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RELACIONES ESPURIAS.
Analizaremos dos situaciones relacionadas con el concepto de
relación espuria:
- La destendencialización determinista de procesos con
tendencia estocástica. Es decir, tratar una serie con
tendencia estocástica como si tuviera tendencia
determinista.
- Las relaciones espurias propiamente dichas (relaciones
causales).
La destendencialización determinista de procesos con
tendencia estocástica.
Un error de especificación que se puede cometer en la práctica
consiste en tener un PGD para xt  dado por:
xt  xt 1   t


(1)
 t ~ iid 0,  2
(2)
 t ~ iid 0, 2
xt    xt 1   t


y estimar el siguiente modelo:
xt     t   t
Es decir, el PGD tiene una tendencia estocástica (1) o tendencia
estocástica y determinista (2) de forma conjunta, por tanto, se
trata de procesos I(1), y el modelo que se estima considera que
únicamente existe una tendencia determinista en la variable
analizada.
Los efectos que tiene sobre las estimaciones quedan resumidos en
los siguientes puntos: (Durlauf y Phillips (1988))
- La estimación de  , ˆ converge a su verdadero valor
ˆ  0 ( T 1 / 2 ˆ  O p 1 ), pero Fˆ  0 diverge, es decir
T 1Fˆ 0 converge hacia la distribución que es función de
procesos Brownianos y que es distinta de la F-de Snedecor.
-
̂ y Fˆ  0 divergen, es decir ̂ no tiende a su valor
poblacional ( T 1 / 2 ˆ  O p 1 ) y T 1Fˆ  0 converge a una
distribución que es función de procesos Brownianos y que
es distinta de la F-de Snedecor.
- El R 2 converge a una distribución límite no degenerada.
- El DW  0 . Por lo que será un buen instrumento para
detectar este error de especificación.
xt  xt 1   t
 t ~ N0,1
De forma intuitiva se puede ver que el hecho de que DW  0 , es
una consecuencia de que al estimar el modelo xt     t   t
cuando el PGD de la serie responde a xt  xt 1   t , la
tendencia estocástica pasará a estar recogida por el término de
perturbación. Por lo tanto, cabe esperar que los residuos del
modelo xt     t   t tengan una raíz unitaria. Es decir, si
planteamos:
ˆt  ˆt 1  vt
entonces para la estimación MCO de  tendremos ˆ  1. Para un
proceso AR(1) se cumple ˆ1  ˆ  1, y por tanto, tendremos:
DW  21  ˆ1   0 .
Las relaciones espurias propiamente dichas (relaciones
causales).
Una relación espuria es un error de especificación que consiste en
estimar una relación entre procesos I(1) que son independientes
entre si.
Yule (1897,1926) fue el primero en advertir que se podían dar
situaciones de este tipo al trabajar con datos de serie temporal,
cuando las variables presentan tendencias crecientes o
decrecientes. Es decir, relaciones de casualidad en vez de
relaciones de causalidad. Yule hablaba de correlaciones espurias.
Granger y Newbold (1974) llevaron a cabo el siguiente
experimento de monte-carlo:
 
~ iid 0,  
yt  yt 1  ut
ut ~ iid 0,  u2
xt  xt 1  vt
vt
2
v
E ut vt   0
yt     xt   t
Al realizarlo obtuvieron los siguientes resultados:
- Se tiende a rechazar la hipótesis nula en el contrate de
significación individual t ̂ a pesar de que ambas variables
son independientes.
- Se obtienen valores de R2 diferentes de cero, por lo que se
tiende a pensar que existe una relación entre ambas
variables.
- DW  0 .
Cuando se especifica el modelo en diferencias, yt   xt   t
se obtiene que:
- Se no se rechaza la hipótesis nula en contraste de
significación individual del parámetro β.
- R2  0.
- DW  2 .
Phillips (1986) formaliza los resultados de Granger y Newbold, es
decir, muestra de forma analítica porque se dan los resultados
recogidos en el anterior trabajo.
De su trabajo se desprende que:
- T 1 / 2ˆ  O p 1 y ˆ  O p 1 por lo tanto ambos
estimadores divergen, es decir no convergen a su verdadero valor.
- T 1 / 2tˆ  O p 1 y T 1 / 2t ˆ  O p 1 , es decir, divergen
tienden a ∞.
- el R2 presenta una distribución no degenerada.
- DW  0 .
Teniendo presente los resultados obtenidos por Granger y
Newbold durante la década de los años 70 y los 80 una parte
importante de los económetras aplicados decidieron trabajar con
las series en primeras diferencias para evitar los problemas
derivados de las relaciones espurias.
Trabajar con series en primeras diferencias tiene dos
consecuencias negativas:
- Se pierde la información sobre la evolución a largo plazo de
las variables analizadas, es decir, nos centramos en el corto
plazo.
- Y se puede incurrir en el problema de la sobrediferenciación, es decir, aplicar primeras diferencias cuando
no es necesario hacerlo.
Sub y Sobre-diferenciación.
La idea de trabajar con series en primeras diferencias se
desprende del hecho de que la no estacionariedad (en media y en
varianza) es una propiedad dominante. Es decir, si combinamos
procesos estocásticos, mediante combinaciones lineales, el
proceso resultante mantendrá las tendencias presentes en los
procesos combinados.
Existe una excepción a la situación anterior que es cuando existen
tendencias comunes o relaciones de cointegración (a largo plazo)
entre las variables analizadas.
Primera situación Sub-diferenciación:
Es una situación, en la que se plantea una relación de dependencia
entre dos procesos integrados que son independientes entre si. Por
lo tanto una combinación lineal seguirá siendo integrada.
yt ~ I1
xt ~ I1
uˆt  yt  ˆ  ˆxt ~ I1
Esto implicará que:
uˆt  uˆt 1   t
Si el término de perturbación recoge la tendencia estocástica de la
serie, para la estimación MCO de  tendremos ˆ  1, entonces
teniendo en cuenta que para un AR(1) tenemos ˆ1  ˆ  1 es
fácil ver que:
DW  21  ˆ1   0 .
Y estaremos delante de una situación de relación espuria, donde el
DW no indica que el modelo esta sub-diferenciado. Si trabajamos
con el modelo en primeras diferencias, es decir:
yt   '  xt  u t
eˆt  û t  yt  ˆ ' ˆxt ~ I0 
Cabe esperar que los residuos sean I0 y que el DW se encuentre
en torno a 2.
Segunda situación Sobre-diferenciación:
Si la relación se plantea en procesos estacionarios, la combinación
lineal de los mismos seguirá siendo estacionaria:
yt ~ I0
xt ~ I0
uˆt  yt  ˆ  ˆxt ~ I0
Pero en este caso, si en lugar de especificar un modelo en niveles
especificamos un modelo en diferencias tendremos:
yt   ' xt  u t
vt  u t  u t  u t -1  1  L u t
Es decir, el termino de perturbación seguirá un proceso MA(1) no
invertible, dado que, 1  1. Sabemos que para un proceso MA(1)
el primer coeficiente de autocorrelación simple responde a:
1 
 1
1   
2
1
entonces cuando 1  1:
1 
 1
1   
2
1

1
 0.5
2
y par el DW tendremos:
DW  21  1   3
Las consecuencias son las siguientes:
- La varianza del término de perturbación del modelo en
diferencias será el doble de la del modelo especificado en
niveles:
Var vt   Var u t  u t -1   2 u2
- La estimación MCO de los parámetros del modelo será
consistente pero ineficiente.
De todo lo visto con anterioridad, se puede sacar la conclusión de
que resulta importante saber que tipo de tendencias presentan las
series temporales con las que trabajamos. Esto se puede hacer a
través del análisis de la FAS y la FAP y de los contrastes de raíces
unitarias.