Estructuras cristalinas

Física del estado sólido
Estructuras cristalinas
Formulación de Von Laue
En esta formulación se utiliza un modelo atómico estático de la estructura cristalina. Mediante este método se puede ilustrar cómo es la formación de un haz difractado. En la figura 1 se muestra cómo un haz
de radiación incide sobre dos puntos B y E separados una distancia r con un vector unitario S
n0 normal al
plano BD, y a partir de esos dos puntos sale un haz dispersado en la dirección del vector unitario S
n normal
al plano EF.
E
D
H
C
r
›
n0
›
n
B
A
F
Haz incidente
Haz disperso
G
Figura1. Geometría de la dispersión de rayos X en la formulación de Von Laue.
Si se tienen las proyecciones de r sobre ED y BF, la diferencia de recorrido entre los rayos que salen dispersos de los nodos B y E está dada por la ecuación (a):
BF - ED = r $ S
n0 - r $ S
n = r $ ^S
n0 - S
nh .
(a)
La diferencia de los vectores unitarios S
n0 - S
n puede interpretarse de forma sencilla; si S
n0 y S
n forman un
ángulo de 2θ, entonces θ es el ángulo de incidencia sobre un plano de reflexión y su diferencia es un vector
k normal al plano de reflexión, como se muestra en la figura 2.
›
›
n0- n = k
i
i
›
n
›
n0
i
Plano de reflexión
i
Figura 2. Vector k normal al plano de reflexión o dispersión.
De acuerdo con la figura 2, la magnitud del vector k está dada por la ecuación (b):
k= k =
S S S
_S
n 0 - n i $ _n 0 - n i = 2^1 - cos 2ih = 2 sen i .
(b)
De acuerdo con la óptica, la diferencia de fase para dos rayos que tienen diferencia de recorrido está dada
por la ecuación (c):
d = 2r ^ k $ r h .
m
(c)
Con el fin de que exista una máxima difracción en la dirección S
n cada átomo del cristal debe dar su contribución a la dispersión en esa dirección, con una diferencia de fase con un múltiplo entero de 2π radianes.
Para que lo anterior sea válido, se necesita únicamente que la radiación que emitan los átomos separados
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Física del estado sólido
por los vectores reticulares primitivos a 1, a 2 y a 3 se sumen en fase, ya que en este caso la contribución de
los átomos separados del origen por combinaciones enteras de estos vectores se sumará en fase obligatoriamente. Por lo tanto, se requiere únicamente que exista un múltiplo entero de 2π en la ecuación (c), donde r
es igual a a 1, a 2 y a 3 , es decir, que se requieren simultáneamente las ecuaciones (d):
da = 2r ^ k $ a 1h = 2rh,
m
2
da = r ^ k $ a 2h = 2rk, m
2
da = r ^ k $ a 3h = 2rl,
m
1
2
(d)
3
donde h, k y l son números enteros. Si α, β y γ son los ángulos entre la normal de dispersión k y los ejes a1,
a2 y a3 del cristal, de acuerdo con la ecuación (b) las ecuaciones (d) se pueden expresar como las ecuaciones
(e), que se conocen como ecuaciones de Laue. Sólo existen soluciones para determinados valores de θ y de
la longitud de onda λ.
k $ a 1 = ka1 cos a = 2a1 cos a sen i = hm,
k $ a 2 = ka2 cos b = 2a2 cos b sen i = km,
k $ a 3 = ka3 cos c = 2a3 cos c sen i = lm,
(e)
Los cosenos directores que aparecen en las ecuaciones (e) son proporcionales a h/a1, k/a2 y l/a3. Sin embargo, los planos cercanos cuyos índices de Miller son (hkl) se intersecan con los ejes a1, a2 y a3 con intervalos
de a1/h, a2 /k y a3 /l; por lo tanto, los cosenos directores a la familia de planos (hkl) son también proporcionales a h/a1, k/a2 y l/a3, de acuerdo con la ecuación (a) del tema distancia entre planos. La normal de dispersión
k es, por consiguiente, idéntica a la normal de los planos (hkl) y, en consecuencia, estos planos pueden
tomarse como los de reflexión en la representación de Bragg.
A partir de cualquiera de las ecuaciones (a) usadas para calcular la distancia d en el tema correspondiente, se puede calcular la ley de Bragg con base en las ecuaciones de Laue con índices de Miller
h/n, k/n y l/n. Tomando la primera ecuación de Laue y el primer término de la ecuación (a) se tiene que
l sen i = 2 h sen i = hm , donde hl = h/n es uno de los índices de Miller; por lo tanto,
2a1 cos a sen i = 2hd
n
una de las ecuaciones de Laue se reduce a la ecuación conocida de Bragg dada por (f):
2d sen i = nm ,
(f)
donde d es la distancia entre los planos adyacentes del sistema (hkl) calculada anteriormente y en la que el
orden n de la difracción es el factor común que aparece en h´= h/n, k´= k/n y l´= l/n.
La onda difractada surge realmente de una reflexión de orden n sobre planos cristalinos verdaderos, que
mediante un artificio matemático se puede considerar que las ondas difractadas proceden de una reflexión
de primer orden sobre una serie de planos paralelos a los verdaderos, con un espaciado d(hkl) igual a 1/n
del valor real.
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