MATEMATICA,FISICA e INFORMÁTICA J.MORENO IX CICLO 1

Algunos problemas de cuadriláteros
Propiedades
Para la resolución de problemas de cuadriláteros es necesario conocer algunas de sus
propiedades :
- Las diagonales de un paralelogramo se cortan en sus respectivos puntos medios
- Si se unen los puntos medios de un cuadrilátero se obtiene un paralelogramo
- La suma de los cuatro ángulos internos de un cuadrilátero es igual a 360º
Problema I
Dibujar un romboide de lado AB y
diagonales AC y CD dadas.
Como las diagonales de un paralelogramo
se cortan en el punto medio, dibujamos el
triángulo AOB que tiene como lados AB y
las
mitades
de
sus
diagonales:
AO=AC/2 y BO=BD/2. Una vez
situadas las diagonales, las prolongamos
y señalamos sus extremos C y D, para
definir ABCD.
Problema II
Dibujar un rombo de diagonal BD y lado AB dados.
Se dibuja la diagonal DB y se trazan arcos con centro en sus extremos y radio AB, para
hallar A y C.
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Problema III
Rombo de lado AB y altura h dados.
Recordamos que la altura en un paralelogramo es la distancia entre dos lados paralelos.
Como el rombo tiene los lados iguales sólo tiene una altura, luego la solución es única.
Trazamos dos rectas paralelas a la distancia h. Con centro en un punto D arbitrario
trazamos un arco de radio AB que corta a las rectas en A y C. Hacemos AB=DC.
Problema IV
MNPQ es el paralelogramo que obtenemos al unir los puntos medios de los lados de otro
paralelogramo ABCD. Dibujar ABCD.
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El paralelogramo MNPQ tendrá las diagonales iguales y paralelas los lados de ABCD.
Trazamos por los vértices de MNPQ paralelas a las diagonales MP y NQ y obtenemos
ABCD.
Problema V
Dibujar el cuadrado de lado l y diagonal d en el que la magnitud d-l es el segmento dado.
Dibujamos un cuadrado de lado arbitrario y calculamos gráficamente d’-l’.
Superponemos la magnitud dada d-l al segmento d’-l’. Trazamos ordenadamente
paralelas y obtenemos el cuadrado pedido.
Problema VI
Dibujar el rectángulo de lados l y m siendo l-m el segmento dado y conociendo la
magnitud de su diagonal BD=10cm.
Todos los rectángulos que cumplan que la diferencia de sus lados es l-m estarán
compuestos por un cuadrado de lado m y un rectángulo de lado l-m y m, como vemos en
la figura.
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Dibujamos el segmento MB = l-m sobre una recta y por uno de sus extremos, M,
trazamos un ángulo de 45º, que es el ángulo que forma la diagonal de un cuadrado con su
lado. Por el otro extremo, B, trazamos un arco con radio igual a la diagonal BD, que
cortará al lado de los 45º en el punto D, vértice del rectángulo.
Problema VII
Dibujar el cuadrilátero inscriptible en una circunferencia de radio AC, que tenga como lado
el segmento AB y como diagonales los segmentos AC y BD.
Dibujamos la circunferencia de radio CA y por un punto A arbitrario trazamos un arco de
radio AB y hallamos el lado AB. Con centro en A trazamos un arco de radio AC que corta
en dos puntos a la circunferencia, lo que significa que hay dos posiciones C y C’ para uno
de los vértices.
Con centro en B trazamos un arco de radio BD que corta en dos puntos a la Circunferencia, lo
que significa que hay dos posiciones D y D’ para el otro vértice. Hay por lo tanto cuatro
soluciones distintas del problema: los cuadriláteros ABCD, ABCD’, ABC’D y ABC’D’.
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Problema VIII
Dibujar el cuadrilátero ABCD, inscriptible y circunscriptible, siendo AB=3cm, DAB=60º y
ABC=135º.
Dibujamos con regla y compás los datos conocidos: AB y los ángulos cuyo lado es AB. Las
bisectrices de los ángulos dibujados nos dan
el centro de la circunferencia inscrita, que
dibujamos. Para determinar el punto C
recordamos que el ángulo BCD debe ser el
suplementario
de
60º
para
que
el
cuadrilátero sea inscriptible.
Trazamos un ángulo de 120º sobre la recta
BC, que es lado del ángulo de 135º. Por el
centro
de
la
inscrita
trazamos
una
perpendicular al lado del ángulo de 120º
dibujado, que nos dará el punto de tangencia de DC con dicha circunferencia. Situamos
DC trazando una paralela que pase por el punto de tangencia. El problema está resuelto.
Dibujamos la circunscrita para comprobar la exactitud del trazado.
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Problema IX
Dibujar el cuadrilátero ABCD, inscriptible y circunscriptible, siendo AB=3cm, BC=4cm y
ABC=135º.
Dibujamos los lados AB, BC y el ángulo
de 135º que forman. Trazando las
mediatrices de AB y BC hallamos el
circuncentro
y
dibujamos
la
circunferencia circunscrita. Para que el
cuadrilátero sea circunscriptible como
dice el enunciado debe cumplirse que
AB+CD=BC+AD
Como BC-AB=1cm se cumplirá que
CD-AD=1cm. Dibujamos el lugar
geométrico de los puntos del plano que
distan n de A y n+1 de C, que es la
curva
obtenida
trazando
arcos
concéntricos en A y en C de modo que
la diferencia de radios en cada caso sea
igual a 1cm.
Esta curva corta a la circunferencia dada
en el punto D.
Problema X
Dibujar el cuadrilátero de lados AB, BC, CD, DA, siendo MN el segmento que une los
puntos medios de AB y CD.
En este problema es muy interesante hacer previamente un dibujo de análisis, trazado a
mano alzada, para estudiar los datos y sus posibilidades. En el dibujo de análisis veremos
que tenemos datos suficientes para trazar los paralelogramos definidos por los puntos
medios de los lados opuestos y de las diagonales de un cuadrilátero.
A partir de MN trazamos dichos paralelogramos: NFME, formado por los triángulos NFM y
NME, pues sabemos que NF=CB/2=ME y FM=AD/2=NE.
EQFE, formado por EQF y FPE; ya que EQ=DC/2=FP y EP=AB/2=QF.
Completamos los paralelogramos NDQE, NFPC, QAMF y EMBP y el problema está
resuelto.
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Trazamos las diagonales de ABCD para comprobar que E y F son sus puntos medios.
Problema XI
Conocemos el radio CA de la circunferencia circunscrita al cuadrilátero ABCD, su lado AB,
la distancia entre A y el centro de gravedad G y la distancia entre el centro de gravedad G
y el centro de la circunscrita. Hallar ABCD.
Dibujamos la circunscrita y la cuerda AB, lado del polígono, siendo A un punto arbitrario.
Dibujamos el triángulo definido por A, el centro de gravedad y el centro de la circunscrita.
Una vez situado el segmento CG hallamos H, pues sabemos que CG=CH/2, siendo H el
punto en el que se cortan las alturas medias del cuadrilátero ABCD, pues está inscrito en
una circunferencia.
Trazamos desde H la perpendicular a AB. En su prolongación estará Q, punto medio de
CD. Por otra parte trazamos la recta NH que contendrá a la altura media desde N y será
perpendicular a CD. Por el centro C de la circunscrita trazamos una paralela a NH que será
la mediatriz de CD y se cortará en Q con la otra altura media trazada. Una vez conocida la
dirección de CD y su punto medio Q trazamos CD y definimos así ABCD.
Podemos trazar las otras alturas medias y comprobar que se cortan en H, para verificar la
exactitud del trazado.
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Trapecios
Los trapecios son cuadriláteros convexos
con un par de lados paralelos a los que
llamamos bases. Sus diagonales nunca se
cortan en el punto medio. Solamente son
inscriptibles los trapecios isósceles, que son
los que tienen los dos lados no paralelos
iguales.
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Propiedades y trazados generales
Propiedad 1
Si trazamos una paralela a un lado por un extremo
de la base menor, el trapecio queda dividido en un
paralelogramo cuyos lados son la base menor y dicho
lado y en un triángulo cuyos lados son la diferencia
de las bases y los dos lados del polígono.
En esta propiedad nos basamos para construir un trapecio cuando se conocen sus
bases y sus lados: se dibuja la base mayor AB y se le resta la menor CD. Se dibuja el
triángulo de lados la diferencia de las bases EB y los lados AD y BC del trapecio. Así se
halla C.
Se trazan arcos de centro en C y radio CD y de centro en A y radio AD en cuya
intersección está el punto D.
Propiedad 2
Si trazamos una paralela a una diagonal por un extremo de la base menor y dibujamos la
base menor a continuación de la mayor se forma un triángulo cuyos lados son la suma de
las bases y las dos diagonales del polígono.
En esta propiedad nos basamos para construir un trapecio cuando se conocen sus
bases y sus diagonales: se dibuja la base mayor AB y se le suma la menor CD. Se
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dibuja el triángulo de lados la suma de las bases AE y las diagonales AC y BD del trapecio.
Así se halla C.
Se trazan arcos de centro en C y radio CD y de centro en A y radio AD en cuya intersección
está el punto D.
Propiedad 3
En los trapecios se llama altura a la distancia entre las bases.
Propiedad 4
Si se prolongan los lados de un trapecio se forma un triángulo que tiene en común con el
trapecio un lado, la base mayor y los ángulos apoyados sobre ella.
Triángulo equivalente a un trapecio
Todo trapecio es equivalente a un triángulo que tenga como base la suma de las bases y
como altura respecto de ella la misma altura del trapecio.
En general se considera altura del trapecio a la distancia entre las bases.
Vamos a comprobarlo gráficamente. En la figura consideramos el trapecio ABCD y el
triángulo ADE. Vemos que tienen una parte común, el cuadrilátero ABFD.
Por lo tanto bastará con comprobar que los triángulos FBE y DCF son iguales, lo que es
evidente: DC=BE, CF=FB y DF=FE, por ser BECD un paralelogramo.
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El trapecio escaleno
Sus lados, sus bases, sus diagonales y sus ángulos son desiguales.
El trapecio rectángulo
Tiene dos ángulos rectos.
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El trapecio isósceles
Tiene los lados iguales, lo que implica que
tenga iguales las diagonales.
Tiene los ángulos iguales dos a dos,
siendo iguales los ángulos que se apoyan en
la misma base. Este trapecio tiene un eje de
simetría y es inscriptible, ya que sus
ángulos opuestos son suplementarios.
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