Series alternadas - Matesup

Sesión
26
Series alternadas
Temas
Capacidades
X Series alternadas.
X Convergencia
cional.
absoluta
y
B Conocer y aplicar el criterio para estudiar series alternadas.
condi-
B Conocer y aplicar el teorema de la
convergencia absoluta.
B Aplicar los criterios de series positivas, para determinar convergencia
absoluta.
26.1
Introducción
Gottfried Leibniz
Alemán (1646 - 1716)
La mayorı́a de las series estudiadas hasta el momento han sido series de términos positivos. En
particular, los criterios tratados han sido condicionados para tales series.
En esta sesión se estudiarán series cuyos términos
son positivos y negativos.
Una clase de estas series son las series cuyos
términos alternan en signo. En 1705 Leibniz observó estas series y demostró que si se cumplen
ciertas condiciones, se garantiza que una serie alternada converge. Este teorema se llama criterio
de las series alternadas o criterio de Leibniz.
También se estudiará ciertas series de términos positivos y negativos, sin ser alternadas, y algunas condiciones que permiten estudiar su convergencia.
185
Sesión 26
26.2
Series alternadas
Series de términos positivos y negativos
Si en una serie el número de términos negativos es finito, el estudio de su comportamiento se puede realizar aplicando criterios de las series de términos positivos.
El problema está cuando una serie tiene infinitos términos positivos e infinitos términos
negativos.
Entre estas series se encuentran las llamadas series alternadas o series alternantes.
Por ejemplo, la serie:
+∞
X
(−1)n+1
n
n=1
=1−
1 1 1
(−1)n+1
+ − + ... +
+ ...
2 3 4
2n
es una serie alternada.
Un ejemplo de una serie de términos positivos y negativos, sin ser alternada es:
+∞
X
sin n
n=1
n2
=
sin 1 sin 2 sin 3
sin n
+
+
+ ... + 2 + ...
1
4
9
n
Para decidir si una serie de esta clase converge o nó, se estudiará la serie de los
valores absolutos de sus términos. Ciertos resultados permitirán ampliar el uso de los
criterios para series positivas, a otras series.
26.3
Definición de series alternadas
Una serie se dice alternada cuando sus términos son alternativamente positivos
y negativos (o negativos y positivos).
Es decir, si an > 0 para cada n ∈ N, entonces las series alternadas pueden ser de
las siguientes formas:
+∞
X
(−1)n+1 an = a1 − a2 + a3 − a4 + a5 − . . . + (−1)n+1 an + . . .
n=1
o
+∞
X
(−1)n an = −a1 + a2 − a3 + a4 − a5 + . . . + (−1)n an + . . .
n=1
Nota 26.1 Como el comportamiento de una serie no cambia si se modifica un número
finito de términos, esto ocurre también en P
una serie alternada.
Por ello, se puede decir
P
n
que una serie alternada es de la forma:
(−1) an o
(−1)n+1 an , siendo an > 0.
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Sesión 26
Series alternadas
También, se puede considerar series alternadas donde el ı́ndice toma un valor inicial
n = n0 .
Ejemplo 26.1 Las siguientes series son series alternadas:
a)
+∞
X
(−1)n
n=1
1 1 1
(−1)n
= − + − + ... +
+ ...
n+1
2 3 4
n+1
n X
+∞ +∞
X
1
1
1
1 1 1
b)
−
=
(−1)n n = 1 − + − + . . . + (−1)n n + . . .
2
2
2 4 8
2
n=0
n=1
c)
+∞
X
(−1)n+1
n=1
26.3.1
1
1
1
1
1
= 1 − + − + . . . + (−1)n+1 + . . .
n!
2! 3! 4!
n!
Criterio para series alternadas (Leibniz, 1704).
Teorema 26.1 Dada la serie alternada
Si se cumplen las condiciones:
P
(−1)n+1 an tal que an > 0.
• an ≥ an+1 para todo n, es decir si (an ) es decreciente, y
•
lim an = 0
n→+∞
P
entonces la serie alternada
(−1)n+1 an es convergente.
Demostración
P
Probar que la serie
(−1)n+1 an converge significa probar que la sucesión de sus
sumas parciales tiene lı́mite finito.
La n−ésima suma parcial es:
Sn = a1 − a2 + a3 − a4 + a5 − . . . (−1)n+1 an
Se estudiará la subsucesión de sumas parciales de ı́ndice par, y la subsucesión de
sumas parciales de ı́ndice impar.
a) Estudio de la subsucesión de sumas parciales de ı́ndice par.
a1) Expresar cada suma parcial de ı́ndice par en la forma:
S2 = a1 − a2
S4 = (a1 − a2 ) + (a3 − a4 )
..
.
S2n = (a1 − a2 ) + (a3 − a4 ) + (a5 − a6 ) + . . . + (a2n−1 − a2n )
..
.
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Series alternadas
Como la sucesión (an ) es decreciente:
ak − ak+1 ≥ 0,
para todo k
la subsucesión de sumas parciales:
S2 , S4 , . . . S2n , . . .
es creciente.
a2) Expresar cada suma parcial S2n en la forma:
S2n = a1 − (a2 − a3 ) − (a4 − a5 ) − . . . − (a2n−2 − a2n−1 ) − a2n
• Como ak − ak+1 ≥ 0, se obtiene que la subsucesión de sumas parciales:
S2 , S4 , . . . S2n , . . .
es acotada superiormente por a1 .
Luego, la subsucesión de sumas parciales:
S2 , S4 , . . . S2n , . . .
es creciente y acotada superiormente, por lo tanto es convergente. Luego, existe
L ∈ R, tal que lim S2n = L.
n→+∞
b) Estudio de la subsucesión de sumas parciales de ı́ndice impar.
Como:
S2n+1 = S2n + a2n+1
Luego,
lim S2n+1 = lim (S2n + a2n+1 ) = L
n→+∞
n→+∞
Estos significa que la subsucesión S2n+1 es convergente.
Luego, la sucesión
de sumas parciales Sn es convergente, lo que implica que, la serie
P
n+1
alternada
(−1) an es convergente.
Nota
26.2 Si se cumplen las condiciones del teorema anterior, entonces la serie
P
(−1)n an también es convergente.
Ejemplo 26.2 Estudiar el comportamiento de la serie
+∞
X
1
(−1)n+1 .
n
n=1
Solución
P+∞
n+1 1
La serie
es alternada, cuyo término general es: (−1)n+1 n1 . Para
n=1 (−1)
n
aplicar el criterio de las series alternadas, se debe estudiar la sucesión an = n1 , que es
una sucesión de términos positivos.
Estudio de la sucesión an :
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Series alternadas
• La sucesión an =
1
n
es decreciente, ya que
1
n
>
1
.
n+1
• lim an = lim n1 = 0
Por el criterio de las series alternadas, la serie
P+∞
n+1 1
n=1 (−1)
n
Gráfico de la sucesión de sumas parciales de
P+∞
Ejercicio 26.1 Estudiar el comportamiento de la serie
n=1 (−1)
+∞
X
Ejemplo 26.3 Determinar si la serie
n=1
n+1 1
n
(−1)n
n=2
+∞
X
converge.
1
.
ln n
n
converge.
(−2)n−1
Solución
Gráfico de la sucesión de sumas parciales de
Es claro que,
P+∞
n
n=1 (−2)n−1
=
Estudio de la sucesión an =
P+∞
n
n=1 (−2)n−1
P+∞
n−1 n
.
n=1 (−1)
2n−1
n
,
2n−1
para n ≥ 1.
n
• Para n ≥ 1: 2n−1
> n+1
, luego la sucesión an es decreciente (verificarlo) y
2n
todos sus términos son positivos.
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Series alternadas
• Usando la regla de L’Hopital:
lim
x
x→+∞
2x−1
= lim
1
x→+∞
2x−1 ln 2
= 0,
n
luego: lim an = lim 2n−1
= 0,
P
n
Por lo tanto, por el criterio de las series alternadas, la serie +∞
n=1 (−2)n−1 es convergente.
+∞
X
5n + 1
Ejemplo 26.4 Estudiar si la serie
(−1)n
es convergente.
4n − 1
n=1
Solución
• La serie es alternada, con an =
• lim an = lim 5n+1
=
4n−1
5n+1
4n−1
5
4
Luego, la sucesión an no cumple la segunda condición.
Por lo tanto, no se puede aplicar el criterio de las series alternadas para decidir si la
serie converge.
Ejercicio 26.2 ¿Se puede determinar el comportamiento de la serie dada en el ejemplo precedente, usando el criterio del término general?.
+∞
X
ln n
Ejemplo 26.5 Estudiar si la serie
(−1)n+1
es convergente.
n
n=2
Solución
Estudio de la sucesión an = lnnn .
• Usando la regla de L’Hopital se obtiene:
ln x
1 − ln x
si f (x) =
entonces f 0 (x) =
x
x2
0
Como f (x) < 0 para todo x > e, la función f (x) es decreciente para x > e.
Luego, (an ) es decreciente.
• lim lnnn = 0
Luego, serie es convergente.
Gráfico de la sucesión de sumas parciales de
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190
P+∞
n+1 ln n
n=2 (−1)
n
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Series alternadas
Ejercicio 26.3 Estudiar el comportamiento de cada serie:
a)
+∞
X
1
(−1)n
ln n
n=2
b)
+∞
X
3n + 2
(−1)n+1 2
4n − 3
n=2
c)
+∞
X
(−1)n
n=1
n
ln(2n)
Teorema 26.2 Estimación
de una serie alternante
P
Si la serie alternante
(−1)n+1 an satisface las condiciones del criterio de Leibniz
(luego, es convergente), y S ∗ y Sn denotan las suma de la serie y la suma parcial de
los n primeros términos de la serie, respectivamente, entonces
|Rn | = |S ∗ − Sn | ≤ an+1
26.4
Convergencia absoluta
Como se mencionó al comienzo de esta sesión, hay series con términos positivos y
negativos, que no son alternadas. Por ejemplo:
+∞
X
sin n
n=1
n2
=
sin 1 sin 2 sin 3
sin n
+
+
+ ... + 2 + ...
1
4
9
n
≈ 0.84 + 0.22 + 0.015 − 0.047 − 0.038 − 0.0077 + 0.013 + . . .
P+∞ sin n
¿Se puede obtener información de esta serie, estudiando la serie:
n=1 | n2 |?
P
Nota 26.3 Dada cualquier serie +∞
n=1 an , se puede considerar la serie correspondiente de valores absolutos
+∞
X
|an | = |a1 | + |a2 | + |a3 | + . . .
n=1
P
Si an > 0, entonces la serie
an es una serie de términos positivos.
El siguiente teorema da una respuesta a la pregunta anteriormente formulada.
P
P
Teorema
an . Si la serie
|an | es convergente, entonces la
P 26.3 Dada una serie
serie
an también es convergente.
Demostración
• Se tiene que:
0 ≤ an + |an | ≤ 2|an |
para todo n
X
• Aplicando el criterio de comparación con la serie
2|an |, la serie:
X
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(an + |an |)
es convergente
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Series alternadas
• Como: an = (an + |an |) − |an |, se tiene que:
X
X
X
an =
(an + |an |) −
|an |
• Luego, la serie
vergentes.
X
an converge, ya que ambas series del lado derecho son con-
Nota 26.4 El recı́proco del teorema anterior no se cumple. Por ejemplo, la serie
P+∞ (−1)n+1
es convergente, aplicando el criterio de las series alternadas, y la serie
n=1
nP
+∞ 1
armónica n=1 n es divergente.
Ejemplo 26.6 Determinar si la serie
+∞
X
sin n
n=1
n2
converge.
Solución
P
sin n
Se estudiará la serie de valores absolutos: +∞
n=1 | n2 |.
Como: | sin n| ≤ 1, para todo n ∈ N, luego:
sin n 1
n2 ≤ n2
P 1
Como la serie
es convergente
n2
P sin n (serie p, con p = 2 > 1), por el criterio de
comparación directa, la serie
| n2 | es convergente.
P
sin n
Luego, por el teorema de convergencia absoluta, la serie +∞
n=1 n2 es convergente.
Gráfico de la sucesión de sumas parciales de
26.5
P+∞
n=1
sin n
n2
Definición de convergencia absoluta
P
P
Una serie
an es absolutamente convergente, siempre y cuando, la serie
|an |
es convergente.
Observaciones
a) Del teorema de convergencia absoluta, se obtiene que: si una serie converge
absolutamente, entonces la serie converge.
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Series alternadas
P
b) El teorema de convergencia absoluta dice que, para determinar si una serie bn
de
P términos no nulos converge, se puede estudiar la serie de valores absolutos
|bn |, que es una serie de términos positivos, y su comportamiento se puede
estudiar usando los criterios para series de términos positivos.
P (−1)n
Ejemplo 26.7 La serie
es absolutamente convergente, ya que la serie
n3
P (−1)n P 1
3 =
es convergente.
n
n3
P (−1)n
Ejemplo 26.8 La serie
no es absolutamente convergente, ya que la serie
n
P (−1)n P 1
=
no es convergente.
n
n
26.6
Definición de convergencia condicional
P
Una serie
an es condicionalmente convergente, si y sólo si, la serie converge pero
no absolutamente.
X (−1)n
√
es una serie condicionalmente convergente.
n
En efecto. por el criterio nde lasPseries alternadas, la serie es convergente. La serie de
√ | =
√1 es divergente (serie p, con p = 1 ).
los valores absolutos | (−1)
2
n
n
Ejemplo 26.9 La serie
26.7
Autoevaluación
1) Determinar si las siguientes series alternadas son convergentes o divergentes.
∞
X
(−1)n−1
a)
(2n − 1)2
n=1
b)
∞
X
(−1)n+1
n=1
c)
2n
4n2 + 1
∞
X
(−1)n 8n+2
22n (n + 1)3
n=1
2) Dada la serie:
1
1
1
1
− √ + √ − √ + √ − ...
2 2 3 3 4 4 5 5
a) Verificar que es convergente.
b) Estimar el valor de su suma con sus primeros 10 términos.
c) Acotar el error cometido.
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Series alternadas
3) Determinar si la serie dada es condicionalmente convergente, absolutamente
convergente o divergente:
X (−1)n √n
a)
n+3
∞
X sin2 n
b)
n2
n=1
c)
∞
X
(−1)n+1 ln
√
n
2n
n=1
Respuestas:
1)
a) Convergente b) Convergente
2)
b) −0.2220768299
3)
a) Condicionalmente Convergente
c) Divergente
c) 0.02405626121
b) Absolutamente Convergente
c) Condicionalmente Convergente
26.8
Desafı́o
Se sabe que la serie
+∞
X
1
π2
es
convergente
y
que
su
suma
es
. Verificar que la
2
n
6
n=1
serie
+∞
X
(−1)n+1
n=1
n2
es convergente, y calcular su suma.
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