Método de Gauss

Álgebra Lineal. Curso 2008/2009 UAM
Colección de ejercicios no 2
Instrucciones. Bajo el tı́tulo común de colección de ejercicios queremos
ofreceros la oportunidad de profundizar en los conceptos y resultados de la
asignatura. El propósito es aprender planteando, y en el mejor de los casos
resolviendo, cada uno de los problemas propuestos.
Método de Gauss
1. Calcula la inversa (por la derecha) por Gauss-Jordan. En cada caso, comprueba que
también es inversa por la izquierda:


 
1 −1
1 −1
1
1 1
 1 2 1
 
1 −2
3 −4 


 
 .



1
−3
6
1
2
1
,


 



1 −4 
1 2 1
1
1 2
¿Te sugieren algo las columnas de la segunda matriz?
2. Calcula las inversas por

1
 1
1
Gauss-Jordan:
 

1
1
1 1
1
 ,  1 10 01 1
 .
10 001 1
0
0
1
1 001
1 1
1 01
¿Ha variado mucho la matriz? ¿Ha variado mucho su inversa?
3. Sea An×n triangular superior. Demuestra que A es invertible si y sólo si no tiene
ninguna entrada nula en la diagonal. Caso de ser A invertible, demuestra que A−1
también es triangular superior. Mismas cuestiones para triangular inferior.
4. Llamamos suma telescópica a una suma de diferencias de la forma (a1 − a0 ) +
(a2 − a1 ) + · · · + (an − an−1 ), en la que cada minuendo es igual al sustraendo de la
siguiente diferencia. Claramente, el valor de una tal suma es an − a0 .
Utilizando las identidades:
(k + 1) − k = 1 , (k + 1)2 − k 2 = 2k + 1 , (k + 1)3 − k 3 = 3k 2 + 3k + 1 ,
demuestra las siguientes identidades, poniendo cada suma en forma telescópica:
n−1
X
k=0
1=n ,
n−1
X
n−1
X
k=0
k=0
(2k + 1) = n2 ,
(3k 2 + 3k + 1) = n3 .
Después, razona que esas tres igualdades equivalen al
 Pn−1 



k=0 1
1
 Pn−1 


 1 2

k=1 k  = 

 Pn−1
2
1 3 3
k=1 k
sistema:

n
n2  ,
n3
Pn−1
Pn−1 2
y despeja de ahı́ fórmulas para
k=1 k y P k=1 k . Del mismo modo, resolviendo
n−1 3
un sistema 4 × 4, halla una fórmula para
k=1 k y demuestra la identidad:
13 + 23 + · · · + m3 = (1 + 2 + · · · + m)2 .
Colección de ejercicios no 2
Álgebra Lineal. Curso 2008/2009 UAM
5. Denotamos por X la matriz incógnita 2 × 2 y por Y la matriz incógnita 3 × 3. Para
cada una de las siguientes ecuaciones matriciales, averigua si tiene solución y en caso
afirmativo halla la solución general.
·
¸
·
¸
·
¸
1 2
1 1
4 1
X +X
+ 2X =
.
3 5
0 1
3 0
·
¸ ·
¸
·
¸ µ
¶
−1
1
1 2
1 −1
0 0
X
+X
=
.
1 −1
1 2
0
1
0 0
·
¸
£
¤
£
¤
£
¤
−2
4
1 3 X
− 0 1 X = 1 −3 .
1 −2



 

2
0 0
2
0 0
0 0 0
 0
1 1 Y − Y  0
1 1 = 0 0 0 .
0 −1 1
0 −1 1
0 0 0



 

2
0 0
2
0 0
0 0 0
 0
1 1 Y − Y  0
1 1 = 0 0 1 .
0 −1 1
0 −1 1
0 1 0
6. Cada una de las ecuaciones matriciales siguientes tiene dos incógnitas. Se pide:
– Determina el tamaño de X y el de Y (pueden variar de una ecuación a otra).
– Averigua si la ecuación tiene o no solución.
– Si hay solución o soluciones, halla la solución general.
· ¸
·
¸
£
¤
3
5 −2
X 2 1 +
Y =
.
2
4 −1
·
¸
·
¸ ·
¸
1 −1
1 −1
1 0
X +Y
=
.
2 −2
1 −1
0 2
·
¸
·
¸ ·
¸
1 −1
1 −1
1 0
X +Y
=
.
2 −2
1 −1
0 1
7. A continuación se da un sistema de ecuaciones (de primer grado) con dos incógnitas
matrices. Determina el tamaño de cada incógnita, averigua si tiene solución y en
caso afirmativo halla la solución general.
·
¸ ·
¸ · ¸
·
¸ 
2 2
2 −2
2
0 −2 

X
+
Y =

5 5
−1
1
3
−4
1


£
¤
£
¤

2 −1 X + Y =
0 0