MODELOS DE VARIABLES LATENTES : ANALISIS FACTORIAL

MODELOS DE VARIABLES
LATENTES : ANALISIS
FACTORIAL
José Luis Vicente Villardón
Departamento de Estadística
Universidad de Salamanca
MODELOS DE VARIABLES LATENTES
INtTRODUCCION: EL PROBLEMA ESTADÍSTICO
Los métodos estadísticos basados en modelos de variables latentes juegan un
importante papel en el análisis de datos multivariantes. Se han desarrollado
para responder a necesidades prácticas en diversos campos de la ciencia pero,
especialmente, en psicología y en las ciencias sociales.
Los sondeos estadísticos a gran escala generan mucha más información de la
que puede ser asimilada por la persona que interpreta los resultados. Incluso
con las medidas de resumen clásicas como tablas de frecuencias, coeficientes de
correlación, etc… es difícil encontrar patrones en las interrelaciones entre las
variables , especialmente si el número es muy elevado.
Los
métodos
basados
en
variables
latentes
pretenden
reducir
la
dimensionalidad del conjunto de datos a dos o tres dimensiones manteniendo
la mayor parte de la información posible. Esto puede hacerse debido a que
muchas de las cuestiones planteadas en los sondeos o muchas de las variables
medidas en un estudio son, en realidad, aspectos de la misma característica
básica.
Por ejemplo, cuando preguntamos en un cuestionario de salud general ¿Ha
pensado de Ud. es una persona que no vale nada? y ¿Ha tenido el sentimiento
de que la vida no merece la pena vivirse?, se trata en realidad de preguntar por
pensamientos relacionados con la depresión desde distintos puntos de vista.
Comenzamos con una matriz de datos que contiene las observaciones para p
variables tomadas sobre n in individuos
 x 11
x
21
X=
 M

x n1
x 12
x 22
M
x n2
K x 1p 
K x 2P 

M 
K x np 
Las observaciones pueden ser variables medidas o códigos asignados a las
respuestas a cada pregunta.
El problema consiste en sustituir X por otra matriz con un número reducido de
columnas y que sea tan cercana a X como sea posible.
La segunda aproximación a los modelos de variables latentes es más teórica y
procede del ámbito de las ciencias sociales. La aproximación tiene que ver con
cantidades que se tratan como si fueran medibles pero para las que no existe un
instrumento de medida. Por ejemplo, oimos hablar de la calidad de vida, el
conservadurismo, o la inteligencia general e incluso hacemos afirmaciones
sobre su incremento o disminución y les asignamos valores numéricos, aunque
tales variables son solo hipotéticas y no son directamente medibles. El problema
del estadístico es desarrollar un marco teórico en el que pueda hacerse esto. En
la práctica se elige un conjunto de indicadores que pueden medirse y entonces
se trata de extraer lo que es común a todos ellos.
En cualquiera de los dos casos llegamos al mismo punto, el número de variables
tiene que resumirse. La terminología usual para lo que hemos llamado variables
hipotéticas o factores es la de variables latentes o factores. En la práctica existen
dos formas de entender las variables latentes, una realista, en la que las
variables latentes son consideradas como cantidades reales, definidas
teóricamente antes de los indicadores, que incluso podrían ser medibles y para
las que construimos una cantidad cercana a partir de los indicadores, y una
instrumentalista en la que las variables latentes se obtienen después de los
indicadores, como resultado de la medida de los mismos.
Una buena parte del debate filosófico actual en lo que se refiere a modelos de
variables latentes se centra en lo que en la literatura anglosajona se denomina
“reification”, que consiste en la discusión de si las variables latentes son reales
en el sentido que los son, por ejemplo, la talla o el peso.
La utilidad y la validez de los métodos que trataremos a continuación no
depende de si se utiliza la visión realista o la instrumentalista, en cualquiera de
los dos casos es posible utilizar los métodos para predicción o para establecer
relaciones como si estuviéramos tratando con cantidades reales.
Los métodos que se incluyen en este apartado son los relacionados con el
análisis factorial en sus distintas versiones, el análisis de clases latentes, el
análisis de la estructura latente y el estudio de mezclas de distribuciones.
Las variables que pueden observarse directamente se conocen como variables
manifiestas y serán denotadas con X. Una colección de p variables manifiestas
se distinguirá mediante subíndices y se escribirá como vector columna
X = (X1 , X 2 ,K, X p )'
Denotaremos la observación de un individuo h sobre una variable Xi se
denotará con xhi, y xh será el vector para todas las variables sobre el individuo.
Las variables latentes se denotarán con F (U en algunos casos) y su número será
q.
Para el restos clasificaremos el nivel de medida de las variables en métrico y
categórico (no métrico). Serán métricas aquellas que toman valores en el
conjunto de los números reales y pueden ser discretas o continuas. Las
categóricas asignan a los individuos a un cierto número de categorías, y pueden
ser ordenadas o no.
Las técnicas relacionadas con variables latentes pueden clasificarse como se
muestra en la tabla siguiente.
Variables Manifiestas
Métricas
Métricas
Categóricas
Análisis Factorial
Análisis de la estructura
latente
Variables
Análisis Factorial de
datos categóricos
Latentes
Categóricas
Análisis de perfiles
latentes
An. De clases latentes.
El propósito general es explicar las relaciones entre las variables manifiestas a
través de un conjunto de variables latentes de forma que, dadas éstas las otras
sean independientes. Desde un punto de vista más intuitivo se trata de extraer
que es lo que tienen en común las variables manifiestas y resumirlo en un
conjunto reducido de variables latentes.
ANALISIS FACTORIAL
Método del Análisis Multivariante que intenta explicar las
relaciones entre un conjunto de variables observables mediante un
número reducido de variables hipotéticas
MODELO FACTORIAL LINEAL: Sean X1, …, X2
variables aleatorias
observables sobre una población. Se trata de encontrar p+q nuevas variables
denominadas factores, F1, …, Fq, U1, …, Up, tales que
X 1 = a11 F1 + a12 F2 + Ka1q Fq + d1U1
X 2 = a21 F1 + a22 F2 + Ka2qFq + d2U 2
KKKKKKKKKKKKKKKK
X p = ap1F1 + ap2 F2 +Ka pq Fq + dpU p
con
F1 ,K,Fq ≡ Factores Comunes
U1 ,K,U p ≡ Factores Unicos
En el modelo factorial lineal suponemos:
-
q<p (queremos explicar las variables observadas con un número reducido
de variables hipotéticas – factores)
-
Los q+p factores son variables incorreladas.
SATURACIONES, COMUNALIDAD Y UNICIDAD
Suponemos que los factores y las variables observadas están centrados y
estandarizados (reducidos)
E[X i ] = E[ Fj ] = E[ Ui ] = 0
Var[X i ] = Var[ Fj ] = Var[U i ] = 1
i = 1,K,p; j = 1,K,q
A los coeficientes a ij se les denomina saturaciones de la variable Xi en el factor
F j.
Como las variables y los factores están reducidos
2
2
2
Var(Xi ) = ai1Var(F1 ) + K + aiq Var(Fq ) + di Var(Ui )
de donde
2
2
2
1 = ai1 + K + aiq + di
2
de aquí se deduce que aij es la contribución del Factor Fj a la variabilidad total
2
de la variable Xi, mientras que di , es la contribución del factor único y se
denomina unicidad.
A la suma de las contribuciones de todos los factores comunes
2
hi2 = ai1
+K + aiq2
se la denomina comunalidad, de forma que la variabilidad de una variable
cualquiera es la suma de su comunalidad más su unicidad
1 = hi2 + di2 ,
i = 1,K, p
El modelo factorial lineal puede expresarse en notación matricial como
X = AF + DU
X = (X 1 ,K, X p ) ′ ; F = (F1 ,K, Fq ); U = (U 1 ,K, U p )′
A = (a ij ); D = diag(di )
EJEMPLOS TIPICOS EN LOS QUE SE UTILIZA ANALISIS FACTORIAL
-
Las diferentes asignaturas que componen la enseñanza media se dividen en
ciancias y letras.
-
Ciertos síntomas clínicos propios de los enfermos mentales se clasifican en
síntomas de tipo neurótico y síntomas de tipo psicótico.
-
El estudio de los conflictos internos de las naciones descubre la existencia de
tres factores: Agitación, revolución y subversión.
-
La estructura de la personalidad medida a través de los diferentes items de
un test, está dominada por dos dimensiones: Factor neuroticismoestabilidad y factor introversión-extroversión.
-
Los items de un test de inteligencia se pueden agrupar en varios factores
que miden capacidades verbales, numéricas, espaciales, etc
EJEMPLO PREVIO
Los datos siguientes corresponden a 8 alumos en las asignaturas de
Matemáticas, Ciencias Naturales, Francés y Latín.
Alumno
1
2
3
4
5
6
7
8
Matem.
9
10
3
9
7
5
5
4
C. Nat.
8
9
5
9
6
5
5
4
Francés
6
10
9
8
3
5
7
3
Latín
7
10
8
8
5
5
6
4
Es bien conocida la división clásica de las asignaturas de la enseñanza media en
asignaturas de Ciencias y asignaturas de Letras. En lineas generales, las
primeras se caracterizan por un factor racional y empírico, mientras que las
segundas tienen un significado más especulativo, siendo la memoria una de sus
características más importantes. Cada una de las asignaturas tendrá un poco de
ambas componentes, aunque será mayoritariamente de uno de los dos grupos.
Por ejemplo, las Ciencias Naturales son consideradas de Ciencias pero es
indudable que también tienen una importane componente de memoria.
Además, cada asignatura tendrá tambien un componente propio, más alla de lo
que tengan de Ciencias o Letras.
Estructura de correlaciones entre las variables
Correlation Matrix
matemáticas
C. Naturales
Francés
Latín
1,000
,943
,302
,560
C. Naturales
,943
1,000
,544
,758
Francés
,302
,544
1,000
,934
Latín
,560
,758
,934
1,000
matemáticas
Observese como las asignaturas consideradas de Ciencias están altamente
correlacionadas entre si y lo mismo ocurre con las asignaturas de letras. Las
correlaciones entre los dos grupos son más bajas, aunque todavía de una
magnitud importante, esto se debe a que los alumnos buenos suelen serlo en
todas las asignaturas aunque tengan preferencias por uno de los dos grupos,
ésto se muestra también en el hecho de que las correlaciones son todas
positivas.
Trataremos, entonces de resumir la información de las cuatro variables en sólo
dos factores, que esperamos que se correspondan con Ciencias y Letras.
Téngase en cuenta que los factores están definidos en teoría sólo a priori, y que
el procedimiento de análisis puede no detectarlos.
La variabilidad recogida por los distintos factores (2) se muestra en la tabla
siguiente
Eigenvalues
Magnitude
Variance Prop.
Value 1
3,016
,754
Value 2
,891
,223
Es decir, con sólo dos factores recogemos el 97,7% de la variabilidadtotal.
Supongamos que las saturaciones (correlaciones) de las asignaturas con cada
uno de los dos factores son las siguientes, después de haber aplicado una
solución para el problema planteado en Análisis Factorial.
Matriz Factorial
Orthogonal Solution
Factor 1
Factor 2
matemáticas
,974
,158
C. Naturales
,901
,416
Francés
,154
,971
Latín
,429
,894
La solución obtenida muestra claramente los dos factores teóricos (Ciencias y
letras) y como cabía esperar de los principios de la teoría relacionada con el
problema, las Ciencias Naturales tienen, además de su parte de Ciencias, una
componente clara relacionada con las Letras debida a la componente
memorística de la asignatura. Lo mismo ocurre con el latín en relación a la
componente de azonamiento.
Las contribuciones, comunalidades y unicidades son
Matemáticas
C. naturales
Francés
Latín
Contribuciones
Factor 1 Factor 2 Comunalidad Unicidad
,949
,025
,974
,026
,812
,173
,985
,015
,024
,943
,967
,033
,184
,799
,983
,017
Los dos factores explican prácticamente el 100% (Alrededor del 97-98%) de la
variabilidad en la nota de las 4 asignaturas. Las unicidades, en torno al 2-3%
muestran que, en los datos del ejemplo, la parte propia de cada una es muy
pequeña.
Podríamos calcular, entonces, puntuaciones para los alumnos en las dos
materias generales. La puntuaciones que se muestran están escalasdas para que
tengan media cero y varianza 1, y se han calculado con las variables escaladas
de la misma forma.
Alumno
1
2
3
4
5
6
7
8
Matem.
,95
1,34
-1,34
,95
,19
-,57
-,57
-,95
C. Nat.
,81
1,32
-,69
1,32
-,19
-,69
-,69
-1,19
Francés
-,14
1,39
1,00
,62
-1,29
-,53
,24
-1,29
Latín
,19
1,69
,69
,69
-,81
-,81
-,31
-1,32
Ciencias
1,11
,80
-1,73
1,09
,59
-,43
-,80
-,63
Letras
-,46
1,20
1,68
,20
-1,30
-,52
,25
-1,04
Las puntuaciones sobre los ejes factoriales nos permiten la representación de los
individuos en dos dimensiones para estudiar las similitudes entre ellos con
respecto a los dos factores considerados.
Búsqueda de la Matriz Factorial:
Métodos de extracción de factores.
LA MATRIZ DE CORRELACIONES REDUCIDA
A partir de la expresión matricial de del modelo factorial
X = AF + DU
X = (X 1 ,K, X p ) ′ ; F = (F1 ,K, Fq ); U = (U 1 ,K, U p )′
A = (a ij ); D = diag(di )
podemos expresar la matriz de correlaciones entre las variables observadas
como
R = AA ′ + D 2
La diagonal de R* = AA ′ contiene la comunalidades y las correlaciones entre
2
las variables observadas fuera de la diagonal y D es una matriz diagonal que
contiene las unicidades.
A la matriz AA ′ , es decir, la matriz de correlaciones en la que los unos de la
diagonal se sustituyen por las comunalidades se la denomina “matriz de
correlaciones reducida”.
El problema factorial se reduce, pues, a descomponer una matriz de
correlaciones en otra factorial A de forma que el producto de ella por su
traspuesta reproduzca la matriz de correlaciones reducida.
Si la matriz de correlaciones fuera conocida a priori, la solución sería sencilla,
basata con calcular los valores y vectores propios de la misma.
R* = VΛV'
y tomar
A = VΛ1/2 '
El problema consiste en que las comunalidades dependen de las saturaciones y
éstas solo son conocidas después de la estimación.
METODO DE LAS COMPONENTES PRINCIPALES
Método de estimación de la matriz factorial a partir del modelo que considera
sólo los factores comunes y prescinde de los factores únicos.
Calcula los valores y vectores propios directamente de la matriz de
correlaciones de las variables originales sin utilizar las comunalidades en la
diagonal. El método de las componentes principales fue estudiado como técnica
descriptiva (geométrica) para la reducción de la dimensión y puede
considerarse tambien como una solución para el problema factorial.
METODO DEL FACTOR PRINCIPAL (ITERATIVO)
Básicamente consiste en la diagonalización de la matriz de correlaciones
reducida utilizando distintas formas para estimar la comunalidad a priori y
siguiendo un proceso iterativo en el que en cada paso se reestiman las
comunalidades.
El proceso sería:
Paso 1: Calcular la matriz de correlaciones y sustituir la diagonal por un
estimador de la comunalidad
Paso 2: Diagonalizar la matriz de correlaciones educida obtenida en el paso 1
para obtener la matriz factorial
Paso 3: Recalcular las comunalidades a partir de la matriz factorial.
Paso 4: Comparar as comunalidades antes y despueés de la diagonalización. Si
la diferencia es lo suficientemente pequeña, terminar el proceso y sino, volver al
paso 1 con las nuevas comunalidades calculadas.
Las estimaciones de la comunalidad habitualmente utilizadas en la primera
iteración son las siguientes:
• SMC: (Square Múltiple Correlation)
Las comunalidades se estiman a partir del cuadrado del
coeficiente de correlación múltiple de la variable con todas las
demás.
• OFF-DIAGONAL: utiliza el coeficiente de correlación más grande
de cada variable con todas las demás.
• 1 : utiliza el valor uno como estimación inicial
para las comunalidades.
¿CUÁNTOS EJES DEBEMOS RETENER?
•
VALORES PROPIOS MAYORES QUE UNO
El número de factores estará determinado por el número de valores propios
mayores que uno.
•
REGLA DEL 75% DE LA VARIANZA
El número de factores esta determinado por la absorción de inercia. Se tomarán
tantos valores propios como sean necesarios para conseguir un 75% de inercia
absorbida.
•
REGLA DEL CODO (CATTELL (1966) ;CATTELL & JESPERS (1967)).
SCREE PLOT
El procedimiento del scree plot de Cattell consiste en representar gráficamente
los valores propios en orden descendente y dibujar una recta a través de las
componentes con los valores propios más bajos. Se retienen las componentes que se
corresponden con los autovalores que quedan por encima de la línea.
• ESPECIFICACION DEL USUARIO
Es posible especificar personalmente el número de factores. Usualmente no será
mayor que el número de variables dividido por dos. En el caso en que se
sobrestime éste valor, el nº será ajustado por el ordenador.
INTERPRETACIÓN DE LOS EJES FACTORIALES.
Se analizan las saturaciones (en valor absoluto). Aquellas variables que
presentan altas saturaciones son las que tiene mayor importancia en la
interpretación del eje.
Las más interesantes suelen ser las que presentan altas saturaciones para ese eje
y bajas para los demás.
Las saturacionas se suelen colocar sobre un diagrama que permite la
interpretación factorial de las mismas.
ROTACIÓN
Los ejes factoriales se rotan para mejorar la interpretabilidad, de forma que
aumenten unas saturaciones y disminuyan otras. Se mantiene la solución
general paro cambian los factores individuales para que sean más
interpretables.
Hay dos tipos de rotaciones:
•
ORTOGONALES: Los nuevos factores siguen siendo incorrelados
(ortogonales).
ROTACIÓN VARIMAX (KAISER, 1958)
Transforma la matriz factorial hasta conseguir la solución que verifique
que la suma de las simplicidades de los factores sea máxima.
Simplicidad = varianza de los cuadrados de las saturaciones
Rota los factores forzando a que unas saturaciones se aproximen más a
uno y las otras a cero, para facilitar así su interpretación.
ROTACIÓN QUARTIMAX (CARROL, 1953)
Halla la matriz factorial transformada de modo que la curtosis de los
cuadrados de las saturaciones sea máxima.
La mayor parte de la varianza es absorbida por el primer factor.
Generalmente los otros ejes no tienen una estructura sencilla.
•
OBLICUOS: No se respeta la ortogonalidad.
ROTACION EQUAMAX (SAUNDER, 1962)
La varianza se reparte por igual entre todos los factores.
LA ESTRUCTURA SIMPLE
NECESIDAD DE LA ROTACION
El rpincipal objeto del Análisis Factorial es el de sugerir y comprobar hipótesis
científicas
El problema consiste en comparar los factores hallados con los factores
previstos
Una misma matriz de correlaciones piede ser factorizada de infinitas formas
Si R = AA ′ es una factorización válida, tambien lo es
R = AT ′ TA ′
con
T ′T = I
donde T es una matriz ortogonal que define una rotación del espacio.
La solución obtenida del procedimiento de factorización responde sólo a un
criterio matemático pero es arbitraria desde el punto de vista aplicado.
El problema es
¿Cuál es la posición de los ejes que tiene un mayor interés científico?
¿Hay alguna posición que pueda considerarse como especialmente
relevante?
¿Cómo giramos los ejes a esa posición?
EL PRINCIPIO DE LA ESTRUCTURA SIMPLE
a) La configuración simple
Podemos ver la estructura factorial (la matriz factorial) como puntos en un
espacio multidimensional con dimensión igual al número de factores y en el
que cada variable está representada por un vector cuya longitud es igual a la
raíz cuadrada de la comunalidad.
Eje II
V3
V5
V6
Eje I
V2
V1
V4
Esperamos que cada una de las variables eté relacionada con unos pocos
factores y no relacionada con el resto. Por ejemplo, si la variable está
relacionada con un solo factor, será colineal al eje correspondiente en la
representación, si etá relacionada con 2, estará en el plano definido por los
mismos, etc…
Una configuración en la que todos los vectores estén en rectas, planos o
hiperplanos de menor dmensión se denomina una configuración simple.
Una definición más rigurosa: Se dice que p vectores, en un espacio de q
dimensiones, forman una configuración simple cuando todos están
comprendidos en q hiperplanos de dimensión q-1. (algunos pueden estar an las
intersecciones y en los subespacios de menores dimensiones).
b) La estructura simple
Una vez obtenida una solución factorial la pregunta es
¿Cuál es la estructura que mejor refleja las características de la configuración? Ó
lo que es lo mismo ¿Dónde situamos los ejes de coordenadas para recoger la
configuración simple?
Los ejes sirven para interpretar un factor y el factor se interpreta a través de las
proyecciones , luego el eje debe situarse en la posición más conveniente para la
interpretación, tratando de reflejar en lo posible la configuración simple.
Llamaremos estructura (factorial) simple a aquella que refleja una configuración
simple.
c) Propiedades de la estructura simple
La estructura simple permite una mayor sencillez en la interpretación de los
factores ya que, estos están fuertementemente relacionados con unas variables y
escasamente relacionados con el resto.
Resumen de las propiedades
- Cada una de las columnas de la matriz factorial tiene varios elementos
prácticamente nulos.
- Cada fila tendrá uno o más ceros.
- Para cada par de columnas habrá pocos elementos no nulos en ambas.
LA ESTRUCTURA SIMPLE COMO HIPOTESIS DE TRABAJO
Generalmente, en la investigación aplicada, la hipótesis de trabajo inicial es que
la información que proporcionan un conjunto elevado de variables manifiestas
puede resumirse en unos cuantos factores hipotéticos claramente definidos y
que contienen información no relacionada, es decir que muestran aspectos
independientes (linealmente) del mismo problema. Esto se traduce, desde el
punto de vista de lo explicado antes en una estructura simple para el problema.
Si partimos de la hipótesis de que en nuestro problema tenemos una estructura
simple, y la hipótesis es cierta, podremos girar los ejes hasta la posición que
recoge dicha estructura.
Incluso en el caso de que en nuestro campo no esté bien desarrollado el
problema a estudiar (no tengamos una idea previa de cómo deben ser los
factores), podemos guiarnos por el principio de la estructura simple ya que, si
ésta existe, probablemente la encontraremos en el análisis.
LA ROTACION
El método para encontrar la estrucra simple consiste simplemente en rotar el
espacio de los factores hasta conseguir la mayor “simplicidad” posible.
Supongamos que tenemos la siguiente estructura factorial:
Si hubiera una estrucra factorial simple, los vectores estarían en dos rectas, (a y
B). No hay estructura simple, tampoco la hay en la mayor parte de las
aplicaciones, pero es posible rotar para obtener una estructura mucho más
simple que la actual
(Eje II)
B (Eje II)
V5
B
V5
V3
V6
V3
V6
V1
(Eje I)
V2
V1
V2
V4
A (EJE I)
V4
A
Ahora se ha conseguido que, al menos algunas de las proyecciones sean cero en
algunos de los ejes.
Con un ejemplo numérico
A
1
2
3
4
5
6
I
0,81
0,78
0,35
0,70
0,45
0,64
T
x
II
0,00
-0,44
0,61
-0,40
0,78
0,32
I
II
=
A
0,87
-0,50
A*
B
0,50
0,87
1
2
3
4
5
6
A
0,7
0,9
0,00
0,81
0,00
0,4
B
0,40
0,01
0,71
0,00
0,90
0,60
La segunda de las soluciones es mucho más clara ya que, se ha conseguido que
los coeficientes sean muy altos para algunas de las variables y muy bajos en
otras con lo que se mejora la interpretabilidad.
En algunos casos la estructura simple no se consigue con una rotación
ortogonal, De forma que para obtenerla es necesario tomar ejes relacionados.
(Eje II)
V5
V3
B
V6
(Eje I)
V2
V1
V4
A
En este caso obtendríamos una roración oblicua por lo que tedríamos que
añadir, además la correlación entre los ejes ya que éstos están relacionados.
OBTENCION DE LAS PUNTUACIONES DE LOS INDIVIDUOS
Las puntuaciones de los individuos en un análisis factorial pueden utilizarse
para realizar una reprresentación gráfica de la misma manera que hacíamos en
Componentes Principales.
Método basado en los autovectores.
Cuando la matriz factorial se calcula a partir de un conjunto de vectores propios
el cálculo de las puntuaciones es simple ya que se trata de una simple
proyección como en las CP
Si llamamos F a la matriz de puntuaciones
F = Λ−1 A ′ X
y para los factores rotados, si las puntuaciones están en G
G = T ′F
donde T es la matriz de rotación.
Método basado en regresiones
Queremos poner los factores en función de las variables
F = BX
de donde obtenemos
FX ′( X ′X ) −1 = B
B = A' R −1X
si los factores son incorrelados.
COMPARACION DEL ANALISIS FACTORIAL
CON EL ANALISIS DE COMPONENTES
PRINCIPALES
Análisis Factorial
Explica correlaciones
Trata de explicar las variables
observadas en función de unos
cuantos factores hipotéticos
Los factores son incorrelados solo
dentro del espacio de los factores
comunes
Los residuales son incorrelados (en
teoría)
Hay varios procedimientos de
estimación.
Hay varias soluciones.
Añadir un nuevo factor puede
cambiar los anteriores
Componentes Principales
Explica variabilidad
Proyecta las observaciones en un
espacio de dimensión reducida con
pérdida de información mínima
Las componentes principales son
incorreladas incondicionalmente
Los residuales están normalmente
correlacionados
Un único procedimiento de
estimación.
La solución es única.
Añadir una nueva componente
principal no cambia a las
anteriores.
Algunas soluciones son invariantes La solución cambia con los
con respecto a los cambios de
cambios de escala
escala
En algunos modelos es difícil
No hay que estimar comunalidades
estimar las comunalidades
En algunos modelos complejos los Los cálculos son bastante simples.
cálculos son problemáticos