Problema 65

Problema 65
Propuesto por Juan Carlos Salazar, Puerto Ordaz (Venezuela).
El cuadrilátero ABCD es bicéntrico (es decir, tiene círculo inscrito y circunscrito); el
círculo inscrito tiene centro I y radio r; los círculos exinscritos correspondientes a los
lados AB y CD tienen centros y radios (I1 ,r1 ) e (I2 ,r2 ), respectivamente. Los puntos de
tangencia del círculo inscrito con los lados AB, BC, CD y DA son, respectivamente, W,
X, Y y Z. Los puntos de tangencia de los círculos exinscritos (I1 ,r1 ) e (I2 ,r2 ) con un lado
del cuadrilátero y la prolongación de los otros dos, determinan los triángulos
“tangenciales exteriores” de áreas S1 y S2 , respectivamente. Demostrar que:
i) [WXYZ ] = S1
S
r 
ii) 1 =  1 
S 2  r2 
r2
r
+ S2 1 ,
r1
r2
3/ 2
,
donde [ ] representa el área.
Z''
C
B
X
I2
Y
Z'
W
I1
I
Y'
W''
X''
X'
A
Z
D
Sean Y', X' y Z' los puntos de tangencia de (I1 ,r1 ) con el lado AB y las prolongaciones de
los lados AD y BC, respectivamente, y sean W'', X'' y Z'' los puntos de tangencia de
(I2 ,r2 ) con el lado CD y las prolongaciones de los lados AD y BC, respectivamente. Por
ser ABCD cíclico, se tiene que:
∠Z ' BY ' = π − ∠ B = ∠D ;
∠X ' AY ' = π − ∠A = ∠C ;
∠X ' ' DW ' ' = π − ∠D = ∠B ;
∠Z ' ' CW ' ' = π − ∠C = ∠ A .
Las bisectrices de ∠WBX, ∠XCY, ∠YDZ y ∠ZAW confluyen en I, las de ∠X'AY' e
∠Y'BZ' en I1 , y las de ∠W''DX'' y ∠W''CZ'' en I2 . Por lo tanto,
r
r
CY
 ∠A  AY '
tan 
=
=
= 2 ;
=
r1
AW
r
CW ' '
 2 
r
r
DY
 ∠B  BY '
tan 
=
=
= 2 .
=
r1
BW
r
DW ' '
 2 
XY W ' ' Z ' '
 ∠A  X 'Y ' WZ
2 sin 
=
=
=
;
=
r1
AW
r
CW ' '
 2 
 ∠B  Y ' Z ' WX YZ W ' ' X ' '
2 sin 
=
=
=
.
=
r1
BW
r
DW ' '
 2 
De las anteriores igualdades se obtiene trivialmente que r1 r2 =r2 , y que
X 'Y ' Y ' Z ' r1 AY ' BY ' AY '+ BY ' AB
=
= =
=
=
=
;
XY
YZ
r CY DY CY + DY CD
X ' 'W ' ' W ' ' Z ' ' r2 DW ' ' CW ' ' DW ' '+CW ' ' CD
=
= =
=
=
=
.
XW
WZ
r
BW
AW
BW + AW
AB
Además,
AB = AY '+BY ' =
r ⋅ r1 r ⋅ r1 ( AW + BW )r ⋅ r1
AB ⋅ r ⋅ r1
+
=
=
;
AW BW
AW ⋅ BW
AW ⋅ BW
XY ⋅ YZ
r ⋅r
r
=
= =
WX ⋅ WZ AW ⋅ BW r1
AW ⋅ BW = r ⋅ r1 ;
r2
.
r1
Nos faltan ahora únicamente ciertas relaciones entre ángulos:
∠XYZ = ∠XYI + ∠ZYI =
π − ∠XIY π − ∠YIZ ∠C + ∠D
+
=
.
2
2
2
De la misma forma se demuestra que
∠X 'Y ' Z =
∠C + ∠D
;
2
∠XWZ = ∠X ' 'W ' ' Z ' ' =
∠A + ∠B
∠C + ∠D
=π −
.
2
2
Podemos entonces decir que
S1
[X 'Y ' Z '] = X ' Y '⋅Y ' Z ' sin (∠X 'Y ' Z ') = XY ⋅ YZ r1 =  r1 
=
S 2 [W ' ' X ' ' Z ' '] W ' ' X ' '⋅W ' 'Y ' ' sin (∠X ' 'W ' ' Z ' ') WX ⋅ WY r2 2  r2 
2
3/ 2
, q.e.d.,
y usando este resultado y los anteriores, se tiene que
[WXYZ ] = [WXZ ] + [ XYZ ] = WX ⋅ WZ sin (∠ XWZ ) + XY ⋅ YZ sin (∠ XYZ )
2
2
r W ' ' X ' '⋅W ' ' Z ' '
r X ' Y '⋅Y ' Z '
= 2
sin (∠X ' 'W ' ' Z ' ') + 2
sin (∠ X ' Y ' Z ')
2
2
r2
r1
2
=
r2
r1
2
[W ' ' X ' ' Z ' '] + r 2 [ X ' Y ' Z '] =
2
r r 
= 1  2 
r2  r1 
q.e.d..
2
r1
3/ 2
r
S1 + 2
r1
 r1

 r2



3/2
S2 =
r1
r
S2 + 2 S1
r2
r1
r2
r
S1 + 1 S 2 ,
r1
r2