solucionario ficha 4 - miscompetenciasycapacidadesmatematicas

ESTRATEGIAS PROPUESTAS PARA LA RESOLUCIÓN DEL PRACTIQUEMOS DE LA FICHA N° 4
COMPETENCIA
CAPACIDAD
Actúa y piensa matemáticamente en
situaciones de regularidad, equivalencia
y cambio.
Elabora y usa
estrategias
INDICADORES
Emplea estrategias heurísticas,
recursos gráficos y otros, al resolver
problemas relacionados a la
proporcionalidad.
ITEM 1:
Observa el anuncio de rebajas:
Antes: S/. 63,00
Ahora: S/. 47,80
Antes: S/. 119,70
a. ¿Están rebajados estos artículos proporcionalmente?
Ahora: S/. 100,00
b. Si la respuesta anterior es negativa, responde: ¿cuál de las dos prendas han rebajado más?
Resolución:
a) determinamos la tabla:
Precio zapatillas S/.
Precio pijama S/.
Precio normal
119,70
63,00
Precio antes de la rebaja:
Precio rebajado
100,00
47,80
Observamos que no se conserva la
constante de proporcionalidad, entonces
no se rebajaron proporcionalmente
Precio después de la rebaja:
Rpta: Los artículos no están rebajados proporcionalmente.
B) Para determinar que prenda han rebajado más, necesitamos hallar el porcentaje:
(Aplicamos parte/todo)
Descuento del pijama = S/. 63,00 – S/. 47,80 = S/. 15,20
% pajama =
Zapatillas = S/. 119,70 – 100,00 = S/. 19,70
% zapatilla =
Rpta: El pijama fue la que tuvo más rebaja.
EQUIPO DE COORDINADORES MACRO REGIONALES
ÁREA MATEMÁTICA
1
COMPETENCIA
Actúa y piensa matemáticamente en
situaciones de regularidad, equivalencia
y cambio.
CAPACIDAD
Elabora y usa
estrategias
INDICADORES
Emplea estrategias heurísticas,
recursos gráficos y otros, al resolver
problemas relacionados a la
proporcionalidad.
2. ITEM: Los ingredientes de una receta para un postre casero son los siguientes: 1 vaso de mantequilla; 3
huevos; 1,5 vasos de azúcar y 2 vasos de harina. Si solo tenemos 2 huevos, ¿cómo debemos modificar los
restantes ingredientes de la receta para poder hacer el postre?
Resolución:
1era forma: Elaboramos la tabla, reducimos a la unidad.
 Si dividimos a una cantidad de uno de los ingredientes, entonces tenemos que dividir a todas las
cantidades del resto de los ingredientes de la receta.
 Si multiplicamos por cierto número a una cantidad de los ingredientes, entonces tenemos que
multiplicar por ese mismo número a todas las cantidades del resto de los ingredientes de la receta.
:3
Huevos (unidades)
Mantequilla (vasos)
Azúcar (vasos)
Harina (vasos)
x2
Cantidades Cantidades Cantidades
3
1
2
1
1/3
2/3
1,5
0,5
1
2
2/3
4/3
2da forma: determinando la constante de proporcionalidad
Huevos (unidades)
Mantequilla (vasos)
Azúcar (vasos)
Harina (vasos)
Cantidades Cantidades
3
2
1
1,5
2
Hallando:
Mantequilla:
vaso
Azúcar:
Harina:
vaso
vaso
Respuesta: Necesitamos de vaso mantequilla, 1 vaso de azúcar y
EQUIPO DE COORDINADORES MACRO REGIONALES
ÁREA MATEMÁTICA
de vaso de harina.
2
COMPETENCIA
CAPACIDAD
Actúa y piensa matemáticamente
en situaciones de regularidad, Elabora y usa
equivalencia y cambio.
estrategias
INDICADORES
Determina el conjunto de valores que
puede tomar una variable en una
proporcionalidad inversa, función lineal y
lineal afín.
ITEM 3: En una prueba de ciclismo se reparte un premio de S/. 9250 entre los tres primeros corredores que
lleguen a la meta, de modo inversamente proporcional al tiempo que han tardado en llegar. El primero tarda 12
min; el segundo, 15 min, y el tercero, 18 min. ¿Cuánto le corresponde a cada uno, según el orden de llegada?
a. S/. 2472; S/. 3090 y S/. 3708 respectivamente.
b. S/. 2466,72; S/. 3083,40 y S/. 3700,08 respectivamente.
c. S/. 2466,60; S/. 3083,25 y S/. 3699,90 respectivamente.
d. S/. 3750; S/. 3000 y S/. 2500 respectivamente.
Resolución:
Asignamos letras a los premios que han recibido cada ciclista según su orden de llegada.
Primero recibió “a” soles
Segundo recibió “b” soles
Tercero recibió “c” soles
Luego: a +b + c = 9250
Premio S/.
a
b
c
Tiempo ( minutos )
12
15
18
Las magnitudes premio y tiempo son inversamente proporcionales.
Aplicamos la constante de proporcionalidad:
k = 12 * a
a=
K = 15 * b
b=
k = 18 * c
c=
Sabemos que: a + b + c = 9250
Reemplazamos: k + k + k = 9250
12 15 18
15k + 12k + 10k = 9250
180
Hallamos mcm (12, 15, 18) = 180
37k = 9250 x 180
k = 45000
b
Respuesta: el primero recibe S/. 3750, el segundo S/. 3000 y el tercero S/. 2500
EQUIPO DE COORDINADORES MACRO REGIONALES
ÁREA MATEMÁTICA
CLAVE: D
3
COMPETENCIA
Actúa y piensa matemáticamente
en situaciones de regularidad,
equivalencia y cambio.
CAPACIDAD
Elabora y usa estrategias
INDICADORES
Determina el conjunto de valores
que puede tomar una variable en
una proporcionalidad inversa,
función lineal y lineal afín.
ITEM 4:El precio de un pasaje varía inversamente con relación al número de pasajeros. Si para 14 pasajeros
el precio es S/. 15, ¿cuántos pasajeros habrá cuando el pasaje cuesta S/.6?
a. 35 pasajeros b. De 5 a 6 pasajeros
c. 84 pasajeros
d. 56 pasajeros
Resolución:
1era forma: Elaboramos la tabla
N° Pasajeros
Precio
14
S/.15
X
S/.6
Número de pasajeros= x
Entonces
35 = x
2da forma:Empleando la constante de proporcionalidad:
K= (N° de pasajeros) (Precio del pasaje)
K= 14 x 15= 210
210= 6X
Rpta.: Habrá 35 pasajeros cuando el pasaje cueste S/. 6
COMPETENCIA
Actúa y piensa matemáticamente
en situaciones de regularidad,
equivalencia y cambio.
Clave: A
CAPACIDAD
Elabora y usa estrategias
INDICADORES
Determina el conjunto de valores
que puede tomar una variable en
una proporcionalidad inversa,
función lineal y lineal afín.
ITEM 5: El precio de un diamante es directamente proporcional al cuadrado de su peso. Si un diamante que
pesa 80 g cuesta S/.3200, ¿cuánto valdrá otro diamante de 100 g de peso?
a. S/. 5 000
b. S/. 4 000
c. S/. 2 048
d. S/. 50
Resolución:
1era forma: Elaboramos la tabla
Pesoal cuadrado
Precio
EQUIPO DE COORDINADORES MACRO REGIONALES
ÁREA MATEMÁTICA
(80g)2
S/.3200
(100g)2
S/.X
4
Precio del diamante de 100g = x
Reemplazamos los valores de la
tabla en la relación generalizada
Desarrollamos los cuadrados
Simplificamos
Hallamos el valor de x
2da forma:Empleando la constante de proporcionalidad:
=
X = 5000
Rpta.: El otro diamante de 100 g de peso cuesta S/. 5000
COMPETENCIA
Actúa y piensa matemáticamente
en situaciones de regularidad,
equivalencia y cambio.
CAPACIDAD
Elabora y usa estrategias
CLAVE: A
INDICADORES
Emplea estrategias heurísticas,
recursos gráficos y otros, al
resolver problemas relacionados a
la proporcionalidad.
ITEM 6:El gráfico muestra el comportamiento de dos magnitudes (cantidad de obreros y tiempo);
halla numéricamente el valor de y/x
a.
b.
c.
d.
440
10
275
6
EQUIPO DE COORDINADORES MACRO REGIONALES
ÁREA MATEMÁTICA
5
Resolución:
Se ubican las coordenadas en el gráfico mostrado:
1era forma:Elaboramos la tabla
Observando el gráfico, completamos la Tabla:
Obreros
Tiempo ( días)
100
80
200
x
y
20
Observamos que la cantidad de obreros aumenta y la cantidad de días disminuye por lo tanto son magnitudes
Inversamente proporcionales:
Hallamos el valor de “x”
(100)(80) = (200)(x)
8000 = 200x
40 = x
Hallamos el valor de “y”
8000 = 20y
400 = y
Hallamos el valor de y/x
400/40
=10
2da forma:Empleando la constante de proporcionalidad:
K= (Números de obreros) (Número de días)= (100) (80)= 8000
Hallamos “x”
8000=200x
Hallamos “y”
8000=20y
Hallamos “y/x”
x= 40
y=400
400/40 = 10
EQUIPO DE COORDINADORES MACRO REGIONALES
ÁREA MATEMÁTICA
6
Rpta. :
El valor de y/x es igual a 10
COMPETENCIA
Actúa y piensa matemáticamente
en situaciones de regularidad,
equivalencia y cambio.
CLAVE:
B
INDICADORES
Emplea estrategias heurísticas,
Elabora y usa estrategias
recursos gráficos y otros, al
resolver problemas relacionados a
la proporcionalidad.
ITEM 7:En el siguiente gráfico ilustra dos variables, x e y , en proporcionalidad directa. Señale el
valor de x.y
a.
b.
c.
d.
CAPACIDAD
3
16
48
60,75
Resolución:
De acuerdo, al enunciado del ítem y a la gráfica, se trata de Magnitudes Directamente
Proporcionales, por lo tanto:
=
entonces 6.6 = 9 . y
=
entonces x . 6 = 8 . 9
= y
x=
El valor de x.y = 12 . 4 = 48
Rpta. El valor de x.y es 48 .
COMPETENCIA
Actúa y piensa matemáticamente
en situaciones de regularidad,
equivalencia y cambio.
4=y
x = 12
CLAVE: C
CAPACIDAD
INDICADORES
Emplea estrategias heurísticas,
recursos gráficos y otros, al
resolver problemas relacionados a
la proporcionalidad.
Elabora y usa estrategias
ITEM 8
Dos amigos han obtenido la misma calificación en dos exámenes de Matemática con distinta cantidad de
preguntas. Todos los ejercicios tenían la misma puntuación. Si Sergio resolvió correctamente 24 de las 30
preguntas que tenía su examen, ¿cuántos aciertos tuvo Jorge si su prueba constaba de 20 preguntas?
a. 14 aciertos.
b. 16 aciertos.
c. 20 aciertos.
d. 24 aciertos
Resolución:
Elaboramos una tabla:
Número de preguntas resueltas
correctamente
EQUIPO DE COORDINADORES MACRO REGIONALES
ÁREA MATEMÁTICA
24
x
7
Total de preguntas del examen
30
20
Aplicamos proporcionalidad:
Respuesta. Jorge tuvo 16 aciertos.Alternativa b)
COMPETENCIA
Actúa y piensa matemáticamente
en situaciones de regularidad,
equivalencia y cambio.
INDICADORES
Emplea estrategias heurísticas,
Elabora y usa estrategias
recursos gráficos y otros, al
resolver problemas relacionados a
la proporcionalidad.
ITEM 9:La distancia que cae un cuerpo partiendo del reposo varía en relación con el cuadrado del tiempo
transcurrido (se ignora la resistencia del aire). Si un paracaidista de caída libre cae 64 pies en 3 s, ¿qué
distancia caerá en 9 s?
a. 576 pies
CAPACIDAD
b. 192 pies
c. 7,11 pies
d. 567 pies
Resolución:
Elaboramos una tabla:
Distancia : d (pies)
64
x
Tiempo: t (s)
Aplicamos proporcionalidad relacionando la distancia y el tiempo al cuadrado:
Rpta. La distancia que caerá en 9s es 576 pies. Alternativa a)
COMPETENCIA
CAPACIDAD
INDICADORES
Actúa y piensa matemáticamente en Elabora y usa Emplea estrategias heurísticas, recursos
situaciones de regularidad, equivalencia estrategias
gráficos y otros, al resolver problemas
y cambio.
relacionados a la proporcionalidad.
ITEM 10:
Se necesita envasar 600 L de una sustancia química en recipientes. Hay recipientes de 10; 15; 20; 25; 30; 40
y 50 L. Además, se quiere envasar el total de la sustancia en un solo tipo de recipiente. Completa la tabla con
el volumen del recipiente y la cantidad de los recipientes necesarios.
Volumen
10
Cantidad
60
EQUIPO DE COORDINADORES MACRO REGIONALES
ÁREA MATEMÁTICA
8
¿Qué cantidad mínima de envases se puede utilizar para envasar los 600 litros de la sustancia química?
a. 15 envases. b. 12 envases.
c.
10 envases. d. 14 envases.
RESOLUCIÓN:
1° Vamos a completar la tabla, donde visualizamos el volumen del recipiente “ base ” y qué
cantidad de este necesitamos para envasar:
Volumen
10
15
20
25
30
40
50
Cantidad de
envases
60
40
30
24
20
15
12
.
.
Observamos que se trata de magnitudes inversamente proporcionales, ya que:
(10)(60) = (15)(40) = (20)(30) = (25)(24) = (30)(20 )=(40)(15)=(50)(12)
Comparamos los números de envases y observamos que la cantidad mínima corresponde a
recipientes de 50 litros y se utilizan 12 envases.
Respuestac : La cantidad mínima de envases que se puede utilizar para envasar los 600 litros de
la sustancia química es 12 recipientes.
COMPETENCIA
CAPACIDAD
INDICADORES
Actúa y piensa matemáticamente en Elabora y usa Emplea estrategias heurísticas, recursos
situaciones de regularidad, equivalencia estrategias
gráficos y otros, al resolver problemas
y cambio.
relacionados a la proporcionalidad.
ITEM 11:
En una institución educativa, de los 210 estudiantes de segundo grado de secundaria, se inscriben en
una actividad extraescolar 170; mientras que de los 160 alumnos de tercer grado, se apuntan 130. ¿Cuál
de los grados ha mostrado más interés por la actividad?
a. Han mostrado más interés los estudiantes de tercer grado porque va más del 90 %.
b. Han mostrado más interés los estudiantes de segundo grado porque van más estudiantes que
tercero: en segundo van 170, mientras que en tercero solo van 130.
c. Han mostrado más interés los estudiantes de tercero porque va el 81,25 %, mientras que en segundo
solo va el 80,95 %.
d. Han mostrado el mismo interés tanto los estudiantes de segundo y tercer grado.
RESOLUCIÓN:
Aplicando Regla de Tres Simple:
1° Del enunciado del problema comprendemos que me hablan de dos grados de
estudiantes:
EQUIPO DE COORDINADORES MACRO REGIONALES
ÁREA MATEMÁTICA
9
2° grado de secundaria3° grado de secundaria
N° de estudiantesPorcentajeN° de estudiantesPorcentaje
210 ……………..…….. 100%
160 ……………..…….. 100%
2° Ahora queremos saber qué porcentaje del total de estudiantes de cada grado me
representan los estudiantes que se inscribieron a esa actividad extraescolar. Veamos:
2° grado de secundaria3° grado de secundaria
N° de estudiantesPorcentajeN° de estudiantesPorcentaje
210 ……………..…….. 100%
160 ……………..…….. 100%
170 ………………….... X
130 …………………… Y
3° Calculamos “ X ” e “ Y ”. Para calcular estos valores tenemos que analizar qué clase de
magnitudes son “ N° de estudiantes ” respecto al “ Porcentaje ” y llegamos a la conclusión
que son MAGNITUDES DIRECTAMENTE PROPORCIONALES, porque si una aumenta la
otra también aumenta proporcionalmente. Así encontramos el valor de “ X ” e “ Y ”.
X = 100 .
Y = 100 .
X = 80,952380…
Y = 81,25
X = 80,95
4° Analizando los valores de “ X ” e “ Y ” . Concluimos que Y me representa mayor
porcentaje; en tal sentido la respuesta a la pregunta del ítem es: El tercer grado ha
mostrado mayor interés en inscribirse a la actividad extraescolar.
5° Para responder el ítem tenemos que leer una por una las alternativas y sólo una será la
correcta. De acuerdo a lo calculado sólo la alternativa “ c ” es la correcta.
6° Respuesta: c.
Han mostrado más interés los estudiantes de tercero porque
va el 81,25 %, mientras que en segundo solo va el 80,95 %.
COMPETENCIA
CAPACIDAD
Actúa y piensa matemáticamente en Razona
situaciones de regularidad, equivalencia argumenta
y cambio.
INDICADORES
y Determina el conjunto de valores que
puede tomar una variable en una
proporcionalidad inversa, función lineal y
lineal afín.
ITEM 12:
Con 2 L de leche, César puede alimentar a sus cachorros durante 6 días. ¿Para cuántos días tendrá comida
si compra una caja de 5 litros de leche?
a.15 días.
b. 24 días.
c.2,4 días.
d. 18 días.
RESOLUCIÓN:
EQUIPO DE COORDINADORES MACRO REGIONALES
ÁREA MATEMÁTICA
10
Utilizamos la estrategia de Ensayo error completando la tabla:
Litros de leche
1
2
3
.
5
Número de días
3
6
9
.
x
Analizamos cómo son las magnitudes “ Litros de leche ” y “ Número de días ”.
Así tenemos que al aumentar los litros de leche también aumentaría el número de días
proporcionalmente. Entonces son dos MAGNITUDES DIRECTAMENTE PROPORCIONALES
3/1=6/2=9/3 La razón de proporcionalidad es K= 3
X/5 = 3
X= 3(5)
X= 15
Respuesta a. Si comprar 5 litros de leche le alcanzará para alimentar a los cachorros
durante 15 días.
Usando la regla de tres simple directa:
1° Del enunciado comprendemos que me hablan de dos magnitudes “ Volumen de leche ” y “
Número de días ”. Además me dicen que con 2L de leche César puede alimentar a sus cachorros
por 6 días. Podemos representar matemáticamente así:
Volumen de leche N° de días
2 L ……………….…….. 6 días
2° La pregunta del ítem es: para cuántos días tendrán comida los cachorros si se compran 5 L de
leche. Escribamos el dato y la incógnita:
Volumen de leche N° de días
2 L ……………….…….. 6 días
5 L ……………………. X
3° Nos tocaría
: Si una aumenta la otra también aumenta proporcionalmente y si una disminuye la otra también
disminuye proporcionalmente.
4° Calculamos el valor de “ X ” :
X = 6.
X = 15
Respuesta a. Si comprar 5 litros de leche le alcanzará para alimentar a los cachorros
durante 15 días.
EQUIPO DE COORDINADORES MACRO REGIONALES
ÁREA MATEMÁTICA
11
COMPETENCIA
CAPACIDAD
INDICADORES
Actúa y piensa matemáticamente Elabora y usa Determina el conjunto de valores
en situaciones de regularidad, estrategias
que puede tomar una variable en
equivalencia y cambio.
una proporcionalidad inversa,
función lineal y lineal afín.
ITEM 13:
13.
Con un depósito de agua se llenan 36 jarras. ¿Cuántas jarras se podrán servir si
solo se llenan hasta tres cuartos de su capacidad?
a. Se podrán servir 48 jarras.
b. Se podrán servir 27 jarras.
c. Se podrán servir 24 jarras.
d. Se podrán servir igual cantidad de jarras.
RESOLUCIÓN:
1.- Del enunciado del problema comprendemos que:
CAPACIDAD DE
AGUA POR
JARRA
1
¾
NÚMERO DE
JARRAS SERVIDAS
36
X
Analizamos que si disminuimos la cantidad de agua en cada jarra, osea a ¾ partes, se
podrá servir más jarras de agua. Nos damos cuenta que es una relación de
proporcionalidad inversa.
Planteamos la regla de tres simple inversa:
DISMINUYE -
1 jarra llena
¾ de jarra llena
36 jarras servidas
X jarras servidas
AUMENTA +
Formamos la propiedad de proporcionalidad:
36 (1) = X ( ¾)
,
entonces
Respuesta: a) Se podrán servir 48 jarras de agua, solo si se llenan hasta tres cuartos de
su capacidad.
EQUIPO DE COORDINADORES MACRO REGIONALES
ÁREA MATEMÁTICA
12
COMPETENCIA
CAPACIDAD
INDICADORES
Actúa y piensa matemáticamente Elabora y usa Emplea estrategias heurísticas,
en situaciones de regularidad, estrategias
recursos gráficos y otros, al
equivalencia y cambio.
resolver problemas relacionados
a la proporcionalidad.
ITEM 14:
14. Para construir un puente de 1200 m se cuenta con 30 vigas, que se colocarían cada
40 m. Después de un estudio minucioso, se decide reforzar la obra y se utilizan 10
vigas más. ¿A qué distancia se deben colocar las vigas?
a. Se deben colocar a 53,3 m de distancia entre ellas.
b. Se deben colocar a la misma distancia entre ellas; es decir, cada 40 m.
c. Se deben colocar a 30 m de distancia entre ellas.
d. Se deben colocar a 300 m de distancia entre ellas.
RESOLUCIÓN:
1.- Usando regla de tres
Número de vigas
30
40
Distancia entre cada
viga(m)
40
X
Analizamos que si aumentamos el número de vigas la distancia disminuirá entre ellas.
Por lo tanto será menor de 40 metros. Hay una relación de proporcionalidad inversa.
Planteamos la regla de tres simple inversa:
AUMENTA+
30 vigas
40 vigas
40 metros
X metros
DISMINUYE -
Formamos la propiedad de proporción inversa:
(30)(40) = X (40)
,
entonces
Respuesta:c) Se debe colocar a 30 metros de distancia.
COMPETENCIA
CAPACIDAD
EQUIPO DE COORDINADORES MACRO REGIONALES
ÁREA MATEMÁTICA
INDICADORES
13
Actúa y piensa matemáticamente en Elabora y usa Determina el conjunto de valores
situaciones
de
regularidad, estrategias
que puede tomar una variable en
equivalencia y cambio.
una proporcionalidad inversa,
función lineal y lineal afín.
ITEM 15:
15. Entre tres pintores han pintado la fachada de un edificio y han cobrado S/. 4160. El
primero ha trabajado 15 días; el segundo 12 días, y el tercero 25 días. ¿Cuánto dinero
tiene que recibir cada uno?
a. Reciben S/. 1200; S/. 960 y S/. 2000 respectivamente.
b. Reciben S/. 960; S/. 2000 y S/. 1200 respectivamente.
c. Todos reciben la misma cantidad.
d. Reciben S/. 2000; S/. 1200 y S/. 960 respectivamente
RESOLUCIÓN:
Empleando la constante de proporcionalidad:
Pintores
Días de
trabajo
15
12
25
52
Pintor 1
Pintor 2
Pintor 3
TOTAL
Cobro por pintor
S/.
15K
12K
25K
S/.4 160
=
Pintor 1:
15 K = 15(80) = 1200
Pintor 2:
12 K = 12(80) = 960
Pintor 1:
25 K = 25(80) = 2000
Respuesta: a) El primer pintor recibe S/. 1200, el segundo s/.960 y el tercer recibe
S/.2000.
EQUIPO DE COORDINADORES MACRO REGIONALES
ÁREA MATEMÁTICA
14