Departamento de matemática y aplicaciones; Cure–Universidad de la República Introducción al cálculo diferencial Curso 2015 Práctico 3 §1. Realice los ejercicios 1,4,5 y 11 del Capítulo III, §1 (página 47) del libro Cálculo I de Serge Lang (tercera edición). §2. Realice los ejercicios 1,10 y 12 del Capítulo III, §2 (página 52) del libro Cálculo I de Serge Lang (tercera edición). §3. Realice los ejercicios 1,5 y 7 del Capítulo III, §4 (página 60) del libro Cálculo I de Serge Lang (tercera edición). §4. Realice los ejercicios 12,14 y 16 del Capítulo III, §5 (página 67) del libro Cálculo I de Serge Lang (tercera edición). §5. Mostrar que la recta y = −x es tangente a la curva dada por la ecuación y = x3 − 6x + 8x Hallar el punto de tangencia. §6. Mostrar que las gráficas de las ecuaciones y = 3x2 y = 2x3 + 1 tienen la recta tangente común en el punto (1,3). §7. Mostrar que hay exactamente dos rectas tangentes a la gráfica de y = (x + 1)2 que pasa por el origen y hallar sus ecuaciones. §8. Hallar todos los puntos (x0 , y0 ) sobre la curva y = 4x4 − 8x2 + 16x + 7 tales que la recta tngente a la curva en (x0 , y0 ) sea paralela a la recta 16x − y + 5 = 0 Hallar la recta tangente a la curva en cada uno de estos puntos. 1 2 §9. Sea f una función cuyo dominio es el conjunto de todos los números reales y f (a + b) = f (a)f (b) para toda a y b. Además suponer que f (0) = 1 y f 0 (0) existe. Probar que f 0 (x) existe para toda x y que f 0 (x) = f 0 (0)f (x). §10. Si g es continua en a y f (x) = (x − a)g(x) encontrar f 0 (a) §11. Sea f una función tal que |f (x)| ≤ x2 para toda x. Probar que f es derivable en 0 y que f 0 (0) = 0 §12. Sea f la función definida por g(x)−g(a) si x 6= a x−a f (x) = g 0 (a) si x = a Probar que si g 0 (a) existe, f es continua en a