Expresiones trigonométricas

Hasta el momento hemos visto dos tipos de ejercicios.
Tipo 1
α y π con una suma, resta..., entonces
resolvemos razonando sobre la circunferencia. Los aspectos más importantes ha tener en
cuenta son:
Aparece una traslación del ángulo en Pi, es decir,
{seno
  coseno
signo?
}
Ejercicios como página 88, números 23 – 26, o ejemplo b) de la página 81. Abría que incluir
conocer las razones de los ángulos de 30º, 45º y 60º para algunos apartados.
Más generales y que habrá que tener en cuenta son las fórmulas que se encuentran en las
páginas 93 – 97
Tipo 2
Aparece sólo el ángulo α ó π , como los ejercicios de la página 88 números 29 y 30.
Los aspectos más importantes ha tener en cuenta en estos casos son:
{ }
1
sen
1
sec =
cos 
1
cotg =
tg 
cosec =
{
sen² cos² =1
sen 
tg =
cos 
}
Resolvemos algunos apartados:


tg  
4
6
=
29d)

3
sen  −cos 

3
2
sen 
29e)
sen 45ºtg 30º
= ... fácil
sen 60º−cos 270º
sen⁴sen² · cos²  =
potencias múltiplos de 2  Aver... qué opciones hay , qué puedo hacer
{seno
}
en los dos términos...} {
sacamos factor común...
sen²  sen² cos²  =
29f)
cos³ cos  sen² 
=
sen³ cos²  · sen 
cos  cos² sen² 
=
sen cos² sen² 
sen²  ·1 = sen² 
opciones hay , qué puedo hacer
{A ver...quésacamos
}
factor común...
cos 
= cotg 
sen 
José Luis A.C.
29g)
−sen −cos² 1
·1sen  =
sen 
A ver...qué opciones hay , seno no los puedo cambiar
{hay un coseno
al cuadrado y conozco una fórmula lo relaciona con seno }
−sen −1−sen² 1
·1sen  = quito paréntesis y reduzco
sen 
−sen sen² 
·1sen  = saco factor común en el numerador
sen 
sen ·−1sen 
·1sen  = simplifico
sen 
−1sen ·1sen  =  sen −1· sen 1=sen² −1² = −cos² 
Veamos ahora algunos sobre igualdades trigonométricas ( página 88, ejercicio 30).
En estos casos el método general es coger uno de los miembros y desarrollarlo hasta llegar al
otro.
30a)
sec² 
cosec 
· 1−sen² · cosec² =
cotg 
cos 
{
A ver...qué opciones hay , todos son productos y un paréntesis con una resta
diferentes razones , cosec , cos , cotg , sec , sen...
me quedo con el primer miembro , lo desarrollo
1−sen²  está claro , y vamos a dejarlo todo en seno y coseno
}
1
1
1
cos² 
1
cos² 
1
cos²  cos² 
· cos² ·
=
·cos²  ·
=
·
=
1
sen² 
1
sen² 
cos  sen² 
tg 
sen 
sen 
cos 
sen  cos² 
1
1
cosec
·
=
·
=
cos³  sen² 
cos  sen 
cos 
30b)
1−sen² ·
{
1
1cos² 
·
· tg =sen 
cos  2−sen² 
A ver...qué opciones hay , productos y paréntesis con cuadrados
me quedo con el primer miembro , lo desarrollo
1−sen²  , está claro
1cos² 
vamos a dejarlo todo en seno ó coseno
2−sen² 
}
José Luis A.C.
cos²  1cos²  sen 
sen 
·
·
= cos² · 1
=sen 
cos  1cos²  cos 
cos 
30c)
cotg² · cos² −cotg² =−cos² 
cotg² cos² −1=
30d)
1
1
cos² 
·−sen²  =
·−sen²  =
·−sen² =−cos² 
tg² 
sen² 
sen² 
cos² 
cos⁴−sen⁴
1−tg² 
=
sen  ·cos 
tg 
{
A ver... qué opciones hay
me quedo con el primer miembro , lo desarrollo
una diferencia a la cuarta...identidad notable
}
cos² −sen² cos² sen² 
 cos² −sen² · 1
cos² −sen² 
=
=
sen  · cos 
sen · cos 
sen · cos 
{
A ver... qué opciones hay
en el primer miembro puedo modificar la parte de arriba
pero nunca me va a quedar un algo para simplificar abajo
desarrollo el segundo miembro con las tangentes , a ver que tal
1−tg² 
=
tg 
sen²  cos² −sen² 
cos² 
cos² 
cos  · cos² −sen²  cos² −sen² 
=
=
=
sen 
sen 
cos²  · sen 
sen  · cos 
cos 
cos 
1−
30e) 1tg  ·1cotg =
 sen cos ²
sen · cos 
{
Aver... qué opciones hay
me quedo con el primer miembro , lo desarrollo
cambio todo a seno y coseno , fracciones algebraicas
1
=
}
}
sen 
1
sen 
1
sen
cos 
· 1
 = 1
 ·1
 = 1
 ·1
=
cos 
tg 
cos 
sen 
cos 
sen 
cos 
 sen cos ²
cos sen  sen cos
· 
=
cos 
sen 
sen · cos 
Como habéis podido comprobar fundamental las definiciones de las razones trigonométricas y
la fórmula de sen² cos² =1 , poco más.
José Luis A.C.