Resolución de la ecuación de Difusión en 2-D y 3

XXI Congreso de Ecuaciones Diferenciales y Aplicaciones
XI Congreso de Matemática Aplicada
Ciudad Real, 21-25 septiembre 2009
(pp. 1–8)
Resolución de la ecuación de Difusión en 2-D y 3-D
utilizando diferencias finitas generalizadas. Consistencia y
Estabilidad.
L.M. Sánchez1 ,F. Ureña1 , J.J. Benito2 , L. Gavete3
1
Dpto. de Matemáticas, Universidad de Castilla-La Mancha, Ciudad Real. E-mail:
[email protected],[email protected].
2
Dpto. de Construcción y Fabricación, Universidad Nacional de Educación a Distancia, Madrid. E-mail:
[email protected].
3
Dpto. de Matemática Aplicada a los Recursos Naturales, Universidad Politécnica de Madrid. E-mail:
[email protected].
Palabras clave:
diferencias finitas generalizadas, ecuación de difusión, método explı́cito, estrella.
Resumen
En esta comunicación se presenta la utilización del Método de Diferencias Finitas Generalizadas para la resolución de la ecuación de difusión, para 2-D y 3-D. La
comunicación se inicia con la obtención de las expresiones explı́citas en diferencias
finitas generalizadas. A partir de estas expresiones se estudia el error de truncamiento, consistencia, estabilidad y convergencia. En la comunicación se incluyen algunos
resultados, de entre los numerosos casos analizados, como ejemplos representativos de
la resolución de la ecuación de difusión que pretenden ilustrar el buen comportamiento
del método.
1.
Introducción
El método de diferencias finitas generalizadas (GFDM), como generalización del método de diferencias finitas, permite la aplicación en dominios irregulares. Al desarrollo de
este método han contribuido los trabajos de Benito, Ureña y Gavete [1, 2].
Los artı́culos [3, 5] muestran la aplicación del método de diferencias finitas generalizadas
a la resolución de ecuaciones en derivadas parciales dependientes del tiempo.
1
L.M. Sánchez,F. Ureña, J.J. Benito, L. Gavete
Figura 1: Estrella en 2D
2.
; Estrella en 3D
Diferencias finitas generalizadas y método explı́cito en
2-D
Se considera la resolución numérica de la ecuación de ondas para la función U (x, y, t)
∂U (x, y, t)
∂t
= α
∂ 2 U (x, y, t)
∂ 2 U (x, y, t)
+
β
∂x2
∂y 2
t > 0,
(x, y) ∈ Ω ⊂ R2 (1)
con la condición inicial
U (x, y, 0) = f (x, y)
(2)
y la condición de contorno
aU (x0 , y0 , t) + b
∂U (x0 , y0 , t)
= g(t)
∂n
in Γ
(3)
siendo f (x, y) y g(t) dos funciones conocidas, α es el coeficiente de difusión y Γ la frontera
del dominio Ω.
Para la obtención de las fórmulas explı́citas en diferencias finitas de las derivadas espaciales, una vez discretizado el dominio Ω ∪ Γ, se define el nodo central con un conjunto de
nodos a su alrededor, al conjunto de dichos nodos se le denomina estrella, estableciendo
una relación entre una estrella y su nodo central (ver figura 1).
Si U0 es el valor de la función en el nodo central de la estrella y Uj son los valores de las
funciones en el resto de los nodos, con j = 1, · · · , 8, entonces, de acuerdo con la serie de
expansión de Taylor
Uj = U0 + hj
∂U0
∂U0 h2j ∂U02 kj2 ∂U02
∂U02
+ kj
+
+
+
h
k
+ ···
j j
∂x
∂y
2 ∂x2
2 ∂y 2
∂x∂y
(4)
donde (x0 , y0 ) son las coordenadas espaciales del nodo central, (xj , yj ) las coordenadas del
nodo j en la estrella, hj = xj − x0 , kj = yj − y0 .
Si en la ecuación 4 los términos de orden superior al segundo son eliminados, se obtiene
la aproximación de segundo orden para Uj . Si se representa este valor por uj . Entonces es
2
Resolución de la ecuación de difusión en 2-D y 3-D utilizando GFDM
posible definir
B(u) =
8
X
[(u0 − uj + hj
j=1
∂u20
∂u0 h2j ∂u20 kj2 ∂u20
∂u0
+
+ hj kj
+ kj
+
)w(hj , kj )]2 (5)
2
2
∂x
∂y
2 ∂x
2 ∂y
∂x∂y
donde w(hj , kj ) es la función de ponderación.
Si la expresión 5 es minimizada con respecto a las derivadas parciales, se obtiene el siguiente
sistema de ecuaciones lineales
A5 Du5 = b5
(6)
Resolviendo el sistema 6 y teniendo en cuenta que hj = kj = h, se obtienen las siguientes
fórmulas finitas generalizadas para las derivadas parciales
∂ 2 U (x0 , y0 , n4t)
1
=
[−20un0 + 10un1 + un2 − 2un3 + un4 + 10un5 + un6 − 2un7 + un8 ] (7)
∂x2
12h2
∂ 2 U (x0 , y0 , n4t)
1
=
[−20un0 − 2un1 + un2 + 10un3 + un4 − 2un5 + un6 + 10un7 + un8 ] (8)
2
∂y
12h2
Aproximando la derivada segunda respecto del tiempo en el nodo central de la estrella por
∂U (x0 , y0 , n4t)
un+1 − un0
= 0
∂t
4t
(9)
donde un0 y un+1
son los valores aproximados de la función U (x, y, t) en el nodo central
0
de coordenadas espaciales (x0 , y0 ) para los tiempos n4t y (n + 1)4t respectivamente.
Sustituyendo las ecuaciones 7, 8 y 9 en la ecuación 1, se obtiene la ecuación lineal
= un0 + 4t
un+1
0
3.
α
[−20un0 + 10un1 + un2 − 2un3 + un4 + 10un5 + un6 − 2un7 + un8 ]
12h2
α
4t
[−20un0 − 2un1 + un2 + 10un3 + un4 − 2un5 + un6 + 10un7 + un8 ] (10)
12h2
Convergencia en 2-D
De acuerdo con el teorema de equivalencia de Lax [4], si la condición de consistencia
es satisfecha, la estabilidad es necesaria y suficiente para la condición de convergencia.
3.1.
Error de truncamiento. Consistencia
Si se designan por T Et y T E(x,y) los errores de truncamiento temporal y espacial,
respectivamente, se tiene
∂U (x0 , y0 , t)
U (x0 , y0 , t + 4t) − U (x0 , y0 , t)
=
−
∂t
4t
4t ∂ 2 U (x0 , y0 , t1 )
+ Θ((4t)2 ),
2
∂t2
t < t1 < t + 4t (11)
Para obtener el error de truncamiento para las derivadas espaciales, en la serie de expansion
de Taylor se incluyen los términos hasta de cuarto orden. Si se designa por B5∗ (u) la
3
L.M. Sánchez,F. Ureña, J.J. Benito, L. Gavete
expresión 5 en la cual se han incluido los nuevos términos, y minimizando dicha expresión
respecto de las derivadas parciales de primer y segundo orden, se obtiene
T E(x,y) = −
h2
∂ 4 U (x1 , y1 , t) ∂ 4 U (x1 , y1 , t)
+
)+
[α(
12
∂x4
∂x2 ∂y 2
∂ 4 U (x1 , y1 , t) ∂ 4 U (x1 , y1 , t)
β(
+
)] + Θ(h4 ) (12)
∂x2 ∂y 2
∂y 4
donde (x1 , y1 ) es un punto del interior del dominio definido por la estrella.
La expresión 12 es el error de truncamiento para las derivadas espaciales. La suma de ambos errores de truncamiento nos da el error de truncamiento total. Por tanto, el método
es consistente.
3.2.
Estabilidad
Si se define
un0 = ξ n eiν
Tx
0
; unj = ξ n eiν
Tx
j
(13)
donde ν = (νx , νy )T es el vector columna de los números de onda, x0 = (x0 , y0 ) es el vector
de las coordenadas del nodo central de la estrella y xj = (xj , yj ) son las coordenadas
del resto de los nodos de la estrella, con xj = x0 + hj y ξ es denominado factor de
amplificación. Si el módulo del factor de amplificación es mayor que la unidad, (kξk > 1,
el método es inestable.
Sustituyendo 13 into 9, y operando, se tiene
ξ =1+
4t
[α(−20 + 20 cos hλ + 2 cos h(λ + ν) − 4 cos hν + 2 cos h(λ − ν))
12h2
+ β(−20 + 20 cos hν + 2 cos h(λ + ν) − 4 cos hλ + 2 cos h(λ − ν))]
4t
hλ
h(λ + ν)
= 1 − 2 [α(10 sen2 ( ) + sen2 (
)
3h
2
2
hν
h(λ − ν)
hν
h(λ + ν)
− 2 sen2 ( ) + sen2 (
)) + β(10 sen2 ( ) + sen2 (
)
2
2
2
2
hλ
h(λ − ν)
))] (14)
− 2 sen2 ( ) + sen2 (
2
2
Imponiendo la condición de estabilidad
4t
hλ
h(λ + ν)
[α(10 sen2 ( ) + sen2 (
)
2
3h
2
2
hν
h(λ − ν)
hν
h(λ + ν)
− 2 sen2 ( ) + sen2 (
)) + β(10 sen2 ( ) + sen2 (
)
2
2
2
2
hλ
h(λ − ν)
− 2 sen2 ( ) + sen2 (
))] ≤ 1 (15)
2
2
− 1 ≤ ξ ≤ 1 ⇔ −1 ≤ 1 −
La condición de estabilidad viene dada por
0 ≤ 4t ≤
6h2
10(α + β)
4
(16)
Resolución de la ecuación de difusión en 2-D y 3-D utilizando GFDM
4.
Diferencias finitas generalizadas y método explı́cito en
3-D
La ecuación de ondas, es
∂U (x, y, z, t)
∂ 2 U (x, y, z, t)
∂ 2 U (x, y, z, t)
∂ 2 U (x, y, z, t)
+
β
+
γ
=α
∂t
∂x2
∂y 2
∂z 2
(17)
Obteniendo las ecuaciones 4 y 5 para tres dimensiones y minimizando respecto de las
derivadas parciales, se obtiene el sistema para 3-D, similar al 6,
A9 Du9 = b9
(18)
Resolviendo el sistema 18 y teniendo en cuenta que hj = kj = lj = h, se obtienen las siguientes fórmulas finitas generalizadas para las derivadas parciales espaciales. Obteniéndose
la expresión lineal en diferencias finitas para 3-D
1
[α(−1780un0 + 884un1 + 89un2 − 172un3 + 89un4 + 884un5 + 89un6
1320h2
− 172un7 + 89un8 − 172un9 + 89un10 + 20un11 − 43un12 + 20un13 + 89un14 + 20un15 − 43un16
= un0 + 4t
un+1
0
+ 20un17 − 172un18 + 89un19 + 20un20 − 43un21 + 20un22 + 89un23 + 20un24 − 43un25
+ 20un26 ) + β(−1780un0 − 172un1 + 89un2 + 884un3 + 89un4 − 172un5 + 89un6 + 884un7
+ 89un8 − 172un9 − 43un10 + 20un11 + 89un12 + 20un13 − 43un14 + 20un15 + 89un16
+ 20un17 − 172un18 − 43un19 + 20un20 + 89un21 + 20un22 − 43un23 + 20un24 + 89un25
+ 20un26 ) + γ(−1780un0 − 172un1 − 43un2 − 172un3 − 43un4 − 172un5 − 43un6 − 172un7
− 43un8 + 884un9 + 89un10 + 20un11 + 89un12 + 20un13 + 89un14 + 20un15 + 89un16
+ 20un17 + 884un18 + 89un19 + 20un20 + 89un21 + 20un22 + 89un23 + 20un24 + 89un25 + 20un26 )]
(19)
5.
5.1.
Convergencia
Error de truncamiento. Consistencia.
U (x0 , y0 , z0 , t + 4t) − U (x0 , y0 , z0 , t)
∂ 2 U (x0 , y0 , z0 , t)
=
−
2
∂t
4t
4t ∂ 2 U (x0 , y0 , z0 , t1 )
+ Θ((4t)2 ),
2
∂t2
(T Et ) = −
4t ∂ 2 U (x0 , y0 , z0 , t1 )
+ Θ((4t)2 ),
2
∂t2
5
t < t1 < t + 4t (20)
t < t1 < t + 4t
(21)
L.M. Sánchez,F. Ureña, J.J. Benito, L. Gavete
Para obtener el error de truncamiento para las derivadas espaciales, se sigue el mismo
procedimiento que en 2-D, obteniéndose
h2
∂ 4 U (x1 , y1 , z1 , t) 258 ∂ 4 U (x1 , y1 , z1 , t) 258 ∂ 4 U (x1 , y1 , z1 , t)
[α(4
+
+
−
48
∂x4
55
∂x2 ∂y 2
55
∂x2 ∂z 2
∂ 4 U (x1 , y1 , z1 , t) 258 ∂ 4 U (x1 , y1 , z1 , t)
6 ∂ 4 U (x1 , y1 , z1 , t)
)
+
β(4
+
−
55
∂y 2 ∂z 2
∂y 4
55
∂x2 ∂y 2
6 ∂ 4 U (x1 , y1 , z1 , t) 258 ∂ 4 U (x1 , y1 , z1 , t)
∂ 4 U (x1 , y1 , z1 , t) 6 ∂ 4 U (x1 , y1 , z1 , t)
+
)+γ(4
−
+
55
∂x2 ∂z 2
55
∂y 2 ∂z 2
∂z 4
55
∂x2 ∂y 2
258 ∂ 4 U (x1 , y1 , z1 , t) 258 ∂ 4 U (x1 , y1 , z1 , t)
+
)] + Θ2 (h4 ) (22)
55
∂x2 ∂z 2
55
∂y 2 ∂z 2
T E(x,y,z) = −
La expresión 22 es el error de truncamiento para las derivadas espaciales, donde (x1 , y1 , z1 )
es un punto interior del dominio definido por la estrella. La suma de ambos errores de truncamiento es el error de truncamiento total (TTE). Por tanto, el algoritmo es consistente.
5.2.
Estabilidad
Al igual que para el caso en 2-D, se utiliza el análisis de von Neumann para establecer
la condición de estabilidad.
Para el caso tridimensional
un0 = ξ n ei{λ,ν,ϕ}
T {x
0 ,y0 ,z0 }
; unj = ξ n ei{λ,ν,ϕ}
T {x
j ,yj ,zj }
(23)
donde {λ, ν, ϕ} es el vector columna de los números de ondas, {x0 , y0 , z0 } es el vector de
las coordenadas del nodo central de la estrella y {xj , yj , zj } son las coordenadas del resto
de los nodos de la estrella (ver figura), siendo:
{xj , yj , zj } = {x0 , y0 , z0 } + {hj , kj , lj }
(24)
Sustituyendo 23 y 24 en 19, y después de operar y teniendo en cuenta lo mostrado para
el caso 2-D, la condición de estabilidad viene dada por
0 ≤ 4t ≤
6.
66h2
89(α + β + γ)
(25)
Resultados numéricos
En esta sección se muestran dos ejemplos de resolución numérica de ecuaciones difusión
en 2-D y 3-D. Las funciones de ponderación utilizadas han sido
1
w(hj , kj ) = q
(h2j + kj2 )3
;
1
w(hj , kj , lj ) = q
(26)
(h2j + kj2 + lj2 )3
y el criterio de selección de los nodos el de la distancia. El error global ha sido calculado
para cada paso de tiempo usando la siguiente norma
q PN T
j=1 (sol(j)−exac(j))
Error
NT
global =
|exacmax |
6
2
× 100
(27)
Resolución de la ecuación de difusión en 2-D y 3-D utilizando GFDM
Figura 2: Error
global
versus
n
o
nodos
; Error
global versus
4t
where sol(j) es el valor de la solución aproximada en el nodo j, exac(j) es la valor de
la solución exacta en el nodo j, exacmax es el máximo valor de la solución exacta en los
nodos interiores de de la malla considerada y N T es el número de nodos del interior.
6.1.
Ejemplo 2-D
∂ 2 U (x, y, t)
∂t2
=
∂ 2 U (x, y, t)
∂ 2 U (x, y, t)
+
∂x2
∂y 2
t
>
0,
0
<
x, y
<
1 (28)
con la condición inicial
U (x, y, 0) = sen π(x + y)
(29)
y las condiciones de contorno Dirichlet, siendo la solución exacta
2
U (x, y, t) = e−2π t sen π(x + y)
(30)
En la figura 2 se muestra, manteniendo fijo el paso de tiempo (4t = 0,0001), la disminución
del error global al aumentar el número de nodos en la malla. También, en la figura 2 se
muestra la disminución del error global al disminuir el paso de tiempo para la malla de
121 nodos.
6.2.
Ejemplo 3-D
∂ 2 U (x, y, z, t)
∂ 2 U (x, y, z, t) ∂ 2 U (x, y, z, t) ∂ 2 U (x, y, z, t)
=
+
+
∂t2
∂x2
∂y 2
∂z 2
t > 0,
0 < x, y, z < 1
(31)
con la condición inicial
U (x, y, z, 0) = sen π(x + y + z)
(32)
y las condiciones de contorno Dirichlet, siendo la solución exacta
2
U (x, y, z, t) = e−3π t sen π(x + y + z)
7
(33)
L.M. Sánchez,F. Ureña, J.J. Benito, L. Gavete
Figura 3: Error
global
versus
no
nodos
;
Error
global versus
4t
En la figura 3 se muestra, manteniendo fijo el paso de tiempo (4t = 0,0001), la disminución
del error global al aumentar el número de nodos en la malla. También, en la figura 3 se
muestra la disminución del error global al disminuir el paso de tiempo para la malla de
1331 nodos.
7.
Conclusiones
En esta comunicación se ha obtenido el error de truncamiento y, por tanto, la consistencia ha sido demostrada. Igualmente, se ha obtenido el criterio de estabilidad utilizando
el análisis de von Neumann.
Los ejemplos mostrados, de los numerosos resueltos a los que se ha aplicado el GFDM,
muestran su buen comportamiento.
Agradecimientos
Los autores agradecen la ayuda recibida del Ministerio de Ciencia e Innovación de
España en el proyecto TISMANCA, Ref.: CGL2008-01757/CLI.
Referencias
[1] J.J. Benito, F. Ureña, L. Gavete, Influence of several factors in the generalized finite difference
method. Applied Mathematical Modelling,2512,1039-1053(2001).
[2] J.J. Benito, F. Ureña, L. Gavete, R. Alvarez, An h-adaptive method in the generalized finite differences. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 192,735-759(2003).
[3] J.J. Benito, F. Ureña, L. Gavete, Solving parabolic and hyperbolic equations by Generalized Finite
Difference Method. Journal of Computational and Applied Mathematics, Vol 209, Issue 2, 15 December 2007, Pages 208-233.
[4] A.R. Mitchell, D.F. Griffiths, The Finite Difference Method in Partial Differential Equations. International Journal for Numerical Methods in Engineering (1980).
[5] F. Ureña, J.J. Benito, L. Gavete, R. Alvarez, Resolución de ecuaciones diferenciales en derivadas
parciales dependientes del tiempo de segundo orden utilizando Diferencias Finitas Generalizadas.
Revista Internacional de Métodos Numéricos para cálculo y diseño en ingenierı́a. Vol. 19, 3, 331-340
(2003).
8