Tema 2. MATRICES

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Tema 2. MATRICES
Definición de matriz
Una matriz de dimensión n × m es un conjunto de números dispuestos en n filas y m
columnas. Así:
 a11 a12 ... a1m 


 a 21 a 22 ... a 2 m 
A=
:
:
:
: 


a

 n1 a n 2 ... a nm 
La matriz anterior también se puede denotar por A = aij n×m
( )
El elemento aij es el que ocupa la fila i y la columna j.
 1 0


Ejemplo: La matriz A =  − 3 6  tiene dimensión 3 × 2. El elemento a21 = −3.
 2 5


• Igualdad de matrices
Dos matrices son iguales cuando tienen la misma dimensión y coinciden los elementos
correspondientes.
1 0 
a b
 y B = 
 sean iguales es necesario que a
Ejemplo: Para que las matrices A = 
 2 − 5
c d 
= 1, b = 0, c = 2 y d = −5.
• Matriz traspuesta
La matriz traspuesta de una matriz A es la que se obtiene al cambiar las filas por las
columnas. Se denota por At. Así, si A = aij n×m , su traspuesta es At = a ji m×n
( )
( )
 1 0


1 − 3 2
 .
Ejemplo: Si A =  − 3 6  , su traspuesta es At = 
0 6 5
 2 5


• Algunos tipos de matrices
Si una matriz tiene el mismo número de filas que de columnas, se llama cuadrada; si no es
así, la matriz es rectangular.
− En las matrices cuadradas se habla de diagonal principal, la que va de izquierda a derecha,
y de diagonal secundaria, que va de derecha a izquierda.
La suma de los elementos de la diagonal principal se llama traza.
1
2 0


A = 2 − 3 6 
Ejemplo:
 2 7 − 1


Diagonal secundaria
Diagonal principal
Traza de A = 2 − 3 − 1 = −2.
José María Martínez Mediano
2
− Entre las matrices rectangulares se puede hablar de matriz fila, la que tiene una sola fila, y
de matriz columna, la que tiene una sola columna.
 2 
 
Ejemplos: Matriz fila: F = (2 − 3 4 ) .
Matriz columna: C =  − 3 
 4 
 
Observa que las matrices anteriores son traspuestas una de otra.
− Entre las matrices cuadradas puede hablarse de:
Matriz simétrica: Una matriz A es simétrica cuando A = At.
Matriz antisimétrica: Una matriz A es antisimétrica cuando A = –At.
1
3 − 1
2 0
 0




2
Ejemplos: Simétrica: A =  0 − 3 7  ; Antisimétrica: A =  − 3 0
 1 7 − 1
 1 −2 0 




Matriz triangular: Todos los elementos situados por encima (o por debajo) de su diagonal
principal son ceros.
Ejemplos:
1 0 1
 2 0 0




Triangular superior: T =  0 − 3 6  . → Triangular inferior: T =  2 5 0 
 0 0 3
 2 7 0




Matriz diagonal: Tiene nulos todos los elementos situados fuera de su diagonal principal.
3 0 0 


Ejemplo: D =  0 4 0 
0 0 − 2


Matriz escalar: Es una matriz diagonal con todos los elementos de su diagonal principal
 3 0 0


iguales y no nulos. Ejemplo: E =  0 3 0  .
 0 0 3


1 0 0


Matriz unidad. La matriz unidad de orden 3 × 3 es I =  0 1 0  .
0 0 1


Matriz nula. Es la que todos sus elementos son cero. La matriz nula de orden 2 × 3 es
0 0 0
 .
O = 
0 0 0
José María Martínez Mediano
3
Operaciones con matrices: suma y producto por números
• Suma: Si A = (aij )n×m y B = (bij )n×m ⇒ A + B = (aij + bij )n×m
NOTA: Sólo pueden sumarse matrices de la misma dimensión.
 2 3  5 − 2  2 + 5 3 − 2  7 1 
 + 
 = 
 = 

Ejemplo: 
 −1 7  4 − 9  − 1 + 4 7 − 9  3 − 2
Propiedades. La suma de matrices cumple las propiedades usuales. Esto es:
Asociativa:
A + (B + C) = (A + B) + C
Conmutativa:
A+B=B+A
Matriz nula: O:
A+O=O+A=A
Matriz opuesta: –A: A + (–A) = O
• Multiplicación de una matriz por un número:
Si A = aij n×m y k es un número real ⇒ k · A = kaij
( )
( )n×m
 2 3  6 9 
 = 

Ejemplo: 3·
 − 1 7   − 3 21
Propiedades. El producto de una matriz por un número cumple las propiedades usuales. Esto
es:
k · (A + B ) = k · A + k · B;
(k + h) · A = h · A + h · A
(k · h) · A = k · (h · A)
1·A=A
 2 3   5 − 2   4 6  15 − 6   − 11 12 
 − 3
 = 
 − 
 = 

Ejemplo: 2
 − 1 7   4 − 9   − 2 14  12 − 27   − 14 41
Observación. El conjunto de matrices de dimensión n × m, respecto de las operaciones suma
y producto por escalares, tiene estructura de espacio vectorial.
Multiplicación de matrices
Si A = aij n×m y B = bij m× p ⇒ A·B = cij
( )
( )
( )n× p
El elemento cij de la matriz producto es el resultado de sumar los productos ordenados de los
elementos de la fila i de la matriz A por los de la columna j de la matriz B. Esto es:
cij = ai1b1 j + ai 2 b2 j + ... + aim bmj .
NOTA: Para multiplicar dos matrices es necesario que el número de columnas de la primera
(la situada a la izquierda, matriz A) coincida con el número de filas de la segunda (la situada
a la derecha, matriz B).
Ejemplo:
1  5
4   2·5 + 0·(−3) + 1·9
2·4 + 0·0 + 1·(−7)   19
1 
2 0


 
 

 0 − 3 7 · − 3 0  =  0·5 + (−3)·(−3) + 7·9 0·4 + (−3)·0 + 7·(−7)  =  72 − 49 
 1 7 − 1  9 − 7   1·5 + 7·(−3) + (−1)·9 1·4 + 7·0 + (−1)·(−7)   − 25 11 


 
 

José María Martínez Mediano
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•
Algunos productos particulares
4 5 


− Matriz fila F1×m por B = bij m× p .
Ejemplo: (1 − 2 3)· 3 − 1 = (− 2 13)
0 2 


 1 0 2  3   15 

  

− Matriz A = aij n×m por matriz columna Cm×1. Ejemplo:  3 4 − 2  − 4  =  − 19 
 5 0 − 5  6   − 15 

  

5
 
 
− Matriz fila F1×m por matriz columna Cm×1. Ejemplo: (1 − 2 3)· − 7  = (28)
 3 
 
( )
( )
Propiedades del producto de matrices
El producto de matrices (para matrices multiplicables) cumple las siguientes propiedades:
• Asociativa:
A · (B · C) = (A · B) · C
• Distributiva:
A · (B + C) = A · B + A · C
• Elemento neutro: A · I = A; I · A = A. La dimensión de I dependerá de la de A, que debe
ser cuadrada.
OJO. El producto de matrices no cumple, en general, las siguientes propiedades:
• Conmutativa:
A·B≠B·A
• Cancelativa:
A · B = A · C no implica que B = C
• Divisores de cero: A · B = O no implica que A = O o B = O
Consecuencias:
1. Cuando se multiplican dos matrices no es independiente el orden de colocación; hay
que indicar cuál de ellas va a la izquierda, por delante.
ERROR frecuente: admitir para dos matrices A y B que (A + B)2 = A2 + 2AB + B2.
También está MAL: (A − B)2 = A2 − 2AB + B2 y (A + B)(A − B) = A2 − B2.
2. En las ecuaciones matriciales no pueden simplificarse matrices. No existe la división
de matrices.
3. Si un producto de matrices da la matriz nula no puede deducirse que alguna de las
matrices factores sea nula.
Ejemplos:
6 
 1 2  0 2   − 6 2 
 0 2  1 2   0

 = 
 ; BA = 

 = 

No conmutativa: AB = 
 0 3  − 3 0   − 9 0 
 − 3 0  0 3   − 3 − 6 
2 
1
1 − 2
3 6 
 , B = 
 y C = 
 , puede verse que AB =
No cancelativa: Si A = 
 −1 − 2
2 1 
 1 − 3
AC y sin embargo, B ≠ C. (Compruébese.)
 1 − 2  2 4   0 0 

 = 
 y ninguna de las matrices
Divisores de cero. El producto 
 0 0  1 2   0 0 
factores es nula.
José María Martínez Mediano
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• Potencia de una matriz cuadrada
Es el concepto análogo a la potencia numérica. Esto es: A · A · ... · A = An.
La potencia de una matriz es un proceso laborioso, aunque algunas veces resulte más o menos
fácil.
Ejemplos:
1 2
 1 2  1
 ⇒ A 2 = 

Si A = 
 0 3
 0 3  0
1
A3 = AA 2 = 
0
1
A 4 = AA3 = 
0
2 1 8
=

3   0 9 
2  1 8   1

=
3  0 9   0
2  1 26   1

=
3  0 27   0
12
→ Está MAL: A 2 = 
0
26 

27 
80 

81 
22 

3 2 
 1 3 n − 1

En este caso es fácil ver que: A n = 
n 
0
3


Si A es una matriz diagonal es más fácil todavía.
 22 0 
 2n 0 
 2 0
 ⇒ ... ⇒ A n = 

 ⇒ A 2 = 
Si A = 
2
 0 5 n  (Compruébalo).
0
5
 0 5




−
3
−
4
−
19
−
8
1
−
1





2
3
Si A = 
 4 3  ⇒ A =  16 − 5  ⇒ A =  − 4 − 31 , ... Resulta muy complicado






hallar An.
1 3 
16 0 
 16 48 
 256 0 
2
3
4
Si A = 
 5 − 1 ⇒ A =  0 16  ⇒ A =  80 − 16  ⇒ A =  0 256 








En este caso hay que distinguir entre potencias de exponente par o impar. Así:
 4 2( n−1) 3·4 2( n −1) 
 4 2n
0 
2n
 , n ≥ 1.


Impar: A 2 n−1 =  2( n−1)
Par:
A
=
2 ( n −1) 
 0 4 2n  , n ≥ 1
−4
 5·4



Algunas propiedades relacionadas con matrices traspuestas
Recuerda: Dada A = aij n×m , su traspuesta es At = a ji m×n
( )
( )
− Traspuesta de la suma de matrices:
(A + B)t = At + Bt.
− Traspuesta de un número por una matriz: (kA)t = kAt
− Traspuesta de la matriz traspuesta: (At)t= A
− Traspuesta de un producto de matrices: (A · B)t = Bt · At, siendo Am×p y Bp×m
Algunos tipos más de matrices cuadradas
• Matriz ortogonal. A es ortogonal si A · At = I. En consecuencia, A es ortogonal si At =
A-1
• Matriz idempotente. A es idempotente si A · A = A.
• Matriz involutiva. A es involutiva si A · A = I.
• Matriz nilpotente. A es nilpotente si A · A · ... · A = O.
• Matriz periódica. A es periódica de período p si Ap + 1 = A.
José María Martínez Mediano
6
Ejemplos:
 0 − 1
 →
Ortogonal: A = 
1 0 
−1 2

Idempotente: A =  2 − 1
 1 −1

 0 − 1 0 1   1 0 

 = 

A· At = 
 1 0  − 1 0   0 1 
− 6

6  . Compruébese que A2 = A.
4 
6 
6  7
6  1 0
 7
 7
 ⇒ A 2 = 

 = 

Involutiva: A = 
− 8 − 7
 − 8 − 7  − 8 − 7   0 1 
1
3 
 1


2
6  , pues A · A · A = A3 = O. (Compruébese.)
Nilpotente: A =  5
 − 2 − 1 − 3


 4 − 3 − 3


Periódica: A =  5 − 4 − 4  es periódica de periodo 3, esto es, A4 = A.
 −1 1
0 

Rango de una matriz
• El rango de una matriz es el número de filas no nulas que tiene dicha matriz. (Una fila es
nula cuando todos sus elementos son ceros.)
• El rango de una matriz es el número de filas linealmente independientes que tiene dicha
matriz. (Dos filas son linealmente independientes cuando no hay relación de
proporcionalidad entre sus elementos correspondientes; esto es, cuando una fila no puede
obtenerse multiplicando la otra por un constante: Fi ≠ kF j . Si lo extendemos a tres filas se
tendrá: si F3 = pF1 + qF2 , la tercera fila depende linealmente de las dos primeras; en caso
contrario son linealmente independientes.)
• Si una matriz se somete a transformaciones elementales su rango no varía. Una
transformación elemental consiste en la sustitución de una fila por ella misma más la suma
de otras filas multiplicadas por números.
• Para hallar el rango de una matriz conviene hacer en ella transformaciones elementales,
buscando obtener ceros en alguna de las filas. Si se obtiene una fila de ceros, o dos filas
iguales, o dos filas proporcionales, se suprime la fila nula o una de las dos proporcionales.
Finalizado el proceso, el número de filas no nulas que queden en la matriz es el
correspondiente a su rango.
Ejemplos:
1 1 3


1. La matriz A =  5 2 6  tiene una fila nula. Su rango es 2.
0 0 0


1 1 3 


2. El rango de la matriz A = 1 1 6  es el mismo que el de la matriz
1 1 0 


José María Martínez Mediano
7
1 1 3 


F 2 − F1 →  0 0 3  , que vale 2, pues la fila 3ª se suprime por ser proporcional a la 2ª.
 0 0 − 3
F 3 − F1


 1 1 3
 1 1 3
1 1 3 






→0 1 3  .
3. La matriz B =  1 2 6  ⇔ F 2 − F1 →  0 1 3  ⇔
 0 2 3
 0 0 − 3
 −1 1 0
F 3 + F1
F 3 − 2F 2






Como en la última matriz no se da ninguna relación de dependencia entre sus filas (es
imposible hacer una fila de ceros) el rango de B vale 3.
Nota. En el tema de determinantes se verá otra técnica para calcular el rango.
Matriz inversa
Una matriz cuadrada A, es inversible (o invertible) si existe otra matriz, de igual tamaño, que
se denota por A–1 y se llama matriz inversa de A, tal que: A · A–1 = A–1 · A = I, siendo I la
matriz identidad del mismo tamaño que A.
Advertencia. Para que una matriz tenga inversa es necesario que sea cuadrada y que su rango
coincida con su orden.
Ejemplo:
 4

La inversa de la matriz A =  5
 −1

4

−1
basta con ver que A· A = I :  5
−1

− 3 − 3

− 4 − 4  es
1
0 
− 3 − 3  4
 
− 4 − 4 ·  4
1
0   1
4

A = 4
1

−3 0 

−3 1 
− 1 − 1
−1
0

− 3 1  . Para comprobarlo
− 1 − 1
1 0 0


=  0 1 0 .
0 0 1


−3
• Cálculo de la matriz inversa
Método directo:
1. Se escribe A–1 en función de tantas incógnitas como sea necesario.
2. Se hace el producto A · A–1 y se iguala a la matriz I del mismo tamaño.
3. Resolviendo las ecuaciones resultantes se obtienen los elementos de A–1
Ejemplo:
5 
1
a b 
 , suponemos que A −1 = 
 .
Si A = 
 −1 − 4
c d 
1 0
 se tiene:
Haciendo A · A–1 e igualando a I = 
0 1
A· A −1
 a + 5c = 1
− a − 4c = 0
5  a b   a + 5c
b + 5d   1 0 
1


 = 
 = 
 = I ⇒ 
⇒
= 
 − 1 − 4  c d   − a − 4c − b − 4d   0 1 
 b + 5d = 0
 − b − 4d = 1
José María Martínez Mediano
8
⇒ a = –4, c = 1; b = –5, d = 1
 − 4 − 5

Luego A −1 = 
1 
 1
NOTA: Este método resulta demasiado engorroso para matrices de mayor tamaño.
Método de Gauss.
1. Se añade a la derecha de la matriz A la matriz identidad; se forma así la matriz (A / I).
2. Se transforma dicha matriz, mediante sumas y restas de filas, hasta llegar a la matriz
(I / A–1).
Ejemplo:
1
5 
5 1 0
1

 , formamos: (A I ) = 
Para la misma matriz A = 

−
1
−
4
0
1
 −1 − 4


Iniciamos las transformaciones. Se obtiene:
1 5 1 0
F1 − 5 F 2  1 0 − 4 − 5 

 →

 = I A −1
(A I ) =  1 5 1 0  →



F 2 + F 1 0 1 1 1 
1 
 −1 − 4 0 1
0 1 1
(F2 + F1 indica que se suma a la segunda fila la primera; F1 – 5F2, que a la primera fila se le
resta la segunda multiplicada por 5).
 − 4 − 5
.
La matriz inversa de A es A −1 = 
1 
 1
(
)
Nota. Para matrices de mayor tamaño este método resulta más laborioso; por eso, en el tema
de determinantes se verá otra técnica más eficaz para calcular la inversa de una matriz.
•
Algunas propiedades relacionadas con la matriz inversa.
1. Si A tiene inversa, su inversa es única.
2. Si una fila o una columna de la matriz A es nula, entonces A no es inversible.
3. Si A y B son invertibles y del mismo tamaño, entonces su producto también tiene
inversa, que vale:
(A · B)−1 = B−1 · A−1 .
4. Si A tiene inversa, entonces su traspuesta también tiene inversa, que vale:
(At)−1 = (A−1)t .
José María Martínez Mediano