Resolución de la ecuación de Ondas en 2-D y 3

XXI Congreso de Ecuaciones Diferenciales y Aplicaciones
XI Congreso de Matemática Aplicada
Ciudad Real, 21-25 septiembre 2009
(pp. 1–8)
Resolución de la ecuación de Ondas en 2-D y 3-D utilizando
diferencias finitas generalizadas. Consistencia y Estabilidad.
Álvaro Casasús Acevedo1 , Juan José Benito Muñoz1 ,
Francisco Ureña Prieto2 , Luis Gavete Corvinos3
1
3
Dpto. de Construcción y Fabricación, Universidad Nacional de Educación a Distancia, Madrid.
E-mail: [email protected], [email protected].
2
Dpto. de Matemáticas, Universidad de Castilla-La Mancha, Ciudad Real. E-mail:
[email protected].
Dpto. de Matemática Aplicada a los Recursos Naturales, Universidad Politécnica de Madrid. E-mail:
[email protected].
Palabras clave:
diferencias finitas generalizadas, ecuación de ondas, método explı́cito, estrella.
Resumen
En esta comunicación se presenta la utilización del Método de Diferencias Finitas Generalizadas para la resolución de la ecuación de onda, para 2-D y 3-D. Para
ambos casos se inicia la comunicación con la obtención de las expresiones explı́citas
en diferencias finitas generalizadas. a partir de estas expresiones se estudia el error
de truncamiento, consistencia, estabilidad y convergencia. En la comunicación se incluyen algunos resultados, de entre los numerosos casos analizados, como ejemplos
representativos de la resolución de la ecuación de ondas, que pretenden ilustrar el
buen comportamiento del método.
1.
Introducción
La aplicación de métodos numéricos en la resolución de problemas de Fı́sica e Ingenierı́a ha estado presente a lo largo de la historia de las matemáticas. Sin embargo, la
incorporación de las computadoras les ha dado una importancia aún mayor.
Uno de los métodos tradicionales en la resolución de problemas definidos por medio de
ecuaciones diferenciales es el de diferencias finitas. Los trabajos de Benito, Gavete y Ureña
[1, 2].
Los artı́culos [3, 5] muestran la aplicación del método de diferencias finitas generalizadas
a la resolución de ecuaciones en derivadas parciales dependientes del tiempo.
En esta comunicación se obtienen, en primer lugar, las expresiones explı́citas, utilizando
1
A. Casasús, F. Ureña, J.J. Benito, L. Gavete
Figura 1: Estrella en 2D
; Estrella en 3D
diferencias finitas generalizadas, de la ecuación de ondas. En la siguiente sección se estudia
la consistencia y estabilidad, condiciones necesarias y suficientes para la convergencia de
la formulación explı́cita obtenida en la primera sección.
2.
Diferencias finitas generalizadas y método explı́cito en
2-D
Se considera la resolución numérica de la ecuación de ondas para la función U (x, y, t)
2
∂ 2 U (x, y, t)
∂ 2 F (x, y, t)
2 ∂ F (x, y, t)
=
c
[
+
] t > 0,
∂t2
∂x2
∂y 2
(x, y) ∈ Ω ⊂ R2 (1)
con las condiciones iniciales
U (x, y, 0) = f1 (x, y);
∂U (x, y, 0)
= f2 (x, y)
∂t
(2)
y la condición de contorno
aU (x0 , y0 , t) + b
∂U (x0 , y0 , t)
= g(t)
∂n
in Γ
(3)
siendo f1 (x, y), f2 (x, y) y g(t) dos funciones conocidas, c2 es una constante que representa
la velocidad de propagación de la onda y Γ la frontera del dominio Ω.
Para la obtención de las fórmulas explı́citas en diferencias finitas de las derivadas espaciales, una vez discretizado el dominio Ω ∪ Γ, se define el nodo central con un conjunto de
nodos a su alrededor, al conjunto de dichos nodos se le denomina estrella, estableciendo
una relación entre una estrella y su nodo central (ver figura 1).
Si U0 es el valor de la función en el nodo central de la estrella y Uj son los valores de las
funciones en el resto de los nodos, con j = 1, · · · , 8, entonces, de acuerdo con la serie de
expansión de Taylor
Uj = U0 + hj
∂U0 h2j ∂U02 kj2 ∂U02
∂U02
∂U0
+ kj
+
+
+
h
k
+ ···
j
j
∂x
∂y
2 ∂x2
2 ∂y 2
∂x∂y
2
(4)
Resolución de la ecuación de ondas en 2-D y 3-D utilizando GFDM
donde (x0 , y0 ) son las coordenadas espaciales del nodo central, (xj , yj ) las coordenadas del
nodo j en la estrella, hj = xj − x0 , kj = yj − y0 .
Si en la ecuación 4 los términos de orden superior al segundo son eliminados, se obtiene
la aproximación de segundo orden para Uj . Si se representa este valor por uj . Entonces es
posible definir
B(u) =
8
X
j=1
[(u0 − uj + hj
∂u0
∂u0 h2j ∂u20 kj2 ∂u20
∂u20
+ kj
+
+
+
h
k
)w(hj , kj )]2 (5)
j j
∂x
∂y
2 ∂x2
2 ∂y 2
∂x∂y
donde w(hj , kj ) es la función de ponderación.
Si la expresión 5 es minimizada con respecto a las derivadas parciales, se obtiene el siguiente
sistema de ecuaciones lineales
A5 Du5 = b5
(6)
Resolviendo el sistema 6 y teniendo en cuenta que hj = kj = h, se obtienen las siguientes
fórmulas finitas generalizadas para las derivadas parciales
1
∂ 2 U (x0 , y0 , n4t) ∂ 2 U (x0 , y0 , n4t)
+
= 2 (−20un0 +4un1 +un2 +4un3 +un4 +4un5 +un6 +4un7 +un8 )
∂x2
∂y 2
6h
(7)
Aproximando la derivada segunda respecto del tiempo en el nodo central de la estrella por
∂U 2 (x0 , y0 , n4t)
un+1
− 2un0 + u0n−1
0
=
∂t2
(4t)2
(8)
son los valores aproximados de la función U (x, y, t) en el nodo central
donde un0 y un+1
0
de coordenadas espaciales (x0 , y0 ) para los tiempos n4t y (n + 1)4t respectivamente.
Sustituyendo las ecuaciones 7 y 8 en la ecuación 1, se obtiene la ecuación lineal
+ (4t)2
= 2un0 − un−1
un+1
0
0
3.
c2
[−20un0 + 4un1 + un2 + 4un3 + un4 + 4un5 + un6 + 4un7 + un8 ]
6h2
(9)
Convergencia en 2-D
De acuerdo con el teorema de equivalencia de Lax [4], si la condición de consistencia
es satisfecha, la estabilidad es necesaria y suficiente para la condición de convergencia.
3.1.
Error de truncamiento. Consistencia
Si se designan por T Et y T E(x,y) los errores de truncamiento temporal y espacial,
respectivamente, se tiene
U (x0 , y0 , t + 4t) − 2U (x0 , y0 , t) + U (x0 , y0 , t − 4t)
∂ 2 U (x0 , y0 , t)
=
−
2
∂t
(4t)2
(4t)2 ∂ 4 U (x0 , y0 , t1 )
+ Θ((4t)4 ), t < t1 < t + 4t (10)
12
∂t4
3
A. Casasús, F. Ureña, J.J. Benito, L. Gavete
Para obtener el error de truncamiento para las derivadas espaciales, en la serie de expansion
de Taylor se incluyen los términos hasta de cuarto orden. Si se designa por B5∗ (u) la
expresión 5 en la cual se han incluido los nuevos términos, y minimizando dicha expresión
respecto de las derivadas parciales de primer y segundo orden, se obtiene
T E(x,y) = −
∂ 4 U (x1 , y1 , t)
∂ 4 U (x1 , y1 , t)
h2 2 ∂ 4 U (x1 , y1 , t)
+
2
+
)] + Θ(h4 ) (11)
[c (
12
∂x4
∂x2 ∂y 2
∂y 4
donde (x1 , y1 ) es un punto del interior del dominio definido por la estrella.
La expresión 11 es el error de truncamiento para las derivadas espaciales. La suma de ambos errores de truncamiento nos da el error de truncamiento total. Por tanto, el método
es consistente.
3.2.
Estabilidad
Si se define
un0 = ξ n eiν
Tx
0
; unj = ξ n eiν
Tx
j
(12)
donde ν = (νx , νy )T es el vector columna de los números de onda, x0 = (x0 , y0 ) es el vector
de las coordenadas del nodo central de la estrella y xj = (xj , yj ) son las coordenadas
del resto de los nodos de la estrella, con xj = x0 + hj y ξ es denominado factor de
amplificación. Si el módulo del factor de amplificación es mayor que la unidad, (kξk > 1,
el método es inestable.
Sustituyendo 12 into 9, y operando, se tiene
ξ 2 − 2ξ[1 −
(4t)2 c2
hλ
h(λ + ν)
[16 sen2 ( ) + 4 sen2 (
)
2
12h
2
2
hν
h(λ − ν)
+ 16 sen2 ( ) + 4 sen2 (
)] + 1 = 0 (13)
2
2
y denominando
(4t)2 c2
hλ
h(λ + ν)
[16 sen2 ( ) + 4 sen2 (
)
2
12h
2
2
hν
h(λ − ν)
+16 sen2 ( ) + 4 sen2 (
)]
2
2
la ecuación 14 se puede escribir
p
p
ξ 2 − 2bξ + 1 = 0 ⇒ ξ1 = b + b2 − 1; ξ1 = b − b2 − 1
b=1−
(14)
(15)
Para que el algoritmo sea inestable kξk 1, y de acuerdo con 15 se tiene que
|b| > 1 ⇒ kξk 1
Si |b| > 1se tiene que ξ es complejo, puesto que de acuerdo con 16
p
ξ1 = b ± i 1 − b2 ⇒ kξk = 1
4
(16)
(17)
Resolución de la ecuación de ondas en 2-D y 3-D utilizando GFDM
por tanto la condición de estabilidad viene dada por
(4t)2 c2
hλ
h(λ + ν)
[16 sen2 ( ) + 4 sen2 (
)
12h2
2
2
h(λ − ν)
hν
)] ≤ 1 ⇔
+ 16 sen2 ( ) + 4 sen2 (
2
2
(4t)2 c2
hλ
h(λ + ν)
0≤
[16 sen2 ( ) + 4 sen2 (
)
2
12h
2
2
h(λ − ν)
hν
)] ≤ 2 (18)
+ 16 sen2 ( ) + 4 sen2 (
2
2
− 1 ≤ b ≤ 1 ⇔ −1 ≤ 1 −
La condición de estabilidad viene dada por
(4t)2 c2
0 ≤ 40
≤ 2 ⇔ 0 < 4t ≤
12h2
4.
r
3h2
5c2
(19)
Diferencias finitas generalizadas y método explı́cito en
3-D
La ecuación de ondas, es
2
∂ 2 U (x, y, z, t)
∂ 2 U (x, y, z, t) ∂ 2 U (x, y, z, t)
2 ∂ U (x, y, z, t)
=
c
[
+
+
]
∂t2
∂x2
∂y 2
∂z 2
(20)
Obteniendo las ecuaciones 4 y 5 para tres dimensiones y minimizando respecto de las
derivadas parciales, se obtiene el sistema para 3-D, similar al 6,
A9 Du9 = b9
(21)
Resolviendo el sistema 21 y teniendo en cuenta que hj = kj = lj = h, se obtienen las siguientes fórmulas finitas generalizadas para las derivadas parciales espaciales. Obteniéndose
la expresión lineal en diferencias finitas para 3-D
1
[−356un0 +36un1 +9un2 +36un3 +9un4 +36un5 +9un6 +36un7 +9un8 +
88h2
36un9 + 9un10 + 4un11 + 9un12 + 4un13 + 9un14 + 4un15 + 9un16 + 4un17
+(4t)2
= un0 −un−1
un+1
0
0
+ 36un18 + 9un19 + 4un20 + 9un21 + 4un22 + 9un23 + 4un24 + 9un25 + 4un26 ] (22)
5.
5.1.
Convergencia
Error de truncamiento. Consistencia.
∂ 2 U (x0 , y0 , z0 , t)
U (x0 , y0 , z0 , t + 4t) − 2U (x0 , y0 , z0 , t) + U (x0 , y0 , z0 , t − 4t)
=
−
2
∂t
(4t)2
(4t)2 ∂ 4 U (x0 , y0 , z0 , t1 )
+ Θ((4t)4 ), t < t1 < t + 4t (23)
12
∂t4
5
A. Casasús, F. Ureña, J.J. Benito, L. Gavete
(4t)2 ∂ 4 U (x0 , y0 , z0 , t1 )
+ Θ((4t)4 ), t < t1 < t + 4t
(24)
12
∂t4
Para obtener el error de truncamiento para las derivadas espaciales, se sigue el mismo
procedimiento que en 2-D, obteniéndose
(T Et ) = −
T E(x,y,z) = −
h2 2 ∂ 4 U (x1 , y1 , z1 , t) ∂ 4 U (x1 , y1 , z1 , t) ∂ 4 U (x1 , y1 , z1 , t) 51 ∂ 4 U (x1 , y1 , z1 , t)
[c (2
+2
+2
+
24
∂x4
∂y 4
∂z 4
11
∂x2 ∂y 2
4
4
51 ∂ U (x1 , y1 , z1 , t) 51 ∂ U (x1 , y1 , z1 , t)
+
+
) + Θ2 (h4 ) (25)
11
∂x2 ∂z 2
11
∂y 2 ∂z 2
La expresión 25 es el error de truncamiento para las derivadas espaciales, donde (x1 , y1 , z1 )
es un punto interior del dominio definido por la estrella. La suma de ambos errores de truncamiento es el error de truncamiento total (TTE). Por tanto, el algoritmo es consistente.
5.2.
Estabilidad
Al igual que para el caso en 2-D, se utiliza el análisis de von Neumann para establecer
la condición de estabilidad.
Para el caso tridimensional
un0 = ξ n ei{λ,ν,ϕ}
T {x
0 ,y0 ,z0 }
; unj = ξ n ei{λ,ν,ϕ}
T {x
j ,yj ,zj }
(26)
donde {λ, ν, ϕ} es el vector columna de los números de ondas, {x0 , y0 , z0 } es el vector de
las coordenadas del nodo central de la estrella y {xj , yj , zj } son las coordenadas del resto
de los nodos de la estrella (ver figura), siendo:
{xj , yj , zj } = {x0 , y0 , z0 } + {hj , kj , lj }
(27)
Sustituyendo 28 y 29 en 22, y después de operar y teniendo en cuenta lo mostrado para
el caso 2-D, la condición de estabilidad viene dada por
r
44h2
0 < 4t ≤
(28)
89c2
6.
Resultados numéricos
En esta sección se muestran dos ejemplos de resolución numérica de ecuación de onda
en 2-D y 3-D. Las funciones de ponderación utilizadas han sido
1
w(hj , kj ) = q
(h2j
+
;
kj2 )3
1
w(hj , kj , lj ) = q
(h2j
(29)
+ kj2 + lj2 )3
y el criterio de selección de los nodos el del cuadrante. El error global ha sido calculado
para cada paso de tiempo usando la siguiente norma
q PN T
j=1 (sol(j)−exac(j))
Error
NT
global =
|exacmax |
2
× 100
(30)
where sol(j) es el valor de la solución aproximada en el nodo j, exac(j) es la valor de
la solución exacta en el nodo j, exacmax es el máximo valor de la solución exacta en los
nodos interiores de de la malla considerada y N T es el número de nodos del interior.
6
Resolución de la ecuación de ondas en 2-D y 3-D utilizando GFDM
Figura 2: Error
6.1.
global
versus
n
o
nodos
; Error
global versus
4t
Ejemplo 2-D
∂ 2 U (x, y, t)
∂t2
=
∂ 2 U (x, y, t)
∂ 2 U (x, y, t)
+
∂x2
∂y 2
t
>
0,
0
<
x, y
<
1 (31)
con la condición inicial
U (x, y, 0) = sen πx sen πy
(32)
y las condiciones de contorno Dirichlet, siendo la solución exacta
√
U (x, y, t) = cos 2π sen πx sen πy
(33)
En la figura 2 se muestra, manteniendo fijo el paso de tiempo (4t = 0,0001), la disminución
del error global al aumentar el número de nodos en la malla. También, en la figura 2 se
muestra la disminución del error global al disminuir el paso de tiempo para la malla de
441 nodos.
6.2.
Ejemplo 3-D
∂ 2 U (x, y, z, t)
∂ 2 U (x, y, z, t) ∂ 2 U (x, y, z, t) ∂ 2 U (x, y, z, t)
=
+
+
∂t2
∂x2
∂y 2
∂z 2
t > 0,
0 < x, y < 1
(34)
U (x, y, z, 0) = sen πx sen πy sen πz
y las condiciones de contorno Dirichlet, siendo la solución exacta
√
U (x, y, z, t) = cos 3π sen πx sen πy sen πz
(35)
(36)
En la figura 3 se muestra, manteniendo fijo el paso de tiempo (4t = 0,001), la disminución
del error global al aumentar el número de nodos en la malla. También, en la figura 3 se
muestra la disminución del error global al disminuir el paso de tiempo para la malla de
441 nodos.
7
A. Casasús, F. Ureña, J.J. Benito, L. Gavete
Figura 3: Error
7.
global
versus
no
nodos
;
Error
global versus
4t
Conclusiones
En esta comunicación se ha obtenido el error de truncamiento y, por tanto, la consistencia ha sido demostrada. Igualmente, se ha obtenido el criterio de estabilidad utilizando
el análisis de von Neumann.
Los ejemplos resueltos, de los numerosos a los que se ha aplicado el GFDM, muestran su
buen comportamiento.
Agradecimientos
Los autores agradecen la ayuda recibida del Ministerio de Ciencia e Innovación de
España en el proyecto TISMANCA, Ref.: CGL2008-01757/CLI.
Referencias
[1] J.J. Benito, F. Ureña, L. Gavete, Influence of several factors in the generalized finite difference
method. Applied Mathematical Modelling,2512,1039-1053(2001).
[2] J.J. Benito, F. Ureña, L. Gavete, R. Alvarez, An h-adaptive method in the generalized finite differences. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 192,735-759(2003).
[3] J.J. Benito, F. Ureña, L. Gavete, Solving parabolic and hyperbolic equations by Generalized Finite
Difference Method. Journal of Computational and Applied Mathematics, Vol 209, Issue 2, 15 December 2007, Pages 208-233.
[4] A.R. Mitchell, D.F. Griffiths, The Finite Difference Method in Partial Differential Equations. International Journal for Numerical Methods in Engineering (1980).
[5] F. Ureña, J.J. Benito, L. Gavete, R. Alvarez, Resolución de ecuaciones diferenciales en derivadas
parciales dependientes del tiempo de segundo orden utilizando Diferencias Finitas Generalizadas.
Revista Internacional de Métodos Numéricos para cálculo y diseño en ingenierı́a. Vol. 19, 3, 331-340
(2003).
8