VERDAD EN UNA ESTRUCTURA

VERDAD EN UNA ESTRUCTURA (2)
ARACNE
Alumn@
1. Considerad el lenguaje de primer orden cuyos signos peculiares son: P y Q como relatores monarios;
R y S como relatores binarios y las constantes individuales c y d. Considerad la estructura
A = hA, P A , QA , RA , S A , cA , dA i
donde
A = {1, 2, 3, 4}
P A = {1, 3} , QA = ∅
RA = {h1, 2i, h1, 3i, h3, 4i, h3, 3i, h2, 3i, h4, 1i}
S A = {h1, 2i, h1, 3i, h1, 4i, h3, 4i, h1, 1i}
cA = 1 y dA = 2.
¿Cuáles de las siguientes sentencias son verdaderas en A? Contestad SI o NO.
SI
a
b
c
d
e
f
NO
A ° ¬P d
A ° (P c → ¬Qd)
A ° ∃x (P x ∧ Qx)
A ° ∀x(Qx → ∃y(P x ∨ Qx))
A ° ∀x(∃yRxy → P x)
A ° ∀x (P x → ∃y (Sxy ∧ Rxy))
2. Considerad el mismo lenguaje y la misma estructura que en el ejercicio anterior.
¿Cuáles de las siguientes sentencias son verdaderas en A? Contestad SI o NO.
SI
a
b
c
d
e
f
NO
A ° ∀x∃ySxy
A ° ∃y∀xRxy
A ° ∀xy (¬Sxy → Rxy)
A ° ∀xy (∃z (Sxz ∧ Rzy) → Rxy)
A ° ∀x (x = c → ∃yRyx)
A ° ∀x (∃yRyx → P d)
1
3. Considerad el lenguaje de primer orden cuyos signos peculiares son: P y Q como relatores monarios;
R y S como relatores binarios y la constante individual c. Considerad la estructura
A = hA, P A , QA , RA , S A , cA i
donde
A = {1, 2, 3, 4, 5}
P A = {1, 2, 3} , QA = {3, 5}
RA = {h1, 2i, h1, 3i, h2, 3i, h3, 3i} , S A = {h1, 3i, h3, 1i, h3, 3i}
cA = 1
¿Podríais dar alguna interpretación F de la variable x que haga verdadera a las siguientes fórmulas?
F (x) = 1
a
b
c
d
e
f
F (x) = 2
F (x) = 3
F (x) = 4
F (x) = 5
NO
(P x ∨ Qx)
∃y (Rxy ∨ Sxy)
∀y (P x → Rxy)
∀y ((P x ∧ Qc) → ¬Rxy)
(P x → ¬Qx)
∃y (P x → Sxy)
4. Considerad el lenguaje de primer orden que sólo posee un relator binario R.Sea A la estructura
A = hA, RA i
donde
A = {1, 2, 3, 4, 5}
RA = {h1, 1i, h2, 2i, h3, 3i, h4, 4i, h5, 5i, h2, 3i, h3, 4i, h3, 5i, h4, 1i, h5, 1i, h2, 1i, h2, 4i, h2, 5i}
¿Podríais elegir valores para una asignación F de manera que haga verdaderas las fórmulas siguientes?
(a) AF ° (Rxy ∧ x 6= y) → ∃z((Rxz ∧ Rzy) ∧ (x 6= z ∧ z 6= y))
(b) AF ° ∃z(Rxz ∧ Ryz) → ∃v(Rvx ∧ Rvy)
(c) AF ° ∀z(Rxz ∧ Ryy)
(d) AF ° ¬Rxy → Ryx
(e) AF ° Rxy → ∃z((Rxz ∧ Rzz) ∧ ¬Ryx)
(f) AF ° ∀uv((Rux ∧ Rvy) → (Ryu ∧ Rxv))
F (x) = 3
F (y) = 4
F (x) = 3
F (y) = 2
F (x) = 2
F (y) = 3
a
b
c
d
e
f
2
F (x) = 2
F (y) = 4
NINGUNA
5. Considerad las sentencias A, B, C, D,E y las estructuras A, B, C, D, E siguientes:
A := ∀x (P x → ∃yRxy)
A = hA, P A , QA , RA i
B := ∀x (Qx → ∃yRxy)
B = hB, P B , QB , RB i
C := ∃x (P x ∧ Qx)
C = hC, P C , QC , RC i
D := ∀x∃yRxy
D = hD, P D , QD , RD i
E := ∃x∃y¬Rxy
E = hE, P E , QE , RE i
A = {1, 2, 3, 4}
P A = {1}
A
Q = {3}
R = {h1, 2i , h3, 4i}
B = {1, 2, 3, 4, 5}
P B = {4}
QB = {5}
B
R = {h1, 1i , h2, 3i , h3, 3i , h4, 1i , h5, 3i}
C = {1, 2}
PC = ∅
C
Q =∅
RC = ∅
D = {1}
PD = ∅
QD = ∅
RD = {h1, 1i}
E = {1, 2, 3, 4, 5}
P E = {1, 2, 4}
E
A
Q = {4, 5}
R = {h1, 1i , h4, 2i , h2, 3i}
A
Siempre que sea posible elegid estructuras en las que:
(a) Las sentencias A, C y E sean verdaderas y las restantes falsas
(b) Las sentencias A, B y D sean verdaderas y las restantes falsas.
(c) Todas las sentencias sean verdaderas.
(d) Las sentencias B y C sean verdaderas y las restantes falsas.
(e) Todas las sentencias sean falsas
(f) Las sentencias B ,C y D sean verdaderas y las restantes falsas.
A
B
C
D
E
IMPOSIBLE
a
b
c
d
e
f
3