Volumen de un toro - ESO Bachillerato Universidad

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Volumen de un toro calculado por integración
En este documento vamos a calcular la fórmula del volumen de un toro por integración mediante los
métodos de las arandelas y de las capas.
2
V toro =2  R r
2
Empezaremos por definir las variables del toro.
Llamaremos R al radio desde el centro del toro hasta el centro de una sección del mismo. Asimismo
llamaremos r al radio de una sección del toro.
Una de las secciones se ha ubicado en el origen de coordenadas para obtener una expresión sencilla
para el contorno del toro. Esta corresponde a la conocida ecuación de la circunferencia centrada en
el origen x 2 y 2=r 2 .
Método de las arandelas
En el siguiente desarrollo Ra , r a y de a son el radio exterior, el radio interior y el diferencial de
espesor de la arandela . k 0 y k 1 son los límites entre los que discurre la arandela.
k1
V =∫k  R2a −r 2a de a
0
Ra =R x ; r a=R−x ; de a =dy ; k 0 =−r ; k 1=r
x=± r 2− y 2
r
V =∫−r  [ Rx 2− R−x 2 ] dy=
[
r
2
2
]
=∫−r   R r 2− y 2  − R− r 2− y 2  dy =
r
=∫−r [ R 2r 2− y 22 R  r 2 − y 2− R2 r 2− y 2−2 R  r 2− y 2  ] dy=
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r
 r2
=2  2 R r 2
2
r
=∫−r 4 R  r 2− y 2 dy =4  R ∫−r  r 2 − y 2 dy=4 R
r
∫−r  r 2− y 2 dy
Nota: la integral
esta resuelta al final de este documento respecto de la variable x.
Se puede ver asimismo que la función corresponde a media circunferencia, por lo que el resultado
 r2
es el esperado.
2
Método de la capas
En el siguiente desarrollo r c , h c y de c son el radio, la altura y el diferencial de espesor de una
capa. k 0 y k 1 son los límites entre los que discurre la capa.
k1
V =∫k 2  r c hc de c
0
r c =R−x ; hc =2y ; dec =dx ; k 0=−r ; k 1 =r
k1
r
V =∫k 2  r c hc de c =2  ∫−r  R−x 2 y dx=
0
r
r
=2 ∫−r  R−x  2  r 2− x 2 dx=4  R∫−r  r 2−x 2 dx−
r
−4 ∫−r x  r −x dx=4  R
2
2
 r2
2
2
−4 0=2  R r
2
Las 2 integrales se calculan aparte en las siguientes lineas.
r
∫−r
[
]
∣
u=x 2
2
r
x  r − x dx= du=2 x dx x=r ⇒ u=r 2 =∫r
x dx =du /2 x=−r ⇒ u=r
2
2
2
2
=0
 r 2−u du
2
El resultado es cero puesto que los límites de integración coinciden.
[
r
∫−r  r 2−x 2 dx=
a
∫a
f  x dx=0
]
∣
x=r sen 
x=r ⇒ =/2 = / 2  r 2−r 2 sen 2 r cos d =
∫− / 2
dx=r cos  d  x=−r ⇒ =−/2
/2
 /2
 /2
=r 2∫− / 2  1−sen 2 cos d =r 2∫− /2 cos 2 d =r 2∫− /2 1  1cos 2  d =
2
/ 2
r2
r2
1
=  sen 2 
=
2
2
−/ 2
2
[
]
[
r2 
 1
 1
 sen  − −  sen − =
2 2
2 2
2

]
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