Trigonometría

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Trigonometría
Arturo Ramírez
December 8, 2011
ii
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Contents
1 Trigonometría
1.1 Medidas de Segmentos y Angulos . . . . . . .
1.2 Triángulos Rectángulos . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Funciones Trigonométricas . . . . . .
1.2.2 Resolución de Triángulos Rectángulos
2 Funciones Trigonométricas
2.1 Las Funciones Trigonométricas . . . . . .
2.1.1 Definiciones . . . . . . . . . . . . .
2.1.2 Propiedades elementales . . . . . .
2.1.3 Problemas . . . . . . . . . . . . . .
2.1.4 Problemas. . . . . . . . . . . . . .
2.2 Presentación axiomática . . . . . . . . . .
2.2.1 Definiciones y axiomas . . . . . . .
2.2.2 Propiedades basicas . . . . . . . .
2.2.3 Identidades trigonométricas . . . .
2.3 Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.1 Números complejos . . . . . . . . .
2.3.2 Triángulos Rectángulos . . . . . .
2.3.3 Problemas . . . . . . . . . . . . . .
2.3.4 Identidades asociadas a los ángulos
2.3.5 Problemas . . . . . . . . . . . . . .
3 El Triángulo
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1
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3
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de un triángulo∗
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1
1
1
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8
8
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19
iv
Contents
3.1
3.2
Propiedades basicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Teoremas generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Polígonos Cíclicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.1 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.2 Problemas. Identidades trigonométricas en triángulos
19
21
22
26
29
30
4 Algoritmos
4.1 Propiedades de continuidad . . . . . . . . . . .
4.1.1 Medida de áreas . . . . . . . . . . . . .
4.2 Desigualdades de las Funciones Trigonométricas
4.3 Cálculo de las funciones trigonométricas . . . .
4.3.1 Reducción a ángulos agudos . . . . . . .
4.3.2 Caso del ángulo agudo . . . . . . . . . .
4.3.3 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4 La función inversa . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.1 Metodo de Arquimedes . . . . . . . . .
4.4.2 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . .
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33
33
33
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36
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39
39
40
5 Aplicaciones de la Trigomometría
5.1 Resolución de triángulos . . . . .
5.2 Aplicaciones a la geometría . . .
5.2.1 Triángulo . . . . . . . . .
5.2.2 Problemas . . . . . . . . .
5.3 Aplicaciones a la topografía . . .
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43
43
44
44
48
49
A Medición
A.0.1
A.0.2
A.0.3
A.0.4
A.0.5
A.0.6
A.0.7
A.0.8
A.0.9
A.0.10
A.0.11
A.0.12
A.0.13
A.0.14
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Medidas de Longitud . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Medidas de Area . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Medidas de Peso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Uso común: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Para peso de la plata: . . . . . . . . . . . . . . . . .
Para peso del oro: . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Para usos medicinales: . . . . . . . . . . . . . . . . .
Medidas de Volumen . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Para liquidos se usaba el cuartillo que contiene 0.991347
libras de agua (0.456264 litros). . . . . . . . . . . . .
Para medir los "aridos" se usaba la fanega que es
igual a7200 pulgadas cúbicas. . . . . . . . . . . . . .
Para medir granos se usaba: . . . . . . . . . . . . . .
Medidas de Mananteales y Mercedes de Agua . . . .
Medidas de Monedas . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Las monedas de oro tenian las siguientes denominaciones: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
51
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52
52
52
52
52
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53
53
53
53
54
54
Contents
References
v
55
Contents
i
INTRODUCCION
La palabra trigonometría significó originalmente medición de triángulos.
Como tal se empiezó estableciendo relaciones entre los ángulos, lados y área
de un triángulo y en particular definiendo lo que se llamaron las razones
trigonométricas, esto es las funciones seno, coseno, tangente, cotangente,
secante y cosecante además de senver y cosver que están prcticamente olvidadas (ver el problema (2.1, p.5)). Aunque los conceptos son anteriores los
nombres de las funciones trigonométricas y sus abreviaturas se introdujeron
en los siglos XVI y XVII. Sin embargo no es hasta que Euler publica en 1748
su obra Introductio in Anasysim Infinitorum que la trigonometría pasa a
ser parte importante de las matemáticas. En un principio se definieron en
función de los lados de un triángulo rectángulo y por lo tanto los ángulos que se usaban eran menores que un ángulo recto. Posteriormente se
vio la necesidad de dar definiciones que no estuvieran restringidas a que
los ángulos fueran agudos y además se desarrollaron una gran cantidad de
relaciones e identidades que son de gran valor en muchas otras ramas de la
matemática.
Los conocimientos de trigonometría que necesitan los estudiantes para
los cursos más avanzados, como son calculo y ecuaciones diferenciales, se
centran en la habilidad de poder manipular las identidades trigonométricas.
Por esto se toman un número muy reducido de estas propiedades básicas,
ver (2.2.8, p. 8), las cuales se usaran como axiomas para deducir todas las
otras identidades que son necesarias posteriormente. Para lograr esto lo
único adicional que necesitamos es un conocimiento sólido de los números
reales. Esto sirve tanto para practicar la manipulación de las identidades
trigonométricas, como para poder dar un ejemplo elemental de cómo se
puede hacer una teoría matemática reduciéndola a unos cuantos axiomas.
Las otras funciones trigonométricas se definen en función del seno y del
coseno y por lo tanto no se necesitan otras propiedades para dar todas las
identidades trigonométricas.
En el capítulo 4 se darán los algoritmos para el calculo de las funciones
trigonométricas y de sus inversas. Además para estudiar de las funciones
trigonométricas en el cálculo diferencial e integral necesitamos un resultado
adicional que es el teorema (4.4.2, p. 34), con su ayuda se desarrollará esta
teoría en el capítulo ??.
Por lo tanto no se necesita la relación de las funciones trigonométricas
con los triángulos rectángulos. Sin embargo una presentación de las funciones trigonométricas no estaría completa sin estudiar su relación con las
propiedades de los triángulos. Este estudio se hará en el capítulo ??, donde
siguiendo el método anterior se demuestran unas cuantas propiedades, ver
teorema (??.3.1, p. 19), para ser usados como axiomas para deducir todos
los demás teoremas.
Los requisitos para estudiar estas notas son:
ii
Contents
• Algún curso elemental de geometría que incluya: igualdad de triángulos, triángulos semejantes, medida de ángulos (grados, radianes y
conversión de un sistema a otro), áreas de triángulos y círculos.
• Familiaridad con los números reales que incluya: propiedades algebraicas suma, resta, multiplicación, división y raíces cuadradas; desigualdades, valores absolutos.
Cada capítulo contiene todo el material básico necesario para el estudio
de la trigonometría . Sin embargo para que el lector tenga acceso a un material más extenso en la última sección de cada capítulo se encuentran una
extensa serie de ejercicios, agrupados según las secciones de cada capítulo.
Su número es mayor que lo que se puede hacer en un curso normal, sin embargo se encuentran ahí en parte como referencia y para poder tener una
lista de donde seleccionar problemas. Ademas de servir como referencia de
resultados de la teoría de las funciones trigonométricas.
Las secciones marcadas con un asterisco se pueden omitir en una primera
lectura.
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Trigonometría
La palabra trigonometría significó originalmente medición de triángulos.
Como tal se empiezó estableciendo relaciones entre los ángulos, lados y área
de un triángulo y en particular definiendo lo que se llamaron las razones
trigonométricas, esto es las funciones seno, coseno, tangente, cotangente,
secante y cosecante además de senver y cosver que están prcticamente olvidadas (ver el problema (2.1, p.5)). Aunque los conceptos son anteriores los
nombres de las funciones trigonométricas y sus abreviaturas se introdujeron
en los siglos XVI y XVII. Sin embargo no es hasta que Euler publica en 1748
su obra Introductio in Anasysim Infinitorum que la trigonometría pasa a
ser parte importante de las matemáticas. En un principio se definieron en
función de los lados de un triángulo rectángulo y por lo tanto los ángulos que se usaban eran menores que un ángulo recto. Posteriormente se
vio la necesidad de dar definiciones que no estuvieran restringidas a que
los ángulos fueran agudos y además se desarrollaron una gran cantidad de
relaciones e identidades que son de gran valor en muchas otras ramas de la
matemática.
Un área importante de la geometría es la que nos permite hacer cálculos.
El estudio de la trigonometría fue la primera teoría que permitió hacer
cálculos de una forma sistemática. Aunque las trigonometría permite hacer
cálculos en una gran variedad de objetos geométricos, en estas notas nos
centraremos en el caso de triángulos.
Un triángulo queda determinado por seis elementos geométricos, tres
ángulos y tres lados. Los teoremas de congruencia de triángulos nos dicen
que tres de esos elementos (que incluyen al menos un lado) generalmente
2
1. Trigonometría
FIGURE 1.1.
determinan al triángulo. Sin embargo no nos dicen como encontrar los
elementos faltantes.
1.1 Medidas de Segmentos y Angulos
1.2 Triángulos Rectángulos
El estudio de la trigonometría empieza atacando este problema para el
caso de los triángulos rectángulos. En este caso solo se necesitan dos de los
elementos y siempre determinan al triángulo.
La idea básica es que dos triángulos rectángulos son semejantes sii tienen
igual uno de sus ángulos (distintos al ángulo recto). Dado un ángulo θ positivo y menor que 90o , entonces podemos tomar cualquier triángulo rectángulo ∆ABC tal que ∡BAC = θ. Con ayuda de este triángulo definimos las
siguientes funciones (que claramente no dependen del triángulo escogido).
seno
coseno
tangente
cotangente
secante
cosecante
sen : (0, 90o ) → R
cos : (0, 90o ) → R
tan : (0, 90o ) → R
cot : (0, 90o ) → R
sec : (0, 90o ) → R
csc : (0, 90o ) → R
donde
donde
donde
donde
donde
donde
sen(α) = ac
cos(α) = bc
tan(α) = ab
cot(α) = ab
sec(α) = cb
csc(α) = ac
En cursos avanzados de matemáticas (como cálculo diferencial e integral)
se estudia como calcular estas funciones y sus inversas.
Daremos algunas de las propiedades básicas de las funciones trigonométricas.
Teorema 1.1 Las funciones trigonométricas satisfacen las siguientes propiedades:
1.2 Triángulos Rectángulos
3
i) Si α y β son ángulos complementarios, entonces
sen α = cos β
tan α = cot β
sec α = csc β
ii) Tenemos las siguientes identidades
sen α · csc α
cos α · sec α
tan α · cot α
tan α
cot α
sen2 α + cos2 α
tan2 α + 1
cot2 α + 1
= 1
= 1
= 1
sen α
=
cos α
cos α
=
sen α
= 1
= sec2 α
= csc2 α
(*)
(**)
(***)
Demostración: La mayoría de estas propiedades son directas de las
definiciones.
Otras se siguen del teorema de Pitágoras a2 + b2 = c2 y obtenemos
a2
b2
+
c2
c2
2
2
sen α + cos α
= 1
= 1
además
a2
c2
+
1
=
b2
b2
2
tan α + 1 = sec2 α
1.2.1 Funciones Trigonométricas
Es importante estudiar el comportamiento de las funciones trigonométricas.
Dado un ángulo α menor que un ángulo recto, entonces todos los triángulos
rectángulos que tengan un de sus ángulos igual a α son semejantes; además
siempre existe uno y podemos suponer que uno de los lados es de longitud
igual a uno.
Supongamos que la hipotenusa es de longitud igual a uno. Dado un ángulo α menor que un ángulo recto sea ∆ABC el triángulo rectángulo tal
que ∡CAB = α, AB = 1. Sean a = BC y b = AC, en este caso sen α = a
4
1. Trigonometría
FIGURE 1.2.
y cos α = b. Como la hipotenusa (AB = 1) es mayor que los catetos a y b
tenemos que sen α, cos α < 1.
Por lo tanto tenemos que sen y cos : (0, 90o ) → (0, 1), además sec y
csc : (0, 90o ) → (1, ∞).
Empezaremos estudiando la función seno. Dado un segmento a de longitud menor que 1, entonces podemos construir un único triángulo ∆ABC
rectángulos con hipotenusa 1 y uno de los catetos igual a a. Esto es la
función seno es suprayectiva. Además cuando α1 > α2 , entonces a1 > a2
(demostrar esta afirmación) lo que implica que la función seno es una función inyectiva y creciente. Por lo tantos la función seno es biyectiva.
Análogamente la función coseno es una función biyectiva, aunque en este
caso es decreciente.
Análogamente dado un segmento a, entonces podemos construir un único
triángulo ∆ABC rectángulos con AC = 1 y BC = a, Esto es la función
tangente es suprayectiva.
Recordando que dado un ángulo α menor que un ángulo recto te ∆ABC
el triángulo rectángulo tal que ∡CAB = α, AB = 1. Cuando α1 > α2 ,
entonces a1 > a2 y b1 < b2 (demostrar esta afirmación) lo que implica que
la función tangente es una función inyectiva y creciente. Por lo tantos la
función seno es biyectiva.
Análogamente la función totangente es una función biyectiva, aunque en
este caso es decreciente.
Como sen α · csc α = 1, tenemos que la función cosecante es biyectiva y
decreciente.
Análogamente la función secante es biyectiva y creciente.
Un problema que la humanidad trabajo durante muchos siglos es el de
evaluar explícitamente las funciones trigonométricas y sus inversas. Para
esto se calcularon muchas tablas (con más o menos cifras decimales) como
la que tenemos en la página ¿?; actualmente las calculadoras hicieron obsoletas estas tablas. Nosotros supondremos que el lector tiene acceso a una de
1.2 Triángulos Rectángulos
5
estas calculadoras y que la sabe manejar en caso contrario es un ejercicio
aprender a usar una calculadora.
1.2.2 Resolución de Triángulos Rectángulos
Dado un triángulo rectángulo y dos de sus elementos (distintos del ángulo
recto), uno de los cuales es un lado, entonces podemos encontrar los otros
elementos del triángulo. Daremos las fórmulas para los distintos casos.
6
1. Trigonometría
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2
Funciones Trigonométricas
2.1 Las Funciones Trigonométricas
2.1.1 Definiciones
Sean r una recta y S 1 un círculo de radio uno y centro O tales que L es
tangente a S 1 en un punto U . Escogiendo la orientación de r de manera
que la función E : r → S 1 que enreda la recta r en el círculo S1 dejando
U fijo es tal que cuando los puntos de r se mueven en la dirección positiva
los puntos correspondientes en S 1 se mueven en la dirección positiva, esto
es, en la dirección contraria a la de las manecillas del reloj. Dado un punto
X en r podemos interpretar el segmento dirigido UX como la medida del
ángulo ∡U OE(X), hay que notar que dos puntos de r tienen la misma
imagen en círculo S si y solo si su distancia es un multiplo entero de 2π y
por lo tanto para cada punto Q ∈ S 1 hay un número infinito de puntos de
la recta r tales que bajo E van a Q.
La trigonometría se basa en el estudio de la función E : r → S1 cuando
se usa en el plano coordenadas cartesianas, tales que el S 1 tiene su centro
en el origen y U es el punto de coordenadas (1, 0). Con estas convenciones
las funciones seno y coseno no son más que la expresión en coordenadas de
la función E. Podemos por tanto poner: E(x) = (cos x, sen x).
El punto U lo podemos pensar como el origen de r y si escogemos otro
puntoP en r entonces podemos identificar a la recta r con la recta real R
de tal forma que U coincida con el cero de R y P con el uno. De esta forma
definimos funciones de los reales a S 1 , dependiendo de la distancia de U
a P se obtienen distintas formas de medir los ángulos. Si ρ es un punto
2
2. Funciones Trigonométricas
FIGURE 2.1.
de R tal que la distancia de U a ρ sea π/2 entonces ρ es la medida de un
ángulo recto. Tomando P en distintas posiciones obtenemos las distintas
maneras de medir ángulos. Si la distancia de U a P es uno (como en la
figura) entonces esta medida es en radianes, si la distancia de U a P es
π/180 entonces la medida es en grados. Como se ve de estos ejemplos es
equivalente dar la distancia de U a P que dar la medida un ángulo recto.
En estas notas se usara la medida en radianes al menos que se especifique
otra cosa. Con esta identificación de los reales con la recta r vemos que
dos reales x y y son tales que E(x) = E(y) si y solo si x − y = 4nρ con n
entera.
En la siguiente sección estudiaremos las propiedades elementales de las
funciones trigonométricas que usaremos en la sección 2.2 para estudiar sus
propiedades algebraicas. La propiedad más importante es la proposición
2.2 que toma en cuenta la estructura algebraica de los números reales.
2.1.2 Propiedades elementales
En esta sección utilizaremos las expresiones de las funciones seno y coseno
mencionadas anteriormente, para obtener la siguiente proposición.
Proposición 2.1 Sea ρ la medida del ángulo recto, entonces las funciones
seno y coseno satisfacen las siguientes propiededes:
i) Los valores de las funciones seno y coseno siempre está en el intervalo
[−1, 1] esto es: sen, cos : R → [−1, 1].
ii) Se tiene la identidad:
sen2 x + cos2 x = 1
iii) Las funciones seno y coseno son periódicas, con periodo 4ρ. Esto es
sen(x + 4ρ) = sen x
cos(x + 4ρ) = cos x
2.1 Las Funciones Trigonométricas
3
iv) Se tiene las igualdades:
cos 0 = sen ρ = 1
sen(−ρ) = −1
sen 0 = cos ρ = cos(−ρ) = 0
v) Se tiene las identidades:
sen(−x) = − sen x
cos(−x) = cos x
Demostración: La propiedad i) es inmediata.La condición de que el
círculo es de radio uno se traduce en la identidad: sen2 x + cos2 x = 1
que nos da ii). Como el dar una vuelta al círculo coresponde a un ángulo
de 4ρ se tiene que las funciones son periódicas, con periodo 4ρ. Esto es:
sen(x + 4ρ) = sen x y cos(x + 4ρ) = cos x y se obtiene iii). Dado que los
valores de E en los puntos 0, ρ y −ρ son los puntos U , A y B obtenemos:
sen 0 = 0, cos 0 = 1, sen ρ = 1, cos ρ = 0, sen(−ρ) = −1 y cos(−ρ) = 0
que es la propiedad iv). La función E manda puntos simétricos respecto al
cero de R en puntos simétricos respecto del eje de las equis, que no es más
que la definición de los ángulos negativos. Las fórmulas que obtenemos son:
sen(−x) = − sen x, cos(−x) = cos x.
Sin embargo, la propiedad más importante es la que toma en cuenta la
estructura algebraica (aditiva) de los números reales. Sean x, y dos números
reales, entonces podemos interpretar x − y como la distancia del punto x
al punto y. Tenemos, por lo tanto, que la distancia de E(x) a E(y) es la
misma que la distancia de E(x − y) a U = E(0), de aquí obtenemos la
propiedad vi), que como veremos en el capítulo II, es la base para estudiar
todas las propiedades algebraicas de las funciones trigonométricas.
x
π/2
y
1
E(x)
x-y
E(x-y)
E(y)
O
E(0)
0
R
O
R
Proposición 2.2 Para todos los números reales x y y se tiene la identidad
siguiente:
cos(x − y) = cos x cos y + sen x sen y
4
2. Funciones Trigonométricas
Demostración: Se tiene: E(x) = (cos x, sen x), E(y) = (cos y, sen y),
E(x − y) = (cos(x − y), sen(x − y)) y E(0) = (1, 0) igualando las distancias
al cuadrado entre E(x) y E(y) y entre E(x − y) y E(0), se tiene
(cos x − cos y)2 + (sen x − sen y)2 = (cos(x − y) − 1)2 + sen(x − y)2
usando la identidad 2.1 ii) obtenemos el resultado buscado.
La trigonometría es una herramienta muy útil, no solo, en el estudio de la
geometría sino también en muchas otras de las ramas de las matemáticas.
Por esta razón enunciaremos los resultados más impotantes.
Teorema 2.3 Las funciones seno y coseno satisfacen las siguientes propiedades:
i) Si x y y son complementarios, entonces sen x = cos y.
ii) cos(−x) = cos x y sen(−x) = − sen x.
iii) cos(x − y) = cos x cos y + sen x sen y
iv) cos(x + y) = cos x cos y − sen x sen y.
v) sen(x − y) = sen x cos y − cos x sen y.
vi) sen(x + y) = sen x cos y + cos x sen y.
Demostración:
El siguiente teorema, es un resumen de las identidades trigonométricas
(en la que intervienen los senos cosenos únicamente) más importantes.
Teorema 2.4 Las funciones seno y coseno satisfacen las siguientes identidades:
sen2 x
i) 2 sen2 x2 = 1 − cos x = 1+cos
x
2
sen x
ii) 2 cos2 x2 = 1 + cos x = 1−cos
x
x+y
vi) sen x + sen y = 2 sen( 2 ) cos( x−y
2 )
x−y
vii) sen x − sen y = 2 cos( x+y
)
sen(
2
2 )
x+y
x−y
viii) cos x + cos y = 2 cos( 2 ) cos( 2 )
x−y
ix) cos x − cos y = −2 sen( x+y
2 ) sen( 2 )
Demostración:
Como las otras funciones trigonométricas tienen a la función seno o la
función coseno en el denominador es importante saber donde se anulan las
funciones seno y coseno. Esta información la encontramos en la siguiente
proposición.
Proposición 2.5 La función seno se anula en el conjunto Z(S) = 180 · Z.
La función coseno se anula en el conjunto Z(C) = 180 · Z + 90. Esto es
Z(S) = sen−1 (0) = {x ∈ R : sen x = 0} y Z(C) = cos−1 (0) = {x ∈ R :
cos x = 0}
Demostración: Claramente los puntos de S 1 donde se anula la ordenada
son U = (1, 0) y (−1, 0) que corresponden a los ángulos cero y 180o y a
2.1 Las Funciones Trigonométricas
5
S
N
B
T
P
M
O
K
L
A
FIGURE 2.2.
cualquier otro que difiera de estos en un multiplo entero de 360o . Analogamente los puntos de S 1 donde se anula la abscisa son A y B que corresponden a los ángulos 90 y 270o y a cualquier otro que difiera de estos en un
multiplo entero de 360o . Definición 2.6 Definimos las funciones:
x
La función tangente: tan : R − Z(C) → R, tan(x) = sen
cos x
cos x
La función cotangente: cot : R − Z(S) → R, tan(x) = sen x
La función secante: sec : R − Z(C) → R, sec(x) = cos1 x
La función cosecante: csc : R − Z(S) → R, csc(x) = sen1 x
Teorema 2.7 i) tan(−x) = − tan x y cot(−x) = − cot x
x
sen x
ii) tan x2 = 1−cos
= 1+cos
sen x
x
iii) tan(−x) = − tan x y cot(−x) = − cot x
x
sen x
iv) tan x2 = 1−cos
sen x = 1+cos x
tan x+tan y
v) tan(x + y) = 1−tan x tan y
vi) tan2 x + 1 = sec2 x
Demostración:
2.1.3 Problemas
Sea C un círculo de radio uno y ∡AOB = ρ, P un punto del primer cuadrante. Trácense P M y P N perpendiculares a OA y OB respectivamente,
ademas AT y BS son tangentes a C.
Problema 1 Demostrar que: sen ∡AOP = P M , cos ∡AOP = P L, tan ∡AOP =
AT , cot ∡AOP = BS, sec ∡AOP = OT , csc ∡AOP = OS, senv ∡AOP =
P K y cosv ∡AOP = P N , donde senv es la función seno verso y cosv es
la función coseno verso estas dos últimas ya casi no se usan.
6
2. Funciones Trigonométricas
Los nombres de las funciones trigonométricas vienen de la interpretación
de estas en la figura anterior.
Los siguientes problemas sirven tanto para practicar el uso de las identidades anteriores como para estudiar nuevas identidades.
Problema 2 Demostrar las identidades del teorema 2.4,usando únicamente
las identidades del teorema 2.3.
Problema 3 sen 2x = 2 sen x cos x
Problema 4 cos 2x = cos2 x − sen2 x
Problema 5 sen 3x = 3 sen x cos2 x − sen3 x = 3 sen x − 4 sen3 x
Problema 6 sen 3x = 4 sen x sen(600 + x) sen(60o − x)
Problema 7 cos 3x = cos3 x − 3 sen2 x cos x = 4 cos3 x − 3 cos x
Problema 8 sec(−x) = sec x y csc(−x) = − csc x
Problema 9 tan2 x + 1 = sec2 x
Problema 10 1 + cot2 x = csc2 x
Problema 11 sen α =
2 tan α
2
1+tan2 α
2
.
Problema 12 cos α =
1−tan2
1+tan2
α
2
α
2
.
Problema 13 tan α =
2 tan α
2
1−tan2 α
2
Problema 14
tan x+tan y
cot x+cot y
= tan x tan y
Problema 15 Demostrar que las funciones trigonométricas son periódicas
de periodo 360o .
Para los siguiente problemas se necesita hacer uso del hecho de que las
funciones trigonométricas son positivas en el intervalo [0, ρ] (ver la proposición [??.4.4;35]).
Problema 16 Encontrar los valores de las funciones trigonométricas de
los valores 4ρ, 2ρ, 2ρ/3, 4ρ/3, ρ/2, 2ρ + x, 2ρ − x.
Problema 17 Encontrar los valores de las funciones trigonométricas del
ángulo ρ4 .
Problema 18 Usando que
cos
ρ
6
=
√
3+1
√ .
2 2
ρ
6
=
ρ
2
−
ρ
3
encontrar que sen
ρ
6
=
√
3−1
√
2 2
y que
2.1 Las Funciones Trigonométricas
7
P
α
θ
O
FIGURE 2.3.
3ρ
Problema 19 Usando que 2ρ
5 = ρ − 5 y el problema [7;6] encontrar que
√
√
√
5
sen ρ5 = 5−1
y que cos ρ5 = 10+2
.
4
4
Problema 20 Encontrar los valores de las funciones trigonométricas del
o
ángulo 452 .
Problema 21 Usando que 15o = 45o − 30o encontrar que sen 15o =
y que cos 15o =
√
√
3−1
√
2 2
3+1
√ .
2 2
Problema 22 Usar el problema anterior para dar una construcción, usando regla y compás, de un pentágono regular.
Problema 23 Para todo entero positivo n tenemos las identidades:
sen((θn/2)
cos θ + cos 2θ + ... + cos nθ = cos(θ(n+1)/2)
sen(θ/2)
sen((θn/2)
sen θ + sen 2θ + ... + sen nθ = sen(θ(n+1)/2)
sen(θ/2)
(sugerencia: usar las siguientes identidades:
sen(θ(2i + 1)/2) − sen(θ(2i − 1)/2) = 2 cos(iθ) sen(θ/2)
cos(θ(2i + 1)/2) − cos(θ(2i − 1)/2) = −2 sen(iθ) sen(θ/2))
En los siguientes problemas se estudiara la relación de las coordenadas
cartesianas y polares y con la ayuda de las identidades básicas para dar las
fórmulas de rotación de ejes coordenados. Si O es el origen y P es un punto
en el plano cartesiano entonces.
Problema 24 Si (x, y) son las coordenadas cartesianas de P y (r, α) son
las coordenadas polares de P entonces:
x = r cos α
y
= r sen α
8
2. Funciones Trigonométricas
Problema 25 Si se tienen otros ejes coordenados que forman un ángulo
θ con los ejes originales y (x′ , y ′ ) son las coordenadas cartesianas de P y
(r, α′ ) son las coordenadas polares de P entonces:
α′
x′
y′
= α−θ
= cos θ x + sen θ y
= − sen θ x + cos θ y
2.1.4 Problemas.
Los siguientes problemas sirven tanto para practicar el uso de las identidades anteriores como para estudiar nuevas identidades.
2.2 Presentación axiomática
2.2.1 Definiciones y axiomas
Esta sección contiene todos las propiedades algebraicas de las funciones
trigonométricas y por lo tanto se puede ver como un curso corto, pero
completo, de las propiedades algebraicas de las funciones trigonométricas.
La presentación que daremos es semejante a la presentada en [McShane,
??], aunque ese trabajo tiene un error al demostrar que sen(−x) = − sen x.
Basaremos el estudio algebraico de las funciones trigonométricas en las
siguientes propiedades, las que tomaremos como axiomas de las funciones
seno y coseno. Estas propiedades fueron probadas en las secciones anteriores.
Axioma 2.8 Las funciones seno y coseno satisfacen los siguientes axiomas.
A1) Las funciones seno y coseno tienen como dominio y contradominio
a los números reales, esto es: sen, cos : R → R
A2) Existe un número real ρ > 0 tal que sen ρ = 1, ademas cos 0 = 1
A3) Para todos los números reales x y y se tiene la identidad siguiente:
cos(x − y) = cos x cos y + sen x sen y
Todas las otras propiedades algebraicas se pueden demostrar a partir de
estas tres, lo que significa que estas tres propiedades pueden considerarse
los axiomas algebraicos de las funciones trigonométricas. Diremos que ρ es
la medida de un ángulo recto.
2.2.2 Propiedades basicas
Lo primero que haremos es definir las funciones tangente, cotangente, secante y cosecante como los cocientes o inversas multiplicativas del seno y
2.2 Presentación axiomática
9
del coseno. Como la funciones seno y coseno tienen puntos donde se anulan
se sigue que los dominios de las restantes funciones trigonométricas no son
los números reales sino subconjuntos propios.
Definición 2.9 Sean los conjuntos Z(S) = sen−1 (0) = {x ∈ R : sen x =
0} y Z(C) = cos−1 (0) = {x ∈ R : cos x = 0}, definimos:
x
La función tangente: tan : R − Z(C) → R, tan(x) = sen
cos x
cos x
La función cotangente: cot : R − Z(S) → R, tan(x) = sen x
La función secante: sec : R − Z(C) → R, sec(x) = cos1 x
La función cosecante: csc : R − Z(S) → R, csc(x) = sen1 x
En todas las expresiones algebraicas que siguen si se entenderá que los
ángulos usados son tales que no se anulan los denominadores.
Con ayuda de estos axiomas podemos demostrar el siguiente teorema,
el que nos da las identidades basicas para el estudio de las identidades
algebraicas de las funciones trigomométricas. Recordemos que dos ángulos
son complementarios cuando su suma es igual a ρ.
Teorema 2.10 Las funciones seno y coseno satisfacen las siguientes propiedades:
i) sen2 x + cos2 x = 1
ii) sen(R) ⊂ [−1, 1] y cos(R) ⊂ [−1, 1]
ii) cos ρ = 0 y sen 0 = 0
iv) Si x y y son complementarios, entonces sen x = cos y.
v) cos(−x) = cos x y sen(−x) = − sen x.
vi) cos(x + y) = cos x cos y − sen x sen y.
vii) sen(x − y) = sen x cos y − cos x sen y.
viii) sen(x + y) = sen x cos y + cos x sen y.
Demostración: Si en A3) tomamos x = y, obtenemos i). Que a su vez
implica ii).
Usando i) y A2) se tiene iii). Para demostrar iv) como x = ρ − y, se
tiene cos x = cos ρ cos y + sen ρ sen y = sen y.
Como cos(−x) = cos(0−x) = cos x por lo tanto cos(−ρ) = 0 y sen(−ρ) =
σ = ±1, de lo que obtenemos:
sen(−x) = cos(x−(−ρ)) = σ sen x y cos(x+y) = cos x cos y+σ sen x sen y
además ρ/2 es complementario a si mismo por lo que i) y iv) implican:
cos(ρ/2) = sen(ρ/2) = δ con 2δ 2 = 1, cos(ρ) = cos(ρ/2 + ρ/2) = δ 2 + σδ 2 =
0 y por lo tanto σ = −1. Lo que demuestra v) y vi).
La demostración de vii) y viii) es como sigue.
sen(x − y) = cos((ρ − x) + y) = cos(ρ − x) cos y − sen(ρ − x) sen y
sen(x + y) = sen(x − (−y)) = sen x cos y + cos x sen y.
10
2. Funciones Trigonométricas
2.2.3 Identidades trigonométricas
Con ayuda de las propiedades estudiadas en las secciones anteriores demostraremos el siguiente teorema, el cual es un resumen de las identidades trigonométricas más importantes.
Teorema 2.11 Las funciones seno y coseno satisfacen las siguientes identidades:
sen2 x
i) 2 sen2 x2 = 1 − cos x = 1+cos
x
2
sen x
ii) 2 cos2 x2 = 1 + cos x = 1−cos
x
iii) tan(−x) = − tan x y cot(−x) = − cot x
x
sen x
iv) tan x2 = 1−cos
sen x = 1+cos x
tan x+tan y
v) tan(x + y) = 1−tan x tan y
x−y vi) sen x + sen y = 2 sen x+y
2 cos 2 x+y
vii) sen x − sen y = 2 cos 2 sen x−y
2 viii) cos x + cos y = 2 cos x+y
cos x−y
2
2 x−y
ix) cos x − cos y = −2 sen x+y
sen
2
2
Demostración: Las propiedades i) y ii) se demuestran viendo que:
x
x
x
+
= cos2 − sen2
2
2
2
2
x
x
= 2 cos2 − 1 = 1 − 2 sen2
2
2
La propiedad iii) se obtiene como sigue:
cos x = cos
tan
x
sen x/2
2 sen x/2 cos x/2
sen x
x
=
=
=
2
cos x/2
2 cos2 x/2
1 + cos x
Además para demuestrar iv) tenemos:
tan(x + y) =
sen(x + y)
sen x cos y + cos x sen y
=
cos(x + y)
cos x cos y − sen x sen y
Las últimas cuatro propiedades se demuestran en forma semejante y por
esto solo daremos la demostración de v). Definimos A y B por las igualdades
x = A+B
y = A−B
y obtenemos
A = (x + y)/2
B = (x − y)/2
y por lo tanto:
sen x + sen y = sen(A + B) + sen(A − B) = 2 sen A cos B
2.3 Aplicaciones
11
2.3 Aplicaciones
En esta sección daremos algunas aplicaciones donde solo se utilizan las
identidades algebraicas de las funciones trigonométricas.
2.3.1 Números complejos
Hay una relación muy estrecha entre las funciones trigonométricas y los
números complejos. En esta sección daremos una introducción a este tema.
Si identificamos R2 con los números complejos C, la función E : R → R2
nos da la función , e : R → C que tiene la forma e(θ) = cos θ + i sen θ y que
satisface las propiedades de la siguiente proposición.
Proposition 2.12 La función e satisface las propiedades siguientes:
e(θ + ϕ)
e(0)
e(−θ)
|e(θ)|
=
=
=
=
e(θ)e(ϕ)
1
e(θ) = e(θ)−1
1
más aun si n ∈ N, entonces e(nθ) = e(θ)n .
Demostración: Esta proposición es equivalente a las identidades basicas
del teorema (2.10, p. 9).
Con ayuda de esta función podemos estudiar las propiedades de las funciones trigonométricas con ayuda de las identidades siguientes:
sen θ
=
cos θ
=
e(θ) − e(−θ)
2i
e(θ) + e(−θ)
2
usaremos lo anterior para demostrar algunas de las propiedades de las funciones trigonométricas.
Teorema 2.13 Tenemos las siguientes identidades:
i) Se tiene que sen2 θ + cos2 θ = 1.
ii) 2 cos2 θ = 1 + cos 2θ.
iii) 2 sen2 θ = 1 − cos 2θ.
iv) 4 cos3 θ = cos 3θ + cos θ.
v) 4 sen3 θ = − sen 3θ + 3 sen θ.
12
2. Funciones Trigonométricas
Demostración:
2
2
sen θ + cos θ
=
2 cos2 θ
=
2 sen2 θ
=
4 cos3 θ
=
4 sen3 θ
=
2
e(θ) − e(−θ) 2
e(θ) + e(−θ)
1 1
+
= + =1
2i
2
2 2
2
e(θ) + e(−θ)
e(2θ) + e(−2θ)
2
=
+ 1 = 1 + cos 2θ
2
2
2
e(2θ) + e(−2θ)
e(θ) − e(−θ)
=−
+ 1 = 1 − cos 2θ
2i
2
3
e(θ) + e(−θ)
e(3θ) + e(−3θ)
e(θ) + e(−θ)
=
+3
= cos 3θ + 3 cos θ
2
2
2
3
e(θ) − e(−θ)
e(3θ) − e(−3θ)
e(θ) − e(−θ)
=−
+3
= sen 3θ + sen θ
2i
2i
2i
2.3.2 Triángulos Rectángulos
En esta sección daremos fórmulas que nos dan todos los triángulos rectángulos cuyos lados son enteros. Identificaremos al círculo unitario con
S 1 = {(x, y) : x2 + y 2 = 1}, pero también lo identificaremos con S1 =
{E(θ) : θ ∈ R}. Sean A = (1, 0), D = (−1, 0).
Primero definiremos las siguentes funciones.
La función N : R2 − O → S1 , donde N (x, y) = √ 2x 2 , √ 2y 2 ,
x +y
x +y
−−→
1
si B ∈ S entonces N manda el rayo OB en el punto B. Si el triángulo
∆P QR es rectángulo, con lados enteros, tenemos que p2 +q 2 = r2 , entonces
las coordenadas del punto N (p, q) son racionales. Inversamente si un punto
(x, y) ∈ S 1 tiene coordenadas racionales, entonces como x = pr y y = pr ,
entonces existe un triángulo ∆P QR es rectángulo de lados p, q y r.
La función D : S 1 → S 1 , donde D(E(θ)) = D(E(2θ)), esto es D duplica
el ángulo que define a un complejo, esto es D(x, y) = (x2 − y 2 , 2xy).
La función F = D ◦ N . El siguiente teorema es el resultado básico.
Teorema 2.14 Con las definiciones
anteriores tenemos las propiedades:
2
2
2xy
i) F (x, y) = xx2 −y
,
.
+y 2 x2 +y 2
ii) Si (x, y) ∈ Q2 − O, entonces las coordenadas del punto F (x, y) son
racionales.
iii) Si C ∈ S 1 tiene coordenadas racionales, entonces existe un punto
P = (x, y) ∈ Z2 − O tal que D(P ) = Q.
Demostración: La propiedad i) es un cálculo directo y ii) es inmediato.
Sea C = (c, s) ∈ S 1 , entonces existe un ángulo θ tal que C = E(2θ) y
sea B = E(θ). Entonces 2 · ∠ODC = ∠AOC, por lo tanto G = (1 + c, s)
está en el rayo OB y por lo tanto F (G) = C y además las coordenadas de
G son racionales sii las coordenadas de C son racionales. En este caso hay
un punto P en el rayo OB y P = (x, y) ∈ Z2 .
2.3 Aplicaciones
13
P
C
G
B
θ
θ
θ
D
A
O
Corolario 2.15 Dados dos enteros (n, m) con n > m, entonces a = n2 −
m2 , b = 2mn y c = n2 + m2 son los lados de un triángulo rectángulo.
Problema 26 Dados dos enteros (n, m) tales que a = n2 − m2 , b = 2mn
y c = n2 + m2 son enteros relativamente primos. Entonces n y m son
relativamente primos y no son ambos impares.
Problema 27 Dado un triángulo ∆ABC rectángulo (C = 90o ), sean c =
λ2 , A = 2θ, u = λ cos θ y v = λ sen θ. Entonces se tienen las fórmulas:
a = u2 − v2 , b = 2uv y c = u2 + v 2 .
Problema 28 Si C = (c, s) ∈ S 1 y G = (1 + c, s), demostrar directamente
que F (G) = C.
2.3.3 Problemas
Problema 1 Demostrar que:

n/2 

 Σ k cos((2k − n)θ)
k=0 n
2n−1 cosn θ =
n/2 

 Σ nk cos((2k − n)θ) + n/2
n
k=0
n non
n par
Problema 2 Demostrar que:

n/2


 Σ (−1)k nk sen((2k − n)θ)
k=0
2n−1 senn θ =
n/2


 Σ (−1)k nk sen((2k − n)θ) + (−1)n/2 n/2
n
k=0
n non
n par
2.3.4 Identidades asociadas a los ángulos de un triángulo∗
Como en muchas aplicaciones a la geometría los ángulos que se usan son
los de un triángulo, las identidades donde aparecen ángulos A, B y C
positivos y tales que A + B + C = 2ρ son muy importantes. Nosotros
solo supondremos que A + B + C = 2ρ y no que son ángulos positivos.
14
2. Funciones Trigonométricas
Daremos solo un par de ejemplos para dar las ideas principales de cómo
usar la hipótesis. Nos referiremos a los problemas del final del capítulo para
muchos otros resultados.
Proposición 2.16 Si los ángulos A, B y C son tales que A + B + C = 2ρ
entonces
A
B
C
sen A + sen B + sen C = 4 cos cos cos .
2
2
2
Demostración: Como
10) (5) y (6) obtenemos:
sen A + sen B + sen C
A+B
2
y
C
2
son complementarios usando (2.2.3, p.
A+B
A−B
C
C
cos
+ 2 sen cos
2
2
2
2
C
A−B
A+B
= 2 cos (cos
+ cos
)
2
2
2
A
B
C
= 4 cos cos cos
2
2
2
= 2 sen
Si utilizamos algunas substituciones de ángulos que por lado preserven
el hecho que la suma de los ángulos sea dos rectos y por otro tengamos
alguna identidad que relacione el ángulo original con el final podemos de
una identidad se pueden deducir muchas otras. Veremos un par de ejemplos.
Proposición 2.17 Si los ángulos A, B y C son tales que A + B + C = 2ρ
entonces
sen 2A + sen 2B + sen 2C = 4 sen A sen B sen C
Demostración: Si α = 2ρ − 2A, β = 2ρ − 2B y γ = 2ρ − 2C entonces
α + β + γ = 6ρ − 4ρ = 2ρ, además sen α = sen 2A y cos α2 = sen A. Usando
el resultado de la proposición anterior obtenemos el resultado.
Proposición 2.18 Si los ángulos A, B y C son tales que A + B + C = 2ρ
entonces
cos
A
B
C
2ρ − A
2ρ − B
2ρ − C
+ cos + cos = 4 cos
cos
cos
2
2
2
4
4
4
Demostración: Si α = ρ − A2 , β = ρ − B2 y γ = ρ − C2 entonces
α + β + γ = 3ρ − ρ = 2ρ, además sen α = cos A2 y cos α2 = cos 2ρ−A
4 .
Usando el resultado de la primera proposición obtenemos el resultado.
Proposición 2.19 Si los ángulos A, B y C son tales que A + B + C = 2ρ
entonces
2.3 Aplicaciones
cos
15
A
B
C
2ρ + A
2ρ + B
2ρ − C
+ cos − cos = 4 cos
cos
cos
2
2
2
4
4
4
B+2ρ
Demostración: Si α = A+2ρ
y γ = C−2ρ
entonces α+β+γ =
2 ,β =
2
2
A
ρ + ρ = 2ρ, además sen α = cos 2 y sen γ = − cos C2 . Usando el resultado
de la primera proposición obtenemos el resultado.
2.3.5 Problemas
Concluimos este capítulo presentando un lista de problemas. La idea principal es que estos problemas sirvan como practica en la manipulación de las
identidades trigonométricas. Pero también se pueden ver como un catalogo
de identidades trigonométricas.
Problema 1 Dado un ángulo α ∈ (0, ρ) y el valor de sen α encontrar el
valor de las otras cinco funciones trigonométricas del ángulo α en función
de sen α.
Problema 2 Como en el problema anterior, dado un ángulo α ∈ (0, ρ) y
el valor de de alguna de las funciones trigonométricas encontrar el valor de
las otras cinco funciones trigonométricas del ángulo α en función del valor
dado.
Demostrar las siguientes identidades.
Problema 3
tan2 α
1+tan2 α
+
cot2 α
1+cot2 α
Problema 4 sen(α + ρ2 ) =
Problema 5 cos(α + ρ2 ) =
=
2−sen2 2α
sen 2α
√
2
2 (sen α + cos α).
√
2
2 (cos α − sen α).
Problema 6 sen(α + β) sen(α − β) = sen2 α − sen2 β.
Problema 7 cos(α + β) cos(α − β) = cos2 α − sen2 β.
Problema 8 cos(α + β) cos(α − β) = cos2 β − cos2 α.
Problema 9 cos(α − β) − sen(α + β) = (cos α − sen α)(cos β − sen β).
Problema 10 cos(α + β) + sen(α − β) = (cos α + sen α)(cos β − sen β).
Problema 11
sen(α−β)
cos α cos β
+
sen(β−γ)
cos β cos γ
+
sen(γ−α)
cos γ cos α
Problema 12
sen(α−β)
sen α sen β
+
sen(β−γ)
sen β sen γ
+
sen(γ−α)
sen γ sen α
Problema 13 tan(α + β + γ) =
= 0.
= 0.
tan α+tan β+tan γ−tan α tan β tan γ
.
1−tan α tan β−tan β tan γ−tan γ tan α
16
2. Funciones Trigonométricas
Problema 14
sen α+sen β
cos α+cos β
= tan( α+β
2 ).
Problema 15
sen α−sen β
cos α+cos β
= tan( α−β
).
2
Problema 16
sen α+sen β
cos α−cos β
= − cot( α−β
)
2
Problema 17
sen α−sen β
cos α−cos β
= − cot( α+β
2 ).
En los siguientes problemas usaremos la definición s = α + β + γ.
Problema 18 Demostrar que:
sen s + sen(2α − s) + sen(2β − s) + sen(2γ − s) = 4 sen α cos β cos γ.
Problema 19 Demostrar que:
sen(s − 2γ) + sen(s − 2α) + sen(s − 2β) − sen s = 4 sen α sen β sen γ.
Problema 20 Demostrar que:
cos s + cos(2α − s) + cos(2β − s) + cos(2γ − s) = 4 cos α cos β cos γ
Problema 21 Demostrar que:
cos(s − 2γ) + cos(s − 2α) − cos(s − 2β) − cos s = 4 sen α cos β sen γ.
Problema 22 Demostrar que:
sen 2α + sen 2β + sen 2γ − sen 2s = 4 sen(α + β) sen(β + γ) sen(γ + α).
Problema 23 Demostrar que:
cos 2α + cos 2β + cos 2γ + cos 2s = 4 cos(α + β) cos(β + γ) cos(γ + α).
Problema 24 Demostrar que:
cos(α + β) sen(α − β) + cos(β + γ) sen(β − γ) =
− cos(γ + δ) sen(γ − δ) − cos(δ + α) sen(δ − α)
Problema 25 Demostrar que:
tan(α − β) + tan(β − γ) + tan(γ − α) = tan(α − β) tan(β − γ) tan(γ − α).
Problema 26 Demostrar que:
β−γ
γ−α
sen(α − β) + sen(β − γ) + sen(γ − α) + 4 sen α−β
2 sen 2 sen 2 = 0.
Problema 27 Demostrar que:
cos2 (α−β)+cos2 (β −γ)+cos2 (γ −α) = 1+2 cos(α−β) cos(β −γ) cos(γ −
α).
En los siguientes problemas usar la igualdad A + B + C = 2ρ.
Problema 28 sen A = sen(B + C).
Problema 29 cos A = − cos(B + C).
Problema 30 tan A = − tan(B + C).
Problema 31 cot A = − cot(B + C).
2.3 Aplicaciones
17
Problema 32 sen 2A + sen 2B + sen 2C = 4 sen A sen B sen C.
Problema 33 sen 2A − sen 2B + sen 2C = 4 cos A sen B cos C.
Problema 34 sen 2A + sen 2B − sen 2C = −4 sen A cos B cos C.
Problema 35 cos 2A + cos 2B + cos 2C = −1 − 4 cos A cos B cos C.
Problema 36 tan A + tan B + tan C = tan A tan B tan C.
Problema 37 sen A + sen B + sen C = 4 cos A2 cos B2 cos C2 .
Problema 38 sen A + sen B − sen C = 4 sen A2 sen B2 cos C2 .
Problema 39 cos A + cos B + cos C = 1 + 4 sen A2 sen B2 sen C2 .
Problema 40 cos A − cos B + cos C = −1 + 4 cos A2 sen B2 cos C2 .
Problema 41
sen A+sen B−sen C
sen A+sen B+sen C
= tan A2 tan B2 .
Problema 42 tan A2 tan B2 + tan B2 tan C2 + tan C2 tan A2 = 1.
Problema 43
1+cos A−cos B+cos C
1+cos A+cos B−cos C
= tan B2 cot C2 .
Problema 44 (cot A+cot B)(cot B+cot C)(cot C+cot A) = csc A csc B csc C
Problema 45 cos2 A + cos2 B + cos2 C = 1 − 2 cos A cos B cos C.
Problema 46 cos2 2A + cos2 2B + cos2 2C = 1 + 2 cos 2A cos 2B cos 2C.
Problema 47 sen2
A
2
+ sen2
B
2
+ sen2
Problema 48
cot A+cot B
tan A+tan B
Problema 49
tan A+tan B+tan C
(sen A+sen B+sen C)2
+
C
2
cot B+cot C
tan B+tan C
=
= 1 − 2 sen A2 sen B2 sen C2 .
+
cot C+cot A
tan C+tan A
B
C
tan A
2 tan 2 tan 2
2 cos A cos B cos C
= 1.
.
B+C
C+A
Problema 50 cos A2 + cos B2 + cos C2 = 4 cos A+B
4 cos 4 cos 4 .
π−B
π+C
Problema 51 cos A2 − cos B2 + cos C2 = 4 cos π+A
4 cos 4 cos 4 .
π−B
π−C
Problema 52 sen A2 + sen B2 + sen C2 = 1 + 4 sen π−A
4 sen 4 sen 4 .
18
2. Funciones Trigonométricas
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3
El Triángulo
3.1 Propiedades basicas
En un triángulo△ ABC de lados a, b y c se tiene definidos los siguientes
conceptos geométricos:
a) R = Radio del círculo circunscrito
b) Σ = Area del triángulo
c) r = Radio del círculo inscrito
d) ra , rb , rc = Radios de los círculos excritos
e) s = a+b+c
= Semiperímetro del triángulo
2
f ) Mediremos los ángulos en grados. Esto es que el ángulo recto mide
90o .
Los cuales aparecen en el siguiente teorema fundamental. Los resultados de este teorema los usaremos como axiomas para el estudio de las
relaciones entre las funciones trigonométricas y la geometría del triángulo.
Estos axiomas son la base para demostrar todas las propiedades restantes,
más aun cada uno de estos teoremas relacionan un concepto geométrico
con las funciones trigonométricas. De hecho son los únicos resultados que
demostraremos usando alguna propiedad geométrica, para todas las otras
usaremos las identidades trigonométricas de la sección 2.2.2.
Teorema 3.1 (Fundamental de la Trigonometría)En todo triángulo
se satisfacen las siguientes propiedades:
20
3. El Triángulo
T 1)
T 2)
T 3)
T 4)
T 5)
A + B + C = 180o
2R = sena A
A
Σ = bc sen
2
r
tan(A/2) = s−a
ra
tan(A/2) = s
(ley de los senos)
Demostración: Para demostrar (T 2) en las figuras BA′ es un diámetro
y por lo tanto los triángulos △A′ BC son rectángulos y ∡BAC = ∡BA′ C
(o ∡BAC = 180o − ∡BA′ C) de lo anterior obtenemos: sen A = sen A′ =
a
BC
BA′ = 2R .
C
A'
A'
a
C
O
b
O
A
b
c
a
c
A
B
B
Para demostrar (T 3) claramente la altura del triángulo es h = b sen A y
bc sen A
por lo tanto Σ = ch
.
2 =
2
C
b
A
h
c
F
a
B
Para demostrar (T 4) sean X, Y y Z los puntos de contacto del círculo
inscrito con los lados del triángulo. Como el centro del círculo inscrito está
en la bisectriz de ∡BAC tenemos que A/2 = ∡IAZ y entonces tan(A/2) =
r
AZ pero: AY = AZ = x, BZ = BX = y, CX = CY = z de donde se
obtiene que x + y + z = s, y + z = a y por lo tanto AZ = s − a.
3.2 Teoremas generales
21
Para demostrar (T 5) ver el problema (2, p. 23).
C
z
z
Y
X
r
x
I
r
y
r
A
x
Z
y
B
3.2 Teoremas generales
Teorema 3.2 En el △ABC se tiene la igualdad:
c = a cos B + b cos A
Demostración: De la ley de los senos T 1, [(3.1;19], tenemos:
c = 2R sen C = 2R sen(180o − A − B) = 2R sen(A + B)
= a cos B + b cos A
Teorema 3.3 (Ley de los cosenos) En el △ABC se tiene la igualdad:
c2 = a2 + b2 − 2ab cos C
Demostración: Por el teorema anterior tenemos
a = c cos B + b cos C
además
c2
= c2 sen2 B + c2 cos2 B = b2 sen2 C + (a − b cos C)2
= a2 + b2 − 2ab cos C
Teorema 3.4 (Ley de las Tangentes) En el △ABC se tiene la igualdad:
tan A+B
a+b
2
=
a−b
tan A−B
2
22
3. El Triángulo
2R sen A+2R sen B
a+b
a−b = 2R sen A−2R sen B , por el
A+B
2 sen( 2 ) cos( A−B
a+b
2 )
= 2 cos( A+B
A−B que implica
a−b
2 ) sen( 2 )
Demostración: Por la ley de los senos,
teorema (2.2.2.3, p. 10) tenemos que
el teorema.
Teorema 3.5 En el △ABC se tiene las igualdades:
S1) sen2 (A/2) = (s−b)(s−c)
bc
S2) cos2 (A/2) = s(s−a)
bc
S3) tan2 (A/2) = (s−b)(s−c)
s(s−a)
Demostración: Claramente la tercera igualdad es consecuencia de las
otras dos. Como las dos primeras igualdades tiene una demostración semejante demostraremos únicamente la primera fórmula. Para esto se usa la
ley de los cosenos y las identidades siguientes:
b2 + c2 − a2
2bc
a2 − (b − c)2
(a + b − c)(a + c − b)
=
2bc
2bc
4(s − b)(s − c)
2bc
2 sen2 (A/2) = 1 − cos A = 1 −
=
=
Teorema 3.6 En el △ABC se tiene las expresiones para calcular el área
de un triángulo.
Σ1) Σ = s(s − a)(s − b)(s − c)
Σ2) Σ = rs
Σ3) Σ = abc/4R
Σ4) Σ = 2R2 sen A sen B sen C
Demostración:Usando el teorema anterior vemos que:
2 2
2
C
= a2 b2 sen2 (C/2) cos2 (C/2) = s(s − a)(s − b)(s − c)
Σ2 = a b sen
4
Usando la ley de los senos obtenemos:
C
2
Σ = ab sen
= abc
2
4R = 2R sen A sen B sen C
2
(s−b)(s−c)
r
Usando tan2 (A/2) = (s−a)
2 =
s(s−a) , obtenemos
r2 s2 = s(s − a)(s − b)(s − c) = Σ2
3.2.1 Problemas
Problema 1 Dado un triángulo ∆ABCD,sean X, Y y Z los puntos de
contacto del excírculo Ca con los lados del triángulo. Demostrar que AZ ′ =
3.2 Teoremas generales
23
AY ′ = s, BX ′ = BZ ′ = s − a y CX ′ = CY ′ = s − b.
Y'
C
C
O
X'
A
B
a
a
Z'
En los siguientes problemas se supone dado un triángulo ∆ABC.
Problema 2 tan(A/2) =
ra
s .
Problema 3 ∗ Si sen A = sen B, entonces A = B. Análogamente si cos A =
cos B, entonces A = B.
Problema 4
a+b
a−b
=
cot( C
2 )
tan( A−B
)
2
Problema 5 Σ = ra (s − a)
Problema 6 Σ2 = rra rb rc
Problema 7 sΣ = ra rb rc
Problema 8
1
r
=
1
ra
+
1
rb
+
1
rc
Problema 9 s2 = ra rb + rb rc + rcra
Problema 10 r + 4R = ra + rb + rc
Problema 11 2Σ = R(a cos A + b cos B + c cos C)
Problema 12 Demostrar que:
r = 4R sen A/2 sen B/2 sen C/2 = R(cos A + cos B + cos C − 1)
Problema 13 Demostrar que:
ra = 4R sen A/2 cos B/2 cos C/2 = R(− cos A + cos B + cos C + 1)
Problema 14 Usar el problema 42, pag. 42 para demostrar el insiso Σ1)
del teorema 3.6 (ver [1]).
Problema 15 En un triángulo rectángulo ∆ABC tenemos que Σ = (s −
a)(s − b).
24
3. El Triángulo
B
I
A
X
Y
C
FIGURE 3.1.
Problema 16 Dado un triángulo rectángulo ∆ABC y r su inradio. Estonces s − a = b − r o equivalentemente 2r = a + b − c. Demostrar que si
a, b y c son enteros, entonces r es entero. Usando la notación del corolario
[2.15;13] demostrar que r = m(m − n).
Problema 17 Dado un entero N , demostra que existe un triángulo rectángulo ∆ABC, de lados enteros, tal que su inradio es igual a N . (Nota:
usar el problema anterior).
Problema 18 Demostrar que dados
a, b y c entonces existe
2 los2 segmentos
−c2 <
1
(notar
que no suponemos
un triángulo con lados a, b y c sii a +b
2ab
que los segmentos están ordenados de ninguna forma).
Problema 19 Usar la fórmula
16Σ2 = (a + b)2 − c2 c2 − (a − b)2
para demostrar que de todos los triángulos, que tienen la misma base c y
el mismo perímetro, el isósceles es el que tiene área máxima. (Sugerencia:
usar el teorema ??, pág ??).
Problema 20 Demostrar la fórmula
16Σ2 = P (P − 2a)(P − 2b)(P − 2c)
donde P = 2s es el perímetro. Usarla para demostrar que de todos los
triángulos, que tienen el mismo perímetro, el equilátero es el que tiene área
máxima. (Sugerencia: usar el teorema ??, pág ??).
Problema 21 Demostrar que podemos construir un ángulo sii podemos
construir su coseno.
Concluimos este capítulo presentando un lista de problemas. Idea principal es que estos problemas sirvan como practica en la manipulación de las
identidades trigonométricas. Pero también se pueden ver como un catalogo
de propiedades del triángulo.
En todo triángulo se tienen las siguientes identidades.
3.2 Teoremas generales
Problema 22 (a2 − b2 ) cot C + (b2 − c2 ) cot C + (c2 − a2 ) cot C = 0.
Problema 23 Demostrar que:
a(sen B − sen C) + b(sen C − sen A) + c(sen A − sen B) = 0.
Problema 24 2(ab cos C + bc cos A + ca cos B) = a2 + b2 + c2 .
C
2
Problema 25 2(a sen2
Problema 26
cos2
a
A
2
Problema 27
b−c
a
cos2
+ c sen2
cos2
b
+
A
2
B
2
+
A
)
2
+
cos2
c
c−a
b
cos2
= a + c − b.
C
2
=
s2
.
abc
+
a−b
c
B
2
cos2
C
2
=0
Problema 28 a sen(B − C) + b sen(C − A) + c sen(A − B) = 0.
Problema 29 cot A =
c−a cos B
a sen B
a2 −b2
c2 .
Problema 30
sen(A−B)
sen(A+B)
Problema 31
c sen(A−B)
b sen(C−A)
Problema 32
a2 sen(B−C)
sen B+sen C
+
b2 sen(C−A)
sen C+sen A
+
c2 sen(A−B)
sen A+sen B
=0
Problema 33
a2 sen(B−C)
sen A
+
b2 sen(C−A)
sen B
+
c2 sen(A−B)
sen C
=0
=
=
a2 −b2
.
c2 −a2
Problema 34 b2 sen 2C + c2 sen 2B = Σ.
Problema 35 b cos2
A
2
+ a cos2
B
2
= s.
Problema 36 b sen2
A
2
+ a sen2
B
2
= s − c.
Problema 37 s tan A2 tan B2 = s − c.
Problema 38 Si tan θ =
Problema 39 Si tan θ =
Problema 40 Si sen θ =
Problema 41
ra −r
a
+
√
2 ab
a−b
sen C2 entonces c = (a − b) sec θ.
a+b
C
C
a−b tan 2 entonces c = (a − b) cos 2
√
2 bc
cos A2 entonces a sec θ = b + c.
b+c
rb −r
b
=
c
.
rc
Problema 42 ra + rb = c cot C2 .
Problema 43 (ra − r)(rb + rc ) = a2 .
Problema 44 ra rb + rb rc + rc ra = s2 .
Problema 45 r + ra + rb − rc = 4R cos C.
Problema 46 a2 − b2 = 2Rc sen(A − B).
sec θ.
25
26
3. El Triángulo
Problema 47 (ra − r)(rb − r)(rc − r) = 4Rr2 .
Problema 48 (ra + rb )(rb + rc )(rc + ra ) = 4R(ra rb + rb rc + rc ra ).
Problema 49 ( 1r −
Problema 50
a−b
rc
1
1
ra )( r
+
b−c
ra
−
+
1
1
rb )( r
c−a
rb
−
1
rc )
=
4R
r 2 s2 .
= 0.
√ ra +rb +rc
.
ra rb +rb rc +rc ra
Problema 51 tan A2 + tan B2 + tan C2 =
Problema 52 4Σ(cot A + cot B + cot C) = a2 + b2 + c2 .
Problema 53 a2 b2 c2 (sen 2A + sen 2B + sen 2C) = 32Σ3 .
Problema 54 a cot A + b cot B + c cot C = 2(R + r).
Problema 55 Demostrar que:
(a + b) tan C2 + (b + c) tan A2 + (c + a) tan B2 = 4R(cos A + cos B + cos C).
Problema 56 cos2
Problema 57
A
2
+ cos2
2
b2
sen B
a2 −b2
cos A+cos B
+
+
C
2
+ cos2
a sen A+b sen B+c sen C
B
C
4 cos A
2 cos 2 cos 2
a
+
Problema 58 ( sen
A
Problema 59
B
2
=
=2+
r
.
2R
a2 +b2 +c2
.
2s
c2
) sen A2
sen C
b2 −c2
cos B+cos C
+
sen B2 sen C2 = Σ.
c2 −a2
cos C+cos A
=0
Problema 60 bc cot A2 + ca cot B2 + ab cot C2 = 4Rs2 ( a1 +
1
b
+
1
c
− 3s ).
3.3 Polígonos Cíclicos
Teorema 3.7 Dado un cuadrilátero convexo ABCD de lados a = AB,
b = BC, c = CD y d = DA su área está dada por la fórmula:
A+C
Σ2 = (s − a)(s − b)(s − c)(s − d) − abcd cos2
2
donde s es el semiperímetro.
Demostración: Si ∆ = 4(ad + bc)2 − (a2 + d2 − b2 − c2 )2 encontraremos
la siguiente identidad:
∆ = (a + d)2 − (b − c)2 ][(b + c)2 − (a − d)2
= (a + b + c − d)(a + b + d − c)(a + c + d − b)(b + c + d − a)
= 16(s − a)(s − b)(s − c)(s − d)
3.3 Polígonos Cíclicos
27
usando T 3) y la ley de los cosenos en los triángulos △ABD y △BCD
obtenemos las identidades siguientes:
a2 + d2 − b2 − c2 = 2ad cos A − 2bc cos C
4Σ = 2ad sen A + 2bc sen C
elevando al cuadrado y sumando obtenemos:
16Σ2 + (a2 + d2 − b2 − c2 )2
= 4(a2 d2 + b2 c2 ) − 8abcd cos(A + C)
1 + cos(A + C)
= 4(ad + bc)2 − 16abcd
2
y por lo tanto 16Σ2 = ∆−16abcd 1+cos(A+C)
y usando la identidad anterior
2
obtenemos el resultado buscado.
Corolario 3.8 De todos los cuadrilátero convexo ABCD de lados a = AB,
b = BC, c = CD y d = DA el de área maxima es el cíclico y su área está
dada por la fórmula:
Σ2 = (s − a)(s − b)(s − c)(s − d)
Teorema 3.9 Dado un cuadrilátero convexo ABCD de diagonales x y y,
que se cortan en un ángulo θ, entonces su área está dada por la fórmula:
Σ=
xy sen θ
2
Demostración: En la siguiente figura tenemos que:
Σ(ABC) = Σ(ABP ) + Σ(BP C)
AP · P B sen(180o − θ) CP · P B sen θ
=
+
2
2
x · P B sen θ
=
2
análogamente: Σ(CDA) =
Σ=
x·P D sen θ
2
y por lo tanto:
x · P B sen θ x · P D sen θ
xy sen θ
+
=
2
2
2
28
3. El Triángulo
C
c
x
b
θ
D
P
d
y
B
a
A
Nota: El resto de la sección se puede omitir en una primera lectura.
Los teoremas anteriores nos dicen que el área de un cuadrángulo cíclico
solo depende de las longitudes de sus lados y no del orden de los mismos;
además el problema 3, pág. 29, demuestra que el radio del circuncírculo
también solo depende de las longitudes de sus lados. Estas propiedades son
compartidas por cualquier polígono convexo cíclico. El siguiente teorema
dan la historia completa.
Teorema 3.10 Dados n segmentos a1 ,. . . ,an (tales que el mayor de ellos
es menor que la suma los demás segmentos), entonces existen un círculo
C y un polígono P convexo A1 ...An inscrito en C y tal que ai = Ai Ai+1 .
Además ni el radio del círculo C ni el área del polígono A1 ...An depende
del orden de los segmentos.
Demostración: Sea A1 A2 un segmento de longitud a1 , en su mediatriz
tomamos un punto O y sea C el círculoque pasa por A1 , A2 y O. Sea σ el
arco de C que contiene a O. Si la distancia de O al segmento A1 A2 es igual
a a2 + ... + an entonces podemos tomar A2 ,..., An ∈ σ tale que ai = Ai Ai+1
para i = 2, ..., n. Cuando O se acerca al segmento A1 A2 el la longitud del
arco σ se aproxima a A1 A2 tanto como queramos; por lo tanto en algún
momento tendremos que An = A1 .
Si el centro O de C es un punto interior de P, entonces los triángulos
Ti = ∆OAi Ai+1 son tales que su área αi y ángulo θ i,i+1 = ∡Ai OAi+1
n
solo dependen del segmento ai ; además i=1 θ i,i+1 = 360o . Por lo tanto
podemos ver a los los triángulos Ti como piezas de un rompe cabezas que
podemos colocar en cualquier posición y obtener otro polígono cíclico con
lados iguales,
n aun que en otro orden obteniendo otros polígonos de la misma
área α = i=1 αi , e inscritos en el mismo círculo C. Si el centro O de C no
es un punto interior de P hay uno de los triángulos, que podemos suponer
que es Tn tal que el lado An A1 separa al centro
n−1 de los otros vértices A2 ,...,
An−1 en este caso el área de P es α = i=1 αi − αn pero el resto del
razonamiento es el mismo.
3.3 Polígonos Cíclicos
29
A4
A3
A5
A2
O
A1
A6
FIGURE 3.2.
A3
A2
A2
A4
A5
A3
θ 1,2
A1
A6
θ 1,2
A1
A4
A6
A5
Nota: Claramente el hecho de exista el polígono cíclico no implica que se
pueda construir con regla y compás. Sin embargo existe una construcción
para el caso de un cuadrángulo cíclico.
3.3.1 Problemas
Problema 1 En un cuadrilátero convexo ABCD de lados a = AB, b =
BC, c = CD y d = DA y diagonales x y y su área está dada por la fórmula:
Σ2 = 4x2 y 2 − (a2 + d2 − b2 − c2 )2
Problema 2 Dados cuatro segmentos a, b, c y d existe un cuadrilátero
convexo ABCD de lados a = AB, b = BC, c = CD y d = DA sii s − a,
s − b, s − c, s − d son positivos (donde a+b+c+d
). En este caso existe un
2
cuadrilátero ciclico.
Problema 3 Dado un cuadrilátero cíclico convexo ABCD de lados a =
AB, b = BC, c = CD y d = DA y diagonales x = AC y y = BD, inscrito
30
3. El Triángulo
C
x
b
c
y
D
B
P
d
a
A
FIGURE 3.3.
en un círculo de radio R demostrar que:
x2
=
y2
=
(ad + bc)(ac + bd)
ab + cd
(ab + cd)(ac + bd)
ad + bc
1 (ab + cd)(ac + bd)(ad + bc)
4Σ
ac + bd (Teorema de Ptolomeo)
ad + bc
ab + cd
R =
xy
x
y
=
=
3.3.2 Problemas. Identidades trigonométricas en triángulos
Concluimos este capítulo presentando un lista de problemas. Como en el
capítulo 1 la idea principal es que estos problemas sirvan como practica en
la manipulación de las identidades trigonométricas. Pero también se pueden
ver como un catalogo de propiedades del triángulo.
En todo triángulo ∆ABC se tienen las siguientes identidades.
Problema 1 (a2 − b2 ) cot C + (b2 − c2 ) cot C + (c2 − a2 ) cot C = 0.
Problema 2 a(sen B − sen C) + b(sen C − sen A) + c(sen A − sen B) = 0.
Problema 3 2(ab cos C + bc cos A + ca cos B) = a2 + b2 + c2 .
Problema 4 2(a sen2
2
C
2
+ c sen2
Problema 5
cos (A/2)
a
+
Problema 6
b−c
a
A
2
cos2
2
A
2)
cos (B/2)
b
+
c−a
b
= a + c − b.
+
cos2
cos2 (C/2)
c
B
2
+
a−b
c
=
s2
abc .
cos2
C
2
=0
3.3 Polígonos Cíclicos
a+b
c
Problema 7
a−b
c
=
sen( A−B
)
2
cos
C
2
cos( A−B
2 )
=
C
2
sen
. Formulas de Molweide.
Problema 8 a sen(B − C) + b sen(C − A) + c sen(A − B) = 0.
c−a cos B
a sen B
Problema 9 cot A =
a2 −b2
c2 .
Problema 10
sen(A−B)
sen(A+B)
Problema 11
c sen(A−B)
b sen(C−A)
Problema 12
a2 sen(B−C)
sen B+sen C
+
b2 sen(C−A)
sen C+sen A
+
c2 sen(A−B)
sen A+sen B
=0
Problema 13
a2 sen(B−C)
sen A
+
b2 sen(C−A)
sen B
+
c2 sen(A−B)
sen C
=0
=
a2 −b2
c2 −a2 .
=
Problema 14 b2 sen 2C + c2 sen 2B = Σ.
Problema 15 b cos2
A
2
+ a cos2
B
2
= s.
Problema 16 b sen2
A
2
+ a sen2
B
2
= s − c.
Problema 17 s tan A2 tan B2 = s − c.
Problema 18 Si tan θ =
√
2 ab
a−b
Problema 19 Si tan θ =
a+b
a−b
Problema 20 Si sen θ =
√
2 bc
b+c
Problema 21
ra −r
a
+
rb −r
b
=
sen C2 entonces c = (a − b) sec θ.
tan C2 entonces c = (a − b) cos C2 sec θ.
cos A2 entonces a sec θ = b + c.
c
rc .
Problema 22 ra + rb = c cot C2 .
Problema 23 (ra − r)(rb + rc ) = a2 .
Problema 24 ra rb + rb rc + rc ra = s2 .
Problema 25 r + ra + rb − rc = 4R cos C.
Problema 26 a2 − b2 = 2Rc sen(A − B).
Problema 27 (ra − r)(rb − r)(rc − r) = 4Rr2 .
Problema 28 (ra + rb )(rb + rc )(rc + ra ) = 4R(ra rb + rb rc + rc ra ).
Problema 29 ( 1r −
Problema 30
a−b
rc
1
1
ra )( r
+
b−c
ra
−
+
1
1
rb )( r
c−a
rb
−
= 0.
1
rc )
=
4R
r 2 s2 .
31
32
3. El Triángulo
√ ra +rb +rc
.
ra rb +rb rc +rc ra
Problema 31 tan A2 + tan B2 + tan C2 =
Problema 32 4Σ(cot A + cot B + cot C) = a2 + b2 + c2 .
Problema 33 a2 b2 c2 (sen 2A + sen 2B + sen 2C) = 32Σ3 .
Problema 34 a cot A + b cot B + c cot C = 2(R + r).
Problema 35 Demostrar que:
(a + b) tan C2 + (b + c) tan A2 + (c + a) tan B2 = 4R(cos A + cos B + cos C).
Problema 36 cos2
Problema 37
A
2
+ cos2
2
b2
sen B
a2 −b2
cos A+cos B
+
+
C
2
+ cos2
a sen A+b sen B+c sen C
B
C
4 cos A
2 cos 2 cos 2
a
Problema 38 ( sen
A +
Problema 39
B
2
=
=2+
r
2R .
a2 +b2 +c2
.
2s
c2
A
sen C ) sen 2
b2 −c2
cos B+cos C
+
sen B2 sen C2 = Σ.
c2 −a2
cos C+cos A
=0
Problema 40 bc cot A2 + ca cot B2 + ab cot C2 = 4Rs2 ( a1 +
1
b
+
1
c
− 3s ).
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4
Algoritmos
En este capítulo se estudiarán las propiedades de las funciones trigonométricas que están relacionadas con problemas de continuidad y de graficación
el método que usaremos es completamente elemental sin hacer uso de la
teoría del cálculo diferencial e integra. Sin embargo la desigualdad (4.2, p.
34) es suficiente para calcular todos los limites que aparecen en los cursos
de cálculo y que son necesarios para estudiar las propiedades analíticas de
las funciones (ver capítulo ??).
Uno de los problemas centrales de la trigonometría consiste en estudiar
los algoritmos para el cálculo de la función E y de su inversa. Actualmente
este cálculo se facilita gracias a las computadoras, sin embargo, es importante entender como se obtienen estos algoritmos. Nosotros estudiaremos
algunos de los algoritmos para estudiar la función E en la sección (4.3, p.
36) y los de la función inversa de E en la sección (??, p. ??), sin embargo
estos algoritmos son muy poco eficientes, para estudiar algoritmos más eficientes necesitamos usar cálculo diferecial e integral eso lo haremos en el
capítulo ?? (ver también ??).
4.1 Propiedades de continuidad
4.1.1 Medida de áreas
En esta sección usaremos como medida de los ángulos los radianes. Es
geométricamente claro que el área de un sector circular es proporcional a
la longitud s del arco, usando esta propiedad es facil demostrar el teorema
34
4. Algoritmos
siguiente. Para esto se usara la definición del número π, como la razón del
perímetro de un círculo al diámetro del mismo. Además de usar el hecho
de que π = 3.14156295....
Teorema 4.1 El área de un sector circular A está dada por r2 s/2, donde
r es el radio del círculo y s la longitud del arco que define al sector.
Demostración: Como el área de un sector circular es proporcional a la
longitud s del arco que define al sector, la fórmula del área es de la forma
λsπr2 donde πr2 es el área del circulo. Por lo tanto λ debe ser tal que para
s = 2π se tenga 2λππr2 = πr2 y por lo tanto λ = 1/2π. .
4.2 Desigualdades de las Funciones
Trigonométricas
Para poder estudiar las propiedades de continuidad y diferenciabilidad de
las funciones trigonométricas necesitamos los siguientes dos resultados.
Además de mostrar que medir los ángulos en radianes es la forma natural, es la base del estudio de las propiedades analíticas de las funciones
trigonométricas.
Teorema 4.2 Para todo real θ ∈ (−π/2, π/2), θ = 0 se tienen las desigualdades siguientes:
0 < cos θ <
ademas de que ρ =
sen θ
<1
θ
π
2.
Demostración: En la figura vemos que el triángulo △OAP esta contenido en el sector OAP que a su vez est contenido en el triángulo △OAT ,
θ
además se tiene que: △OQP ∼ △OAT y por lo tanto AT = sen
cos θ calculando el doble del área de las tres figuras obtenemos:
sen θ < θ <
sen θ
cos θ
para θ > 0, que son desigualdades claramente equivalentes a las del teorema. El caso cuando θ es negativa se sigue del caso θ > 0 recordando
4.2 Desigualdades de las Funciones Trigonométricas
35
(2.2.1.v), p. 2).
B
T
P
θ
O
Q
A
Corolario 4.3 Las funciones trigonométricas estan definidas en (0, π2 ) y
son positivas en el intervalo. Más aun:
{θ
∈ R : sen θ = 0} = πZ
{θ
∈ R : cos θ = 0} = πZ+
π
2
El siguiente teorema nos da una estimación de que tan bien sen (θ + δ)
y cos(θ + δ) aproximan a sen θ y a cos θ cuando θ y θ + δ ∈ (0, π2 ).
Proposición 4.4 Las funciones seno y coseno son continuas, además son
positivas en el intervalo (0, π2 ). Más aun si θ, θ + δ y δ ∈ (0, π2 ):
i) La función seno es estríctamente creciente en el intervalo [0, ρ] ademas
| sen(θ + δ) − sen θ| < δ.
ii) La funcion coseno es estríctamente decreciente en el intervalo [0, ρ]
ademas | cos(θ + δ) − cos θ| < δ.
Demostración: Usando el teorema (4.4.2, p. 34) se tiene la desigualdad
sen x > x cos x y po lo tanto el seno es positivo en el intervalo (0, π2 ). Lo
cual demuestra que todas las funciones trigonométricas son positivas en el
intervalo (0, π2 ).
Ademas si δ > 0 y θ, y θ + δ estan en (0, π2 ) se tiene la igualdad
δ
δ
sen(θ + δ) − sen θ = 2 cos( θ + ) sen
2
2
que demuestra que la función seno es estrictamente creciente, ademas usando la desigualdad, |2 sen 2δ | < δ, demuetra i). La proposición ii) se sigue
de la igualdad
δ
δ
cos(θ + δ) − cos θ = −2 sen( θ + ) sen
2
2
36
4. Algoritmos
De la desigualdad sen δ < δ se siguen las desigualdades
δ
| sen(θ + δ) − sen θ| < 2 sen < δ
2
δ
| cos(θ + δ) − cos θ| < 2 sen < δ
2
que demuestran que las funciones seno y coseno son continuas.
Corolario 4.5 La restricción de la función seno al intervalo [− π2 , π2 ] da
una biyección entre [− π2 , π2 ] y [−1, 1]. La restricción de la función coseno
al intervalo [0, π] da una biyección entre [0, π] y [−1, 1].
Demostración: Como las funciones seno y coseno son estrictamente
crecientes y decrecientes respectivamente son funciones inyectivas, por esto,
lo único que falta demostrar es que son suprayectivas y esto se sigue del
teorema del valor intermedio ya que son funciones continuas.
4.3 Cálculo de las funciones trigonométricas
Usaremos los resultados anteriores para dar un algoritmo para calcular las
funciones seno y coseno.
4.3.1 Reducción a ángulos agudos
En esta sección calcularemos los valores de las funciones seno y coseno reduciendo el problema al cálculo de las funciones para ángulos en el intervalo
[0, π2 ]. Para eso usaremos que para todo real θ existe un entero n tal que
θ = nr + α donde α esta en el intervalo [0, π2 ].
Recordemos el concepto de congruencia, esto es que los números enteros
a y b son congruentes módulo n si n divide a a − b y lo escribiremos como
a ≡ b (mod n). En particular cuando dividimos a a entre 4 y obtenemos
como residuo a b, entonces a y b son congruentes módulo 4. Además a ≡
0 (mod 2) si y solo si a es un número par.
Teorema 4.6 Si
 n es un entero entonces:
 1 si n ≡ 1 (mod 4)
A) sen n π2 =
−1 si n ≡ 3 (mod 4)

 0 si n ≡ 0 (mod 2)
 1 si n ≡ 0 (mod 4)
−1 si n ≡ 2 (mod 4)
B) cos n π2 =

0 si n ≡ 1 (mod 2)
C) Si θ 
es un real y n un entero tales que θ = n π2 + α entonces:
sen α si n ≡ 0 (mod 4)



cos α si n ≡ 1 (mod 4)
sen θ =
−
sen α si n ≡ 2 (mod 4)



− cos α si n ≡ 3 (mod 4)
4.3 Cálculo de las funciones trigonométricas
37
D) Si θ 
es un real y n un entero tales que θ = n π2 + α entonces:
cos α si n ≡ 0 (mod 4)



− sen α si n ≡ 1 (mod 4)
cos θ =
− cos α si n ≡ 2 (mod 4)



sen α si n ≡ 3 (mod 4)
Como consecuencia del teorema anterior se ve que si conocemos los valores de las funciones seno y coseno en el intervalo [0, π2 ], entonces conocemos
el valor de estas funciones para todos los reales. Más aun basta conocer los
valores en el intervalo [0, π4 ] ya que sen α = cos( π2 − α).
4.3.2 Caso del ángulo agudo
En esta subsección se usan radianes para medir los ángulos. En esta sección
calcularemos los valores de las funciones seno y coseno en ángulos en el
intervalo [0, π/2]. En este intervalo el valor del seno y del coseno es siempre
mayor o igual a cero, por lo tanto cuando tenemos que en una fórmula
aparece una raíz cuadrada se toma siempre el valor positivo. En particular
daremos los valores para π/4, π/3, π/6. Si conocemos el valor de la función
coseno para un ángulo α ∈ [0, π/2] daremos fórmulas para los valores del
seno y del coseno en el ángulo α/2.
Teorema 4.7 Se tiene√los siguientes valores de las funciones seno y coseno.
A) sen π4 = cos π4 = 22 .
B) sen π6 = cos π3 = 12 .
√
C) sen π3 = cos π6 = 23 .
Demostración: Como π4 es complementario a si mismo tenemos sen π4 =
cos π4 que y por lo tanto 2 sen2 π4 = 1, de donde obtenemos A.
Como π6 es complementario a π3 tenemos sen π3 = cos π6 que y por lo tanto
sen π3 = 2 sen π6 cos π6 = 2 sen π6 sen π3 de donde obtenemos B. Análogamente sen π6 = cos π3 y por lo tanto sen2 π6 + cos2 π6 = sen2 π6 + 14 = 1 de
donde obtenemos C.
El siguiente teorema es una consecuencia inmediata de (2.2.2.3, p. 10).
Será la base del algoritmo para calcular las funciones trigonométricas.
Teorema 4.8 Si α ∈ [0, π/2] y se conoce cos α se tiene los siguientes valores de las funciones
seno y coseno para el ángulo α/2.
A) sen a2 =
B) cos α2 =
1−cos α
.
2
1+cos α
.
2
Con ayuda de los teoremas anteriores podemos conocer los valores de
k
sen 2πn y cos 2πn de para n = 2, 3, .... Más aun si α =
an 2πn , con an igual
n=2
38
4. Algoritmos
a menos uno, a cero o a uno, entonces (2.2.2.2, p. 8) nos dan formulas para
calcular sen α y cos α.
∞
Además si θ ∈ [0, π/2) entonces θ es de la forma θ =
an 2πn , con an
n=2
igual a menos uno, a cero o a uno,. Por lo tanto si α =
k
n=2
an 2πn , entonces
θ = α+δ con δ < 2πk y por lo tanto | sen θ − sen α |< 2δ y por lo tanto sen α
es una aproximación se sen θ, análogamente cos α es una aproximación se
cos θ. Con ayuda de estos resultados podemos dar el siguiente algoritmo:
Algoritmo 4.9 Sea ρ el valor del ángulo recto. Se tiene el siguiente algoritmo que dado un número real ϕ aproxima los valores de las funciones
seno y coseno de ϕ.
Al 1) Dar un real positivo ε que representa el grado de aproximación
deseado.
Al 2) Encontrar un entero n y un real θ ∈ [0, ρ] tal que ϕ = nρ + θ.
Al 3) Encontrar k tal 2πk < ε2 .
∞
Al 4) De la expresión θ =
an 2ρn encontrar las ai , para i = 1, ..., k y
n=2
definiendo α =
k
n=2
an 2ρn
por el teorema anterior se ve que | sen θ−sen α| <
ε y que | cos θ − cos α| < ε.
Al 5) Calcular sen α y cos α.
Al 6) Expresar las funciones de ϕ en función de las de θ y usar las
aproximaciones por el ángulo α.
4.3.3 Problemas
Problema 1 Enunciar y demostrar el teorema equivalente al teorema (4.6,
p. 4.6) para las funciones tangente y cotangente.
Problema 2 Si θ ∈ [0, ρ) entonces θ es de la forma θ =
∞
n=1
an 2ρn , con
an igual a cero o a uno. Dar un algoritmo para encontrar as ai , para
i = 1, ..., k.
Problema 3 Si θ ∈ [0, ρ) entonces θ es de la forma θ =
∞
n=0
an 2ρn , con an
igual a cero, a uno o a menos uno. Dar un algoritmo para encontrar as ai ,
para i = 0, ..., k. Dar ejemplos donde esta representación es mas eficiente
(en el sentido que necesita menos sumandos para expresar un número dado)
que la dada en el problema anterior.
4.4 La función inversa
39
4.4 La función inversa
4.4.1 Metodo de Arquimedes
En esta sección y en la siguiente usaremos los radianes para medir los
ángulos. La función E no tiene una inversa porque no es inyectiva, sin
embargo, si la restringimos al intervalo (−π, π] es biyectiva y por lo tanto
podemos estudiar su inversa. La si P1 ∈ S 1 entonces E −1 (P1 ) ∈ R no es
otra que la longitud del arco que une el punto P1 = (c, s) con el punto
U = (1, 0) ( la consideramos negativa en el caso de que s sea negativo ).
No es posible dar un algoritmo exacto para el cálculo de la inversa de
E, sin embargo, el método de Arquímedes nos permite calcular la longitud
del arco con la precisión que se desee. Este método se basa en el siguiente
lema.
Lema 4.10 Sea P1 un punto de S 1 y l1 su distancia a U . Y sea P2 el
puntoque bisecta el arco P1 U , entonces su distancia a U está dada por:
l2 = 2 − 4 − l12
Demostración: Si ∡UOP1 = θ entonces l1 = 2 sen θ y por lo tanto
l2 = 2 sen 2θ
P1
l
2
P2
l
1
θ
U
O
y como
2 sen2
se tiene que
θ
= 1 − cos θ = 1 − 1 − sen2 θ
2
2 2
θ
l
2
2
l2 = 4 sen
= 2−2 1− 1
2
2
Dado el punto P1 = (c, s), si definimos l1 = (c − 1)2 + s2 y definimos
Pn para n = 2, 3, ... como el punto que bisecta el arco Pn−1 U y ln como
la longitud de la secante Pn U , entonces nln se aproxima a la longitud del
arco P1 U . En otras palabras E −1 (c, s) = lim nln . Es fácil implementar
n→∞
un programa que calcule nln , en una computadora, y por lo tanto nos de
la inversa de E con la aproximación que necesitemos, sin embargo es muy
40
4. Algoritmos
ineficiente por lo que veremos en el capítulo ?? un método más eficiente.
Una de las razones por lo que es muy ineficiente este algoritmo es por
que converge muy lentamente y otra de las razones es por que se están
multiplicando dos números reales uno que crece mucho y otro que tiende a
cero y esto causa muchos problemas con la precisión en la computadoras.
Si nos dan un número real c, tal que −1 < c < 1, siempre hay dos puntos
C y D de S 1 tales que√c es la ordenada de C y D, esto es C = (c, s) y
D = (c, −s) donde s = 1 − c2 . Por esta razón no existe la función inversa
de la función coseno ni aún en el intervalo [−π, π], lo mismo pasa con la
función seno. Sin embargo si nos restringimos a: cos : [0, π] → [−1, 1] el
coseno es biyectivo y por lo tanto existe su inverso.
4.4.2 Problemas
Problema 1 Si sen α =
4
5
entonces tan α + sec α = 3.
2 2ρ
Problema 2 sen2 α + sen2 ( 2ρ
3 + α) + sen ( 3 − α) = 3/2.
Problema 3 cos 2ρ
cos 4ρ
cos 8ρ
= 1/8.
9
9
9
√
4ρ
8ρ
3
Problema 4 sen 2ρ
9 sen 9 sen 9 = 8 .
α
Problema 5 tan ρ2 + α = 1+tan
1−tan α .
La substitución t = tan θ2 ,ver [8], se puede usar en la solución de ecuaciones en donde las incógnitas aparecen como argumentos de una o más
funciones trigonométricas. Esta substitución tiene la ventaja de que todas
las funciones trigonométricas de son expresiones racionales en . Si t = tan θ2
2t
obtenemos tan θ = 1−t
2 y por lo tanto:
2
tan θ + 1 =
=
cos θ
=
2t
1 − t2
2
+1=
2
4t2 + 1 − t2
(1 − t2 )2
2
1 + t2
1
= sec2 θ =
2
1−t
cos2 θ
2
1−t
1 + t2
análogamente:
2
sen θ
2
1 − t2
= 1 − cos θ = 1 −
1 + t2
2
2
1 + t2 − 1 − t2
4t2
=
=
(1 + t2 )2
(1 + t2 )2
4t
= sen θ =
1 + t2
2
4.4 La función inversa
41
En las ecuaciones planteadas con funciones trigonométricas será suficiente con dar la solucione donde el ángulo sea el más pequeño. En cada
uno de los siguientes problemas existe al menos una solución donde el ángulo es un múltiplo racional de ρ. Encontrar estas soluciones y si hay otras
dejarlas indicadas.
Problema 6 4 cos α = 3 sec α.
Problema 7 3 sec2 α = 8 tan α − 2.
Problema 8 4 sen α = 3 csc α.
Problema 9 tan α = 2 sen α.
Problema 10 sec2 α = 2 tan2 α.
Problema 11 csc2 α = 4 cot2 α.
Problema 12 2 cos2 α + 4 sen2 α = 3.
Problema 13 4 sen α = 12 sen2 α − 1.
Problema 14 1 + 2 sec2 α tan2 α − sec4 α − tan4 α = 0.
Problema 15 6 sen2 α − 11 sen α + 4 = 0.
42
4. Algoritmos
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5
Aplicaciones de la Trigomometría
5.1 Resolución de triángulos
Podemos decir que conocemos bien un triángulo cuando conocemos sus lados y sus ángulos. Cuando se dan tres de estos elementos se puede tratar de
encontrar los otros tres. Sin embargo no siempre es posible hacerlo o hacerlo
de forma única. En los siguientes problemas se dan tres de estos elementos
y se pide dar las fórmulas para calcular los otros tres, es importante que
den varias formas de calcular los otros tres elementos y discutir las ventajas
de cada una de ellas. Especial cuidado se debe tener en dar las condiciones
para que existan soluciones y cuando estas son únicas, dar tanto razones
geométricas como algebraicas A este proceso se le suele llamar el resolver
el triángulo.
Problema 16 Resolver un triángulo dado sus tres lados.
Problema 17 Resolver un triángulo dado dos de sus lados y el ángulo
comprendido.
Problema 18 Resolver un triángulo dado dos de sus ángulos y un lado.
Problema 19 Resolver un triángulo dado dos de sus lados y el ángulo
opuesto a uno de ellos.
Problema 20 Resolver un triángulo dado sus tres ángulos.
44
5. Aplicaciones de la Trigomometría
5.2 Aplicaciones a la geometría
Una de las primeras aplicaciones de la trigonometría fue a la geometría. En
esta sección estudiaremos algunos ejemplos de esta teoría.
5.2.1 Triángulo
Teorema 5.1 De los triángulos inscritos en un círculo de radio R el triángulo equilátero es el mayor perímetro y área.
Demostración: Si (A, B, C) son los ángulos de un triángulo su perímetro
esta dada por 2R(sen A + sen B + sen C), por lo que es suficiente encontrar el máximo de la función sen A + sen B + sen C. Si el triángulo no es
equilátero, podemos suponer que A = B, entonces:
A−B
A+B
cos
2
2
A+B
< 2 sen
2
A+B
A+B
= sen
+ sen
2
2
sen A + sen B
= 2 sen
A+B
y por lo tanto el triángulo isóceles de ángulos ( A+B
2 , 2 , C) tiene un
perímetro mayor.
El área del triángulo esta dada por Σ = 2R2 sen A sen B sen C, por lo
que es suficiente encontrar el máximo de la función sen A sen B sen C. De la
misma forma si el triángulo no es equilátero, podemos suponer que A = B,
entonces:
sen A sen B
cos(A + B) − cos(A − B)
2
cos(A + B) − 1
<
2
A+B
A+B
sen
= sen
2
2
=
A+B
y por lo tanto el triángulo isóceles de ángulos ( A+B
2 , 2 , C) tiene una
área mayor.
5.2 Aplicaciones a la geometría
45
En el triángulo △ABC se tienen las alturas AD, BE y CF que se cortan
en el ortocentro H.
C
E
H
D
A
F
B
el triángulo △DEF se llama el triángulo pedal del triángulo △ABC. De
la figura obtenemos el siguiente resultado:
Teorema 5.2 En el triángulo △DEF , de ángulos agudos, se tiene:
i) Las rectas AD, BE y CF son las bisectrices. Más aun
∡F DH = ∡HDE = 90o − A
ii) Los ángulos del triángulo △DEF son D = 180o − 2A, E = 180o − 2B
y F = 180o − 2C.
iii) Los lados del triángulo △DEF son d = a cos A = R sen 2A, e =
b cos B = R sen 2B y f = c cos C = R sen 2C.
iv) El área del triángulo △DEF es 21 R2 sen 2A sen 2B sen 2C.
v) El radio del círculo circuncrito del triángulo △DEF es R2 .
Demostración: Como el círculo de diametro HC pasa por D y E, se
tiene que ∡HED = ∡HCD = 90o −B; análogamente el círculo de diametro
AH pasa por D y F , se tiene que ∡HEF = ∡HAF = 90o − B y por lo
tanto se tiene i) y ii).
Se tiene que ∡ACB = ∡AF E porque ambos son complementarios del
ángulo ∡DF E, igualmente ∡ABC = ∡AEF y por lo tanto △ABC ∼
△AEF . Por lo tanto:
AE
EF
d
=
=
AB
BC
a
que junto con la ley de los senos nos da iii). El área del triángulo △DEF
es 12 ef sen(180o − 2A) = 12 R2 sen 2A sen 2B sen 2C. De la ley de los senos
d
vemos que el radio del círculo circuncrito del triángulo △DEF es 2 sen
D =
R sen 2A
R
=
.
o
2 sen(180 −2A)
2
cos A =
Teorema 5.3 (Euler) Sea △ABC un triángulo de circunradio R, inradio
r y distancia d entre el circuncentro e incentro, entonces:
1
1
1
+
=
R+d R−d
r
46
5. Aplicaciones de la Trigomometría
Demostración: Sean α = A2 y γ = C2 y D la otra intersección de la
recta CI con el circuncírculo. Entonces en el triángulo △ACI el ángulo
exterior ∡AID es igual a α + γ. También tenemos que ∡BAD = γ. Por lo
tanto el triángulo △AID es isósceles. Por lo tanto tenemos las igualdades:
IC
ID
r
sen γ
= AD = 2R sen γ
=
C
Y
I
B
A
D
por lo tanto la potencia del incentro I respecto al circuncírculo esta dada
por:
d2 − R2 = IC · ID = −2rR
que es equivalente a
1
1
1
+
=
R+d R−d
r
Teorema 5.4 En un triángulo △ABC se tiene las fórmulas:
i) La distancia del ortocentro H al circuncentro O esta dada por:
HO2 = R2 − 8R2 cos A cos B cos C
ii) La distancia del vertice A al incentro I esta dada por:
AI = 4R sen
B
C
sen
2
2
iii) La distancia del ortocentro H al incentro I esta dada por:
HI 2 = 2r2 − 4R2 cos A cos B cos C
5.2 Aplicaciones a la geometría
47
Demostración: Usando la ley de los cosenos, para el triángulo △AOH,
obtenemos:
C
E
H
O
A
D
B
F
N
HO2 = AO2 + AH 2 − 2AO · AH cos ∡HAO
ademas:
∡AHF
AO
AH
∡SAO
=
=
=
=
=
90o − ∡HAF = 90o − ∡DAB = B
R
AF csc B = b cos A csc B
2R sen B cos A csc B = 2R cos A
∡HAB − ∡OAB = (90o − B) − (90o − C) = C − B
por lo tanto obtenemos i) de la siguiente forma:
HO2
= R2 + 4R2 cos2 A − 4R2 cos A cos(C − B)
= R2 − 4R2 cos A(cos(B + C) + cos(C − B))
= R2 − 8R2 cos A cos B cos C
Usando el problema (3.12, p. 23), obtenemos:
C
E
H
I
A
F
D
B
48
5. Aplicaciones de la Trigomometría
sen
A
2
r
=
r
AI
A
2
A
B
C
= 4R sen sen sen
2
2
2
= AI sen
5.2.2 Problemas
Problema 1 En el triángulo △ABC con C > 90o con triángulo pedal
△DEF , se tiene:
i) Los ángulos del triángulo △DEF son D = 2A, E = 2B y F =
2C − 180o .
ii) Los lados del triángulo △DEF son d = a cos A = R sen 2A, e =
b cos B = R sen 2B y f = −c cos C = −R sen 2C.
Problema 2 En el triángulo △ABC se tiene que OH 2 = 9R2 −a2 −b2 −c2 .
Problema 3 En el triángulo △ABC con triángulo pedal △DEF , se tiene:
i) El semiperímetro de △DEF es 2R sen A sen B sen C.
ii) El radio del círculo inscrito de △DEF es 2R cos A cos B cos C.
iii) Los radios de los círculos excritos son: 2R cos A sen B sen C, 2R sen A cos B sen C
y 2R sen A sen B cos C.
Problema 4 Si ha , hb , hc son las alturas del triángulo, entonces
1
1
1
1
1
1
hc = r y ha + hb − hc = rc .
AP
PB
Problema 5 En la figura tenemos:
=
AC sen BCP
BC sen P CB
C
A
P
B
1
ha
+ h1b +
5.3 Aplicaciones a la topografía
49
Problema 6 (Steward) En la figura tenemos: pb2 = xc2 + ya2 + xyp
P
a
c
b
y
x
p
B
p
C
Problema 7 Si en problema 6 la recta AD es la bisectriz del ángulo ∡BAC
AB
entonces BD
DC = AC y si es la bisectriz exterior del ángulo ∡BAC entonces
BD
AB
DC = − AC . Además:
2
a
x2 = b · c 1 −
(b + c)2
Problema 8 Si en un triángulo △ABC las bisectrices de los águlos A y
B son iguales, entonces a = b.
Problema 9 Si en problema 6 BD = DC (esto es si AD es la mediana
2
2
2
del △ABC) entonces x2 = 2(b +c4 )−a .
5.3 Aplicaciones a la topografía
Sección no escrita.
50
5. Aplicaciones de la Trigomometría
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Appendix A
Medición
10n
106 = 10000
103 = 1000
102 = 100
101 = 10
100 = 1
10−1 = 0.1
10−2 = 0.01
10−3 = 0.001
Nombre
(M)-Miria
(K)-Kilos
(H)-Hecto
(D)-Deca
Unidad
(d)-deci
(c)-centi
(m)-mili
Unidades
(m)-metro lineal
(a)-área supeficie
(l)-litro volumen
(es)-Estereo volumen
(gr)-gramo peso
Decámetro2
decimetro3
metro3
centimetro3 de agua
Nota: El 20 de febrero 1896 la secretaría de Fomento (de México) publico Reglamento de unidades. En este reglamento se definió el decámetro
cuadrado como ara. Esto era conveniente ya que distinguía la unidad de la
clase de extensión.
Nota: Llamar estereo al metro cubico ya casi no se usa. Igual con el
miriámetro como un kilometro cuadrado.
A.0.1 Medidas de Longitud
1 vara: 0.838 metros.
1 vara: 3 pies.
1 pie: 12 pulgadas.
1 pulgada: 12 lines.
1 linea: 12 puntos.
52
Appendix A. Medición
Tenemos además:
1 vara: 4 cuartas
1 cuarta: 12 dedos
1 vara: 2 medias
1 media: 6 sesmas
1 legua: 5000 varas
A.0.2 Medidas de Area
Sitio de ganado mayor: Cuadrado de lado una legua.
Criadero de ganado mayor: Cuadrado de lado media legua. Igual a
un cuarto de sitio de ganado mayor.
Sitio de ganado menor: Cuadrado de lado dos tercios de legua.
Criadero de ganado menor: Cuadrado de un tercio de legua. Igual a
un cuarto de sitio de ganado menor.
Caballería: Un rectángulo de lados 1104 varas por 552 varas.
Fanega de sembladura de maiz: Un rectángulo de lados 276 varas
por 184 varas. Igual a 1/12 de Caballería.
A.0.3 Medidas de Peso
Libra: 460 gramos. Sus subdivisiones dependen del uso, como se ve en la
siguiente información:
A.0.4 Uso común:
Quintal: 100 libras.
Arroba: 25 libras.
Libra: 16 onzas. (9216 granos).
Onza: 16 adarmes.
Adarme: 3 tomines.
Tomin: 12 granos.
A.0.5 Para peso de la plata:
Libra: 2 marcos. (9216 granos).
Marco: 8 onzas.
Onza: 8 ochavas.
ochava: 6 tomines.
Tomin: 12 granos.
A.0.6 Para peso del oro:
Libra: 2 marcos. (9600 granos)
Appendix A. Medición
53
Marco: 50 castellanos.
Castellano: 8 tomines.
Tomin: 12 granos.
A.0.7 Para usos medicinales:
Libra: 16 onzas. (9216 granos)
Onza: 8 dracmas.
Dracma: 3 escrúpulos.
Escrúpulo: 24 granos.
A.0.8 Medidas de Volumen
Aparte de las varas cubicas y pies cubicos se usaban las siguientes medidas:
A.0.9 Para liquidos se usaba el cuartillo que contiene
0.991347 libras de agua (0.456264 litros).
Jarra: 18 cuartillos.
Barril: 9 jarras.
Nota: Para el aceite se usaba el cuartillo que contiene 1.099764 libras
de agua (0.506162 litros).
A.0.10 Para medir los "aridos" se usaba la fanega que es
igual a7200 pulgadas cúbicas.
A.0.11 Para medir granos se usaba:
Cuartillo: 150 pulgadas cúbicas.
Almudes: 4 cuatillos.
Cuartilla: 3 almudes.
Medias: 2 cuartillas.
Fanega: 2 medias, que es igual a7200 pulgadas cúbicas.
Carga: 2 fanegas.
A.0.12 Medidas de Mananteales y Mercedes de Agua
La medida básica era la paja que es igual a una libra de agua por minuto.
Real: 18 pajas.
Naranja: 8 reales.
Surco: 3 naranjas.
Buey: 48 surcos.
Nota: La paja que hemos definido es la ordenada por el Virrey Revillagigedo. El se basó en los esperimentos de Don Miguel Constasó en mayo
54
Appendix A. Medición
de 1792. Pero la ley del 2 de agosto de 1861 cambio a se igual a 0.45 de
litro por minuto.
A.0.13 Medidas de Monedas
Un franco de plata pesa 5 gramos, con 4.5 gramos de plata y 0.5 gramos
de cobre.
Un franco de oro pesa 5 gramos, con 4.5 gramos de oro y 0.5 gramos de
cobre.
Peso de plata que pesa 1/17 de libra, con 65/72 partes de plata y 7/72
partes de cobre.
Peso de oro que pesa 1/17 de libra, con 7/8 partes de plata y 1/8 partes
de cobre.
1 peso de plata = 5.431 francos de plata.
1 peso de oro = 5.100 francos de oro.
A.0.14 Las monedas de oro tenian las siguientes
denominaciones:
Escudo: 2 pesos.
Onza: 8 escudos.
Peso: 8 reales.
Real: 8 tlacos.
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References
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Teacher, 86, 161-163
[2] P Beckmann, A History of π (PI), St. Martin’S Press, 1974
[3] C. Velarde, Aproxición de Funciones Mediante Maquinas Digitales: El
Algoritmo Cordic, preprint, (1983)
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Math. Monthly, 90 (1984), 290-300
[5] H. S. Hall y S. R. Knight, Trigonometría Elemental, UTEHA, México
1981.
[6] R. S. Hatcher, Some Little-Know Recipes for π, Mathematics Teacher,
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[7] E. J. McShane, The Addition Formulas for the Sine and Cosine, Am.
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Am. Math. Monthly, 54 (1947), 220-221