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RESUMEN DE LA LECCIÓN 3. MOVIMIENTO DE TRASLACIÓN.
SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DE SCRÖDINGER CON ENERGÍA POTENCIAL CONSTANTE
=2 d 2 Ψ
HΨ = −
+ VΨ = EΨ
2m dx 2
LA PARTÍCULA
Í
LIBRE
Ψ1 = c1eiαx
c2 = 0
Ψ = c1e α x + c2 e − α x
Ψ = c1eiαx + c2 e − iαx
si V = cte
para E < V
para E > V
α2 =
Ψ 2 = c2 e−iαx
c1 = 0
p x Ψ1 = =αΨ1
( =α )
2m
x= 0
2
p x Ψ 2 = −=αΨ 2
HΨ 2 =
Ψ1 = EΨ1
x
x= 0
( =α )
H ( Ψ1 + Ψ 2 ) = E ( Ψ 1 + Ψ 2 )
Pero
2
Ψ 2 = EΨ 2
2m
px ( Ψ1 +Ψ2 ) ≠ cte( Ψ1 +Ψ2 )
x
LA PARTÍCULA EN UNA CAJA DE POTENCIALES DE PAREDES INFINITAS
V =∞
2
⎛ nπx ⎞
ψn =
sen ⎜
⎟
a
⎝ a ⎠
V =∞
x= 0
x= a
=2
E>V=0
HΨ1 =
V = 0
( E − V ) 2m
n2h2
= n 2 E1
En =
2
8ma
Con n = 1, 2, 3 ….
Probabilidad en forma de onda: Interferencia
2
2
n=1
Q2
n=2
Q2
1
1
0
0
‐Energía cinética discreta o cuantizada
‐La separación entre niveles (carácter
di
discreto) aumenta cuando disminuye )
d di i
la masa y el tamaño de la caja
h2
ΔE = ( 2n + 1)
8ma 2
‐Energía mínima diferente de cero
0
0
En un sistema con N partículas
0.5
x
E=
1
0
0
a
∑E
N
n
3
= k BT
2
0.5
x
a
1
‐Energía cinética (la velocidad solo puede tomar valores discretos
puede tomar valores discretos
n2h2 1
2
En =
=
mv
8ma 2 2
PARTÍCULA EN UNA CAJA BIDIMENSIONAL: DEGENERACIÓN DEL SISTEMA.
y= b
b
E n x ,n y
V =∞
V = 0
Ψ n x ,nn y =
V =∞
y= 0
x= 0
2
h2 ⎛ nx2 ny ⎞
=
+ 2 ⎟
⎜
8m ⎜⎝ a 2
b ⎟⎠
x= a
nx , ny = 1, 2, 3, … d
dos números cuánticos independientes. Cada número ú
á ti
i d
di t C d ú
cuántico aparece asociado a una coordenada del sistema. ⎛ n y πy ⎞
2
⎛ n πx ⎞
sen ⎜ x ⎟ sen ⎜
⎟
a b
⎝ a ⎠
⎝ b ⎠
nx = 1 y ny = 2
Cuando a=b, los estados con [nx =1 y ny =2], y [nx =2
2 y n
y ny =1]
1] son degenerados
son degenerados
La degeneración aparece debido a la simetría E n x = 2,n y =1 = E n x =1,n y = 2
que adopta el sistema cuando a = b
PARTÍCULA EN UNA CAJA DE POTENCIALES DE PAREDES ASIMÉTRICAS: EL EFECTO TÚNEL
V = 0
V =∞
‐Probabilidad diferente de cero en la región clásicamente prohibida
V0 > E
x= ‐a
V0 > E
‐Estados discretos
x= 0
a
V0
Probabilidad ⎡ 2a
⎤
P ∝ exp ⎢ −
2m ( V0 − E ) ⎥
⎣ =
⎦
Probabilidad de transmisión de una partícula (Efecto Túnel): será tanto mayor cuanto menor sean a, m y la diferencia (V0 ‐ E).