El problema simétrico de valores propios

El problema simétrico de valores propios
Problema 1 Considera la siguiente matriz ortogonal real de tamaño 2 × 2:
c s
J=
,
−s c
donde s = sen θ y c = cos θ para algún número real θ. Tal y como se dijo en el Problema
8 del Tema 7, estas matrices produce giros de ángulo θ. Sea ahora
a d
A=
d b
una matriz real simétrica cualquiera.
2d
. A las matrices de
b−a
rotación J con este valor de θ se les llama rotaciones de Jacobi.
(a) Demuestra que J T AJ es diagonal si y sólo si tan(2θ) =
(b) Sea ahora, Q ∈ Rn×n (n ≥ 2) una matriz que sólo difiere de la identidad en que la
submatriz Q([i j], [i j]) = J para algún valor de θ. Demuestra Q es ortogonal y
que si A ∈ Rn×n es una matriz simétrica, existe θ ∈ R tal que para B = QT AQ se
tiene B(i, j) = B(j, i) = 0.
(iii) Para una matriz simétrica S ∈ Rn×n sea
v
uX
n
u n X
u
off(S) = t
s2ij .
i=1 j=1
j6=i
Demuestra que las matrices A y B del apartado (b) satisfacen la siguiente identidad:
off(B)2 = off(A)2 − 2a2ij .
Este es el fundamento del método de Jacobi para reducir una matriz simétrica a
forma diagonal. Éste consiste en seleccionar pares de elementos diagonales A(i, i) y
A(j, j) y usar rotaciones de Jacobi para anular los elementos A(i, j) = A(j, i). Los
nuevos ceros introducidos pueden destruir los ya obtenidos, pero el balance global
en cada paso es que la suma de todos los elementos no diagonales (al cuadrado)
disminuye. La repetición de este proceso fila a fila reduce la matriz a una matriz
casi diagonal en el sentido de que los elementos no diagonales de tal matriz son casi
cero. La convergencia es al principio lineal, pero a medida que avanza el proceso,
se
y llega a ser cuadrática una vez que todos los elementos no diagonales
acelera
n(n−1)
han sido seleccionados una vez. No obstante, el método de Jacobi no es
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competitivo frente a los algoritmos QR simétrico o divide y vencerás.
Problema 2 Considera la siguiente matriz

1 −1
−1 2
T =
 0 −1
0
0
tridiagonal simétrica

0
0
−1 0 

3 −1
−1 4
(a) Usa el método de bisección (con lápiz y papel) para determinar cuántos valores
propios tiene esta matriz en el intervalo [0, 2].
(b) Usa la técnica del algoritmo divide y vencerás para calcular los valores propios de
T . Puedes usar MATLAB para calcular las soluciones de la ecuación secular, pero
el resto de las operaciones debes indicarlas a mano.