5. Perímetro, área y volumen

5.
Perímetro,
área y volumen
Matemáticas 4º ESO Opción B
128
1.
Modelos lineales,
cuadráticos y cúbicos
2.
Ecuaciones de segundo
grado
3.
Hipérbolas, funciones raíz y
funciones inversas
Perímetro, área y volumen
1. Modelos lineales, cuadráticos y cúbicos

DIAGONAL DEL CUBO
a) El lado de un cuadrado mide x metros. ¿Cuánto medirá la diagonal?.
b) El lado de un cubo mide x metros. ¿Cuánto medirá la diagonal?.
c) Si aumentamos la arista de un cubo, ¿qué aumenta más, la diagonal de una cara o la diagonal
del cubo?.
d) Haz una gráfica que muestre en unos mismos ejes la evolución de la diagonal de la cara y la
diagonal del cubo.
e) Busca fórmulas que expresen: 1) la diagonal del cuadrado en función de x; 2) la diagonal del cubo
en función de x.

RECTÁNGULO
En el rectángulo ABCD se considera MB=x.
a) Expresa el área de AMCD en función de x.
b) ¿Para qué valor de x el área AMCD es 3 4 del área de ABCD?. Representa la figura anterior
para este valor de x y comprueba tus cálculos sobre el dibujo.
129
Matemáticas 4º ESO Opción B

TRAPECIO
El trapecio rectángulo ABCD tiene dimensiones: AB=6, BC=4 y CD=9.
M es el punto de CD tal que CM=x.
a) Calcula la función f(x) que da el área del triángulo ADM en función de x.
b) Calcula la función g(x) que da el área del trapecio ABCM en función de x.
c) ¿Para qué valor de x las dos áreas son iguales?. ¿Cuál es, entonces, el valor del área?.
d) Calcula f(9) y g(9). ¿Qué representan geométricamente estos números?.
e) Calcula la expresión de f(x) + g(x) e interpreta geométricamente este resultado.

TRIÁNGULO
En el triángulo ABC se considera AP=x.
a) ¿Qué valores puede tomar x?.
b) Utiliza el teorema de Tales para expresar PQ en función de x. Representa gráficamente dicha
función.
c) Expresa la longitud L del camino PQR en función de x y representa gráficamente la función L(x).
d) ¿Qué valor de x hace que el camino PQR sea el más corto posible?. ¿Y el más largo?.
130
Perímetro, área y volumen

TRIÁNGULOS EQUILÁTEROS
Dibuja un triángulo equilátero de lado 10 cm y traza una recta paralela a uno de los lados; se obtiene,
así, un nuevo triángulo.
Desplazando la recta, manteniéndola siempre paralela al lado elegido, se puede obtener otros
triángulos. Estudia estos triángulos.
a) Construye tablas que expresen, respectivamente, el lado, la altura, el perímetro y el área de cada
uno de los triángulos obtenidos. ¿Cómo debes elegir la variable?.
b) Representa gráficamente las tablas anteriores, indicando en el eje horizontal la variable elegida y
en el eje vertical la magnitud correspondiente (lado, altura, perímetro, área).
c) Busca fórmulas que expresen el lado, la altura, el perímetro y el área de los triángulos obtenidos,
en función de la variable elegida.
d) ¿Entre qué valores puede variar la variable que has elegido?. ¿Qué ocurre cuando toma el valor
0?. ¿Y cuando toma el valor máximo?. Si se toma un valor concreto de la variable, ¿qué
información proporciona del triángulo correspondiente?.
El dominio (o campo de existencia) de una función es el conjunto de valores que puede
tomar la variable en el contexto del problema y para los que la función está definida y, por
tanto, tiene gráfica.
e) ¿Cuál es el dominio de cada una de las funciones que has obtenido anteriormente?.
f)
Analiza y compara las gráficas obtenidas. ¿Cuáles son crecientes?. ¿Cuáles decrecientes?.
¿Depende esto de la elección de la variable independiente?. El crecimiento ¿es igual de rápido
en todas las gráficas?. ¿Cuándo se alcanza el valor máximo?. ¿Hay simetría entre algunas de las
gráficas obtenidas?. Si superponemos dos gráficas, ¿qué significa el punto de corte?.
g) ¿Qué recta divide al triángulo inicial en dos zonas de igual área?.
131
Matemáticas 4º ESO Opción B

PERÍMETRO CONSTANTE
Toma una cuerda, mide sobre ella 40 cm y átala de manera que tenga un anillo de 40 cm de longitud.
Sobre una trama de centímetros cuadrados, ve construyendo con esa cuerda rectángulos de distinta
base.
10
12
8
10
Todos ellos tendrán el mismo perímetro, pero veamos lo que ocurre con la altura y con el área al ir
variando la base. Para ello, construye la siguiente tabla:
BASE (cm)
1
2
3
4
5
... ... ... ...
20
ALTURA (cm)
2
ÁREA (cm )
Con los datos de la tabla adjunta dibuja una gráfica base – altura y otra gráfica base – área.
132
Perímetro, área y volumen
a) ¿Puede haber un rectángulo en el que uno de los lados mida 2’5 cm?. ¿Y 14’75 cm?. ¿Y 20’25
cm?. ¿Qué necesitas decidir para construir el rectángulo?.
b) Busca una fórmula que exprese la altura de cada rectángulo en función de la base.
c) Busca una fórmula que exprese el área de cada rectángulo en función de la base.
d) Podemos darle a la base el valor 0’5, y también 0’1, y 0’01, ... ¿Le podemos dar el valor 0?. ¿Cuál
es el dominio de la función base – altura?. ¿Y el de la función base – área?.
El conjunto de valores que toma una función, correspondientes a cada uno de los valores
del dominio, se llama imagen (o recorrido) de la función.
e) ¿Cuál es el conjunto imagen de las funciones base – altura y base – área?.
f)
¿Cómo es la gráfica de la función base – altura?. ¿Creciente o decreciente?. Al aumentar el valor
de la base, no siempre aumenta el área. ¿Cuándo sí ocurre y cuándo no?.
g) ¿Cuál es el rectángulo que tiene mayor área?. ¿Y el de menor área?.

CUADRADOS
Utilizando una trama de cuadrados, completa la siguiente tabla:
LADO DEL CUADRADO (cm)
1
2
3
4
5
... ... ... ...
2
ÁREA DEL CUADRADO (cm )
a) Dibuja la gráfica en unos ejes cartesianos.
b) ¿Se duplica el área al duplicar el lado?.
c) Si el lado se hace el triple, ¿el área se triplica?.

PARÁBOLAS
Dibuja la gráfica de la función y  x 2 , construyendo previamente una tabla de valores. Recuerda que
la variable x puede tomar tanto valores positivos, cero, como negativos.
a) Estudia el perfil obtenido. ¿Para qué valores de x es creciente?. ¿Y decreciente?. ¿Tiene
máximo?. ¿Tiene mínimo?. ¿Podrías obtener toda la gráfica con sólo tener media parte?.
¿Cómo?.
133
Matemáticas 4º ESO Opción B
La gráfica de la función y  x 2 es una curva llamada parábola y tiene las siguientes
propiedades:

Es simétrica respecto del eje de ordenadas (eje OY), es decir, al doblar el papel por
dicho eje coinciden las dos ramas de la curva. Esto significa que al cambiar x por x en
la fórmula de la función, la y no cambia. Se dice que la función es par.
 El punto más bajo (origen de coordenadas) es el vértice de la parábola. A la izquierda del
vértice la función es decreciente, y a la derecha creciente.
b) Utilizando cartulina resistente construye una plantilla con el perfil de la gráfica anterior y usa dicha
plantilla para dibujar las gráficas de las siguientes parábolas:
1) y  x 2  3
4) y  x  3
3) y  x  4
2) y  x 2  4
5) y  x  4  3
2
2
2
6) y  x  3  2
2
Para ello te servirá de ayuda comparar las tablas de valores de estas funciones con la de y  x 2 .
c) Utiliza la plantilla de y  x 2 para dibujar las siguientes parábolas:
1) y   x 2
5) y  x  3
2) y  x 2  3
2
4) y  x  4
3) y  x 2  4
6) y  x  4  3
2
2
7) y  x  3  2
2
d) Dibuja en unos mismos ejes de coordenadas las gráficas de las siguientes funciones:
y  x 2 , y  2x 2 , y  0'5x2 . ¿Puedes utilizar ahora la plantilla de y  x 2 ?. ¿Qué relación existe
entre las tres gráficas?.
La gráfica de cualquier función de segundo grado del tipo y  a  x  p   q es una
parábola cuyo vértice es el punto de coordenadas V(p, q) y es simétrica respecto de la
vertical que pasa por el vértice. El vértice de la parábola es un mínimo si a>0 y es un
máximo si a<0.
2
La gráfica de la función y  a  x  p   q se obtiene desplazando la gráfica de la parábola
2
y  a  x 2 , p unidades hacia la derecha y q unidades hacia arriba.
También las funciones de segundo grado del tipo y  ax 2  bx  c tienen por gráficas
parábolas.
134
Perímetro, área y volumen
Para localizar el vértice de cualquier parábola basta considerar dos puntos simétricos
A(a, b) y B(c, d) de la misma. Observa la figura.
La abcisa x del vértice es la media aritmética de a y c, x 
ac
. La ordenada y del vértice
2
se obtiene sustituyendo este valor de x en la fórmula de la parábola.
El problema es... ¿cómo obtener dos puntos simétricos de la parábola?. Con un poco de
suerte podrás verlos en la misma tabla de valores.
e) Localiza el vértice de las siguientes parábolas y represéntalas gráficamente:
1) y  x 2  5x  6
f)
2) y  x 2  10x  32
3) y  2x 2  4x  5
Averigua cuál es la fórmula que corresponde a cada una de las siguientes parábolas:
135
Matemáticas 4º ESO Opción B
g) Dada la parábola y  3x 2  6x  8 ,


¿Para qué valor de x es y = 17 ?. ¿Es único?.

¿Para qué valor de x es y = 32 ?. ¿Es único?.

¿Para qué valor de x es y = 8 ?. ¿Es único?.

¿Para qué valor de x es y = 6 ?. ¿Es único?.

¿Para qué valor de x es y = 5 ?. ¿Es único?.

¿Para qué valor de x es y = 4 ?. ¿Qué ocurre?.

¿Hay algún valor de x para el que y = 0 ?.

¿Cuál es el conjunto imagen de esta función?.
RECTÁNGULO
Un rectángulo tiene la base 10 cm más larga que la altura.
a) Expresa la función que da la superficie S del rectángulo en función
de su altura x.
b) Representa gráficamente esta función.

VENTANAS
Un carpintero hace marcos para ventanas y desea construir ventanas rectangulares de 6 m de
perímetro, como la de la figura.
a) Si x es la longitud de la base, expresa la altura y en función de x. ¿Qué tipo de relación funcional
resulta?.
b) Justifica que la superficie S de la ventana en función del lado x es S(x)  3x  x 2 .
c) ¿Cuál es el dominio de la función?.
d) Construye una tabla de valores en el dominio de la función y representa gráficamente la función S
anterior.
e) ¿Para qué valor de la base se obtiene una ventana de superficie máxima?. ¿Cuál es dicha
superficie máxima?.
136
Perímetro, área y volumen

VUELO DE UNA AVIONETA
Una avioneta vuela entre Cádiz y Ceuta. Su altura de vuelo viene dada por la fórmula:
h(t)  800 t  30 t2 , donde h(t) es la altura de la avioneta en metros a los t minutos de haber
despegado de Cádiz.
a) Construye una tabla de valores y representa gráficamente la función.
b) Averigua la altura a la avioneta inicia el descenso.
c) ¿Cuánto dura el vuelo?.

DILATACIÓN DEL CUADRADO
Si tenemos un cuadrado de lado L unidades, al aumentar la longitud del lado x unidades, ¿cuánto
aumentará el área?.
a) Parte de un valor fijo para L y construye una tabla que refleje el incremento experimentado por el
área para cada incremento del lado:
Incremento del lado X
1
2
3
4
5
... ... ... ...
Incremento del área Y
b) Repite la actividad del apartado anterior tomando otros valores de L. ( L=1, L=2, L=3, etc. )
c) Intenta encontrar una fórmula que se ajuste a cada una de las tablas obtenidas, es decir una
fórmula que, en cada caso, exprese el incremento de área en función del incremento del lado.
Elabora un informe con tus conclusiones.
d) Dibuja en unos mismos ejes de coordenadas las gráficas de las tablas obtenidas en apartados
anteriores. Compáralas y extrae conclusiones.
e) ¿Cuánto habría que aumentar el lado para que el área aumentara 6 unidades?. ¿Tiene sentido
dar valores negativos a x ?.
137
Matemáticas 4º ESO Opción B
f)
¿Qué ocurre si aumentamos lo mismo el lado en cuadrados de distinto tamaño?.

Tomando X=1, construye la siguiente tabla:
Longitud del lado L
1
2
3
4
5
... ... ... ...
3
4
5
... ... ... ...
Aumento del área

Tomando X=2, construye la siguiente tabla:
Longitud del lado L
1
2
Aumento del área

Haz lo mismo tomando X=3, X=4, etc.
¿Aumentos iguales en la longitud de los lados de dos cuadrados producen igual aumento en la
superficie?. ¿Cómo es el crecimiento del área?.
Representa gráficamente, en unos mismos ejes de coordenadas, las tablas obtenidas y
compáralas. ¿Qué valor de L corresponde en cada gráfica a una altura 9 ?. Supongamos que
aumentamos 2’25 unidades la longitud del lado. ¿Qué gráfica saldrá en ese caso?.

ENVASES
Con una hoja de cartón de 30  21 cm se desea construir una caja sin tapa, para lo cual se cortarán
cuatro cuadrados como indica la siguiente figura. Según la medida del lado del cuadrado que
recortamos se obtendrán distintas cajas con diferentes superficies.
a) Construye una tabla como la siguiente, que indique cómo varia la superficie total de la caja según
el valor de la longitud x que recortamos:
Longitud X (cm)
1
2
3
4
5
... ... ... ...
2
Superficie Y (cm )
b) Representa gráficamente la tabla anterior, expresando en el eje de abcisas la longitud X y en el
de ordenadas la superficie Y.
c) Interpreta la gráfica obtenida: ¿Cuál es su dominio?. ¿Cuál es su recorrido?. ¿Es creciente o
decreciente?. ¿Para qué valor de X se obtiene una superficie mínima?. ¿Y máxima?. ¿Qué
2
longitud X hay que recortar para obtener una superficie de 374 cm ?.
d) Si queremos que la caja tenga capacidad para contener un litro de leche, ¿puede ser X=5 cm?.
¿Puede ser X=1 cm?. ¿Qué valor podría ser X ?.
138
Perímetro, área y volumen

ÁREA Y VOLUMEN DEL CUBO
a) Calcula el volumen de los dos cubos de la figura. Calcula también la suma de las áreas de todas
sus caras. ¿Cuántas veces es mayor el volumen del cubo grande que el del cubo pequeño?. ¿Y
el área?.
b) Al aumentar la arista de un cubo, ¿qué aumenta más, el área de o el volumen?. Usando cubitos
unidad, completa las siguiente tabla:
LADO (cm)
1
2
3
4
5
... ... ... ...
2
ÁREA (cm )
3
VOLUMEN (cm )
Dibuja en un sistema de ejes cartesianos algunas parejas (lado, área). Dibuja también los puntos
(lado, volumen) para varios valores del lado. Une los puntos obtenidos y comenta las gráficas
obtenidas.

CÚBICAS
a) Dibuja la gráfica de la función y  x 3 , construyendo previamente una tabla de valores. Recuerda
que la variable x puede tomar tanto valores negativos como cero y positivos. ¿Podrías obtener
toda la gráfica con sólo tener media parte?. ¿Cómo?.
La gráfica de la función y  x 3 es una curva llamada
cúbica. Tiene la propiedad de que al doblar el papel dos
veces, una por el eje de abcisas y otra por el eje de
ordenadas, coinciden sus dos ramas. Se dice que es
simétrica respecto del origen de coordenadas, lo que
significa que si unimos un punto de la gráfica con el origen
(0, 0), la recta obtenida cortará a la gráfica en otro punto
situado a la misma distancia respecto del origen. Esto indica
que al cambiar la x por x en la fórmula de la función, la y
se cambia por y. Se dice que es una función impar.
b) Construye tablas de valores para las siguientes funciones:
y  x3 ;
y  x  23 ;
y  x  23  3
Suponiendo que tienes una plantilla de la función y  x 3 , ¿podrías usarla para dibujar
las gráficas de estas funciones?. ¿Cómo?.
c)
Construye tablas de valores para las siguientes funciones:
y  x 3  x;
y  x 3  4x .
¿Podrías utilizar una plantilla de y  x 3 para dibujar las gráficas de estas dos funciones?. ¿Por
qué?. ¿Qué es lo que ocurre?.
139
Matemáticas 4º ESO Opción B
La gráfica de la función y  a  x  p   q es una cúbica que puede obtenerse a partir de
3
la gráfica de y  x 3 mediante traslaciones. No todas las funciones de tercer grado cumplen
esta propiedad.

¿ALARGAR O ENSANCHAR?
El volumen de un bote cilíndrico se puede hallar con la fórmula V  π  a  r2 .
En el dibujo aparece indicado qué representa cada letra.
Podemos aumentar o disminuir su capacidad, modificando bien la altura a o bien el radio r.
Si partimos de un cilindro con a = 1 dm y r = 1 dm, variando uno u otro se tienen dos funciones:
a  V y r  V. Estudia estas dos funciones.
Si se quiere duplicar la capacidad del bote, ¿qué tendría que hacerse con la altura?. ¿Y con el radio?.
¿Cuál de las dos soluciones será más económica si tienes en cuenta el precio de la chapa necesaria
para construir el bote?.

VOLUMEN DE UNA CAJA
Con una cartulina de 3021 cm construimos una caja sin tapa, tal como indica la siguiente figura.
Según el valor x del lado del cuadrado que recortamos obtenemos cajas con distintos volúmenes.
a) Construye la siguiente tabla, indicando la variación del volumen según el valor de x:
Longitud X (cm)
1
2
3
4
5
…
…
…
3
Volumen Y (cm )
b) Representa gráficamente dicha tabla en unos ejes de coordenadas.
c) Interpreta la gráfica obtenida: ¿Cuál es su dominio?. ¿Cuál es su recorrido?. ¿Es siempre
creciente?. ¿Para qué valor de X se obtiene un volumen máximo?. ¿Y mínimo?. ¿Cuál es el
volumen máximo?.
d) Intenta encontrar una fórmula que resuma la información de la tabla, es decir que exprese el
volumen de la caja en función de la longitud recortada X.
140
Perímetro, área y volumen
2. Ecuaciones de segundo grado

ECUACIONES INCOMPLETAS
a) Si sigues el proceso que se indica a continuación, ¿qué número tendrías que pensar para que el
resultado fuese 48?.

Piensa un número.

Elévalo al cuadrado.

Multiplícalo por 3.

Anota el resultado
b) Si al cuadrado de un número le sumas 10, el resultado es 35. ¿De qué número se trata?.
2
c) El área coloreada de estas dos figuras es de 4 cm en cada caso.
1) ¿Cuánto mide el lado del cuadrado?.
2) ¿Cuánto miden los lados del rectángulo?.
d) ¿En qué puntos corta al eje OX la parábola y  4x 2  100 ?.
En las actividades anteriores habrás obtenido ecuaciones de segundo grado de la forma
ax 2  c  0 . Se llaman ecuaciones incompletas y pueden resolverse fácilmente. Así:

c
x   
c
a

ax 2  c  0  ax 2  c  x 2    
a
c

 x    a
c
Como ves, la ecuación tiene solución siempre que   0 .
a
e) Resuelve las siguientes ecuaciones, indicando cuántas soluciones hay comprobándolas
en cada caso:
x2
x2
 x2  6
1) 5x 2  3  2x 2  3
2) 5x 2  6  2x 2
3)
4) 2x 2 
5
2
3
141
Matemáticas 4º ESO Opción B

APROXIMACIONES
Un procedimiento que puedes utilizar para resolver ecuaciones de grado 2, 3, 4, ... es
utilizar la calculadora para obtener, por ensayo y error, sucesivas aproximaciones de la
solución, que puedes dar con la precisión que desees.
Ejemplo: Hallar x sabiendo que x 3  7 .
3
Probamos x=1  1 = 1 Falta;
3
Probamos x=2  2 = 8 Sobra; Luego la solución está entre 1 y 2.
3
Probamos x=1’5  1’5 = 3’375 Falta; Luego x está entre 1’5 y 2.
3
Probamos x=1’7  1’7 = 4’913 Falta; Luego x está entre 1’7 y 2.
3
Probamos x=1’9  1’9 = 6’859 Falta; Luego x está entre 1’9 y 2.
3
Probamos x=1’95  1’95 = 7’41487... Sobra; Luego x está entre 1’9 y 1’95.
3
Probamos x=1’93  1’93 = 7’18905.. Sobra. Luego x está entre 1’9 y 1’93.
3
Probamos x=1’92  1’92 = 7’0778... Sobra. Luego x está entre 1’9 y 1’92
3
Probamos x=1’91  1’91 = 6’96787... Falta. Luego x está entre 1’91 y 1’92, pero ya
podemos asegurar que x = 1’91..., es decir, hemos obtenido dos cifras decimales exactas.
Este proceso podríamos continuarlo hasta obtener las cifras exactas deseadas.
Utiliza la calculadora para resolver por ensayo y error las siguientes ecuaciones:
a) x 4  12

b) x 3  3  9
c) x2  x  3  0
MÉTODO ITERATIVO
Para resolver la ecuación de segundo grado x 2  3x  3  0 , sigue los siguientes pasos:
 Deja en un miembro todo lo que tenga x  x 2  3x  3
 Saca factor común x  x  x  3  3
 Despeja x  x 
3
x 3
 Da un valor cualquiera a x, por ejemplo, x = 5, y sustitúyelo en el segundo miembro.
Obtienes así un nuevo valor para x. Toma, por ejemplo, dos cifras decimales y redondea
142
Perímetro, área y volumen
 Sustituye este valor otra vez en el segundo miembro y así hazlo sucesivamente hasta
que obtengas el mismo valor dos veces seguidas. Se dice entonces que la expresión
3
tiene un punto fijo, y habrás conseguido una solución aproximada de la
x
x 3
ecuación.
Aproximaciones de x
Primera (valor inicial)
Segunda
Tercera
Cuarta
Quinta
Sexta
Séptima
5
0’38
0’89
0’77
0’80
0’79
0’79
Para hallar la segunda solución de la ecuación,
 en el paso 3 en lugar de despejar x, despeja x + 3  x  3 
3
.
x
3
3.
x
 Repetimos el proceso anterior, dando a x como valor inicial un valor alejado de la
solución encontrada, por ejemplo, x = 5.
 Ahora despeja la x del primer miembro  x 
Aproximaciones de x
Primera (valor inicial)
Segunda
Tercera
Cuarta
Quinta
Sexta
5
3’6
3’83
3’78
3’79
3’79
Por tanto, 3’79 es un punto fijo de la expresión x 
de la ecuación inicial son 3’79 y 0’79.
3
 3 . Las dos soluciones aproximadas
x
a) Resuelve por el método de iteración las siguientes ecuaciones de segundo grado, dando las
soluciones con tres cifras decimales exactas:
x 2  2x  5  0 ;
x2  x  4  0 .
b) El número áureo, símbolo de la antigüedad clásica, se puede obtener resolviendo la ecuación
1
x
1x
o bien x 
. Aplica el método de iteración para obtener las tres primeras cifras

x
x x 1
decimales de dicho número.
143
Matemáticas 4º ESO Opción B

MÉTODO GRÁFICO
La gráfica de la función x  x 2  2x  14 , ¿corta al eje de abcisas?. ¿En qué puntos?. El
problema es equivalente a resolver la ecuación de segundo grado x 2  2x  14  0 , ya que
en el eje OX los valores de y se anulan. Despejando obtenemos: x 2  2x  14 . Luego el
problema se transforma en averiguar cuáles son los puntos de corte de las gráficas x  x 2 ,
x  2x  14 , las cuales podemos dibujar en un papel milimetrado, determinando así, de
manera aproximada, las soluciones.
Generalmente este método suele combinarse con el método de aproximaciones o el
iterativo: el método gráfico da una idea de cuál es el intervalo de búsqueda y, una vez
localizado éste se puede utilizar el método de aproximaciones para obtener la solución con
la precisión deseada.
Utiliza conjuntamente el método gráfico y el de aproximaciones para obtener, con dos cifras
decimales exactas, los puntos de corte con el eje OX de las siguientes gráficas:
a) y  x2  4x  5
144
b) y  x2  4x  11
c) y  x3  x  7
d) y  x3  x2  3
Perímetro, área y volumen

ECUACIONES FACTORIZADAS
a) Halla los puntos de corte con el eje OX de las siguientes funciones:
1) y  x  2  x  4
3) y  2xx  1  x  2
2) y  5xx  2
4) y  3x 2  6x
¿Son todas ellas funciones de segundo grado?. ¿Es necesario dibujar sus gráficas para hallar los
puntos de corte?.
Si una ecuación está factorizada, es decir, está expresada de la forma ax  m  x  n  0
es muy fácil resolverla, ya que basta tener en cuenta que si un producto vale cero, debe
anularse, al menos, uno de los factores. Así:
x  m  0  x  m
a x  m    x  n   0  
x  n  0  x  n
Las soluciones de la ecuación son x  m y x  n .
b) Halla los puntos de corte con los ejes coordenados de las siguientes funciones:

1) y  2x  3  x  2
2) y  x  12
3) y  3x  22
4) y  x 2  9
5) y  2x  1  x2  16




6) y  x2  1  x2  9

COMPLETANDO CUADRADOS
Queremos hallar los puntos de corte con el eje OX de la parábola y  x 2  4 x  3 . Para
ello, hemos de resolver la ecuación de segundo grado x 2  4 x  3  0 .
Si esta ecuación de segundo grado fuese del tipo ax  p   q  0 sería fácil hallar las
soluciones. Bastaría despejar x  p tal y como hemos hecho en las ecuaciones
incompletas. Posteriormente, despejaríamos x..
2
Podemos hallar las soluciones de x 2  4 x  3  0 si la comparamos con la ecuación


ax  p   q  a x 2  2 px  p 2  q  a x 2  2apx  ap 2  q .
anterior. En efecto:
De donde, comparando los coeficientes de las dos ecuaciones, deducimos que:
2
145
Matemáticas 4º ESO Opción B
a  1

 2ap  4   2p  4  p  2
 2
ap  q  3  4  q  3  q  1
Luego la ecuación dada se puede escribir de la forma x  2  1  0 .
2
3
1
Despejando:  x  2   1  x  2  1  x  2  1   .
2
Las soluciones de la ecuación son x1  3 y x2  1 . Los puntos de corte con el eje OX son
3, 0  y 1,0  .
La abcisa del vértice de la parábola es media aritmética de las soluciones
obtenidas: p 
x1  x 2 3  1

2.
2
2
La ordenada del vértice se obtiene sustituyendo este valor de p en la fórmula de la parábola:
q  2 2  4  2  3  1 . Por lo tanto, concluimos que: El vértice es el punto 2,  1
Utilizando el procedimiento anterior, halla los puntos de corte con el eje OX y determina el vértice de
cada una de las siguientes parábolas:
a) y  x2  6x  7
b) y  x2  7x  12
c) y  3x 2  12x  12
d) y  3x 2  2x  5
Explica razonadamente tus conclusiones.

DISCRIMINANTE
Una fórmula clásica que permite hallar las soluciones de la ecuación de segundo grado
a x 2  bx  c  0 y que se puede obtener con el mismo procedimiento que has utilizado
anteriormente es la siguiente:
x
 b  b 2  4 ac
2a
La expresión D  b 2  4ac se llama discriminante de la ecuación.
 Si D<0, la ecuación no tiene solución. La parábola no corta al eje OX.
 Si D=0, la ecuación solo tiene una solución, x 
b 
, 0  , que es el vértice de la parábola.
 2a 
punto 
146
b
. La parábola corta al eje OX en el
2a
Perímetro, área y volumen
 Si
D>0,
x2 
la
ecuación
tiene
dos
x1 
soluciones:
 b  b 2  4 ac
2a
y
 b  b 2  4 ac
. La parábola corta al eje OX en dos puntos: x1 , 0  y  x 2 , 0  . En
2a
este caso, la abcisa del vértice de la parábola se obtiene como media aritmética de x1 y
x2 , es decir:
x1  x 2  b
.

2
2a
p
Averigua cuántos puntos de corte con el eje OX tienen cada una de las siguientes parábolas:
2) y  x2  4x  21
1) y  x2  11x  12

3) y  2x 2  4x  2
SUMA Y PRODUCTO
a) Utilizando la fórmula clásica resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado. En cada una
halla la suma y el producto de las raíces. ¿Observas algo interesante?.
1) x 2  3x  2  0
2) x 2  5x  6  0
3) x 2  2x  3  0
4) 3x 2  4x  1  0
5) 2x 2  3x  1  0
6) 2x 2  x  3  0
Si x1 y x 2 son las soluciones de la ecuación de segundo grado a x 2  bx  c  0 , se
cumple que:
b
.
a
c
 El producto de las raíces es P  x1  x 2  .
a
 La suma de las raíces es S  x1  x2  
Por lo tanto, si dividimos por a la ecuación de segundo grado a x 2  bx  c  0 obtenemos
x2 
b
c
x   0 . Es decir: x 2  S x  P  0 , lo que permite, con un poco de agilidad,
a
a
resolver mentalmente ecuaciones de segundo grado.
b) Resuelve mentalmente las siguientes ecuaciones de segundo grado:
1) x2  3x  4  0
2) x2  4x  3  0
3) x2  3x  2  0
4) x2  x  6  0
c) Escribe ecuaciones de segundo grado que tengan como soluciones:
1) 2 y 3
2) 4 y 5
3)
1
y 1
2
4)
1 2
y
3 3
147
Matemáticas 4º ESO Opción B

REPOBLACIÓN FORESTAL
Se pretende repoblar con 60000 árboles un bosque quemado hace dos años y cuya forma
2
aproximada muestra la siguiente figura. Si cada árbol dispone de 1 m de superficie, ¿cuánto mide el
perímetro del campo?.

CÍRCULOS
Una circunferencia pasa por el centro de otra mayor y, a su vez, es tangente a ella. El área del círculo
2
más pequeño es 4 cm . ¿Cuál será el área del círculo mayor?.

VARIACIÓN DE UN CUADRADO
Si a la medida de dos lados paralelos de un cuadrado le aumentas el 25% y a la medida de los otros
dos le quitas el 40%, ¿qué ocurre con su área?.

VALLAR UN CAMPO
Un agricultor tiene un campo como el de la siguiente figura, cuya superficie total es de 30 Ha. Desea
vallarlo con una cerca de madera que le cuesta 12 euros el metro. Sabemos que un lado del
rectángulo es doble que uno de los catetos del triángulo y el lado coincidente de ambos mide 100
metros más que dicho cateto. ¿Cuál será el precio total que tendrá que pagar?.
Sugerencia: Utiliza una sola incógnita, x,
para todas las medidas que necesitas, y
expresa con ellas la suma de las áreas
del triángulo y del rectángulo.
148
Perímetro, área y volumen
3. Hipérbolas, funciones raíz y funciones inversas

ÁREA CONSTANTE
2
Encuentra un método lo más general posible para construir rectángulos que tengan 36 cm de área.
Por ejemplo, aquí tienes algunos:
4
6
3
9
12
6
a) ¿Qué valores puede tomar la base?. ¿Qué valores puede tomar la altura?. ¿Qué valores puede
tomar el perímetro?.
b) Construye una tabla que muestre como varía el perímetro de los rectángulos obtenidos al variar la
base.
c) Representa gráficamente la tabla anterior.
d) ¿Qué le ocurre a esta función cuando la base se acerca a cero, es decir toma los valores 0’1,
0’01, 0’001, ...?. ¿Puede ocurrir que la base valga exactamente cero?.
Una función es continua en un punto si en ese punto no presenta saltos, es decir, su gráfica
se puede dibujar sin levantar el lápiz del papel. En caso contrario, se dice que la función es
discontinua en ese punto.
Función continua
Función discontinua
La función que has dibujado ¿es continua?.
e) Intenta hallar una fórmula que exprese el perímetro de cada rectángulo en función de la base.
2
f)
Entre todos los rectángulos de área 36 cm , ¿cuál es el de menor perímetro?. ¿Y cuál el de
mayor perímetro?.

RECTÁNGULO
2
Un rectángulo de base x cm tiene 25 cm de superficie. Expresa la altura y del rectángulo en función
de la base y representa gráficamente esta relación funcional.
149
Matemáticas 4º ESO Opción B

TRIÁNGULO
2
El triángulo de la figura tiene 10 cm de área.
a) Halla y cuando x=2 cm, x=4 cm, x=10 cm, x=15 cm, x=20 cm.
b) Justifica que al escribir y en función de x se obtiene la relación y  20 x .
c) ¿Cuál es el dominio de la función que da y según los valores de x?.
d) Dibuja la gráfica de la función anterior.

VELOCIDAD CONSTANTE
Un vehículo ha de recorrer 180 km a velocidad constante. Escribe la fórmula que expresa la velocidad
v en función del tiempo t. Representa gráficamente esta relación dando a t los valores oportunos.

DEL ÁREA AL LADO
Si en las siguientes figuras damos a a distintos valores, se obtienen figuras semejantes pero de
distinto tamaño.
a) Representa gráficamente la función a  Área en cada caso.
b) Busca una regla que permita calcular el valor de a, conociendo el área de cada figura.
c) Dibuja la gráfica de la función Área  a y compárala con la de la función a  Área.
150
Perímetro, área y volumen

RECTÁNGULO INSCRITO
En una circunferencia de radio 10 m se inscribe un rectángulo. Expresa el área del rectángulo en
función del lado x de la base.
Intenta dibujar la gráfica de dicha función. ¿Cuál es su dominio?.

INCLINACIÓN
Como sabes la torre de Pisa está cada vez más y más inclinada, hasta el punto de que las
autoridades italianas han decido “enderezar” este edificio, considerado como una de las maravillas
del mundo. Vamos a simular este proceso de inclinación de la torre.
Imagina un paquete de cartulinas, cuyo perfil lateral es una cuadrado de lado 1 dm. Empujando la pila
con una tablilla, por ejemplo, puedes deslizar las láminas, unas sobre otras hasta que queden como
sigue:
Llama x a ese desplazamiento. El nuevo perfil de la pila es ahora un paralelogramo.
Además de la forma, la cizalladura efectuada ha modificado otras cosas del perfil inicial. Indica los
valores iniciales y finales en ambos perfiles de:
a) la altura, b) el área,
c) el perímetro.
Construye una tabla, en cada caso, dando valores a x. Dibuja las gráficas correspondientes y
comenta las tres gráficas.

CUADRADO Y RAÍZ
Dibuja en unos mismos ejes de coordenadas las gráficas de las funciones y  x 2 , y  x . ¿Cuál es
el dominio de cada una?. ¿Qué relación existe entre dichas gráficas?.
151
Matemáticas 4º ESO Opción B

DEL VOLUMEN A LA ARISTA
Si en los siguientes sólidos damos a x distintos valores, se obtienen sólidos semejantes pero de
distinto tamaño.
a) Representa gráficamente la función x  Volumen en cada caso.
b) Busca una regla que permita calcular el valor de x, conociendo el volumen del sólido.
c) Dibuja la gráfica de la función Volumen  x y compárala con la de la función x  Volumen.

REDUCCIÓN DEL CUADRADO
Si se unen los puntos medios de los lados de un cuadrado, se obtiene un nuevo cuadrado.
Si este proceso se aplica de nuevo al cuadrado obtenido, se obtiene un nuevo cuadrado, en el que
podrán unirse otra vez los puntos medios para obtener otro nuevo cuadrado, y así sucesivamente...
Si el cuadrado de partida tiene de lado 1 dm, ¿cuál es el área y el perímetro del primer cuadrado así
obtenido?. ¿Y del segundo?.
Construye una tabla que recoja el área y perímetro de los sucesivos cuadrados:
Cuadrado
Inicial
2
Área (en dm )
1
Perímetro (en dm)
4
1
2
3
... ... ... ...
¿Cuál será el área y el perímetro del décimo cuadrado?. ¿Y del decimoquinto?. Busca una regla que
permita hallar el área y el perímetro de cualquiera de los cuadrados así obtenidos, sin necesidad de
rellenar toda la tabla.
152
Perímetro, área y volumen

CUADRADO INSCRITO
Inscribe un cuadrado en otro de lado 1 m, tal como se indica en la siguiente figura.
Si la posición del punto P varía, variará el cuadrado inscrito. Escribe la fórmula de la función que da el
área del cuadrado inscrito conocido x. Dibuja su gráfica. Coméntala.

PARALELOGRAMO ARTICULADO
Material:
cuatro varillas engarzables de plástico, engarzadores, transportador de ángulos, regla
graduada, cartabón, papel milimetrado, calculadora.
Construye un cuadrado articulado como el de la figura. Si el cuadrado lo inclinas progresivamente,
¿qué es lo que varía?. ¿Qué es lo que se mantiene?.
Con ayuda de un transportador de ángulos mide el ángulo x y la altura. Haz variar el ángulo de 10 en
10 grados desde 0 hasta 180, y mide las alturas correspondientes. Construye una tabla como la
siguiente:
Ángulo x (grados)
Altura (cm)
2
Área (cm )
Dibuja en papel milimetrado las gráficas ángulo  altura y ángulo  área.
a) ¿Qué valores puede tomar la variable ángulo?. ¿Qué valores puede tomar la variable altura?. ¿Y
el área?. ¿Cómo podemos expresar estos valores?.
b) ¿Para qué ángulo x es máxima la altura?. ¿Y el área?.
c) ¿Qué puede decirse de las áreas según va variando el ángulo o la altura?.
153
Matemáticas 4º ESO Opción B

RECTÁNGULOS SEMEJANTES
Si en el rectángulo de la siguiente figura damos a x distintos valores, se obtienen rectángulos
semejantes (todos tienen la misma forma) de tamaño diferente. Varía el perímetro y varía el área.
a) Elige un valor para x; si lo duplicas, ¿qué ocurrirá con el perímetro?. ¿Y con el área?. ¿Y si lo
triplicas?. ¿Y si lo reduces a la mitad?.
b) Representa gráficamente las funciones x  Perímetro, x  Área y compara las gráficas
obtenidas. ¿Siempre aumentará más el área que el perímetro?.
c) Se pueden encontrar (¿siempre?) rectángulos que tengan un área determinada; ¿qué valor
2
2
debemos dar a x para que el área sea 27 cm ?. ¿Y para que sea 42 cm ?.
d) Busca una regla que permita calcular el valor de x, conociendo el área del rectángulo:
Área  x.
e) Dibuja la gráfica de esta nueva función y compárala con la de x  Área.

HISTORIAS PARA GRÁFICAS
Cada una de las gráficas que siguen representa los cambios que sufre una magnitud Y, cuando varía
otra magnitud X. Imagina una historia para cada caso.
a)
154
b)
c)