UNIDAD IV. VARIACIÓN DE FUNCION 4.2. Funciones crecientes y

Calculo Diferencial e Integral
4.2. Funciones crecientes y decrecientes y su relación con el signo de la derivada
UNIDAD IV. VARIACIÓN DE FUNCION
FUNCIONES
4.2. Funciones crecientes y decrecientes y su relación con el signo
de la derivada
Una función f(x) es creciente, o aumenta su valor a lo largo del eje X si
su derivada es positiva, en caso de que su derivada sea negativa es
decreciente, y la función no crece ni decrece cuando su derivada es
igual a cero.
Por ejemplo en la siguiente gráfica: Sea f(x) una
na función continua con
ecuación y=f(x), definida en un intervalo [a, b].
¿En que posiciónes del eje X la función se considera creciente,
decreciente y ninguna de las dos?
Sea f(x) una función continua en un intervalo cerrado [a, b] y derivable
en el intervalo (a, b) abierto.
Si f’(x)>0 para toda x en [a, b],, entonces la función f es creciente
en [a, b].
Si f’(x)<0 para toda x en [a,b],, entonces la función f es
decreciente en [a,b].
Elaboró: MC. Marcel Ruiz Martínez
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4.2. Funciones crecientes y decrecientes y su relación con el signo de la derivada
EJEMPLO 1.. Determine los intervalos abiertos donde la función
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f ( x) = x 3 − x 2 es creciente o decreciente.
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Solución: Nótese que f es derivable en todos los reales, asi que para
determinar los puntos críticos derivamos e igualamos a cero.
Como no hay puntos
untos donde la derivada de la función no exista
podemos concluir que los puntos críticos son: x = 0 y cuando x = 1.
De tal modo que f es creciente el los intervalos de (--∞, 0) y (1, ∞) y
decreciente en el intervalo (0,1)
Elaboró: MC. Marcel Ruiz Martínez
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4.2. Funciones crecientes y decrecientes y su relación con el signo de la derivada
EJEMPLO 2.. Aplicación del criterio de la primera derivada.
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Determinar los extremos relativos para la función f ( x) = x − sen( x)
2
En el intervalo de (0, 2π).
Solución: La función f(x) es continua en el intervalo de (0, 2π). Para
determinar los puntos críticos de f en dicho intervalo hacemos f’(x)
igual a cero.
1
f ( x) = x − sen( x)
2
1
f '( x) = − cos( x) = 0
2
1
− cos( x) = 0
2
1
cos( x) =
2
π 5π
x= ,
3 3
Los intervalos identificados se resumen en la siguente tabla:
Como podrá notarse la función presenta en x = π/3 un mínimo relativo,
y en x = 5π/3 un máximo relativo.
A continuación se muestra la gráfica de la función que se ha utilizado
en este ejemplo:
Elaboró: MC. Marcel Ruiz Martínez
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4.2. Funciones crecientes y decrecientes y su relación con el signo de la derivada
A continuación se muestra una lista de ejercicios propuestos.
Elaboró: MC. Marcel Ruiz Martínez
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Calculo Diferencial e Integral
Elaboró: MC. Marcel Ruiz Martínez
4.2. Funciones crecientes y decrecientes y su relación con el signo de la derivada
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4.2. Funciones crecientes y decrecientes y su relación con el signo de la derivada
REFERENCIAS Y FUENTES DE INFORMACIÓN:
Cortesía:
Cálculo: una variable Escrito por George Brinton Thomas
http://books.google.com.mx/books?id=AD1S4y6jumgC&lpg=PA263&dq=funciones%20crecientes%20y%20decrecientes%2C%20signo%20derivada&pg=PA263#v=onepage&q=funciones%20crecientes%20y%20decrecientes,%20signo%20derivada&f=false
Cálculo: conceptos y contextos Escrito por James Stewart
http://books.google.com.mx/books?id=6X6XSKkr8nYC&lpg=PA280&dq=funciones%20crecientes%20y%20decrecientes%2C%20signo%20derivada&pg=PA280#v=onepage&q=funciones%20crecientes%20y%20decrecientes,%20signo%20derivada&f=false
Matemáticas para administración y economía Escrito por Ernest F. Haeussler,Richard S. Paul
http://books.google.com.mx/books?id=pj3cB8QGMgoC&lpg=PA533&dq=funciones%20crecientes%20y%20decrecientes%2C%20signo%20derivada&pg=PA532#v=onepage&q=funciones%20crecientes%20y%20decrecientes,%20signo%20derivada&f=false
Elaboró: MC. Marcel Ruiz Martínez
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