cuadrilátero circunscriptible

CUADRILÁTERO CIRCUNSCRIPTIBLE
GUSTAVO RÍOS
Definición. Un cuadrilátero convexo es circuscriptible si existe una circunferencia tangente a
sus cuatro lados.
Teorema. Una condición necesaria y suficiente para que un cuadrilátero convexo sea
circunscriptible es que las sumas de los lados opuestos sean iguales.
En general se presenta la demostración del teorema directo utilizando la propiedad de las
tangentes a una circunferencia trazadas desde un punto exterior, a saber, que los segmentos
determinados por dicho punto y los puntos de contacto de las rectas tangentes con la
circunferencia son iguales. Es muy fácil de comprender tal demostración. El recíproco suele
hacerse por reducción al absurdo, separando distintos casos. Aquí se expone una demostración
directa del teorema recíproco que he tomado del libro Eulciean Geometry de Paul Yiu.
D
C
O
E
A
F
HIPÓTESIS: AB + CD = BC + AD
B
TESIS: ABCD circunscriptible
DEMOSTRACIÓN
Si AB = BC , ABCD es un rombo y la tesis es evidente. De lo contrario, supóngase que
AB > BC . En tal caso deberá ser AD > CD y existirán los puntos F ∈ [ AB ] tal que FB = BC y
E ∈ [ AD ] tal que ED = DC .
Obsérvese que UFAE es isósceles pues, por la forma de tomar E y F , y por la hipótesis, se
tiene
⎫⎪
⎪⎪
⎪⎬ ⇒ AF = AE ∴ UAFE isósceles
AE = AD − ED = AD − DC
⎪
AB + CD = BC + AD ⇒ AB − BC = AD − CD ⎪⎪⎪⎭
AF = AB − FB = AB − BC
Considérese el triángulo UCEF , sea O
establecidas previamente se deduce:
su circuncentro. Atendiendo a las relaciones
n
AE = AF ⇒ A ∈ mz[EF ] ⇒ AO = mz[EF ] ⇒ [ AO ) = bz EAF
n
BC = BF ⇒ B ∈ mz[CF ] ⇒ BO = mz[CF ] ⇒ [BO ) = bzCBF
n
DC = DE ⇒ D ∈ mz[CE ] ⇒ DO = mz[CE ] ⇒ [DO ) = bzCDE
Esto conduce a que el punto O equidista de los lados del cuadrilátero ABCD , por lo cual existe
una circunferencia de centro O tangente a los cuatro lados de ABCD , i.e. ABCD es
circunscriptible.
Q. E. D.