Funciones

FUNCIONES
Una relación f definida entre dos conjuntos A y B es una función, si cada elemento de A tiene una y
sólo una imagen en B.
}y
f una relación definida de A en B que asigna a
x
2
≤
x
f
/
B
− <
8A
:
xf
={ ∈
2
/
Z
},
x
B
<
5
x
/
N
x
A
Ejemplo 1:
Sean
={ ∈
( )=
cada elemento de A su doble en B; es decir:
→
Realizar un diagrama sagital de la relación y determinar si es o no una función.
Solución:
Los conjuntos A y B por extensión son: A = {0, 1, 2, 3, 4} y B = {– 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
Se calculan las imágenes
de cada elemento de A:
Conclusiones:
9 f es una función ya que a cada elemento
del conjunto A le asigna una y sólo una
imagen en B
9 El conjunto A es el dominio de f
9 El conjunto B es el codominio de f
9 El conjunto {0, 2, 4, 6, 8} es el rango de
la función f.
f(x) = 2x
f(0) = 2(0) = 0
f(1) = 2(1) = 2
f(2) = 2(2) = 4
f(3) = 2(3) = 6
f(4) = 2(4) = 8
≤
6
={ ∈
x
/
*
N
al conjunto
x
}
M
≤
2
={ ∈
x
/
Z
2
2
( )=
x
→
x
g
/
M
P
:
g
Se define del conjunto
x
P
Ejemplo 2:
} la
siguiente relación:
+ .
Realizar un diagrama sagital de la relación y determinar si es o no una función.
Solución:
Los conjuntos P y M por extensión son: P = {– 2, – 1, 0, 1, 2} y M = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Se calculan las imágenes
de cada elemento de P:
2
g(x) = x + 2
2
g(-2) = (-2) + 2 = 6
2
g(-1) = (-1) + 2 = 3
2
g(0) = (0) + 2 = 2
2
g(1) = (1) + 2 = 3
2
g(2) = (2) + 2 = 6
Funciones
Conclusiones:
9 g es una función ya que a cada elemento
del conjunto P le asigna una y sólo una
imagen en M
9 Domg = P
9 Codominio = M
9 Rgog = { 2, 3, 6 }
1
≤
5
={ ∈
x
/
*
N
x
x
h
/
B
A
:
h
Sean A = {1, 4, 9, 16, 20, 25} ,
x
B
Ejemplo 3:
} y h una relación definida de A en B de la siguiente
( )= .
→
forma:
Realizar un diagrama sagital de la relación y determinar si es o no una función.
Solución:
El conjunto B por extensión es: B = {1, 2, 3, 4, 5}
Se calculan las imágenes
de cada elemento de A:
5
4
2 3
1
0 5
6 2
2
x 1 4 9 1
=
=
B
Conclusión:
9 h no es una función ya que la imagen del
número x = 20 no pertenece al conjunto
B. Es decir,
∉
=
0
2
0 5
6 2
x 1 4 9 1
2
h h h h h h h
( )=
( )=
( )=
( )=
( )=
( )=
( )=
=
=
Ejemplo 4:
y
x
y
R
x
Sean A = {– 3, 1, 2} y B = {– 2, 0, 2, 4}. Se define de A en B una relación R de la siguiente forma:
“Un elemento x de A está relacionado con un elemento y de B si y sólo si x es menor que y”.
Es decir,
⇔ <
Realizar el producto cartesiano AxB, un diagrama sagital de la relación y determinar si es o no
función:
Solución:
Producto cartesiano: AxB ={(-3,-2),(-3,0),(-3,2),(-3,4),(1,-2),(1,0),(1,2),(1,4),(2,-2),(2,0),(2,2),(2,4)}
Las parejas que pertenecen a la relación son: R ={(-3,-2),(-3,0),(-3,2),(-3,4),(1,2),(1,4),(2,4)}
Conclusión:
9 R no es una función ya que existen
elementos en el conjunto A que tienen
múltiples imágenes
Funciones
2
Ejercicio 1: Determina para cada uno de los siguientes diagramas sagitales, si representa una
función o no. Justifica tu respuesta.
Ejercicio 2: Determina para cada uno de los siguientes diagramas tabulares, si representa una
función o no. Justifica tu respuesta.
Ejercicio 3: Determina en cada caso, si el conjunto de pares ordenados corresponde a una función
del conjunto X en el conjunto Y. Justifica tu respuesta.
a) X = {0, 1, 2, 3, 4}, Y = {2, 3, 4, -5, 5, 8}
R1 = {(1, 3);(2, -5);(3, 8);(0, -5);(4, 8)}
b) X = {a, b, c, d, e}, Y = {3, 4, 8, 11, 12, 13}
R2 = {(a, 3);(b, 4);(b, 8);(c, 11);(d, 8);(e,12)}
c) X = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, Y = {x, y, z, w}
R3 = {(1, x);(2, x);(3,x);(4, x);(5, x);(6,x)}
d) X = {a}, Y = {1, 3, 5, 13}
R4 = {(a, 3);(a, 1);(a, 5);(a, 13)}
Funciones
3
Función inyectiva: Una función es inyectiva cuando a elementos distintos del dominio le
corresponden imágenes distintas en el codominio.
Ejercicio 4: Determina para cada uno de los siguientes diagramas sagitales, si representa una
función inyectiva. Justifica tu respuesta.
Ejercicio 5: Determina para cada uno de los siguientes diagramas tabulares, si representa una
función inyectiva. Justifica tu respuesta.
Funciones
4
Función sobreyectiva: Una función es sobreyectiva cuando todos los elementos del codominio
son imágenes de elementos del dominio. Es decir, codominio = rango
Ejercicio 6: Determina para cada uno de los diagramas sagitales dados en el ejercicio 4, si
representa una función sobreyectiva. Justifica tu respuesta.
Ejercicio 7: Determina para cada uno de los diagramas tabulares dados en el ejercicio 5, si
representa una función sobreyectiva. Justifica tu respuesta.
Función biyectiva: Una función es biyectiva cuando es inyectiva y sobreyectiva a la vez
Ejercicio 8: Determina para cada uno de los diagramas sagitales dados en el ejercicio 4, si
representa una función biyectiva. Justifica tu respuesta.
Ejercicio 9: Determina para cada uno de los diagramas tabulares dados en el ejercicio 5, si
representa una función biyectiva. Justifica tu respuesta.
Funciones
5
1)
A)
B)
C)
D)
E)
De los siguientes diagramas sagitales anexos, representan una función:
Sólo I
Sólo I, II Y III
Sólo II y IV
Sólo I y IV
Sólo I y III
2)
A)
B)
C)
D)
E)
¿Cuál de los siguientes conjuntos de pares ordenados representa una función?
{(0,4) , (3,3) , (0, –2) , (4,1)}
{(5,5) , (5,2) , (5,3)}
Nota: Las primeras componentes de los pares ordenados
{(4,1) , (3,2) , (3,3)}
representan los elementos del conjunto de partida y las
{(1,0) , (5, –1) , (–2, –2) , (3, –2)}
segundas componentes los elementos del conjunto de llegada
{(2,1) , (2,3) ,(2,5) , (–1,4)}
3)
A)
B)
C)
D)
E)
De los siguientes conjuntos de pares ordenados el que no representa una función es:
{(x,2) , (y,2) , (m,3) , (p,3)}
{(a,x) , (b,x) , (c,x) , (d,x)}
{(5,2) , (3,0) , (2,3) , (9,1)}
{(1,2) , (2,8) , (2,9) , (5,5)}
{(0,9) , (1,9) , (–2,1) , (4,4)}
4)
A)
B)
C)
D)
E)
De los diagramas tabulares anexos, representan una función:
Sólo IV
Nota: Los números en el eje X representan los elementos del
Sólo II y IV
conjunto de partida (A) y los números en el eje de las Y los
Sólo II y III
elementos del conjunto de llegada (B)
Sólo I y III
Sólo II, III y IV
5) De las siguientes representaciones gráficas, corresponden a una función:
(Nota: Para saber si una gráfica representa una función, trace una recta paralela al eje Y. Si la recta
corta a la gráfica en un solo punto, la gráfica representa una función. Si la recta corta a la gráfica en
dos o más puntos, la gráfica no representa una función.)
A) Sólo I
B) Sólo I y II
C) Sólo II y III
D) Sólo I, II y III
E) Sólo I, II y IV
6) ¿Cuál de las siguientes expresiones define a x como una función de y, de acuerdo a la tabla de
valores adjunta?
B)
=
(
−
)
3
8/3
4
5
6
15/4 24/5 35/6
C) y =
x2 −1
x
D)
y=
x2 −1
E)
x +1
=
(
1
x 2
1 x
x
)
2
3/2
y
−
1
0
1
x x
3
Funciones
(
y
=
1
x
3 2
y
A)
x
y
+
)(
−
)
6