algebras de boole

ÁLGEBRAS DE BOOLE
CARACTERIZACIÓN DE UN ÁLGEBRA DE BOOLE
Un álgebra de Boole (o álgebra booleana) consiste en un conjunto B = {0, 1}, operadores binarios
“ + ” y “ · ” en S y un operador unario “ ” en S. Estas operaciones se definen de acuerdo a las
siguientes tablas:
+
0
1
0 1
0 1
1 1
·
0
1
0 1
0 0
0 1
x
0
1
x
1
0
En un álgebra de Boole (B, +, ·, ) se cumplen las siguientes propiedades, para todo x, y, z ∈ B:
Doble Complemento
x=x
Idempotencia
x+x=x
Conmutatividad
x+y =y+x
Asociatividad
(x + y) + z = x + (y + z)
Leyes de Inversos
x+x=1
Leyes de Identidad
x+0=x
Leyes de Dominación
x+1=1
Absorción
x · (x + y) = x
Distributividad
x · (y + z) = x · y + x · z
Leyes de De Morgan
x+y =x·y
x·x=x
x·y =y·x
(x · y) · z = x · (y · z)
x·x=0
x·1=x
x·0=0
x+x·y =x
x + (y · z) = (x + y) · (x + z)
x·y =x+y
TABLAS DE VERDAD, PROPOSICIONES LÓGICAS Y FUNCIONES DE
VARIABLES BOOLEANAS
Consideraremos una función booleana a toda expresión que representa a una combinación de un
conjunto finito de sı́mbolos, cada uno representando una constante o una variable con las operaciones
“ + ”, “ · ”, “ ”
Ejemplo:
(a + b) · c + a · b
es una función booleana.
Sea el conjunto de las n variables booleanas x1 , x2 , x3 , . . . , xn , la relación y = f (x1 , x2 , x3 , . . . , xn )
es una función booleana si cualesquiera que sean los valores de estas variables, toma los valores 0 ó 1.
Toda función elemental siempre puede expresarse en una forma más simple considerando las propiedades de álgebras de boole.
Ejemplo:
Al simplificar la función dada se obtiene:
f =
=
=
=
=
=
=
=
=
=
x+x·y+x·y·z+x·y+x·z
x · (1 + y · z) + x · y + x · (z + z)
x · (1 + y · z) + x · y + x · 1
x·1+x·y+x·1
x+x+x·y
x · (1 + 1) + x · y
x·1+x·y
x+x·y
(x + x) · (x + y)
x+y
FORMAS CANÓNICAS
Se denomina forma canónica al conjunto de todos los términos elementales compuestos de todas las
variables, mostrando ası́ una función booleana elemental.
Una función booleana se llama elemental si se presenta bajo una de las formas:
Suma de producto de variables o forma disyuntiva
Producto de suma de variables o forma conjuntiva
Ejemplo:
Para hallar la forma normal disyuntiva de
g(w, x, y, z) = wxy + wyz + xy
2
Examinamos cada término, introduciendo en cada uno todas las variables faltantes:
wxy = wxy · 1
= wxy(z + z)
= wxyz + wxyz
(1)
wyz = wyz · 1
= wyz(x + x)
= wyzx + wyzx
(2)
xy = 1 · xy · 1
= (w + w) · xy · (z + z)
= (wxyz + wxyz) + wxyz + wxyz
(3)
Sustituyendo (1), (2) y (3) en g(w, x, y, z) = wxy+wyz+xy se obtiene la forma normal disyuntiva:
g(w, x, y, z) = wxyz + wxyz + wyzx + wyzx + (wxyz + wxyz) + wxyz + wxyz
Para determinar la forma normal conjuntiva procedemos de manera análoga considerando el producto de las sumas.
Podemos hallar los términos fundamentales de una forma canónica a partir de los Minterms y
los Maxterms
En una función booleana f (x, y, z) de tres variables hay 23 términos fundamentales:
xyz
000
001
010
011
100
101
110
111
Minterms
m0 = xyz
m1 = xyz
m2 = xyz
m3 = xyz
m4 = xyz
m5 = xyz
m6 = xyz
m7 = xyz
Maxterms
M0 = x + y + z
M1 = x + y + z
M2 = x + y + z
M3 = x + y + z
M4 = x + y + z
M5 = x + y + z
M6 = x + y + z
M7 = x + y + z
En la función f (x, y, z) = xy + xz se tiene que, para hallar la forma normal disyuntiva estudiamos
los casos en los que f toma el valor 1:
x
0
0
1
1
y
0
1
1
1
+ x
1
1
0
0
3
z
1
1
1
0
f
1
1
1
1
Los casos donde f toma el valor 1 son:
x
0
0
1
1
y
0
1
1
1
z
1
1
1
0
minterms
m1
m3
m7
m6
Entonces, la forma normal disyuntiva viene dada por la suma de estos minterms, esto es:
f (x, y, z) = m1 + m3 + m6 + m7 = xyz + xyz + xyz + xyz
La FORMA NORMAL CONJUNTIVA viene dada por el producto de los Maxterms para
los casos donde f asume el valor 0:
x
0
0
1
1
y
1
0
0
0
+ x
1
1
0
0
y
1
0
0
0
z
0
0
0
1
z
0
0
0
1
f
0
0
0
0
Los casos donde f toma el valor 0 son:
x
0
0
1
1
Maxterms
M2
M0
M4
M5
Luego, la forma normal conjuntiva viene dada por:
f = M0 · M2 · M4 · M5 = (x + y + z) · (x + y + z) · (x + y + z) · (x + y + z)
Ası́, toda expresión booleana no nula posee una forma normal disyuntiva (conjuntiva)completa
única y tal representación también es única.
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EJERCICIOS
1. Determina el valor de las siguientes funciones booleanas si los valores de las variables booleanas
w, x, y, y z son 1, 1, 0 y 0, respectivamente.
a) xy + xy
b) y + wx
c) xy + zy + wxz
d ) wy + yx + xz
e) x + y + yw + zx
f ) yx + zw + xywz
2. Considera las variables booleanas x, y, w donde x toma el valor 1. Determina, si es posible, el
valor de cada una de las siguientes expresiones booleanas. En caso de no ser posible, muestra
los casos en los cuales se produce el valor 1 para la expresión.
a) w + x + yw
b) yw + xy
c) xy + wx + yw
d ) xy + wy
e) x + yw + xy
f ) wy + yw
3. Simplifica las siguientes expresiones booleanas, usando propiedades de las álgebras de Boole:
a) xy + (x + y)z + y
b) yx + xy + y
c) xy + yx + y + x
d ) (x + yz)x + (xy)z
e) x + yw + xy
f ) (wxy + yxw)y
g) x + y + (y + z)w xy
h) wy + x + xzy + y
4. Demuestra que si yx + y + z = xyz, las variables booleanas x, y, z tienen el mismo valor.
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5. Determina la forma normal disyuntiva (FND) y forma normal conjuntiva (FNC) de las siguientes funciones booleanas:
a) f (x, y, z) = xy + (x + y)z + y
b) g(x, y, w) = yx + xy + w
c) h(x, y, z) = xy + yx + yz + x
d ) f (x, y, z) = (x + yz)x + (xy)z
e) g(x, y, w) = x + yw + xy
f ) h(x, y, w) = (wx + yw) + y
6. Considera sobre el álgebra booleana la siguiente operación:
x ⊕ y = (x · y) + (x · y)
Construye la tabla correspondiente.
7. Sea A un álgebra de Boole en el que se define la siguiente operación:
w ⊕ x = xw + wx
a) ¿Será (A, ⊕) un grupo abeliano?
b) Determina (a ⊕ a) ⊕ a y b ⊕ b
8. Muestra el complemento de cada una de las siguientes expresiones booleanas:
a) xy + xy
b) xyz
c) uvw + uvw + uvw + uvw
d ) xyz + xyz + xyz
e) (x + y)(x + y)(x + y
f ) (x + y + z)(x + y + z)(x + y + z)(x + y + z)
9. Considera la función booleana f (w, x, y) = w · x · y + w · x · y + w · x · y + w · x · y
a) Determina la FND para f (x, y, z).
b) Determina la FNC para f (x, y, z).
c) Simplifica f usando un mapa de Karnaugh.
d ) Si x = 1, muestra todos los casos para los cuales f = 1.
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