Ejercicios - Unican.es
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EJERCICIOS DE SISTEMAS DE ECUACIONES
1. Discutir y resolver, en su caso, los siguientes sistemas sobre el cuerpo de
los números racionales:
x + y + z = 4
x + y − z + t = 0
2x + 5y − 2z = 3
2x + 2y − 2z − t = 0
x
x
−x
x
4x
2x
2x
+ y
− y
− y
− 3y
−
+
y
3y
7y
− 11y
+ z
− z
+ z
+ 5z
+ t
+ t
+ t
+ 9t
= 0
= 0
= 0
= 0
+ 2z
− z
− 4z
+ 7z
+ t
− 2t
− 5t
+ 8t
= 0
= 0
= 0
= 1
2. Discutir y resolver, en su caso, los sistemas
enteros módulo 5:
x − y + z
5x + 2y − z
−3x − 4y + 3z
x + 2y
2x − 3y
4x − 7y
− 5z
+ 2z
+ z
sobre Z5 el cuerpo de los
=
=
=
+ 4t
+ 3t
− 6t
3
5
1
=
5
=
0
= −5
3. Discutir y resolver, según los valores de m, con K = R, el cuerpo de los
números reales.
2x − my
x +
y
mx −
y
+
+
+
4z
7z
13z
=
=
=
0
0
0
y
mx +
x + my
x +
y
2x +
(2m + 2)x +
(m + 1)x
(2 − m)y
my
y
mx +
x + my
x +
y
+
z
+
z
+ mz
+
+
+
z
+
z
+ mz
= m
= 1
= 1
2z
(m + 1)z
=
=
=
0
2m − 2
m−1
= 1
= m
= m2
2
MATRICES
(m + 2)x
x
mx
x
(m + 2)x
(m + 2)x
(m
+ 2)x
(m + 2)x
+
+
+
+
(m + 2)y
my
y
y
+ (2m + 4)y
+ (m + 2)y
+ (3m + 6)y
+ (3m + 6)y
+
+
+
+
(m + 1)z
z
(m − 1)z
z
+
+
+
+
(3m + 6)z
3(m + 2)z
(3m + 6)z
(4m + 5)z
=
=
=
=
2m + 2
1
m
m+1
=
0
= −(m + 2)
=
m+2
=
4m + 2
4. Discutir y resolver según los valores de a con K = Q, el cuerpo de los
números racionales:
2x
−x
x
2x
ax
x
x
x
+
y
+ ay
+
y
+
y
(a + 2)x +
ax +
(a + 1)x
(4 − a)x +
2x +
2x +
(4a + 12)x
(2a + 6)x
(2a
+ 6)x
(3a + 6)x
− 4z
− z
− 5z
+ 5z
+ y
+ 5y
+ 6y
− 4y
+
z
+
z
+ az
+
z
y
(a − 1)y
= a+1
= a − 12
= a+2
=
a
+
t
+
t
+
t
+ at
+
+
+
2y
(4 − a)y
4y
+ (2a + 13)y
+ (4a + 5)y
+ (2a + 6)y
+ (2a + 6)y
=
=
=
=
z
z
(a + 1)z
+
+
+
a
a
a
a
= a−1
= a−1
= a−1
z
2z
(8 − a)z
+ (2a + 6)z
+ (a + 3)z
+ (a + 3)z
+ (a + 3)z
=
=
=
0
0
0
= 7−a
=
4a
= a+3
=
0
5. Idem según los valores de a con K = C, el cuerpo de los números
complejos.
x + ay
âx +
y
2
â x + ây
+ a2 z
+ az
+
z
= 3
= 2
= 1
Sistemas de ecuaciones
3
6. Discutir según los valores de a y b los siguientes sistemas sobre el cuerpo
de los números racionales.
x
2x
x
x
+ by
+ 3by
+ by
+ 2by
+
+
+
+
ax + by
bx + ay
y
x
az
az
2az
+ bt
+ 2bt
+ 2bt
+ 2bt
+
by
ax +
ax + (2b − 1)y
ax +
by
a+b+1
3a + 2b + 1
2b + 2
a + 2b
=
=
+ bt =
+ at =
+
z
+ az
+ bz
by
ax +
x + aby
x +
by
=
=
=
=
t
+
z
+
z
+ az
+
+
+
a+b
a−b
a+1
a−1
= 1
= b
= 1
2z
3z
(b + 3)z
7. Sea K un cuerpo de caracterı́stica distinta de 2.
bx +
ay
cx
+
az
cy
+
bz
(b + c)x + (a + c)y + (a + b)z
= 1
= 1
= 1
Probar que el sistema
=
=
=
=
c
b
a
a+b+c
posee una única solución si y sólo si a, b y c son diferentes de 0K .
Determinar dicha solución.
8. Sea K un cuerpo cualquiera. Probar que
x +
y +
z
ax + by + cz
a2 x + b2 y + c2 z
3
a x + b3 y + c3 z
el sistema
+
t
+ dt
+ d2 t
+ d3 t
=
=
=
=
m
n
p
q
posee una única solución si y sólo si los elementos a, b, c y d son distintos
2 a 2. Determinar dicha solución.
4
MATRICES
9. Sean A ∈ Mm×n (K) y B ∈ Mm×p (K). Probar:
(a) S es solución de la ecuación matricial1 AX = B si y sólo si S j es
solución de AX = B j , donde el superı́ndice j indica columna j-sima.
(b) La ecuación matricial AX = B posee solución si y sólo si
rang(A) = rang(A|B)
(c) Si S0 es una solución de la ecuación matricial AX = B y r es el
rango de A, el conjunto de soluciones es:
{S0 }, si r = n
{S | S = S0 + N T }, si r < n
donde N es cualquier matriz cuyas columnas contengan una base de
la nulidad de A, y T es una matriz arbitraria en Mn−r×p (K).
10. Probar que la inversa de una matriz regular es única.
11. Discutir y resolver, cuando
ciales sobre Q:
1 2 3
2
4 5 6 X = 4
7 8 2
1
1
4
7
sea posible, las siguientes ecuaciones matri
−1
−3
−4
1
4
7
2
5
8
3
2
6 X = 4
9
6
2
5
8
3
2
6 X = 4
9
6
−1
−3
−5
−1
−3
2
12. Discutir en función de los valores de a y b, y resolver en los casos posibles
el siguiente sistema matricial sobre Q:
b
3b
b
2b
1 es
decir, AS = B
1
2
1
1
a
b
a+b+1
a
3a + 2b + 1
2b
b
X =
2a 2b
2b + 1
1
0 2b
a + 2b
−a
a
