Actividades de Álgebra Booleana Solución

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Estructuras Algebraicas
Actividades de Álgebra Booleana
Solución
1. Reduce las siguientes expresiones
xy xz = x x * yz
xyzy = xz * yy
a)
= 0 * yz
b)
xy z y x z = x x * yy * z z
= 0* y *0
c)
xz * y
=0
xyz
2. Expresa las siguientes funciones como una suma de productos
f = x( xy´+ xý + y´z )
f = z ( x´+ y ) + y´
= xxy´+ xx´ y + xy´z
a)
b)
= xy´+0 + xy´z
= zx´+ zy + y´
= xy´+ xy´z
(
(
f ( x, y, z ) = x xy + y + x y
)
= x y + xy
(
)
)
= xy + x y + x x y
f ( x, y , z ) = x + y + x y
c)
=0
(
= x y z + z + xy z + z
)
= xy + x y + 0
d)
= xy + x y
(
)
(
= xy z + z + x y z + z
= x yz + x yz + x yz + x y z
)
= xyz + xy z + x yz + x y z
3. Encuentra el valor de cada una de las siguientes expresiones booleanas si los
valores de las variables booleanas w, x, y y z son 1, 1, 1 y 0 respectivamente.
w + xy
1 + 0 *1
a)
1+ 0
1
( wx + y z ) + w y + ( w + y )( x + y )
wx + xy + yz
b)
1 *1 + 1 *1 + 1 * 0
1+1+ 0
(1 *1 + 1 *1) + 1 * 0 + (1 + 1)(0 + 1)
c) 1 + 0 + (0 * 0) + (1 * 0)
1
1+ 0 + 0
1
4. Sean w, x y y variables booleanas, donde x toma el valor 1. Para cada una de las
siguientes expresiones booleanas, determine, si es posible, el valor de la expresión.
Si no puede determinar el valor de la expresión, encuentre entonces el número de
asignaciones de valores de w y y tales que producen el valor de 1 para la expresión.
x y + xw = 0 * y + 1 * w
xy + w = 0 * y + w
= 0+w
= 0+w
a)
b)
=w
=w
x =1
w =1
w =1
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5. Encuentra la conjunción fundamental (sumas) formada con las variables w, x, y,
z o sus complementos, de modo que el valor de la conjunción sea 1 exactamente
cuando
a) w = 0, x = 1, y = 1, z = 0
b) w = x = y = z =0
wxy z
wxyz
c) w =x = 0, y = z =1
w x yz
d) w = 0, x = y = z = 1
wxyz
6. Determina la f.n.d. y la f.n.c. de
a) Sea f : B 3 → B está dada por f(x, y, z) = ( x + y ) + ( xz )
f.n.d.: forma normal disyuntiva: suma de productos
f(x, y, z) = ( x + y ) + ( xz )
= (x + y ) * ( x + z )
= ( x + y) * x z
= xz + yz
= x z( y + y ) + y z( x + x)
= y z + x y z + xy z + x y z
f.n.c.: forma normal conjuntiva: producto de sumas
f(x, y, z) = ( x + y ) + ( xz )
= (x + y ) * ( x + z )
= ( x + y) * x z
= ( x + y) * x z + y y
= ( x + y ) * ( x + y ) * (z + y ) * (x + y ) * (z + y )
= ( x + y ) * (z + y ) * (x + y ) * (z + y )
= ( x + y + z z ) * (z + y + x x )(x + y + z z ) * (z + y + x x )
= ( x + y + z ) * ( x + y + z ) * ( x + y + z ) * ( x + y + z ) * (x + y + z ) * ( x + y + z )
* (x + y + z ) * (x + y + z )
= ( x + y + z ) * ( x + y + z ) * ( x + y + z ) * ( x + y + z ) * (x + y + z ) * ( x + y + z )
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b) Sea g : B 4 → B dada por g(w, x, y, z) = ( wz + xyz )( x + x y z )
Suma de productos: f.n.d.
g(w, x, y, z) = ( wz + xyz )( x + x yz )
= wzx + wz x yz + xyzx + xyz x y z
= wxz + w x yz + xyz
= wxz ( y + y ) + w x y z + xyz ( w + w)
= wxyz + wx yz + w x yz + wxyz + wxyz
= wxyz + wx yz + w x yz + wxyz
Producto de sumas: f.n.c.
g(w, x, y, z) = ( wz + xyz )( x + x yz )
w
x
y
z
wz
xyz
wz + xyz
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
1
0
1
0
1
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
x yz
0
1
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
x + x yz
0
1
0
0
1
1
1
1
0
1
0
0
1
1
1
1
g ( w, x, y, z )
0
0
0
0
0
0
0
1
0
1
0
0
0
1
0
1
0
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g ( w, x, y , z ) = ( w + x + y + z )( w + x + y + z )( w + x + y + z )
( w + x + y + z )( w + x + y + z )( w + x + y + z )
( w + x + y + z )( w + x + y + z )( w + x + y + z )
( w + x + y + z )( w + x + y + z )( w + x + y + z )
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7. Simplifica las siguientes expresiones booleanas
xy + ( x + y ) z + y = xy + x z + y z + y
x + xy = 0
= x( y + z ) + y ( z + 1)
a)
b) 0 + 0 = 0
= x( y + z ) + y
x=0
1* 0 = 0
y=0
yz + wx + z + [ wz ( xy + wz )] = yz + wx + z + xywz + wz
= z ( y + 1) + wz ( xy + 1) + wx
c)
= z + wz + wx
= z ( w + 1) + wx
= z + wx
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