( ) ( ) C

Método de Imágenes
Un hilo cargado con densidad λ que está ubicado a una distancia R del eje de un caño conductor
de radio a. El hilo y el caño son muy largos y puede despreciarse cualquier efecto de borde. Determine
el potencial electrostático para todo el espacio.
Ayuda: se puede, en este caso, definir como cero el potencial a distancias muy lejanas del eje del cilindro.
Comenzamos por hacer un esquema de nuestro problema y analizarlo. Visto de arriba,
tendremos:
y
r
−λ
r’2
r’1
λ
a
x
b
R
El método propone reemplazar el cilindro conductor, por otro hilo cargado con densidad − λ ,
de manera que el potencial a distancias muy lejanas del eje del cilindro converja y se haga, en este
caso, cero. Este hilo se encontrará dentro del cilindro, a una distancia b (que deberemos calcular)
del eje del mismo. Luego, se aplica superposición, sumando el potencial generado por ambos hilos.
De esa manera obtendremos el potencial en todo el espacio para nuestro problema.
Comencemos entonces por plantear la expresión del campo eléctrico generado por un hilo
cargado, centrado en el origen:
E(r ) =
λ 1
⋅ ⋅ rˆ
2πε 0 r
El campo se calcula como menos el gradiente del potencial, quedando el potencial:
V(r ) = −
λ
⋅ ln (r ) + A
2πε 0
Donde A es la constante de integración.
Para nuestro caso, el potencial en todo el espacio será la suma del potencial “generado” por
ambos hilos:
V(r ) = −
λ
λ
⋅ ln (r1' ) +
⋅ ln (r2' ) + C
2πε 0
2πε 0
Hemos juntado en C ambas constantes de integración.
Continuando con los cálculos:
 r2' 
λ
V(r ) =
⋅ ln '  + C
2πε 0
 r1 
Aquí es donde utilizaremos la ayuda que se nos da en el ejercicio, suponer que el potencial
en puntos muy alejados del eje del cilindro es cero.
En esos puntos también podemos pensar que:
 r'
r1' ≅ r2' ⇒ ln 2'
 r1
’

 ≅ 0 ⇒ V(r ) ≅ C , de lo que se desprende que C=0

’
Si escribimos r1 y r2 en función de x y de y, reescribimos el potencial como:

V(r ) = V( x , y )
λ

=
⋅ ln
2πε 0


2
x − b + y 2 

2
x − R + y 2 
Lo que nos quedaría por hallar, para tener el potencial de todo el espacio, es el valor de b,
es decir, la posición de nuestro hilo ficticio. Para ello contamos con una condición de contorno dada
por el hecho de que el caño es conductor, es decir, si lo pensamos en coordenadas cilíndricas:
V(r = a;ϕ ) = K ' = cte
V(r = a;ϕ )
 (a ⋅ cos(ϕ ) − b )2 + (a ⋅ sen(ϕ ) )2 
λ
 = K ' = cte
=
⋅ ln
2
2 
4πε 0
(
)
(
)
ϕ
ϕ
a
cos(
)
R
a
sen
(
)
⋅
−
+
⋅


Para que esto ocurra, se debe cumplir que:
(a ⋅ cos(ϕ ) − b )2 + (a ⋅ sen(ϕ ))2
(a ⋅ cos(ϕ ) − R )2 + (a ⋅ sen(ϕ ) )2
= K = cte
Aplicando algunas propiedades trigonométricas y reordenando, se llega a que:
(
)
K ⋅ a 2 − 2aR ⋅ cos(ϕ ) + R 2 = a 2 − 2ab ⋅ cos(ϕ ) + b 2
Esta igualdad se puede partir en dos, los términos que contienen al ángulo
lo contienen:
De los términos que contiene al ángulo
ϕ:
K ⋅ 2aR = 2ab
⇒
K=
b
R
De los términos que no lo contienen, reemplazando K:
b 2 b 2
⋅ a + ⋅ R = a 2b 2
r
r
ϕ , y los que no
De aquí se llega a la siguiente ecuación cuadrática:
b2 −
(a
2
)
+ R2
⋅b + a2 = 0
R
Si resolvemos esta ecuación obtenemos los dos posibles valores para b: b=R, que es la
solución trivial y no nos sirve (ambos hilos estarían en la misma posición); y la solución que si nos
sirve, donde el hilo estaría dentro del cilindro:
a2
b=
R
Finalmente, escribimos la solución de nuestro ejercicio. El potencial en todo el espacio será:
V(r ) = V( x ; y ; z )
2 2


 x − a + y2 


R
λ
=
⋅ ln

2
2
4πε 0
 x−R + y 



