Departamento de matemática y aplicaciones;
Cure–Universidad de la República
Introducción al cálculo diferencial
Curso 2015
Práctico 3
§1. Realice los ejercicios 1,4,5 y 11 del Capítulo III, §1 (página 47) del libro
Cálculo I de Serge Lang (tercera edición).
§2. Realice los ejercicios 1,10 y 12 del Capítulo III, §2 (página 52) del libro
Cálculo I de Serge Lang (tercera edición).
§3. Realice los ejercicios 1,5 y 7 del Capítulo III, §4 (página 60) del libro
Cálculo I de Serge Lang (tercera edición).
§4. Realice los ejercicios 12,14 y 16 del Capítulo III, §5 (página 67) del libro
Cálculo I de Serge Lang (tercera edición).
§5. Mostrar que la recta y = −x es tangente a la curva dada por la ecuación
y = x3 − 6x + 8x
Hallar el punto de tangencia.
§6. Mostrar que las gráficas de las ecuaciones
y = 3x2
y = 2x3 + 1
tienen la recta tangente común en el punto (1,3).
§7. Mostrar que hay exactamente dos rectas tangentes a la gráfica de y =
(x + 1)2 que pasa por el origen y hallar sus ecuaciones.
§8. Hallar todos los puntos (x0 , y0 ) sobre la curva
y = 4x4 − 8x2 + 16x + 7
tales que la recta tngente a la curva en (x0 , y0 ) sea paralela a la recta
16x − y + 5 = 0
Hallar la recta tangente a la curva en cada uno de estos puntos.
1
2
§9. Sea f una función cuyo dominio es el conjunto de todos los números reales
y f (a + b) = f (a)f (b) para toda a y b. Además suponer que f (0) = 1 y
f 0 (0) existe. Probar que f 0 (x) existe para toda x y que f 0 (x) = f 0 (0)f (x).
§10. Si g es continua en a y f (x) = (x − a)g(x) encontrar f 0 (a)
§11. Sea f una función tal que |f (x)| ≤ x2 para toda x. Probar que f es derivable
en 0 y que f 0 (0) = 0
§12. Sea f la función definida por
g(x)−g(a)
si x 6= a
x−a
f (x) =
g 0 (a)
si x = a
Probar que si g 0 (a) existe, f es continua en a
0
