SUCESIONES MONOTONAS - x.edu.uy Matematica

SUCESIONES MONOTONAS
(an) es monótona creciente ⇔ an ≤ an+1 ∀n ∈ N
(an) es monótona decreciente ⇔ an ≥ an+1 ∀n ∈ N
Definición:
El crecimiento o decrecimiento estricto se obtiene con < o >.
Teorema
(an) monótona creciente ⇒ (an) tiene límite
Demostración: consideremos dos casos, según (an) esté acotado superiormente o no.
Si (an) está acotado superiormente, sea e su extremos superior. Tomemos un E − e , ε , e -ε
no es cota superior de (an) , ya que e es la mínima cota superior.
∃ a n0 > e -ε por ser (an) monótona creciente.
∀n ≥ n0 an ≥ a n > e -ε , además an < e por lo tanto podemos decir que
0
p/c E
−
e ,ε
∃ n0 / ∀n ≥ n0 , an ∈ E − e ,ε o sea (an) → e por definición de límite.
Si (an) no está acotada superiormente, ningún k > 0 será cota, o sea que
p/c k > 0 ∃ n0 / a n0 > k ⇒ an ≥ a n0 > k ⇒ (an) → +∞ por definición de límite.
SUCESIONES MONOTONAS CONVERGENTES
Se dice que el par ordenado de sucesiones ( (an) ,(bn) ) es un P.S.M.C. si se cumplen las
condiciones siguientes:
1) (an) es monótona creciente
2) (bn) es monótona decreciente
3) an < bn ∀n ∈ N
4) (bn – an) → 0
Ejemplos:
1
1
y (bn) / bn = 1 +
forman un PSMC
Si (an) / an = 1 –
n
n
/ an = 1
y
/ bn = n 2
2n − 1
3n + 2
/ an =
y
/ bn =
no es un PSMC por no cumplir 4)
n
n
NUMERO e
Definición:
n
n +1
1
1


Sea (an) / an = 1 +  y (bn) / bn = 1 +  dichas sucesiones forman un PSMC
n
n




cuyo elemento de separación es e ≈ 2,718281....
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PARTE ENTERA
Dado x ∈ R , considero A = { z ∈ Z / z ≤ x } es un conjunto de enteros acotado
superiormente por x y tiene máximo.
parte entera de x = E(x) = max(A)
Definición:
Ejemplos: E(2,718) = 2 , E(-3,98) = -4
La definición implica que: E(x) ≤ x < E(x) + 1
Teorema

1 

( x n ) → ∞ ⇒ 1 +
 xn 
xn
→e
Demostración: supongamos que (xn) → +∞
Sea zn = E(xn) , (zn) → +∞ , además zn ≤ xn < zn + 1
zn
xn



1
1 
1 
 < 1 +  < 1 + 
1 +
zn + 1
xn 
zn 



z n +1
compárese bases y exponentes
z n +1

1 

pero 1 +
z n + 1 

zn

1 
1 +

+
z
1
n

= 

1 
1 +

z n + 1 


1 
 → 1 decimos que
como 1 +
z n + 1 

z n +1
n

1 
 1

1 +
= a zn +1 siendo an = 1 +  una de las sucesiones que definen a e.
zn + 1
 n

Como (zn + 1) → +∞ , a zn +1 es subsucesión de (an) y también tiende a e.
(
 1
Análogamente bn = 1 + 
 n
)
n +1

1
⇒ 1 + 
zn 

a zn +1

1 
< 1 + 
Resulta entonces
1
xn 

1+
zn + 1
z n +1
( )
= bzn por lo tanto bzn → e
xn
< bzn
e
e
Y por el teorema de la sucesión comprendida queda demostrado.
Corolario
1
(an) → 0 ⇒ (1 + a n )an → e
Haciendo el cambio de variable an =
1
estamos en el teorema anterior.
xn
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SUCESIONES EQUIVALENTES
a
(an) ≈ (bn) ⇔  n
 bn
Definición:
Teorema
∃ lim (xn an)
(an) ≈ (bn)
Demostración: xn bn = xn an

 → 1

⇒ lim (xn bn) = lim (xn an)
bn
b
; como (xn an) → z o ∞ y n → 1 se deduce que
an
an
(xn bn) → z o ∞
Teorema
x 
∃ lim  n 
 an 
(an) ≈ (bn)
Demostración:
x
⇒ lim  n
 bn

x
 = lim  n

 an



x 
x 
x a
xn
= n n ⇒  n  → z o ∞ ⇒  n  → z o ∞
bn
a n bn
 an 
 bn 
Estos teoremas permiten el cambio de un factor o divisor por otro equivalente en el
cálculo de límites.
Teorema
(an) → 0 ⇒ L(1 + an) ≈ (an)
1
1
Demostración: (1 + a n ) an → e ⇒ L (1 + a n ) an =
Teorema
L (1 + a n )
1
L (1 + a n ) =
→1
an
an
(bn) → 1 ⇒ L(bn) ≈ (bn – 1)
Demostración: (bn) → 1 ⇒ (bn – 1) → 0 y estamos en el teorema anterior.
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Teorema
(bn) → 0 ⇒ (a b n − 1) ≈ bn L(a)
Demostración: como (a bn ) → 1 ⇒ L (a bn ) ≈ (a bn − 1) ⇒ bn L(a) ≈ (a bn − 1)
Teorema
(zn) → 1 ⇒ (znk – 1) ≈ k(zn – 1)
Demostración: L(znk) ≈ znk – 1
L(znk) = k L(zn) ≈ k(zn – 1)
por transitiva.
ORDENES
( DE INFINITESIMOS Y DE LAS SUCESIONES DIVERGENTES )
Definición:
a
R es una relación en el conjunto de las sucesiones; (an) R (bn) ⇔  n
 bn

 → x ≠ 0

(Deben excluirse las sucesiones con infinitos términos nulos.)
Teorema
R es una relación de equivalencia.
a 
an
= 1 ⇒  n  → 1 ≠ 0
an
 an 
a 
b 
1
(an) R (bn) ⇒  n  → x ≠ 0 ⇒  n  → ≠ 0 ⇒ (bn) R (an)
x
 bn 
 an 
a 
(an) R (bn) ⇒  n  → x ≠ 0
a  a b 
 bn 
⇒  n  =  n n  → x.x' ≠ 0 (an) R (cn)
b 
 c n   bn c n 
(bn) R (cn) ⇒  n  → x' ≠ 0
 cn 
Demostración: (an) R (an) pues
Definición: llamaremos orden de una sucesión a su clase de equivalencia según R
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SUCESIONES INFINITESIMAS
Definición:
Teorema
a
[an] > [bn] ⇔  n
 bn

b
 → 0 ⇔  n

 an

 → ∞

con (an) → 0 y (bn) → 0
[an] > [bn] ⇒ (an + bn) ≈ (bn)
a 
a
a n + bn
a + bn
= n +1 ⇒ n
→ 0 + 1 , pues  n  → 0
bn
bn
bn
 bn 
Este teorema permite sustituir en una suma de infinitésimos por el de menor orden.
Demostración:
Teorema
(an) → 0 , p > q > 0 ⇒ [anp] > [anq]
a np
p−q
y (anp-q) → 0 ⇒ [anp] > [anq]
Demostración: q = a n
an
Teorema
(an) ≈ (bn) ⇒
[an – bn] > [an]
[an – bn] > [bn]
b 
 a − bn
a n − bn
b
= 1 − n como  n  → 1 ⇒  n
an
an
 an 
 an
Análogamente se demuestra la otra desigualdad.
Demostración:

 → 0

SUCESIONES DIVERGENTES
a
Definición: [an] < [bn] ⇔  n
 bn

b
 → 0 ⇔  n

 an

 → ∞

con (an) → ∞ y (bn) → ∞
Se demuestran teoremas análogos a los anteriores con la diferencia que ahora en la suma
el equivalente es el de mayor orden.
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