Solución Practica 3 ED

Solución Práctica 3 - Primer Trimestre
Ecuaciones diferenciales y Estabilidad en tiempo continuo
Ejercicio 1.- La dinámica del precio de mercado.
Suponga un modelo de un solo mercado, donde las funciones de demanda y oferta del
bien son las siguientes:
Qd = α − βP (α, β > 0)
(1)
Qs = −γ + δP (γ, δ > 0)
A partir de estas ecuaciones, es posible encontrar el precio de equilibrio en aquel nivel P ∗
que iguala la oferta y la demanda (Qd (P ∗ ) = Qs (P ∗ )):
α+γ
(2)
Qd = α − βP = −γ + δP = Qs =⇒ P ∗ =
β+δ
Si el precio inicial coincidiera con este precio, es decir que P (0) = P ∗ , el mercado ya se
encontrará en equilibrio. Sin embargo, si este no fuera el caso, será necesario realizar un
análisis dinámico de la evolución del precio a lo largo del tiempo para saber si se alcanza
el equilibrio en el nivel P ∗ . Pero como a partir de las funciones de demanda y oferta se
tiene que las cantidades dependen del precio, y este cambiará a con el tiempo, es posible
afirmar que tanto el precio como las cantidades son funciones del tiempo. La cuestión
entonces será descubrir si la trayectoria de tiempo para el precio, P (t), converge o no al
nivel de equilibrio P ∗ , cuando t → ∞.
Para poder realizar este estudio debemos conocer cuál es el patrón especı́fico del cambio
del precio a lo largo del tiempo, es decir, cuál es el mecanismo de ajuste del precio ante
cambios en las condiciones del mercado. En este ejercicio supondremos que el patrón de
cambio es:
dP
= j(Qd − Qs ) (j > 0) ,
(3)
dt
donde j representa el coeficiente de ajuste, que se supone constante. Esta ecuación nos
indica que la tasa de cambio del precio es proporcional a la demanda excedente.
En estas condiciones, se pide:
1. Analice la racionalidad económica de las funciones de demanda y oferta, ası́ como
del patrón de cambio del precio.
Las funciones de demanda y oferta obedecen a una formulación tı́pica de los modelos
económicos, en donde la cantidad demandada depende negativamente del precio de
dicho bien y la cantidad ofrecida lo hace en forma positiva.
La ecuación de mecanismo de ajuste del precio, como lo indica la letra, implica que
la tasa de cambio del precio es proporcional a la demanda excedente, en un factor
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j. Dada la naturaleza de bien normal que se está analizando, si la demanda del bien
es superior a la oferta en un momento del tiempo (exceso de demanda positivo), el
precio subirá como forma de contraer la demanda e incrementar la oferta. Una caı́da
del precio se observarı́a en este mercado si el caso es el opuesto, en donde la oferta
supera a la demanda. Este proceso de ajuste se dará perı́odo tras perı́odo hasta el
punto en que oferta y demanda se igualen, haciendo cero el exceso de demanda, lo
cual sucederá para un precio como el P ∗ indicado en la letra del ejercicio.
2. Exprese el patrón de cambio del precio en función de las ecuaciones de oferta y
demanda particulares de este ejercicio.
dP
= j(Qd − Qs ) = j(α − βP − (−γ + δP )) = j(α + γ) − j(β + δ)P
dt
(4)
Es decir,
dP
+ j(β + δ)P = j(α + γ)
dt
(5)
3. Dado un precio inicial P(0), resuelva la ecuación diferencial resultante del punto
anterior y analice la estabilidad del modelo.
La solución general homogénea viene dada por la forma:
P = Aeλt ⇒
dP
= λAeλt
dt
(6)
Sustituyendo en la ecuación diferencial para el caso homogéneo se tiene:
λAeλt + j(β + δ)Aeλt = 0
Aeλt (λ + j(β + δ)) = 0
(7)
Y por tanto la solución no trivial implica que:
λ = −j(β + δ))
(8)
La Solución General Homogénea (SGH) es:
Pc = Ae−j(β+δ))t
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(9)
2
Dada la forma constante del término independiente, las soluciones particulares serán
de la forma:
P =k⇒
dP
=0
dt
(10)
Sustituyendo en la ecuación diferencial para el precio se tiene:
j(β + δ)k = j(α + γ) ⇒ k =
α+γ
β+δ
La Solución Particular No Homogénea entonces es:
Pp =
α+γ
β+δ
(11)
La solución completa para el precio es:
P = Pc + Pp = Ae−j(β+δ))t +
α+γ
β+δ
(12)
Para establecer el valor de la constante A se toma en cuenta el hecho de que en
t = 0, P (0) = P0 , por lo que:
P (0) = Ae−j(β+δ))0 +
α+γ
α+γ
= P0 ⇒ A = P0 −
β+δ
β+δ
(13)
De esta manera, la trayectoria del precio de equilibrio será:
α+γ
α+γ
P = P0 −
e−j(β+δ))t +
β+δ
β+δ
(14)
Finalmente, el estudio de la estabilidad del modelo implica responder a la pregunta
de qué sucede con la trayectoria del precio cuando el tiempo tiende a infinito, es
decir, si P tiende o no al precio de equilibrio cuando t → ∞.
lı́m P = lı́m
t→∞
t→∞
α+γ
P0 −
β+δ
e−j(β+δ))t +
α+γ
α+γ
=
β+δ
β+δ
(15)
Esto es ası́ debido a que −j(β + δ) < 0. Por tanto, el modelo es dinámicamente
estable puesto que el precio tiende a su nivel de equilibrio intertemporal. La trayectoria de convergencia es directa debido a la naturaleza del problema, y la misma
irá en ascenso o será descendiente dependiendo de si el nivel inicial del precio, P0 ,
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se encuentra por debajo o encima del precio de equilibrio de largo plazo respectivamente. Si el precio inicial fuera exactamente igual al de largo plazo, el equilibrio es
un hecho consumado y el precio se mantendrá en ese nivel para todo t.
4. Represente gráficamente el resultado obtenido.
Ejercicio 2.- Dinámica del precio de mercado (2)
Suponga ahora que el mercado se rige por las siguientes ecuaciones:
(α, β, σ > 0)
Qd = α − βP + σ dP
dt
Qs = −γ + δP (γ, δ > 0)
(16)
Se pide:
1. Asumiendo nuevamente que la tasa de cambio del precio es proporcional a la demanda excedente (dP/dt = j(Qd − Qs )), exprese el patrón de cambio del precio en
función de las nuevas ecuaciones de oferta y demanda.
dP
dP
dP
= j(Qd −Qs ) = j(α−βP +σ
−(−γ+δP )) = j(α+γ)−j(β+δ)P +jσ
(17)
dt
dt
dt
La cual puede escribirse en forma simplificada:
dP
j(β + δ)
j(α + γ)
+
P =
dt
1 − jσ
1 − jσ
(1 − jσ 6= 0)
(18)
2. Encuentre el nuevo precio de equilibrio intertemporal P ∗ .
El precio de equilibrio intertemporal es la SPNH que será de la forma constante
P = k, por lo que Ṗ = 0. Sustituyendo en la ecuación anterior se llega a igual precio
de equilibrio que en el modelo anterior:
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4
Pp =
α+γ
β+δ
(19)
3. Dado un precio inicial P(0), resuelva la ecuación diferencial resultante del punto
anterior y analice la estabilidad del modelo.
Para hallar la trayectoria completa resta encontrar la solución general homogénea,
la cual será de la forma P = Aeλt .
λAeλt +
j(β + δ) λt
Ae = 0
1 − jσ
j(β + δ)
j(β + δ)
λ+
Ae
=0⇒λ=−
1 − jσ
1 − jσ
λt
(20)
La solución general homogénea resultante es:
Pc = Ae−
j(β+δ)
t
1−jσ
(21)
La solución general resultante es:
P = Ae−
j(β+δ)
t
1−jσ
+
α+γ
β+δ
(22)
La estabilidad de este modelo depende del factor − j(β+δ)
t cuando t tiende a infinito.
1−jσ
Para que exista estabilidad dinámica es necesario que el cociente anterior sea negativo, lo que equivale a establecer que el denominador sea positivo, es decir, 1−jσ > 0,
o σ < 1j .
Ejercicio 3.- Modelo de expectativas racionales de inflación.
La hipótesis de las expectativas racionales sobre la evolución del precio de cierto activo
refiere a: i) los agentes conocen el modelo utilizado para determinar el precio del activo,
ii) los agentes poseen información completa sobre toda la trayectoria pasada, presente
y futura de las variables exógenas, y iii) las expectativas de la tasa de cambio esperada
del precio, π̇ e , coinciden exactamente con la predicción de la teorı́a, π̇. Como se supone
que los agentes conocen el modelo, la inflación predicha por éste será igual a la inflación
efectivamente observada, la cual se determina dinámicamente según la siguiente ecuación:
π̇ − r(t)π = −d(t)
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(23)
5
En donde r(t) es la tasa de rentabilidad del activo libre de riesgo (o tasa de interés) y d(t)
los dividendos que se distribuyen en una firma tipo. Ambas variables se asumen positivas
en este ejercicio.
Se pide:
1. Si se asume que los dividendos y la tasa de interés permanecen constantes, encuentre
el nivel de inflación de estado estacionario (equilibrio intertemporal) y estudie la
convergencia o no a dicho nivel. Interprete económicamente el resultado obtenido.
Al suponer que la tasa de interés y los retornos son constantes, la ecuación diferencial
para la evolución del precio del activo queda definida como:
π̇ − rπ = −d
(24)
Sabemos que el equilibrio intertemporal se corresponderá con la SPNH de esta
ecuación diferencial, la cual será (dado que ahora es un problema con coeficiente y
término constante) de la forma constante:
πp =
d
r
(25)
Por su parte, la solución a la ecuación homogénea será de la forma Aeλt , por lo que
se debe cumplir que:
Aeλt (λ − r) = 0 ⇒ λ = r ⇒ πc = Aert
(26)
La solución completa será la suma de ambas soluciones:
π = Aert +
d
r
(27)
Para hallar el valor de la constante A se puede asumir un valor inicial de la inflación
π(0) = π0 y se tiene que:
d
d
= π0 ⇒ A = π0 −
r
r
d rt d
π = π0 −
e +
r
r
π(0) = Aer0 +
(28)
(29)
Dado que se supuso que la tasa de interés es positiva, este modelo es dinámicamente
inestable. Esto es ası́ ya que el factor que determina la convergencia o no al precio
de equilibrio es er t, el cual tiende a infinito cuando t lo hace. A este fenómeno de
crecimiento sostenido del precio a lo largo del tiempo suele denominárselo burbuja.
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2. En el caso general en que los dividendos y tasa de interés varı́an en el tiempo,
formule la solución completa del problema y analice cómo es el comportamiento de
la misma en función de ambos componentes.
En este caso, la solución a la ecuación homogénea viene dada por la forma:
πc = Ae−
R
−r(t)dt
= Ae
R
r(t)dt
(30)
Mientras que la solución particular es:
−
πp = e
R
−r(t)dt
Z
R
−d(t) e
−r(t)dt
dt = −e
R
r(t)dt
Z
R
d(t) e
−r(t)dt
dt
(31)
La solución general de la ecuación completa para la inflación cuando el interés y los
dividendos varı́an en el tiempo será:
R
π=e
r(t)dt
Z
A−
R
d(t) e
−r(t)dt
dt
(32)
De esta forma, el nivel de inflación dependerá ya no solamente del valor (constante)
de la tasa de interés y los dividendos, sino de la secuencia futura esperada para los
dividendos y la tasa de interés. A esta caracterı́stica se la suele denominar forward
looking solution (soluciones que miran hacia adelante), pues el futuro determina el
presente.
Ejercicio 4.- Modelo de inflación y desempleo.
Las ecuaciones del modelo son:
π = α − T − βU + gπ e
(1)
dπ e
= π̇ e = j(π − π e ) (0 < j ≤ 1)
dt
(2)
dU
= U̇ = −k(µ − π) (k > 0) ,
(3)
dt
donde π es la tasa de inflación, α y β dos parámetros dados positivos, g un coeficiente
postivio y menor o igual a la unidad, T es la productividad del trabajo que se supone
exógena, U la tasa de desempleo y π e la tasa de inflación esperada. µ representa la tasa
de expansión monetaria.
Se pide:
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1. Identifique las variables endógenas y exógenas del modelo.
Las variables endógenas son U , π y π e ; mientras que las variables exógenas son T y
µ.
2. Interprete el significado económico de las tres ecuaciones que conforman el modelo.
La ecuación (1) se denomina relación de Phillips aumentada con expectativas. En su
versión original, esta ecuación describe la relación negativa empı́ricamente observada
entre la tasa de crecimiento del salario y la tasa de desempleo. La adaptación al caso
de la inflación (en vez del dinero) se justifica en que los precios se ajustan en cierta
medida a la evolución de los salarios, por lo que una tasa de crecimiento salarial
positiva necesariamiente genrea presiones inflacionarias.
Sin embargo, puede suceder que el aumento salarial sea absorvido por un aumento
de la productividad y por tanto se anule la presión inflacionaria. Por tanto, el efecto
inflacionario sólo puede producirse siempre que el aumento salarial sea más acelerado
que el de la productividad. Esto puede expresarse de la siguiente manera:
π =w−T ,
donde w representa la tasa de crecimiento de los salarios.
Por otra parte, bajo la suposición anterior sobre la relación negativa entre salarios
y desempleo,y asumiendo que la misma es lineal, podemos escribir:
w = α − βU
Lo que si se sustituye en la relación anterior nos da:
π = α − βU − T
Finalmente resta incorporar el factor asociado a las expectativas de inflación. La idea
que subyace es que si se registra un proceso inflacionario sostenido en el tiempo, las
personas intentarán incorporar (al menos parcialmente ) la expectativa de inflación
futura en sus demandas salariales. Si se denomina gπ e a la proporción en que las
expectativas de inflación son incorporadas al salario, se llega a la relación de Phillips
buscada.
La segunda ecuación del modelo representa una hipótesis respecto de cómo se forman
las expectativas de inflación. La misma establece que el mecanismo de ajuste es
adaptativo, y refleja el patron de cambio de la inflación esperada en el tiempo. Dicho
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mecanismo implica que si la inflación efectiva es superior a la esperada, entonces
se revisa al alta las expectaivas de inflación (inverso es el caso de que la inflación
efectiva es menor a la esperada).
La tercera ecuación refleja el mecanismo de retroalimentación de la inflación hacia
el desempleo. En este caso se supone que el efecto se produce a través de la polı́tica
monetaria, puesto que un aumento de la tasa de crecimiento real del dinero (µ − π)
implica una caı́da de la tasa de desempleo. Esta relación (negativa) entre crecimiento
real del dinero y desempleo implica una relación positiva entre la inflación y el
desempleo. Un posible fundamento para esto es que, cierta tasa de inflación dado
un nivel de expansión monetaria podria implicar, por ejemplo, aumentos reales de la
cantidad de dinero, impulsando al alza la demanda agregada y por tanto presionando
a la baja la tasa de desempleo.
3. Exprese el modelo únicamente en términos de las variables π e y U (para ello se
sugiere sustituir la ecuación número (1) en las dos restantes).
Sustituyendo la ecuación (1) en (2) se tiene:
π̇ e = j(α − T − βU + gπ e − π e )
π̇ e = j(α − T − βU + (g − 1)π e )
Sustituyendo la ecuación (1) en (3) se tiene:
U̇ = −k(µ − (α − T − βU + gπ e ))
U̇ = −k(µ − α + T + βU − gπ e )
4. Halle el equilibrio intertemporal para (π e , U ) a partir del sistema de ecuaciones
anterior y determine luego el valor del estado estacionario de la inflación.
El equilibrio intertemporal, digamos (π e∗ , U ∗ ), se encuentra cuando π̇ e = 0 y U̇ = 0,
es decir:
π̇ e = 0 =⇒ j(α − T − βU + (g − 1)π e ) = 0
U̇ = 0 =⇒ −k(µ − α + T + βU − gπ e ) = 0
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Considerando que ambas igualdades se cumplen cualquiera sean j > 0 y k > 0,
expresemos las mismas en un sistema:
α − T − βU + (g − 1)π e = 0
µ − α + T + βU − gπ e = 0
Sumando las expresiones tenemos que:
µ − π e = 0 =⇒ π e∗ = µ
Tomando este resultado y sustituyendo en la ecuación para U̇ = 0 llegamos a:
µ − α + T + βU − gµ = 0 =⇒ U ∗ =
α − T + (g − 1)µ
β
Sustituyendo U ∗ y π e∗ en la ecuación para π se tiene:
∗
π =α−T −β
α − T + (g − 1)µ
β
+ gµ =⇒ π ∗ = µ
(4)
5. Determine la estabilidad dinámica del modelo.
Para determinar la estabilidad dinámica consideremos el sistema de ecuaciones:
π̇ e = j(α − T − βU + (g − 1)π e )
U̇ = −k(µ − α + T + βU − gπ e )
Despejando los componentes que dependen de las varibales endógenas y los que
dependen de las exógenas se tiene:
π̇ e − j(g − 1)π e + jβU = j(α − T )
U̇ − kgπ e + kβU = k(α − µ − T )
En términos matriciales:
1 0 π̇ e
−j(g − 1) jβ π e
j(α − T )
+
=
0 1 U̇
−kg
kβ U
k(α − µ − T )
La solución del sistema homogéneo es el vector de la forma:
e π
m λt
=
e
U
n
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Por lo que:
e π˙
m
=
λeλt
n
U̇
Sustituyendo en el sistema homogéneo:
1 0
0 1
m
−j(g − 1) jβ m λt
0
λt
λe +
e =
0
n
−kg
kβ n
λ 0
−j(g − 1) jβ
m λt
0
+
e =
0 λ
−kg
kβ
n
0
λ − j(g − 1)
jβ
m λt
0
e =
−kg
λ + kβ n
0
El determinante de la matriz debe ser igual a 0 (la solución alternativa es la solución
trivial):
λ − j(g − 1)
jβ
= [λ−j(g−1)][λ+kβ]+jβkg = λ2 +(kβ−j(g−1))λ+jkβ = 0
−kg
λ + kβ λ=
−[kβ − j(g − 1)] ±
p
[kβ − j(g − 1)]2 − 4jkβ
2
Las raı́ces λ del polinomio caracterı́stico serán reales o imaginarias dependiendo del
signo del discriminante ∆ = [kβ − j(g − 1)]2 − 4jkβ.
1) En caso de raı́ces reales distintas ([kβ − j(g − 1)]2 > 4jkβ), debido a que jkβ es
positivo, resulta fácil mostrar que ambas raı́ces son negativas:
[kβ − j(g − 1)]2 > 4jkβ y jkβ > 0 ⇒ [kβ − j(g − 1)]2 − 4jkβ < [kβ − j(g − 1)]2 ⇒
p
p
[kβ − j(g − 1)]2 − 4jkβ < [kβ − j(g − 1)]2 = kβ − j(g − 1) ⇒
−[kβ − j(g − 1)] +
p
[kβ − j(g − 1)]2 − 4jkβ < 0 ⇒ λ1 , λ2 < 0
2) En caso de raı́ces reales iguales (∆ = 0), λ1 , λ2 =
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−[kβ−j(g−1)]
2
< 0.
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3) En caso de raı́ces imaginarias (∆ < 0), la estabilidad del sistema es determinada
< 0.
por la parte real de las raı́ces, la cual es −[kβ−j(g−1)]
2
En suma, sea en forma directa u oscilante, el sistema converge a su valor de equilibrio
de largo plazo, es decir, es dinámicamente estable.
Ejercicio 5.- Modelo de crecimiento económico.
Suponga que a partir de un modelo de crecimiento económico se llega a que la dinámica
del consumo y del capital en dicha economı́a está dado por el siguiente sistema:
 ċ
 c = αk α−1 − δ − ρ
(5)

k̇ = k α − c − δk
Donde c es el nivel de consumo percápita, k el nivel de capital percápita, δ la tasa de
depreciación del capital (δ > 0), ρ > 0 representa la tasa de descuento intertemporal de
la utilidad del consumidor, y α una constante con 0 < α < 1.
Sabemos además que:
a) la condición inicial es k(0) = 1 (stock de capital inicial en la economı́a)
b) la condición final es lı́mt→∞ [k(t)e−r(t)t ] = 0 (el valor descontado del stock de capital
final de la economı́a es cero).
c) en equilibrio ρ = r
Se pide:
1. Asumiendo ρ = 0, 06; δ = 0; α = 0, 3, determinar en un gráfico los lugares geométricos en los cuales ċ = 0 y k̇ = 0. Construir el diagrama de fase. Determinar el valor
de las variables en el estado estacionario.
2. Linearizar el sistema de ecuaciones diferenciales utilizando una aproximación de
Taylor de primer orden en el entorno del estado estacionario (c∗ , k ∗ ).
3. Hallar la solución analı́tica del modelo.
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