Simulación de un Fluido Estacionario en un Canal con una

Revista Colombiana de Fı́sica,Vol. 41, No.2, Abril 2009
Sulación de un Fluido Estacionario en un Canal con una
Bifurcación Simétrica por Medio del Método DE
Lattice-Boltzmann
M. Arciniegas-Alvarez a , J. Florez a
a Departamento
de Fı́sica, Universidad Nacional de Colombia, A.A 5997, Bogotá -Colombia
Recibido 23 de Oct. 2007; Aceptado 6 de Mar. 2009; Publicado en lı́nea 30 de Abr. 2009
Resumen
Flujos caracterı́sticos cerca a ramificaciones y en presencia a geometrı́as complejas son muy importantes en
hemodinámica, como en el tratamiento de enfermedades cardiovasculares. Con el propósito de introducir
el Método de Lattice Boltzmann para la simulación de este tipo de flujos, se estudia un fluido estacionario
que viaja a través de un canal con bifurcación simétrica, mostrando que el método empleado es una
herramienta alternativa en la obtención de cantidades fı́sicas como la velocidad y el esfuerzo de corte; se
obtuvieron variaciones apreciables en los perfiles de velocidad y esfuerzo de corte cuando se presenta un
estrechamiento en una de las bifurcaciones.
Palabras Clave:Método de Lattice-Boltzmann, esfuerzo de corte, viscosidad
Abstract
Characteristics flows near to bifurcation and complex boundaries are very important to hemodynamics, as
in the treatment of cardiovascular diseases. We are interested to introduction the Lattice-Boltzman method
for the simulation in this kind of flows. We did study a stationary fluid that cross a canal with simmetry
bifurcation, to showing that method is an alternative tool in the obtention of velocity flux and the shear
stress. We did obtain apreciables variations in the velocity flux and the shear stress in the existence of a
narow in the bifurcations.
Keywords: Lattice-Boltmann Method, shear stress, viscosity
c
2009.
Revista Colombiana de Fı́sica. Todos los derechos reservados.
1. Introducción
Una cantidad fı́sica de gran importancia en aplicaciones médicas y geológicas es el esfuerzo de corte
definido como la fuerza tangencial por unidad de área
ejercida por un agente externo sobre una superficie. Por
ejemplo, en el área de la medicina la medición del esfuerzo de corte nos da información acerca de anomalı́as
patológicas en las vı́as sanguı́neas, entre ellas la arteriosclerosis que se presenta como una pérdida de elasticidad en las paredes de las venas. Los primeros estudios
realizados para la medición del esfuerzo de corte ejercido por la sangre sobre las paredes de las venas utilizan
solucionadores de la ecuación de Navier-Stokes (SNS)
que usan los gradientes de velocidad en cada punto del
fluido con este fin. [1].
El método de Lattice Boltzmann (LBM) en la aproximación BGK ha sido ampliamente utilizado para modelar el comportamiento de fluidos con bajo número de
Reynolds, éste, en comparación con los SNS, brindan
una manera alternativa para calcular el esfuerzo de corte
Sulación de un Fluido Estacionario en un Canal con una Bifurcación Simétrica .....
Figura 1. Bifurcación simétrica
~ · ~vi ) + 9 (U
~ · ~vi )2 − 3 U 2 , y wi un
Siendo γ = 1 + 3(U
2
2
factor de peso asociado con las diferentes direcciones
de velocidad del modelo utilizadas en los nodos, con
1
valores: 94 para i = 0 , 19 para i = 1, 2, 3, 4 y 36
para
i = 5, 6, 7, 8. La ecuación de Lattice Boltzmann puede
ser obtenida discretizando la ecuación de evolución de
las funciones de distribución en el espacio de velocidades utilizando un conjunto finito de éstas, que es
ejercido por un fluido en su interior y sobre la superficie
[1],[2]. Artoli [1] presenta el método de LBM como una
herramienta poderosa y efectiva para la medición del
tensor de esfuerzo al compararla con el método tradicional de volúmenes finitos en varias simulaciones con
diversidad geometrica.
En este trabajo se implementa la medición del esfuerzo de corte por medio del LBM y la obtención de
los perfiles de velocidad para la simulación de un fluido estacionario atravesando un bifurcación simétrica,
además, la influencia del estrechamiento de una de las
bifurcaciones en el perfil de velocidades y del esfuerzo
de corte en el fluido y las fronteras.
1
(eq)
fi (~x+δt~vi , t+δt)−fi (~x, t) = − [fi (~x, t)−fi (~x, t)]
τ
(2)
Donde τ es un parámetro que da información del
tiempo de relajación y es una cantidad adimensional. La
densidad hidrodinámica ρ y la velocidad macroscópica
~ son determinadas en términos de la función de disU
tribución de las partı́culas de las leyes de conservación
P
P (eq)
~ =
de
y ρU
P masa y momento ρ = i fi = i f2i
i vi fi . La presión esta dada por p = ρcs y la viscosidad cinemática está dada por
ν = c2s δt(τ − 1/2)
(3)
2. Aspectos teóricos y consideraciones
El método de Lattice Boltzmann es una discretización
especial de diferencias finitas de la ecuación de Boltzmann con un operador de colisión BGK. La dinámica
del fluido es modelada por el transporte de partı́culas
ficticias en los puntos de una rejilla cartesiana. Donde la
población en cada nodo esta representada por la probabilidad de que una de las partı́culas tenga una velocidad
dada en cada paso de tiempo. Las poblaciones son relajadas hacia su estado de equilibrio durante un proceso
de colisión.
donde cs es la velocidad del sonido. En este modelo se
ha usado un modelo D2Q9 (dos dimensiones - nueve
partı́culas). El tensor de esfuerzo es calculado de las
partes de no equilibrio de las funciones de distribución
1 X (1)
σαβ = −ρc2s δαβ − (1 −
)
f viα viβ
(4)
2τ i=0 i
En nuestro modelo se simula un canal en dos dimensiones que contiene en uno de sus extremos una bifurcación simétrica (como se observa en la Figura 1), el
modelamiento de la geometrı́a se realizó asignando a
las celdas de la red que no tendrı́an fluido una función
de distribución que todo el tiempo fuera igual a la función de equilibrio con velocidad cero en ambas direc-
La función de equilibrio como una aproximación de
la distribución Maxweliana esta dada por la siguiente
expresión[5]:

 w ργ
si i > 0
i
(eq)
fi (~x, t) =
(1)
 w ρ 1 − 3 U 2 si i = 0
0
2
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Figura 2. Perfil de velocidades (izquierda) y de esfuerzo de corte (derecha) para n = 40 y número de Reynolds Re = 200
ciones. Este canal principal tiene una longitud L y un
diametro de la sección transversal D, cada ramificación
forma un ángulo de inclinación de 30o con respecto a
la linea central AB. Se conservó la misma distancia L
de la longitud del canal principal para la pared externa
de las ramificaciones.
lizando Matlab. El flujo se desarrolla completamente
en la región cerca a las paredes para los dos números
de Reynolds. Ya que la región antes del divisor es una
región de expansión el flujo de velocidad cae antes de
entrar a las ramificaciones.
Las componentes σxy del tensor de esfuerzo en el
interior son muy cercanas a cero, por ello se han despreciado en la gráfica respectiva (color blanco) ya que
los valores que se presentan en estos puntos son muy
bajos. Además, el esfuerzo de corte en la zona de los
puntos C y D muestran valores de esfuerzo más altos,
además, el esfuerzo en las paredes internas de las ramificaciones es más grande que en las paredes exteriores
representado en la figura 2 a), registrando los valores
más altos en la frontera. Cuando se aumenta el número
de Reynolds el esfuerzo de corte se comporta de forma
más compleja, especialmente alrededor del divisor.
Se construyeron dos redes con la misma geometria
haciendo que tuvieran un diametro D de 40 y 80 puntos
de red y una longitud L del doble del diametro del canal
para las paredes externas de las ramificaciones y del
canal principal. En nuestro estudio tanto la linea central AB como la linea CD, la cual une los puntos donde
inician las ramificaciones serán de vital importancia en
el cálculo de las diferentes cantidades a medir.
3. Resultados y discusión
Los perfiles de velocidad y del esfuerzo de corte son
mostrados en la Figura 2, las cuales se hicieron uti-
Como se puede observar en la Figura 2 b), el esfuerzo
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Conclusiones
de corte es cero sobre la lı́nea central y va aumentando
a medida que se acerca a las paredes del canal. Para
números de Reynolds mas bajos la magnitud máxima del esfuerzo de corte es menor que para números
de Reynolds altos, debido a que la velocidad aumenta
cuando el número de Reynolds es mas grande y esto
a su vez causa que gradientes de la velocidad tengan
una magnitud más grande. El valor máximo para el esfuerzo de corte no se encuentra a la misma distancia de
la lı́nea central para las diferentes rejillas, observando
que el máximo se da mas cerca a la lı́nea central para
la rejilla más gruesa.
En este trabajo se ha mostrado que el método de
Lattice Boltzmann se puede utilizar para simular flujos en geometrı́as que pueden ser de interés común en
hemodinámica. Se ha estudiado un flujo estacionario en
una bifurcación simétrica para números de Reynolds de
1 y 200 analizando el perfil de velocidades y del esfuerzo de corte y algunos cortes transversales, se apreciaron
cambios considerables en el campo de velocidades en
presencia de un estrechamiento en una de las bifurcaciones que consecuentemente involucran una variación
en el esfuerzo de corte en esta zona.
En la componente horizontal de la velocidad (Figura
2 c)), se ecuentran dos máximos como consecuencia de
la división del perfil parabólico, mejor definido para el
fluido con Re = 200 y para la rejilla con mayor resolución como era de esperarse, ya que el fluido esta entrando en las bifurcaciones. Se observo además que la velocidad vertical vy es cero sobre la lı́nea central aunque
en nuestras gráficas se tuvo un mejor comportamiento
en la velocidad vertical para el sistema con número de
Reynolds de 200, ya que para Re = 1 se observó que
V y 6= 0 sobre la lı́nea central. Finalmente, al generar el
crecimiento del estrechamiento se observa una disminución en la velocidad justo antes del estrechamiento y
un aumento local justo después del estrechamiento.
Referencias
[1] A.M. Artoli, D. Kandhai, H.C.J. Hoefsloot, Lattice BGK
simulations of flow in a symmetric bifurcation. Future Gener.
Comput. Syst. 20 (2004) 909-916.
[2] J. Boyd, J, Buick, J A Cosgrove, P Stansell. Application of
the lattice Boltzmann model to simulated stenosis growth in
a two-dimensional carotid artery. Phys. Med. Biol. 50 (2005)
4783-4796
[3] Chen S, Doolen G. Lattice Boltzmann Method for Fluids Flows.
Annu. Rev. Fluid Mech. 1998. 30:329-64
[4] L.D. Landau, E.M. Lifshitz, Mecánica de fluidos. Editorial
Reverté S.A. 1986).
[5] Notas de Clase Profesor José Daniel Muñoz Castaño, I-2007.
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