Solucionario ejercicios de Resolución de Triángulos

Unidad 2: Resolución de triángulos
Ejercicio 1
En las siguientes figuras, calcula las medidas de los segmentos desconocidos indicados
por letras (ambos triángulos son rectángulos en A):
Por el teorema del cateto:
16 '5 cm 
2
nam;
 7 '5 cm  a ; a  36'3 cm
n  28'8 cm
2
Por el teorema del altura: h  7 '5 cm  28'8 cm ; h  14 '7 cm
2
Por el teorema del cateto: c  28'8 cm  36 '3 cm ; c  32 '33 cm
Por el teorema del cateto:
 70 cm 
2
 50 cm  a ; a  98 cm
m  48 cm
Por el teorema del cateto:
b 2  48 cm  98 cm ; b  68'59 cm
Ejercicio 2
Un triángulo rectángulo tiene por catetos 3 cm y 4 cm. Halla la hipotenusa, las
proyecciones y la altura sobre la hipotenusa:
La hipotenusa, a, se obtiene por Pitágoras:
a  5 cm (Es una terna pitagórica)
Por el teorema del cateto:
 3 cm 
 4 cm 
2
2
 m  5 cm ; m  1'8 cm
 n  5 cm ; n  3'2 cm
2
Por el teorema de la altura: h  1'8 cm  3'2 cm ; h  2'4 cm
Ejercicio 3
En un triángulo rectángulo, las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa miden 16
cm y 25 cm. Calcula la hipotenusa, la altura sobre la hipotenusa y los catetos:
Hipotenusa: m  n  41 cm
2
Por el Teorema de la altura: h  m  n;
h  20 cm
Por el Teorema del cateto:
2
Cateto pequeño: a  16  41;
2
Cateto grande: b  25  41;
a  25 '61 cm
b  32 '02 cm
Ejercicio 4
Una circunferencia tiene 50 cm de radio. Una cuerda perpendicular al diámetro lo divide
en dos segmentos, uno de los cuales (el más alejado del centro) mide 20 cm. Calcula la
medida de la cuerda.
Cuerda: segmento que une dos puntos cualesquiera de una circunferencia
La resolución de este ejercicio es muy sencilla. Lo complicado está en entender qué se
pide.
La longitud de la cuerda es 2x. EL valor de la incógnita forma parte de una terna
pitagórica. La cuerda mide: 40cm  40cm  80cm
Ejercicio 5
Demuestra estos teoremas utilizando tus conocimientos de álgebra y el teorema de
Pitágoras:
2
2
a 2  h2   c  m  ;
a 2  h2   c  m  ;
a 2  b 2  m2  c 2  2cm  m 2 ;
a 2  b 2  c 2  2cm
a 2  b 2  m2  c 2  2cm  m 2 ;
a 2  b 2  c 2  2cm
Ejercicio 6
b  6 '6 cm y las proyecciones
de los lados b y a sobre c miden: m  4 '6 cm y n  13' 4 cm . Calcula el lado a:
En un triángulo cualquiera, se tienen los siguientes datos:
El ejercicio se resuelve por aplicación
directa del Teorema generalizado de
Pitágoras para un ángulo agudo:
a 2  b 2  c 2  2 cm ; a 2  6'6 2  182  2 18  4 '6  201'96 cm 2 ; a  14 '21cm
Ejercicio 7
En el ejercicio resuelto anterior, y una vez hallado el lado b, ¿por qué no lo hemos
escogido junto con el ángulo de 45º para resolver el ejercicio?
Porque el lado b es un dato calculado por nosotros y, por tanto, podría ser erróneo.
Siempre que sea posible, usaremos los datos de los enunciados, no los nuestros.
Ejercicio 8

Resuelve el triángulo del que conocemos C
 30º , b  25 cm , c  18 cm :

 sen 30º sen B
sen 30º sen B


Teorema del seno:
;
18 cm 25 cm
c
b
  25 cm sen 30º B
  arc sen 25 B
sen B
;
..   43'98º
18 cm
36
A  180º  B
  30º ; A  106 '02º
c
sen A

18cm ; a  34'6 cm
Teorema del seno:
; a
sen 30º
sen A sen 30º
a
Ejercicio 9
Dos amigos parten de un mismo punto A, siguiendo direcciones que forman entre sí un
ángulo de 35º. Después de caminar 10 km y 8 km, respectivamente, ¿cuál es la distancia
que los separa?
Teorema del coseno:
d 2  102  82  2 10  8  cos 35º
d  5'74 km
Ejercicio 10
Completa:
Datos
Teorema...
Para triángulos rectángulos:
Ambas proyecciones sobre la hipotenusa
de Pitágoras y razones
trigonométricas
de la altura o del cateto
Proyección e hipotenusa
del cateto
Un lado y un ángulo agudo cualquiera
razones trigonométricas
Lado y su proyección
del cateto
Altura sobre la hipotenusa y una proyección
de la altura
de Pitágoras o razones
trigonométricas
Dos de los tres lados
Hipotenusa y un lado
Para triángulos cualesquiera:
Dos lados y el ángulo que forman
del coseno
Dos lados y un ángulo opuesto a uno de los lados
del seno
Dos lados y la proyección de uno sobre el otro
generalizado de Pitágoras
Dos ángulos y un lado
del seno
Tres lados
del coseno
Ejercicio 11
Resuelve el triángulo del que se conoce
A  180º 45º 30º ;
  45 , C
  30º :
a  20 m , B
A  105º
Teorema del seno:
20 m
c
sen 30º

20 m
; c
sen105º sen 30º
sen105º
c  10'35 m
20 m
b
sen 45º

20 m ;
; b
sen105º sen 45º
sen105º
b  14 '64 m
Ejercicio 12
En un triángulo se conocen los lados
  60º .
a  2 cm , c  2 3 cm y el ángulo C
A y el lado b:
Calcula el ángulo 
Una primera dificultad es construir el triángulo que se
indica.
sen A sen 60º

Teorema del seno:
2 cm
2 3
2 cm
sen A 
sen 60º ; A  30º
2 3 cm
  180º 60º 30º ;
B
2cm
cos 60º 
; b
b
  90º ; Se trata de un triángulo rectángulo.
B
2cm
; b  4 cm
cos 60º
Ejercicio 13
Uno de los lados de un triángulo es el doble que el otro, y el ángulo comprendido es de
60º. Calcula los otros dos ángulos: (Pista: piensa en un objeto de uso común que tiene esas
características)
Por construcción, observamos que el triángulo debe ser rectángulo, pero
necesitamos realizar otras demostraciones para estar seguros. Como no
sabemos a ciencia cierta que se trate de un triángulo rectángulo, aplicaremos el
Teorema de coseno, siendo x el otro cateto:
2
x 2   2l   l 2  2  2l  l  cos 60º ; teniendo en cuenta que el coseno de 60º es
2
2
2
2
2
1/5, tenemos: x  4l  l  2l  3l ; por tanto x  l 3 . Ahora aplicamos
el Teorema del Seno para averiguar el ángulo opuesto al lado mayor, que llamaremos  :
3 2l  3
sen  sen 60º
2
2 
 1 ; es decir,   90º

; se despeja sen  ; sen  
2l
l 3
l 3
l 3
2l 
Se trata de un cartabón: el ángulo que falta es el de 30º
Ejercicio 14
En un triángulo ABC, calcula el valor de la proyección del lado
c  8 cm . El tercer lado mide a  6 cm . Dibújalo a escala 1:1.
Teorema generalizado de Pitágoras:
b2  c 2  a 2
a  b  c  2cm ; m 
2c
m  2'75 cm
2
2
2
b  4 cm sobre el lado
Ejercicio 15
Calcula el radio (r) y la apotema (ap) de un octógono regular de lado 10 cm:
(Pista: ¿conoces algún ángulo?)
Nos fijamos en el ángulo central:


360º
 45º ;
8

 22'5º ; ahora podemos usar las razones
2
trigonométricas:
tg  
5 cm
5 cm
; ap 
; ap  12'07 cm
ap
tg 22'5º
sen  
5 cm
5 cm
; r
; r  13'07 cm
r
sen 22 '5º
Ejercicio 16
Calcula el área del triángulo siguiente sabiendo que
  30º y C
  45º .
a  10 cm , B
Recuerda la definición de altura.
El área de un triángulo se calcula como
(base x altura)/2. Cada uno de sus tres
lados puede actuar de base. La elección
de una u otra altura será lo que determine
la dificultad del ejercicio.
El lado a es conocido, por tanto parece
lógico escoger su altura correspondiente,
h. Para calcularla necesitamos el valor
del lado b y utilizar el seno de 45º
(también hubiera valido obtener c y el sen
de 30º). Para obtener b calculamos previamente el tercer ángulo desconocido y aplicamos
el Teorema del seno.
A  180  45  30;
A  105º ;
sen 30º
b
a
10 m

; b
sen105º
sen 30º sen105º
Al tratarse de un resultado no exacto, se reserva en la calculadora.
h
; por tanto, h  b  sen 45º ;
b
 sen 30º 
10  
10   sen 45º
sen105º 
Base  h



Calculamos el área del triángulo: Área 
2
2
sen 30º  sen 45º
Área 
50 ; Área 18'3 cm2
sen105º
Aplicando la razón trigonométrica del seno:
sen 45º 
Ejercicio 17
En el ejercicio 10 hemos dicho que, con sólo tres datos y con los teoremas del seno y el
coseno, se puede averiguar el resto de elementos de cualquier triángulo. ¿Cuántos datos
se necesitarán para el caso de los triángulos rectángulos?
2 datos: un ángulo agudo y un lado, o bien, dos lados.
Ejercicio 18
En un triángulo rectángulo, las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa miden 8
cm y 4’5 cm. Calcula la medida de los catetos y el área del triángulo (no utilices el
teorema de Pitágoras):
c  m  n  12'5 cm ;
Teorema del cateto:
a 2  m  c  56' 25 cm2
a  7 '5 cm
b 2  n  c 100 cm2 ; b  10 cm ; para el cálculo del área, utilizaremos los catetos
Base  h a  b 7 '5 10
2


calculados: Área 
; Área  37 '5 cm
2
2
2
Ejercicio 19
En un triángulo isósceles, el ángulo desigual es de 32º y el perímetro es 100 cm. Halla
sus tres lados.
La suma de los ángulos de un triángulo es 180º:
180º 2  32º ;   72º
2 x  y  100  y  100  2 x 


y 2
y
Sistema de ecuaciones:
cos 74º 
cos 74º  
x 
2x 
100  2 x  2 x  cos 74º ; 100  2 x  cos 74º 2 x  2 x  cos 74º 1 ;
100
x
; x  39' 2 cm ; y  21'61cm
2  cos 74º 1
Ejercicio 20
Calcula el área de un trapecio isósceles sabiendo que sus lados iguales miden 30 cm
cada uno, que la base mayor mide 70 cm y que el ángulo que forma dicha base con cada
uno de los lados iguales es de 33º. (Sin Pitágoras).
(área del trapecio: A 
( B  b)
h)
2
Usamos razones trigonométricas:
h
; h  30  sen 33º
30
x
cos33º  ; x  30  cos33º
30
70  b  2 x ; b  70  2 x  70  2  30  cos33º
sen 33º 
Área del trapecio: A 
70   70  2  30  cos 33º 
 30  sen 33º   140  60  cos 33º 15  sen 33º 
2
A  732 '65 cm 2
Ejercicio 21
Calcula x:
La incógnita está situada en un triángulo con
pocos datos. Tan solo con un ángulo y un lado
conocidos, en un triángulo no rectángulo, no es
suficiente para averiguar la incógnita. Debemos
apoyarnos en el triángulo inferior para conseguir
disponer de más información.
Conocidos los tres lados del triángulo no
rectángulo inferior, y utilizando el Teorema del coseno, podemos obtener el ángulo α , que
por semejanza, coincide con el ángulo superior perteneciente al triángulo donde está la
incógnita
352  422  682
 109 
68  35  42  2  35  42  cos α ; cos α 
; α  arccos 

2  35  42
 196 
2
2
2
No nos debe sorprender que de un resultado negativo; los cosenos de ángulos
comprendidos entre 90º y 270º son negativos, y a la vista del dibujo, alfa es claramente
obtuso.
Ya en el triángulo superior, conocidos
α y el ángulo de 22º, obtenemos  :
 109 
  180º 22º  arccos 
 ; Y por último, por el Teorema del seno se calcula x:
 196 
x
96
sen 

; x  96 
x  64'95 m
sen  sen α
sen α
Ejercicio 22
Un edificio y un árbol tienen 12 y 4 m de altura respectivamente y sus pies están situados
a 20 m de distancia. ¿En qué punto situado entre los pies del árbol y del edificio se debe
colocar un recipiente con comida para que los pájaros que están en la copa del árbol y los
que están en la cima del edificio lo tengan a igual distancia? (Puedes utilizar cualquier
teorema)
Disponemos de dos triángulos rectángulos y dos incógnitas, x y H. Las distancias que
deben recorrer los pájaros, H, deben ser iguales. Se establece una ecuación para cada
triángulo (Teorema de Pitágoras) y se igualan las hipotenusas, es decir, se resuelve el
sistema por el método de Igualación:
H 2  122  x2
 2 2
2
2
12

x

4

20

x



2
H 2  42   20  x  
144  x2  16  400  40 x  x2 ;
40 x  416  144  272 , para que se cumplan las condiciones del problema, hay que
situar el recipiente a x  6'8 m del edificio.