Otras técnicas - Facultad de Ciencias Matemáticas

ANÁLISIS MATEMÁTICO BÁSICO.
CÁLCULO DE PRIMITIVAS. OTRAS TÉCNICAS.
R
El cálculo de una primitiva f (x)dx consiste en transformarla usando:
integración por partes, cambios de variables, manipulaciones algebraicas u
otros ”trucos” hasta llegar a una expresión que sea una primitiva elemental.
Es decir una expresión que esté en la tabla de primitivas elementales.
Como ejemplos de otros ”trucos” vamos a ver integrales donde aparecen las funciones trigonométricas e hiperbólicas. Para hacer estas primitivas
tendremos que usar relaciones trigonométricas (ver Apéndice correspondiente) ası́ como relaciones hiperbólicas (ver Apéndice Funciones Logaritmo y
Exponencial ).
Primitivas de Funciones Trigonométricas. Recordemos que:
cos2 x + sen2 x = 1
y
cos( π2 − x) = sen x
cos(x + y) = cos x cos y − sen x sen y
y
cos 2x = cos2 x − sen2 x
sen(x + y) = cos x sen y + sen x cos y
y
sen 2x = 2 cos x sen x.
( más adelante en el Apéndice Funciones Trigonométricas probaremos todas
estas propiedades ).
Utilizando estas propiedades convenientemente se puede resolver primitivas en las que aparecen involucradas las funciones seno y coseno.
Z
Ejemplo. 1.
cos2 xdx.
Demostración: Observemos que
cos 2x = cos2 x − sen2 x = cos2 x − (1 − cos2 x)
y despejando cos2 x =
Z
cos 2x+1
.
2
cos2 xdx =
Z
Ası́
Z
Z
cos 2x + 1
1
1
dx =
dx +
cos 2xdx
2
2
2
1
1
= x + sen 2x
2
4
1
2
C. RUIZ
Z
En general las primitivas del tipo
senn x cosm xdx con n y m pares se
resuelven usando las fórmulas de reducción:
Z
Z
1
n−1
n
n−1
sen xdx = − sen
x cos x +
senn−2 xdx, n > 2 y par
n
n
(ver árticulo Integración por Partes). Z
Z
1
n−1
cosn xdx = cosn−1 x sen x +
cosn−2 xdx, n > 2 y par
n
n
(ejercicio).
Z
Z
2
Hasta llegar a una expresión con cos xdx o sen2 xdx.
Z
Ejemplos. 1.
senn x cosm xdx con n y m uno par y otro impar.
Z
sen3 x cos4 dxdx
Demostración: Vamos a resolver el ejemplo concreto, el caso general se
sigue de forma análoga.
Z
3
Z
4
sen x cos xdx =
Z
=−
sen x(1 − cos2 x) cos4 xdx =
4
Z
− sen x cos xdx +
−senx cos6 xdx
podemos pensar en el cambio de variable y = cos x, y lo que sale es
=−
cos5 x cos7 x
+
5
7
Z
Ejercicio. 1.
dx
.
1 + sen x
Demostración:
1
1 − sen x
dx
1 + sen x 1 − sen x
Z
Z
Z
1 − sen x
1
− sen x
=
dx
=
dx
+
dx
2
2
1 − sen x
cos x
cos2 x
Z
estas integrales ya son inmediatas
= tan x +
Z
Ejemplo. 2.
tan2 xdx.
1
cos x
APUNTES MMI
3
Demostración: ¿Qué camino elegir para resolver una primitiva? Se necesita
un poco de práctica y de pericia. En la primitiva que tenemos podemos
pensar en un cambio de variable u = tan x y ası́ du = tan2 x + 1dx. Luego
Z
Z
Z
2
u2
2
2 tan x + 1
tan xdx = tan x
dx
=
du
u2 + 1
tan2 x + 1
esto es un integral racional
Z 2
u +1
−1
du = u − arctan u = tan x − x.
=
+
u2 + 1 1 + u2
aunque seguro que es más fácil el camino
Z
Z
2
tan xdx = (tan2 x + 1) − 1dx = tan x − x
Primitivas donde aparecen funciones hiperbólicas. Recordemos que:
cosh2 x − senh2 x = 1
cosh(x + y) = cosh x cosh y + senh x senh y
y
cosh 2x = cosh2 x +
senh2 x
senh(x+y) = cosh x senh y+senh x cosh y
y
senh 2x = 2 cosh x senh x.
(ver Apéndice Funciones Logaritmo y Exponencial ).
Z
Ejemplo. 3.
cosh2 xdx.
Demostración: Observemos que
cosh 2x = cos2 x + sen2 x = cos2 x + (cos2 x − 1)
y despejando cosh2 x =
Z
cosh 2x+1
.
2
Z
2
cosh xdx =
Ası́
Z
Z
1
cosh 2x + 1
1
dx =
dx +
cosh 2xdx
2
2
2
1
1
= x + senh 2x
2
4
Z
Ejemplo. 4.
√
dx
.
x2 − 2
Demostración: Si pensamos en el cambio de variable x =
√
dx = 2 senh udu, tendremos que
Z
Z √
dx
2 senh udu
√
p
=
2
x −2
2 cosh2 u − 2
Z
senh u
x
=
du = u = arccosh( √ )
senh u
2
√
2 cosh u y ası́
4
C. RUIZ
Otras primitivas. Aunque encontrar primitivas no es una tarea fácil, tampoco hay que tener miedo a ciertas expresiones. Si las miramos con detalle
podemos ver métodos sencillos de integración.
Z
dx
p√
Ejemplo. 5.
.
x+1
Demostración: No sabemos que hacer con esta expresión. Podemos poner
p√
y=
x + 1, despejando x = (y 2 −1)2 y derivando en y, dx = 4y(y 2 −1)dy.
Ası́
Z
Z
Z
4y(y 2 − 1)dy
dx
p√
=
= 4y 2 − 4dy
y
x+1
q
q
√
√
4 3
4
= y − 4y = (
x + 1)3 ) − 4
x+1
3
3
Z
Ejemplo. 6.
Z
(sen x
x
sen tdt)dx.
0
Demostración:
Z xA primera vista, impresiona esta primitiva. Si nos fijamos
en la función
sen tdt, el Teorema Fundamental del Cálculo nos dice que
0
Z x
su derivada es sen x, luego el cambio de variable u =
sen tdt nos da
0
Z
Z x
Z
(sen x
sen tdt)dx = udu
0
Z
1 x
sen tdt)2
= (
=
2
2 0
u2
Referencias
Departamento de Análisis Matemático, Facultad de Matemáticas, Universidad Complutense, 28040 Madrid, Spain
E-mail address: Cesar [email protected]