 Ghqrwhprv sru ? E| od suredelolgdg gh txh ho vlvwhpd vh hqfxhqwuh hq ho hvwdgr .? hq ho lqvwdqwh |/ pdwhpäwlfdphqwh/ ? E| ' E| ' ?1 Judfldv d od uhjod gh odv suredelolgdghv wrwdohv/ srghprv h{suhvdu iäflophqwh od suredelolgdg gh txh ho vlvwhpd hvwì hq ho hvwdgr .? hq ho lqvwdqwh | n / hq wìuplqrv gh suredelolgdghv gh txh ho vlvwhpd hvwì hq glvwlqwrv Nociones básicas sobre procesos estocásticos 123 srvleohv hvwdgrv hq ho lqvwdqwh |1 Dvð/ vl ? / vh wlhqh ? E| n ' E|n ' ? ' |n ' ?m| '?3 E| ' ? n |n ' ?m| '? E| ' ? n |n ' ?m| '?n E| ' ? n " [ n |n ' ?m| '6 E| ' 6 6'fc6Mt?3c?c?n * ' ?3 E| Eb?3 n J E n? E| E b? n J E E >? n J E " [ n?n E| >?n n J E n 6 E| J E 6'fc6Mt?3c?c?n * ' ?3 E| b?3 n ? E| E b? >? n ?n E| >?n n J E 1 Frpr frqvhfxhqfld vh wlhqh/ J E ? E| n ? E| ' b?3 ?3 E| Eb? n >? ? E| n >?n ?n E| n |/ dvð/ ? E| ' _? E| ? E| n ? E| ' *4 <f _| ' b?3 ?3 E| Eb? n >? ? E| n >?n ?n E| n *4 ' b?3 ?3 E| Eb? n >? ? E| n >?n ?n E| 1 <f J E Gh irupd wrwdophqwh dqäorjd sxhgh wudwduvh ho fdvr ? ' f/ rewhqlhqgr odv oodpdgdv hfxdflrqhv glihuhqfldohv gh edodqfh= ? E| ' b?3 ?3 E| Eb? n >? ? E| n >?n ?n E| vl ? | f E| ' bf f E| n > E| 1 Vxsrqlhqgr txh hq ho ruljhq gh wlhpsrv ho vlvwhpd vh hqfxhqwud hq hvwdgr .f +hv ghflu/ hq | ' f/ qr kd| lqglylgxrv hq od sreodflöq,/ vh wlhqhq odv frqglflrqhv lqlfldohv f Ef ' | ? Ef ' f sdud wrgr ? 1 Hq jhqhudo/ odv hfxdflrqhv gh edodqfh +txh qr hv päv txh xq vlvwhpd gh lqqlwdv hfxdflrqhv glihuhqfldohv olqhdohv, vrq gliðflohv gh uhvroyhu1 Gh wrgdv irupdv kd| dojxqrv fdvrv sduwlfxoduhv hq orv txh od uhvroxflöq hv päv vhqflood1 Dvð/ vl >? ' f sdud wrgr ? ' c 2c | b? ' b sdud wrgr ? ' fc c +hv ghflu/ sdud ho surfhvr gh Srlvvrq,/ odv hfxdflrqhv gh edodqfh uhvxowdq hvshfldophqwh vhqfloodv= ? E| ' b?3 E| b? E| vl ? | f E| ' bf E| 124 Introducción a la Simulación y a la Teoría de Colas Ricardo Cao Abad | sxhgh sureduvh vlq h{fhvlyd glfxowdg txh od vroxflöq hv e3b| Eb|? / ;| f1 ? E| ' ?Gh khfkr/ sdud ? ' f/ od hfxdflöq glihuhqfldo f E| ' bf E| hv px| iäflo gh uhvroyhu/ vlhqgr vx vroxflöq jhqhudo gh od irupd f E| ' e3b| +ghwhuplqdqgr od frqvwdqwh d sduwlu gh odv frqglflrqhv lqlfldohv/ hq hvwh fdvr f Ef ' , | surfhglhqgr/ hq ho fdvr jhqhudo sru lqgxfflöq hq ?1 Fxdqgr ho surfhvr hvwrfävwlfr gh qdflplhqwr | pxhuwh hv hvwdflrqdulr/ odv ixqflrqhv ? E| vrq frqvwdqwhv R? / txh qr ghshqghq gh |/ |/ sru wdqwr/ ho vlvwhpd gh hfxdflrqhv glihuhqfldohv gh edodqfh vh frqylhuwh hq xq vlvwhpd gh lqqlwdv hfxdflrqhv olqhdohv= f ' b?3 R?3 Eb? n >? R? n >?n R?n vl ? | f ' bf Rf n > R / txh wdpelìq sxhghq h{suhvduvh frpr Eb? n >? R? ' b?3 R?3 n >?n R?n vl ? | bf Rf ' > R 1 Xqd irupd lqwxlwlyd gh lqwhusuhwdu hvwdv hfxdflrqhv +phgldqwh od fxdo sxhghq hqwhqghuvh frpr xq edodqfh/ vhjýq vx qrpeuh lqglfd, hv od vljxlhqwh1 Sdud fdgd srvleoh hvwdgr/ ?/ ho plhpeur gh od l}txlhugd uhsuhvhqwd od suredelolgdg gh glfkr hvwdgr pxowlsolfdgd sru od vxpd gh odv wdvdv fruuhvsrqglhqwhv d irupdv gh vdolu gh hvwh hvwdgr kdfld rwur glvwlqwr1 Orv wìuplqrv gh od ghuhfkd gh fdgd hfxdflöq gh edodqfh h{suhvdq od vxpd gh od suredelolgdghv gh dtxhoorv hvwdgrv ghvgh orv fxdohv vh sxhgh oohjdu do hvwdgr ? hq xq ýqlfd wudqvlflöq/ pxowlsolfdgdv sru odv wdvdv fruuhvsrqglhqwhv d glfkd wudqvlflöq1 Dvð/ vl ? / hq ho wìuplqr gh od l}txlhugd vh pxowlsolfd R? sru od vxpd gh odv wdvdv b? / txh fruuhvsrqgh do khfkr gh txh vh surgx}fd xq qdflplhqwr fxdqgr ho vlvwhpd hvwä hq hvwdgr ? +sdvdqgr/ sru wdqwr/ d ?n, | >? / fruuhvsrqglhqwh d txh vh surgx}fd xqd pxhuwh fxdqgr kd| ? lqglylgxrv hq od sreodflöq +sdvdqgr/ frqvljxlhqwhphqwh/ d xqd sreodflöq frq ? lqglylgxrv,1 Fxdqgr ? ' f ho ud}rqdplhqwr dqwhulru hv yäolgr vdoyr hq or wrfdqwh d >f / txh qr dsduhfh sxhv qr sxhgh kdehu pxhuwhv vl |d kd| f lqglylgxrv hq ho vlvwhpd1 Sdud orv wìuplqrv gh od ghuhfkd/ fxdqgr ? / vh sxhgh oohjdu do hvwdgr ? surfhghqwh gho hvwdgr ? +hq fx|r fdvr gheh kdehu xq qdflplhqwr/ frq wdvd b?3 , r elhq gho hvwdgr ? n +vlhpsuh txh kd|d xqd pxhuwh/ frq wdvd >?n ,1 Reyldphqwh/ vl ? ' f/ qr dsduhfhuä ho wìuplqr fruuhvsrqglhqwh d ? 1 Hq hvwh fdvr hq ho txh ho surfhvr gh qdflplhqwr | pxhuwh hv hvwdflrqdulr/ uhvxowd edvwdqwh vhqfloor uhvroyhu odv hfxdflrqhv gh edodqfh1 Dvð/ wrpdqgr od hfxdflöq fruuhvsrqglhqwh d ? ' f vh sxhgh ghvshmdu R / rewhqlhqgr R ' bf Rf 1 > Nociones básicas sobre procesos estocásticos 125 Dghpäv/ sxhgh sureduvh sru lqgxfflöq xqd jhqhudol}dflöq gh hvwd h{suhvlöq sdud fxdotxlhu ðqglfh ?= R? ' b?3 R?3 1 >? Hq hihfwr/ od h{suhvlöq hv flhuwd sdud ? ' 1 Vxsrqjäprvod flhuwd sdud ? | sureìprvod sdud ? n 1 Xwlol}dqgr od hfxdflöq gh edodqfh ?0ìvlpd/ vh wlhqh b?3 R?3 >?n R?n Eb? n >? R? / ' n >? >? >? txh/ judfldv d od klsöwhvlv gh lqgxfflöq/ sxhgh hvfuleluvh frpr > R?n b? / n R? ' R? n ?n >? >? r/ or txh hv or plvpr/ > R?n b? / R? ' ?n >? >? or fxdo/ vlpsolfdqgr orv wìuplqrv >? / | ghvshmdqgr R?n gd oxjdu d b? R? ' R?n / >?n txh hv od h{suhvlöq txh vh txhuðd ghprvwudu1 Gh hvwd irupd vh wlhqh bf Rf c > b b bf ' R ' Rf c >2 >2 > |/ hq jhqhudo b?3 b?32 bf ' Rf / sdud wrgr ? ' c 2c >? >?3 > R ' R2 R? Glfkr gh rwud irupd/ ghqlhqgr S? ' b?3 b?32 bf / ;? ' c 2c >? >?3 > vh wlhqh txh R? ' S? Rf sdud wrgr ? ' c 2c Dkrud elhq/ frpr odv R? vrq xqd pdvd gh suredelolgdg/ vh yhulfd # $ " " [ [ ' R? ' n S? Rf / ?'f frq or fxdo Rf ' n S" ?' S? ?' / 126 Introducción a la Simulación y a la Teoría de Colas Ricardo Cao Abad S vlhpsuh txh " ?' S? 41 Hvwd ýowlpd hv od oodpdgd frqglflöq gh hvwdgr hvwd0 flrqdulr/ txh ylhqh d txhuhu ghflu txh sdud txh h{lvwd xq surfhvr gh qdflplhq0 wr | pxhuwh hvwdflrqdulr frq wdvdv S gh qdflplhqwr ib? j?Df | wdvdv gh pxhuwh i>? j?D kd gh fxpsoluvh txh " ?' S? 41 Dghpäv sxhgh ghprvwuduvh txh hvwd frqglflöq hv wdpelìq vxflhqwh +qr vöor qhfhvduld, sdud txh ho surfhvr vhd hvwdflrqdulr1 10 Conceptos generales de la teoría de colas Conceptos generales de la teoría de colas 129 431 0 Kdvwd ho prphqwr khprv hvwxgldgr glyhuvdv khuudplhqwdv gh surfhvrv hvwrfäv0 wlfrv txh vhuäq xwlohv sdud ho hvwxglr gh frodv frq wlhpsrv hqwuh oohjdgdv | wlhpsrv gh vhuylflr srlvvrqldqrv1 Hq hvwh fdsðwxor gduhprv xqd lqwurgxfflöq do frqfhswr gh frod/ sursldphqwh glfkr/ hvwdeohflhqgr od whuplqrorjðd eävl0 fd txh xwlol}duhprv hq ho vljxlhqwh fdsðwxor h lqglfdqgr dojxqdv surslhgdghv lpsruwdqwhv/ wdqwr gh odv glvwulexflrqhv h{srqhqfldo | jdppd +gh pxfkd lp0 sruwdqfld hq orv prghorv gh frodv dqwhglfkrv, frpr sdud glyhuvrv frqfhswrv dvrfldgrv frq dojxqdv yduldeohv gh lqwhuìv hq xqd frod +odv oodpdgdv iöupxodv gh Olwwoh,1 4314 Ghvfulsflöq gho vlvwhpd gh xqd frod Hq pxfkdv rfdvlrqhv hq od ylgd uhdo/ xq ihqöphqr px| frpýq hv od irupdflöq gh frodv r oðqhdv gh hvshud1 Hvwr vxhoh rfxuulu fxdqgr od ghpdqgd uhdo gh xq vhuylflr hv vxshulru d od fdsdflgdg txh h{lvwh sdud gdu glfkr vhuylflr1 Hmhpsorv uhdohv gh hvd vlwxdflöq vrq= orv fuxfhv gh grv yðdv gh flufxodflöq/ orv vhpäirurv/ ho shdmh gh xqd dxwrslvwd/ orv fdmhurv dxwrpäwlfrv/ od dwhqflöq d folhqwhv hq xq hvwdeohflplhqwr frphufldo/ od dyhuðd gh hohfwurgrpìvwlfrv x rwur wlsr gh dsdudwrv txh ghehq vhu uhsdudgrv sru xq vhuylflr wìfqlfr/ hwf1 Wrgdyðd päv iuhfxhqwhv/ vl fdeh/ vrq odv vlwxdflrqhv gh hvshud hq ho frqwh{wr gh od lqirupäwlfd/ odv whohfrpxqlfdflrqhv |/ hq jhqhudo/ odv qxhydv whfqrorjðdv1 Dvð/ sru hmhpsor/ orv surfhvrv hqyldgrv d xq vhuylgru sdud hmhfxflöq irupdq frodv gh hvshud plhqwudv qr vrq dwhqglgrv/ od lqirupdflöq vrolflwdgd/ d wudyìv gh lqwhuqhw/ d xq vhuylgru zhe sxhgh uhfleluvh frq ghprud ghelgr d frqjhvwlöq hq od uhg r hq ho vhuylgru sursldphqwh glfkr/ srghprv uhflelu od vhôdo gh oðqhdv rfxsdgdv vl od fhqwudo gh od txh ghshqgh qxhvwur whoìirqr pöylo hvwä frodsvdgd hq hvh prphqwr/ hwf1 Ihqöphqrv frpr orv txh vh dfdedq gh uhodwdu +| pxfkðvlprv rwurv, wlhqhq flhuwdv fdudfwhuðvwlfdv frpxqhv txh gdq oxjdu do prghor gh vlvwhpd gh xqd frod1 Hq glfkr prghor glvwlqjxluhprv orv vljxlhqwhv hohphqwrv1 Ixhqwh gh hqwudgd r sreodflöq srwhqfldo= Hv xq frqmxqwr gh lqglylgxrv +qr qhfhvduldphqwh vhuhv ylyrv, txh sxhghq oohjdu d vrolflwdu ho vhuylflr hq fxhvwlöq1 Srghprv frqvlghuduod qlwd r lqqlwd1 Dxqtxh ho fdvr gh lqqlwxg qr hv uhdolvwd/ vð shuplwh +sru h{wudôr txh sduh}fd, uhvroyhu gh irupd päv vhqflood pxfkdv vlwxdflrqhv hq odv txh/ hq uhdolgdg/ od sreodflöq hv qlwd shur px| judqgh1 Glfkd vxsrvlflöq gh lqqlwxg qr uhvxowd uhvwulfwlyd fxdqgr/ dýq vlhqgr qlwd od sreodflöq srwhqfldo/ vx qýphur gh hohphqwrv hv wdq judqgh txh 130 Introducción a la Simulación y a la Teoría de Colas Ricardo Cao Abad ho qýphur gh lqglylgxrv txh |d hvwäq vrolflwdqgr ho flwdgr vhuylflr suäfwlfd0 phqwh qr dihfwd d od iuhfxhqfld frq od txh od sreodflöq srwhqfldo jhqhud qxhydv shwlflrqhv gh vhuylflr1 Folhqwh= Hv wrgr lqglylgxr gh od sreodflöq srwhqfldo txh vrolflwd vhuylflr1 Vxsrqlhqgr txh orv wlhpsrv gh oohjdgd gh folhqwhv frqvhfxwlyrv vrq f | |2 / vhuä lpsruwdqwh frqrfhu ho sdwuöq gh suredelolgdg vhjýq ho fxdo od ixhqwh gh hqwudgd jhqhud folhqwhv1 Or päv kdelwxdo hv wrpdu frpr uhihuhqfld orv wlhpsrv hqwuh odv oohjdgdv gh grv folhqwhv frqvhfxwlyrv= & ' |& |&3 / mdqgr vx glvwulexflöq gh suredelolgdg1 Qrupdophqwh/ fxdqgr od sreodflöq srwhqfldo hv lqqlwd vh vxsrqh txh od glvwulexflöq gh suredelolgdg gh orv & +txh vhuä od oodpdgd glvwulexflöq gh orv wlhpsrv hqwuh oohjdgdv, qr ghshqgh gho qýphur gh folhqwhv txh hvwìq hq hvshud gh frpsohwdu vx vhuylflr/ plhqwudv txh hq ho fdvr gh txh od ixhqwh gh hqwudgd vhd qlwd/ od glvwulexflöq gh orv & ydulduä vhjýq ho qýphur gh folhqwhv hq surfhvr gh vhu dwhqglgrv1 Fdsdflgdg gh od frod= Hv ho pä{lpr qýphur gh folhqwhv txh sxhghq hvwdu kdflhqgr frod +dqwhv gh frphq}du d vhu vhuylgrv,1 Gh qxhyr/ sxhgh vxsrqhuvh qlwd r lqqlwd1 Or päv vhqfloor/ d hihfwrv gh vlpsolflgdg hq orv fäofxorv/ hv vxsrqhuod lqqlwd1 Dxqtxh hv reylr txh hq od pd|ru sduwh gh orv fdvrv uhdohv od fdsdflgdg gh od frod hv qlwd/ qr hv xqd judq uhvwulfflöq ho vxsrqhuod lqqlwd vl hv h{wuhpdgdphqwh lpsuredeoh txh qr sxhgdq hqwudu folhqwhv d od frod sru kdehuvh oohjdgr d hvh qýphur oðplwh hq od frod1 Glvflsolqd gh od frod= Hv ho prgr hq ho txh orv folhqwhv vrq vhohfflrqdgrv sdud vhu vhuylgrv1 Odv glvflsolqdv päv kdelwxdohv vrq= 41 Od glvflsolqd ILIR +uvw lq uvw rxw,/ wdpelìq oodpdgd IFIV +uvw frph uvw vhuyhg,= vhjýq od fxdo vh dwlhqgh sulphur do folhqwh txh dqwhv kd|d oohjdgr1 51 Od glvflsolqd OLIR +odvw lq uvw rxw,/ wdpelìq frqrflgd frpr OFIV +odvw frph uvw vhuyhg, r slod= txh frqvlvwh hq dwhqghu sulphur do folhqwh txh kd oohjdgr ho ýowlpr1 61 Od UVV +udqgrp vhohfwlrq ri vhuylfh,/ r VLUR +vhuylfh lq udqgrp rughu,/ txh vhohfflrqd d orv folhqwhv gh irupd dohdwruld1 71 Od glvflsolqd UU +urxqg urelq,/ vhjýq od fxdo vh rwrujd xq shtxhôr fxdq0 wr gh wlhpsr gh vhuylflr d fdgd folhqwh gh irupd vhfxhqfldo1 Hvwr ylhqh d htxlydohu d uhsduwlu orv uhfxuvrv gh irupd ljxdolwduld hqwuh wrgrv orv folhqwhv hq hvshud |/ sru vxsxhvwr vöor wlhqh vhqwlgr hq dojxqdv flufxqv0 wdqfldv +frpr ho äpelwr gh od lqirupäwlfd,1 Phfdqlvpr gh vhuylflr= Hv ho surfhglplhqwr sru ho fxdo vh gd vhuylflr d orv folhqwhv txh or vrolflwdq1 Sdud ghwhuplqdu wrwdophqwh ho phfdqlvpr gh vhuylflr ghehprv frqrfhu ho qýphur gh vhuylgruhv gh glfkr phfdqlvpr +vl glfkr qýphur ixhvh dohdwrulr/ od glvwulexflöq gh suredelolgdg gho plvpr, | od glvwulexflöq gh suredelolgdg gho wlhpsr txh oh oohyd d fdgd vhuylgru gdu xq vhuylflr1 Hq fdvr Conceptos generales de la teoría de colas 131 gh txh orv vhuylgruhv whqjdq glvwlqwd ghvwuh}d sdud gdu ho vhuylflr vh gheh hvshflfdu od glvwulexflöq gho wlhpsr gh vhuylflr sdud fdgd xqr1 Od frod/ sursldphqwh glfkd/ hv ho frqmxqwr gh folhqwhv txh kdfhq hvshud/ hv ghflu orv folhqwhv txh |d kdq vrolflwdgr ho vhuylflr shur txh dýq qr kdq sdvdgr do phfdqlvpr gh vhuylflr1 Ho vlvwhpd gh od frod= hv ho frqmxqwr irupdgr sru od frod | ho phfdqlvpr gh vhuylflr/ mxqwr frq od glvflsolqd gh od frod/ txh hv or txh qrv lqglfd ho fulwhulr gh txì folhqwh gh od frod hohjlu sdud sdvdu do phfdqlvpr gh vhuylflr1 4315 Whuplqrorjðd | qrwdflöq Hq or vxfhvlyr xwlol}duhprv odv khuudplhqwdv suredeloðvwlfdv gh orv surfhvrv gh qdflplhqwr | pxhuwh sdud ho hvwxglr gh frodv frq glvwulexflöq gho wlhpsr hqwuh oohjdgdv | glvwulexflöq gho wlhpsr gh vhuylflr h{srqhqfldo1 Dqwhv khprv gh mdu od qrwdflöq txh ydprv d xvdu1 E|= Ghqrwd ho qýphur gh folhqwhv hq ho vlvwhpd hq ho lqvwdqwh |1 E| hv xq surfhvr hvwrfävwlfr hq wlhpsr frqwlqxr | frq hvsdflrv gh hvwdgrv glvfuhwr1 ^ E|= Uhsuhvhqwd ho qýphur gh folhqwhv hq od frod hq ho lqvwdqwh |1 ? E|= Hv od suredelolgdg gh txh/ hq ho lqvwdqwh |/ vh hqfxhqwuhq ? folhqwhv hq ho vlvwhpd1 D hvwrv hihfwrv vh vxsrqh frqrflgr ho qýphur gh folhqwhv hq ho lqvwdqwh fhur +xvxdophqwh glfkr qýphur hv fhur,1 t= Ghqrwd ho qýphur gh vhuylgruhv gho phfdqlvpr gh vhuylflr1 ? = Uhsuhvhqwd ho qýphur phglr gh oohjdgdv gh folhqwhv do vlvwhpd/ sru xqlgdg gh wlhpsr/ fxdqgr |d kd| ? folhqwhv hq ìo1 Wdpelìq vh ghqrplqd wdvd gh oohjdgdv +txh vh fruuhvsrqghuðd frq od wdvd gh qdflplhqwrv vl E| hv xq surfhvr gh qdflplhqwr | pxhuwh,1 Fxdqgr odv wdvdv gh oohjdgd qr ghshqghq gh ? +hv ghflu wrgrv orv b? vrq frqvwdqwhv, vxhoh ghqrwduvh b glfkr ydoru frqvwdqwh1 ? = Hv ho qýphur phglr gh folhqwhv d orv txh vh ohv frpsohwd ho vhuylflr/ sru xqlgdg gh wlhpsr/ fxdqgr kd| ? folhqwhv hq ho vlvwhpd1 Hv iuhfxhqwh uhihuluvh d orv >? frpr wdvdv gh frpsohfflöq gh vhuylflr +r/ vlpsohphqwh/ wdvdv gh vhuylflr,1 Vl wrgrv orv vhuylgruhv wlhqhq od plvpd glvwulexflöq gho wlhpsr gh vhuylflr/ vxhoh ghqrwduvh sru > ho qýphur phglr gh folhqwhv txh sxhgh dwhqghu fdgd vhuylgru sru xqlgdg gh wlhpsr1 Frpr frqvhfxhqfld vh wlhqh txh >? ' ?> vl ? ' c 2c c r | >? ' r> sdud ? r1 = Hv od oodpdgd frqvwdqwh gh xwlol}dflöq gho vlvwhpd r lqwhqvlgdg gh wuäfr1 Vh ghqh/ frpr 4' b 1 r> Fxdqgr orv b? vrq frqvwdqwhv | wrgrv orv vhuylgruhv wlhqhq od plvpd glvwulex0 flöq gh wlhpsr gh vhuylflr/ b hv ho qýphur phglr gh folhqwhv txh hqwudq hq ho vlvwhpd | r> hv ho qýphur phglr gh folhqwhv d orv txh sxhghq gdu vhuylflr orv r 132 Introducción a la Simulación y a la Teoría de Colas Ricardo Cao Abad vhuylgruhv fxdqgr wrgrv hvwäq rfxsdgrv1 Hq hvwdv frqglflrqhv/ 4 uhsuhvhqwd od iudfflöq gh uhfxuvrv gho vlvwhpd txh hv frqvxplgd sru orv folhqwhv1 Dvð/ lqwxlwl0 ydphqwh/ sduhfh qhfhvdulr txh vh fxpsod/ hq hvwrv fdvrv/ txh 4 | dghpäv fxdqwr päv fhufdqr d 4 txh vhd 4/ päv wuäfr kd gh vrsruwdu ho vlvwhpd +r phqrv wlhpsr oleuh whqguäq orv vhuylgruhv/ r päv hvshud kdeuäq gh vxiulu orv folhqwhv/ frpr vh txlhud h{suhvdu,1 Dxqtxh hv hylghqwh txh 4 qr wlhqh xqlgdghv/ hv kdelwxdo phglu od lqwhqvlgdg gh wuäfr hq Huodqjv/ hq krqru d orv wudedmrv slrqhurv gh Huodqj hq od whruðd gh frodv1 Orv prghorv gh frodv txh hvwxglduhprv hq ho vljxlhqwh fdsðwxor vrq wrgrv hvwdflrqdulrv1 Hq hoorv odv glvwulexflrqhv gh suredelolgdg pdujlqdohv gh orv surfhvrv hvwrfävwlfrv i E|j|Df | i^ E|j|Df qr fdpeldq frq ho wlhpsr |1 Hq wdohv frqglflrqhv wlhqh shuihfwr vhqwlgr ghqlu orv vljxlhqwhv frqfhswrv= = Hv od yduldeoh dohdwruld txh frqwdelol}d ho qýphur gh folhqwhv hq ho vlvwhpd1 ^ = Ghqrwd od yduldeoh dohdwruld qýphur gh folhqwhv hq od frod1 T? = Hv od suredelolgdg gh txh vh hqfxhqwuhq ? folhqwhv hq ho vlvwhpd +? ' fc c ,1 w= Uhsuhvhqwd ho qýphur phglr gh folhqwhv hq ho vlvwhpd/ hv ghflu u ' . E 1 w^ = Txh qr hv päv txh ho qýphur phglr gh folhqwhv hq od frod/ r or txh hv or plvpr/ u^ ' . E^ 1 Z= Hv od yduldeoh dohdwruld txh ghvfuleh ho wlhpsr txh xq folhqwh sdvd hq ho vlvwhpd1 Z^ = Uhsuhvhqwd ho wlhpsr txh xq folhqwh hvshud hq od frod1 `= Hv ho wlhpsr phglr txh xq folhqwh hvwä hq ho vlvwhpd/ r vlpsohphqwh/ ` ' . EZ1 `^ = Ghqrwd ho wlhpsr phglr gh hvshud hq od frod sdud xq folhqwh jhqìulfr1 Pdwhpäwlfdphqwh/ `^ ' . EZ^ 1 Sdud fodvlfdu orv srvleoh wlsrv gh vlvwhpdv gh frodv ghehprv hvshflfdu odv fdudfwhuðvwlfdv txh ghwhuplqdq orv hohphqwrv txh or frpsrqhq1 Dvð/ Nhqgdoo lqwurgxmr hq 4<86 od qrwdflöq **r sdud lqglfdu txh od glvwulexflöq gho wlhpsr hqwuh oohjdgdv hv gh gho wlsr / txh hv od glvwulexflöq gho wlhpsr gh vhuylflr | txh r hv ho qýphur gh vhuylgruhv1 Srvwhulruphqwh hvwd qrwdflöq vh h{whqglö gdqgr oxjdu d od päv kdelwxdo hq qxhvwurv gðdv/ frqvlvwhqwh hq ghvljqdu ho vlvwhpd gh xqd frod frq od qrphqfodwxud **r*g*M*~/ grqgh= hv od glvwulexflöq gho wlhpsr hqwuh oohjdgdv1 Dojxqdv gh odv deuhyldwxudv päv xvdgdv sdud odv glvwulexflrqhv hqwuh oohjdgdv vrq= +h{srqhqfldo,/ ( +ghwhu0 plqðvwlfd,/ .& +Huodqj frq vhjxqgr sduäphwur &,/ L +xqliruph,/ K +jdppd, r C +glvwulexflöq jhqìulfd,/ hqwuh rwudv1 hv od glvwulexflöq gho wlhpsr gh vhuylflr1 Vh xvdq odv plvpdv deuhyldwxudv txh odv phqflrqdgdv sdud 1 t hv ho qýphur gh vhuylgruhv gho vlvwhpd1 Sxhgh vhu xq qýphur hqwhur srvlwlyr +r ' c 2c , r elhq r ' 41 k hv od fdsdflgdg gh od frod +r orqjlwxg pä{lpd gh od plvpd,1 Wdpelìq g sxhgh vhu xq qýphur hqwhur pd|ru r ljxdo txh fhur/ r elhq g ' 4/ vl qr kd| oðplwh sdud od frod1 Ho ydoru gh g sxhgh rplwluvh/ wrpäqgrvh sru ghihfwr g ' 41 Conceptos generales de la teoría de colas 133 O hv ho wdpdôr gh od sreodflöq srwhqfldo1 Wdpelìq sxhgh vhu qlwr r lqqlwr1 Hvwh ýowlpr ydoru hv ho txh vh wrpd sru ghihfwr fxdqgr vh rplwh ho M1 ~ hv od glvflsolqd hq od frod1 Dojxqdv deuhyldwxudv sdud ~ vrq ILIR/ OLIR/ UVV/ SU +glvflsolqd frq sulrulgdghv, r JG +glvflsolqd jhqhudo,1 Vx ydoru sru ghihfwr +hq fdvr gh rplwluvh ~, hv ILIR1 Dvð/ sru hmhpsor/ od qrwdflöq *(*2*4*4*8 U8 lqglfd txh vh wudwd gho vlvwhpd gh xqd frod frq wlhpsr hqwuh oohjdgdv h{srqhqfldohv/ wlhpsr gh vhuylflr ghwhuplqðvwlfr +l1h1 vlhpsuh vh wdugd ho plvpr wlhpsr hq gduoh vhuylflr d fdgd folhqwh,/ kd| 5 vhuylgruhv hq ho phfdqlvpr gh vhuylflr/ qr h{lvwh oðplwh sdud ho qýphur gh folhqwhv txh sxhghq hvwdu hq od frod gh hvshud/ od sreodflöq srwhqfldo vh vxsrqh frq lqqlwrv folhqwhv | orv folhqwhv vrq dwhqwlgrv vhjýq xqd glvflsolqd ILIR1 Frpr orv wuhv ýowlprv ydoruhv +4/ 4 | ILIR, vrq suhflvdphqwh orv dvljqdgrv sru ghihfwr/ od qrwdflöq dqwhulru srguðd deuhylduvh frpr *(*21 Revìuyhvh txh hvwh wlsr gh deuhyldwxudv vöor vh sxhghq uhdol}du vl wrgrv orv sduäphwurv d sduwlu gh xqr gdgr vrq ljxdohv d orv ydoruhv sru ghihfwr/ |d txh hq fdvr frqwudulr vh surgxfluðd dpeljÿhgdg1 Dvð/ ho prghor .2 *L**4*e*8 U8 / qr srguðd deuhylduvh frpr .2 *L**e*8 U8 +dxqtxh vð frpr .2 *L**4*e,/ |d txh/ dxqtxh hv fodur txh ' .2 / ' L / r ' | ~ ' 8 U8 / qxqfd vdeuðdprv vl frq ìo suhwhqghprv lqglfdu g ' e | M ' 4 r elhq M ' e | g ' 41 4316 Iöupxodv gh Olwwoh Hq orv prghorv frq glvwulexflöq gho wlhpsr hqwuh oohjdgdv | glvwulexflöq gho vhuylflr h{srqhqfldo +dvð frpr hq pxfkrv rwurv prghorv päv jhqhudohv oodpdgrv hujöglfrv, vh yhulfdq flhuwdv iöupxodv txh uhodflrqdq orv qýphurv phglrv gh folhqwhv/ hq ho vlvwhpd r hq od frod/ frq orv wlhpsrv phglrv gh xq folhqwhv hq ho vlvwhpd r hq od frod1 Hvwdv vrq odv oodpdgdv iöupxodv gh Olwwoh1 Fxdqgr odv wdvdv gh oohjdgd vrq frqvwdqwhv +hv ghflu b? ' b sdud wrgr ? ' fc c ,/ od sulphud iöupxod gh Olwwoh hvwdeohfh od ljxdogdg u ' b `/ plhqwudv txh od vhjxqgd vh h{suhvd phgldqwh u^ ' b `^ 1 Uhdophqwh vöor od sulphud gh hoodv ixh rewhqlgd sru Olwwoh hq 4<94/ shur hv frvwxpeuh uhihuluvh d dpedv frq ho wìuplqr sulphud | vhjxqgd iöupxod gh Olwwoh1 Xqd irupd lqwxlwlyd gh hqwhqghu ho srutxì gh od ydolgh} gh odv iöupxodv gh Olwwoh hv od vljxlhqwh1 Frqvlgìuhvh xq folhqwh txh oohjd do vlvwhpd mxvwr dkrud1 Ghvsxìv gh xq wlhpsr/ fx|d phgld hv ` / hvh folhqwh vdoguä vhuylgr gho vlvwhpd1 134 Introducción a la Simulación y a la Teoría de Colas Ricardo Cao Abad Frpr ho qýphur phglr gh folhqwhv txh oohjdq do vlvwhpd sru xqlgdg gh wlhpsr hv b/ ho qýphur phglr gh folhqwhv txh kdeuäq oohjdgr ghvgh txh qxhvwur folhqwh hq fxhvwlöq hqwuö hq ho vlvwhpd kdvwd txh vdolö gh ìo hv b ` 1 Sru rwud sduwh/ hv reylr txh glfkr qýphur phglr gh folhqwhv hv suhflvdphqwh ho qýphur phglr gh folhqwhv txh kd| hq ho vlvwhpd mxvwr hq ho prphqwr txh vdoh gho vlvwhpd qxhvwur folhqwh sduwlfxodu/ hv ghflu/ u1 Xq ud}rqdplhqwr dqäorjr hv yäolgr sdud od vhjxqgd iöupxod gh Olwwoh Reyldphqwh/ odv iöupxodv gh Olwwoh qr sxhghq vhu yäolgdv vl odv b? qr vrq frqvwdqwhv +Átxì vhuðd b hqwrqfhvB,/ shur vð sxhghq jhqhudol}duvh d hvd vlwxdflöq phgldqwh= u ' b` | u^ ' b `^ / " [ vlhqgr b ' b ? R? 1 ?'f sru Rwud uhodflöq lpsruwdqwh +hq hvwh fdvr sdud uhodflrqdu ` | `^ , hv od gdgd ` ' `^ n 1 > Vx ghgxfflöq hv lqphgldwd sxhv ylhqh d ghflu txh ho wlhpsr phglr txh xq folhqwh hvwä hq ho vlvwhpd +` , frlqflgh frq od vxpd gho wlhpsr phglr hq od frod +`^ , päv ho wlhpsr phglr txh wdugd hq vhu vhuylgr +*>/ |d txh > hv ho qýphur phglr gh folhqwhv txh xq vhuylgru sxhgh dwhqghu sru xqlgdg gh wlhpsr,1 4317 Dojxqdv surslhgdghv lpsruwdqwhv gh odv glv0 wulexflrqhv h{srqhqfldo | jdppd Od glvwulexflöq K E@c R ghshqgh gh grv sduäphwurv= @ : f/ sduäphwur gh hvfdod/ | R : f/ sduäphwur gh irupd1 Hvwd glvwulexflöq/ |d lqwurgxflgd frq ghwdooh hq g ho fdsðwxor 8/ jhqhudol}d od h{srqhqfldo/ sxhvwr txh K E@c ' i T E@1 Hq od vljxlhqwh juäfd vh pxhvwudq odv ghqvlgdghv gh xqd K E2c e/ xqd K E2c S | xqd K E2c ' i T E21 Conceptos generales de la teoría de colas 135 2 1.5 1 0.5 0 2 4 x 6 8 Ghqvlgdghv gh xqd KE2c e +wud}r frqwlqxr,/ xqd KE2c S +wud}r glvfrqwlqxr, | xqd KE2c +wud}r d sxqwrv, g Hq jhqhudo/ od phgld | od yduldq}d gh xqd yduldeoh f ' K E@c R vrq . Ef ' | T @o Ef ' @R2 1 D frqwlqxdflöq yhuhprv dojxqdv surslhgdghv lqwhuhvdqwhv gh hvwdv glvwulexflrqhv hq uhodflöq frq orv prghorv gh frodv gh wlsr ** 1 R @ g Sursrvlflöq 76 Vl A ' i T Ek/ hqwrqfhv Ef A {| : E| A | n {| / sdud wrgr | : f1 Hvwd surslhgdg sxhgh ghgxfluvh iäflophqwh gho khfkr gh txh od ixqflöq gh ghqvlgdg gh od h{srqhqfldo vhd hvwulfwdphqwh ghfuhflhqwh hq dfc 41 g Sursrvlflöq 77 +fduhqfld gh phpruld gh od h{srqhqfldo, Vl A ' i T Ek/ hqwrqfhv A : | n {|mA :{| ' EA : | / sdud wrgr | : f1 Hvwr lpsolfd txh/ vl A wlhqh glvwulexflöq h{srqhqfldo | {| : f/ hqwrqfhv g A {|mA :{| ' A 1 Ghprvwudflöq= Judfldv d od ghqlflöq gh suredelolgdg frqglflrqdgd/ sdud fdgd | : f/ vh wlhqh EA : | n {|c A : {| EA : | n {| ' A : | n {|mA :{| ' EA : {| EA : {| e3kE|n{| ' ' e3k| ' EA : | / e3k{| frq or txh txhgd ghprvwudgd od sulphud dupdflöq1 Rwud pdqhud dowhuqdwlyd gh hvfulelu od ljxdogdg suredgd hv A {| : |mA :{| ' EA : | / 136 Introducción a la Simulación y a la Teoría de Colas Ricardo Cao Abad g or fxdo lpsolfd lqphgldwdphqwh txh A {|mA :{| ' A 1 Od surslhgdg gh fduhqfld gh phpruld gh od h{srqhqfldo +wdpelìq frqrflgd frpr od surslhgdg gh Pdunry, hv px| ýwlo hq prghorv gh frodv frq glvwulexflöq h{srqhqfldo sdud ho wlhpsr hqwuh oohjdgdv r sdud ho wlhpsr gh vhuylflr1 Dvð/ vl vdehprv txh ho wlhpsr hqwuh od oohjdgd gh grv folhqwhv frqvhfxwlyrv do vlvwhpd hv h{srqhqfldo/ dxqtxh |d kd|d sdvdgr flhuwr wlhpsr ghvgh txh oohjö do vlvwhpd ho sulphur gh hoorv/ ho wlhpsr txh uhvwd sdud txh oohjxh ho vljxlhqwh vljxh whqlhqgr glvwulexflöq h{srqhqfldo frq ho plvpr sduäphwur1 Xq frphqwdulr vhphmdqwh vhuðd yäolgr sdud xq wlhpsr gh vhuylflr +vl wlhqh glvwulexflöq h{srqhqfldo,1 g g Sursrvlflöq 78 Vl frqvlghudprv yduldeohv dohdwruldv A ' i T Ek / A2 ' g dohdwruld i T Ek2 / / A? ' i T Ek? / lqghshqglhqwhv/ hqwrqfhv/ od yduldeoh S ghqlgd frpr A ' 4?iA c A2 c c A? j wlhqh glvwulexflöq i T E ?' k 1 sru Ghprvwudflöq= Od ixqflöq gh glvwulexflöq/ 8 / gh od yduldeoh A ylhqh gdgd 8 E| ' EA : | ' E4?iA c A2 c c A? j : | ' ? \ EA : | ' EA : |c A2 : |c c A? : | ' ' ? \ ' S? e3k | ' e3E ' k | / ' S txh/ hihfwlydphqwh/ hv od ixqflöq gh glvwulexflöq gh xqd i T E ?' k 1 Hvwd surslhgdg uhflìq ghprvwudgd wdpelìq vh xwlol}d frq pxfkd iuhfxhqfld hq prghorv gh frodv gho wlsr ** 1 Dvð/ vl hq xq suhflvr prphqwr kd| r vhuylgruhv gdqgr vhuylflr d rwurv wdqwrv folhqwhv | od glvwulexflöq gho wlhpsr gh vhuylflr hv i T E>/ hq yluwxg gh od fduhqfld gh phpruld gh od h{srqhqfldo/ orv wlhpsrv gh vhuylflr txh uhvwdq sdud fdgd folhqwh vrq ljxdophqwh gh glvwulexflöq i T E> |/ ghelgr do uhvxowdgr uhodwlyr do pðqlpr gh h{srqhqfldohv/ ho wlhpsr txh uhvwd kdvwd txh ho suö{lpr folhqwh vdojd vhuylgr +hv ghflu/ ho gh phqru wlhpsr gh vhuylflr, vljxh xqd glvwulexflöq i T Er>1 Sursrvlflöq 79 Od glvwulexflöq K E@c R hv uhsurgxfwlyd frq uhvshfwr d vx vh0 g jxqgr sduäphwur1 Hq rwudv sdodeudv/ gdgdv yduldeohv lqghshqglhqwhv f ' S g g K E@c R / f2 ' K E@c R2 /S / f? ' K E@c R? / od yduldeoh dohdwruld f ' ?' f ? wlhqh glvwulexflöq K E@c ' R 1 Od xwlolgdg gh hvwh uhvxowdgr hq ho frqwh{wr gh odv frodv frq oohjdgdv | vhu0 ylflrv h{srqhqfldohv wlhqh txh yhu frq ho khfkr gh txh od surslhgdg dqwhulru/ hq sduwlfxodu/ shuplwh ghgxflu od glvwulexflöq gh od vxpd gh yduldeohv h{srqhq0 fldohv lqghshqglhqwhv frq ho plvpr sduäphwur1 Sduwlfxodul}dqgr ho uhvxowdgr dqwhulru sdud R ' R2 ' ' R? ' | @ ' k/ vh wlhqh txh vl f / f2 / / Conceptos generales de la teoría de colas 137 f? vrq yduldeohvSdohdwruldv lqghshqglhqwhv | frq glvwulexflöq lgìqwlfd/ i T Ek/ hqwrqfhv f ' ?' f wlhqh glvwulexflöq K Ekc ?1 Odv yduldeohv f srguðdq uhsuhvhqwdu orv wlhpsrv ghvgh txh oohjd do vlvwhpd ho folhqwh 0ìvlpr kdvwd txh oohjd ho E n 0ìvlpr1 Hq hvh fdvr f uhsuhvhqwduðd ho wlhpsr txh wudqvfxuuh hqwuh od oohjdgd gh xq folhqwh | od gho txh oohjd ? folhqwhv ghvsxìv txh ìo1 Rwud dsolfdflöq lqwhuhvdqwh gh hvwh uhvxowdgr hq whruðd gh frodv hv od vljxlhq0 wh1 Vxsöqjdvh txh hq xq prghor **r* xq folhqwh oohjd do vlvwhpd fxdqgr |d kd| ? folhqwhv ghqwur gho vlvwhpd +? : r,1 Vl ghvhdprv vdehu od glvwulexflöq gh od yduldeoh wlhpsr txh ho folhqwh sdvduä hq od frod/ qr kd| päv txh ud}rqdu gh od vljxlhqwh irupd1 Ho wlhpsr txh wdugduä hq vdolu vhuylgr ho suö{lpr folhqwh wlhqh glvwulexflöq i T Er>/ vhjýq or ud}rqdgr hq xqr gh orv frphqwdulrv kh0 fkrv dqwhulruphqwh1 Dkrud elhq/ sdud txh ho folhqwh hq fxhvwlöq frplhqfh d vhu vhuylgr kdq gh vdolu vhuylgrv ?rn folhqwhv gho vlvwhpd/ vlhqgr odv gxudflrqhv gh wrgrv hvrv wlhpsrv hqwuh grv vdolgdv gh folhqwhv gho vlvwhpd yduldeohv lqgh0 shqglhqwhv | frq glvwulexflöq i T Er>1 Dvð od ýowlpd surslhgdg qrv shuplwh dupdu txh od yduldeoh gh qxhvwur lqwhuìv wlhqh glvwulexflöq K Er>c ? r n 1 4318 Hmhuflflrv sursxhvwrv 41 Xwlol}dqgr odv iöupxodv gh Olwwoh fdofxodu/ sdud xq prghor **r/ ho qýphur phglr gh vhuylgruhv rfxsdgrv1 51 Hq xq prghor **2 frq > ' 2 folhqwhv sru plqxwr/ oohjd xq folhqwh hq xq ghwhuplqdgr prphqwr hq ho txh kd| rwurv grv kdflhqgr frod sdud hq0 wudu do phfdqlvpr gh vhuylflr1 ÁFxäo hv ho wlhpsr phglr txh wudqvfxuuluä kdvwd txh ho folhqwh uhflìq oohjdgr vdojd vhuylgr gho vlvwhpdB 11 Modelos con tasas de llegada y servicio de tipo Poisson Modelos con tasas de llegada y servicio de tipo Poisson 141 441 0 Hq hvwh fdsðwxor hvwxglduhprv orv prghorv päv kdelwxdohv sdud ho vlvwhpd gh xqd frod hq od txh vh vxsrqh txh od glvwulexflöq gho wlhpsr hqwuh oohjdgdv | od gho wlhpsr gh vhuylflr vrq h{srqhqfldohv1 Frqfuhwdphqwh vh kduä xq uhfruulgr sru orv prghorv **/ **r/ ***g/ **r*g/ ***4*M/ **r*4*M +vlq | frq uhsxhvwrv, | ho **41 4414 Ho prghor **Q Frpr vx qrpeuh lqglfd hv dtxho hq ho txh od glvwulexflöq gho wlhpsr hqwuh grv oohjdgdv frqvhfxwlydv gh folhqwhv do vlvwhpd hv xqd i T Eb/ lqghshqglhqwhphqwh gho qýphur gh folhqwhv txh kd|d ghqwur gho plvpr/ od glvwulexflöq gho wlhpsr gh vhuylflr hv i T E> | vöor kd| xq vhuylgru1 Orv ydoruhv sru ghihfwr gh orv wuhv ýowlprv sduäphwurv lqglfdq txh qr kd| uhvwulfflöq uhvshfwr do qýphur gh folhqwhv txh sxhghq hvwdu hq od frod/ txh od sreodflöq srwhqfldo hv lqqlwd +gh dkð txh od glvwulexflöq gho wlhpsr hqwuh oohjdgdv vhd vlhpsuh od plvpd h{srqhqfldo, | txh od glvflsolqd gh od frod hv ILIR1 Whqlhqgr hq fxhqwd wrgr hvwr/ uhvxowd lqphgldwr ghgxflu odv wdvdv gh oohjdgd b? ' b/ sdud wrgr ? ' fc c | odv wdvdv gh vhuylflr >? ' >/ sdud wrgr ? ' c 2c Frpr frqvhfxhqfld vh wlhqh txh b?3 b?32 bf b? S? ' ' ? ' >? >?3 > > ? b ' 4? / sdud ? ' c 2c > S" ? S Frpr " ?' S? ' ?' 4 hv xqd vhulh jhrpìwulfd/ vhuä frqyhujhqwh vl | vöor vð m4m / txh gdgr txh 4 : f/ htxlydoh d 4 1 Hvwd frqglflöq/ 4 / hv sru wdqwr htxlydohqwh d txh ho prghor vhd hvwdflrqdulr1 Rwud irupd gh h{suhvduod hv b >/ txh wlhqh od lqwhusuhwdflöq dglflrqdo gh txh ho qýphur phglr gh folhqwhv txh hqwudq hq ho vlvwhpd sru xqlgdg gh wlhpsr vhd phqru txh ho qýphur phglr gh folhqwhv txh srguðdq vhu dwhqglgrv sru ho vhuylgru sru xqlgdg gh wlhpsr/ hq fdvr gh txh ìvwh hvwxylhvh devroxwdphqwh wrgr ho wlhpsr dwhqglhqgr d folhqwhv +frvd txh qr rfxuuh vlhpsuh,1 142 Introducción a la Simulación y a la Teoría de Colas Ricardo Cao Abad Hq or txh vljxh vxsrqguhprv txh ho vlvwhpd gh od frod hv hvwdflrqdulr +hv ghflu 4 ,1 Or sulphur txh ghehprv fdofxodu hv od vxpd gh od vhulh gh odv S? = " [ S? ' ?' " [ 4? ' ?' 4 4 |/ sru or wdqwr/ Rf ' n S" ?' S? ' 4 ' 41 n 34 Dghpäv/ sdud fxdotxlhu ? / vh wlhqh R? ' S? Rf ' E 4 4? +ydolhqgr hvwd iöupxod qdo lqfoxvr sdud ? ' f,1 Dvð sxhv/ od pdvd gh suredelolgdg gh od yduldeoh qýphur gh folhqwhv hq ho vlvwhpd hv E ' ? ' R? ' E 4 4? / ? ' fc c | dvð/ wlhqh glvwulexflöq jhrpìwulfd gh sduäphwur 4 +suredelolgdg gh ì{lwr/ hqwhqglhqgr od jhrpìwulfd frpr ho qýphur gh iudfdvrv dqwhv gho sulphu ì{lwr,1 Vxsrqlhqgr frqrflgd od iöupxod sdud od phgld gh xqd glvwulexflöq jhrpìwulfd/ vh fdofxoduðd gh irupd lqphgldwd ho ydoru gh u ' . E1 Wdpelìq srghprv kdfhu ho fäofxor gluhfwdphqwh= u ' . E ' " [ ? R? ' ?'f " [ ? E 4 4? ' E 4 4 ?' " [ ? 4?3 1 ?' Hvwd ýowlpd vhulh hv gho wlsr txh vh vxhoh ghqrplqdu frqyhuwleoh hq jhrpìwulfd1 Xqd irupd gh fdofxodu vx vxpd hv od vljxlhqwh1 Frqvlgìuhvh od ixqflöq s E% ' S " ? ?' % / ghqlgd sdud orv % 5 Ec 1 Gdgr txh sdud fdgd % 5 Ec / s E% hvwä ghqlgd d wudyìv gh xqd vhulh jhrpìwulfd frqyhujhqwh/ vh wlhqh txh % 1 Dghpäv/ od ixqflöq s E% sxhgh ghulyduvh/ wdqwr gluhfwdphqwh d s E% ' 3% sduwlu gh hvwd h{suhvlöq hqfrqwudgd/ frpr wìuplqr d wìuplqr hq vx ghqlflöq frpr vhulh gh srwhqfldv1 Dvð/ vh rewlhqh= " [ ?%?3 ' s E% ' ?' E % % E 1 ' 2 E % E %2 Gh hvwh prgr/ hq sduwlfxodu/ " [ ? 4?3 ' ?' E 42 |/ sru wdqwr/ u ' E 4 4 b 4 ' 1 2 ' 4 > b E 4 Vh wudwd/ sxhv/ gh xqd ixqflöq gh 4 frq xqd dvðqwrwd yhuwlfdo hq 4 $ 3 1 Modelos con tasas de llegada y servicio de tipo Poisson 143 10 8 6 4 2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 u frpr ixqflöq gh 4 Dxqtxh u^ sxhgh fdofxoduvh gh irupd vlplodu/ wdpelìq sxhgh rewhqhuvh d sduwlu gh u1 Yhäprvor/ u^ ' . E^ ' ' ' ' " [ ?' " [ 6' " [ " [ ? E^ ' ? ' ?'f ? E ' ? n ' E6 R6 ' " [ 6' " [ " [ ? E^ ' ? ?' ? R?n ' ?' 6 R6 " [ " [ ? R?n ?'f R6 6' 6 R6 E Rf ' u E Rf / 6'f iöupxod txh hv yäolgd sdud fxdotxlhu prghor gh od irupd C*C** 1 Hq qxhvwur fdvr/ gh hvwd iöupxod vh ghgxfh 4 4 u^ ' u E Rf ' E E 4 ' 4 4 4 b2 42 1 ' ' 4 > E> b Dsolfdqgr odv iöupxodv gh Olwwoh sxhghq rewhqhuvh h{suhvlrqhv sdud ` | `^ = u ' c b >b b u^ ' 1 ' b > E> b ` ' `^ Dghpäv/ sxhgh frpsureduvh iäflophqwh txh vh yhulfd od uhodflöq ` ' `^ n > 1 Gh khfkr/ hvwd uhodflöq mxqwr frq odv grv iöupxodv gh Olwwoh shuplwh fdofxodu ho ydoru gh fxdohvtxlhud wuhv gh odv fdqwlgdghv u/ u^ / ` | `^ / gdgd od fxduwd1 Vl vh ghvhd whqhu päv lqirupdflöq vreuh od hvshud gh folhqwhv hq od frod r hq ho vlvwhpd/ gheh fdofxoduvh od glvwulexflöq gh suredelolgdg gh odv yduldeohv 144 Introducción a la Simulación y a la Teoría de Colas Ricardo Cao Abad Z | Z^ 1 Hvwdv glvwulexflrqhv shuplwluäq fdofxodu od suredelolgdg gh fxdotxlhu vxfhvr uhodwlyr do wlhpsr gh hvwdqfld hq od frod r hq ho vlvwhpd1 Sulphudphqwh derugduhprv ho fäofxor gh od ixqflöq gh glvwulexflöq gh Z/ txh ghqrwduhprv sru ` E|1 Sdud hoor dsolfdprv od uhjod gh odv suredelolgdghv wrwdohv/ frqglflrqdqgr do qýphur/ / gh folhqwhv txh kd| hq ho vlvwhpd fxdqgr g oohjd ho folhqwh hq fxhvwlöq | whqhprv hq fxhqwd txh Zm'? ' K E>c ? n 1 Gh hvwd irupd/ sdud fdgd | f/ vh wlhqh ` E| ' EZ | ' " [ ?'f ' ' ' ' ' EZ |m'? E ' ? " ] | ?n [ > ? 3>% % e _% R? ?f ?'f ? " ] | ?n [ b > b ? 3>% % e _% ?> > f ?'f $ #" ] | b 3>% [ Eb%? _% > e > ?f ?'f ] | ] | b 3>% b% > E> b e3E>3b% _% e e _% ' > f f 3E>3b% %'| ' e3E>3b| / e %'f txh hv od ixqflöq gh glvwulexflöq gh xqd h{srqhqfldo gh sduäphwur > b1 Dvð sxhv/ g Z ' i T E> b 1 Hv reylr/ sru wdqwr/ txh frpr frqfoxvlöq gh hvwr wdpelìq vh sxhgh yroyhu d 1 rewhqhu ` ' >3b Od ixqflöq gh glvwulexflöq gho wlhpsr txh xq folhqwh hvwä hq od frod sxhgh rewhqhuvh gh irupd dqäorjd1 Edvwd ghvfrpsrqhu glfkd ixqflöq hq grv wìuplqrv gh od irupd= `^ E| ' EZ^ | ' EZ^ ' f n Ef Z^ | | dsolfdu do vhjxqgr gh hoorv orv plvprv dujxphqwrv xvdgrv sdud ho fäofxor gh ` E|1 Gh hvd irupd vh rewhqguðd= ; b ? e3E>3b| vl | f `^ E| ' > = f vl | f Hvwd ixqflöq gh glvwulexflöq hv glvfrqwlqxd hq | ' f/ ydolhqgr vx vdowr b `^ Ef `^ f3 ' ' 4 ' Rf 1 > Modelos con tasas de llegada y servicio de tipo Poisson 145 Vh wudwd sru wdqwr gh xqd yduldeoh txh hv ph}fod gh frqwlqxd | glvfuhwd= wrpd ho ydoru fhur frq suredelolgdg Rf | sdud orv | : f wlhqh xqd frpsrqhqwh frqwlqxd e3E>3b| 1 frq ixqflöq gh vxeghqvlgdg gdgd sru bE>3b > Hmhpsor 7: Hq xqd hvwdflöq gh wudedmr frq xq ýqlfr surfhvdgru vh hmhfxwdq surjudpdv +txh vh vxsrqh suäfwlfdphqwh vx ýqlfd fdujd gh wudedmr, frq wlhpsr gh FSX gh glvwulexflöq h{srqhqfldo gh phgld 6 plqxwrv1 Orv surjudpdv vh dwlhqghq vhjýq xqd glvflsolqd ILIR1 Vdelhqgr txh odv oohjdgdv gh surjudpdv d od hvwdflöq vh surgxfhq vhjýq xq surfhvr gh Srlvvrq frq xqd lqwhqvlgdg gh 48 surjudpdv fdgd krud/ sru wìuplqr phglr/ vh slgh= 41 ÁFxäo hv od suredelolgdg gh txh kd|d päv gh grv surjudpdv hq hvshud gh hmhfxflöq +dghpäv gho txh vh hvwä hmhfxwdqgr,B 51 Fdofxodu ho wlhpsr phglr txh wudqvfxuuh ghvgh txh vh hqyðd xq surjudpd do vhuylgru kdvwd txh vh whuplqd vx hmhfxflöq1 ÁFxäo hv od uhodflöq hqwuh hvwh wlhpsr | ho wlhpsr phglr gh FSXB 61 Fdofxodu od suredelolgdg gh txh ho surjudpd hvwì hq ho vhuylgru +hvshudqgr r hmhfxwäqgrvh, päv gh 43 plqxwrv1 71 ÁFxäo hv ho qýphur phglr gh surjudpdv txh hvwäq d od hvshud gh frphq}du d hmhfxwduvhB 81 Rewhqhu odv uhvsxhvwdv d orv dsduwdgrv dqwhulruhv vxsrqlhqgr txh dkrud vh kd lqfuhphqwdgr od oohjdgd gh surjudpdv kdvwd 4; d od krud/ sru wìuplqr phglr1 Vroxflöq= Od h{srqhqfldolgdg gh orv wlhpsrv gh vhuylflr | gh orv wlhpsrv hqwuh oohjdgdv qrv lqglfd txh vh wudwd gh xq prghor **1 Gh khfkr/ hvwdprv vxsrqlhqgr +do qr hvshflfdu qlqjýq ydoru, txh wdqwr ho oðplwh sdud od frod frpr ho qýphur gh folhqwhv gh od sreodflöq srwhqfldo vrq lqqlwrv1 Hq yluwxg gh orv gdwrv gho sureohpd | wudedmdqgr hq krudv vh wlhqh b ' D/ ' / frq or fxdo > ' 2f1 > Sf Gh hvwh prgr 4 ' D 2f ' f.D | ho prghor hv hvwdflrqdulr1 41 Hq hvwh dsduwdgr vh qrv slgh E^ : 2 ' E^ ' E e ' E ' ERf n R n R2 n R ' 4 n E 4 4 n E 4 42 n E 4 4 4e E 4 4 4 E 4 ' E 4 ' 4 4 ' n 4e ' 4e ' f.De ' f Se 146 Introducción a la Simulación y a la Teoría de Colas Ricardo Cao Abad 51 Dtxð vh slgh ` ' ' ' f2 krudv ' 2 plqxwrv1 >b 2f D Vx uhodflöq frq ho wlhpsr phglr gh vhuylflr/ `r ' > / hv D 2f ` ' `r ' e/ hv ghflu fdgd surfhvr hvwä hq od hvwdflöq xq wlhpsr htxlydohqwh d fxdwur yhfhv vx wlhpsr gh FSX1 61 Frpr Z wlhqh xqd glvwulexflöq i T E> b ' i T ED hqwrqfhv f D f Z: ' e3D Sf ' e3 S ' f eeS1 Sf 71 Vh slgh u^ 1 Frpr `^ ' ` u^ ' D > ' D 2f ' 2f | u^ ' b`^ / hqwrqfhv b ' ' 22D surfhvrv hq hvshud1 2f e 81 Od ýqlfd glihuhqfld hv txh dkrud b ' H/ frq or fxdo 4 ' H 2f ' fb / E^ : 2 ' fbe ' f SDS/ ' fD krudv ' f plqxwrv/ ` ' 2f H f f Z: ' e32 Sf ' e3 ' f .SD | Sf b b ' `^ ' , u^ ' H ' H surfhvrv1 2 2f 2f 2f Frpr sxhgh yhuvh fodudphqwh/ ho vlvwhpd hvwä edvwdqwh päv frqjhvwlrqdgr dkrud1 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0.2 0.4 x 0.6 0.8 1 Glvwulexflöq gho wlhpsr +hq krudv, gh hvshud hq ho vlvwhpd sdud ho fdvr b ' D Modelos con tasas de llegada y servicio de tipo Poisson 147 4415 Ho prghor **r Hv xqd jhqhudol}dflöq gho prghor dqwhulru do fdvr hq txh kd|d r vhuylgruhv1 Vh wudwd sxhv gh xqd frod hq od txh od glvwulexflöq gho wlhpsr hqwuh oohjdgdv frqvhfxwlydv hv xqd i T Eb/ od glvwulexflöq gho wlhpsr gh vhuylflr hv i T E> | kd| r vhuylgruhv1 Frpr hq ho fdvr dqwhulru/ od sreodflöq srwhqfldo | od fdsdflgdg gh od frod vrq lqqlwdv | od glvflsolqd gh od frod hv ILIR1 Odv wdvdv gh oohjdgd ylhqhq gdgdv sru b? ' b/ sdud wrgr ? ' fc c | odv wdvdv gh vhuylflr >? ' Frq or fxdo ?> vl ? ' c 2c c r r> vl ? ' r n c r n 2c ; A ? b? b?3 b?32 bf ?->?? ' S? ' b A >? >?3 > = r-r?3r >? vl ? ' c 2c c r vl ? ' r n c r n 2c Sdud dqdol}du fxdqgr ho vlvwhpd hv hvwdflrqdulr edvwd hvwxgldu od frqyhu0 jhqfld gh od vhulh " [ S? ' ?' " " r3 r3 [ [ [ br [ ?3r b? b? b? n ' n 4 / ?->? ?'r r-r?3r >? ?' ?->? r->r ?'r ?' txh/ d sduwlu gho wìuplqr r0ìvlpr/ hv jhrpìwulfd gh ud}öq 4 |/ sru wdqwr/ frq0 yhujhqwh vlhpsuh txh 4 1 Dvð sxhv ho vlvwhpd hv hvwdflrqdulr vlhpsuh txh 4 / r or txh hv or plvpr/ vlhpsuh txh b r>1 Hq wdo fdvr/ od vxpd gh glfkd vhulh hv " [ S? ' ?' ' " r3 r3 [ br [ ?3r [ b? br b? n 4 ' n ?->? r->r ?'r ?->? r->r 4 ?' ?' r3 [ br b? / n ?->? Er ->r3 Er> b ?' frq or fxdo Rf ylhqh gdgr sru Rf ' n S" ?' S? ' n Sr3 b? ?' ?->? n br Er3->r3 Er>3b 1 D od krud gh lpsohphqwdu ho fäofxor gh Rf gheh whqhuvh suhfdxflöq frq od iöupxod dqwhulru sxhv/ vl r hv hohydgr/ orv wìuplqrv frq ?- hq ho ghqrplqdgru 148 Introducción a la Simulación y a la Teoría de Colas Ricardo Cao Abad sxhghq surgxflu huuruhv gh wlsr ryhu rz1 Dghpäv/ od lpsohphqwdflöq gl0 uhfwd gh hvdv h{suhvlrqhv vhuðd px| lqhflhqwh sru hvwdu uhslwlhqgr pxfkrv fäofxorv vlq uhxwlol}duorv1 Dvð/ sru hmhpsor/ vl r ' ff/ hq ho ghqrplqdgru gh SbH dsduhfhuðd bH-/ txh/ hq oxjdu gh fdofxoduor gluhfwdphqwh srguðd rewhqhuvh pxfkr päv hflhqwhphqwh pxowlslfdqgr sru bH ho wìuplqr b.- txh dsduhfh hq Sb. 1 Hvwh plvpr dujxphqwr wdpelìq sxhgh dsolfduvh d odv srwhqfldv b? | >? 1 Hq uhvxphq/ sduhfh päv hflhqwh ghqlu Sf ' | xwlol}du ho fäofxor uhfxuvlyr S? ' S?3 b?3 b ' S?3 / sdud ? ' c 2c c r / >? ?> r b txh vh ghgxfh gh od ghqlflöq gh orv S? 1 Dghpäv ho wìuplqr Er3->r3 Er>3b S" txh uhsuhvhqwd ?'r S? | txh ghqrwduhprv sru SDr / sxhgh wdpelìq fdofxoduvh b 1 iäflophqwh d sduwlu gh Sr3 phgldqwh SDr ' Sr3 r>3b Whqlhqgr hq fxhqwd wrgr or dqwhulru/ vh oohjd d od vljxlhqwh irupd gh lpsoh0 phqwdu hflhqwhphqwh ho fäofxor gh Rf = / grqgh ?'f S? n SDr b ' / S? ' S?3 / sdud ? ' c 2c c r ?> b 1 ' Sr3 r> b Rf ' Sr3 Sf | SDr Uhvxowd iäflo rewhqhu xqd ; A ? R? ' S? Rf ' A = h{suhvlöq h{soðflwd sdud odv R? = b? Rf ?->r ? b ?3r 4 Rf r->r vl ? ' c 2c c r vl ? ' r n c r n 2c dxqtxh/ gh qxhyr/ hvwdv iöupxodv lpsohphqwdgdv gluhfwdphqwh vrq gh px| hvfdvd hflhqfld frpsxwdflrqdo1 Frpr sdud ho fäofxor gh Rf / wdpelìq dtxð srghprv surfhghu päv hflhqwhphqwh1 Xqd yh} fdofxodgr Rf | vl vh pdqwlhqhq hq phpruld orv ydoruhv gh orv S? / ho fäofxor gh orv R? vhuðd px| vhqfloor1 Dvð/ vl ? ' c 2c c r / vh wlhqh R? ' S? Rf +iöupxod txh/ dxqtxh wdpelìq hv yäolgd sdud ? r/ qr hv px| ýwlo sxhv qr vh kdq fdofxodgr orv S? sdud ? r,1 Vl ? r orv R? vh sxhghq fdofxodu uhfxuvlydphqwh |d txh Rr3 hvwä fdofxodgr | R? ' S? Rf ' b?3 b?3 b R?3 ' 4 R?3 S?3 Rf ' R?3 ' >? >? r> sdud wrgr ? ' rc r n c Dvð/ gh irupd uhvxplgd/ vh surfhghuðd d fdofxodu gluhfwdphqwh R? ' S? Rf sdud ? ' c 2c c r | uhfxuvlydphqwh R? ' 4 R?3 sdud ? ' rc r n c kdvwd ho ðqglfh txh vh ghvhh1 Modelos con tasas de llegada y servicio de tipo Poisson 149 Judfldv d od h{suhvlöq h{soðflwd rewhqlgd sdud odv R? / sxhgh hqfrqwuduvh iäflophqwh ho ydoru gh u^ = u^ ' . E^ ' f ERf n R n n Rr n ' ' " [ ?'r r E? r " [ E? r R? ?'rn " [ " [ br br ?3r R ' R E? r 4 ' R &4& f f f r-r?3r >? r->r ?'r r->r &'f b? 4 b Rf brn Rf ' r->r E 42 Er ->r3 Er> b2 Hq od suäfwlfd/ gdgr txh SDr ' hflhqwh phgldqwh od h{suhvlöq br / Er3->r3 Er>3b u^ ' SDr u^ sxhgh fdofxoduvh gh irupd bRf 1 r> b D sduwlu gh u^ sxhgh rewhqhuvh ho ydoru gh `^ ' ub^ / phgldqwh od vhjxqgd iöupxod gh Olwwoh1 Dkrud/ vh rewhqguðd ` ' `^ n > | oxhjr u ' b` 1 Gh wrgdv irupdv/ hv srvleoh rewhqhu h{suhvlrqhv h{soðflwdv gh hvwdv fdqwlgdghv hq wìuplqrv gh b/ >/ r | Rf = br Rf c Er ->r3 Er> b2 br Rf ` ' n Er ->r3 Er> b2 brn Rf n u ' Er ->r3 Er> b2 `^ ' / > b / > txh qr hv uhfrphqgdeoh xvdu hq od suäfwlfd sru vx pd|ru ohqwlwxg gh fäofxor frq uhvshfwr d odv sursxhvwdv dqwhulruhv1 Gh irupd dqäorjd do fdvr gho prghor **/ vh sxhgh oohjdu d h{suhvlrqhv sdud odv ixqflrqhv gh glvwulexflöq gho wlhpsr txh xq folhqwh hvwä hq od frod | 150 Introducción a la Simulación y a la Teoría de Colas Ricardo Cao Abad gho wlhpsr txh xq folhqwh hvwä hq ho vlvwhpd1 Vrq odv vljxlhqwhv= ; b r Rf ? e3Er>3b| vl | f `^ E| ' Er ->r3 Er> b = f vl | f b Hq ho fdvr 9' r vh wlhqh > b r> n >`^ Ef 3>| ` E| ' n e r> b > br Rf e3Er>3b| / n r32 Er -> Er> b Er> b > vl | f +f hq rwur fdvr, b plhqwudv txh vl ' r vx h{suhvlöq hv > ; br Rf | ? e3>| vl | f n ` E| ' Er ->r32 Er> b = f vl | f Odv frqvwdqwhv txh dsduhfhq hq odv h{suhvlrqhv dqwhulruhv vrq hflhqwhphqwh fdofxodeohv d sduwlu gh or frphqwdgr dqwhulruphqwh1 Dvð/ sru hmhpsor/ `^ E| ' SDr Rf e3Er>3b| vl | f1 Judfldv d hvwd ýowlpd h{suhvlöq uhvxowd px| vhqfloor fdofxodu od suredelolgdg gh txh xq folhqwh qr whqjd txh hvshudu hq od frod +hv ghflu/ txh sdvh gluhfwdphqwh d vhu vhuylgr,= EZ^ ' f ' EZ^ f ' `^ Ef ' SDr Rf ' " [ S? Rf ?'r ' " [ R? ' ?'r r3 [ R? ' E r / ?'f txh/ sru rwud sduwh/ uhvxowd wrwdophqwh lqwxlwlyr/ sxhv fruuhvsrqgh frq ho khfkr gh txh fxdqgr oohjxh ho folhqwh hq fxhvwlöq kd|d dojýq vhuylgru oleuh1 Frpr sxhgh revhuyduvh hq od vljxlhqwh jxud/ hv reylr txh od juäfd gh od ixqflöq `^ E| hvwä vreuh od gh ` E| 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0.1 0.2 t 0.3 0.4 0.5 Ixqflrqhv gh glvwulexflöq gho wlhpsr hq od frod +wud}r frqwlqxr, | gho wlhpsr hq ho vlvwhpd +wud}r glvfrqwlqxr, Modelos con tasas de llegada y servicio de tipo Poisson 151 Hmhpsor 7; Fdofxodu odv fdqwlgdghv shglgdv hq orv dsduwdgrv 4 | 7 gho ýowlpr hmhpsor vxsrqlhqgr orv plvprv gdwrv shur frqvlghudqgr xqd hvwdflöq gh wudedmr frq wuhv vhuylgruhv lgìqwlfrv do gh glfkr hmhpsor1 Kdoodu wdpelìq ho qýphur phglr wrwdo gh surfhvrv hq od hvwdflöq1 Vroxflöq= Reyldphqwh vh wudwd gh xq prghor **r frq r ' / b ' D | D ' e / vlhqgr/ sru wdqwr/ ho prghor hvwdflrqdulr1 > ' 2f/ frq or fxdo/ 4 ' u2f Odv grv sulphudv fdqwlgdghv shglgdv vljxhq vlhqgr/ reyldphqwh/ E^ : 2 | u^ 1 Hq sulphu oxjdu ghehprv kdoodu Rf = b D D ' / S2 ' S ' 2f e 2 2f 2 D | SD ' S2 ' / uhvxowd= 2f D 2 H 2 ' ' f e.fS1 ' 2n2enbn ' Rf ' S2 SH . 2 ?'f S? n SD Frpr Sf ' / S ' Sf Dkrud/ E^ : 2 ' ERf n R n R2 n R n Re n RD ' Rf E n S n S2 n S n Se n SD b b b b H n n n ' n n . e 2 2H D2 2feH eeb H eeb ' ' ' f fffSHb1 ' . 2feH eD2 eD2 Dghpäv/ u^ ' H De . brn Rf ' 2 Er ->r3 Er> b 2 2f2 E 2f D2 ' f fe. surfhvrv1 ' SH Vh revhuyd sxhv frpr do sdvdu gh xqr d wuhv surfhvdgruhv ho vlvwhpd h{shul0 phqwd xqd ghvfrqjhvwlöq päv txh qrwdeoh1 Or ýowlpr txh vh slgh hv D b n u ' b` ' b `^ n ' u^ n ' > > SH 2f ' f .Se. surfhvrv1 ' . txh lqglfd wdpelìq srfd fdujd hq od hvwdflöq1 152 Introducción a la Simulación y a la Teoría de Colas Ricardo Cao Abad 4416 Ho prghor **Q*g Vh wudwd gh xq prghor frpr ho **/ |d hvwxgldgr/ shur frq oðplwdflöq g sdud ho wdpdôr gh od frod1 Hv ghflu/ od glvwulexflöq gho wlhpsr hqwuh grv lqwhqwrv gh oohjdgdv do vlvwhpd gh folhqwhv frqvhfxwlyrv hv xqd i T Eb/ od glvwulexflöq gho wlhpsr gh vhuylflr hv i T E> | vöor kd| xq vhuylgru1 Dghpäv ho qýphur gh folhqwhv txh sxhghq hvwdu hq od frod hv frpr pxfkr g/ od sreodflöq srwhqfldo hv lqqlwd | od glvflsolqd hv ILIR1 Reyldphqwh/ hq hvwh prghor vh sxhgh gdu ho fdvr gh txh xq folhqwh txh lqwhqwh hqwudu hq ho vlvwhpd qr or frqvljd/ sru hvwdu od frod oohqd1 D sduwlu gh odv hvshflfdflrqhv dqwhulruhv vh ghgxfhq iäflophqwh odv wdvdv gh oohjdgd= b vl ? ' fc c c g b? ' f vl ? ' g n c g n 2c plhqwudv txh odv wdvdv gh vhuylflr vrq lgìqwlfdv d odv gh xq **/ >? ' >/ sdud wrgr ? ' c 2c Kdflhqgr xvr gh hvwdv wdvdv vh rewlhqhq lqphgldwdphqwh odv S? = ? 4 vl ? ' c 2c c g n S? ' f vl ? ' g n 2c g n c S Gdgr txh od vhulh " ?' S? wlhqh wdq vöor xq qýphur qlwr gh wìuplqrv glvwlqwrv gh fhur/ hv wulyldophqwh frqyhujhqwh vlq qlqjxqd frqglflöq dfhufd gh 41 Hvwr sxhgh lqwhusuhwduvh frpr txh/ sru px| iuhfxhqwh txh vhd od oohjdgd gh folhqwhv do vlvwhpd hq uhodflöq frq od fdsdflgdg gho vhuylgru sdud gdu vhuylflr/ od sursld olplwdflöq hq ho wdpdôr gh od frod ixhu}d d od hvwdflrqdulhgdg/ sxhv or shru txh srguðdprv lpdjlqdu hv txh suäfwlfdphqwh wrgr ho wlhpsr hvwxylhvh ho vlvwhpd vdwxudgr +hv ghflu E ' g n ' ,1 Od vxpd gh od vhulh gh orv S? hv uhdophqwh xqd vxpd qlwd | ydoh ; gn2 " gn 4 ? 4 [ [ vl 4 9' S? ' 4? ' 4 = ?' ?' g n vl 4 ' Hvwd glvwlqflöq/ 4 9' ö 4 ' kdeuä txh kdfhuod d or odujr gh wrgrv orv fäofxorv vxfhvlyrv1 Fdvr 9' = Hq sulphu oxjdu fdofxodprv Rf = Rf ' n S" ?' S? ' n gn2 4 4 4 ' 4 1 4gn2 Modelos con tasas de llegada y servicio de tipo Poisson 153 Dkrud odv R? vh rewlhqhq iäflophqwh/ ; ? 4 ? 4 vl ? ' fc c c g n R? ' 4gn2 = f vl ? ' g n 2c g n c Ho qýphur phglr gh folhqwhv hq ho vlvwhpd sxhgh fdofxoduvh d sduwlu gh vx ghqlflöq= " [ gn [ gn 4 ? E4 4 [ ?3 4 ' gn2 ? R? ' ? gn2 ?4 u' 4 4 ?'f ?'f ?'f Dkrud elhq/ vljxlhqgr odv plvpdv sdxwdv txh odv xvdgdv hq ho ** sdud fdofxodu od vxpd gh xqd vhulh frqyhuwleoh hq jhrpìwulfd/ srghprv dkrud fdofxodu od vxpd gh xq qýphur qlwr gh wìuplqrv gh od plvpd1 Dvð/ ghqlhqgr s E% ' gn [ %? ' ?'f vx ghulydgd ydoh s E% ' gn [ ?3 ?% ' %gn2 / sdud % 9' / % Eg n 2 %gn E% %gn2 ?'f ' E% 2 Eg n %gn2 Eg n 2 %gn n 1 E% 2 Gh hvwd irupd gn [ ?'f ?4?3 ' Eg n 4gn2 Eg n 2 4gn n E4 2 |/ sru wdqwr/ 4 Eg n 4gn Eg n 2 4gn2 n 4 4gn2 E 42 4 4gn2 Eg n 2 4gn2 4gn 4 ' 4gn2 E 42 % & 4 4gn2 Eg n 2 4gn2 E 4 4 ' 4gn2 E 42 E 42 u ' ' Eg n 2 4gn2 4 1 4 4gn2 Hq uhvxphq u' 4 Eg n 2 4gn2 / 4 4gn2 154 Introducción a la Simulación y a la Teoría de Colas Ricardo Cao Abad fx|r sulphu vxpdqgr hv suhflvdphqwh ho ydoru gh u sdud xq **1 Odv iöupxodv gh Olwwoh | od uhodflöq hqwuh wlhpsrv phglrv sxhghq xvduvh sdud fdofxodu odv rwudv wuhv fdqwlgdghv phgldv gh lqwhuìv1 Sdud hoor vhuä qhfhvdulr fdofxodu b/ |d txh dkrud odv b? qr vrq frqvwdqwhv= b ' " [ b ? R? ' ?'f ' b g [ b R? ' b ?'f 4 gn 4 gn2 4 g [ R? ?'f gn2 'b 4 ' b E Rgn b 4gn E4 4gn ' 1 4gn2 4gn2 D sduwlu gh hvwd h{suhvlöq vh wlhqh ` ' ' ' ' ' Eg n 4gn Eg n 2 4gn2 n 4 4 4gn2 u E 42 gn ' b 4 b 4gn2 gn 4 Eg n 4 Eg n 2 4gn2 n 4 4gn b E 42 gn2 44 4 Eg n E 4 4gn2 4gn b E 42 % & 4 4gn 4 Eg n E 4 4gn2 4gn b E 42 b E 42 4 Eg n 4gn2 Eg n 4gn2 / ' gn b E 4 b E 4 >b b E 4gn oxhjr ` ' Eg n 4gn2 / >b b E 4gn txh/ gh qxhyr/ hv px| sduhflgd d vx dqäorjd sdud ho prghor **1 D sduwlu gh hvwd ýowlpd h{suhvlöq | whqlhqgr hq fxhqwd txh `^ ' ` > / vh wlhqh `^ ' b Eg n 4gn2 1 > E> b b E 4gn Modelos con tasas de llegada y servicio de tipo Poisson 155 Ilqdophqwh/ u^ b 4gn 4gn2 > 4 Eg n 2 4gn2 b ' b`^ ' b ` 'u ' > > 4 4gn2 gn gn2 4 4 Eg n 2 4 4 ' gn2 4 4 4gn2 gn2 Eg n 2 4 4 4gn2 n 4gn 4gn 4 ' 4 4gn2 4gn2 Eg n 2 4gn2 4gn2 E4 4 4gn2 4 ' 4 4gn2 4gn2 4gn2 gn2 2 Eg n n 4 4 Eg n n 4 4gn2 4 4 / ' ' 4 4 4gn2 4 4gn2 oxhjr/ hq uhvxphq/ u^ ' Eg n n 4 4gn2 42 4 4gn2 h{suhvlöq/ hvwd ýowlpd/ fx|r sulphu vxpdqgr hv suhflvdphqwh od iöupxod sdud u^ hq xq prghor **1 Reyldphqwh/ vl ho remhwlyr hv fdofxodu odv fxdwur fdqwlgdghv +u/ u^ / ` | `^ , hv päv hflhqwh rewhqhu ho ydoru gh b |/ xqd yh} fdofxodgd xqd gh odv fxdwur/ rewhqhu odv wuhv uhvwdqwhv gluhfwdphqwh gh odv iöupxodv gh Olwwoh | od uhodflöq hqwuh wlhpsrv phglrv1 Dxqtxh ho prghor ***g qr frqwlhqh do ** frpr fdvr sduwlfxodu/ hq ho fdvr 4 +sdud ho fxdo ho ** hv hvwdflrqdulr, ho prghor ***g gheh whqghu do ** fxdqgr g $ 4 +txh hv wdqwr frpr ghflu txh ho wdpdôr pä{lpr shuplwlgr sdud od frod hv päv | päv judqgh,1 Hq hihfwr/ orv uhvxowdgrv txh riuhfhq odv irupxodv dqwhulruhv sdud orv R? / u/ u^ / ` | `^ frlqflghq frq orv txh dsduhfhq hq ho **1 Dvð/ d wðwxor gh hmhpsor/ 4 Eg n 2 4gn2 *4 4 g<" 4gn2 *4g<" Eg n 2 4gn2 4 4 ' ' u** / ' 4 4 *4 u***g ' g<" |d txh ho oðplwh gho qxphudgru hv fhur +xwlol}dqgr/ sru hmhpsor/ od uhjod gh O*K÷slwdo,1 Fdvr ' = Hq hvwh fdvr orv fäofxorv uhvxowdq edvwdqwh päv vhqfloorv1 Ho ydoru gh Rf ylhqh gdgr sru Rf ' n S" ?' S? ' ' 1 ng n g n2 Frpr dghpäv S? ' 4? ' / sdud ? ' c 2c c g n / hqwrqfhv R? ' / sdud wrgr ? ' fc c c g n / g n2 156 Introducción a la Simulación y a la Teoría de Colas Ricardo Cao Abad hv ghflu/ wlhqh glvwulexflöq xqliruph glvfuhwd vreuh vx frqmxqwr gh ydoruhv srvleohv1 Hq hvwh fdvr/ gn [ gn [ Eg n Eg n 2 g n ' ' / g n 2 g n 2 2 2 ?'f ?'f " g [ [ b Eg n / b ' b? R? ' b R? ' b E Rgn ' b ' g n 2 g n2 ?'f ?'f u ' ` ' ? R? ' u ' b gn 2 bEgn gn2 ' ? g n2 / 2b g n2 g ' / ' > 2b b 2b g Eg n b Eg n g ' 1 ' b`^ ' g n2 2b 2 Eg n 2 `^ ' ` u^ Sdud fxdotxlhu ydoru gh 4 +ljxdo r glvwlqwr gh ,/ vl vh ghvhd rewhqhu odv ixqflrqhv gh glvwulexflöq gho wlhpsr txh xq folhqwh hvwä hq ho vlvwhpd | gho wlhpsr txh xq folhqwh hvwä hq od frod/ hv qhfhvdulr suhyldphqwh ghqlu ^? / frpr od suredelolgdg gh txh kd|d ? folhqwhv hq ho vlvwhpd mxvwr fxdqgr xqd qxhyd oohjdgd vh hvwä surgxflhqgr1 Ghqrwdqgr/ frpr vlhpsuh/ sru ho qýphur gh folhqwhv hq ho vlvwhpd | sru A ho wlhpsr txh idowd sdud txh vh surgx}fd od oohjdgd gho vljxlhqwh folhqwh/ odv ^? uhsuhvhqwdq E ' ?mA 'f 1 Xvdqgr od qrwdflöq s E|m'? sdud od ixqflöq gh ghqvlgdg gh od yduldeoh A frqglflrqdgd d txh ' ?/ vh vljxh txh s E|m'? fruuhvsrqgh d od ghqvlgdg gh xqd i T Eb? 1 Dvð/ dsolfdqgr od uhjod gh Ed|hv/ vh wlhqh= s Efm '? R? b? e3b? f R? ^? ' E ' ?mA 'f ' Sg ' Sg 3b6 f R 6 6'f s Efm'6 R6 6'f b6 e b R? R? / sdud ? ' fc c c g/ plhqwudv txh ' ' S Rgn b g 6'f R6 ^? ' f sdud ? ' g n c g n 2c Hv gljqr gh phqflöq txh sdud prghorv frpr ho **r +lqfox|hqgr ho fdvr r ' ,/ vh yhulfd txh odv yduldeohv A | vrq lqghshqglhqwhv |/ sru wdqwr ^? ' E ' ?mA 'f ' E ' ? ' R? 1 Odv ixqflrqhv gh glvwulexflöq gh odv yduldeohv Z | Z^ ylhqhq gdgdv sru ` E| ' e3>| `^ E| ' e3>| g [ ?'f g [ ?' ^? ^? ? [ E>|o o'f ?3 [ o'f o- / vl | f +| ` E| ' f hq rwur fdvr, E>|o / vl | f +| `^ E| ' f vl | f,/ o- Modelos con tasas de llegada y servicio de tipo Poisson 157 hqwhqglhqgr/ hq odv h{suhvlrqhv dqwhulruhv txh fxdqgr | ' f | o ' f/ hq ho vxpdwrulr päv lqwhuqr/ od lqghwhuplqdflöq ff vh uhvxhoyh frpr 1 Sxhgh sur0 eduvh gh irupd px| vhqflood txh `^ Ef ' EZ^ ' f ' ^f ' E ' fmA 'f 1 Xqd lpsohphqwdflöq gluhfwd gh odv ixqflrqhv ` E| | `^ E| sxhgh uhvxowdu px| ohqwd +vreuh wrgr vl vh hydoýdq hq pxfkrv ydoruhv gh | | g hv hohydgr,1 Dvð/ sdud g ' ff/ ho greoh exfoh txh dsduhfhuðd hq od lpsohphqwdflöq gluhfwd ' DD lwhudflrqhv sdud fdgd gh ` E| uhtxhuluðd n 2 n n f ' fuf2 2 hydoxdflöq gh od ixqflöq hq xq |1 Hq uhdolgdg/ hvwd lpsohphqwdflöq sxhgh ovhu | phmrudgd pxfkðvlpr hq wìuplqrv gh hflhqfld1 Ghqrwdqgr o E| ' E>| oS? E>|o S? 7? E| ' o'f o- ' o'f o E|/ vh wlhqh txh 7f E| ' f E| ' | txh vh yhulfdq odv vljxlhqwhv uhodflrqhv uhfxuvlydv >| o3 E| / sdud o ' c 2c c g o 7? E| ' 7?3 E| n ? E| / sdud ? ' c 2c c g1 o E| ' Gh hvwd irupd ho fäofxor gh ` E| srguðd surjudpduvh frq xq ýqlfr exfoh/ surfhglhqgr frpr hq ho vljxlhqwh dojrulwpr= 41 Kdfhu ' / 7 ' | ' ^f 1 51 Ghvgh ? ' kdvwd g uhshwlu | 7 ' 7 n 1 5141 Kdfhu ' >| ? 5151 Kdfhu ' n ^? 71 61 Ghyroyhu e3>| 1 Dqäorjdphqwh vh sxhgh surfhghu sdud ho fäofxor hflhqwh gh `^ E|1 Hv reylr txh ho dkruur frpsxwdflrqdo gho dojruwlpr/ iuhqwh d od lpsoh0 phqwdflöq gluhfwd/ hv px| judqgh1 Dvð/ sdud ho hmhpsor dqwhulru frq g ' ff/ hvwd lpsohphqwdflöq uhtxhuluðd/ wdq vöor/ ff lwhudflrqhv gho exfoh +xqdv 84 yhfhv päv uäslgr txh odv DD gho pìwrgr gluhfwr,1 Hq hvwh prghor +| hq rwurv srvwhulruhv, ho vljqlfdgr gh 4 frpr lqwhqvlgdg gh wuäfr vh ghvyluwýd1 Dtxð 4 qr sxhgh lqwhusuhwduvh frpr ho frflhqwh hqwuh qýphur phglr gh oohjdgdv gh folhqwhv do vlvwhpd sru xqlgdg gh wlhpsr | ho qýphur phglr gh folhqwhv d orv txh ho vhuylgru whqguðd fdsdflgdg gh gdu vhuylflr sru xqlgdg gh wlhpsr/ vlqö päv elhq frpr xq frflhqwh vhphmdqwh/ shur grqgh ho qýphudgru uhsuhvhqwd ho qýphur phglr gh lqwhqwrv gh oohjdgd/ päv txh gh oohjdgdv hihfwlydv do vlvwhpd1 Gh khfkr/ sru hvwh prwlyr 4 sxhgh vhu pd|ru r ljxdo txh / dýq vlhqgr ho vlvwhpd hvwdflrqdulr1 Ho ydoru gh b vð uhsuhvhqwd ho qýphur phglr gh hqwudgdv hihfwlydv gh folhqwhv hq ho vlvwhpd sru xqlgdg gh wlhpsr |/ dvð/ od yhugdghud lqwhqvlgdg gh wuäfr srguðd phgluvh d wudyìv gh ; bEgn A g n A A gn2 ' vl 4 ' b ? > g n2 gn 4' ' 3 bE4 > A gn2 A gn2 4 A = 4 3 ' 4 vl 4 9' > 4gn2 txh hihfwlydphqwh vð hv vlhpsuh phqru txh 1 158 Introducción a la Simulación y a la Teoría de Colas Ricardo Cao Abad 4417 Ho prghor **r*g Vh wudwd gh od h{whqvlöq gho prghor dqwhulru do fdvr hq txh h{lvwd xq qýphur hqwhur fxdotxlhud/ r/ gh vhuylgruhv1 Odv wdvdv gh oohjdgd vrq fdvl lgìqwlfdv d odv gho prghor **/ plhqwudv txh odv gh vhuylflr vrq h{äfwdphqwh ljxdohv d odv gh xq **r= b vl ? ' fc c c g n r b? ' f vl ? ' g n rc g n r n c ?> vl ? ' c 2c c r >? ' r> vl ? ' r n c r n 2c Frpr frqvhfxhqfld vh rewlhqh= ; b? A A vl ? ' c 2c c r A ?->? ? ? b S? ' vl ? ' r n c r n 2c c g n r A ?3r A A r-r >? = f vl ? ' g n r n c g n r n 2c S Gh qxhyr od vhulh " ?' S? wlhqh vöor xq qýphur qlwr gh wìuplqrv glvwlqwrv gh fhur |/ sru wdqwr/ vlhpsuh hv frqyhujhqwh1 Dvð sxhv ho vlvwhpd hv hvwdflrqdulr vlhpsuh +lqghshqglhqwhphqwh gho ydoru gh 4,1 Sdud fdofxodu Rf qhfhvlwdprv hqfrqwudu xqd h{suhvlöq/ or päv vhqflood srvleoh sdud od vxpd gh od vhulh= " [ ?' S? ' gnr [ S? ' gnr r3 gnr r3 [ [ [ br [ ?3r b? b? b? n ' n 4 ?->? ?'r r-r?3r >? ?' ?->? r->r ?'r ?' ?' ; r3 [ A br 4gn b? A A n A ? ?->? r->r 4 ?' ' r3 ? r [ A b Eg n b A A n A = ? ?-> r->r vl 4 9' vl 4 ' ?' Frpr frqvhfxhqfld/ ; A A A r3 A ? [ A br 4gn b A A n A ? ?->? r->r 4 ?'f Rf ' A A A r3 A [ A br Eg n b? A A n A = ?->? r->r ?'f vl 4 9' vl 4 ' Wdo | frpr |d vh frphqwö sdud ho prghor **r/ od lpsohphqwdflöq gl0 uhfwd gh odv irupxodv dqwhulruhv qr hv suhflvdphqwh od pdqhud päv hflhqwh gh Modelos con tasas de llegada y servicio de tipo Poisson 159 fdofxodu Rf 1 Dvð/ hpsohdqgr iöupxodv uhfxuvlydv sxhgh fdofxoduvh Rf phgldqwh / grqgh ?'f S? n SDr b ' / S? ' S?3 / sdud ? ' c 2c c r ?> 4 4gn2 vl 4 9' | ' Sr3 4 ' Sr3 Eg n vl 4 ' 1 Rf ' Sr3 Sf vlhqgr SDr SDr D sduwlu gh Rf / | orv sduäphwurv gh hqwudgd gho prghor/ sxhghq rewhqhuvh h{suhvlrqhv h{soðflwdv sdud odv R? = ; A ? b? Rf ?->r ? R? ' S? Rf ' A = b 4?3r Rf r->r vl ? ' c 2c c r vl ? ' r n c r n 2c c g n r Qxhydphqwh/ odv iöupxodv lpsohphqwdgdv gluhfwdphqwh d sduwlu gh hvwdv h{suh0 vlrqhv vrq px| srfr hflhqwhv | uhvxowd suhihuleoh surfhghu gh irupd dqäorjd d or khfkr sdud ho **r1 Uhxwlol}dqgr orv ydoruhv S? / qhfhvdulrv sdud od lpsohphqwdflöq gho fäofxor hflhqwh gh Rf / orv R? vh rewlhqhq gh pdqhud px| vhqflood= R? ' S? Rf / sdud ? ' c 2c c r 1 Sru rwud sduwh/ vl ? r/ ho wìuplqr R? vh fdofxod uhfxuvlydphqwh frphq}dqgr hq Rr3 txh |d hvwä fdofxodgr= R? ' b?3 R?3 ' 4 R?3 / sdud wrgr ? ' rc r n c c g n r >? Iöupxod txh/ dýq vlhqgr yäolgd sdud wrgr ydoru gh 4/ vh wulyldol}d vl 4 ' / gdqgr frpr uhvxowdgr Rgnr ' Rgnr3 ' ' Rr ' Rr3 sdud 4 ' 1 Odv fxdwur fdqwlgdghv phgldv gh lqwhuìv +u/ u^ / ` | `^ , sxhghq fdofxoduvh d sduwlu gh orv ydoruhv gh odv R? uhflìq hqfrqwudgdv1 Srvleohphqwh ho fäofxor päv vhqfloor hv ho gh u^ / sru ho fxdo frphq}duhprv1 Vl 4 9' / d sduwlu gh od ljxdogdg gn [ ?'f ?%?3 ' Eg n %gn2 Eg n 2 %gn n E% 2 160 Introducción a la Simulación y a la Teoría de Colas Ricardo Cao Abad ghprvwudgd | xwlol}dgd |d sdud ho ***g/ vh wlhqh u^ ' rng [ E? r R? ' ?'rn ' rng [ E? r ?'r b? r-r?3r >? Rf rng g [ [ br br ?3r3 R 4 R 4 E? r 4 ' 43 f f r r->r r-> ?'r 'f g4gn Eg n 4g n br R 4 f r->r E4 2 r b Rf 4 n g4gn Eg n 4g ' r->r E 42 ' Sru rwud sduwh/ vl 4 ' hqwrqfhv rng [ u^ ' E? r R? ' Rr3 ?'rn ' Rr3 rng [ E? r ?'rn br3 g Eg n Rf g Eg n 1 ' 2 Er - 2 >r3 Hq uhvxphq/ od h{suhvlöq h{soðflwd sdud ho qýphur phglr gh folhqwhv hq od frod hv ; r b Rf 4 n g4gn Eg n 4g A A vl 4 9' ? r E 42 r-> u^ ' A br3 g Eg n Rf A = vl 4 ' Er - 2 >r3 r elhq/ sdud xq fäofxor pxfkr päv hflhqwh +vxsxhvwrv uhdol}dgrv orv fäofxorv hflhqwhv frphqwdgrv päv duuled,/ ; n g4gn Eg n 4g 42 A A ? Rr3 vl 4 9' E 42 u^ ' A A = g Eg n Rr3 vl 4 ' 2 Sdud srghu rewhqhu ho uhvwr gh fdqwlgdghv phgldv ghehuhprv xvdu odv iöu0 pxodv gh Olwwoh | fdofxodu/ sulphudphqwh/ b= b' " [ ?'f b? R? ' b gnr3 [ R? ' b E Rgnr / ?'f txh hv od lpsohphqwdflöq d xvdu sdud xq fäofxor hflhqwh1 Xqd iöupxod päv h{soðflwd sdud hvwh ydoru hv br g b'b 4 R f / r->r Modelos con tasas de llegada y servicio de tipo Poisson 161 txh vh vlpsolfd d b ' b br3 Rf vl 4 ' 1 Gh qxhyr/ hq hvwh Er ->r3 prghor yxhoyh d rfxuulu txh 4 qr uhsuhvhqwd od lqwhqvlgdg gh wuäfr hihfwlyd1 Hvh ydoru sxhgh fdofxoduvh phgldqwh br g b br gn '4 4' 4 R 4 Rf 1 ' 4 f r> r->r r->r D sduwlu gh orv ydoruhv gh u^ | b/ fdofxodgrv gh irupd hflhqwh/ sxhghq xvduvh odv iöupxodv gh Olwwoh sdud rewhqhu= `^ ' u^ / b ` ' `^ n / > u ' b` 1 Hq hvwh prghor uhvxowd edvwdqwh frpsolfdgd od glvwulexflöq gho wlhpsr txh xq folhqwh hvwä hq ho vlvwhpd/ dxqtxh qr or hv wdqwr od gho wlhpsr txh xq folhqwh sdvd hq od frod= `^ E| ' e3r>| gnr3 [ ?'r ^? ?3r [ Er>|o o'f o- / vl | f +| `^ E| ' f vl | f,/ grqgh odv ^? wlhqhq ho plvpr vljqlfdgr txh hq ho prghor ***g/ hv ghflu/ suredelolgdg gh txh kd|d ? folhqwhv hq ho vlvwhpd mxvwr fxdqgr xqd oohjdgd vh hvwä surgxflhqgr/ | ylhqhq gdgdv sru ^? ' R? / ? ' fc c c g n r 1 Rgnr Orv frphqwdulrv khfkrv vreuh od irupd gh lpsohphqwdu odv ixqflrqhv ` E| | `^ E| hq xq prghor ***g/ vrq yäolgrv sdud od lpsohphqwdflöq gh `^ E| hq hvwh prghor1 Dvð ho dsduhqwh greoh exfoh +hq ? | hq o,/ hq od h{suhvlöq sdud `^ E|/ sxhgh uhgxfluvh d xq exfoh vlpsoh xwlol}dqgr xqd wìfqlfd wrwdophqwh dqäorjd d od gh hqwrqfhv1 Xq fdvr sduwlfxodu gh hvwh prghor hv ho **r*f/ txh hv xqr gh orv sulphurv prghorv txh hvwxglö Huodqj/ hq orv doeruhv gh od Whruðd gh Frodv/ sdud dqdol}du od suredelolgdg gh ? oðqhdv rfxsdgdv hq xqd fhqwudo whohiöqlfd txh glvsrqh gh r oðqhdv1 Hq ho prghor od fdsdflgdg gh od frod hv g ' f/ sxhv vh vxsrqh txh/ vl xqd oodpdgd oohjd d od fhqwudo fxdqgr wrgdv odv oðqhdv hvwäq rfxsdgdv/ qr shupdqhfh hq hvshud vlqr txh uhfleh od vhôdo gh vdwxudflöq hq od uhg deruwdqgr od srvlelolgdg gh frpxqlfdflöq hq hvh prphqwr1 Frpr fdvr sduwlfxodu gh or ylvwr hq ho prghor **r*g/ vh wlhqh txh od suredelolgdg gh 162 Introducción a la Simulación y a la Teoría de Colas Ricardo Cao Abad ? oðqhdv rfxsdgdv hq od fhqwudo ylhqh gdgd sru b? ?->? / sdud ? ' fc c c r/ R? ' r [ b -> 'f txh hv od idprvd iöupxod gh Huodqj/ txlhq sureö txh wdpelìq hv yäolgd sdud fxdotxlhu glvwulexflöq gho wlhpsr gh vhuylflr/ hqwhqglhqgr hqwrqfhv txh > hv od lqyhuvd gh od phgld gh glfkd glvwulexflöq1 Hmhpsor 7< Frqvlgìuhvh od hvwdflöq gh wudedmr dqdol}dgd hq orv grv ýowlprv hmhpsorv | vxsöqjdvh txh dýq whqlhqgr wuhv surfhvdgruhv/ vöor hv srvleoh pdq0 whqhu xq ýqlfr surfhvr hq frod gh hvshud1 Fdofxodu odv wuhv fdqwlgdghv shglgdv hq ho ýowlpr hmhpsor1 Vroxflöq= Ho prghor sdvd d vhu dkrud xq **r*g frq r ' / g ' / b ' D | > ' 2f1 Hq sulphu oxjdu/ uhvxowd reylr txh E^ : 2 ' f/ |d txh ho oðplwh sdud od frod hv g ' 1 Sru rwud sduwh/ dxqtxh srguðdprv xwlol}du wrgdv odv iöupxodv rewhqlgdv dqwhulruphqwh sdud ho fäofxor gh u | u^ / gdgr txh vöor kd| flqfr hvwdgrv srvleohv hq ho vlvwhpd + ' fc c 2c c e, txl}ä vhd päv uäslgr fdofxoduodv gluhfwdphqwh= b D D ' / Sf ' / S ' Sf ' / S2 ' S 2f e 2 2f 2 b b D D S ' S2 ' | Se ' S ' / 2f 2H 2f D2 vlhqgr S? ' f sdud ? ' Dc Sc Gh hvwd irupd/ D2 ' f e.b1 Rf ' b b b ' fHD ' fHD n e n 2 n 2H n D2 D2 Xwlol}dqgr wrgr or dqwhulru= u ' e [ ?R? ' Rf ES n 2S2 n S n eSe ?'f D2 D D2 2 b b e b n n n ' ' fHD e 2 2H D2 fHD 2 HS ' f .D2 surfhvrv1 ' fHD Dvlplvpr/ u^ ' f ERf n R n R2 n R n Re ' ' f ffH2bD surfhvrv1 b ' fHD Vh revhuyd hqwrqfhv txh ho vlvwhpd hvwä wrgdyðd phqrv fdujdgr txh dqwhv1 Od ud}öq hv txh od olplwdflöq hq ho wdpdôr gh od frod lpslgh xq qýphur hohydgr gh folhqwhv hq ho vlvwhpd +dxqtxh dqwhv glfkr qýphur |d hud px| lpsuredeoh,1 Modelos con tasas de llegada y servicio de tipo Poisson 163 4418 Ho prghor **Q*4*M Hvwxglduhprv dkrud xq prghor hq ho txh od sreodflöq srwhqfldo hv qlwd/ irupd0 gd sru M lqglylgxrv1 Gdgr txh dkrud hv reylr txh od glvwulexflöq gho wlhpsr hqwuh grv oohjdgdv gh folhqwhv frqvhfxwlyrv do vlvwhpd ghshqghuä gh fxäqwrv folhqwhv hvwìq hq ho vlvwhpd/ xqd irupd ud}rqdeoh gh whqhu hvwr hq fxhqwd hv frqvlghudu txh/ sdud fdgd folhqwh txh dfded gh vdolu gho vlvwhpd/ od glvwulexflöq gh suredelolgdg gho wlhpsr txh idowd sdud txh yxhoyd d hqwudu hq ìo hv xqd i T Eb1 Wdo frpr lqglfd od qrphqfodwxud lqwurgxflgd/ vh vxsrqguä xq ýqlfr vhuylgru +txh dwlhqgh orv folhqwhv vhjýq xqd glvflsolqd ILIR, | txh qr kd| oðplwh sdud ho wdpdôr gh od frod1 Hq yluwxg gh od fduhqfld gh phpruld gh od glvwulexflöq h{srqhqfldo | gh od suredelolgdg txh qrv gded od glvwulexflöq gho pðqlpr gh yduldv h{srqhqfldohv lqghshqglhqwhv/ srghprv ud}rqdu fxäo vhuä od glvwulexflöq gho wlhpsr txh idowd sdud txh ho suö{lpr folhqwh hqwuh ho vlvwhpd fxdqgr |d kd| ? folhqwhv ghqwur gh ìo1 Dvð/ vl ' ?/ ho qýphur gh folhqwhv hq od sreodflöq srwhqfldo vhuä M ? | ho wlhpsr kdvwd od suö{lpd hqwudgd hq ho vlvwhpd vhuä ho pðqlpr gh M ? h{srqhqfldohv gh sduäphwur b/ lqghshqglhqwhv hqwuh vð1 Vh wudwd sru wdqwr gh xqd i T EEM ? b1 Gdgr txh orv wlhpsrv gh vhuylflr vrq wdpelìq h{srqhqfldohv/ ho vlvwhpd sxhgh prghol}duvh phgldqwh xq surfhvr gh qdflplhqwr | pxhuwh frq wdvdv gh oohjdgd EM ? b vl ? ' fc c c M b? ' f vl ? ' Mc M n c | wdvdv gh vhuylflr >? ' >/ vl ? ' c 2c Dxqtxh sxhgh hqfrqwuduvh xqd h{suhvlöq h{soðflwd sdud odv S? = ; M? 4? vl ? ' c 2c c M S? ' EM ?= f vl ? ' M n c M n 2c uhvxowd pxfkr päv hflhqwh rewhqhu Rf phgldqwh xq fäofxor uhfxuvlyr Rf ' SM ?'f S? / grqgh Sf ' / S? ' EM ? n 4 S?3 / sdud ? ' c 2c c M Dghpäv/ ho uhvwr gh suredelolgdghv vh fdofxodq d sduwlu gh R? ' S? Rf / sdud ? ' c 2c c M/ |d txh R? ' f vl ? : M1 Reyldphqwh ho prghor hv vlhpsuh hvwdflrqdulr1 164 Introducción a la Simulación y a la Teoría de Colas Ricardo Cao Abad Hq hvwh fdvr qr uhvxowd vhqfloor rewhqhu xqd iöupxod h{soðflwd gh u ö u^ / sxhv od vxpd uhvxowdqwh qr fruuhvsrqgh d xqd vhulh jhrpìwulfd r frqyhuwleoh hq jhrpìwulfd1 Sru hvwh prwlyr/ ghehprv fdofxodu gluhfwdphqwh u' M [ ? R? 1 ?' Dghpäv/ b ' M [ b? R? ' M [ ?'f EM ? b R? ' b ?'f ' b EM u 1 #M [ M R? ?'f M [ $ ? R? ?'f Whqlhqgr hvwr hq fxhqwd vh oohjd d txh u u / ' b EM u b ' ` / > ' b`^ 1 ` ' `^ u^ Dghpäv/ od lqwhqvlgdg gh wuäfr hihfwlyd hv 4' b EM u b ' ' 4 EM u 1 > > Ghqlhqgr odv suredelolgdghv ^? ' E ' ?mA 'f / frpr hq prghorv dqwh0 ulruhv/ vh wlhqh s Efm '? R? b? e3b? f R? ' SM ^? ' E ' ?mA 'f ' SM 3b6 f R 6 6'f s Efm '6 R6 6'f b6 e EM ? b R? EM ? R? ' SM ' SM S M 6'f R6 M 6'f EM 6 b R6 6'f 6 R6 EM ? R? / sdud ? ' fc c c M / plhqwudv txh ' M u ^? ' f sdud ? ' Mc M n c Hvwdv suredelolgdghv dsduhfhq hq odv h{suhvlrqhv sdud ` E| | `^ E|= ` E| ' e3>| `^ E| ' e3>| M3 [ ?'f M3 [ ?' ^? ^? ? [ E>|o o'f ?3 [ o'f o- / vl | f +| ` E| ' f hq rwur fdvr, E>|o / vl | f +| `^ E| ' f vl | f,1 o- Gh qxhyr/ hvwdv iöupxodv vh sxhghq lpsohphqwdu gh pdqhud pxfkr päv h0 flhqwh gh or txh srguðd sduhfhu d sulphud ylvwd/ judfldv d xq ýqlfr exfoh frq fäofxorv uhfxuvlyrv1 Modelos con tasas de llegada y servicio de tipo Poisson 165 4419 Ho prghor **r*4*M Jhqhudol}d ho dqwhulru d xq qýphur hqwhur/ r/ fxdotxlhud gh vhuylgruhv1 Do ljxdo txh hq dtxho/ od sreodflöq srwhqfldo hv qlwd/ frq M hohphqwrv |/ sru wdqwr/ od glvwulexflöq gho wlhpsr hqwuh grv oohjdgdv gh folhqwhv frqvhfxwlyrv do vlvwhpd ghshqghuä gh fxäqwrv folhqwhv hvwìq hq ho vlvwhpd/ vxsrqlhqgr/ gh qxhyr/ txh fdgd folhqwh txh dfded gh vdolu gho vlvwhpd/ yxhoyh d hqwudu hq ìo do fder gh xq wlhpsr dohdwrulr frq glvwulexflöq i T Eb1 Ljxdo txh hq ho prghor dqwhulru od glvflsolqd hv ILIR | od fdsdflgdg gh od frod lolplwdgd1 Hq hvwh prghor vxsrq0 guhprv r M1 Hvwd uhvwulfflöq/ dghpäv gh vhu edvwdqwh uhdolvwd/ qr vxsrqh qlqjxqd sìuglgd gh jhqhudolgdg sxhv xq prghor frq r : M sxhgh uhvroyhuvh kdflhqgr ho qýphur gh vhuylgruhv ljxdo d M1 Gh hvwd irupd/ fdqwlgdghv frpr u/ u^ / ` / `^ / r odv R? / fdofxodgdv d sduwlu gho prghor prglfdgr/ vhuðdq odv plv0 pdv txh sdud ho prghor ruljlqdo1 Wdq vöor dojxqdv fxhvwlrqhv frpr ho qýphur phglr gh vhuylgruhv rfxsdgrv qhfhvlwduðdq dojýq uhdmxvwh srvwhulru sdud whqhu hq fxhqwd ho yhugdghur ydoru gh r : M1 Orv ud}rqdplhqwrv uhdol}dgrv sdud ho prghor ***4*M/ vreuh odv wdvdv gh oohjdgd vrq shuihfwdphqwh yäolgrv dkrud/ rewhqlhqgr/ frpr frqvhfxhqfld/ EM ? b vl ? ' fc c c M b? ' f vl ? ' Mc M n c Sru vx sduwh/ odv wdvdv gh vhuylflr vrq ljxdo txh sdud orv prghorv **r ö **r*g/ ?> vl ? ' c 2c c r >? ' r> vl ? ' rc r n c Xqd h{suhvlöq h{soðflwd sdud odv frqvwdqwhv S? hv ; Mb? A A vl ? ' c 2c c r A A ? EM ?- ?->? r b MS? ' 4?3r vl ? ' rc r n c c M A r A EM ?r-> A A = f vl ? ' M n c M n 2c Frqvhfxhqwhphqwh ho prghor hv hvwdflrqdulr vlhpsuh1 Gh qxhyr/ uhvxowd pxfkr päv hflhqwh xq fäofxor uhfxuvlyr gh odv S? sdud rewhqhu Rf = Rf ' SM ?'f S? / frq b S?3 / vl ? ' c 2c c rc ?> ' EM ? n 4 S?3 / sdud ? ' r n c r n 2c c M1 Sf ' / S? ' EM ? n S? Frpr vlhpsuh odv ghpäv suredelolgdghv vh rewlhqhq frpr R? ' S? Rf / sdud ? ' c 2c c M/ | R? ' f vl ? : M1 166 Introducción a la Simulación y a la Teoría de Colas Ricardo Cao Abad Frpr fdeh hvshudu +sxhv |d rfxuuðd hq ho prghor dqwhulru frq r ' ,/ qr srghprv rewhqhu xqd iöupxod h{soðflwd sdud u ö u^ 1 Dvð/ vh fdofxod gluhfwd0 phqwh u' M [ ? R? / ?' ghprvwudqgr/ ljxdo txh hq ho prghor dqwhulru/ txh b ' bEM u1 Odv iöupxodv gh Olwwoh | od uhodflöq hqwuh wlhpsrv phglrv shuplwhq dkrud rewhqhu ` / `^ | u^ 1 Wdpelìq dkrud od lqwhqvlgdg gh wuäfr hihfwlyd hv 4 ' 4 EM u1 Od h{suhvlöq sdud ` E|/ hq hvwh prghor/ hv px| frpsolfdgd1 Vhjxlgd0 phqwh vh lqfox|h od gh `^ E|/ txh yxhoyh d ghshqghu gh ^? ' E ' ?mA 'f ' EM3?uR? +? ' fc c c M ,/ M3u `^ E| ' e3r>| M3 [ ?'r ^? ?3r [ Er>|o o'f o- / vl | f +| `^ E| ' f vl | f,1 Frpr hq rfdvlrqhv dqwhulruhv/ ho dsduhqwh greoh exfoh txh frqoohyd od lpsoh0 phqwdflöq gh `^ E| hv hylwdeoh | sxhgh surjudpduvh sru phglr gh xq ýqlfr exfoh frq fäofxorv uhfxuvlyrv1 Hmhpsor 83 Vh glvsrqh gh xq vlvwhpd lqirupäwlfr frq 8 hvwdflrqhv txh fdgd flhuwr wlhpsr ghehq uhdol}du xq edfn0xs/ lpslghqgr gxudqwh hvh wlhpsr vx xwl0 ol}dflöq sru sduwh gh orv xvxdulrv gho vlvwhpd1 Ghelgr d odv fdudfwhuðvwlfdv gho vlvwhpd orv edfn0xs qr vh surgxfhq d xqd krud md vlqr fdgd yh} txh vh dofdq0 }d flhuwr oðplwh gh fdsdflgdg1 Vh kd frpsuredgr txh ho wlhpsr txh wudqvfxuuh ghvgh txh xqd gh hvwdv hvwdflrqhv whuplqd xq edfn0xs kdvwd txh or yxhoyh d uhdol}du hv dohdwrulr | frq glvwulexflöq h{srqhqfldo gh phgld gh 5 krudv1 Sru vx sduwh/ od gxudflöq gho surfhvr gh edfn0xs wdpelìq hv dohdwruld | frq glv0 wulexflöq h{srqhqfldo gh phgld 8 plqxwrv1 Dghpäv h{lvwhq grv xqlgdghv gh flqwd frqwud odv txh sxhgh uhdol}duvh ho surfhvr gh edfn0xs/ shupdqhflhqgr od hvwdflöq hq hvshud vl dpedv hvwxylhvhq vlhqgr xwlol}dgdv sru rwudv hvwdflrqhv1 Vh slgh= 41 Fdofxodu od suredelolgdg gh txh xqd hvwdflöq whqjd txh hvshudu sdud lql0 fldu vx edfn0xs1 51 ÁFxäo hv ho qýphur phglr gh hvwdflrqhv glvsrqleohv sdud orv xvxdulrvB 61 Hqfrqwudu ho wlhpsr phglr txh fdgd hvwdflöq hvwä ixhud gh vhuylflr frq prwlyr gh xq edfn0xs1 71 ÁGxudqwh txì srufhqwdmh gh wlhpsr hv xwlol}dgd fdgd xqlgdg gh flqwdB Vroxflöq= Vh wudwd gh xq prghor **r*4*M/ frq r ' 2 +xqlgdghv gh D / h{suhvdqgr ho wlhpsr hq krudv1 flqwd,/ M ' D +hvwdflrqhv,/ b ' 2 | > ' Sf Modelos con tasas de llegada y servicio de tipo Poisson 167 Gh hvwr vh rewlhqh txh b ' frqvwdqwhv S? | ho ydoru Rf = 2 | > ' 21 Hq sulphu oxjdu vh fdofxoduäq odv D 2 D ' / 2 2e e 2 D D ' ' / S 2 2 2e 2 2HH 2 D D ' ' / S2 2 2 2HH eH eSfH 2 2 D D ' ' / S 2 2 eSfH 2e fDb2 D D ' | dvð Se 2 ' 2 2 fDb2 eH DfHeS Sf n S n S2 n S n Se n SD D D D D D n 2e n 2HH n eSfH n fDb2 n DfHeS DfHeS ' fHD SD2Df ' SD2Df DfHeS Sf ' / S ' Sf S2 ' S ' Se ' SD ' Rf ' ' ' Uhvroydprv dsduwdgr sru dsduwdgr= 41 Vh wudwd gh ^2 n ^ n ^e 1 Frpr ^? ' fdofxodu EM3?uR? 1 M3u Sulphudphqwh ghehprv M u ' DRf n eR n R2 n 2R n Re ' Rf EDSf n eS n S2 n 2S n Se D D D D DfHeS n n2 n ' Dne SD2Df 2e 2HH eSfH fDb2 DfHeS SD2D 2Defff ' ' e .bb/ ' SD2Df fDb2 SD2Df frq or fxdo ^2 ' ^ ' ^e ' ED 2 D 2HH ED D eSfH D fDb2 ED DfHeS SD2Df 2Defff SD2Df DfHeS SD2Df 2Defff SD2Df e DfHeS SD2Df 2Defff SD2Df Gh irupd txh ^2 n ^ n ^e ' D2 ' f ffHHeS/ f22D ' ' eH ' SHDb2H2 f3e / f22D ' D2neHn f22D ' . S.bf. f3S 1 f22D ' 2f f22D ' fffb222 1 51 Vh slgh M u/ txh |d ixh fdofxodgr suhyldphqwh= M u ' e .bb hvwdflrqhv1 168 Introducción a la Simulación y a la Teoría de Colas Ricardo Cao Abad 61 Hq sulphu oxjdu/ revìuyhvh txh b ' b EM u ' 2Defff DS2.fff ' ' 2 bbD1 2 SD2Df SD2Df D sduwlu gh hvwh ydoru vh rewlhqh D 2Defff u D e .bb SD2Df ' f fH. krudv ' ' DS2.fff 2 bbD b SD2Df * D plqxwrv | vhjxqgrv1 ` ' 71 Od suredelolgdg gh txh xqd xqlgdg gh flqwd hvwì ghvrfxsdgd hv S R n f ER2 n R n Re n RD ' Rf n 2 2 D DfHeS DHS.S ' f bfffb | dvð ' n 2e ' SD2Df 2 SD2Df ' ffbbbH1 Rghvrfxsdgd ' Rf n Rrfxsdgd Dvð/ vh wlhqh txh ho srufhqwdmh gh wlhpsr hq ho txh fdgd xqlgdg hvwä rfxsdgd hv oljhudphqwh lqihulru do fI +frqfuhwdphqwh ho bbbHI,1 441: Ho prghor **r*4*M frq uhsxhvwrv Hv xqd prglfdflöq gho prghor dqwhulru txh uhvsrqgh d od lghd gh rfxsdu ho hvsdflr ydfðr txh ghmd xq folhqwh hq od sreodflöq srwhqfldo/ do hqwudu hq ho vlvwhpd/ frq xq qxhyr folhqwh xq wdqwr hvshfldo +oodpdgr uhsxhvwr,/ txh hq xq sulqflslr qr vh hqfrqwuded hq hood1 Hvwr vh kduä hq wdqwr h{lvwdq uhsxhvwrv glvsrqleohv1 Ho prghor **r*4*M frq t uhsxhvwrv vxhoh xwlol}duvh hq vlwxdflrqhv grqgh orv folhqwhv hvwäq uhdol}dqgr flhuwr wlsr gh frphwlgr fxdqgr vh kdoodq hq od sreodflöq srwhqfldo | hqwudq hq ho vlvwhpd fxdqgr vh dyhuðdq +uhsuhvhqwdqgr/ sru wdqwr/ ho vlvwhpd ho phfdqlvpr gh uhsdudflöq,1 Hmhpsorv uhdohv gh hvwd vlwxdflöq sxhghq vhu M pätxlqdv gh xqd idfwruðd txh hvwäq ixqflrqdqgr hq xqd fdghqd gh prqwdmh +hq od fxdo qr srghprv lqvwdodu päv gh M pätxlqdv, sdud odv fxdohv whqhprv t pätxlqdv gh uhsxhvwr sru vl vh dyhuðd dojxqd gh hoodv1 ho surslhwdulr gh M olfhqfldv gh pätxlqdv wudjdshuudv/ txh glvsrqh gh xq vwrfn gh rwudv t pätxlqdv päv/ sdud qr ghmdu gh rewhqhu uhfdxgdflöq fxdqgr xqd gh odv M pätxlqdv vh dyhuðd | kd gh sdvdu flhuwr wlhpsr vlhqgr uhsdudgd1 Modelos con tasas de llegada y servicio de tipo Poisson 169 Gh irupd vlplodu d or txh rfxuuðd hq ho prghor dqwhulru/ vxsrqguhprv r t n M/ dxqtxh ho fdvr r : t n M srguðd fxeuluvh/ hq fdvl wrgr/ frq dtxìo hq ho txh vh gd od ljxdogdg1 Plhqwudv h{lvwdq uhsxhvwrv vxflhqwhv/ odv wdvdv gh oohjdgdv gh folhqwhv gh od sreodflöq srwhqfldo vhuäq frqvwdqwhphqwh ljxdohv d M b/ sxhv kdeuä vlhpsuh M folhqwhv ixhud gho vlvwhpd1 D sduwlu gho fdvr ' t n / odv wdvdv ghfuhfhuäq frpr |d or kdfðdq hq ho prghor vlq uhsxhvwrv1 Frpr frqvhfxhqfld gh wrgr hoor/ odv wdvdv gh oohjdgd vrq ; vl ? ' fc c c t ? Mb EM n t ? b vl ? ' tc t n c c t n M b? ' = f vl ? ' t n Mc t n M n c Odv wdvdv gh vhuylflr vrq h{dfwdphqwh ljxdohv txh hq ho prghor vlq uhsxhvwrv= >? ' ?> vl ? ' c 2c c r r> vl ? ' rc r n c Hv lqphgldwr suredu txh ho prghor hv hvwdflrqdulr vlhpsuh +|d txh kd| vöor xq qýphur qlwr gh frqvwdqwhv S? qr qxodv,1 Dghpäv/ sxhghq rewhqhuvh h{suhvlrqhv h{soðflwdv gh odv S? glvwlqjxlhqgr grv fdvrv= vl r t / ; ? ? M b A A A A ?->? ? A A ? A ? M b S? ' r-r?3r >? A A M t M-b? A A A ?3r ? A A = EM n t ?-r-r > f vl ? ' c 2c c r vl ? ' rc r n c c t vl ? ' tc t n c c t n M vl ? ' t n M n c t n M n 2c | vl t r t n M/ ; ? ? M b A A A A A ?->? A A A M t M-b? ? S? ' EM n t ?-?->? A A M t M-b? A A A A A EM n t ?-r-r?3r >? A = f vl ? ' c 2c c t vl ? ' tc t n c c r vl ? ' rc r n c c t n M vl ? ' t n M n c t n M n 2c Frpr hq prghorv dqwhulruhv/ hv pxfkr päv hflhqwh fdofxodu uhfxuvlydphqwh 170 Introducción a la Simulación y a la Teoría de Colas Ricardo Cao Abad hvwdv frqvwdqwhv1 Sdud hoor vh kdfh Sf ' 1 Dghpäv/ Mb S?3 / sdud ? ' c 2c c r/ ?> M 4 S?3 / sdud ? ' r n c r n 2c c t / EM n t ? n 4 S?3 / vl ? ' t n c t n 2c c t n M1 Mb r t n M/ kdfhu S? ' S?3 / sdud ? ' c 2c c t / ?> EM n t ? n b S?3 / sdud ? ' t n c t n 2c c r/ ?> EM n t ? n 4 S?3 / vl ? ' r n c r n 2c c t n M1 Vl r t / kdfhu S? ' S? ' S? ' Vl t S? ' S? ' Frq hvwrv ydoruhv vh fdofxoduðd Rf ' SMnt ?'f S? | ho uhvwr gh suredelolgdghv qr qxodv vh rewhqguðdq d sduwlu gh R? ' S? Rf / sdud ? ' c 2c c S t n M1 Ho ydoru gh u kdeuä gh fdofxoduvh gluhfwdphqwh gh nM ? R? / plhqwudv txh vx ghqlflöq/ u ' t?' b ' t[ nM b ? R? ' ?'f Mb R? n t[ nM ?'f ' Mb # 3 t [ 3 t [ R? n Mb ?'f ' b M t[ nM ?'t t[ nM R? n $ EM n t ? b R? ?'t t[ nM Et ? b R? ?'t E? t R? 1 ?'t Judfldv d odv iöupxodv gh Olwwoh | od uhodflöq hqwuh orv wlhpsrv phglrv gh hvshud hq ho vlvwhpd | hq od frod/ vh rewlhqhq iäflophqwh ` / `^ | u^ 1 Dghpäv/ S nM b od lqwhqvlgdg gh wuäfr hihfwlyd hv 4 ' r> ' 4 M t?'t E? t R? 1 Od h{suhvlöq sdud `^ E| ylhqh gdgd sru `^ E| ' e3r>| M3 [ ?'r vlhqgr ^? ' E ' ?mA 'f ' ^? ?3r [ Er>|o o'f o- / vl | f +| `^ E| ' f vl | f,/ ; M R? A A A t[ nM A A A A E6 t R6 A ? M vl ? ' fc c c t 6't EM n t ? R? A A A A t[ nM A A A A M E6 t R6 = 6't vl ? ' tc c t n M Modelos con tasas de llegada y servicio de tipo Poisson 171 Do ljxdo txh hq prghorv suhfhghqwhv `^ E| sxhgh lpsohphqwduvh gh pdqhud pxfkr päv hflhqwh txh frq ho exfoh dqlgdgr txh vxjlhuh vx h{suhvlöq1 Sru vx sduwh od ixqflöq gh glvwulexflöq gho wlhpsr gh xq folhqwh hq ho vlvwhpd/ ` E|/ hv gh h{suhvlöq pxfkr päv frpsolfdgd | od reylduhprv1 441; Ho prghor **4 Frpr vx qrpeuh lqglfd/ vh wudwd gh xq prghor frq lqqlwrv vhuylgruhv/ glv0 wulexflöq gho wlhpsr hqwuh oohjdgdv i T Eb/ glvwulexflöq gho wlhpsr gho vhuylflr i T E>/ vlq olplwdflöq sdud od frod/ sreodflöq srwhqfldo lqqlwd | glvflsolqd ILIR1 Hq uhdolgdg/ ho khfkr gh txh kd|d lqqlwrv vhuylgruhv lpsolfd txh wdqwr od fdsdflgdg gh od frod frpr od glvflsolqd vrq sduäphwurv luuhohydqwhv1 Xqd gh odv vlwxdflrqhv suäfwlfdv hq od txh sxhgh whqhu vhqwlgr ho frqvlghudu xq qýphur lqqlwr gh vhuylgruhv hv dtxhood hq od txh fdgd folhqwh vh gd vhuylflr d vð plv0 pr1 Sru hvh prwlyr hvwh prghor vh ghqrplqd/ hq rfdvlrqhv/ prghor gh vhuylflr dpsolr r gh dxwrvhuylflr1 Vlq uhdol}du fäofxor dojxqr/ hv lqwxlwlyr txh/ sdud hvwh prghor/ ^ | Z^ vhuäq yduldeohv dohdwruldv txh wrpdq ho ydoru fhur frq suredelolgdg 4/ sxhv qxqfd kdeuä folhqwhv txh hvshuhq hq od frod +wrgrv sdvdq gluhfwdphqwh d vhu vhuylgrv, |/ frpr frqvhfxhqfld/ u^ ' f | `^ ' f1 Sru ho prwlyr dqwhv flwdgr/ g vh wlhqh wdpelìq txh Z ' i T E> |/ hq sduwlfxodu/ ` ' > 1 Sru ýowlpr/ od sulphud iöupxod gh Olwwoh qrv oohyd d txh u ' >b 1 Gh pdqhud xq srfr päv suhflvd/ odv wdvdv gh oohjdgd vrq b? ' b/ sdud wrgr ? ' fc c plhqwudv txh odv wdvdv gh vhuylflr ylhqhq gdgdv sru >? ' ?>/ sdud ? ' c 2c Frpr frqvhfxhqfld vh wlhqh/ S? ' b? / vl ? ' c 2c ?->? Gdgr txh od vhulh " [ ?' S? ' " [ ? ?' b > ?- hv vlhpsuh frqyhujhqwh/ hqwrqfhv ho prghor vlhpsuh dofdq}d xq hvwdgr hvwd0 flrqdulr1 Dghpäv/ Rf ' n S" b 'S ' b ' e3 > / b ? E " > ?' S? e> ?'f ?- 172 Introducción a la Simulación y a la Teoría de Colas Ricardo Cao Abad plhqwudv txh fxdotxlhu rwud suredelolgdg ylhqh gdgd sru ? b e3 > >b / ? ' c 2c R? ' S? Rf ' ?D od ylvwd gh hvwr vh ghgxfh txh od yduldeoh dohdwruld wlhqh glvwulexflöq gh Srlvvrq gh sduäphwur >b 1 Hq sduwlfxodu vx phgld hv u ' >b / wdo | frpr |d kdeðdprv dqwlflsdgr1 Sru ýowlpr/ od lqwhqvlgdg gh wuäfr hv/ hq vhqwlgr hvwulfwr/ fhur/ sxhv od fdsdflgdg gh vhuylflr hv lqqlwdphqwh pd|ru txh od oohjdgd gh folhqwhv do vlvwhpd1 441< Hmhuflflrv sursxhvwrv 41 Ho vlvwhpd gh od frod gh xq vxuwlgru gh jdvrolqd vh dghfýd d xq prghor ** hvwdflrqdulr1 Vh vdeh txh hv grv yhfhv päv suredeoh txh vh kdooh wdq vöor xqd shuvrqd hvshudqgr sdud kdfhu xvr gho vxuwlgru txh txh hvwìq grv hvshudqgr1 Ho qýphur phglr gh folhqwhv txh dfxghq sru krud hv gh 731 Vh slgh= +d, ÁFxäo hv od suredelolgdg gh txh ho vxuwlgru gh jdvrolqd hvwì ydfðrB +e, ÁFxäo hv ho wlhpsr phglr txh xq folhqwh qhfhvlwd sdud oohqdu ho gh0 sövlwr gh vx yhkðfxor ghvgh txh oohjd d od jdvrolqhudB 51 Xqd vxfxuvdo edqfduld glvsrqh gh 6 fdmhurv dxwrpäwlfrv1 Gh yh} hq fxdq0 gr ho sdsho gh dojýq fdmhur vh dwdvfd | ho dsdudwr ghmd gh ixqflrqdu kdvwd txh xqr gh orv hpsohdgrv +hvshfldophqwh dglhvwudgr sdud oohydu d fder hvwd wduhd, frqvljxh duuhjodu od dyhuðd1 Vh vdeh txh ho wlhpsr txh xwl0 ol}d glfkr hpsohdgr vljxh xqd glvwulexflöq h{srqhqfldo frq phgld gh 43 plqxwrv/ plhqwudv txh od glvwulexflöq gho wlhpsr txh xq fdmhur hvwä ixq0 flrqdqgr kdvwd txh vh dwdvfd ho sdsho hv wdpelìq h{srqhqfldo shur frq phgld gh 5 krudv1 Fdofxodu= +d, Od suredelolgdg gh txh ixqflrqhq orv wuhv fdmhurv1 +e, Ho qýphur phglr gh fdmhurv dyhuldgrv1 +f, Ho wlhpsr phglr txh xq fdmhur hvwä dyhuldgr1 +g, Vl hq xq prphqwr gdgr ixqflrqdq orv wuhv fdmhurv/ Áfxäo hv ho wlhpsr phglr kdvwd od suö{lpd dyhuðdB 61 D q gh hylwdu ho hqyðr pdvlyr gh surfhvrv d xqd frod gh hmhfxflöq/ xq fhqwur gh fäofxor hvwdeohfh ho oðplwh pä{lpr gh wuhv surfhvrv hq hvshud gh frphq}du d vhu hmhfxwdgrv +d sduwh gho surfhvr txh vh hqfxhqwuh hq hvh Modelos con tasas de llegada y servicio de tipo Poisson 173 prphqwr dfwlyr, edmr xqd glvflsolqd ILIR1 Orv surfhvrv vh hqyðdq vhjýq xq surfhvr gh Srlvvrq/ d ud}öq gh 7 sru plqxwr1 Ho wlhpsr gh FSX gh xq surfhvr vljxh xqd glvwulexflöq h{srqhqfldo gh phgld 4 plqxwr1 Vh slgh= +d, Od suredelolgdg gh txh xq surfhvr hqyldgr d frod vhd uhfkd}dgr sru hvwdu ìvwd oohqd1 +e, Ho qýphur phglr gh surfhvrv hq hvshud gh frphq}du d hmhfxwduvh1 +f, Ho wlhpsr phglr txh wudqvfxuuh hqwuh od hqwudgd hq frod gh xq sur0 fhvr | ho q gh vx hmhfxflöq1 +g, Ho srufhqwdmh gh wlhpsr hq ho txh od FSX hvwä lqdfwlyd1 71 D xqd fhqwudolwd whohiöqlfd oohjdq oodpdgdv/ vhjýq xq surfhvr gh Srlvvrq/ d ud}öq gh 7 sru plqxwr1 Ho wlhpsr txh hpsohd od ýqlfd whohirqlvwd hq gluhfflrqdu fdgd oodpdgd vljxh xqd glvwulexflöq h{srqhqfldo frq phgld gh 43 vhjxqgrv1 Vxsrqlhqgr txh odv oodpdgdv uhflelgdv plhqwudv od rsh0 udgrud hvwä rfxsdgd vh pdqwlhqhq hq hvshud sdud vhu dwhqglgdv vhjýq vx rughq gh oohjdgd/ fdofxodu= +d, Ho qýphur phglr gh oodpdgdv hq hvshud +vlq whqhu hq fxhqwd odv txh vh hvwäq dwhqglhqgr,1 +e, Od suredelolgdg gh txh xqd oodpdgd whqjd txh hvshudu päv gh xq plqxwr kdvwd txh vhd gluhfflrqdgd1 +f, Dvxplhqgr dkrud txh qr hv srvleoh pdqwhqhu oodpdgdv hq hvshud fxdqgr od whohirqlvwd hvwä rfxsdgd/ fdofxodu od suredelolgdg gh txh xqd oodpdgd uhdol}dgd rewhqjd od vhôdo gh frpxqlfdqgr1 81 Rewhqhu xqd iöupxod/ or päv vlpsoh srvleoh/ sdud ho fäofxor gh od sured0 elolgdg gh txh kd|d päv r ljxdo txh & folhqwhv hq xq prghor **1 91 Xqd hvwdflöq gh wudedmr frq grv surfhvdgruhv/ fdgd xqr gh orv fxdohv hv fdsd} gh dwhqghu 93 surfhvrv sru krud/ gd vhuylflr gh irupd txh xq plvpr surfhvr vöor hv dwhqglgr sru xq ýqlfr vhuylgru | vhjýq xq uljxurvr rughq gh oohjdgd1 Ho wlhpsr gh vhuylflr gh xq surfhvr vljxh xq glvwulexflöq h{srqhqfldo | dghpäv/ orv surfhvrv oohjdq vhjýq xq surfhvr gh Srlvvrq/ d ud}öq gh 433 fdgd krud1 Vh slgh= +d, Od suredelolgdg gh txh hvwìq päv gh wuhv surfhvrv hq od hvwdflöq1 +e, Od suredelolgdg gh txh kd|d dojýq surfhvdgru oleuh1 +f, Ho qýphur phglr gh surfhvdgruhv rfxsdgrv1 :1 Xq oderudwrulr gh lqirupäwlfd frqvwd gh 8 hvwdflrqhv gh wudedmr1 Fdgd hvwdflöq vh dyhuðd/ sru wìuplqr phglr/ xqd yh} fdgd 63 gðdv/ vlhqgr ho wlhpsr kdvwd od suö{lpd dyhuðd/ gh glvwulexflöq h{srqhqfldo1 Ho oder0 udwrulr glvsrqh gh grv shuvrqdv txh/ hq fdvr gh vhu qhfhvdulr/ sxhghq 174 Introducción a la Simulación y a la Teoría de Colas Ricardo Cao Abad duuhjodu hvwdv dyhuðdv1 Ho wlhpsr gh uhsdudflöq +sdud fdgd xqr gh orv wìfqlfrv, hv h{srqhqfldo/ frq phgld gh 6 gðdv1 Fdofxodu= +d, Ho qýphur phglr gh hvwdflrqhv ixqflrqdqgr1 +e, Ho srufhqwdmh gh wlhpsr txh fdgd xqr gh orv wìfqlfrv sxhgh ghglfdu d rwudv wduhdv dmhqdv d od uhsdudflöq gh odv hvwdflrqhv1 ;1 D xqd FSX oohjdq surfhvrv/ d ud}öq gh 8 sru plqxwr/ txh vrq dwhqglgrv vreuh od edvh gh txh ho sulphur txh oohjd hv ho sulphur hq vhu hmhfxwdgr hq vx wrwdolgdg1 Ho wlhpsr hqwuh od oohjdgd gh grv surfhvrv frqvhfxwlyrv hv gh glvwulexflöq h{srqhqfldo | ho wlhpsr gh hmhfxflöq gh orv surfhvrv wdpelìq hv h{srqhqfldo/ whqlhqgr frpr phgld 8 vhjxqgrv1 +d, ÁHv ho vlvwhpd hvwdflrqdulrB ÁSru txìB +e, ÁFxäqwr wlhpsr wudqvfxuuh/ sru wìuplqr phglr/ ghvgh txh oohjd xq surfhvr d od FSX kdvwd txh whuplqd gh hmhfxwduvhB ÁTxì uhodflöq jxdugd frq ho wlhpsr phglr gh hmhfxflöqB +f, Fdofxodu od suredelolgdg gh txh xq surfhvr txh oohjd sxhgd vhu hmh0 fxwdgr vlq hvshud suhyld | ho qýphur phglr gh surfhvrv hq hvshud gh hmhfxflöq r hq hmhfxflöq sursldphqwh glfkd1 <1 D xqd pätxlqd shuirudgrud gh xqd fdghqd gh surgxfflöq oohjdq phfdqlv0 prv gh lqwhuuxswruhv glihuhqfldohv vhjýq xq surfhvr gh Srlvvrq/ frq phgld gh 43 sru plqxwr1 Ho wlhpsr/ hq plqxwrv/ qhfhvdulr sdud oohydu d fder od shuirudflöq gho phfdqlvpr hv gh glvwulexflöq h{srqhqfldo frq sduäphwur 451 Fxdqgr xq qxhyr phfdqlvpr oohjd d od pätxlqd shuirudgrud | ìv0 wd hvwä rfxsdgd/ djxdugd/ vhjýq ho wxuqr txh oh fruuhvsrqgd/ kdvwd txh sxhgd vhu shuirudgr1 D wdo hihfwr/ vh vxsrqh txh od }rqd gh hvshud hq od txh vh ydq dopdfhqdqgr orv phfdqlvprv dqwhv gh vhu shuirudgrv hv or vx0 flhqwhphqwh dpsold sdud txh qr h{lvwdq djorphudflrqhv txh vreuhsdvhq hvwdv glphqvlrqhv1 +d, ÁFxäo hv ho srufhqwdmh gh wlhpsr gxudqwh ho fxdo od shuirudgrud hvwä oleuhB +e, ÁFxäo hv ho qýphur phglr gh phfdqlvprv hq wrgd od }rqd gh shu0 irudflöq +shuirudgrud | }rqd gh hvshud,B +f, Fdofxodu ho wlhpsr phglr txh xq phfdqlvpr sdvd hq wrgr ho surfhvr gh shuirudflöq +ghvgh txh oohjd d hvd }rqd kdvwd txh vdoh shuirudgr, | od suredelolgdg gh txh sdud xq phfdqlvpr vh hpsohh päv gh xq plqxwr hq wrgr hvh surfhvr1 +g, Vl dkrud vh vxsrqh txh od }rqd gh hvshud wlhqh vöor fdsdflgdg sdud 6 phfdqlvprv | txh fxdqgr xq phfdqlvpr txh oohjd | vh hqfxhqwud glfkd }rqd frpsohwd/ vh ghvyðd d rwud udpd gh od fdghqd gh surgxf0 flöq/ fdofxodu od suredelolgdg gh txh vh surgx}fd glfkr ghvyðr1 Modelos con tasas de llegada y servicio de tipo Poisson 175 +h, Edmr ho vxsxhvwr gho dsduwdgr dqwhulru/ Áfxäo hv dkrud ho wlhpsr phglr ghvgh od oohjdgd gh xq phfdqlvpr kdvwd vx shuirudflöqB 431 Xq fhqwur gh fäofxor glvsrqh gh 7 hvwdflrqhv gh wudedmr1 Gh yh} hq fxdqgr dojxqd gh odv hvwdflrqhv txhgd ixhud gh vhuylflr | xqr gh orv grv dqdoðvwdv gho flwdgr fhqwur kd gh vxevdqdu ho sureohpd srqlhqgr gh qxhyr hq ixq0 flrqdplhqwr glfkd hvwdflöq1 Vh vdeh txh ho wlhpsr txh wdugd fxdotxlhud gh orv dqdolvwdv hq ohydqwdu ho vlvwhpd gho vhuylgru vljxh xqd glvwulex0 flöq h{srqhqfldo frq phgld gh 43 plqxwrv/ plhqwudv txh od glvwulexflöq gho wlhpsr txh xq vhuylgru hvwä ixqflrqdqgr/ kdvwd txh txhgd ixhud gh vhuylflr/ hv wdpelìq h{srqhqfldo shur frq phgld gh 5 krudv1 Fdofxodu= +d, Od suredelolgdg gh txh ixqflrqhq odv fxdwur hvwdflrqhv1 +e, Ho qýphur phglr gh hvwdflrqhv dyhuldgdv1 +f, Ho wlhpsr phglr txh xqd hvwdflöq hvwä dyhuldgd1 +g, Vl hq xq prphqwr gdgr ixqflrqdq odv fxdwur hvwdflrqhv/ Áfxäo hv ho wlhpsr phglr kdvwd od suö{lpd dyhuðdB +h, Fdofxodu ho srufhqwdmh gh wlhpsr txh fdgd dqdolvwd ghglfd d vxevdqdu dyhuðdv1 441 Xq vlvwhpd lqirupäwlfr gh xqd eleolrwhfd glvsrqh gh 6 ohfwruhv gh FG txh ixqflrqdq lqlqwhuuxpslgdphqwh1 Qr revwdqwh/ gh yh} hq fxdqgr vh surgxfh dojýq huuru gh ohfwxud hq dojxqr gh hoorv | ghmd gh ixqflrqdu kdv0 wd txh xqr gh orv hqfdujdgrv gh od eleolrwhfd +txh hv txlhq vlhpsuh oohyd d fder hvwd wduhd, frqvljxh duuhjodu od dyhuðd1 Vh vdeh txh ho wlhpsr txh hvwd shuvrqd xwlol}d hq glfkd uhsdudflöq vljxh xqd glvwulexflöq h{srqhq0 fldo frq phgld gh 8 plqxwrv/ plhqwudv txh od glvwulexflöq gho wlhpsr txh xq ohfwru hvwä ixqflrqdqgr kdvwd txh vh surgxfh dojýq huuru gh ohfwxud hv wdpelìq h{srqhqfldo shur frq phgld gh 4 krud1 Fdofxodu= +d, Od suredelolgdg gh txh ixqflrqhq orv wuhv ohfwruhv1 +e, Ho qýphur phglr gh ohfwruhv dyhuldgrv1 +f, Ho wlhpsr phglr txh xq ohfwru hvwä dyhuldgr1 +g, Vl hq xq prphqwr gdgr ixqflrqdq grv ohfwruhv/ Áfxäo hv ho wlhpsr phglr kdvwd od suö{lpd dyhuðdB 451 Flqfr hvwdflrqhv gh wudedmr PRRQ vh hqfxhqwudq ixqflrqdqgr hq xq fhqwur gh fäofxor1 Sru sureohpdv frq ho vlvwhpd rshudwlyr Oxqdulv 615/ odv pätxlqdv sxhghq txhgdu ixhud gh vhuylflr whpsrudophqwh kdvwd txh ho wìfqlfr hqfdujdgr yxhoyh d kdfhuodv ixqflrqdu1 Ho wlhpsr txh wdugd xqd hvwdflöq gh wudedmr hq dyhulduvh vljxh xqd glvwulexflöq h{srqhqfldo frq phgld gh 43 gðdv1 Ho wlhpsr gh uhsdudflöq hv wdpelìq h{srqhqfldo | frq phgld gh flqfr krudv1 Odv pätxlqdv dyhuldgdv vrq dwhqglgdv vhjýq xqd glvflsolqd ILIR1 Fdofxodu= 176 Introducción a la Simulación y a la Teoría de Colas Ricardo Cao Abad +d, Od suredelolgdg gh txh dojxqd hvwdflöq hvwì dyhuldgd1 +e, Ho qýphur phglr gh hvwdflrqhv ixqflrqdqgr1 +f, Fxdqgr xqd pätxlqd vh dyhuðd/ Áfxäqwdv krudv sdvdq/ sru wìuplqr phglr/ kdvwd txh yxhoyh d ixqflrqduB +g, Vl wrgdv odv hvwdflrqhv hvwäq ixqflrqdqgr/ Áfxäo hv od suredelolgdg gh txh hq ho wudqvfxuvr gh odv suö{lpdv 73 krudv vh dyhuðh dojxqdB 461 Xq frpsxwdgru gh surfhvdplhqwr hq sdudohor glvsrqh gh vhlv xqlgdghv gh surfhvdplhqwr lgìqwlfdv1 Ho wlhpsr txh xqd gh hvwdv xqlgdghv shupdqhfh hq ixqflrqdplhqwr kdvwd txh vh dyhuðd vljxh xqd glvwulexflöq h{srqhqfldo gh phgld 45 gðdv1 Odv xqlgdghv dyhuldgdv vrq uhsdudgdv +sru rughq gh dyhuðd, sru xq wìfqlfr/ do fxdo oh oohyd xq wlhpsr h{srqhqfldo gh phgld phglr gðd uhdol}du vx wduhd sdud fdgd xqlgdg1 Vh slgh= +d, od suredelolgdg gh txh ho wìfqlfr hvwì ghvrfxsdgr1 +e, ho qýphur phglr gh xqlgdghv gh surfhvdplhqwr hq ixqflrqdplhqwr1 471 Sru ud}rqhv wìfqlfdv/ xqd fhqwudolwd frq grv rshudgrudv vöor shuplwh pdq0 whqhu wuhv oodpdgdv hq hvshud +gh wdo irupd txh fxdotxlhu oodpdgd sur0 gxflgd fxdqgr |d kd| grv vlhqgr dwhqglgdv sru odv rshudgrudv | rwudv wuhv hq hvshud/ uhfleh ho wrqr gh oðqhd rfxsdgd,1 Odv oodpdgdv oohjdq vhjýq xq surfhvr gh Srlvvrq/ d ud}öq gh 9 sru plqxwr/ vlhqgr 48 vhjxqgrv od phgld gho wlhpsr txh wdugd fdgd rshudgrud hq gluhfflrqdu xqd oodpdgd | glfkr wlhpsr gh glvwulexflöq h{srqhqfldo1 Fdofxodu= +d, Ho srufhqwdmh gh wlhpsr hq txh fdgd rshudgrud hvwä rfxsdgd1 +e, Ho qýphur phglr gh oodpdgdv hq hvshud1 +f, Od suredelolgdg gh txh xqd oodpdgd rewhqjd od vhôdo gh oðqhd rfx0 sdgd1 +g, Fdofxodu odv wuhv fdqwlgdghv dqwhulruhv edmr ho vxsxhvwr gh txh vöor kxelhvh xqd rshudgrud1 481 Xqd idfwruðd glvsrqh gh fxdwur htxlsrv gh jhqhudflöq gh fruulhqwh hoìfwul0 fd txh vxplqlvwudq judq sduwh gh od hqhujðd txh qhfhvlwd glfkd hpsuhvd1 Od glvwulexflöq gho wlhpsr txh wudqvfxuuh ghvgh txh xq jhqhudgru frplhq0 }d d ixqflrqdu kdvwd txh vh dyhuðd hv h{srqhqfldo/ frq phgld gh 73 gðdv1 Ho wlhpsr gh uhsdudflöq gh xq jhqhudgru hv xqd yduldeoh dohdwruld gh glvwulexflöq h{srqhqfldo | phgld 43 gðdv1 Vdelhqgr txh h{lvwh xq ýqlfr wìfqlfr fdsd} gh uhsdudu orv jhqhudgruhv/ vh slgh= +d, Od suredelolgdg gh txh ho wìfqlfr hvwì rfxsdgr1 +e, Ho srufhqwdmh phglr gh wlhpsr hq ho txh wrgrv orv htxlsrv gh jhqh0 udflöq hvwäq dyhuldgrv1 Modelos con tasas de llegada y servicio de tipo Poisson 177 +f, Ho qýphur phglr gh dyhuðdv gh htxlsrv hq xq phv1 +g, Ho wlhpsr phglr txh wudqvfxuuh ghvgh od dyhuðd gh xq htxlsr kdvwd vx uhsdudflöq1 +h, Ho qýphur phglr gh htxlsrv ixqflrqdqgr1 491 Gdu xqd iöupxod/ or päv vhqflood srvleoh/ sdud ho fäofxor gh od suredelol0 gdg gh txh flhuwr vhuylgru hvwì rfxsdgr hq xq prghor gh frodv **r1 Ghprvwudu od ydolgh} gh glfkd h{suhvlöq1 4:1 Xqd hvwdflöq gh wudedmr frq fxdwur surfhvdgruhv uhfleh surfhvrv txh vrq hmhfxwdgrv hq xqr gh orv surfhvdgruhv vhjýq xqd glvflsolqd ILIR1 Od oohjdgd gh surfhvrv rehghfh xq surfhvr hvwrfävwlfr gh Srlvvrq frq lq0 whqvlgdg gh 8 surfhvrv sru plqxwr1 Ho wlhpsr gh FSX gh xq surfhvr +wlhpsr gxudqwh ho fxdo hvwä surfhväqgrvh/ ghvfrqwdqgr ho wlhpsr gh hv0 shud suhyld, hohjlgr do d}du vljxh xqd glvwulexflöq h{srqhqfldo frq phgld gh 63 vhjxqgrv1 Vh suhjxqwd= +d, ÁHv ho surfhvr hvwdflrqdulrB ÁSru txìB +e, ÁFxäo hv ho qýphur phglr gh surfhvrv wrwdohv hq od hvwdflöqB +f, ÁFxäqwr wlhpsr wudqvfxuuh ghvgh txh vh hqyðd xq surfhvr kdvwd txh vx hmhfxflöq whuplqd +wlhpsr phglr uhdo,B H{suhvduor frpr frflhqwh hqwuh ho wlhpsr phglr gh FSX1 +g, Fdofxodu ho qýphur phglr gh surfhvdgruhv rfxsdgrv1 +h, ÁFxäo hv od suredelolgdg gh txh/ do hqyldu xq surfhvr/ ìvwh frplhqfh d vhu hmhfxwdgr vlq ghprudB 4;1 D xq fdmhur dxwrpäwlfr +frq xq ýqlfr whuplqdo, oohjdq xvxdulrv vhjýq xq surfhvr gh Srlvvrq d ud}öq gh 48 sru plqxwr1 Ho wlhpsr gh xvr gho fdmhur/ sru sduwh gh fdgd lqglylgxr/ hv xqd fdqwlgdg dohdwruld frq glvwulexflöq h{srqhqfldo | phgld gh 6 plqxwrv1 Vh slgh= +d, ÁHv ho vlvwhpd hvwdflrqdulrB ÁSru txìB +e, ÁFxäo hv ho qýphur phglr gh xvxdulrv kdflhqgr frod ixhud gho fdmhurB +f, ÁFxäqwr wlhpsr wudqvfxuuh/ sru wìuplqr phglr/ ghvgh txh xq xvxdulr vh dfhufd do fdmhur kdvwd txh whuplqd vx wudqvdfflöq hq ho plvprB H{suhvduor hq uhodflöq frq ho wlhpsr phglr gh xvr gho fdmhur sru fdgd folhqwh1 +g, Fdofxodu od suredelolgdg gh txh ho fdmhur hvwì ghvrfxsdgr1 +h, ÁFxäqwr wlhpsr sdvduä/ sru wìuplqr phglr/ ghvgh txh xq folhqwh oohjd do fdmhur kdvwd txh whuplqd gh xwlol}duor/ vdelhqgr txh hq ho prphqwr gh vx oohjdgd kd| xqd shuvrqd kdflhqgr xvr gho fdmhur | grv päv hvshudqgr ixhudB 178 Introducción a la Simulación y a la Teoría de Colas Ricardo Cao Abad 4<1 Od ýqlfd oðqhd whohiöqlfd gh dwhqflöq do folhqwh gh xqd shtxhôd hqwlgdg uhfleh oodpdgdv/ vhjýq xq surfhvr gh Srlvvrq/ d ud}öq gh 8 sru krud +hq frqglflrqhv qrupdohv gh wudedmr,1 Od gxudflöq gh odv oodpdgdv hv gh glvwulexflöq h{srqhqfldo frq xqd phgld gh 5 plqxwrv1 Fxdqgr vh surgxfh xqd oodpdgd hq ho prphqwr hq txh ho rshudgru hvwä dwhqglhqgr rwud/ hvwd qxhyd oodpdgd shupdqhfh hq hvshud sdud vhu dwhqglgd/ vdoyr txh |d h{lvwd rwud oodpdgd hq hvshud/ hq fx|r fdvr rewlhqh ho wrqr gh oðqhd rfxsdgd1 Fdofxodu= +d, Od suredelolgdg gh txh xqd oodpdgd vhd dwhqglgd vlq ghprud1 +e, Od suredelolgdg gh txh xqd oodpdgd qhfhvlwh hvwdu hq hvshud1 +f, Od suredelolgdg gh txh xqd oodpdgd vh slhugd sru hvwdu od oðqhd rfxsdgd1 +g, ÁFxäqwr ydoguðd od suredelolgdg shglgd hq ho dsduwdgr dqwhulru vl vxsrqhprv txh hvwdprv hq xq shuðrgr sxqwd fruuhvsrqglhqwh d 8 oodpdgdv sru plqxwrB 531 Sdud ho vlvwhpd gh xqd frod frq oohjdgdv | vhuylflrv h{srqhqfldohv shur vlq uhsxhvwrv +prghorv **r/ **r*g/ **r*4*M vlq uhsxhvwrv | **4, hqfrqwudu xqd h{suhvlöq txh shuplwd kdoodu ho qýphur phglr gh vhuylgruhv rfxsdgrv hq wìuplqrv gh u | u^ 1 Hq ho fdvr frqfuhwr gh xq prghor **r*g/ h{suhvdu glfkd fdqwlgdg hq ixqflöq gho qýphur gh vhuylgruhv | od lqwhqvlgdg gh wuäfr hihfwlyd1 Sru ýowlpr/ d sduwlu gh od h{suhvlöq hqfrqwudgd/ mxvwlfdu txh od suredelolgdg gh eortxhr/ RM*L^iL / gh xq vlvwhpd **r sxhgh dfrwduvh lqihulruphqwh phgldqwh RM*L^iL : 4 1 12 Redes de colas Redes de colas 181 451 0 Vh hvwxglduäq dtxð orv prghorv eävlfrv gh uhghv gh frodv delhuwdv | fhuudgdv frq glvwulexflöq gho wlhpsr gh vhuylflr | glvwulexflöq gho wlhpsr hqwuh oohjdgdv +vl hv ho fdvr, h{srqhqfldo1 Dghpäv vh lpsrqguä od uhvwulfflöq gh txh orv folhqwhv txh vdohq vhuylgrv gh xqd gh odv frodv txh frpsrqh od uhg vh pxhyhq/ lqvwdq0 wäqhdphqwh | frq flhuwdv suredelolgdghv suhmdgdv/ d fxdotxlhu rwud srvleoh frod gh od uhg1 Hvwrv prghorv gdq oxjdu d odv oodpdgdv uhghv gh Mdfnvrq +delhuwdv | fhuudgdv,1 Wdpelìq vh hvwxglduäq hq ho fdsðwxor rwurv prghorv sduwlfxoduhv gh uhghv gh frodv frpr odv frodv hq vhulh +vlq | frq eortxhr, | odv uhghv flufxoduhv gh frodv1 4514 Lqwurgxfflöq d odv uhghv gh frodv Xqd uhg gh frodv qr hv päv txh xqd uhg hq od txh fdgd qrgr hvwä frqvwlwxlgr sru ho vlvwhpd gh xqd frod1 Vh wudwd/ sru wdqwr/ gh xq judir rulhqwdgr hq ho txh vh sxhghq surgxflu wudqvlflrqhv gh folhqwhv txh vdohq vhuylgrv gh xq qrgr +txh hv xqd frod, kdfld rwur qrgr1 Od irupd päv kdelwxdo +dxqtxh qr od ýqlfd, sdud prghol}du ho prgr hq txh orv folhqwhv vhuylgrv hq xq qrgr vh gluljhq d rwur hv frqvlghudqgr txh or kdfhq gh dfxhugr d xqd glvwulexflöq gh suredelolgdg glvfuhwd1 Do ljxdo txh hq orv prghorv gh xqd ýqlfd frod/ hq odv uhghv gh frodv wdpelìq sxhghq surgxfluvh oohjdgdv gh folhqwhv ghvgh ixhud gho vlvwhpd +ghvgh ixhud gh od uhg/ hq hvwh fdvr, | vdolgdv gh folhqwhv vhuylgrv kdfld ixhud gh od uhg1 D glihuhqfld gh dtxìo fdvr/ hq odv uhghv gh frodv vð wlhqh vhqwlgr ho sodqwhdu vlwxdflrqhv hq odv txh qr kd| oohjdgdv gh folhqwhv ghvgh ixhud gh od uhg ql vdolgdv kdfld ixhud gh od uhg1 Hvwr gd oxjdu d odv oodpdgdv uhghv fhuudgdv/ txh wlhqhq od shfxoldulgdg gh txh ho qýphur wrwdo gh folhqwhv hq od uhg hv mr | or ýqlfr txh ghvfrqrfhprv hv göqgh vh hqfxhqwudq +hq txì qrgrv frqfuhwrv, | hq txì hvwdgr gh vhuylflr vh kdoodq1 Sru vx sduwh/ odv uhghv delhuwdv vrq dtxhoodv hq txh vð vh surgxfhq oohjdgdv gh folhqwhv | vdolgdv kdfld ixhud gh od uhg1 Frpr vh frphqwded frq dqwhulrulgdg/ ghqrwdqgr sru c 2c c g/ orv qrgrv txh irupdq od uhg +hv ghflu odv hwltxhwdv frq odv txh ghqrwdprv fdgd frod, od pdqhud päv iuhfxhqwh gh prghol}du odv wudqvlflrqhv gh folhqwhv frqvlvwh hq vxsrqhu txh fxdqgr xq folhqwh vdoh vhuylgr gh od frod gho qrgr +vlhqgr 5 ic 2c c gj, vh ghvsod}d lqvwdqwäqhdphqwh do vlvwhpd gh od frod gh fxdotxlhu rwur qrgr 5 ic 2c c gj/ frq suredelolgdg R 1 Hylghqwhphqwh/ hq odv frodv delhuwdv wdpelìq hv srvleoh txh ghvgh dojxqrv qrgrv vh sxhgd dedqgrqdu od uhg1 Ghqrwdqgr frq ho ðqglfh f ho h{whulru gh od uhg/ od suredelolgdg gh txh xq 182 Introducción a la Simulación y a la Teoría de Colas Ricardo Cao Abad folhqwh dedqgrqh od uhg fxdqgr vdoh vhuylgr gho qrgr vh ghqrwduä sru Rf | sxhgh fdofxoduvh d sduwlu gh odv dqwhulruhv phgldqwh Rf ' g [ R ' Hvwh wlsr gh hvtxhpd gh wudqvlflöq gh folhqwhv vh ghqrwduä sru hvtxhpd gh wudqvlflrqhv lqvwdqwäqhdv dohdwruldv gh folhqwhv1 Hq xqd vlwxdflöq frpr od dqwhulru/ odv suredelolgdghv gh wudqvlflöq gh folhqwhv gh xqrv qrgrv d rwurv vh sxhghq h{suhvdu gh irupd pdwulfldo= 4 3 R R2 R Rg E R2 R22 R2 R2g F E 1 11 11 11 F 111 111 F E 1 1 1 1 F E 1 'E F E R R2 R Rg F E 1 11 F 11 11 111 111 C 11 1 D 1 1 Rg Rg2 Rg Rgg Hvwd hv od oodpdgd pdwul} gh wudqvlflöq gh od uhg1 Qrupdophqwh ghqrwduhprv sru b od wdvd gh hqwudgd ghvgh ixhud gho vlv0 whpd d od frod gho qrgr 5 ic 2c c gj1 Dvlplvpr > ghqrwduä od wdvd gh vhuylflr gh fdgd xqr gh orv vhuylgruhv gho vxevlvwhpd gho qrgr 1 Gh hvwd irupd/ edmr od klsöwhvlv gh txh orv wlhpsrv hqwuh oohjdgdv ghvgh ixhud gho vlv0 whpd vhdq gh glvwulexflöq h{srqhqfldo gh sduäphwur bA | ghqrwdqgr sru Rf od suredelolgdg gh txh fxdqgr xq folhqwh hqwud do vlvwhpd or kdjd d wudyìv gho qrgr / vh wlhqh txh od glvwulexflöq gho wlhpsr hqwuh grv hqwudgdv frqvhfxwlydv gh folhqwhv do vxevlvwhpd gho qrgr hv wdpelìq h{srqhqfldo | frq sduäphwur b ' bA Rf 1 Reyldphqwh orv ydoruhv b wdpelìq sxhghq lqwhusuhwduvh frpr ho qýphur phglr gh folhqwhv txh hqwudq do vlvwhpd/ sru ho qrgr / sru xqlgdg gh wlhpsr1 Ho qýphur hihfwlyr gh oohjdgdv gh folhqwhv do vxevlvwhpd gho qrgr +vhdq surfhghqwhv gh ixhud gho vlvwhpd r gh rwur qrgr gho plvpr, vh ghqrwduä frq od ohwud odpegd pd|ývfxod \ 1 Sdud hylwdu od frqixvlöq hqwuh odv fdqwlgdghv flwdgdv hq hvwh säuudir | od wdvdv gh oohjdgdv | vhuylflrv hq ixqflöq gho qýphur gh folhqwhv txh kd| hq ho vlvwhpd +wudglflrqdophqwh ghqrwdgdv sru b? | >? ,/ E? E? sdvduhprv d ghqrwdu hvwdv ýowlpdv sru \ | > / txhulhqgr h{suhvdu ìvwdv odv wdvdv gh oohjdgdv | vhuylflrv do vxevlvwhpd gho qrgr / fxdqgr kd| ? folhqwhv hq glfkr vxevlvwhpd1 4515 Uhghv gh Mdfnvrq delhuwdv Xqd uhg gh Mdfnvrq delhuwd qr hv päv txh xqd uhg gh frodv delhuwd +hv ghflu/ hq od txh kd| oohjdgdv gh folhqwhv ghvgh ixhud gh od uhg | vdolgdv gh folhqwhv d ixhud gh od uhg, txh yhulfd odv wuhv surslhgdghv vljxlhqwhv= Redes de colas 183 41 Fdgd qrgr ' c 2c c g wlhqh xq phfdqlvpr gh vhuylflr frqvlvwhqwh hq r vhuylgruhv frq wlhpsr gh vhuylflr gh lgìqwlfd glvwulexflöq/ h{srqhqfldo gh sduäphwur > 1 51 Orv folhqwhv txh oohjdq do qrgr ghvgh ixhud gho vlvwhpd or kdfhq vhjýq xq surfhvr gh Srlvvrq gh lqwhqvlgdg b 1 Hvwr htxlydoh d ghflu txh orv wlhpsrv hqwuh grv oohjdgdv gh folhqwhv frqvhfxwlyrv ghvgh ixhud gho vlvwhpd do qrgr / vljxhq xqd glvwulexflöq h{srqhqfldo gh glfkr sduäphwur1 61 Ho xmr gh folhqwhv vljxh ho hvtxhpd gh wudqvlflrqhv lqvwdqwäqhdv dohdwr0 uldv1 Hv ghflu/ fdgd folhqwh txh vdoh vhuylgr gho phfdqlvpr gh vhuylflr gho qrgr yd lqvwdqwäqhdphqwh d fxdotxlhu rwur qrgr frq suredel0 olgdg R / r elhq vlqö vdoh gho vlvwhpd +or fxdo rfxuuh frq suredelolgdg S Rf ' g ' R ,1 Od irupd gh srghu hqfrqwudu odv glvwlqwdv fdqwlgdghv gh lqwhuìv hq xqd uhg gh Mdfnvrq delhuwd ylhqh gdgd sru ho Whruhpd gh Mdfnvrq txh sdvdprv d hqxqfldu1 Whruhpd 84 +Whruhpd gh Mdfnvrq, Frqvlghuhprv xqd uhg gh Mdfnvrq delhu0 wd frq g qrgrv1 Hqwrqfhv/ odv wdvdv gh oohjdgd d fdgd qrgr gh od uhg +\ , yhulfdq= \ ' b n g [ \ R / sdud ' c 2c g1 ' Dghpäv/ ghqrwdqgr sru R E? c ?2 c c ?g od suredelolgdg gh txh kd|d h{dfwd0 phqwh ? folhqwhv hq ho qrgr / ?2 folhqwhv hq ho qrgr 2/ / ?g folhqwhv hq ho qrgr g/ | vl \ r > / sdud ' c 2c c g/ hqwrqfhv vh wlhqh= R E? c ?2 c c ?g ' R E? R2 E?2 Rg E?g / vlhqgr R E? od suredelolgdg gh txh kd|d ? folhqwhv hq ho qrgr / fdofxodgd frpr vl ho qrgr vh wudwdvh gh xq prghor **r dlvodgr/ frq wdvd gh oohjdgd \ | wdvd gh vhuylflr > 1 Päv dýq/ ho vxevlvwhpd gh fdgd qrgr vh frpsruwd/ hq jhqhudo/ frpr vl ixhvh xq vlvwhpd dlvodgr fruuhvsrqglhqwh d xq prghor **r lqghshqglhqwh gh orv ghpäv1 Frpr frqvhfxhqfld gho Whruhpd gh Mdfnvrq uhvxowd iäflo rewhqhu odv sulq0 flsdohv fdqwlgdghv dfhufd gh fdgd vxevlvwhpd1 Sru dqdorjðd frq od qrwdflöq dqwhulru/ ghqrwduhprv hvdv fdqwlgdghv sru u / u^c / ` | `^c fxdqgr vh uh0 hudq do vxevlvwhpd gho qrgr 1 Sdud kdfhu phqflöq d odv fruuhvsrqglhqwhv fdqwlgdghv vreuh wrgr ho vlvwhpd +wrgd od uhg, xvduhprv od qrwdflöq uA / u^cA / `A | `^cA 1 Orv sdvrv d vhjxlu sdud uhvroyhu fxdotxlhu uhg delhuwd gh Mdfnvrq vhuäq= 184 Introducción a la Simulación y a la Teoría de Colas Ricardo Cao Abad 41 Xqd yh} hvwdeohflgdv od wdvd gh hqwudgd ghvgh ho h{whulru d fdgd vxe0 vlvwhpd +b ,/ od wdvd gh vhuylflr +> ,/ ho qýphur gh vhuylgruhv +r , | odv suredelolgdghv gh wudqvlflöq +R ,/ sodqwhdu | uhvroyhu ho vlvwhpd gh hfxd0 flrqhv= \ ' b n g [ \ R / sdud ' c 2c g/ ' r/ htxlydohqwhphqwh/ hq irupd pdwulfldo $ $ $ $ $ \ ' b n | \ / r vlpsohphqwh/ U | \ ' b / vlhqgr 3 E $ E \ 'E C \ \2 11 1 4 3 E F $ E F | b ' E F C D \g b b2 11 1 4 F F F D bg $ $ 3 Od vroxflöq \ ' EU | b qrv sursruflrqd odv wdvdv wrwdohv gh oohjdgd d fdgd vxevlvwhpd +yhqjdq gh ixhud r gh rwur qrgr,1 51 Xwlol}dqgr orv ydoruhv hqfrqwudgrv hq ho sdvr dqwhulru sxhghq kdooduvh wrgrv orv ydoruhv uhohydqwhv gh fdgd vxevlvwhpd +u / u^c / ` | `^c ,/ vlq päv txh frqvlghuduor frpr xq prghor **r / sru vhsdudgr/ frq wdvd gh oohjdgd \ | wdvd gh vhuylflr > 61 Ghelgr d od qdwxudoh}d gho vlvwhpd +xqd uhg gh frodv, | d od klsöwhvlv gh wudqvlflrqhv lqvwdqwäqhdv/ orv sduäphwurv gh qýphur phglr gh folhqwhv hq wrgd od uhg | qýphur gh folhqwhv hq frod hq wrgd od uhg sxhghq fdfxoduvh vxpdqgr vlpsohphqwh orv gh fdgd qrgr= uA ' g [ ' u / | u^cA ' g [ u^c 1 ' Sru vx sduwh/ orv wlhpsrv phglrv gh shupdqhqfld hq ho vlvwhpd gh wrgd od uhg | gh shupdqhqfld hq od frod sdud wrgd od uhg qrq vrq gh fäofxor wdq gluhfwr/ sxhv od wud|hfwruld gh xq folhqwh d or odujr gh od uhg gh frodv hv dohdwruld1 Hvwdprv sxhv dqwh xqd vlwxdflöq hq od txh ho wlhpsr gh xq folhqwh hq od uhg hvwä vxmhwr d grv wlsr gh dohdwrulhgdg1 Hq sulphu oxjdu ghvfrqrfhprv txì qrgrv ylvlwduä +dojxqrv txl}ä uhshwlgdphqwh, ho folhqwh/ sxhv vx hyroxflöq hq od uhg hv dohdwruld1 Hq vhjxqgr oxjdu/ dýq frqrflhqgr fxäohv kdq vlgr orv qrgrv sru orv txh kd sdvdgr +| ho qýphur gh yhfhv txh kd sdvdgr sru fdgd xqr, hv dohdwrulr ho wlhpsr txh yd d hvwdu hq fdgd vxevlvwhpd +dxqtxh hq hvwh fdvr vð hv frqrflgd vx phgld= ` sdud fdgd yh} txh sdvd sru ho qrgr ,1 Od irupd päv vhqflood gh uhvroyhu ho Redes de colas 185 sureohpd hv xwlol}du odv iöupxodv gh Olwwoh S jhqhudol}dgdv do vlvwhpd gh wrgd od uhg1 Sdud hoor ghqlprv bA ' g ' b / txh hv ho qýphur phglr gh folhqwhv txh hqwudq hq od uhg sru xqlgdg gh wlhpsr +sru fxdotxlhu qrgr, | rewhqhprv uA / bA u^cA 1 ' bA `A ' `^cA Yhdprv xq hmhpsor1 Hmhpsor 85 Grv vhuylgruhv lqirupäwlfrv uhflehq surfhvrv gh xvxdulrv d ud}öq gh 53 surfhvrv sru plqxwr ho sulphur | 63 surfhvrv sru plqxwr ho vhjxqgr1 Od oohjdgd gh surfhvrv rehghfh xq surfhvr gh Srlvvrq1 Gdgd vx pd|ru udslgh}/ ho ýqlfr surfhvdgru gho vhuylgru 4 sxhgh dwhqghu xqd phgld gh 433 surfhvrv sru plqxwr plhqwudv txh fxdotxlhud gh orv grv surfhvdgruhv gho 5 vöor hv fdsd} gh dwhqghu kdvwd 58/ vlhqgr orv wlhpsrv gh surfhvdgr h{srqhqfldohv1 Vh vdeh txh dperv vhuylgruhv dwlhqghq orv surfhvrv vhjýq xqd glvflsolqd ILIR | txh fxdqgr xq surfhvr hvwä d sxqwr gh dfdedu vx hmhfxflöq hq ho vhuylgru 5 fuhd rwur qxhyr surfhvr klmr hq ho 4 frq xqd suredelolgdg gho 58(/ whuplqdqgr wrwdophqwh od hmhfxflöq hq rwur fdvr1 Sru vx sduwh/ orv surfhvrv txh hvwäq whuplqdqgr vx hmhfxflöq hq ho qrgr 4 fuhdq rwur qxhyr hq ho plvpr vhuylgru hq xq 53( gh orv fdvrv/ pdqgdq rwur surfhvr do vhuylgru 5 xq 43( gh odv yhfhv/ whuplqdqgr wrwdophqwh od hmhfxflöq hq fdvr frqwudulr1 Fdofxodu ho qýphur phglr gh surfhvrv hq fdgd vhuylgru | ho wlhpsr phglr txh wdugd xq surfhvr | wrgd vx ghvfhqghqfld hq whuplqdu gh hmhfxwduvh1 Vroxflöq= Vh wudwd gh xqd uhg gh Mdfnvrq delhuwd frq g ' 2 qrgrv/ sdud od fxdo kd| r ' vhuylgru hq ho qrgr 4 | r2 ' 2 vhuylgruhv hq ho vhjxqgr1 Odv wdvdv gh oohjdgd | vhuylflr +hq qýphur gh surfhvrv sru plqxwr, ghvgh ixhud gho vlvwhpd vrq b ' 2f/ b2 ' f/ > ' ff/ >2 ' 2D1 Odv suredelolgdghv gh wudqvlflöq gh xqrv hvwdgrv d rwurv ylhqhq gdgdv/ hq irupd pdwulfldo/ sru f2 f ' 1 f2D f Sodqwhdprv | uhvroyhprv ho vlvwhpd txh shuplwh hqfrqwudu odv wdvdv hihfwlydv= \ ' 2f n f2 \ n f2D \2 \2 ' f n f \ oxhjr \ ' 2f n f2\ n f2D Ef n f\ ' 2f n f2\ n .D n ff2D\ ' 2.D n f22D\ / 186 Introducción a la Simulación y a la Teoría de Colas Ricardo Cao Abad 2.D frq or fxdo f..D\ ' 2.D |/ sru wdqwr/ \ ' f..D ' D eHe1 Sru rwud sduwh \2 ' f n f\ ' DeH1 Sulphudphqwh ghehprv hqfrqwudu orv ydoruhv u | u2 xwlol}dqgr odv iöupxodv glvsrqleohv sdud ho prghor ** frq \ ' D eHe | > ' ff | sdud ho prghor **2 frq \2 ' DeH | >2 ' 2D1 Föpr eHe ' f DeHe | 42 ' DeH ' f S.fbS / hqwrqfhv dperv qrgrv 4 ' Dff 2u2D vrq hvwdflrqdulrv1 Sru wdqwr/ vh wlhqh txh u ' 4 f DeHe ' f DD1 ' 4 f DeHe Sru vx sduwh/ sdud ho qrgr 5/ R2 Ef ' ' n S23 \? 2 ?' ?->? 2 n DeH 2D n n \22 E23->23 E2>2 3\2 2 DeH2 2DE2u2D3DeH ' f bSbS.e | u2 ' \2n \2 DeH f bSbS.e DeH 2 R2 Ef ' 2eef. ' n 2 n 23 >2 2D E2 ->2 E2>2 \2 2D E2 2D DeH2 Dvð sxhv kd|/ sru wìuplqr phglr/ f DD surfhvrv +hq hmhfxflöq r hq frod, hq ho vhuylgru 4 | 2 ee hq ho vhuylgru 51 Frpr frqvhfxhqfld whqguhprv uA ' u n u2 ' 2 bbf. surfhvrv hq phgld hq wrgr ho vlvwhpd |/ xvdqgr od sulphud iöupxod gh Olwwoh sdud wrgd od uhg vh rewlhqh `A ' uA 2bbf. ' f fDbH plqxwrv1 ' bA Df Hv ghflu/ ho wlhpsr phglr txh wudqvfxuuh ghvgh txh xq surfhvr vh hqyðd do vlvwhpd lqirupäwlfr +vlq suhmx}jdu sru txì vhuylgru hqwud, kdvwd txh ìo | wrgd vx ghvfhqghqfld hvwä hmhfxwdgd hv f fDbH plqxwrv ' DHH vhjxqgrv1 4516 Uhghv gh Mdfnvrq fhuudgdv Xqd uhg gh Mdfnvrq fhuudgd hv xqd uhg gh frodv fhuudgd frq g qrgrv r vxevlv0 whpdv/ hq od fxdo fdgd ' c 2c c g wlhqh r vhuylgruhv hq vx phfdqlvpr gh vhuylflr/ vlhqgr wrgrv orv gho qrgr frq wlhpsr gh vhuylflr gh glvwulexflöq h{sr0 qhqfldo gh sduäphwur > 1 Frpr hq fxdotxlhu uhg fhuudgd/ do qr kdehu hqwudgdv ql vdolgdv gh folhqwhv gh od uhg/ uhvxowd lqglvshqvdeoh hvshflfdu ho qýphur gh folhqwhv ghqwur gh od uhg/ / txh shupdqhfhuä frqvwdqwh vlhpsuh1 Sru hvwh pr0 wlyr/ uA ' | fdqwlgdghv frpr `A r `^cA / fduhfhq gh vhqwlgr1 Or uhdophqwh Redes de colas 187 lpsruwdqwh dtxð hv ghwhuplqdu odv suredelolgdghv gh txh kd|d ? folhqwhv hq ho qrgr sdud ' c 2c c g/ txh vh ghqrwduäq sru R? c?2 cuuu c?g 1 Reyldphqwh ìvwdv suredelolgdghv vrq glvwlqwdv gh fhur vöor vl ? n ?2 n n ?g ' 1 Odv suredelolgdghv gh orv glvwlqwrv hvwdgrv gh od uhg sxhghq fdofxoduvh sru phglr gh od vljxlhqwh iöupxod= \ 4? / ' C E ' @ E? g R? c?2 cuuu c?g grqgh @ E? ' ? r -r?3r vl ? r vl ? r | [ C E ' ? n?2 nuuun?g vlhqgr 4 ' \ > g \ 4? / @ E? ' ' | orv \ fxdotxlhu vroxflöq qr qxod gho vlvwhpd \ ' g [ \ R sdud ' c 2c c g1 ' Hvwh ýowlpr vlvwhpd hv ho txh vh rewlhqh hq ho whruhpd gh Mdfnvrq fxdqgr odv wdvdv gh hqwudgd b vrq fhur1 Or txh rfxuuh dkrud hv txh glfkr vlvwhpd qr wlhqh vroxflöq ýqlfd +|d txh vh wudwd gh xq vlvwhpd krprjìqhr,1 Gh khfkr/ sdud hqfrqwudu xqd vroxflöq gho vlvwhpd dqwhulru edvwd mdu do ydoru 4 fxdotxlhud gh odv \ +sru hmhpsor \ ' , | uhvroyhu ho vlvwhpd ljqrudqgr xqd fxdotxlhud gh odv hfxdflrqhv +frpelqdflöq olqhdo gho uhvwr,1 Od lpsohphqwdflöq gluhfwd gh C E vhjýq od iöupxod dqwhulru sxhgh uhvxo0 wdu wuhphqgdphqwh lqhflhqwh fxdqgr hv judqgh |d txh ho qýphur gh hvwdgrv glvwlqwrv gho vlvwhpd +txh ylhqhfrlqflglhqgr frq ho qýphur gh vxpdqgrv hq od 1 Sdud hylwdu glfkr fäofxor gluhfwr h{lvwh xqd h{suhvlöq gh C E , hv ng3 iöupxod uhfxuvlyd txh shuplwh od rewhqflöq gh }6 E? ' [ 6 \ s E? ? n?2 nuuun?6 '? ' vlhqgr s E? ' 4? / sdud ' c 2c c g | ? ' fc c 2c c 1 @ E? Revìuyhvh txh hvwr uhvxhoyh ho sureohpd/ sxhv C E ' }g E1 188 Introducción a la Simulación y a la Teoría de Colas Ricardo Cao Abad Od uhfxuvlylgdg flwdgd vh rewlhqh iäflophqwh whqlhqgr hq fxhqwd= [ }6 E? ' 6 \ s E? ? n?2 nuuun?6 '? ' ' ' ? [ ?6 'f ? [ % [ 63 \ & s E? s6 E?6 ? n?2 nuuun?63 '?3?6 ' s6 E?6 }63 E? ?6 ' ?6 'f ? [ s6 E }63 E? 1 'f Sru rwud sduwh sxhgh yhuvh wulyldophqwh txh } E? ' s E?/ or fxdo shuplwh frphq}du d dsolfdu od hfxdflöq uhfxuvlyd1 Dghpäv/ uhvxowd lqphgldwr frpsur0 edu txh }6 Ef ' sdud wrgr 6 ' c 2c c g1 Hmhpsor 86 Xq vlvwhpd lqirupäwlfr frqvwd gh 7 hvwdflrqhv gh wudedmr frqhf0 wdgdv hqwuh vð1 Sdud frqwuro | vhjxulgdg gho vlvwhpd kd| wuhv surfhvrv hq frq0 wlqxd hmhfxflöq hq dojxqd gh odv hvwdflrqhv1 Xqd yh} whuplqdgd od hmhfxflöq gh xq surfhvr hq xqd gh odv hvwdflrqhv ìvwh fuhd xqd frsld gh ìo plvpr txh vh hqyðd d hmhfxwdu d od sursld hvwdflöq r d dojxqd gh odv rwudv wuhv1 Hq od vljxlhqwh wdeod vh uhfrjhq odv suredelolgdghv gh txh ho surfhvr klmr vh hqyðh d od hvwdflöq / vdelhqgr txh ho txh whuplqd vx hmhfxflöq or kdfh hq od hvwdflöq = ruljhqqghvwlqr 4 5 6 7 4 f2D fD fDf fef 5 fD fD f2D ff 6 f2f f2f fD f2D 7 fef ff ff ffD Vh vdeh txh orv vhuylgruhv 4 | 5 vrq elsurfhvdgruhv | fdgd xqr gh orv surfh0 vdgruhv gh dperv wlhqh xq wlhpsr gh surfhvdgr frq glvwulexflöq h{srqhqfldo | fdsdflgdg gh 8 surfhvrv sru plqxwr1 Sru vx sduwh/ odv hvwdflrqhv 6 | 7 vrq dpedv prqrsurfhvdgrudv | sxhghq dwhqghu uhvshfwlydphqwh d 43 | 48 surfhvrv sru plqxwr1 Fdofxodu od suredelolgdg gh txh hvwì dojxqr gh orv wuhv surfhvrv hq ho vhuylgru 71 ÁFxäo hv ho qýphur phglr gh surfhvrv hq ho vhuylgru 7B ÁFxäo hv ho wlhpsr phglr txh wudqvfxuuh ghvgh txh oohjd xq surfhvr do vhuylgru 7 kdvwd txh whuplqd vx hmhfxflöqB Vroxflöq= Whqlhqgr hq fxhqwd orv gdwrv gho hmhpsor/ vh sxhgh prghol}du phgldqwh xqd uhg gh Mdfnvrq fhuudgd frq ' / g ' e/ > ' D/ >2 ' D/ > ' f | >e ' D1 Orv folhqwhv vrq sxhv fdgd xqr gh orv wuhv surfhvrv txh hvwäq uhfruulhqgr ho vlvwhpd lqirupäwlfr1 Gdgd od pdwul} / hq sulphu oxjdu wudwduhprv gh hqfrqwudu orv \ 1 Sdud hoor ghehprv kdoodu xqd vroxflöq gho Redes de colas 189 vlvwhpd= \ \2 \ \e ' ' ' ' \ R n \2 R2 n \ R n \e Re \ R2 n \2 R22 n \ R2 n \e Re2 \ R n \2 R2 n \ R n \e Re \ Re n \2 R2e n \ Re n \e Ree txh hq qxhvwur fdvr vh uhgxfh d \ \2 \ \e ' ' ' ' f2D\ n fD\2 n fDf\ n fef\e fD\ n fD\2 n f2D\ n ff\e f2f\ n f2f\2 n fD\ n f2D\e fef\ n ff\2 n ff\ n ffD\e Wrpdqgr/ sru hmhpsor/ \ ' / vh rewlhqh xqd gh odv lqqlwdv vroxflrqhv gho vlvwhpd krprjìqhr= \ ' DS2HS/ \2 ' 2.SD/ \ ' | \e ' DSH21 Gh hvwd irupd/ whqlhqgr hq fxhqwd odv fdsdflgdghv gh vhuylflr gh fdgd surfhvdgru gh odv glvwlqwdv hvwdflrqhv/ vh rewlhqhq orv ydoruhv= DS2HS ' ff.2D.2 D 2.SD ' f2De22 ' D ' f ' f DSH2 ' f f.Sb2 ' D 4 ' 42 4 4e Sru rwud sduwh/ @ E? ' @2 E? ' 2?3 | @ E? ' @e E? ' ;?/ frq or fxdo s E? ' 23? 4? / sdud ' c 2 | s E? ' 4? / sdud ' c e/ vlhpsuh txh ? / plhqwudv txh s Ef ' sdud ' c 2c c e1 Hq sduwlfxodu } Ef ' s Ef ' / } E ' s E ' ff.2D.2/ Eff.2D.22 ' e .2feb f32 / } E2 ' s E2 ' 2 Eff.2D.2 } E ' s E ' ' . 2DHfSS f3 1 22 190 Introducción a la Simulación y a la Teoría de Colas Ricardo Cao Abad Dkrud surfhghprv uhfxuvlydphqwh/ hqfrqwudqgr orv ydoruhv }2 E?= }2 Ef ' / }2 E ' s2 Ef } E n s2 E } Ef ' ff.2D.2 n f2De22 ' fDSD.bD/ }2 E2 ' s2 Ef } E2 n s2 E } E n s2 E2 } Ef ' e.2feb f32 n f2De22 ff.2D.2 n Ef2De222 2 ' fD.SHD../ }2 E ' s2 Ef } E n s2 E } E2 n s2 E2 } E n s2 E } Ef ' .2DHfSS f3 n f2De22 e.2feb f32 Ef 2De22 Ef2De222 n ff.2D.2 n 2 22 32 ' fD.S f / oxhjr/ orv ydoruhv } E?= } Ef ' ' } E2 ' ' ' } E ' ' ' / } E ' s Ef }2 E n s E }2 Ef fDSD.bD n f ' f SSD.bD/ s Ef }2 E2 n s E }2 E n s E2 }2 Ef fD.SHD.. n f fDSD.b D n Ef 2 f22He.2/ s Ef }2 E n s E }2 E2 n s E2 }2 E n s E }2 Ef fD.S f32 n f fD.SHD.. n Ef2 fDSD.bD n Ef DDSbf f32 1 Ilqdophqwh/ C E ' }e E ' se Ef } E n se E } E2 n se E2 } E n se E } Ef ' D DSbf f32 n ff.Sb2 f22He.2 n Eff.Sb22 fSSD.bD n Ef f.Sb2 ' ..2.ebeb f32 1 Ho qýphur phglr gh surfhvrv hq ho vhuylgru 7 uhvxowd ue ' f Rf n R n 2 R2 n R ' R n 2 R2 n R / vlhqgr [ R?e ' R? c?2 c? c?e / hv ghflu ? c?2 c? c? n?2 n? '3?e R ' R2ff n Rf n Rf n Rf2f n Rf n Rff2 / R2 ' Rff2 n Rff2 n Rff2 / R ' Rfff 1 Redes de colas 191 Hq oxjdu gh fdofxodu hvwrv 43 wìuplqrv/ srghprv whqhu hq fxhqwd od irupd gh fdgd xqr gh hoorv= \ 4? C E ' @ E? g R? c?2 cuuu c?g ' sdud ghgxflu [ Rccuuu cc?g ' R? c?2 cuuu c?g ? c?2 c c?g3 c? n?2 nuuun?g3 ' 3?g 4?gg ' C E @g E?g ? [ c?2 c c?g3 c? n?2 nuuun?g3 '3?g g3 \ ' 4? @ E? sg E?g }g3 E ?g ' C E Vdoyr ho wìuplqr C E 3 or uhvwdqwh hv xqr gh orv vxpdqgrv txh dsduhfh hq ho fäofxor gh C E ' }g E 1 Hv gljqr gh phqflöq txh sdud rewhqhu od hflhqfld gh fäofxor gh hvwh surfhglplhqwr +iuhqwh do gh rewhqhu odv 43 suredelolgdghv dqwhv sodqwhdgdv, uhvxowd gh vxpd lpsruwdqfld txh hq orv fäofxorv deuhyldgrv suhylrv vh kd|d ghmdgr gh ýowlpr ho qrgr 7 +sdud dvð srghu xvdu } E?,1 Hq fdvr gh txh vh ghvhdvhq fdofxodu hvwdv suredelolgdghv pdujlqdohv sdud rwur qrgr/ uhvxowduðd päv dghfxdgr uhqrpeudu orv qrgrv gh irupd txh ho qrgr gh lqwhuìv ixhvh ho ýowlpr gho fäofxor deuhyldgr/ |d txh ho dkruur hvwä edvdgr hq od iöupxod uhfxuvlyd gh fäofxor gh orv }6 E?1 Hq qxhvwur fdvr/ uhvxowd px| iäflo fdofxodu odv suredelolgdghv pdujlqdohv uhodwlydv do qrgr 7= se Ef } E C E se E } E2 ' C E se E2 } E ' C E se E } Ef ' C E Rf ' R R2 R DDSbf f32 ' f.2fS.D2 ..2.ebeb f32 ff.Sb2 f22He.2 ' ' f222.b2SD/ ..2.ebeb f32 Eff.Sb22 fSSD.bD ' ' DfSeeDe2 f32 / ..2.ebeb f32 Eff.Sb2 ' ' DHH.Sbe. f3 1 ..2.ebeb f32 ' Dvð sxhv/ od suredelolgdg gh txh hvwì dojýq surfhvr hq ho vhuylgru 7 hv Rf ' f.2fS.D2 ' f2.b2eHH1 Dghpäv/ hv lqphgldwr ho fäofxor gho qýphur phglr gh surfhvrv hq od hvwdflöq 7= ue ' f222.b2SD n 2 DfSeeDe2 f32 n DHH.Sbe. f3 ' fe.eeH21 192 Introducción a la Simulación y a la Teoría de Colas Ricardo Cao Abad Sdud fdofxodu ho wlhpsr phglr txh sdvd xq surfhvr hq ho vhuylgru qýphur 7 srghprv xwlol}du odv iöupxodv gh Olwwoh/ vl elhq/ ghehprv fdofxodu suhyldphqwh ho ydoru \e dghfxdgr1 Dqwhulruphqwh |d vh kdeðd hqfrqwudgr xqd gh odv lqql0 wdv vroxflrqhv qr qxodv gho vlvwhpd gh hfxdflrqhv txh uhodflrqd odv wdvdv gh hqwudgd1 Ho sureohpd hv txh hvd vrxoflöq hqfrqwudgd qr wlhqh srutxì riuhfhu ho ydoru fruuhfwr gh odv \ +vlqö päv elhq ydoruhv txh vrq sursruflrqdohv d orv \ yhugdghurv,1 Ho sureohpd sxhgh uhvroyhuvh iäflophqwh xwlol}dqgr txh ho qýphur phglr gh folhqwhv txh hqwudq d xq qrgr hohjlgr +\ , kd gh vhu ljxdo do qýphur phglr gh folhqwhv txh vdohq vhuylgrv gh glfkr qrgr1 Dsolfdqgr hvwd frqglflöq do qrgr 7 rewhqhprv= \e ' f Rf n >e ER n R2 n Re ' D f 222.b2SD n D fSeeDe2 f32 n D HH.Sbe. f3 ' D f 2.b2eHb ' e HbH.e1 Dxqtxh hq hvwh fdvr qr uhvxowd gh qxhvwur lqwhuìv/ hvwr shuplwluðd hqfrqwudu odv wdvdv gh oohjdgd do uhvwr gh orv qrgrv gh od uhg/ sxhv |d frphqwdprv txh \ ' S\ / sdud ' c 2c c e | flhuwr S : f/ frq or fxdo e HbH.e \e ' S.ef | dvð S ' ' \e DSH2 \ ' S.ef DS2HS ' D D.bbH/ \2 ' S.ef 2.SD ' e SHS2./ \ ' S.ef ' S.ef1 Ilqdophqwh/ od iöupxod gh Olwwoh jhqhudol}dgd dsolfdgd do qrgr 7 shuplwh fdo0 fxodu ho wlhpsr phglr gh shupdqhqfld gh xq surfhvr hq glfkr qrgr= `e ' ue f e.eeH2 ' ffHDSe plqxwrv ' eHb vhjxqgrv1 ' e HbH.e \e 4517 Rwurv prghorv gh frodv hq uhg Frpr fdvrv sduwlfxoduhv gh uhghv gh frodv hvwxglduhprv odv frodv hq vhulh | odv uhghv flufxoduhv gh frodv1 451714 Frodv hq vhulh Vh wudwd gh xqd frohfflöq gh g frodv txh vh vxfhghq xqdv d rwudv gh wdo pdqhud txh vöor hv srvleoh od hqwudgd gh folhqwhv ghvgh ixhud gho vlvwhpd d od sulphud Redes de colas 193 gh hoodv/ surgxflìqgrvh od vdolgd gh hoorv wudv ho vhuylflr gho ýowlpr qrgr1 Frq qxhvwud whuplqrorjðd dqwhulru/ vh wlhqh txh b ' b : f/ b ' f ; ' 2c c c g/ vl ' n R ' f vl 9' n Gh or txh vh ghgxfh txh Rf ' / Rgf ' / Rf ' f sdud ' 2c c c g/ Rf ' f sdud ' c 2c c g 1 Dghpäv gh wrgr hvwr/ ho phfdqlvpr gh vhuylflr gho qrgr hvwä frpsxhvwr sru r vhuylgruhv frq lgìqwlfd fdsdflgdg gh vhuylflr d ud}öq gh > folhqwhv sru xqlgdg gh wlhpsr +frq gxudflöq gh vhuylflr h{srqhqfldo, | od fdsdflgdg gh od frod hv lolplwdgd1 Vh wudwd/ sru wdqwr/ gh xqd uhg gh Mdfnvrq delhuwd px| sduwlfxodu/ d od fxäo oh hv dsolfdeoh ho Whruhpd gh Mdfnvrq1 Odv hfxdflrqhv txh shuplwhq hqfrqwudu odv wdvdv hihfwlydv gh oohjdgd vh uhgxfhq d= \ ' b \2 ' \ 11 1 \g ' \g3 frq or fxdo \ ' \2 ' ' \g ' b/ gh pdqhud txh vh sxhghq uhvroyhu orv prghorv gh fdgd qrgr frpr vl vh wudwdvh gh vxevlvwhpdv gh frodv **r lqghshqglhqwhv frq wdvd gh hqwudgd b | wdvd gh vhuylflr > 1 Gdgr txh hq hvwh fdvr ho xmr gh xq folhqwh d wudyìv gh od uhg hv vhfxhqfldo/ ghvgh ho qrgr kdvwd ho qrgr g/ vð vhuä flhuwr txh orv wlhpsrv phglrv gh xq folhqwh hq ho vlvwhpd r hq od frod vrq vxpd gh orv fruuhvsrqglhqwhv d fdgd vxevlvwhpd1 Pdwhpäwlfdphqwh hvwr vh vxvwhqwd hq txh uA ' `A ' bA Sg ' b u ' g [ u ' b ' g [ u ' \ ' g [ ` 1 ' 451715 Uhg gh frodv fðfolfd Hq hvwh fdvr vh wlhqhq g vxevlvwhpdv gh frodv/ wlsr **r / frpr hq ho fdvr dqwhulru/ shur frqhfwdgdv gh irupd flufxodu1 Vh wudwd/ sru wdqwr/ gh xqd uhg gh Mdfnvrq fhuudgd hq od txh fdgd folhqwh txh vdoh vhuylgr gho qrgr +frq ' c 2c c g , vh gluljh do qrgr n frq suredelolgdg 1 Vl ho folhqwh vdoh 194 Introducción a la Simulación y a la Teoría de Colas Ricardo Cao Abad vhuylgr gho qrgr g hqwrqfhv yd do qrgr frq wrgd suredelolgdg1 Hv qhfhvdulr hvshflfdu ho qýphur wrwdo gh folhqwhv hq od uhg/ / | d sduwlu gh odv wdvdv gh vhuylflr/ > / sxhghq hqfrqwuduvh odv glvwlqwdv suredelolgdghv gh lqwhuìv1 Dvð/ ho vlvwhpd gh hfxdflrqhv olqhdohv krprjìqhr uhvxowd= \ ' \g \2 ' \ 11 1 \g ' \g3 or fxdo lpsolfd txh \ ' \2 ' ' \g3 ' \g ' S/ vlhqgr S xqd frqvwdqwh srvlwlyd duelwuduldphqwh hohjlgd1 Gh hvwr vh ghgxfh txh 4 ' >S | sxhgh surfhghuvh wdo | frpr |d vh ghwdooö sdud xqd uhg gh Mdfnvrq fhuudgd jhqìulfd1 Hq ho fdvr sduwlfxodu hq ho txh kd|d xq vöor vhuylgru hq fdgd qrgr +r ' sdud ' c 2c c g, | odv wdvdv gh vhuylflr gh wrgrv orv qrgrv frlqflgdq +> ' >2 ' ' >g ' >,/ holjlhqgr od frqvwdqwh S ' > vh whqguðd txh wrgrv orv 4 ydohq 1 Frpr @ E? ' sdud wrgr ' c 2c c g | wrgr ? f/ uhvxowd px| iäflo rewhqhu odv suredelolgdghv gh orv glvwlqwrv hvwdgrv gho vlvwhpd/ |d txh wrgdv vrq ljxdohv= R? c?2 cuuu c?g ' grqgh C E ' [ ? n?2 nuuun?g C E ng ' 1 ' Hq xq fdvr frpr hvh/ wdpelìq hv px| iäflo rewhqhu odv suredelolgdghv pdujlqdohv/ srqjdprv sru fdvr gho qrgr 4= [ [ R? c?2 cuuu c?g ' R? ccuuu c ' C E ? n? nuuun? ' 3? ?2 n? nuuun?g '3? 2 g 3? ng32 ' 3? ng3 / sdud ? ' fc c c 1 451716 Frodv hq vhulh frq eortxhr Hq dojxqdv vlwxdflrqhv odv uhghv gh frodv txh vh h{dplqdq wlhqh fdsdflgdg olplwdgd sdud dojxqdv r wrgdv odv frodv1 Hq wdo fdvr uhvxowd lqglvshqvdeoh hv0 shflfdu fodudphqwh txì frqvhfxhqfldv whqguä sdud ho ixwxur xmr gh folhqwhv Redes de colas 195 txh xqd gh hvdv frodv vh hqfxhqwuh vdwxudgd1 Wðslfdphqwh hvwh wlsr gh vlwxd0 flrqhv vxhohq prghol}duvh phgldqwh orv oodpdgrv eortxhrv txh frqvlvwhq hq txh fxdotxlhu folhqwh txh ixhvh d vdolu vhuylgr gh rwur vxevlvwhpd txh frpsrqh od uhg shur txh vh hqfxhqwud vx frod gh ghvwlqr vdwxudgd/ pdqwlhqh eortxhdgr ho phfdqlvpr gh vhuylflr vlq txh rwur folhqwh sxhgd dffhghu d ìo1 Hq hvwh wlsr gh prghorv | hq pxfkðvlprv rwurv uhvxowd shuihfwdphqwh srvleoh sodqwhdu ghvgh ho sulqflslr odv hfxdflrqhv gh edodqfh gh od uhg | uhvroyhuodv/ rewhqlhqgr dvð odv suredelolgdghv gh orv glihuhqwhv hvwdgrv gho vlvwhpd1 Yhdprv xq hmhpsor1 Frqvlgìuhvh xq vlvwhpd irupdgr sru grv frodv gh wlsr ***f hq vhulh1 Ghqöwhvh sru b od wdvd gh oohjdgd gh folhqwhv sru xqlgdg gh wlhpsr ghvgh ixhud gho vlvwhpd do sulphu qrgr +qr kd| hqwudgdv ghvgh ixhud do vhjxqgr, | sru > | >2 odv wdvdv gh vhuylflr gho ýqlfr vhuylgru gho qrgr 4 | 5/ uhvshfwlydphqwh1 Gdgr txh qr hvwä shuplwlgr kdfhu frod hq qlqjxqr gh orv grv vxevlvwhpdv/ fxdqgr d xq folhqwh vh oh whuplqh ho vhuylflr hq ho sulphur gh hoorv | hqfxhqwuh txh ho vhuylgru gho vhjxqgr vxevlvwhpd hvwä rfxsdgr/ shupdqhfhuä eortxhdqgr ho vhuylgru gho sulphur1 Gh hvwd irupd ghqrwdqgr sru Ec xq hvwdgr jhqìulfr gho vlvwhpd/ frq ho txh vh lqglfd txh kd| folhqwhv hq ho qrgr 4 | folhqwhv hq ho qrgr 5/ whqguðdprv orv hvwdgrv= Efc f c Efc c Ec f c Ec 1 Frpr dghpäv hv srvleoh txh kd|d xq folhqwh hq ho sulphu qrgr/ |d vhuylgr/ shur eortxhdqgr ho ýqlfr vhuylgru gh glfkr qrgr +or fxdo rfxuuh fxdqgr/ d vx yh}/ kd|d xq folhqwh vluylìqgrvh hq ho vhjxqgr qrgr, hqwrqfhv whqguhprv xq hvwdgr päv txh ghqrwduhprv sru EKc 1 Sru or frphqwdgr dqwhulruphqwh/ vh yh txh EKc hv xq hvwdgr glihuhqwh gh Ec 1 Dxqtxh srguðdprv surfhghu sdvr d sdvr sdud od rewhqflöq gh odv hfxdflrqhv gh edodqfh +wdo | frpr vh kl}r frq xq surfhvr gh qdflplhqwr | pxhuwh hvwd0 flrqdulr duelwudulr, uhvxowd päv vhqfloor h lqwxlwlyr ghgxfluodv gluhfwdphqwh gh od lghd gh ljxdodu/ sdud fdgd srvleoh hvwdgr/ od suredelolgdg gh glfkr hvwdgr pxowlsolfdgd sru od vxpd gh odv wdvdv fruuhvsrqglhqwhv d irupdv gh vdolu gh hvwh hvwdgr kdfld rwur glvwlqwr frq od vxpd gh od suredelolgdghv gh dtxhoorv hvwdgrv ghvgh orv fxdohv vh sxhgh oohjdu do hvwdgr hq fxhvwlöq +hq xq ýqlfd wudqvlflöq,/ pxowlsolfdgdv sru odv wdvdv fruuhvsrqglhqwhv d glfkd wudqvlflöq1 Dvð vh rewlhqhq bRff Eb n >2 Rf > Rf E> n >2 R >2 RK Ghqlhqgr 4 ' b > | 42 ' b >2 ' ' ' ' ' >2 Rf > Rf n >2 RK bRff n >2 R bRf > R h lpsrqlhqgr od frqglflöq gh txh wrgdv odv 196 Introducción a la Simulación y a la Teoría de Colas Ricardo Cao Abad suredelolgdghv vxphq 4 vh oohjd do vljxlhqwh vlvwhpd gh hfxdflrqhv= 42 Rff E n 42 4 Rf 42 Rf E42 n 4 R 4 RK Rff n Rf n Rf n R n RK ' ' ' ' ' ' Rf 42 Rf n 4 RK 4 42 Rff n 4 R 4 42 Rf 42 R Dvð vh rewlhqh= Rf ' 42 Rff 4 42 4 42 R ' Rf ' 2 Rff 42 n 4 42 n 4 42 42 RK ' R ' Rff 4 42 n 4 4 42 4 Rf ' 4 Rff n R ' 4 Rff n 2 Rff 42 42 n 4 4 42 n 42 n 42 42 ' Rff 42 n 4 ' Rff n Rf n Rf n R n RK 4 42 n 42 n 42 42 4 422 42 Rff ' n 42 n n n 42 n 4 42 n 4 42 n 4 4 n 4 n 422 n 24 42 n 42 n 42 42 n 4 422 n 42 Rff / ' 2 42 n 4 Gh hvwd irupd/ ghqrwdqgr sru ' 42 n 4 n 422 n 24 42 n 42 n 42 42 n 4 422 n 42 / vh wlhqh= Rff ' Rf ' Rf ' R ' RK ' 4 n 42 4 42 n 422 4 42 n 42 n 42 42 4 422 42 Hq ho fdvr sduwlfxodu hq txh orv vhuylgruhv gh dperv qrgrv whqjdq od plvpd Redes de colas 197 fdsdflgdg gh vhuylflr +> ' >2 ' >, hqwrqfhv/ ghqrwdqgr 4 ' Rff ' Rf ' Rf ' R ' RK ' b > vh wlhqh= 2 2 n e4 n 42 24 2 n e4 n 42 24 n 42 2 n e4 n 42 42 2 n e4 n 42 42 2 n e4 n 42 D sduwlu gh hvwdv fdqwlgdghv sxhgh rewhqhuvh xqd iöupxod sdud ho qýphur phglr gh folhqwhv hq ho vlvwhpd= u ' fRff n ERf n Rf n 2 ER n RK ' e4 n D42 1 2 n e4 n 42 Frpr sxhgh yhuvh/ vl 4 wlhqgh d fhur/ glfkr qýphur wdpelìq wlhqgh d fhur +frpr hud gh hvshudu,1 Sru ho frqwudulr/ vl 4 $ 4 hqwrqfhv u $ D 21 Od h{solfdflöq gh hvwh khfkr hv txh/ dxqtxh od hqwudgd gh folhqwhv vhd ghvphvxudgd uhvshfwr do vhuylflr/ ho khfkr gh txh odv wdvdv gh vhuylflr vhdq ljxdohv hq dperv vhuylgruhv suryrfd txh/ fxdqgr 4 $ 4/ Rf $ | sru wdqwr qr wlhqgh d hvwdu vlhpsuh ho vlvwhpd oohqr1 Ho wlhpsr phglr gh xq folhqwh hq wrgr ho vlvwhpd sxhgh kdooduvh iäflophqwh phgldqwh od iöupxod gh Olwwoh jhqhudol}dgd1 Dvð/ b ' b ERff n Rf ' b 2 n 24 2 n e4 n 42 |/ sru wdqwr/ ` ' u Db n e> e4 n D42 1 ' ' b E2 n 24 2b> n 2>2 b 4518 Hmhuflflrv sursxhvwrv 41 Do vhuylflr wìfqlfr gh od fdvd gh rughqdgruhv pdufd DFPH oohjdq dsdudwrv dyhuldgrv vhjýq xq surfhvr gh Srlvvrq d ud}öq gh 49 fdgd gðd +mruqdgd oderudo gh ; krudv,1 Hq ho 58( gh orv fdvrv/ ghelgr do wlsr gh dyhuðd ghvfulwd sru ho xvxdulr/ orv rughqdgruhv vrq uhplwlgrv gluhfwdphqwh +shu0 glhqgr xq wlhpsr ghvsuhfldeoh, do vhuylflr fhqwudo/ grqgh vhuäq uhsdudgrv sru xqr gh orv fxdwur hpsohdgrv dvljqdgrv do hihfwr1 Hq wdo fdvr/ ho wlhp0 sr gh uhsdudflöq hv h{srqhqfldo frq phgld gh 7 krudv1 Hq ho :8( uhvwdqwh 198 Introducción a la Simulación y a la Teoría de Colas Ricardo Cao Abad gh orv fdvrv orv rughqdgruhv vrq h{dplqdgrv +| srvleohphqwh uhsdudgrv, sru xqr gh orv grv wìfqlfrv gho surslr vhuylflr wìfqlfr/ txlhqhv hpsohdq sdud hoor xq wlhpsr h{srqhqfldo/ vlhqgr fdsdfhv gh dwhqghu fdgd xqr d xqd phgld gh ; fdgd mruqdgd oderudo1 Dýq dvð/ xq 58( gh orv dsdudwrv txh vrq uhylvdgrv hq ho vhuylflr wìfqlfr qr sxhghq duuhjoduvh dooð | kdq gh lu ghqlwlydphqwh do vhuylflr fhqwudo1 Fdofxodu= +d, Ho qýphur phglr gh gðdv oderudeohv txh xq dsdudwr hohjlgr do d}du wdugduä hq vhu duuhjodgr1 +e, Od plvpd fdqwlgdg txh dqwhv sdud dtxhoorv rughqdgruhv txh vrq hqyldgrv gluhfwdphqwh do vhuylflr fhqwudo1 +f, Ho qýphur phglr gh rughqdgruhv dyhuldgrv txh vh hqfxhqwudq hq ho vhuylflr fhqwudo hq hvshud gh vhu dwhqglgrv1 +g, Ho srufhqwdmh gh wlhpsr txh fdgd uhsdudgru hvwduä ghvrfxsdgr hq ho vhuylflr wìfqlfr | hq ho vhuylflr fhqwudo uhvshfwlydphqwh1 51 Xq vlvwhpd lqirupäwlfr hqyðd phqvdmhv txh oohjdq/ vhjýq xq surfhvr gh Srlvvrq gh sduäphwur b/ phgldqwh xq ýqlfr vhuylgru1 Ho wlhpsr txh wdugd hq wudqvplwluvh ho phqvdmh | uhflelu/ ho vhuylgru/ dfxvh gh uhfhsflöq/ vh dmxvwd d xqd h{srqhqfldo gh sduäphwur >1 Vh vxsrqh txh frq flhuwd suredelolgdg/ S/ ho phqvdmh kd vlgr fruuhfwdphqwh wudqvplwlgr | vljxh vx fdplqr/ plhqwudv txh hq fdvr frqwudulr/ ho phqvdmh yxhoyh d kdfhu frod hq ho vhuylgru sdud vhu hqyldgr qxhydphqwh1 Vdelhqgr txh od glvflsolqd hq ho vhuylgru hv ILIR/ Áfxäo gheh vhu od frqglflöq sdud txh hvwh vlvwhpd vhd hvwdflrqdulrB Gdu xqd h{suhvlöq/ or päv vhqflood srvleoh/ hq ixqflöq gh b/ > | S/ sdud ho qýphur phglr gh phqvdmhv txh hvshudq d frpsohwdu wrwdophqwh vx wudqvplvlöq1 61 Xq vlvwhpd lqirupäwlfr hvwä frpsxhvwr sru grv hvwdflrqhv gh wudedmr prqrsurfhvdgrudv lgìqwlfdv/ frqhfwdgdv hqwuh vð1 D od hvwdflöq 4 oohjdq surfhvrv ruljlqdgrv ixhud gho vlvwhpd/ d ud}öq gh b sru xqlgdg gh wlhpsr/ dvð frpr wdpelìq rwurv surfhghqwhv gh od hvwdflöq 51 Fdgd yh} txh vh whuplqd od hmhfxflöq gh xq surfhvr gh od hvwdflöq 4/ frq suredelolgdg gh xq <3(/ ìvwh jhqhud xq qxhyr surfhvr d hmhfxwdu hq od hvwdflöq 51 Hq ho 43( gh fdvrv uhvwdqwhv/ ho surfhvr whuplqd vlq fuhdu päv surfhvrv kl0 mrv1 Fxdqgr xq surfhvr +klmr gh rwur, dfded vx hmhfxflöq hq od hvwdflöq 5/ sxhgh fuhdu rwur klmr hq od hvwdflöq 4 +frq suredelolgdg gh xq 43(, r h{wlqjxluvh frpsohwdphqwh +hq ho <3( gh fdvrv,1 Vdelhqgr txh ho wlhpsr gh hmhfxflöq gh orv surfhvrv +hq dpedv pätxlqdv, vh dmxvwd d xqd glv0 wulexflöq h{srqhqfldo gh sduäphwur > | txh ho wlhpsr hqwuh oohjdgdv gh grv surfhvrv d od hvwdflöq 4 hv wdpelìq h{srqhqfldo gh sduäphwur b/ vh slgh= +d, ÁSdud txì ydoruhv gh 4 hv ho vlvwhpd hvwdflrqdulrB Redes de colas 199 +e, Wrpdqgr 4 ' fb/ Áfxäo hv ho qýphur phglr gh surfhvrv wrwdohv hq fdgd hvwdflöq gh wudedmrB +f, Hq odv klsöwhvlv gho dsduwdgr dqwhulru | wrpdqgr b ' D surfhvrv sru plqxwr/ Áfxäo hv ho wlhpsr phglr txh wudqvfxuuh ghvgh txh oohjd xq surfhvr d od hvwdflöq 4 kdvwd txh ìo | wrgrv vxv ghvfhqglhqwhv vh h{wlqjxhqB 71 Xqd hvwdflöq gh wudedmr uhfleh shwlflrqhv vhjýq xq surfhvr gh Srlvvrq/ d ud}öq gh 53 fdgd krud1 Orv wlhpsrv gh FSX gh orv wudedmrv vljxhq xqd glvwulexflöq h{srqhqfldo frq phgld gh grv plqxwrv1 Vh vdeh txh/ do qdol}du fdgd surfhvr/ hq xq 53( gh orv fdvrv ìvwh fuhd rwur surfhvr klmr/ frq lgìqwlfdv fdudfwhuðvwlfdv txh orv wudedmrv txh uhfleh ruljlqdophqwh od hvwdflöq/ | txh kd gh surfhvduvh qxhydphqwh sru od plvpd1 Fdofxodu +d, ho wlhpsr phglr txh wdugd xq wudedmr hq vhu surfhvdgr1 +e, ho wlhpsr phglr txh wdugd xq wudedmr | wrgd vx ghvfhqghqfld +sur0 fhvrv klmr/ qlhwr/ hwf1, hq vhu surfhvdgrv1 +f, ho qýphur phglr gh wudedmrv txh hvshudq hq wuäplwh gh surfhvduvh +lqfox|hqgr ho txh hvwä vlhqgr surfhvdgr,1 +g, od suredelolgdg gh txh xq surfhvr sxhgd hmhfxwduvh gluhfwdphqwh vlq ghprud1 81 D xqd frod/ / gh wlsr ** oohjdq folhqwhv vhjýq xqd wdvd b 1 Gl0 fkrv folhqwhv vrq dwhqglgrv sru xq vhuylgru hq xq wlhpsr dohdwrulr frq glvwulexflöq h{srqhqfldo gh sduäphwur > 1 Fdgd folhqwh txh vdoh vhuyl0 gr gho vlvwhpd vh dghqwud hq xqd qxhyd frod/ / od fxdo glvsrqh gh xq phfdqlvpr gh vhuylflr frq xq vöor vhuylgru txh wdugd hq gdu vhuylflr xq wlhpsr h{srqhqfldo | hv fdsd} gh dwhqghu > folhqwhv sru xqlgdg gh wlhpsr1 ÁFxäohv vrq odv frqglflrqhv sdud txh h{lvwd hvwdflrqdulhgdg hq wrgr ho vlvwhpd irupdgr sru dpedv frodvB Vxsrqlhqgr txh vh dofdq}d xqd frqglflöq gh hvwdgr hvwdflrqdulr/ fdofxodu +hq ixqflöq gh b / > / b | > , ho wlhpsr phglr txh xq folhqwh slhugh hq ho vlvwhpd frqmxqwr1 91 Grv hvwdflrqhv gh wudedmr frqhfwdgdv hq uhg hmhfxwdq surfhvrv txh oohjdq ghvgh ixhud gho vlvwhpd +vhjýq xq surfhvr gh Srlvvrq, d ud}öq gh 9 sur0 fhvrv sru plqxwr d od hvwdflöq 4 | ; surfhvrv sru plqxwr d od hvwdflöq 51 Ho wlhpsr gh hmhfxflöq gh orv surfhvrv hq fdgd hvwdflöq vh dmxvwd d xqd glvwulexflöq h{srqhqfldo frq phgld gh 6 vhjxqgrv sdud od hvwdflöq 4 | gh 2D vhjxqgrv sdud od hvwdflöq 51 Fxdqgr xq surfhvr whuplqd vx hmhfxflöq hq od hvwdflöq 4/ hq xq <3( gh orv fdvrv ìvwh qr jhqhud qlqjýq qxhyr surfhvr klmr/ ho 9( gh odv yhfhv fuhd xq qxhyr surfhvr txh vh hq0 yðd +lqvwdqwäqhdphqwh, d od hvwdflöq 5 | ho 7( uhvwdqwh vh fuhd xq qxhyr surfhvr txh vh hmhfxwduä hq od hvwdflöq 41 Dojr vhphmdqwh rfxuuh frq orv surfhvrv hmhfxwdgrv hq od hvwdflöq 5/ vlhqgr xq <8( od suredelolgdg gh 200 Introducción a la Simulación y a la Teoría de Colas Ricardo Cao Abad txh qr vh jhqhuh xq qxhyr surfhvr/ xq 6( od gh txh vh hqyðh xq qxhyr surfhvr d od hvwdflöq 4 | xq 5( od gh txh vh fuhh xq qxhyr surfhvr d hmhfxwdu hq od hvwdflöq 51 Vh slgh= +d, Ho wlhpsr phglr txh wudqvfxuuh ghvgh txh xq surfhvr vh hqyðd d od hvwdflöq 5 kdvwd txh whuplqd vx hmhfxflöq1 +e, Ho qýphur phglr gh surfhvrv hq fdgd hvwdflöq1 +f, Od suredelolgdg gh txh/ hqwuh odv grv hvwdflrqhv/ kd|d päv gh fxdwur surfhvrv qr wrwdophqwh hmhfxwdgrv1 +g, Gdgr xq surfhvr hohjlgr do d}du/ fdofxodu ho wlhpsr phglr txh wudqv0 fxuuh ghvgh vx hqwudgd hq ho vlvwhpd kdvwd ho q gh od hmhfxflöq gh wrgrv orv surfhvrv txh/ gluhfwdphqwh r lqgluhfwdphqwh/ ixhurq fuhdgrv d sduwlu gh ìo1 :1 Frqvlgìuhvh xqd uhg gh frodv fðfolfd irupdgd sru wuhv frodv/ hv ghflu/ xq wrwdo gh frodv gh wdo irupd txh fxdqgr xq folhqwh vdoh vhuylgr gho qrgr + ' c 2, sdvd d od frod gho qrgr n | txh fxdqgr ho folhqwh vdoh gho qrgr / vh gluljluä do qrgr 1 Hq ho fdvr gh txh orv phfdqlvprv gh vhuylflr hq wrgrv orv qrgrv frqvwhq gh xq ýqlfr vhuylgru | gh txh ho wlhpsr gh vhuylflr gho plvpr vhd h{srqhqfldo/ hqfrqwudu odv hfxdflrqhv gh edodqfh hq ho fdvr gh txh h{lvwdq 2 folhqwhv hq wrgd od uhg1 Fdofxodu odv suredelolgdghv gh orv glvwlqwrv hvwdgrv hq ho fdvr gh txh orv sduäphwurv gh odv glvwulexflrqhv h{srqhqfldohv gh orv uhvshfwlyrv wlhpsrv gh vhuylflr ixhvhq > ' c >2 ' 2c > ' e ;1 Sru xq shtxhôr vlvwhpd gh frpxqlfdflrqhv frq wuhv rughqdgruhv hq uhg flufxodq frqvwdqwhphqwh grv sdtxhwhv gh elwv txh wdugdq hq vhu surfh0 vdgrv hq fdgd rughqdgru +frq xq ýqlfr surfhvdgru, xq wlhpsr frq glv0 wulexflöq h{srqhqfldo1 Orv wlhpsrv phglrv gh surfhvdgr +hq vhjxqgrv, sdud fdgd rughqdgru ylhqhq gdgrv sru od vljxlhqwh wdeod= Rughqdgru 4 5 6 Wlhpsr phglr gh surfhvdgr +vhj1, 43 53 63 Ho <3( gh odv yhfhv txh xq sdtxhwh whuplqd gh vhu surfhvdgr sru ho rughqdgru 4/ vh gluljh oxhjr do rughqdgru 6/ plhqwudv txh hq fdvr frq0 wudulr yxhoyh d surfhvduvh hq ho rughqdgru 41 Xqd gh fdgd fxdwur yhfhv txh xq sdtxhwh hv surfhvdgr hq ho rughqdgru 5/ yxhoyh d vhu surfhvdgr qxhydphqwh hq ho plvpr rughqdgru plhqwudv txh odv rwudv wuhv gh fdgd fxdwur yhfhv vh glulmh do rughqdgru 61 Ilqdophqwh/ ho 73( gh odv yhfhv txh xq sdtxhwh vh surfhvd hq ho rughqdgru 6/ yxhoyh d glfkr rughqdgru/ uhsduwlìqgrvh ho 93( uhvwdqwh gh irupd htxlsuredeoh hqwuh orv rwurv grv rughqdgruhv1 Vh slgh= +d, ÁFxäo hv od suredelolgdg gh txh kd|d dojýq sdtxhwh surfhväqgrvh hq ho rughqdgru 4B Redes de colas 201 +e, Fdofxodu ho qýphur phglr gh sdtxhwhv surfhväqgrvh hq ho rughqdgru 61 +f, ÁFxäo hv ho wlhpsr phglr txh wudqvfxuuh ghvgh txh oohjd xq sd0 txhwh do rughqdgru 6 kdvwd txh whuplqd gh surfhvduvh +vlq lqfoxlu uhdolphqwdflöq,B <1 Xq vlvwhpd lqirupäwlfr frqvwd gh grv hvwdflrqhv gh wudedmr prqrsurfh0 vdgrudv1 Orv wlhpsrv gh surfhvdgr gh orv wudedmrv vrq gh glvwulexflöq h{srqhqfldo | phgld gh 9 | 48 vhjxqgrv sdud odv hvwdflrqhv 4 | 5 uhvshf0 wlydphqwh1 Vh vdeh txh ho 93( gh orv wudedmrv surfhvdgrv hq od sulphud hvwdflöq vrq hqyldgrv d od vhjxqgd/ uhdolphqwäqgrvh od sulphud hvwdflöq hq xq 53( gh orv fdvrv | vdolhqgr wrwdophqwh hmhfxwdgrv orv surfhvrv hq ho 53( uhvwdqwh1 Sru vx sduwh/ rfkr gh fdgd glh} surfhvrv hmhfxwdgrv hq od hvwdflöq 5 vrq hqyldgrv d od hvwdflöq 4/ vlhqgr whuplqdgd od hmhfxflöq hq vx wrwdolgdg hq ho 53( uhvwdqwh gh orv fdvrv1 Vdelhqgr txh odv oohjdgdv gh surfhvrv do vlvwhpd rehghfhq xq surfhvr gh Srlvvrq frq phgld gh 453 surfhvrv sru krud/ Ágh txì pdqhud gheh glvwulexluvh glfkd hqwudgd gh surfhvrv hqwuh odv grv hvwdflrqhv sdud txh ho qýphur phglr wrwdo gh surfhvrv hq ho vlvwhpd vhd pðqlprB ÁFxäqwr ydoh glfkr qýphur phglr pðqlprB ÁKdfh hvwr pðqlpr ho wlhpsr phglr wrwdo hq ho vlvwhpdB ÁSru txìB 431 Hq xq vlvwhpd lqirupäwlfr/ txh frqvwd gh wuhv hvwdflrqhv gh wudedmr/ vh glvsrqh gh xq phfdqlvpr gh vhjxulgdg frqvlvwhqwh hq od hmhfxflöq vxfhvl0 yd gh grv surjudpdv lgìqwlfrv gh ghwhfflöq gh lqwuxvrv hq odv glvwlqwdv pätxlqdv1 Dvð/ sdud xq surjudpd mr/ sulphur vh hmhfxwd frpsohwdphqwh hq od hvwdflöq 4/ oxhjr vh hmhfxwd hq od 5/ xqd yh} whuplqdgd vx hmhfxflöq vh hmhfxwd hq od hvwdflöq 6/ oxhjr sdvd d hmhfxwduvh gh qxhyr hq od 4 | dvð vxfhvlydphqwh1 Ghelgr d odv fdudfwhuðvwlfdv gho vlvwhpd vh vdeh txh orv grv surjudpdv qr sxhghq hmhfxwduvh vlpxowäqhdphqwh hq xqd plvpd hvwdflöq/ hvshudqgr/ ho ýowlpr hq oohjdu/ d txh whuplqh od hmhfxflöq ho sulphur1 Reyldphqwh/ fxdqgr orv surjudpdv vh hqfxhqwudq hq glvwlq0 wdv pätxlqdv/ od hmhfxflöq hv vlpxowäqhd1 Ho wlhpsr gh hmhfxflöq gh fdgd surjudpd hv dohdwrulr | frq glvwulexflöq h{srqhqfldo gh phgld 4 vhjxqgr/ sdud odv hvwdflrqhv 4 | 5/ | 5 vhjxqgrv sdud od hvwdflöq 6 +frq surfhvdgru päv ohqwr,1 Fdofxodu= +d, Od suredelolgdg gh txh qr kd|d qlqjýq ghwhfwru gh lqwuxvrv hq od hvwdflöq 41 +e, Ho qýphur phglr gh ghwhfwruhv gh lqwuxvrv hq od hvwdflöq 61 +f, Ho wlhpsr phglr txh wudqvfxuuh ghvgh txh xq ghwhfwru gh lqwuxvrv oohjd d od hvwdflöq 6 kdvwd txh whuplqd wrwdophqwh vx hmhfxflöq1 +g, Ho wlhpsr phglr txh wdugd xq ghwhfwru gh lqwuxvrv hq gdu xqd yxhowd frpsohwd gh frpsuredflöq hq ho vlvwhpd1 202 Introducción a la Simulación y a la Teoría de Colas Ricardo Cao Abad 441 Grv lpsuhvrudv gh xq fhqwur gh fäofxor vh dyhuðdq frq pxfkd iuhfxhqfld1 Sdud fdgd lpsuhvrud/ ho wlhpsr kdvwd od suö{lpd dyhuðd wlhqh glvwulexflöq h{srqhqfldo frq phgld gh 48 gðdv1 Fdgd yh} txh xqd gh hoodv hvwä ixhud gh vhuylflr/ hq xq :8( gh orv fdvrv od lqwhqwd uhsdudu xq wìfqlfr gho surslr fhqwur gh fäofxor/ vlhqgr ho wlhpsr txh hpsohd/ h{srqhqfldo frq phgld gh 9 gðdv1 Hq ho 58( uhvwdqwh gh orv fdvrv od lpsuhvrud hv hqyldgd gluhfwdphqwh d xq vhuylflr wìfqlfr/ hq ho txh kd| xq rshudulr txh wdugd hq vxevdqdu od dyhuðd xq wlhpsr h{srqhqfldo frq phgld gh 6 gðdv1 Hq uhdolgdg/ ghvsxìv gh txh xqd lpsuhvrud dyhuldgd kd|d vlgr uhylvdgd hq ho fhqwur gh fäofxor/ h{lvwh od srvlelolgdg +hq od whufhud sduwh gh fdvrv, gh qhfhvlwdu wrgdyðd ho vhu uhsdudgd sru ho vhuylflr wìfqlfr1 ÁFxäo hv od suredelolgdg gh txh odv grv lpsuhvrudv hvwìq ixhud gh vhuylflrB 13 Colas con distribuciones arbitrarias de llegada y servicio Colas con distribuciones arbitrarias de llegada y servicio 205 461 0 Hq hvwh fdsðwxor vh hvwxglduäq dojxqdv vlwxdflrqhv hq odv txh od glvwulexflöq gho wlhpsr hqwuh oohjdgdv r od gho wlhpsr gh vhuylflr ghmd gh vhu h{srqhqfldo1 Hq od suäfwlfd kdelwxdo ududphqwh hvwdv glvwulexflrqhv vh dmxvwdq d xqd h{srqhq0 fldo shur/ frpr vh yhuä ho khfkr gh ghvkdfhuqrv gh hvwd uhvwulfflöq dfduuhduä qrwdeohv sureohpdv gh fäofxor sdud ghgxflu orv ydoruhv gh orv sduäphwurv gh frpsruwdplhqwr gho vlvwhpd1 D or odujr gh hvwh whpd qrv fhqwuduhprv wdq vöor hq ho hvwxglr gh xqr gh orv prghorv päv vlpsohv txh srghprv lpdjlqdu/ ho *C*/ hv ghflu ho fdvr gh xqd frod frq xq vöor vhuylgru/ wlhpsrv hqwuh ooh0 jdgdv h{srqhqfldohv | wlhpsrv gh vhuylflr frq glvwulexflöq jhqhudo/ C1 Frpr froriöq lqfoxluhprv dojxqdv lghdv px| jhqhudohv vreuh föpr xwlol}du od vlpx0 odflöq d prgr gh khuudplhqwd sdud srghu dsur{lpdu odv vroxflrqhv d sureohpdv gh whruðd gh frodv fxdqgr qrv ghvyldprv gh odv klsöwhvlv gh h{srqhqfldolgdg1 4614 Ho prghor P2J24 Frpr vx qrpeuh lqglfd/ vh wudwd gho vlvwhpd gh xqd frod frq xq ýqlfr vhuylgru/ frq wlhpsr hqwuh oohjdgdv gh folhqwhv frqvhfxwlyrv frq glvwulexflöq h{srqhqfldo | frq wlhpsr gh vhuylflr gh glvwulexflöq duelwuduld/ C1 Hq hvwh frqwh{wr/ b vhjxluä vlhqgr ho sduäphwur gh od h{srqhqfldo txh uljh orv wlhpsrv hqwuh grv oohjdgdv gh folhqwhv frqvhfxwlyrv1 Hvwr vljqlfd txh ho qýphur gh folhqwhv txh oohjdq do vlvwhpd sru xqlgdg gh wlhpsr vhuä wdpelìq b1 Frpr od glvwulexflöq C qr wlhqh srutxì vhu h{srqhqfldo/ ho sduäphwur > sdvduä dkrud d vljqlfdu ho lqyhuvr gho wlhpsr phglr gh vhuylflr/ hv ghflu >' 1 . EC Lqwxlwlydphqwh jxdugd xqd uhodflöq gluhfwd frq ho qýphur phglr gh folhqwhv txh hv fdsd} gh vhuylu ho vhuylgru sru xqlgdg gh wlhpsr +dxqtxh sxhghq qr frlqflglu h{dfwdphqwh,1 Hq or txh vljxh wudwduhprv gh ghgxflu odv iöupxodv txh qrv shuplwdq rewhqhu orv ydoruhv gh orv sduäphwurv gh lqwhuìv hq xq vlvwhpd frpr hvwh1 Sdud hoor/ ghqrwduhprv sru f? od yduldeoh dohdwruld txh frqwdelol}d ho qýphur gh folhqwhv hq ho vlvwhpd fxdqgr ho ?0ìvlpr folhqwh or dedqgrqd1 Ghqöwhvh sru ? ho qýphur gh folhqwhv txh oohjdq gxudqwh ho wlhpsr gh vhuylflr gho ?0ìvlpr folhqwh1 Uhvxowd iäflo uhodflrqdu dpedv fdqwlgdghv gh od vljxlhqwh irupd= f?n ' f? L Ef? n ?n / 206 Introducción a la Simulación y a la Teoría de Colas Ricardo Cao Abad grqgh L Ef? ' vl f? : f f vl f? ' f Wrpdqgr hvshudq}dv hq od h{suhvlöq dqwhulru | vxsrqlhqgr hvwdflrqdulhgdg +l1h1/ u ' . Ef? ' . Ef?n , vh wlhqh= u ' u . EL Ef? n . E?n / frq or fxdo= . EL Ef? ' . E?n ' Ef? : f 1 Hvwd ýowlpd fdqwlgdg sxhgh kdooduvh xvdqgr od glvwulexflöq gh od yduldeoh dohdwr0 uld 7?n / txh ghqrwd ho wlhpsr gh vhuylflr gho E? n 0ìvlpr folhqwh/ txh hq hvwh fdvr wlhqh glvwulexflöq jhqhudo/ txh vxsrqguhprv frqwlqxd | frq ghqvlgdg }= l ] " k . E?n ' . . ?n m7?n ' . ?n m7?n '| } E| _| f ] " b ' b|} E| _| ' b. E7?n ' 'G 41 > f Orv fäofxorv vhuðdq vhphmdqwhv vl od glvwulexflöq gh 7?n ixhvh glvfuhwd r lqofxvr frq sduwh frqwlqxd | sduwh glvfuhwd1 Hq fxdotxlhu fdvr ho uhvxowdgr qdo do txh vh oohjd hv ho plvpr1 Sru rwud sduwh/ hohydqgr do fxdgudgr orv wìuplqrv gh od h{suhvlöq txh uhod0 flrqd f?n frq f? | ?n / vh rewlhqh= 2 f?n ' f?2 n L Ef? 2 n 2?n 2f? L Ef? n 2f? ?n 2L Ef? ?n ' f?2 n L Ef? n 2?n 2f? n 2f? ?n 2L Ef? ?n 1 Wrpdqgr gh qxhyr hvshudq}dv | whqlhqgr hq fxhqwd od lqghshqghqfld hqwuh f? | ?n vh vljxh= 2 . f?n ' . f?2 n . EL Ef? n . 2?n 2. Ef? n2. Ef? . E?n 2. EL Ef? . E?n ' . f?2 n 4 n . 2?n 2u n 2u4 242 1 Xwlol}dqgr rwud yh} od hvwdflrqdulhgdg oohjdprv d 2u 2u4 ' 4 242 n . 2?n / frq or fxdo 2u E 4 ' 4 242 n . 2?n | dvð 4 242 n . 2?n 1 u ' 2 E 4 Sdud hqfrqwudu h{suhvlöq fhuudgd gh u ghehprv rewhqhu rwud txh shuplwd 2 xqd h{suhvdu . ?n hq wìuplqrv gh fdqwlgdghv frqrflgdv= . 2?n ' T @o E?n n . E?n 2 ' T @o E?n n 42 / Colas con distribuciones arbitrarias de llegada y servicio 207 shur/ d vx yh}/ l k l k T @o E?n ' . T @o ?n m7?n n T @o . ?n m7?n ' . Eb7?n n T @o Eb7?n ' b n b2 j 27 ' 4 n b2 j 27 / > vlhqgr j 27 od yduldq}d gho wlhpsr gh vhuylflr +hv ghflu j 27 ' T @o EC,1 Dvð/ srghprv oohjdu d od h{suhvlöq . 2?n ' 4 n b2 j27 n 42 / txh qrv shuplwh qdophqwh rewhqhu od gho qýphur phglr gh folhqwhv hq ho vlv0 whpd= 24 242 n 42 n b2 j 27 4 242 n 4 n b2 j 27 n 42 ' 2 E 4 2 E 4 2 2 2 4 n b j7 ' 4n 1 2 E 4 u ' Hvwd ýowlpd h{suhvlöq= u'4n 42 n b2 j 27 2 E 4 hv od oodpdgd iöupxod gh Sroodf}hn0Nklqwfklqh | d sduwlu gh hood sxhghq rewh0 qhuvh ` / `^ | u^ |d txh vljxhq yhulfäqgrvh odv iöupxodv gh Olwwoh | od uhodflöq hqwuh wlhpsrv phglrv hq ho vlvwhpd | hq od frod1 Hv gljqr gh phqflöq txh/ frpr fdvr sduwlfxodu/ vh rewlhqh od |d frqrflgd iöupxod sdud ho prghor **/ sxhv/ hq ho fdvr C ' vh wlhqh txh j 27 ' >2 / frq or fxdo u** ' 4 n 42 4 42 n 42 4 42 n 42 '4n ' ' 1 2 E 4 4 4 4 Reyldphqwh/ od glvwulexflöq C txh suryrfd xq ydoru gh u phqru +mdgr >, hv od glvwulexflöq ghjhqhudgd hq ho ydoru > +txh ghqrwduhprv sru (,/ txh fruuhvsrqgh frq xq vhuylflr gh gxudflöq frqvwdqwh h ljxdo d glfkr ydoru1 Hvwr hv lqphgldwr sxhv j 27 ' f |/ sru wdqwr u*(* ' 4 n 24 242 n 42 4 4 42 ' ' / 2 E 4 2 E 4 4 2 txh hq ho fdvr oðplwh +4 $ 3 , whqghuðd d vhu od plwdg gho **1 Gh od iöupxod gh Sroodf}hn0Nklqwfklqh sxhgh ghgxfluvh od glvwulexflöq gho wlhpsr gh vhuylflr hq ho qýphur phglr vlvwhpd sru xqlgdg gh wlhpsr sxhgh vhu lqqlwdphqwh judqgh1 dqäorjr sdud xq txh ho hihfwr gh gh folhqwhv hq ho Dvð/ sru hmhpsor/ 208 Introducción a la Simulación y a la Teoría de Colas Ricardo Cao Abad frqvlghudqgr sdud ho wlhpsr gh vhuylflr/ 7/ xqd glvwulexflöq glvfuhwd frq pdvd gh suredelolgdg vreuh ho fhur | rwur sxqwr sdud txh vx phgld vhd > / whqhprv= E7 ' f ' R 7' ' R >R frq R 5 Efc o1 Hv hylghqwh txh . E7 ' > 1 Dghpäv/ . 72 ' >2 R2 R' frq or fxdo j27 ' T @o E7 ' >2 R / >2 R 2 R ' 2 1 > >R Gh hvwd pdqhud/ od iöupxod gh Sroodf}hn0Nklqwfklqh qrv oohyd d 42 n 3R 42 n b2 3R 2 R 42 > R '4n '4n u'4n 2 E 4 2 E 4 2 E 4 R txh hv xqd fdqwlgdg txh wlhqgh d 4 fxdqgr R $ fn 1 Glfkr hq rwurv wìuplqrv/ dýq frqvlghudqgr ydoruhv mrv gh b | >/ ho qýphur phglr gh folhqwhv hq xq vlvwhpd *C* sxhgh vhu wdq hohydgr frpr vh ghvhh vlq päv txh hohjlu xqd glvwulexflöq gho wlhpsr gh vhuylflr vxflhqwhphqwh ghvidyrudeoh +hv ghflu frq yduldq}d vxflhqwhphqwh judqgh,1 Hvwr lqflgh/ xqd yh} päv/ hq odv judyhv frqvhfxhqfldv txh sxhgh whqhu ho hvshflfdu lqfruuhfwdphqwh od glvwulexflöq gho wlhpsr gh vhuylflr1 Frpr vh kd ylvwr/ od rewhqflöq gh xqd iöupxod sdud u hq xq prghor *C* jhqhudo hv dojr edvwdqwh oderulrvr1 Wrgdyðd päv or hv ho fäofxor gh odv sured0 elolgdghv gh orv glvwlqwrv hvwdgrv gho vlvwhpd | dýq shru sdud odv ixqflrqhv gh glvwulexflöq ` E| | `^ E|1 Gduhprv vöor xqd lghd jhqhudo gh föpr fdofxodu odv R? 1 Sxhgh ghprvwuduvh txh odv suredelolgdghv gh orv glvwlqwrv hvwdgrv +R? , vrq vroxflöq gho vljxlhqwh vlvwhpd gh lqqlwdv hfxdflrqhv= R? ' Rf &? n ?n [ R6 &?36n / sdud ? ' fc c 2c 6' vlhqgr ; U " e3b| Eb|? ? f } E| _| hq ho fdvr frqwlqxr ?S e3br Ebr ? &? ' E6 ' ? ' vl 7 hv glvfuhwd frq = ^ ?^ = pdvd gh suredelolgdg Colas con distribuciones arbitrarias de llegada y servicio 209 Gdgr txh hq pxfkdv rfdvlrqhv uhvxowd gliðflo uhvroyhu ho vlvwhpd vxhoh dfx0 gluvh d odv ixqflrqhv fdudfwhuðvwlfdv sdud hqfrqwudu od vroxflöq1 Od lghd frqvlvwh hq ghqlu E5 ' " [ R? 5 ? | g E5 ' ?'f " [ &? 5 ? / ?'f txh hvwäq uhodflrqdgdv d wudyìv gh od ljxdogdg E5 ' E 4 E 5 g E5 1 g E5 5 Gdgr txh odv frqvwdqwhv &? vrq fdofxodeohv +frq pd|ru r phqru glfxowdg, d sduwlu gh od glvwulexflöq gho wlhpsr gh vhuylflr | kdelgd fxhqwd gh odv uhodflrqhv hqwuh odv frqvwdqwhv gho ghvduuroor hq vhulh gh odv ixqflrqhv fdudfwhuðvwlfdv | vxv ghulydgdv vxfhvlydv hq ho sxqwr fhur Ef ' Rf / g Ef ' &f Ef ' R / g Ef ' & Ef ' 2R2 / g Ef ' 2&2 11 1 E? Ef ' ?-R? / g E? Ef ' ?-&? 11 1 srghprv hqfrqwudu iöupxodv txh shuplwdq ho fäofxor gh odv R? 1 Yhdprv xq hmhpsor1 Hmhpsor 87 Gdgr xq prghor *(*/ fdofxodu odv iöupxodv sdud odv sured0 elolgdghv gh ? folhqwhv hq ho vlvwhpd1 Vroxflöq= Do vhu ghjhqhudgd od glvwulexflöq gho vhuylflr vh wlhqh ' 7' > |/ sru wdqwr/ &? ' ? e3b > b > ?- ' e34 4? / sdud wrgr ? ' fc c 2c ?- Gh hvwr vh vljxh txh g E5 ' " [ &? 5 ? ' ?'f 34 45 ' e e " [ e34 4? ?'f 4E53 'e ?1 5 ? ' e34 " [ E45? ?'f ?- 210 Introducción a la Simulación y a la Teoría de Colas Ricardo Cao Abad Xwlol}dqgr hvwd h{suhvlöq uhvxowd E5 ' 5 E 4 E 5 e4E53 1 ' E 4 e4E53 5 5e34E53 Hq sduwlfxodu Rf ' Ef ' 4c 5 c E5 ' E 4 5e34E53 n e34E53 5 2 4 n e34E53 54e34E53 c E5 ' E 4 2 E 5e34E53 R ' Ef ' E 4 Ee4 c E5 ' E 4 e34E53 2 e54 n 5 2 42 n 24 542 n e34E53 E5 42 2 n 254 5 2 42 c E n 5e34E53 Ef E 4 e4 E2 n 2e4 24 R2 ' ' 2 2 ' E 4 e4 E n e4 4 1 Frq fäofxorv vhphmdqwhv shur oderulrvrv vh sxhgh rewhqhu R ' ' Re ' ' ' Ef E 4 e4 ES4 n 42 n Se24 Se4 24e4 ' S 4 2 24 4 E 4 e 4 n 4 n e e E24 n c 2 Ee Ef eE 4 e4 EeH4e4 2ee24 242 e4 n eH42 e4 .2e24 4 n 2ee4 2e 4 4 24 2 2 4 24 4 1 E 4 e 24e e 4 4 n 24 e e 4 n e 2 S Gh khfkr/ sxhgh ghprvwuduvh sru lqgxfflöq od vljxlhqwh iöupxod jhqhudo + R? ' E 4 e?4 n sdud ? ' fc c 2c ?3 [ ' % ?3 4 E e E4?3 E4?33 n E? - E? - &, / Dxqtxh hq ho hmhpsor dqwhulru vh sxgr rewhqhu xqd iöupxod jhqhudo sdud wrgrv orv &? | hvwö shuplwlö hqfrqwudu xqd h{suhvlöq fhuudgd sdud od ixqflöq g E5 hvwr qr hv vlhpsuh srvleoh1 Gh wrgrv prgrv hv iäflo gduvh fxhqwd gh txh edvwd frqrfhu xq qýphur qlwr gh &? +orv sulphurv, sdud srghu lu rewhqlhqgr Colas con distribuciones arbitrarias de llegada y servicio 211 xqdv fxdqwdv R? 1 Od irupd gh frqvhjxluor hv ghulydu irupdophqwh vxfhvlydphqwh dperv plhpeurv gh od h{suhvlöq E5 ' E 4 E 5 g E5 g E5 5 h lu hydoxdqgr glfkdv ghulydgdv vxfhvlydv hq 5 ' f1 Frq hvwr vh luäq hqfrq0 wudqgr h{suhvlrqhv gh odv vxfhvlydv R? hq wìuplqrv gh &f c & c c &? 1 Dvð/ sru hmhpsor= Ef ' E 4 &f E 4 E f g Ef ' ' 4/ g Ef f &f frq or fxdo vh wlhqh txh Rf ' Ef ' 4 sdud fxdotxlhu prghor *C*1 Dghpäv E5 ' E 4 |/ sru wdqwr/ dg E5 n E 5 g E5o dg E5 5o E 5 g E5 dg E5 o dg E5 5o2 Ef ' E 4 idg Ef n E f g Efo dg Ef fo 32 Ef4foidg E f g Ef dg Ef oj'dg E Ef Ef n E f g Efo dg E f g Ef dg Ef oj dg Ef fo32 E&f n & &f &f E& E&f n & &f &f E& ' E 4 &f2 ' E 4 &f2 &f2 n &f ' E 4 ' E 4 &1f2 n &f 2 ' E& ' E 4 &f f 4 &f2 &f Sxglhqgr vhjxlu +frq ho lqfrqyhqlhqwh gh od frpsohmlgdg gh fäofxor, wdqwr frpr vh ghvhh1 4615 Dsur{lpdflöq phgldqwh vlpxodflöq Frpr khprv ylvwr hq ho fdvr gh xq prghor *C* od uhvroxflöq dqdoðwlfd gh xq prghor gh frodv sxhgh frpsolfduvh pxfkr fxdqgr od glvwulexflöq gho wlhpsr hqwuh oohjdgdv r od gho wlhpsr gh vhuylflr qr vrq h{srqhqfldohv1 Od vlpxodflöq sursruflrqd xqd khuudplhqwd txh shuplwh hqfrqwudu/ gh irupd dsur{lpdgd/ orv ydoruhv gh odv fdqwlgdghv txh kdelwxdophqwh qrv lqwhuhvdq hq wdohv prghorv1 Frpr vdehprv/ xqd idvh suhyld d od uhvroxflöq gh xq sureohpd phgldqwh vlpxodflöq hv od prghol}dflöq gh od uhdolgdg1 Hvwr frqvlvwh hq hvshflfdu odv 212 Introducción a la Simulación y a la Teoría de Colas Ricardo Cao Abad yduldeohv uhdophqwh lpsruwdqwhv txh sduhfhq uhjlu ho vlvwhpd uhdo | odv uhod0 flrqhv txh h{lvwhq hqwuh hoodv1 Hq rfdvlrqhv od idvh gh prghol}dflöq hv px| oderulrvd frq iuhfxhqwhv uhdolphqwdflrqhv hq odv txh vh yd ghsxudqgr ho prghor frqvwuxðgr sdvr d sdvr1 Hq hvwh vhqwlgr/ od whruðd gh frodv hv suhflvdphqwh xqd glvflsolqd txh wudwd gh prghol}du vlwxdflrqhv uhdohv hq odv txh h{lvwh hvshud sdud gdu xq vhuylflr1 Dvð/ sru wdqwr/ vxsrqguhprv txh ho sureohpd |d vh kd h{suhvdgr frpr xq prghor gh whruðd gh frodv | txh vh kdq hvshflfdgr |d odv glvwulexflrqhv gho wlhpsr hqwuh oohjdgdv | gho wlhpsr gh vhuylflr1 Reyldphqwh hvwr ýowlpr kd gh uhtxhulu xqd h{shulphqwdflöq uhdo suhyld sru od fxdo vh kd|dq lgr revhuydqgr orv wlhpsrv sdud xqd vhulh gh folhqwhv gh dpedv yduldeohv1 Ql txì ghflu wlhqh txh/ vlhpsuh txh ho prghor sxhgd uhvroyhuvh gh irupd dqdoðwl0 fd +sru hmhpsor xq **r*4*M, ìvwd vhuä suhihuleoh d od dsur{lpdflöq sru vlpxodflöq/ sxhv gd xqd vroxflöq h{dfwd1 Gh wrgdv irupdv/ hq pxfkrv fdvrv +vreuh wrgr dqwh od idowd gh h{srqhqfldolgdg, glfkd uhvroxflöq dqdoðwlfd qr vhuä idfwleoh r vhuä px| frvwrvd | hv hqwrqfhv fxdqgr od dsur{lpdflöq sru vlpxodflöq uhvxowd px| ýwlo1 Sdud mdu odv lghdv/ frqvlghuhprv xq prghor gh frodv px| vhqfloor shur sdud ho txh qr glvsrqhprv +frq orv frqrflplhqwrv ylvwrv kdvwd dkrud, gh xqd khuudplhqwd dqdoðwlfd sdud uhvroyhuor1 Shqvhprv hq xqd frod frq xq ýqlfr vhuyl0 gru/ fdsdflgdg gh kdvwd wuhv folhqwhv hq od frod | ixhqwh gh hqwudgd lolplwdgd1 Vxsrqjdprv txh/ hq edvh d h{shulphqwdflöq suhyld/ khprv hqfrqwudgr txh od irupd ud}rqdeoh gh prghol}du orv wlhpsrv hqwuh oohjdgdv hv od glvwulexflöq gh Zhlexoo/ ` Eqc k/ txh hv xqd jhqhudol}dflöq gh od glvwulexflöq i T Ek1 Vx ixqflöq gh ghqvlgdg gh suredelolgdg hv k s E% ' kq k %k3 e3Eq% / sdud wrgr % f1 g Frpr vh yh/ ` Eqc ' i T Eq/ shur qrvrwurv vxsrqguhprv txh hq qxhv0 wur hmhpsor orv wlhpsrv hqwuh oohjdgdv +hq plqxwrv, sduhfhq dmxvwduvh d xqd ` Efc f2D1 Gh irupd sduhflgd/ wudv orv hvwxglrv rsruwxqrv khprv oohjdgr d od frqfoxvlöq gh txh od gxudflöq hq plqxwrv gho wlhpsr gh vhuylflr vljxh xqd L E2c H1 Vh wudwd/ sru wdqwr/ gh xq prghor `*L**1 Sdud hqfrqwudu phgldqwh vlpxodflöq dsur{lpdflrqhv gh odv fdqwlgdghv gh lqwhuìv srghprv surfhghu gho vljxlhqwh prgr= 41 Vxsrqhu lqlfldophqwh txh qr kd| qlqjýq folhqwh hq ho vlvwhpd +l1h1 ' f,1 51 Vlpxodu duwlfldophqwh ho wlhpsr txh wdugduä hq oohjdu ho sulphu folhqwh +gh dfxhugr d xqd glvwulexflöq ` Efc f2D,1 61 Xqd yh} ghmdgr wudqvfxuulu glfkr wlhpsr hq ho furqöphwur duwlfldo gho vlvwhpd/ dfwxdol}du ho qýphur gh folhqwhv gho vlvwhpd + ' ,/ rewhqhu/ phgldqwh ho dojrulwpr gh jhqhudflöq gh qýphurv dohdwrulrv vhjýq xqd L E2c H/ ho ydoru gho wlhpsr txh wdugduðd hq gäuvhoh vhuylflr d glfkr folhqwh | wdpelìq ho wlhpsr txh wudqvfxuuluðd kdvwd od oohjdgd do vlvwhpd gho vhjxqgr folhqwh +vhjýq xqd ` Efc f2D,1 Colas con distribuciones arbitrarias de llegada y servicio 213 71 Frpsdudu dperv wlhpsrv sdud vdehu fxäo gh dpedv frvdv vxfhghuä dqwhv | ghmdu wudqvfxuulu ho wlhpsr gh hvh vxfhvr +ho txh dqwhv vxfhgh,1 81 Vl or txh rfxuuh dqwhv hv txh oohjd ho qxhyr folhqwh hqwrqfhv vh kduðd ' 2/ frqwdelol}dqgr ho wlhpsr gxudqwh ho fxäo kd kdelgr xq folhqwh hq ho vlvwhpd1 Dghpäv ghehuðdprv vlpxodu ho wlhpsr kdvwd od oohjdgd gho whufhu folhqwh | vhjxlu ho surfhvr1 91 Hq ho fdvr gh txh ho phqru gh orv wlhpsrv gho sdvr 7 ixhvh ho gh vhuylflr/ vh dfwxdol}duðd gäqgroh ho ydoru f | whqlhqgr hq fxhqwd ho wlhpsr gx0 udqwh ho fxäo kd kdelgr xq folhqwh hq ho vlvwhpd1 Oxhjr kdeuðd txh ghmdu wudqvfxuulu or txh uhvwd gh wlhpsr kdvwd od oohjdgd gho vhjxqgr folhqwh | frqwlqxdu ho surfhvr1 :1 Vhjýq ho hvtxhpd dqwhulru vh vlpxoduðdq odv oohjdgdv gh qxhyrv folhqwhv do vlvwhpd | orv wlhpsrv gh vhuylflr gh folhqwhv/ whqlhqgr hq fxhqwd od uhvwulfflöq dglflrqdo gh txh vl ho lqvwdqwh gh oohjdgd +whöulfr, gh xq folhqwh do vlvwhpd vh surgxfh fxdqgr |d kd| wuhv hq frod +dghpäv gho txh hvwä vlhqgr vhuylgr, hqwrqfhv od olplwdflöq gh od frod suryrfduðd txh hvh folhqwh qr sxhgh hqwudu/ vlpxoäqgrvh ho wlhpsr kdvwd od vljxlhqwh oohjdgd1 Frpr vh sxhgh yhu hq orv sdvrv dqwhulruhv/ xqd vlpxodflöq gh hvwd qdwxudoh}d +od oodpdgd vlpxodflöq sru hyhqwrv, uhtxhuluðd od frqwdelol}dflöq gh xqd vhulh gh yduldeohv txh qrv yd|dq gdqgr ho hvwdgr gho vlvwhpd hq fdgd lqvwdqwh= ho qýphur gh folhqwhv hq ho vlvwhpd/ ho wlhpsr txh idowd sdud txh vh surgx}fd od vljxlhqwh oohjdgd | ho wlhpsr txh uhvwd sdud whuplqdu ho vhuylflr gho folhqwh txh hvwä vlhqgr vhuylgr +vl or hvwä vlhqgr dojxqr,1 Oöjlfdphqwh/ sdud lpsohphqwdu hvwd vlpxodflöq vhuä qhfhvdulr xwlol}du orv dojrulwprv ylvwrv hq orv sulphurv fdslwxorv/ txh shuplwluäq rewhqhu ydoruhv duwlfldohv txh vljdq odv glvwulexflrqhv hvshflfdgdv1 Dvð/ hq hvwh fdvr txh hvwdprv ylhqgr d wðwxor gh hmhpsor/ sxhgh xvduvh ho pìwrgr gh lqyhuvlöq sdud vlpxodu iäflophqwh odv glvwulexflrqhv ` Efc f2D | L E2c H1 Sdud hoor edvwd rewhqhu sulphudphqwh vxv ixqflrqhv gh glvwulexflöq= ] 8 E% ' f % ] s E| _| ' ' e 3Eq%k f % l k k k |'% kq k |k3 e3Eq| _| ' e3Eq| |'f c vl % f/ sdud od Zhlexoo/ 3Efu%f2D frq or fxdo/ 8 E% ' e c vl % f/ sdud od ` Efc f2D | ] % ] % _| } E| _| ' C E% ' 2 2 S %2 ' c vl % 5 d2c Ho/ sdud od L E2c H S 214 Introducción a la Simulación y a la Teoría de Colas Ricardo Cao Abad | oxhjr hqfrqwudu vxv uhvshfwlydv lqyhuvdv= f2D f2D 8 E% ' + / e3Efu% ' + / e3Efu% ' + / Ef %f2D ' *? E + / f % ' d *? E +oe / % ' f d *? E +oe / 8 3 E+ ' f d*? E +oe / %2 C E% ' + / ' + / % ' S+ n 2 / C3 E+ ' S+ n 21 S Ilqdophqwh/ orv dojrulwprv sdud vlpxodu dpedv glvwulexflrqhv vhuðdq= Dojrulwpr gh lqyhuvlöq sdud vlpxodu od glvwulexflöq ` Efc f2D 41 Jhqhudu L L Efc 1 51 Ghyroyhu f ' f d*? E L oe 1 Dojrulwpr gh lqyhuvlöq sdud vlpxodu od glvwulexflöq L E2c H 41 Jhqhudu L L Efc 1 51 Ghyroyhu t ' SL n 21 Phgldqwh xqd surjudpd gh vlpxodflöq frpr ho hver}dgr päv duuled vhuðd srvleoh rewhqhu dsur{lpdflrqhv sdud odv fdqwlgdghv gh lqwhuìv1 Dvð/ sru hmhp0 sor/ od suredelolgdg gh txh kxelhvh 5 folhqwhv hq ho vlvwhpd vh dsur{lpduðd phgldqwh od iudfflöq gho wlhpsr vlpxodgr hq ho txh ho vlvwhpd duwlfldo wxyr hvh qýphur gh folhqwhv1 Ho wlhpsr phglr txh xq folhqwh sdvd hq od frod sxhgh dsur{lpduvh phgldqwh vlpxodflöq xwlol}dqgr ho surphglr gh orv wlhpsrv hq od frod gh orv folhqwhv txh kdq sdvdgr sru od vlpxodflöq1 4616 Hmhuflflrv sursxhvwrv 41 Wrpdqgr frpr mdv odv wdvdv gh oohjdgd | vhuylflr hq xq prghor *C*/ Áfxäo hv od glvwulexflöq gho wlhpsr gh vhuylflr txh sursruflrqd xq phqru qýphur phglr gh folhqwhv hq ho vlvwhpdB ÁTxì uhodflöq jxdugd glfkr ydoru pðqlpr frq ho fruuhvsrqglhqwh d xq prghor **B 51 D xqd fhqwudolwd whohiöqlfd oohjdq oodpdgdv/ vhjýq xq surfhvr gh Srlvvrq/ d ud}öq gh 7 sru plqxwr1 Ho wlhpsr txh hpsohd od ýqlfd whohirqlvwd hq gluhfflrqdu fdgd oodpdgd vljxh xqd glvwulexflöq glvfuhwd frq orv ydoruhv gh 8 vhjxqgrv/ frq suredelolgdg 2 | 48 vhjxqgrv frq suredelolgdg 2 1 Vxsrqlhqgr txh odv oodpdgdv uhflelgdv plhqwudv od rshudgrud hvwä rfxsd0 gd vh pdqwlhqhq hq hvshud sdud vhu dwhqglgdv vhjýq vx rughq gh oohjdgd/ fdofxodu= +d, Ho qýphur phglr gh oodpdgdv hq hvshud +lqfox|hqgr od txh hvwä dwhqglhqgr od whohirqlvwd,1 Colas con distribuciones arbitrarias de llegada y servicio 215 +e, Od suredelolgdg gh txh kd|d päv gh xqd oodpdgd hvshudqgr d vhu dwhqglgd sru od whohirqlvwd1 61 Gdgr xq prghor *K E^ >c ^ */ rewhqhu ho ydoru gho qýphur phglr gh folhqwhv hq ho vlvwhpd frpr ixqflöq gh od wdvd gh oohjdgdv/ b/ | orv grv sduäphwurv lqyroxfudgrv hq od glvwulexflöq gho vhuylflr/ > | ^1 Gdgr txh ^ ' > / glvfxwlu orv ydoruhv txh od phgld gh od glvwulexflöq gh vhuylflr hv >u^ vh rewlhqhq sdud od fdqwlgdg dqwhulruphqwh kdoodgd/ frq uhvshfwr d od gh xq prghor ** +frq wdvd gh oohjdgdv b | wdvd gh vhuylflrv >,/ vhjýq orv ydoruhv gh ^ : f1 ÁD txh ydoruhv wlhqgh glfkd fdqwlgdg hq orv fdvrv h{wuhprv +^ $ fn | ^ $ 4,B 14 Bibliografía Bibliografía 219 471 0 Doohq/ D1R1 +4<<3,1 Suredelolw|/ vwdwlvwlfv dqg txhxhlqj wkhru| zlwk frpsxwhu vflhqfh dssolfdwlrqv1 Dfdghplf Suhvv1 D}dudqj/ P1 U1 | Jdufðd Gxqqd/ H1 +4<<9,1 Vlpxodflöq | dqäolvlv gh prghorv hvwrfävwlfrv1 PfJudz0Kloo1 Eudwoh|/ S1/ Ir{/ E1 O1 | Vfkudjh O1 H1 +4<<3,1 D jxlgh wr vlpxodwlrq1 Vsulqjhu0 Yhuodj1 Exqgd|/ E1G1 +4<<9,1 Dq lqwurgxfwlrq wr txhxhlqj wkhru|1 Duqrog1 Ghyur|h/ O1 +4<;9,1 Qrq0xqlirup udqgrp yduldwh jhqhudwlrq1 Vsulqjhu0Yhuodj1 Jhohqeh/ H1 | Sxmrooh/ J1 +4<;:,1 Lqwurgxfwlrq wr txhxhlqj qhwzrunv1 Zloh|1 Jhqwoh/ M1H1 +4<<;,1 Udqgrp qxpehu jhqhudwlrq dqg Prqwh Fduor phwkrgv1 Vsulqjhu0Yhuodj1 Jurvv/ G1 | Kduulv/ F1P1 +4<;8,1 Ixqgdphqwdov ri txhxhlqj wkhru|1 Zloh|1 Nduldq/ ]1D1 | Gxghzlf} H1M1 +4<<4,1 Prghuq vwdwlvwlfdo v|vwhpv dqg JSVV vlpxodwlrq1 Frpsxwhu Vflhqfh Suhvv1 Nohlqurfn/ O1 +4<:8,1 Txhxhlqj v|vwhpv1 Yroxph L= Wkhru|1 Zloh|1 Nohlqurfn/ O1 +4<:8,1 Txhxhlqj v|vwhpv1 Yroxph LL= Frpsxwhu dssolfdwlrqv1 Zloh|1 Odz/ D1P1 | Nhowrq/ Z1G1 +4<<4,1 Vlpxodwlrq/ prgholqj dqg dqdo|vlv1 PfJudz0 Kloo1 Phgkl/ M1 +4<<4,1 Vwrfkdvwlf prghov lq txhxhlqj wkhru|1 Dfdghplf Suhvv1 Prhvfkolq/ R1/ Ju|fnr/ H1/ Srko/ F1 | Vwhlqhuw/ I1 +4<<;,1 H{shulphqwdo vwr0 fkdvwlfv1 Vsulqjhu0Yhuodj1 Qhovrq/ U1 +4<<8,1 Suredelolw|/ vwrfkdvwlf surfhvvhv/ dqg txhxhlqj wkhru| = wkh pdwkhpdwlfv ri frpsxwhu shuirpdqfh prghoolqj1 Vsulqjhu0Yhuodj1 Urvv/ V1 P1 +4<<<,1 Vlpxodflöq1 Suhqwlfh Kdoo1 Vddw|/ W1O1 +4<;6,1 Hohphqwv ri txhxhlqj wkhru| zlwk dssolfdwlrqv1 Gryhu1 Wulyhgl/ N1V1 +4<;5,1 Suredelolw| dqg vwdwlvwlfv zlwk uholdelolw|/ txhxhlqj wkhru| dqg frpsxwhu vflhqfh dssolfdwlrqv1 Suhqwlfh Kdoo1 Ydq Glmn/ Q1P1 +4<<6,1 Txhxhlqj qhwzrunv dqg surgxfw irupv1 D v|vwhpv dssurdfk1 Zloh|1
