∫Ξ ∑

Métodos de Muestreo (Monte Carlo)
Los métodos de muestreo son una alternativa para la
evaluación de la función de recurso (integral multidim.).
Mediante estimaciones estadísticas se pueden obtener
intervalos de confianza sobre los resultados.
Mediante análisis estadístico se pueden derivar propiedades
asintóticas de las soluciones de un programa estocástico
formado por un conjunto de observaciones.
Derivaciones del método L:
- Estableciendo cortes mediante muchas muestras por corte.
- Adicionando muchos cortes con pocas muestras en cada
iteración (método de descomposición estocástica).
1
Muestreo de Problemas
Para un integrando general g(x, ξ), el objetivo es resolver
min x∈ X
∫
Ξ
g ( x, ξ ) P (dξ )
donde ξestá definida sobre un espacio de prob. con medida P.
Se supone que tiene solución óptima x* con valor óptimo z*.
Alternativamente, se puede considerar el problema aproximado
formado por muestras de ξ. Se considera una muestra de
observaciones independientes de ξ, {ξi}, i=1,...,v, entonces el
problema aproximado es
1 v
g ( x, ξ i );
∑
v i =1
se supone que tiene solución óptima xv con valor óptimo zv.
min x∈ X
2
1
Teorema Central del Límite (TCL)
Si las variables aleatorias X1, ..., Xn son independientes y
tienen la misma distribución (iid) con esperanza µ finita y
varianza σ2 finita no nula, entonces la variable aleatoria
Zn =
X 1 + K + X n − nµ
σ n
es asintóticamente normal, es decir su función de distribución
Fn(z) cumple, para todo z
 X + K + X n − nµ

lim n → ∞ Fn ( z ) = lim n → ∞ P 1
≤ z  = Ν (0,1).
σ n


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Teorema Central del Límite: Derivado
Definiendo
Xn =
1
n
∑
n
i =1
Xi
se tienen las formas equivalentes
 X − µ
n n
 a Ν (0,1)
 σ 
n ( X n − µ ) a Ν (0, σ 2 ).
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2
Propiedades sobre la
solución óptima aproximada
Para inferir propiedades estadísticas sobre intervalos de
confianza en x* a partir de la observación xv, se busca encontrar
una distribución u tal que
ν (xν − x* ) a u.
Bajo ciertas hipótesis de diferenciabilidad de segundo orden de
g(.), medida del gradiente y condiciones del hessiano de g(.), se
puede obtener u como la solución a un problema cuadrático que,
entre otros, involucra el gradiente y la esperanza del hessiano de
g(.).
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Propiedades sobre el
valor óptimo aproximado
Sea zv el valor óptimo aleatorio aproximado de z*
Suponiendo que g(x, ξi) es una observación iid de g(x, ξ), y que
g(x, ξ) tiene varianza finita
2
Var g ( x ) = ∫ | g ( x,ξ ) |2 P(dξ ) − [ Eξ ( g ( x,ξ ))]
Ξ
entonces se puede aplicar el TCL, estableciendo
 v

v  1v ∑ g ( x,ξ i ) − ∫ g ( x, ξ ) P(dξ )  a N (0, Var g ( x)).
Ξ
 i =1

Bajo ciertas condiciones de g(.) y la existencia de un mínimo x0
se cumple
v
*
0
(
v z −z
)a
N (0, Var g ( x )).
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3
Muestreo en el Método L
Los métodos discretos pueden aplicarse al problema aproximado.
Es ineficiente resolver el problema aproximado completamente
para aproximaciones no cercanas dado que se desperdician
recursos de optimización.
En cambio, es deseable que se use muestreo sin optimización
completa; i.e., que ambos procesos se realicen simultáneamente.
Particularmente, se incluye muestreo dentro del método L:
- utilizando muestreo por importancia para reducir la varianza en
deducir cada corte (muestras grandes), y
- usando una muestra para crear muchos cortes que se actualizan
a medida que evoluciona el proceso (método de descomposición
estocástica).
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Descomposición Estocástica
Genera muchos cortes con un número pequeño de muestras
adicionales en cada corte y actualiza cortes a medida que el
algoritmo evoluciona.
Se asume recurso completo, una cota cota inferior de Q(x,ξ),
conjunto de soluciones duales es acotado, y que K1 y Ξ son
compactos.
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Método de Descomposición Estocástica
Paso 1.
Establecer v = 0, ξ0 = E(ξ) y sea x1 la solución de
min x∈ X {cT x + Q( x,ξ 0 )}
Paso 2.
Sean v = v + 1 y ξv una muestra generada de ξ.
Calcular Q v ( x v ) = 1 ∑v Q( x v ,ξ s ) = 1 ∑v (π sv )T (ξ s − Tx v )
v
v
s =1
s =1
Establecer v 1 v
v
1
v
v T
v T s
E =
v
∑
s =1
(π s ) T
e =
v
∑
s =1
(π s ) ξ
Paso 3.
Actualizar los cortes Es := ((v-1)/v)Es, es := ((v-1)/v)es, para
s=1,...,v-1.
Paso 4.
Resolver el problema maestro obteniendo x v+1. Ir al Paso 2.
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