´Indice general

Índice general
II. UNIDAD 2
1.
2.
3.
3
Trigonometrı́a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.1.
Razones trigonométricas de un ángulo . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
Números complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
2.1.
Números complejos: Definición y forma binómica. . . . . . . . . . . .
5
2.2.
Módulo y argumento de un número complejo . . . . . . . . . . . . . .
8
2.3.
Operaciones con números complejos en forma trigonométrica y polar.
9
Ecuaciones logarı́tmicas y ecuaciones exponenciales.
. . . . . . . . . . . . .
10
3.1.
Ecuaciones logarı́tmicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
3.2.
Ecuaciones exponenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
2
ÍNDICE GENERAL
Capı́tulo II
UNIDAD 2
1.
1.1.
Trigonometrı́a
Razones trigonométricas de un ángulo
Un ángulo es una porción de plano limitada por dos semirrectas, los lados, que parten
de un mismo punto llamado vértice.
En un triángulo rectángulo se definen las razones trigonométricas de un ángulo α:
sen α =
cateto opuesto
hipotenusa
cos α =
OA
cateto contiguo
=
hipotenusa
OB
tag α =
cateto opuesto
AB
=
.
cateto contiguo
OA
=
AB
OB
También, para hallar las razones trigonométricas de un ángulo cualquiera nos ayudamos
de una circunferencia de radio 1 cuyo centro es el origen de coordenadas. Cada ángulo,
obtenido por rotación del semieje positivo OX, corta a la circunferencia en un punto
de coordenadas (x, y) (Ver figura). De este modo se definen las razones trigonométricas
como sigue:
sen α =
y
= y;
1
cos α =
x
= x;
1
tag α =
y
.
x
De las igualdades anteriores se deduce que −1 ≤ sen α ≤ 1 y −1 ≤ cos α ≤ 1 para
cualquier ángulo α.
4
Capı́tulo II. UNIDAD 2
Por otra parte, el signo de las coordenadas x e y determina el de las razones trigonométricas. En el siguiente cuadro se indican estos signos.
Cuadrante
sen α
cos α
tag α
I: 0 < α < π/2
+
+
+
II: π/2 < α < π
+
-
-
IIII: π < α < 3π/2
-
-
+
IV: 3π/2 < α < 2π
-
+
-
En la siguiente tabla mostramos los valores del seno y el coseno de algunos ángulos en
el primer cuadrante.
α
cos α
sen α
0
π/6
π/4
π/3 π/2
√
√
1
3/2
2/2 1/2
0
√
√
0 1/2
2/2
3/2
1
Partiendo de las definiciones anteriores, y teniendo en cuenta el teorema de Pitágoras,
se prueba que para cualquier ángulo α se tienen las siguientes propiedades:
sen α
cos α
2
• sen α + cos2 α = 1
1
• tag2 α + 1 =
cos2 α
• tag α =
Por otra parte, llamamos la atención sobre el hecho de que
sen2 α = (sen α)2 6= sen α2
cos2 α = (cos α)2 6= cos α2
tag2 α = (tag α)2 6= tag α2 .
Además de las identidades anteriores, es interesante conocer las siguientes:
Para sumas de ángulos:
sen (a + b) = sen a · cos b + sen b · cos a
cos (a + b) = cos a · cos b − sen a · sen b
Para ángulos dobles:
sen 2a = 2 sen a · cos a
cos 2a = cos2 a − sen2 a
5
§2. Números complejos
Para ángulo mitad:
r
1 − cos a
a
=
sen
2
2
r
a
1 + cos a
cos
=
2
2
Reducción de las razones trigonométricas al primer cuadrante:
Ángulos suplementarios: α y π − α
Ángulos que difieren en π: α y π + α
Ángulos que suman 2π: α y 2π − α
Ángulos opuestos: α y 2 − α
Ángulos complementarios: α y
π
−α
2
Razones trigonométricas de los ángulos asociados a 300 , 450 y 600 .
Ejemplo 1.1 Calcular las razones trigonométricas de los ángulos 1350 , 2400 y −300 .
2.
Números complejos
2.1.
Números complejos: Definición y forma binómica.
Llamaremos número complejo z a un par ordenado de números reales, siendo
def
C = R × R = {(a, b) : ∀ a, b ∈ R} .
Al conjunto C se le llama conjunto de los números complejos.
El número a se denomina la parte real y b la parte imaginaria del número complejo
z.
A los números complejos cuya parte real es cero, z = (0, b), se les llama imaginarios
puros. Análogamente, los nmeros complejos cuya parte imaginaria es cero, z = (a, 0),
se les llama reales puros.
Dos números complejos z1 y z2 son iguales si y sólo si tienen la misma parte real y
la misma parte imaginaria, es decir, si z1 = (a1 , b1 ) y z2 = (a2 , b2 ), entonces:
z1 = z2 ⇔ a1 = a2
∧
b1 = b2
6
Capı́tulo II. UNIDAD 2
En el conjunto C se definen las operaciones suma y producto de la siguiente forma,
z1 + z2 = (a1 , b1 ) + (a2 , b2 ) = (a1 + a2 , b1 + b2 )
z1 · z2 = (a1 , b1 ) · (a2 , b2 ) = (a1 a2 − b1 b2 , a1 b2 + a2 b1 ).
El conjunto (C, +, .) tiene estructura de cuerpo conmutativo.
El elemento neutro para la suma es el número complejo (0, 0) y el simétrico (opuesto)
de un número complejo (a, b) es el número complejo (−a, −b).
El elemento neutro para el producto es el número complejo (1, 0) y que el simétrico
respecto del producto (inverso) de un número complejo (a, b) 6= (0, 0) es el número
complejo
a
−b
,
a2 + b 2 a2 + b 2
.
Dado cualquier número complejo (a, b) se verifica
(a, b) · (1, 0) = (a · 1 − b · 0, a · 0 + b · 1) = (a, b).
Por tanto, el complejo (1, 0) es el elemento neutro para la multiplicación.
Por otro lado, si (a, b) 6= (0, 0), entonces
2
−b
b2
−a b
ab
a
a
,
+
,
+
(a, b) ·
=
= (1, 0),
a2 +b2 a2 +b2
a2 +b2 a2 +b2 a2 +b2 a2 +b2
a
−b
lo que prueba que el inverso de (a, b) es el número complejo
,
.
a2 +b2 a2 +b2
Forma binómica de un complejo: Podemos identificar los números reales con los números
complejos de parte imaginaria cero, es decir,
R ←→
C0
x ←→ (x, 0).
En definitiva lo que hacemos es identificar el número real x con el complejo (x, 0).
Las operaciones suma y producto de números reales se mantienen con esta identificación. En efecto,
x + y = (x, 0) + (y, 0) = (x + y, 0) = x + y
x · y = (x, 0) · (y, 0) = (x y, 0) = x y.
Esta identificación nos permite considerar el conjunto R como un subconjunto de C y
completar ası́ nuestra cadena numérica,
N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C.
7
§2. Números complejos
Notaremos por i al número complejo, i = (0, 1), y lo llamaremos unidad imaginaria.
Teniendo en cuenta que (0, b) = (b, 0) · (0, 1), todo número complejo z = (a, b) se puede
escribir en la forma z = a + bi, con a, b ∈ R, sin más que expresar
z = (a, b) = (a, 0) + (0, b) = (a, 0) + (b, 0) · (0, 1) ≡ a + b i.
La expresión z = a + b i la llamaremos forma binómica del complejo z.
Se cumple que i2 = −1, dado que
i2 = (0, 1) · (0, 1) = (−1, 0) ≡ −1.
Las cuatro primeras potencias de la unidad imaginaria son:
i,
−1,
−i,
1.
Para calcular las demás potencias de i, por ejemplo in , n ∈ N, basta dividir el exponente
n entre 4 y elevar i al resto de dicha división.
Las operaciones elementales con números complejos escritos en forma binómica se
realizan como si fuesen binomios en i, teniendo en cuenta las observaciones sobre las
potencias de i. En efecto, si tomamos z1 = a + b i y z2 = c + d i, entonces
z1 + z2 = (a + b i) + (c + d i) = a + b i + c + d i = a + c + (b + d) i.
z1 · z2 = (a + b i) · (c + d i) = ac + ad i + dc i + bd i2
= ac − bd + (ad + bd)i
Los números complejos se representan mediante vectores del plano. El complejo z =
(a, b) se representa mediante el vector de posición del punto P (a, b) que llamaremos
afijo del complejo z.
El plano en el que se representan los números complejos se denomina plano complejo,
llamando eje real al eje X y eje imaginario al eje Y.
La suma de números complejos se corresponde geométricamente con la suma de vectores según la “regla del paralelogramo”.
Dado z ∈ C, z = a + b i. Llamamos conjugado del número complejo z, y se nota por
z, al número complejo z = a − b i.
8
Capı́tulo II. UNIDAD 2
Gráficamente, los afijos de un número complejo z y de su conjugado z son puntos
simétricos respecto del eje X.
Se verifican las siguientes propiedades:
1. ∀ z1 , z2 ∈ C, z1 + z2 = z1 + z2 .
2. ∀ z1 , z2 ∈ C, z1 · z2 = z1 · z2 .
3. ∀z ∈ C, z = z.
z+z
z−z
, Im(z) =
.
2
2i
5. Dado z ∈ C, entonces
4. ∀z ∈ C, Re(z) =
6. z es un complejo real ⇐⇒ z = z.
7. z es un complejo imaginario puro ⇐⇒ z = −z.
2.2.
Módulo y argumento de un número complejo
Dado z ∈ C, z = a + b i, llamamos módulo del número complejo z, y se nota por |z|,
al número real no negativo dado por
|z| =
√
a2 + b 2 .
El módulo de un número complejo es una extensión del concepto de valor absoluto
definido en R.
Geométricamente, |z|, representa la longitud del vector z en el plano complejo.
Se cumplen las siguientes propiedades:
1. ∀z ∈ C, |z| ≥ 0 y |z| = 0 ⇔ z = 0.
√
2. ∀z ∈ C, |z| = |z| = z · z.
3. ∀z ∈ C, |Re(z)| ≤ |z| y |Im(z)| ≤ |z|.
4. ∀z1 , z2 ∈ C, |z1 · z2 | = |z1 | · |z2 |.
5. ∀z1 , z2 ∈ C, z2 6= 0, |z1 / z2 | = |z1 | / |z2 |.
6. ∀z1 , z2 ∈ C, |z1 + z2 | ≤ |z1 | + |z2 | (desigualdad triangular).
Llamamos argumento de z al ángulo θ, medido en radianes, que determina el vector
z (en el plano complejo) con el semieje positivo real.
Se llama argumento principal de z (o valor principal del argumento) al único valor
de θ comprendido entre −π y π.
9
§2. Números complejos
Sea z ∈ C, z = a + bi. Tomando r = |z| y θ = arg z, podemos escribir z en la forma,
z = a + bi = r(cos θ + i sen θ),
expresión que llamamos forma trigonométrica de z.
Podemos expresar también el número complejo z en la forma z = rθ , a la que llamamos
forma polar de z.
Dos números complejos escritos en forma trigonométrica (o polar)
z1 = r1 (cos θ1 + i sen θ1 ),
z2 = r2 (cos θ2 + i sen θ2 ),
son iguales si se cumple que
r1 = r2
2.3.
y θ1 = θ2 + 2kπ,
k ∈ Z.
Operaciones con números complejos en forma trigonométrica
y polar.
Dados z1 , z2 ∈ C, siendo z1 = r1 (cos θ1 + i sen θ1 ) y z2 = r2 (cos θ2 + i sen θ2 ), se cumple
1. z1 · z2 = (r1 r2 ) [cos(θ1 + θ2 ) + i sen(θ1 + θ2 )] .
z1
r1
2. Si z2 6= 0, entonces
=
[cos(θ1 − θ2 ) + i sen(θ1 − θ2 )].
z2
r2
3. Si z = r(cos θ + i sen θ) y n ∈ N, entonces
z n = rn (cos nθ + i sen nθ),
expresión que se conoce como fórmula de Moivre.
Ejemplo 2.1 Dados los números complejos z1 =
√
3 − i, z2 = i5 , se pide:
La parte real, parte imaginaria, módulo y argumento de cada uno.
Expresarlos en todas las formas posibles.
Hallar su conjugado, su suma y producto y la potencia cuarta.
(II.1)
10
Capı́tulo II. UNIDAD 2
3.
Ecuaciones logarı́tmicas y ecuaciones exponenciales.
3.1.
Ecuaciones logarı́tmicas
Una ecuación logarı́tmica es aquélla en la que la incógnita x aparece en el argumento
de un logaritmo.
Para resolver una ecuación logarı́tmica tendremos que utilizar la equivalencia
log a x = y
⇐⇒
x = ay .
Por otra parte, es interesante recordar las propiedades de los logaritmos:
log a ax = x
log a 1 = 0.
log a (x · y) = log a x + log a y.
log a
x
= log a x − log a y.
y
y · log a x = log a xy .
log b x =
log a x
.
log a b
Ejemplo 3.1 Resuelve la ecuación logarı́tmica
2 log 2 (x − 2) − log 2 x = 0.
3.2.
Ecuaciones exponenciales
Una ecuación exponencial es aquélla en la que la incógnita x aparece en el exponente,
por ejemplo: 2x+1 = 8
Ejemplo 3.2 Resuelve la ecuación exponencial
2x+3 + 4x+1 − 320 = 0.