6. 6.1. Espacios Euclı́deos Producto escalar. Ortogonalidad. Ortog de Gram-Schmidt Dados dos vectores x = (x1, . . . , xn), y = (y1, . . . , yn) de Rn, su producto escalar es hx, yi = x1y1 + x2y2 + · · · + xnyn. Propiedades del producto escalar de Rn. 1. hx, yi = hy, xi 2. hx + y, zi = hx, zi + hy, zi 3. hλx, yi = λhx, yi 4. hx, xi = kxk2 ≥ 0; kxk = 0 ⇔ x = 0 5. cos(x, y) = hx,yi kxk kyk 6. x, y son perpendiculares ⇐⇒ hx, yi = 0 Definición: un espacio euclı́deo es un espacio vectorial E sobre R que posee una aplicación h·, ·i : E × E −→ R, que llamaremos producto escalar, con las siguientes propiedades: 1. Simétrica: hx, yi = hy, xi; 2. Distributiva: hx + y, zi = hx, zi + hy, zi; 3. hλx, yi = λhx, yi; 4. hx, xi > 0 para todo x 6= 0. 1 Ejemplo: por C([a, b]) denotamos el conjunto de funciones continuas en el intervalo [a, b]. Este conjunto con las operaciones de suma de funciones y multiplicación por un escalar forma un espacio vectorial. En este espacio vectorial se puede considerar el siguiente producto escalar: Z b hf, gi = f (t)g(t)dt. a Definición: la longitud (o norma) de un vector x ∈ E en el espacio euclı́deo es p kxk := hx, xi. Definición: un vector x ∈ E se dice que es unitario si kxk = 1. Definición: dados x, y ∈ E, definimos el coseno del ángulo formado entre ellos como: hx, yi cos α := . kxk kyk Definición: dos vectores x, y ∈ E son ortogonales si hx, yi = 0. Ejemplo: en C([a, b]), las funciones 1, cos t, sent, cos 2t, sen2t, . . . son ortogonales entre sı́. 2 Proposición: Si los vectores x1, . . . , xn ∈ E \ {0} son ortogonales entre sı́, entonces son linealmente independientes. Desigualdad triangular: kx + yk ≤ kxk + kyk. Dem. kx + yk2 = hx + y, x + yi = hx, xi + 2hx, yi + hy, yi = kxk2 + 2hx, yi + kyk2 ≤ kxk2 + 2kxkkyk + kyk2 = (kxk + kyk)2. Definición: En un espacio euclı́deo E una base ortogonal es una base donde los vectores son ortogonales entre sı́. Una base ortonormal es una base ortogonal cuyos vectores son unitarios. Método de ortogonalización de Gram-Schmidt Sea {x1, x2, x3} una base de un espacio euclı́deo E. Entonces podemos encontrar una base ortonormal en E como sigue. Primero encontramos una base ortogonal {y1, y2, y3} y después los haremos unitarios para conseguir una base ortonormal: 3 1. Definimos y1 := x1; 2. Sea y2 := x2 + αy1. Queremos encontrar un α ∈ R para el que y2 sea ortogonal a y1: 0 = hy2, y1i = hx2 + αy1, y1i = hx2, y1i + αhy1, y1i, entonces hx2, y1i . 2 ky1k 3. Sea y3 := x3 + α2y2 + α1y1. Queremos encontrar α1, α2 ∈ R para los que y3 sea ortogonal a y1 e y2: α=− 0 = hy3, y1i = hx3, y1i + α2hy2, y1i + α1hy1, y1i, entonces α1 = − hx3, y1i ; 2 ky1k además 0 = hy3, y2i = hx3, y2i + α2hy2, y2i + α1hy1, y2i, entonces hx3, y2i α2 = − . ky2k2 4. Si hubiese x4, x5, . . . seguirı́amos de forma análoga. 5. {y1, y2, y3} forma una base ortogonal. Finalmente { kyy11k , kyy22k , kyy33k } forma una base ortonormal. 4 6.2. Aplicaciones simétricas. Diagonalización ortogonal. Definición: • f es aplicación simétrica si aplic. lineal tal que hf (x), yi = hx, f (y)i para todo x, y ∈ E. • A es matriz simétrica si A = At. • A es matriz ortogonal si A At = Id. • A es diagonalizable ortogonalmente si existe una matriz ortogonal Q tal que QtAQ = D donde D es diagonal. Teorema: la matriz asociada a una aplicación simétrica en una base ortonormal es simétrica. Teorema: una matriz A es diagonalizable ortogonalmente ⇐⇒ A es simétrica. Proceso de diagonalización ortogonal Sea A una matriz simétrica: 1. Encontrar los autovalores λ1, . . . λs de A. 2. Encontrar una base para cada espacio V (λi) = ker(A − λiI). 3. Para cada espacio V (λi), encontrar una base ortonormal mediante el proceso de Gram-Schmidt. 4. la matriz Q posee por columnas los vectores hallados en el apartado anterior. 5