Cálculo Integral - Aprende Matemáticas

Profr. Efraín Soto Apolinar.
Integración de funciones trigonométricas
Ya vimos las reglas para calcular integrales de funciones trigonométricas.
Ahora vamos a considerar productos de funciones trigonométricas y potencias.
Para este tema vamos a requerir el formulario de identidades trigonométricas.
Calcula la integral indefinida:
Z
cos2 x dx
Ejemplo 1
• Utilizamos la siguiente identidad:
r
cos x =
1 + cos(2 x )
2
• Así, nuestra integral se convierte en la siguiente:
Z
cos2 x dx
=
=
1
(1 + cos(2 x )) dx
2
Z
Z
1
1
dx +
cos(2 x ) dx
2
2
Z
• Ya podemos calcular la primera integral.
• Para la segunda, hace falta completar la diferencial:
Z
2
cos x dx
1
1
dx +
cos(2 x )
2
2
x 1
+ sin(2 x ) + C
2 4
Z
=
=
Z
2
dx
2
• Y terminamos.
En la sección anterior calculamos la integral
R
sin2 x dx utilizando integración por partes.
Se te queda como ejercicio calcularla utilizando la identidad trigonométrica:
r
1 − cos(2 x )
cos x =
2
La siguiente integral no utiliza el mismo artificio. Sino el hecho de que la derivada de la función
seno es la función coseno.
Calcula la integral indefinida:
Z
cos3 x dx
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Ejemplo 2
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Profr. Efraín Soto Apolinar.
• Utilizando la identidad:
sin2 x + cos2 x = 1
podemos reescribir la integral de la siguiente forma:
Z
3
=
cos x dx
=
Z Z
1 − sin2 x cos x dx
cos x dx −
Z
sin2 x cos x dx
• La primera integral es inmediata.
• Para la segunda, vamos a definir: u( x ) = sin x, luego, u0 ( x ) = cos x.
• Esto nos dice que podemos hacer el cambio de variable:
Z
cos3 x dx
=
Z
cos x dx −
Z
sin2 x cos x dx
Z
= sin x − [u( x )]2 u0 ( x ) dx
[u( x )]3
+C
3
sin3 x
= sin x −
+C
3
= sin x −
El artificio de sustituir cos2 x = 1 − sin2 x nos sirve para simplificar integrales cuyo integrando
consista de la función cos x elevada a una potencial impar.
Por ejemplo, para integrar cos5 x reescribimos este integrando de la siguiente manera:
cos5 x
2
= cos4 x · cos x = 1 − sin2 x cos x
=
1 − 2 sin2 x + sin4 x cos x
Después podemos definir u = sin x y proceder como en el ejemplo que acabamos de resolver.
En algunos productos de potencias de las funciones sin x y cos x también podemos aplicar el
mismo artificio matemático.
Solamente debemos recordar que la diferencial debe estar completa.
Calcula la integral:
Z
Ejemplo 3
sin3 x cos3 x dx
• Podemos reescribir la integral de la siguiente manera:
Z
sin3 x cos3 x dx
=
=
=
Z
sin3 x cos2 x cos x dx
Z
sin3 x 1 − sin2 x cos x dx
Z sin3 x − sin5 x cos x dx
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• Ahora definimos: u( x ) = sin x, y haciendo el cambio de variable, obtenemos:
Z
Z sin3 x cos3 x dx =
sin3 x − sin5 x cos x dx
=
=
Z
sin3 x cos x dx −
Z
Z
[u( x )]3 u0 ( x ) dx − [u( x )]5 u0 ( x ) dx
sin5 x cos x dx
Z
[u( x )]4 [u( x )]6
−
+C
4
6
sin4 x sin6 x
−
+C
4
6
=
=
Observa que decidimos sustituir: cos2 x = 1 − sin2 x, pero también pudimos sustiuir: sin2 x =
1 − cos2 x y poder calcular la integral. Se te queda como ejercicio calcular la misma integral
haciendo esta sustitución.
Para integrar potencias de la función tangente o secante usaremos la identidad:
sec2 x = 1 + tan2 x
Calcula la integral indefinida:
Z
tan2 x dx
Ejemplo 4
• Usando la identidad mencionada, la integral puede reescribirse como:
Z
tan2 x dx =
Z
(1 − sec2 x ) dx =
Z
dx −
Z
sec2 x dx
• Ambas integrales son inmediatas:
Z
tan2 x dx = x − tan x + C
Calcula la siguiente integral indefinida:
Z
Ejemplo 5
tan3 x dx
• El integrando puede reescribirse como:
Z
tan3 x dx =
Z
(sec2 x − 1) tan x dx =
Z
sec2 x tan x dx −
Z
tan x dx
• Ahora observa que si definimos: u( x ) = tan x, entonces, u0 ( x ) = sec2 x.
• Entonces, al hacer el cambio de variable, obtenemos:
Z
tan3 x dx
=
=
=
Z
u( x ) u0 ( x ) dx −
Z
tan x dx
[u( x )]2
sin x
−
dx
2
cos x
Z
tan2 x
sin x
−
dx
2
cos x
Z
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• Para calcular la integral faltante, vamos a definir: v = cos x.
• Entonces, dv = − sin x dx.
• Así, podemos aplicar la regla (v) de integración:
Z
tan3 x dx
=
=
=
=
tan2 x
2
tan2 x
2
tan2 x
2
tan2 x
2
sin x
dx
cos x
Z
−dv
−
v
−
Z
+ ln v + C
+ ln | cos x | + C
En algunos casos vamos a tener que aplicar otros métodos de integración para poder calcular una
integral de potencias trigonométricas.
Calcula:
Z
Ejemplo 6
sec3 x dx
• Podemos reescribir la integral de la siguiente forma:
Z
sec3 x dx =
Z
sec2 x sec x dx =
Z
(1 + tan2 x ) sec x dx
• Al separar en dos integrales obtenemos:
Z
3
sec x dx =
Z
sec x dx +
Z
tan2 x sec x dx
• La primera integral es inmediata:
Z
sec3 x dx = ln | sec x + tan x | +
Z
tan2 x sec x dx
• Para la integral que falta usaremos la regla de integral por partes.
• Así que definimos:
u = tan x
dv = sec x tan x dx
⇒
⇒
du = sec2 x dx
v = sec x
• Sustituyendo estos valores en la integral faltante nos da:
Z
sec3 x dx = ln | sec x + tan x | + sec x tan x −
Z
sec3 x dx
• Ahora obtuvimos la integral que queremos calcular.
• Como es negativa, podemos pasarla del otro lado:
2
Z
sec3 x dx = ln | sec x + tan x | + sec x tan x + C1
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• Y el resultado es:
Z
sec3 x dx =
1
1
ln | sec x + tan x | + sec x tan x + C
2
2
Calcula la integral:
Z
cot6 x dx
Ejemplo 7
• Ahora utilizaremos la identidad:
csc2 x = 1 + cot2 x
para transformar el integrando las veces que sea necesaria.
• Empezamos haciendo la primera transformación:
Z
Z
6
cot x dx =
cot4 x csc2 x − 1 dx
=
Z
4
2
cot x csc x dx −
Z
cot4 x dx
• Ahora definimos: u( x ) = cot x, con lo que u0 ( x ) = csc2 x.
• Entonces,
Z
cot6 x dx
=
=
=
Z
cot4 x csc2 x dx −
Z
cot4 x dx
Z
Z
[u( x )]4 u0 ( x )dx − cot2 x csc2 x − 1 dx
cot5 x
−
5
Z
cot2 x csc2 x dx +
Z
cot2 x dx
• Aplicando la definición u( x ) = cot x de nuevo, obtenemos:
Z
cot6 x dx
=
=
=
=
=
cot5 x
5
cot5 x
5
cot5 x
5
cot5 x
5
cot5 x
5
−
Z
cot2 x csc2 x dx +
Z
− [u( x )]2 u0 ( x ) dx +
Z
cot2 x dx
Z csc2 x − 1 dx
Z cot3 x
+
csc2 x − 1 dx
3
Z
Z
cot3 x
−
+ csc2 x dx − dx
3
cot3 x
−
+ cot x − x + C
3
−
• Y terminamos.
Cuando las potencias de tan x y de sec x son impares, conviente factorizar tan x sec x y utilizarlo
como du, definiendo u = sec x.
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Todos los tan2 x se transforman a sec x utilizando la identidad:
sec2 = 1 + tan2 x
Calcula:
Z
Ejemplo 8
tan5 x sec3 x dx
• Empezamos factorizando tan x sec x:
Z
tan5 x sec3 x dx =
Z
tan4 x sec2 x [tan x sec x dx ]
• Ahora podemos usar la identidad: sec2 = 1 + tan2 x:
Z
tan5 x sec3 x dx =
Z
[sec2 x − 1]2 sec2 x [tan x sec x dx ]
• Definimos: u = sec x y sustituimos en la integral para obtener:
Z
tan5 x sec3 x dx
=
=
=
=
=
Z
[u2 − 1]2 · u2 du
Z
[u4 − 2 u2 + 1] · u2 du
Z
u6 du − 2
Z
u4 du +
Z
u2 du
u7
2 u5
u3
−
+
+C
7
5
3
sec7 x 2 sec5 x sec3 x
−
+
+C
7
5
3
Observa que en cada integral utilizamos siempre una identidad que involucre a la función en
cuestión y a su derivada.
Por ejemplo, para la función sin x usamos la identidad:
sin2 x + cos2 x = 1
porque ahí aparece su derivada, que es: cos x.
Por otra parte, para la función tan x usamos:
sec2 x = 1 + tan2 x
porque la derivada de tan x es sec2 x.
Y para la función cot x utilizamos la identidad:
csc2 x = 1 + cot2 x
porque la derivada de cot x es la función − csc2 x.
En los productos de potencias de las funciones trigonométricas siempre debemos intentar sustituir
las identidades de manera que obtengamos una forma integrable.
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Profr. Efraín Soto Apolinar.
Créditos
Albert
Einstein
Todo debe hacerse tan simple como sea posible, pero no más.
Este material se extrajo del libro Matemáticas I escrito por Efraín Soto Apolinar. La idea es compartir estos trucos para que más gente se enamore de las matemáticas, de ser posible, mucho más
que el autor.
Autor: Efraín Soto Apolinar.
Edición: Efraín Soto Apolinar.
Composición tipográfica: Efraín Soto Apolinar.
Diseño de figuras: Efraín Soto Apolinar.
Productor general: Efraín Soto Apolinar.
Año de edición: 2010
Año de publicación: Pendiente.
Última revisión: 07 de agosto de 2010.
Derechos de autor: Todos los derechos reservados a favor de Efraín Soto Apolinar. México. 2010.
Espero que estos trucos se distribuyan entre profesores de matemáticas de todos los niveles y sean
divulgados entre otros profesores y sus alumnos.
Este material es de distribución gratuita.
Profesor, agradezco sus comentarios y sugerencias a la cuenta de correo electrónico:
[email protected]
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