SOBRE CUERPOS ORDENADOS

Sobre Cuerpos Ordenados
Carlos S. CHINEA
SOBRE CUERPOS ORDENADOS
1. Introducción
Podemos definir en un cuerpo cualquiera K, sea o no conmutativo, una cierta clase
de elementos del mismo, su clase positiva, que en unión con el elemento nulo
constituye el llamado semicuerpo positivo de elementos de K y que permite, de
forma natural, establecer para los elementos del cuerpo una relación de orden
total.
El orden establecido en un cuerpo K utilizando su clase positiva nos plantea la
posibilidad de definir correspondencias entre los elementos del cuerpo entre sí o
entre los elementos del cuerpo y otros conjuntos numéricos, imponiendo
condiciones de definición que se basen en el orden de K, o en su clase positiva. Así,
podemos definir de forma sencilla conceptos como valor absoluto, sucesión, etc.. y
tipificar en base a estos conceptos estructuras como cuerpo arquimediano o cuerpo
completo.
2. Ordenación
Un subconjunto P de un cuerpo K, no vacío, se dice que es clase positiva de K si
tiene las dos propiedades:
a) Para cualquier elemento del cuerpo se cumple que o bien pertenece a P o
bien su opuesto pertenece a P, o bien el elemento es el cero del cuerpo.
b) Para dos elementos cualesquiera de P, entonces también pertenece a P la
composición de ambos mediante las leyes internas del cuerpo, esto es, su
suma (por la ley aditiva), y su producto (por la ley multiplicativa).
Se denomina cuerpo ordenado a un par (P,K) cuyos elementos son un cuerpo K y
una clase positiva P de K.
(∀x ∈ K , x ∈ P ∨ (− x) ∈ P ∨ x = 0 )

∧
P ⊆ K clase positiva de K ⇔ 
 ∀x, y ∈ P, x + y ∈ P ∧ x. y ∈ P

Trivialmente, P U {0} verifica también las condiciones a) y b), por lo que es un
semicuerpo de K que denominaremos semicuerpo positivo de K. Los elementos de
P se dicen elementos positivos del cuerpo K.
Orden: Definimos en K la relación “ ≤ ” por la condición
∀x, y ∈ K , x ≤ y ⇔ y − x ∈ P U {0}
Teorema 2.1: La relación “ ≤ ” es una relación de orden total.
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Demostración:
- Es reflexiva:
-
-
∀x ∈ K , x − x = 0 ∈ P U {0} → x ≤ x
Es antisimétrica:
Sean x, y ∈ K / x ≤ y ∧ y ≤ x → y − x ∈ P U {0}∧ x − y ∈ P U {0} →
→ ( y − x) ∈ P U {0}∧ −( y − x) ∈ P U {0} → ( y − x) = −( y − x) → x = y
Es transitiva:
∀x, y, z ∈ K , x ≤ y ∧ y ≤ z → ( y − x) ∈ P U {0} ∧ ( z − y ) ∈ P U {0} →
→ ( y − x) + ( z − y ) ∈ P U {0} → z − x ∈ P U {0} → x ≤ z
Teorema 2.2: Sea (K , P ) un cuerpo ordenado. Para todo subcuerpo K1 ⊆ K se
verifica que (K1 , K1 I P ) es también un cuerpo ordenado con el orden de
K
restringido a K1.
Demostración:
a) ∀x ∈ K1 → x ∈ K → ( x ∈ K ∧ x ∈ P ) ∨ ( x ∈ K ∧ − x ∈ P ) ∨ x = 0 →
→ ( x ∈ K1 ∧ x ∈ P ) ∨ ( x ∈ K1 ∧ − x ∈ P ) ∨ x = 0 → x ∈ ( K1 I P ) ∨ − x ∈ ( K1 I P ) ∨ x = 0
b) ∀x, y ∈ K1 I P → x, y ∈ K1 ∧ x, y ∈ P → ( x + y ), ( x. y ) ∈ K1 ∧ ( x + y ), ( x. y ) ∈ P →
→ ( x + y ) ∈ K1 I P ∧ ( x. y ) ∈ K1 I P
3. Propiedades de la ordenación
3.1) ∀x ∈ K / x ≠ 0 → x ∈ P → x > 0 . Demostración:
2
2
x ≠ 0 → x ∈ P ∨ − x ∈ P . Si x ∈ P → x.x = x 2 ∈ P, Si − x ∈ P → (− x).(− x) = x 2 ∈ P
3.2) 1 ∈ P → 1 > 0 . Demostración:
1 ∈ K ∧ 1 ≠ 0 → 12 = 1 ∈ P
3.3) Si n ∈ N , n.1 ∈ P. → n.1 > 0 Demostración (inducción):
1 ∈ P,1 + 1 = 2 ∈ P, Si (n − 1).1 ∈ P → (n − 1).1 + 1 = n.1 ∈ P
3.4) Si xi ∈ K , i = 1,2,..., n →
n
∑x
i =1
2
i
2
i
≥ 0, ∀n ∈ N . Demostración:
por 1): xi ∈ K → xi = 0 ∨ x ∈ P → xi ∈ P U {0} . Aplicando inducción:
x12 ∈ P U {0}, x12 + x22 ∈ P U {0},... , Si
3.5) ∀x, y, z ∈ K / x
Demostración:
2
n −1
n −1
n
i =1
i =1
i =1
∑ xi2 ∈ P U {0} → ∑ xi2 + xn2 = ∑ xi2 ∈ P U {0}
> y→x+z > y+z
x > y ↔ y ≤ x ∧ y ≠ x ↔ x − y ∈ P U {0} ∧ x − y ≠ 0 ↔ x − y ∈ P
x > y → ( x + z) − ( y + z) = x − y ∈ P → x + z > y + z
3.6) ∀x, y, z , u ∈ K / x > y ∧ z > u → x + z > y + u
Demostración:
x > y x − y ∈ P
 → ( x − y) + ( z − u) ∈ P → ( x + z ) − ( y + u) ∈ P → x + z > y + u
→
z > u
z − u ∈ P
3.7) ∀x, y , z ∈ K / x > y ∧ z > 0 → x.z > y.z
Demostración:
x > y x − y ∈ P
 → ( x − y ).z ∈ P → x.z − y.z ∈ P → x.z > y.z
→
z > 0
z∈P 
2
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3.8) ∀x, y, z ∈ K / x
Demostración:
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> y ∧ z < 0 → x.z < y.z
x > y  x − y ∈ P
 → ( x − y ).(0 − z ) ∈ P → y.z − x.z ∈ P → y.z > x.z
→
z < 0 0 − z ∈ P
−1
3.9) ∀x ∈ K / x > 0 → x > 0
Demostración (Red. al absurdo):
< 0 por 8) se cumple que x.x −1 < 0 → 1 < 0 (absurdo) → x −1 > 0
−1
3.10) ∀x ∈ K / x < 0 → x < 0
Si x
−1
Demostración (Red. al absurdo):
> 0 por 8) se cumple que x.x −1 < 0 → 1 < 0 (absurdo) → x −1 < 0
x+ y
3.11) ∀x, y ∈ K / x > y → x >
>y
2
Si x
−1
Demostración:
2 > 0  1 / 2 > 0 1 2 − 0 ∈ P 
→
→
 → (1 2 − 0).( x − y ) ∈ P →
x > y
x> y 
x− y∈P 
1
1
1
→ ( x − y) ∈ P → x − y ∈ P
2
2
2
1
1
1
1
x+ y
x+ y
a)
∈P → x >
x− y∈P → x− x− y∈P → x−
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1
x+ y
x+ y
x− y∈P → x+ y− y∈P →
− y∈P →
>y
2
2
2
2
2
2
x+ y
Por tanto, x > y → x >
>y
2
3.12) x. y > 0 → ( x > 0 ∧ y > 0 ) ∨ ( x < 0 ∧ y < 0 )
b)
Demostración (Red. al absurdo):
Si x > 0 ∧ y < 0 → ( x − 0) ∈ P ∧ (0 −
y ) ∈ P → − x. y ∈ P → x. y ∉ P →
→ x. y ≤ 0 contrario a la hipótesis. Luego, x > 0 → y > 0
Si x < 0 ∧ y > 0 → (0 − x ) ∈ P ∧ ( y − 0) ∈ P → − x. y ∈ P → x. y ∉ P →
→ x. y ≤ 0 contrario a la hipótesis. Luego, x < 0 → y < 0
3.13) No existen en el cuerpo ordenado ( K , P ) elementos mínimo ni máximo,
positivo o negativo.
Demostración:
x+0
x
> 0 → x > > 0 → x no mínimo
2
2
∀x ∈ K / x ∈ P → x > 0 → 2 x > x > 0 → x no máximo
x
∀x ∈ K / x ∉ P → x < 0 → x < < 0 → x no máximo
2
∀x ∈ K / x ∉ P → x < 0 → 2 x < x < 0 → x no mínimo
∀x ∈ K / x ∈ P → x > 0 → x >
4. El valor absoluto
Dado un cuerpo K, ordenado mediante una clase positiva, P, esto es, el par ( K , P ) ,
se define la aplicación valor absoluto de K en P U {0} :
: K → P U {0}
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∀x ∈ K , x ∈ P U {0}
por la condición:
 x, si x ∈ P U {0}
∀x ∈ K , x = 
− x, si x ∉ P U {0}
o lo que es lo mismo:
 x, si x ≥ 0
∀x ∈ K , x = 
− x, si x < 0
5. Propiedades del valor absoluto
5.1) x = 0 ↔ x = 0
Demostración:
Si x = 0 → x ∈ P U {0} → x = x ∧ x = 0 → x = 0
Si x = 0 → x ≥ 0 → x ∈ P U {0} ∧ x = x ∧ x = 0 → x = 0
5.2) ∀x ∈ K , − x = x
Demostración:
Si x > 0 → − x < 0 → x = x ∧ − x = −( − x ) = x → − x = x
Si x < 0 → − x > 0 → x = − x ∧ − x = − x → − x = x
Si x = 0 = −0 → − 0 = 0
5.3) ∀x, y ∈ K , x. y = x . y
Demostración:
Si x > 0, y > 0 → x. y > 0 → x. y = x. y = x . y
Si x < 0, y < 0 → x. y > 0 → x. y = x. y = ( − x ).(− y ) = x . y
Si x > 0, y < 0 → x. y < 0 → x. y = − x. y = − x .( − y ) = x . y
Si x < 0, y > 0 → x. y < 0 → x. y = − x. y = −( − x ). y = x . y
Trivialmente, si x = 0 ∨ y = 0 → x. y = 0 = 0
5.4) ∀z ≥ 0, x ≤ z ↔ − z ≤ x ≤ z
Demostración:
Veamos que
x ≤ z → −z ≤ x ≤ z
Si x ≥ 0 ∧ x ≤ z → z − x ≥ 0 → z − x ≥ 0 → x ≤ z ∧ x ≥ 0 → − z ≤ x ≤ z
Si x < 0 ∧ x ≤ z → z − x ≥ 0 → z − ( − x ) ≥ 0 → z ≥ − x ∧ x < 0 →
→ −z ≤ x ∧ x ≤ z → −z ≤ x ≤ z
Veamos que − z ≤ x ≤ z → x ≤ z
Si x ≥ 0 → x = x ∧ x ≤ z → x ≤ z
Si x < 0 → x = − x ∧ − z ≤ x → x = − x ∧ − x ≤ z → x ≤ z
5.5) ∀x ∈ K , − x ≤ x ≤ x
Demostración:
Si x ≥ 0 → x = x → − x ≤ x = x → − x ≤ x ≤ x
Si x < 0 → x = − x → − x = x ∧ x ≤ x → − x ≤ x ≤ x
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5.6)
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∀x, y ∈ K , x − y ≤ x + y ≤ x + y
Demostración:
De ser − x ≤ x ≤ x ∧ − y ≤ y ≤ y , sumando: − x − y ≤ x + y ≤ x + y
, por tanto,
aplicando 4): x + y ≤ x + y , y como también es x − y ≤ x + y , podemos escribir:
x ± y ≤ x + y (*)
Por otra parte es:
x = ( x − y) + y ≤ x − y + y → x − y ≤ x − y
y = ( y − x) + x ≤ y − x + x → y − x ≤ y − x
→ x − y ≤ x− y
y también:
x = ( x + y) − y ≤ x + y + y → x − y ≤ x + y
y = ( y + x) − x ≤ y + x + x → y − x ≤ y + x
O sea:
→ x − y ≤ x+ y
x − y ≤ x ± y que, junto con la expresión (*), obtenemos:
x − y ≤ x± y ≤ x + y
5.7) ∀xi ∈ K , i = 1,..., n,
n
n
i =1
i =1
∑ xi ≤ ∑ xi
Demostración (por inducción):
para n = 1 → x1 ≤ x1 ,
para n = 2 → x1 + x2 ≤ x1 + x2 (por 6))
Sea cierta para n = k − 1 :
k −1
k −1
∑x ≤ ∑ x
i =1
i
i =1
i
Y veamos que se verifica también para el siguiente número n = k :
- sumando xk a ambos términos de la desigualdad:
k −1
k −1
i =1
i =1
∑ xi + xk ≤ ∑ xi + xk
- y como, por 6) es:
k −1
∑ xi + xk ≤
i =1
k −1
∑ xi + xk →
i =1
k
k −1
i =1
i =1
∑ xi ≤ ∑ xi + xk
de lo cual:
k
k −1
k
i =1
i =1
i =1
∑ xi ≤ ∑ xi + xk = ∑ xi
6. Sucesiones
Las sucesiones de elementos de K aparecen cuando se hace corresponder
subconjuntos infinito-numerables de K con el conjunto de los números naturales.
Se define, pues, una sucesión α de elementos del cuerpo K por una aplicación de N
en K:
α:N →K
∀n ∈ N , α (n) ∈ K
Representaremos a las sucesiones mediante símbolos como
(an ), (bn ), (cn ),..., y
representaremos por S al conjunto de todas ellas:
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(an ) = {a0 , a1 , a2 ,..., an ,...}
(bn ) = {b0 , b1 , b2 ,..., bn ,...}
(cn ) = {c0 , c1 , c2 ,..., cn ,...}
.... .... .... .... .... .... ....
Al conjunto S se puede dotar de estructura algebraica definiendo la suma y
producto de sucesiones en la forma
∀(an ), (bn ) ∈ S , (an ) + (bn ) = (an + bn )
∀(an ), (bn ) ∈ S , (an ).(bn ) = (an .bn )
es decir,
(an ) + (bn ) = {a0 + b0 , a1 + b1 , a2 + b2 ,..., an + bn ,...}
(an ).(bn ) = {a0 .b0 , a1.b1 , a2 .b2 ,..., an .bn ,...}
puesto que estas operaciones son realmente las operaciones con elementos del
cuerpo K, trivialmente la estructura (S,+,.) resulta ser un espacio vectorial sobre K,
y también es anillo unitario con divisores de cero, que será conmutativo si el cuerpo
K es conmutativo.
Resumidamente, (S,+,.) es un álgebra asociativa y unitaria, pudiéndose distinguir
los subconjuntos o familias más peculiares:
- Familia SA de las sucesiones acotadas, S A ⊆ S
- Familia SC de las sucesiones convergentes, SC ⊆ S A ⊆ S
- Familia SL de las sucesiones con límite, S L ⊆ SC ⊆ S A ⊆ S
- Familia S0 de las sucesiones nulas, S0 ⊆ S L ⊆ SC ⊆ S A ⊆ S
Aunque no de forma exhaustiva, describimos muy brevemente estos conceptos a
continuación.
- Las sucesiones acotadas:
Una sucesión (an ) ∈ S de elementos de un cuerpo ordenado (K,P) se dice acotada sii
∃k ∈ K / ∀n ∈ N , an < k
El elemento k>0 se dice que es una cota de la sucesión
(an ) .
Se prueba que el
conjunto SA de las sucesiones acotadas, dotado de la suma y el producto de
sucesiones, (S A ,+,.) es un subálgebra unitaria y con divisores de cero del álgebra
(S ,+,.)
- Las sucesiones convergentes:
Una sucesión (an ) ∈ S de elementos de un cuerpo ordenado (K,P) se dice
convergente sii
∀ε > 0, ε ∈ K , ∃n ∈ N / ∀p, q ≥ n, a p − aq < ε
Puede probarse que el conjunto SC de las sucesiones convergentes, dotado de la
suma y el producto de sucesiones, (S C ,+,.) , verifica:
1) S C ⊆ S A
2) (S C ,+,.) es un subálgebra del álgebra (S ,+,.)
-
Las sucesiones con límite:
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Una sucesión (an ) ∈ S de elementos de un cuerpo ordenado (K,P) se dice que tiene
límite l ∈ K , abreviadamente
lim a n = l , sii
∀ε > 0, ε ∈ K , ∃n ∈ N / ∀p ≥ n, l − a p < ε
También puede probarse que el conjunto SL de las sucesiones con límite, dotado de
la suma y el producto de sucesiones, (S L ,+,.) , verifica:
1) S L ⊆ S C
2) (S L ,+,.) es un subálgebra unitaria del álgebra (S ,+,.)
3) El límite de casa sucesión (an ) es único.
- Las sucesiones nulas:
Una sucesión nula es una sucesión con límite nulo:
(a n ) sucesión nula ↔ lim a n
La familia de las sucesiones nulas, (S 0 ,+,.) verifica:
=0
1) S 0 ⊆ S L
2) (S 0 ,+,.) es subálgebra no unitaria de (S ,+,.)
3) S0 es un ideal bilátero primo de SC y SL.
4) El anillo de integridad unitario S C S 0 es un cuerpo ordenado.
5) K es isomorfo a un subcuerpo de S C S 0 cuyo orden restringido a este subcuerpo
coincide con el orden de K.
7. Arquimedianismo
Sea (K,P) un cuerpo ordenado mediante la clase positiva P. Y sea 1 el elemento
unidad del cuerpo (elemento neutro para ley multiplicativa).
Diremos que K es arquimediano sii verifica que ∀x ∈ K , ∃n ∈ N /( n.1) > x
Teorema: Si un cuerpo ordenado K es arquimediano, verifica entonces que la
sucesión an = (n.1)
−1
es nula.
Demostración:
∀p > 0 ⇒ p −1 > 0 ⇒ p −1 > 0 ∧ K arquimediano ⇒ ∃n ∈ N /(n.1) > p −1 > 0 ⇒
⇒ ∀p > 0, p > (n.1) −1 > 0 ⇒ an = (n.1) → 0 ⇒ lim an = 0 ⇒ (an ) nula
−1
Teorema 7.1: Sea (K,P) un cuerpo ordenado mediante la clase positiva P. Y sea 1 el
elemento unidad del cuerpo (elemento neutro para ley multiplicativa). La condición
necesaria y suficiente para que K sea un cuerpo arquimediano es que
∀x, y ∈ K , y > 0, ∃n ∈ N / n. y > x
Demostración:
- Demostremos en primer lugar que si K es arquimediano se verifica la
condición anterior.
Si K es arquimediano (∃m ∈ N / m.1 > x ) , y teniendo en cuenta el teorema
anterior, se cumple que ∃n ∈ N / y > ( n.1)
−1
> 0.
−1
Multiplicamos la primera desigualdad por el término ( n.1).(n.1) :
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(m.1).(n.1).(n.1) −1 > (n.1).(n.1) −1 x 
→
y > (n.1) −1

−1
→ (m.1).(n.1) y > (n.1).(n.1) x → (m.1).(n.1) y > x → mny > x
-
Demostremos ahora que si se cumple la condición, entonces, K es
arquimediano.
Si se cumple la condición ∀x, y ∈ K , y > 0, ∃n ∈ N / n. y > x , bastará tomar
y=1 para que ∀x ∈ K , ∃n ∈ N / n.1 > x → K arquimediano
Teorema 7.2: Entre dos elementos cualesquiera
arquimediano hay siempre un número racional:
de
un
cuerpo
ordenado
∀a, b ∈ K / a > b → ∃n, m ∈ Z / a > (m1).(n1) −1 > b
Demostración:
a > b → a − b > 0 → ∃n ∈ N / n.(a − b) > 1 → ∃n ∈ N / a − b > (n1) −1 (*)
llamemos H al conjunto H = {h ∈ Z /( h1) ≤ nb} y sea α el máximo de H. Se tiene:
(α .1) ≤ nb ≤ (α + 1).1 . Si llamamos m = α + 1 , será (m − 1).1 ≤ nb ≤ (m.1) , o bien:
[(m − 1).1].(n.1)−1 ≤ b ≤ (m.1).(n.1) −1 (**)
−1
Sumando ( n.1) a cada uno de los dos miembros de (**):
[(m − 1).1].(n.1)−1 + (n.1)−1 ≤ b + (n.1)−1 ≤ (m.1).(n.1)−1 + (n.1)−1
y teniendo en cuenta (*):
[(m − 1).1].(n.1)−1 + (n.1)−1 ≤ b + (n.1)−1 ≤ b + (a − b) = a
o sea:
(m.1)(n.1) −1 − (n.1) −1 + (n.1) −1 ≤ b + (n.1) −1 ≤ a → (m.1)(n.1) −1 ≤ a
−1
y teniendo en cuenta (**): b ≤ (m.1).(n.1) ≤ a
Por este teorema sabemos que entre dos elementos cualesquiera, x1 , x 2 , del
r1, es decir,
K
hay
algún
número
racional,
x1 < x 2 , ∃r1 ∈ Q / x1 < r1 < x 2 . Así, si x1 ( j ) < x 2 ( j ), j = 1,..., n,... esto nos permite
cuerpo
arquimediano
construir
una
sucesión
r j ∈ (x1 ( j ), x 2 ( j ) ) .
de
números
racionales
Teorema 7.3: El cuerpo Q de los racionales
cuerpo arquimediano.
Demostración:
Se trata de probar que ∀( m.1).(n.1)
−1
(rn ) = {r1 , r2 ,..., rn ,...},
(Q = {(m.1).(n.1)
−1
con
})
/ m, n ∈ z , n ∉ 0
es
∈ Q, ∃h ∈ N /(h.1) > (m.1).(n.1) −1
-
Si m y n son de distinto signo:
-
(m.1).(n.1) −1 < 0 < 1 → ∃1∈ N / 1.1 > (m.1).(n.1) −1
Si m y n son de igual signo:
(m.1).(n.1) −1 > 0 → (m.1) > (m.1).(n.1) −1 → ∃m ∈ N /(m.1) > (m.1).(n.1) −1
Teorema 7.4: Todo elemento de un cuerpo ordenado arquimediano es el límite de
una sucesión de números racionales.
∀x ∈ K , ∃( xn ) ∈ S / lim xn = x
Demostración:
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Por el teorema 7.2 sabemos que entre dos elementos cualesquiera de un cuerpo K
arquimediano existe al menos un número racional. Así, dado el elemento x del
(
−1
cuerpo K, podemos considerar los intervalos x − (n.1) , x + ( n.1)
−1
) , en donde hay
un número racional para cada valor de n, lo que nos indica que existe una sucesión
racional (xn), que al tender al límite, para n → ∞ , converge en x, puesto que la
-1
sucesión (n.1) es nula.
Teorema 7.5: Todo cuerpo arquimediano es conmutativo.
∀x, y ∈ K , x. y = y.x
Demostración:
Sean ( xn ), ( yn ) las sucesiones de números racionales tales que lim xn = x
y
lim xn = x . Como es xn . yn = yn .xn , se tiene, tomando límites, que
x. y = lim xn . lim yn = lim yn lim xn = y.x
8. Arquimedianismo sobre un subcuerpo
Sea el cuerpo ordenado (K,P) y el subcuerpo F de K con el orden inducido por K.
-
Se dice que
β ∈K
es infinitamente grande sobre F sii ∀x ∈ F , x <
-
Se dice que
β ∈K
es infinitamente pequeño sobre F sii ∀x ∈ F , x >
β
.
β >0
K se dice que es arquimediano sobre F si K no posee elementos infinitamente
grandes sobre F.
Teorema 8.1. Sea K un cuerpo ordenado por la clase positiva P y sea F un
subcuerpo de K. Se verifica que la condición necesaria y suficiente para
que x ∈ K sea infinitamente grande sobre F es que x
pequeño sobre F.
Demostración:
- Veamos que es condición necesaria:
−1
∈ K sea infinitamente
x ∈ K infinitamente grande sobre F → ∀a ∈ F , a ≠ 0 → x > a > a −1 .
Multiplicando ambos miembros de la desigualdad por x
−1
y por a :
x −1 . x > x −1 . a −1 → 1 > x −1 . a −1 → 1. a > x −1 . a −1 . a → a > x −1 → x −1 ∈ K
-
es
infinitamente pequeño sobre F
Veamos que es condición suficiente:
x −1 ∈ K infinitamente pequeño sobre F → a > x −1 , ∀a ∈ F , a ≠ 0 .
Multiplicamos ambos miembros de la desigualdad por x y por a
−1
:
a −1 . a > a −1 . x −1 → 1 > a −1 . x −1 → x > a −1 . x −1 x → x > a −1 → x ∈ K es
infinitamente grande sobre F.
Teorema 8.2. Sea el cuerpo ordenado (K,P), y sea F subcuerpo de K, y G
subcuerpo de F. Si K es arquimediano sobre F y F es arquimediano sobre G,
entonces también K es arquimediano sobre G.
Demostración (Red. al absurdo):
Si K no fuera arquimediano sobre G, querría esto decir que posee elementos
infinitamente grandes sobre G, es decir, podríamos afirmar que
∃x ∈ K infinitamente grande sobre G → ∀a ∈ G, a ≠ 0, x > a
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y puesto que K es arquimediano sobre F, se tiene que ∀x ∈ k , x ≤ x1 , x1 ∈ F , pero
esto querría decir que para algún x1 ∈ F , x1 ≥ x > a → F no sería arquimediano
sobre G
Luego, en definitiva, el cuerpo K ha de ser arquimediano sobre el subcuerpo G.
Teorema 8.3. Entre los subcuerpos del cuerpo ordenado K que son supercuerpos
del subcuerpo F, hay al menos uno que es arquimediano maximal sobre F.
Demostración:
Basta aplicar el Lema de Zorn al conjunto U-inductivo de los cuerpos intermedios
entre el cuerpo F y el cuerpo K, que son arquimedianos sobre F.
9. Los cuerpos completos
Un cuerpo ordenado (K,P) se dice que es completo sii todo subconjunto A ⊆ K ,
superiormente acotado, tiene supremo.
Teorema 9.1. Todo cuerpo completo es arquimediano, y por tanto, conmutativo.
Demostración (Red. al absurdo):
Sea K completo y supongamos que no es arquimediano. Se tiene:
∀x,∈ K , y > 0, ∀n ∈ N , ny ≤ x → H = {ny / n ∈ N } ⊆ K acotado
superiormente ∧ K completo → ∃a ∈ K / a = sup r (H ) → ( n + 1) y ≤ a, ∀n ∈ N →
→ ny ≤ a − y, ∀n ∈ N → a ≠ sup r ( H ) → contradicc
Por tanto, ∃n ∈ N / ny > x → K arquimediano
Un cuerpo ordenado y completo es, pues, arquimediano y por lo tanto conmutativo.
Un cuerpo conmutativo, ordenado y completo es lo que definimos como cuerpo de
los números reales.
10. Bibliografía
ARTIN, E., “Algebre Geométrique”, Editorial Gauthiers-Villards, París, 1962
BOURBAKI, “Algebre”, Hermann, Paris, 1972
JACOBSON, N., “Lectures en Abstract Álgebra”, Ed. Van Nostrand, Princeton, 1951
VAN DER WAERDEN, “Modern Álgebra”, F. Ungar, Nueva Cork, 1953
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