EJERCICIOS SOBRE CUADRILÁTEROS

EJERCICIOS SOBRE CUADRILÁTEROS
1.
En un ABC, se prolongan AB y AC
hasta M y N tal que BM=AB, y CN=AC; se
traza MN .
Probar que M=B
y
N=C.
8.
Se considera un paralelogramo ABCD tal
que CD= 2AD. Se unen A y B con el punto
medio M de CD . Demostrar que el AMB
es recto.
2.
En un paralelogramo ABCD se prolongan
9.
Demostrar que la mediana de un triángulo
está comprendida entre la semisuma y la
semidiferencia de los lados trazados
desde el mismo vértice.
AB en BE=BC y AD en DF=DC.
a.
b.
Probar que DCF=BCE.
Demostrar que los puntos F, C y E
están alineados.
3.
En un paralelogramo ABCD se trazan las
diagonales AC y BD que se cortan en O.
Demostrar que OAB=OCD.
4.
En un paralelogramo, el segmento que une
los puntos medios de dos lados opuestos
tiene por punto medio al punto de corte
de las diagonales.
5.
Sobre los lados de un
6.
7.
XOY dado, se

toman los puntos A sobre OX y B sobre

OY tales que OA+OB=k (k longitud dada),
y se construye el paralelogramo OACB.
¿Cuál es el lugar geométrico del vértice C
del paralelogramo ?.
Probar que en un triángulo isósceles la
suma de las distancias desde un punto P
de la base a los lados iguales es
constante.
Usar esta propiedad para
hallar el lugar geométrico de los puntos
tales que la suma de sus distancias a dos
rectas secantes dadas, sea igual a una
medida constante dada.
Probar que en un triángulo isósceles la
diferencia de las distancias desde un
punto P sobre las prolongaciones de la
base a los dos lados iguales es constante.
Utilizar esta propiedad para hallar el
lugar geométrico de los puntos tales que
la diferencia de sus distancias a dos
rectas secantes dadas, sea igual a una
medida constante dada.
NOTAS DE GEOMETRÍA
10. En un cuadrado ABCD se prolongan sus
lados opuestos en su longitud y en
sentidos opuestos:
BM=AB, DN=CD,
CP=BC, AQ=DA. Se trazan MN y PQ .
Demostrar que MN=PQ.
11. En un cuadrado ABCD se unen los puntos
medios M, N, P y Q de los lados
consecutivos. Probar que el cuadrilátero
obtenido es un cuadrado.
12. En un cuadrado ABCD se toman M sobre
AM=DN.
AD y N sobre DC con
Demostrar que AN  BM .
13. Dado un triángulo rectángulo ABC, recto
en A, sobre los lados AB y AC se
construyen los cuadrados ABDE y ACFG.
FF'
DD' y
Luego se trazan
perpendiculares a BC . Probar que:
a. DD’+FF’=BC
b. D, A y F son colineales


c. Las rectas DE y FG concurren sobre
la prolongación de la altura AH .
14. Sobre los lados AB , BC , CD y DA de un
cuadrado ABCD se toman los puntos A’, B’,
C’ y D’ tales que AA’, BB’, CC’ y DD’ sean la
cuarta parte del lado del cuadrado y se
unen dichos puntos.
Demostrar que
A’B’C’D’ es un cuadrado y que los dos
cuadrados tienen el mismo punto de
concurso de las diagonales.
C.A.V.A
2
EJERCICIOS SOBRE CUADRILÁTEROS
15. Demostrar que si dos paralelas son
cortadas por una secante, entonces las
bisectrices de los ángulos interiores
forman un rectángulo.
16. Sobre los lados de un cuadrado y hacia el
exterior se construyen cuatro triángulos
equiláteros AEB, BFC, CGD y DHA.
Probar que E, F, G y H son los vértices de
un cuadrado.
17. Demostrar que las bisectrices de los
ángulos de un paralelogramo forman un
rectángulo. Examinar los casos en los que
el paralelogramo sea rectángulo, rombo.
18. En un rombo ABCD se traza BM  AD y
DN  BC . Demostrar que BMDN es un
rectángulo.
19. Dado un rombo ABCD, desde los vértices
B y D se trazan las perpendiculares BM ,
BN , DP y DQ a los lados opuestos.
Estas perpendiculares se cortan en E y F.
Demostrar que el cuadrilátero BFDE es un
rombo y que sus ángulos son iguales a los
del rombo ABCD.
20. Probar que si se unen los puntos medios
de los lados consecutivos de un trapecio
isósceles el cuadrilátero que se forma es
un rombo.
21. En un ABC, se toman los puntos medios
M, N y P de los lados AB , AC y BC . se
traza la altura AH y los segmentos MN ,
NP y MH . Demostrar que MNPH es un
trapecio isósceles.
22. Por el punto medio M del lado AB de un
ABC se traza la perpendicular MN a
dicho lado. Demostrar que si N es el
punto medio del lado BC entonces el
ABC es rectángulo.
23. Por el punto medio M del lado AB de un

ABC, se traza una recta XY cualquiera
que corta a AC en N. Se toma P tal que
P–M–N con PM=MN. Demostrar que
PB  AC .
NOTAS DE GEOMETRÍA
24. En un ABC, se trazan las medianas AM
y BN , por N se traza una paralela a BC
y por C una paralela a BN ; estas dos
paralelas se cortan en P. Sea D el punto
medio de PN , demostrar que CD  MN .
25. En un ABC se traza la mediana AD
relativa al lado BC . Se traza la recta

BEF con E punto medio de AD y F sobre
AC . Probar que AF=AC/3.
26. En un paralelogramo ABCD se unen los
vértices B y D con los puntos medios de
CD y AB respectivamente. Probar que
AC resulta dividida en tres segmentos
iguales.
27. En un paralelogramo ABCD se unen los
vértices B y D con los puntos medios de
AD y BC respectivamente. Probar que
AC resulta dividida en tres segmentos
iguales.
28. En un ABC cualquiera se traza la
bisectriz AF del A, con B–F–C. Se
trazan FE  AB , y ED  BC , con E sobre
AC y D sobre AB . Probar que AE=BD.
29. En un trapecio isósceles ABCD (AD=BC)
se trazan las diagonales AC y BD , las
bisectrices de los ángulos DAB y DBA que
se cortan en F y las bisectrices de los
ángulos CBA y CAB que se cortan en G.
Demostrar que FG  AB .
30. Se considera un trapecio ABCD tal que la
base menor CD sea igual a la suma de los
lados no paralelos AD y BC . Probar que
las bisectrices de los ángulos A y B

concurren sobre la recta DC .
31. Se prolongan los lados no paralelos de un
trapecio ABCD hasta que se corten en E.
Se unen los puntos medios M y N de AE
y BE y los puntos medios P y Q de las
diagonales AC y BD .
MNPQ es un trapecio.
Demostrar que
C.A.V.A